Algebra de Boole y Expresiones Logicas

Electrnica Industrial-ED5 Unidad 2. lgebra de Boole y expresiones lgicas

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Unidad 2

lgebra de Boole y expresiones lgicas

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CONTENIDO

Unidad 2. lgebra de Boole y expresiones lgicas. 1. Fundamentos del lgebra de Boole. 2. Operaciones y expresiones booleanas. 3. Formas estndar de las expresiones booleanas. 4. Expresiones booleanas, tablas de verdad y formas

estndar. 5. Leyes y reglas del lgebra de Boole. 6. Teoremas de DeMorgan. 7. Minimizacin lgica algebraica. 8. Minimizacin lgica mediante mapas de Karnaugh. 9. Riesgos de temporizacin (estticos y dinmicos). 10. Aplicacin a los sistemas digitales.

OBJETIVOS ESPECFICOS

! Aplicar las leyes y reglas bsicas del lgebra de Boole. ! Aplicar los teoremas de DeMorgan a las expresiones booleanas. ! Describir los diagramas lgicos mediante expresiones booleanas. ! Evaluar las expresiones booleanas. ! Simplificar expresiones booleanas mediante las leyes y reglas del

lgebra de Boole. ! Convertir cualquier expresin booleana en una suma de productos y

en un producto de sumas. ! Utilizar los mapas de Karnough para simplificar expresiones

booleanas. ! Utilizar los mapas de karnough para simplificar tablas de verdad. ! Utilizar condiciones indiferentes para simplificar funciones lgicas. ! Identificar riesgos de temporizacin (estticos y dinmicos). ! Aplicar el lgebra de Boole y los mapas digitales a los sistemas

digitales.


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1. FUNDAMENTOS DEL LGEBRA DE BOOLE

George Boole, lo desarroll en 1854 para poder expresar las leyes fundamentales del razonamiento en el lenguaje simblico del Clculo. Fue Shannon, en 1838, quien lo adapt para describir y analizar el comportamiento de los circuitos. El lgebra Booleana parte de un conjunto de axiomas o postulados ( conjunto mnimo de definiciones que consideramos verdaderas) a partir de los cuales se construye el sistema matemtico. Abstraccin digital

(A1) X=0 si X1 (A1) X=1 si X0

OJO!!! Se cumple el principio de dualidad

Funcin inversora

(A2) Si X=0 entonces X=1 (A2) Si X=1 entonces X=0

OJO!!! Se cumple el principio de dualidad

Definicin formal de las operaciones bsicas AND y OR

(A3) 0.0 = 0 (A3) 1+1 = 1 (A4) 1.1 = 1 (A4) 0+0 = 0

(A5) 0.1 = 1.0 = 0 (A5) 1+0 = 0+1 = 1

A continuacin habran que desarrollarse todos los teoremas, y comprobar que el sistema matemtico constituye un lgebra. Todos los teoremas se demuestran utilizando estos axiomas como punto de partida, mediante induccin perfecta. Nosotros vamos a estudiar el lgebra desde un punto de vista no tan formal.


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2. OPERACIONES Y EXPRESIONES BOOLEANAS (I)

Mediante el lgebra Booleana buscamos un mtodo sistemtico y verstil para la implementacin de circuitos combinacionales. El lgebra Booleana utiliza variables y operadores para obtener expresiones lgicas que representan un circuito combinacional. Luego describe una serie de teoremas que utilizaremos para manipular las expresiones lgicas. Estados posibles

0: Estado Falso 1: Estado Verdadero

Variables Booleanas ! Se corresponden con seales de entrada, de salida o

intermedias. ! Se representan mediante caracteres alfabticos A, B, X... ! Pueden tomar dos valores (0 1). ! Se denomina literal a una variable o a su complemento A, A Operadores Booleanos


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2. OPERACIONES Y EXPRESIONES BOOLEANAS (II)

Ejemplo: Extraccin de la expresin booleana de un sistema a partir de su diagrama lgico

A partir del siguiente circuito lgico se nos pide que obtengamos su expresin booleana equivalente.

Ejemplo: Extraccin de la expresin booleana de un sistema a partir de su tabla de verdad

A partir de la siguiente tabla de verdad se nos pide que obtengamos su expresin booleana equivalente.

B.AB.A)B.(AB).A(C +=+= C.B.AC.B.AC.B.AD ++=


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2. OPERACIONES Y EXPRESIONES BOOLEANAS (III)

Una vez que tenemos una expresin Booleana a partir de cualquiera de los mtodos que hemos visto, veremos ms adelante que ser susceptible de simplificacin utilizando los teoremas Boleanos. En esta caso, puede ser interesante saber generar un diagrama lgico a partir de su expresin Booleana.

Ejemplo: Extraccin de un diagrama lgico de un sistema a partir de su expresin Booleana

A partir de la siguiente expresin Booleana se nos pide que obtengamos su diagrama lgico equivalente.

)BA(B.AB.AC +++=


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3. FORMAS ESTNDAR DE LAS EXPRESIONES

BOOLEANAS

Existen dos formas estndar de representar expresiones booleanas: Suma de productos.

Producto de sumas.


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4. EXPRESIONES BOOLEANAS, TABLAS DE VERDAD Y

FORMAS ESTNDAR

Como ya se ha visto, a partir de la tabla de verdad se puede obtener una expresin algebraica que la represente. Para ello se puede utilizar un operador OR que combine todas las expresiones que representan cada una de las filas de la tabla para los que la funcin vale 1.

A cada una de esas expresiones algebraicas se les denomina minterms o miniterminos

Representar una tabla de verdad mediante productos de l os maxterms o maxiterminos es la forma dual. Cualquier funcin Booleana se puede expresar como suma me miniterminos (minterms) o como producto de maxiterminos (maxterms) y a estas formas se dice que est en forma cannica.

Maxiterms A + B+ C A + B+ C A +B+ C A+ B + C A+ B + C


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5. LEYES Y REGLAS DEL LGEBRA DE BOOLE

Al igual que en otras reas de las matemticas, en el lgebra de Boole existen una serie de reglas y leyes que tienen que seguirse para aplicarlo correctamente. Leyes del lgebra de Boole (son teoremas)

A+B = B+A (Conmutativa) A.B = B.A A+(B+C) = (A+B)+C (Asociativa) A.(B.C) = (A.B).C A.(B+C) = A.B + A.C (Distributiva)

Reglas del lgebra de Boole (son teoremas)


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6. TEOREMAS DE DeMORGAN (I)

Primer teorema de DeMorgan

(X.Y) = X+Y

Segundo teorema de DeMorgan

(X+Y) = X.Y

Hemos visto el modo de obtener expresiones Booleanas a partir las tablas de verdad, pero no sabemos nada sobre si esas expresiones son las ms simples posibles. Lo cual es importante ya que implica implementaciones sencillas, es decir reducir el nmero de componentes y por tanto reducir el coste de la aplicacin final. Las leyes, reglas y teoremas Bolanos se pueden utilizar, entre otras razones, con este fin: simplificar las expresiones Booleanas simplificar el diseo reducir costes en la implementacin del diseo


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C.B.ACBA =++

6. TEOREMAS DE DeMORGAN (II)

Como se ver ms adelante en ocasiones resulta muy til generar un circuito combinacional con un nico tipo de compuerta. Para algunas familias lgicas las puertas NAND son las ms sencillas.

Ejemplo: Obtencin de un diagrama lgico de un sistema a partir de su expresin Booleana utilizando puertas NAND

A partir de la siguiente expresin Booleana se nos pide que obtengamos su diagrama lgico equivalente utilizando exclusivamente puertas NAND.

El Teorema de Morgan nos dice que:

Luego el circuito quedar del siguiente modo:

C.B.AC.B.AC.B.AD ++=


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CBAC.B.A ++=

6. TEOREMAS DE DeMORGAN (III)

Para otras familias lgicas las puertas NOR son las ms sencillas.

Ejemplo: Obtencin de un diagrama lgico de un sistema a partir de su expresin Booleana utilizando puertas NOR

A partir de la siguiente expresin Booleana se nos pide que obtengamos su diagrama lgico equivalente utilizando exclusivamente puertas NOR. El teorema de Morgan nos dice que:

Luego finalmente el circuito quedar del siguiente modo:


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7. MINIMIZACIN LGICA ALGEBRAICA (I)

El propsito de la minimizacin lgica es tomar una expresin algebraica y reducirla a una forma que sea ms fcil de realizar:

! Simplificacin algebraica (i.e.: suma de productos (miniterminos))

! Mapas de Karnaugh.

Simplificacin algebraica

A partir de una expresin Booleana e su forma de suma de productos se combinan los trminos, reduciendo la complejidad, mediante las reglas, leyes y teoremas del lgebra de Boole.


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C.B.AC.B.AC.BC.B.AD +++=

BC.ABC.B.A

)CC.(BC.B.AC.BC.BC.B.A

)AA(C.BC.BC.B.AC.B.AC.B.AC.BC.B.AD

+==+=

=++==++=

=+++==+++=

7. MINIMIZACIN LGICA ALGEBRAICA (II)

Ejemplo: Simplificar el nmero de puertas de un circuito

Se pide simplificar el siguiente circuito mediante simplificacin algebraica. 1 Se obtiene la funcin Booleana. 2 Se simplifica utilizando las reglas.


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8. MINIMIZACIN LGICA MEDIANTE MAPAS DE

KARNAUGH (I)

El mapa de Karnaugh es un mtodo grfico de representacin de la informacin que se encuentra en una tabla de verdad.

" Los cuadros adyacentes, tanto en forma horizontal como vertical, difieren en el estado de una variable (i.e. X-Y, X-Z).

" Esta propiedad no se aplica a los cuadros que se encuentran en una diagonal (i.e. Y-Z)


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8. MINIMIZACIN LGICA MEDIANTE MAPAS DE KARNAUGH (II)

Utilizacin de los mapas de Karnaugh

Los mapas de Karnaugh se van a utilizar para simplificar expresiones algebraicas. Para ello se har lo siguiente: 1) Representar en un mapa de Karnough la funcin algebraica o tabla de verdad que se dese simplificar. 2) Se agruparan los 1 siguiendo las reglas que a continuacin se citan:

a) Los grupos de celdas ms grandes posibles debern construirse primero; cada uno deber contener 2n elementos.

b) Debern agregarse grupos cada vez ms pequeos, hasta que cada celda que contenga un 1 se haya incluido por lo menos una vez.

c) Debern eliminarse los grupos redundantes (aun cuando se trate de grupos grandes) para evitar la duplicacin.


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8. MINIMIZACIN LGICA MEDIANTE MAPAS DE KARNAUGH (III)

Ejemplos de agrupamientos permitidos


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8. MINIMIZACIN LGICA MEDIANTE MAPAS DE KARNAUGH (IV)

Ejemplos de agrupamientos no permitidos

Ejemplos de agrupamientos alternativos


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C.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC.B.AD +++++=

C.AC.ABD ++=

DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAD

.................................

+++++++++++=


KARNAUGH (V)

Ejemplo: Simplificacin de una expresin lgica

Se pide simplificar la siguiente expresin: Quedando la siguiente expresin:


Se pide simplificar la siguiente expresin: En este caso para evitar redundancias hemos eliminado el grupo interior grande.


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DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAE ........................ +++++++=

DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAD ........................ +++++++=


KARNAUGH (VI)


Se pide simplificar la siguiente expresin: En este caso para evitar redundancias hemos eliminado el grupo interior grande.

Ejemplo: Simplificacin de una expresin de cinco variables


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KARNAUGH (VII)

Condiciones indiferentes


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9. RIESGOS DE TEMPORIZACIN (I)

Un riesgo de 1 esttico es un par de combinaciones de entrada que: 1) Difieren solamente en una variable de entrada. 2) Ambas proporcionan una salida 1. 3) Es posible que ocurra una salida 0 momentnea (glitch) durante

una transicin en la variable de entrada que difieren.

X=Y=1, e inicialmente Z=1 Un riesgo de 0 esttico es un par de combinaciones de entrada que:

4) Difieren solamente en una variable de entrada. 5) Ambas proporcionan una salida 0. 6) Es posible que ocurra una salida 1 momentnea (glitch) durante

una transicin en la variable de entrada que difieren.


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9. RIESGOS DE TEMPORIZACIN (II)

Hallando riesgos estticos mediante el uso de mapas

Eliminacin de riesgos estticos mediante el uso de redundancias


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9. RIESGOS DE TEMPORIZACIN (III)

Riesgos dinmicos Un riesgo dinmico es la posibilidad de un cambio en la salida ms de una vez como resultado de una transicin de entrada simple. En las estructuras AND-OR u OR-AND no hay riesgo dinmico, si ninguna variable y su complemento no estn conectadas a la misma compuerta de primer nivel.


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9. RIESGOS DE TEMPORIZACIN (IV)

Diseo de circuitos libres de riesgo

Los circuitos libres de riesgo se requieren normalmente en

circuitos secuenciales de retroalimentacin. Las tcnicas para analizar riegos en circuitos arbitrarios son

difciles de utilizar utilizar estructuras sencillas de analizar. Un circuito AND-OR de dos niveles no tiene riesgos dinmicos, ni

de 0 esttico. En un circuito AND-OR los riesgos de 1 esttico pueden ser

eliminados con el mtodo descrito. De manera dual , un circuito OR-AND de dos niveles libres de

riesgo puede disearse para cualquier funcin lgica utilizando mapas.

Lo dicho para AND-OR es aplicable a NAND-NAND.

(A+B)=(A.B)

Lo dicho para OR-AND es aplicable a NOR-NOR.

(A.B)=(A+B)


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10. APLICACIONES A LOS SISTEMAS DIGITALES (I)

Ejemplo: Disear un circuito para convertir nmeros binarios de 3

bits a cdigo Gray

El circuito combinacional que se busca debe cumplir con la siguiente tabla de verdad: Aplicando Karnaugh tenemos lo siguiente: Luego el circuito combinacional que buscamos podr ser el siguiente:


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10. APLICACIONES A LOS SISTEMAS DIGITALES (II)

Ejemplo: Disear un circuito que tome un nmero de 4 bits ABCD y produzca una sola salida Y que est activa si la entrada representa

un nmero primo El circuito combinacional que se busca debe cumplir con la siguiente tabla de verdad, obtenindose el correspondiente diagrama de Karnaugh:


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10. APLICACIONES A LOS SISTEMAS DIGITALES (III)

Ejemplo: Disear un circuito que tome un nmero BCD y produzca una sola salida Y que est activa si la entrada es: 1, 2, 5, 6 9.

El circuito combinacional que se busca debe cumplir con la siguiente tabla de verdad, obtenindose el correspondiente diagrama de Karnaugh:


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10. APLICACIONES A LOS SISTEMAS DIGITALES (IV)

Ejemplo: Disear un decodificador BCD a siete segmentos (I).


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10. APLICACIONES A LOS SISTEMAS DIGITALES (V)

Ejemplo: Disear un decodificador BCD a siete segmentos (II).

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