Algebra Abril

Lideres en Educación 2do Grado de 1

Mes: Abril 2013Del colegio a la “Innova Schools”

POLINOMIO COMPLETOEs aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor. Ejemplo:P(x) 5x3 + 2x – 4x2 + 7 OjO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7). P(x) = 2x + 3 ……………………. Es polinomio completo. P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………. Es polinomio completo. P(x) = x4 – 2x3 + 5x – 4 ……………………. Es polinomio completo.

POLINOMIO ORDENADOEs aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos. Ejemplo: P(x) = x2 + 2x3 – x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente) P(x) = x7 – 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma descendente) P(x) = x17 – x25 + x50 (Polinomio…………………….. en forma……………………..) P(x) = 14x – 2 (Polinomio…………………….. en forma……………………..)

Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una.

P(x, y) = 4x3y7 – 5x2y9 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”) P(x, y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”)

POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADOEs aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores. Ejemplo: P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo por que presenta todos los exponentes de

“x” y además están ordenados en forma descendente) P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)

COMPLETA EL CUADRO.

PolinomioOrdenado Completo Completo y Ordenado

Ascendente Descendente Ascendente Descendente

P(x) = 4x2 + 5 – 3x

P(x) = x7 . x + 6

P(x) = 5x2 – 3x + 2

P(x) = x1000 – x10 + 1

P(x) = 1 + 2x + x – x3

P(x) = 4x5 – x + 5

P(x) = x102 – x101 - 2

I. Calcular el valor de “a” en los siguientes

polinomios completos: 1. P(x) = 4xa + 4x2 + 3 – 2x

ÁLGEBRA.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 SEGUNDO GRADO

POLINOMIOS ESPECIALES I.

PROBLEMAS PARA LA CLASE



2. Q(x) = 2x + xa+2 + x2 – 4

3. R(x) = 3xa+2 + xa+1 + 5xa+3 – 2x + 1

4. En el polinomio completo:

P(x) = axa+3 + 3xa+1 + 5x3 – 2ax + a2

Calcule la suma de coeficientes:

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) N.A.

5. Dado el polinomio completo:

P(x) = mxm + nxn + mnp + pxp

Calcular: m + n + p

a) 1 b) 6 c) 5

d) 4 e) N.A.

II. Ordenar en forma ascendente y

descendente los siguientes polinomios:

6. P(x) = 25x5 + 3x7 – 2x + 4

7. R(x) = 1 – x + x3 – x7 + 2x2

8. Q(x) = ax + nx3 – bx2 + abc

III. Ordene en forma ascendente y descendente

los siguientes polinomios primero relativo a

“x” y luego a “y”.

9. P(x, y) = x3y4 – 5xy2 + 2x7y3 – 2ab

10. P(x, y) = axm+1yn-2 + bxmyn + cxm-2yn+1 – abc

11. Dado el polinomio completo y ordenado.

P(x) = 2axa+3 + 5x3 – 7x2 + ax + 3

Calcule la suma de coeficientes.

a) 1 b) 2 c) 4

d) 5 e) N.A.

12. Dado el polinomio completo y ordenado:

P(x) = 3x2a-1 + 4x4 + 2xb+1 + 3x2 – x + ab

Calcule el término independiente.

a) 4 b) 6 c) 9

d) 12 e) N.A.

13. Si el polinomio es completo y ordenado en

forma ascendente.

P(x) = axc-1 + bxb + cxa

Calcular la suma de coeficientes.

a) 1 b) 4 c) 3

d) 2 e) N.A.

14. Si el polinomio:

P(x) = abxc + caxb + bcxa + abc

Es completo y ordenado:

Calcular: a + b + c

a) 1 b) 6 c) 5

d) 4 e) N.A.

15. De la pregunta (14), calcule la suma de

coeficientes y el término independiente.

a) 17; 9 b) 17; 6 c) 15; 6

d) 15; 9 e) N.A.

I. Calcular El valor de “b” en los siguientes

polinomios completos:

1. P(x) = x2b-4 + x3 + 2x – 4 + 3x2

2. P(x) = 3xb+1 + x3 – 8 + 5x + 7xb+3

3. Q(x) = 4+5 x3+2 xb

2

+12 x−xb2−2

4. En el polinomio completo:

P(x) = 2x + 4a - x3a+1 + 5x2 – x3

Calcular el término independiente.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. Dado el polinomio completo:

TAREA DOMICILIARIA Nº 01.



P(x) = 5x + 2x2 – 3a + 4x2a – x3


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

II. Ordenar en forma ascendente y descendente los

siguientes polinomios respecto a “x” y luego con

respecto a “y”.

6. P(x, y) = 5x4y2 + 3xy3 – 2x5y7

7. P(x, y) = 2xy – 5x2y3 + 4x7y4

8. P(x, y) = 3 + 4x7 – 5x2 + 7x

9. P(x, y) = 3x3y4 – x8y2 + 2x2y3

10. P(x, y) = -7 + 2x3y4 + xy – 2x8y14


P(x) = x3a–2 + 3x3 – 2x2 + x + 4

Calcular: “a”

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


P(x) = x4 – 3xa+2 + 2xb – xc + 5

Calcular: a + b + c

a) 1 b) 2 c) 4

d) 5 e) N.A.


P(x) = 3x3 – axa – bxb + ab

Calcular el término independiente

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


P(x) = abxa + bcxb + caxc + abc

Calcular: a + b + c

a) 1 b) 4 c) 5

d) 6 e) N.A.

15. Del problema anterior calcular el término

independiente.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) N.A.

POLINOMIO HOMOGÉNEO

Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

P(x, y) 4x3y4 – 3x7 + 2xy6 – x5y2

P(x, y) = 2x3y5 + 5xay2 + 3xby7

3 + 5 = a + 2 = b + 7

POLINOMIOS IDÉNTICOS

Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión.

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 SE4GUNDO GRADO

POLINOMIOS ESPECIALES II.

GA = 7 GA = 7 GA = 7 GA = 7

a = 6

b = 1



Ejemplo:

P(x) = (x + 1)2 Q(x) = x2 + 2x + 1

P(0) = Q(0) = 1

P(1) = Q(1) = 4

P(x) y Q(x) son idénticos.

Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.

Ejemplo:

P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x) = Ax2 + 5x – B

Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).

P(x) = 0x2 + 0x + 0

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) ….. = P(1000) = 0

Así si tenemos:

Que si P(x) = (A - 2)x2 + (B - 3)x + c + 2 es idénticamente nulo.

Entonces: A = 2; B = 3; C = -2

1. Dado el polinomio homogéneo.

P(x, y) = 2xay3 + 3x5y7 – xby8

Calcular: (a + b)

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17


P(x, y, z) = 5xyz – x2ya + zb + xc

Calcular: a + b + c

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

3. Si el polinomio es homogéneo:

P(x, y) = 3xa+2yb+8 + xd+3y7 + 2x8y5

Calcular: a + b + d

a) 1 b) 13 c) 6

d) 5 e) 8

4. Dado el polinomio homogéneo:

P(x, y) = axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10

Calcule la suma de coeficientes.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) N.A.

5. Dado el polinomio homogéneo:

P(x, y) = 2bxbyc + 5x7y2 + 3cxb+7y


a) 30 b) 31 c) 32

d) 33 e) N.A.

6. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde:

P(x) = ax5 + 3x2 – 4

Q(x) = (2a - 3)x5 + (c + 2)x2 + b

Calcular : a + b + c

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) N.A.

7. Si : R(x) = 2x2 + 5x – 3

Es idéntica con:

S(x) = (a2 - 2)x2 + (b2 + 1)x + c

Calcular: a + b + c

a) -1 b) 0 c) 1

d) 2 e) N.A.

8. Dados los polinomios homogéneos:

P(x) = 4x2 + bx + 7

Q(x) = cx2 + 3x + 7

R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a

Calcular: a + b + c + d

B = 3

A = 4

Observa que cuando es idénticamente nulo el valor numérico es siempre cero.

PROBLEMAS PARA LA CLASE.



a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

9. Dado: P(x) = (4 + a)x + 5c + d

Q(x) = 4c + 3 + (2a + 2)x

Son idénticos.

Calcule: a + c + d

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) N.A.

10. Si los siguientes polinomios son idénticos.

P(x) = mx2 + nx + p y Q(x) = ax2 + bx

+ c

Calcular: A=m+n+ p

a+b+c

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11. Dado el polinomio idénticamente nulo:

P(x) = (a - 2)x2 + bx + c + 3

Calcular: a . b . c

a) -1 b) 0 c) 1

d) 2 e) N.A.

12. Dado el polinomio idénticamente nulo:

Q(x) = 3x2 + 5x – 3 + ax2 + bx – c

Calcular: a + b + c

a) -10 b) -11 c) -12

d) -13 e) N.A.

1. Si el polinomio:

P(x, y) = 3x3ya + 2x2y7 – x9; es homogéneo

Calcular: √a+3a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.


P(x, y) = 2x4ya+1 – x3yb + 5x2y7

Calcular: a . b

a) 48 b) 24 c) 12

d) 10 e) N.A.

3. Dado el polinomio homogéneo

P(x, y) = 3xay2 – xby4 + 5x5y6

Calcular: a + b

a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) N.A.

4. Dado el polinomio homogéneo

P(x) = axa + bxb – cxc + 2x2

Calcular la suma de coeficientes

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

5. El polinomio homogéneo

P(x, y) = axayb + bxcyd + (c + d)x5

Tiene como suma de coeficientes a:

a) 10 b) 11 c) 20

d) 15 e) N.A.

6. Si: R(x) y Q(x) son idénticos

R(x) = bx2 + 3x + c

Q(x) = (2b - 2)x2 + ax + 2

Calcular: a + b + c

a) 8 b) 7 c) 6

d) 5 e) N.A.

7. Si: R(x) = 12x4 – 5x + 7 es idéntico con:

Q(x) = abx4 – 5x + a + b (Nota: a > b)

Calcular: a – b

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

8. Dados los polinomios idénticos:

P(x, y) = 5x5 – 2x3 + 4

R(x, y) = ax3 + c – bx5

Calcular: a . b . c

a) 40 b) -40 c) 10

d) -10 e) N.A.


P(x) = (a2 - 1)x2 + (b - 1)x + c + 2

Q(x) = 8x2 + 7 + 5x

Calcular: a + b + c

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) N.A.


R(x) = (a + b)x3 + (c + d)x + 4

Q(x) = 3x3 + e + x

Calcular: a + b + c + d + e

a) 7 b) 8 c) 9




d) 10 e) N.A.

a. Dados los polinomios idénticamente nulos.

Calcular: A, B y C

11. (A - 3)x2 + (C + 2)x + B – 5 P(x)

12. R(x) = (A2 - 4)x2 + (B3 - 8)x + C – 2

13. Q(x) = (A + 3)x2 – 5x + 4 – x2 + Bx – C

1. Si: P(x) = mx2 + nx + p es idéntico con Q(x) = cx2 + dx + e

Calcular:

c+d+em+n+ p

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

2. Si: P(x) = (a - b)x2 + (c - d)x + e – fEs idénticamente nulo.

Calcular: A=a

b+ cd

+ ef

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

3. Si el polinomio es nulo:R(x) = 3x2 + (a2 - 1)x2 + cx – 2x + d – 4Calcular: a . c . da) 1 b) 2 c) 16d) 15 e) N.A.

4. Dado el polinomio nulo:

P(x) = (a2 + 1)x2 + (b2 + 1)x + c2 – 1 – 2x2 – 10xCalcular: a + b + ca) 1 b) 5 c) 9d) 10 e) N.A.

5. Si el siguiente polinomio es nulo:P(x) = (m2 - a)x2 + (n2 – b)x + p2 – c

Calcular:

m2+n2+ p2

a+b+ca) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

6. Dados los polinomios idénticos:R(x) = (a + b)x3 + (c + d)x + 4Q(x) = 3x3 + e + xCalcular: a + b + c + d + e

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) N.A.

TALLER Nº 01.

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 03 SEGUNDO GRADO



El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variable o variables toman un determinado “VALOR”.

Ejemplo:I Caso:

P(x) = 2x +3 Q(x) = 5x – 3 R(x) = 2x + 5P(2) = 2(2) + 3 Q(1) = 5(1) – 3 R(1) =P(2) = 7 Q(1) = 2 R(2) =P(3) = 2(3) + 3 Q(2) = 5(2) – 3 R(0) = = 9 Q(2) = 7

II Caso: Si: P(x) = 2x + 3 P(a) = 2a + 3 P(x + 3) = 2(x + 3) + 3 P(x) = 2x – 5

P(b) = 2b + 3 P(x + 3) = 2x + 6 + 3 P(a) = P(x + 3) = 2x + 9 P(a + 2) =

P(x + 3) =

III Caso: Si: P(x) = 2x + 3Calcular: A = P ( P ( P ( 3 ) ) )

IV Caso: Si: P(x) = 2x + 3 Y Q(x) = 3x + 5Calcular: P(Q(x)) = ??? ¿y Ahora?Fácil: P(Q(x)) = 2(Q(x)) + 3 (Pero Q(x) = 3x +5 )

P(Q(x)) = 2(3x + 5) + 3P(Q(x)) = 6x + 10 + 3P(Q(x)) = 6x + 13

IV. Hallar el valor numérico para:

x = 1, y = 2, z = 3 de los siguientes

polinomios:

1. P(x) = 2x + 5

2. P(x, y) = 3x + 2y – xy

3. P(x, y, z) = xyz + 2x – y + z

VALOR NUMÉRICO.

¡AHORA VOS!

Se empieza por adentro es

decir:

A=P (P ( P (3 ) underbracealignl 2(3)+3 ¿⏟9 ¿

) )¿

A=P ( P (9) underbracealignl 2(9)+3 ¿⏟21 ¿

)¿

A = P(21)

AHORA CALCULA Q(P(x)) =?

PROBLEMAS PARA LA CLASE.



4. P(x) = 3(x + 2) (x - 3)

5. P(x, y) = 2x(y + 1) (y - 2)

V. Resolver:

6. Si: P(x) = 2x – 4

Calcular: A = P(1) + P(2)

Rpta.: …………………..

7. Si: P(x, y) = 2xy – x + 3y

Calcular: A = P(2; 3) + P(0; 1)

Rpta.: …………………..

8. Si: P(x) = 3x + 5

Calcular: M = P(a + 2) – P(a - 2)

Rpta.: …………………..

9. Si: P(x) = 2x – 1

Calcular: A = P (P (P (P (0) ) ) )

Rpta.: …………………..

10. Si: P(x) = 5x – 2; R(x) = 2x + 3

Calcular: A = P(R(2))

Rpta.: …………………..

11. Si: P(x) = 3x + 5; Q(x) = 2x – 1 y R(x) = 3x +

2

Calcular: A = P (Q (R (0) ) )

Rpta.: …………………..

12. Si: P(x) = 2x + 1; Q(x) = 2x – 1

Calcular: P (Q (x) )

Rpta.: …………………..

13. Si: M(x, y) = 2xy2

Calcular: A=

M (1,0 )+M (0,1)M (1,1)

Rpta.: …………………..

14. Calcular: Q(Q(x)), si Q(x) = 3x – 2

Rpta.: …………………..

15. Calcular: P (P (P (P (2) ) ) )

Si: P(x) = 2x – 1

Rpta.: …………………..


Mes: Abril 2013Del colegio a la


“Innova Schools”

I. Calcular el valor numérico de los polinomios para: x = 2; y = 3; z = 1.

1. P(x) = 3x – 4

2. P(x, y) = 2x + 3y – 2

3. P(x, y, z) = x + y + z – 6

4. P(x) = (4 - x) (x - 2)

5. P(x, y) = (x + 2) (y – 3)

6. P(x, y, z) = (x - 1) (y - 2) (z - 3)

II. Resolver:

7. Si: P(x) = 2x + 8

Calcular: A = P(a) + P(a - 1)

Rpta.: …………………..

8. Si: P(x) = 2x + 5

Calcular: A=

P(1 )+P (2)P(0 )

Rpta.: …………………..

9. Si: P(x; y) = 5xy + x – y

Calcular: P(1; 2) + P(2; 0)

Rpta.: …………………..

10. Si: P(x) = x + 2

Calcular: A = P (P (P (P (3) ) ) )

Rpta.: …………………..

11. Si: P(x) = x + 3; R(x) = 2x – 1

Calcular: A = P(R(2))

Mes: Abril 2013Del colegio a la


“Innova Schools”

Rpta.: …………………..

12. Si: P(x) = 5x + 3; R(x) = 3x + 2

Calcular: A = P(R(x))

Rpta.: …………………..

13. Del problema anterior. Calcular: B = R(P(x))

Rpta.: …………………..

14. Si: P(x) = 3x + 4

Calcular: M = P(P(x))

Rpta.: …………………..

15. Si: P(x) = 3x – 1

Calcular: A = P (P (P (2) ) )

Rpta.: …………………..

Algebra Abril

Documents

Transcript of Algebra Abril