Algebra Lineal Unidad 1
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ALGEBRA LINEAL
UNIDAD 1
JOSÉ EFRAÍN TORRES MORENO - CODIGO 1.022’347.189
LIANA MARCELA ARIZA SUAREZ - CODIGO 1.101’177.077
NORMAN RODRIGO ABRIL ROBLES- CODIGO 80’112.368
KEVIN GIOVANNY GÓMEZ – CODIGO 1.033´747.634
PRESENTADO A:
VIVIAN YANETH ÁLVAREZ
GRUPO: 208046_39
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
SEPTIEMBRE 2015
INTRODUCCIÓN
Los cálculos matemáticos afianzan las capacidades de cada estudiante en la medida que cada uno
se acerque al conocimiento para dominarlo y llegar a aplicarlo en el ejercicio de las profesiones
que estamos decididos a ejercer como Ingenieros de alimentos, por ello en esta primera etapa nos
acercamos a poner en práctica las bases estudiadas en esta Unidad 1, comprendidas por los
vectores, matrices y determinantes que nos ofrece la Universidad Nacional Abierta y a Distancia
en el transcurso de este curso de Algebra Lineal (E-Learning).
1. Encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores:
a. 𝑢⃗ = (-2.5)
b. 𝑣 = (-√5, -3)
a. 𝑢⃗ = (-2.5)
Triangulo de Pitágoras
𝑟 = √(−2)2 + (5)2
𝑟 = √42 + 252
𝑟 = √29
𝑟 = 5,385
Función trigonométrica
𝑡𝑎𝑛 ∝ = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢⃗𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =
5
−2
𝑡𝑎𝑛 ∝ = 5
−2= −2,5
∝ = 𝑡𝑎𝑛−1(−2,5)
𝑡𝑎𝑛 ∝ = −68,1°
b. 𝑣 = (-√5, -3)
Triangulo de Pitágoras
𝒓 = √(−√5)2 + (−3)2
𝑟 = √−52 + 92
𝑟 = √42
𝑟 = 2
Función Trigonométrica
𝑡𝑎𝑛 ∝ = −3
−√5=
−3
−2,236= −0,764
∝ = 𝑡𝑎𝑛−1(−0,764)
𝑡𝑎𝑛 ∝ = −37,37°
1.2 Dados los vectores 𝑢⃗ = (-1,3), 𝑤⃗ = ( -2,-3) y 𝑧⃗⃗ = (4,1), realice:
a. 2𝑢⃗ - 3𝑤⃗
b. -2𝑢⃗ + 4𝑤⃗ - 𝑧⃗⃗
a.
2u⃗ − 3w⃗⃗⃗
2(−1,3) − 3(−2,−3)
(−2,6) − (6,9)
(−8,3)
b.
−2u + 4w − z
−2(−1,3) + 4(−2,−3) − (4,1)
(2, −6) + (−8,−12) − (4,1)
(−10, −17)
2. Dados los vectores v = i – j +4k y w= -2i - j-4k, encuentre:
a. El ángulo entre v y w
b. El producto escalar entre v y w
c. El producto vectorial entre v y w
θ = cos−1 (a
|a|∗
b
|b|)
(Magnitud de cada vector)
|V| = √(1)2 + (−1)2 + (4)2
|V| = √18
|W| = √(1)2 + (−1)2 + (4)2
|W| = √21
θ = cos−1 (−2 + 1 − 16
(√18)(√21))
θ = cos−1 (−17
√378)
θ = 150.97° Angulo entre V y W
B.El producto escalar entre V y W
V ∗ W = (1, −1,4)(−2,−1,−4)
V ∗ W = (−2,1, −16)
V ∗ W = −17 Producto escalar
C.El producto vectorial entre V Y W
V ∗ W = (i j k1 −1 4
−2 −1 −4)
V ∗ W = |−1 4−1 −4
| − |1 4
−2 −4| + |
1 −1−2 −1
|
V ∗ W = [(−1)(−4) − (−1)(4)] − [(1)(−4) − (−2)(4)] + [(1)(−1) − (−2)(−1)]
V ∗ W = (8 − 4 − 3) Producto vectorial
3) Dadas las matrices:
𝑨 = (𝟐 𝟑 −𝟕
−𝟏 𝟓 𝟒𝟒 𝟎 𝟒
) 𝑩 = (
−𝟐 𝟎 𝟒𝟓
𝟑𝟏 𝟐
𝟓 −𝟏 𝟗
) 𝑪 = (
𝟕 −𝟒 −𝟒
𝟓 𝟏𝟏
𝟐
𝟖 𝟔 𝟑
)
Hallar
a. A+B+C
(
2 + (−2) + 7 3 + 0 + (−4) −7 + 4 + (−4)
−1 +5
3+ 5 5 + 1 + 1 4 + 2 +
1
24 + 5 + 8 0 + (−1) + 6 4 + 9 + 3
)
(
2 − 2 + 7 3 + 0 − 4 −7 + 4 − 4
−1 +5
3+ 5 5 + 1 + 1 4 + 2 +
1
24 + 5 + 8 0 − 1 + 6 4 + 9 + 3
)
Rta/ (
𝟕 −𝟏 −𝟕𝟏𝟕
𝟑𝟕
𝟏𝟑
𝟐
𝟏𝟕 𝟓 𝟏𝟔
)
b. A-3B-2C
(2 3 −7
−1 5 44 0 4
) − (
3(−2) 3(0) 3(4)
3 (5
3) 3(1) 3(2)
3(5) 3(−1) 3(9)
) − (
2(7) 2(−4) 2(−4)
2(5) 2(1) 2 (1
2)
2(8) 2(6) 2(3)
)
(2 3 −7
−1 5 44 0 4
) − (−6 0 125 3 615 −3 27
) − (14 −8 −810 2 116 12 6
)
(2 − (−6) − 14 3 − 0 − (−8) −7 − 12 − (−8)−1 − 5 − 10 5 − 3 − 2 4 − 6 − 14 − 15 − 16 0 − (−3) − 12 4 − 27 − 6
)
(2 + 6 − 14 3 − 0 + 8 −7 − 12 + 8
−1 − 5 − 10 5 − 3 − 2 4 − 6 − 14 − 15 − 16 0 + 3 − 12 4 − 27 − 6
)
Rta/ (−𝟔 𝟏𝟏 −𝟏𝟏−𝟏𝟔 𝟎 −𝟑−𝟐𝟕 −𝟗 −𝟐𝟗
)
c. A x C
(
2 ∗ 7 + 3 ∗ 5 + (−7) ∗ 8 2 ∗ (−4) + 3 ∗ 1 + (−7) ∗ 6 2 ∗ (−4) + 3 ∗1
2+ (−7) ∗ 3
(−1) ∗ 7 + 5 ∗ 5 + 4 ∗ 8 (−1) ∗ (−4) + 5 ∗ 1 + 4 ∗ 6 (−1) ∗ (−4) + 5 ∗1
2+ 4 ∗ 3
4 ∗ 7 + 0 ∗ 5 + 4 ∗ 8 4 ∗ (−4) + 0 ∗ 1 + 4 ∗ 6 4 ∗ (−4) + 0 ∗1
2+ 4 ∗ 3 )
(
14 + 15 + (−56) (−8) + 3 + (−42) (−8) +3
2+ (−21)
(−7) + 25 + 32 4 + 5 + 24 4 +5
2+ 12
28 + 0 + 32 (−16) + 0 + 24 (−16) + 0 + 12 )
(
14 + 15 − 56 (−8) + 3 − 42 (−8) +3
2− 21
(−7) + 25 + 32 4 + 5 + 24 4 +5
2+ 12
28 + 0 + 32 (−16) + 0 + 24 (−16) + 0 + 12)
Rta/ (
−𝟐𝟕 −𝟒𝟕 −𝟓𝟓
𝟐
𝟓𝟎 𝟑𝟑𝟑𝟕
𝟐
𝟔𝟎 𝟖 −𝟒
)
4 Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleado para ello primer Gauss Jordan y
luego empleando determinantes aplicando la fórmula:
𝑨−𝟏 =𝟏
𝑫𝒆𝒕𝑨∗ 𝑨𝒅𝒋𝑨
(2 3 −7
−1 5 44 0 4
⋮ 1 0 00 1 00 0 1
)
𝑓1 ↔𝑓12
(1 3 2⁄ −7 2⁄
−1 5 44 0 4
⋮ 1 2⁄ 0 00 1 00 0 1
)
𝑓2 ↔ 1𝑓1 − 𝑓2
𝑓3 ↔ −4𝑓1 − 𝑓3
(1 3 2⁄ −7 2⁄
0 −7 2⁄ −15 2⁄0 −6 10
⋮ 1 2⁄ 0 01 2⁄ 1 0−2 0 1
)
𝑓2 ↔𝑓2
−7 2⁄
(1 3 2⁄ −7 2⁄
0 1 15 2⁄0 −6 10
⋮ 1 2⁄ 0 0
−1 7⁄ −2 7⁄ 0−2 0 1
)
𝑓1 ↔ −32⁄ − 𝑓1
𝑓3 ↔ 6𝑓2 − 𝑓3
(1 0 −31 4⁄
0 1 15 2⁄0 0 35
⋮ −2 7⁄ 0 0−1 7⁄ −2 7⁄ 0−20 7⁄ −12 7⁄ 1
)
𝑓3 ↔35
𝑓3
(1 0 −31 4⁄
0 1 15 2⁄0 0 1
⋮ −2 7⁄ 0 0−1 7⁄ −2 7⁄ 0−49 4⁄ −245 12⁄ 35
)
𝑓1 ↔ 31 4⁄ 𝑓3 − 𝑓1
𝑓2 ↔ 15 2𝑓3 − 𝑓2⁄
(1 0 00 1 00 0 1
⋮ −10601 112⁄ −7595 48⁄ 1085 4⁄
5137 56⁄ 8559 56⁄ −525 2⁄
−49 4⁄ −245 12⁄ 35)
5 Calcule los siguientes determinantes (Sugerencia: emplee algunas propiedades para
intentar transformarla en una matriz triangular)
𝐴 = [−12 9 104 6 50 2 1
]
𝐹1 ↔−12
𝐹1
[1 −3 12⁄ −10 12⁄4 6 50 2 1
]
𝐹2 ↔ −4𝐹1 + 𝐹2
[1 −3 12⁄ −10 12⁄
0 7 21 5⁄0 2 1
]
𝐹2 ↔7
𝐹1
[1 −3 12⁄ −10 12⁄
0 1 21 5⁄0 2 1
]
𝐹3 ↔ −2𝐹2 + 𝐹3
[𝟏 −𝟑 𝟏𝟐⁄ −𝟏𝟎 𝟏𝟐⁄
𝟎 𝟏 𝟐𝟏 𝟓⁄
𝟎 𝟎 −𝟑𝟕 𝟓⁄]
Matriz Triangular superior
𝐵 = [
−2 01 2
0 7
−1 05 04 2
−1 53 2
]
𝐹4 ↔𝐹4
2
[
−2 01 2
0 7
−1 05 02 1
−1 53 2⁄ 1
]
𝐹2 ↔ −7𝐹4 + 𝐹1
𝐹3 ↔ −5𝐹4 + 𝐹1
[
−16 −71 2
−21 2⁄ 0−1 0
−5 −52 1
−15 2⁄ 03 2⁄ 1
]
𝐹3 ↔𝐹3
−15 2⁄
[
−16 −71 2
−21 2⁄ 0−1 0
2 3⁄ 2 3⁄2 1
1 0
3 2⁄ 1
]
𝐹1 ↔ 21 2𝐹3 + 𝐹1 ⁄
𝐹2 ↔ 1𝐹3 + 𝐹2
[
−𝟗 𝟎𝟓 𝟑⁄ 𝟖 𝟑⁄
𝟎 𝟎𝟎 𝟎
𝟐 𝟑⁄ 𝟐 𝟑⁄𝟐 𝟏
𝟏 𝟎
𝟑 𝟐⁄ 𝟏
]
Matriz Triangular Inferior
𝐶 =
[ 8 −1 03 1 −12 2 −2
4 12 05 1
0 0 43 2 6
−1 6−1 1
]
𝐹1 ↔8
𝐹1
[ 8 −1 03 1 −12 2 −2
4 12 05 1
0 0 43 2 6
−1 6−1 1
]
𝐹2 ↔ −3𝐹1 + 𝐹2
𝐹3 ↔ −2𝐹1 + 𝐹3
𝐹5 ↔ −3𝐹1 + 𝐹5
[ 1 −1 8⁄ 00 11 8⁄ −10 9 4⁄ −2
2 1 8⁄
−4 −3 8⁄
1 3 4⁄0 0 40 19 8⁄ 6
−1 6−7 5 8⁄
]
𝐹2 ↔𝐹2
11 8⁄
[ 1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄
0 9 4⁄ −2
2 1 8⁄
−32 11⁄ −3 11⁄
1 3 4⁄0 0 40 19 8⁄ 6
−1 6−7 5 8⁄
]
𝐹3 ↔ −9 4⁄ 𝐹2 + 𝐹3
𝐹5 ↔ −19 8𝐹2⁄ + 𝐹5
[
1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄
0 0 −4 11⁄
2 1 8⁄
−32 11⁄ −3 11⁄
83 11⁄ 15 11⁄0 0 40 0 85 11⁄
−1 61 8⁄ 14 11⁄
]
𝐹3 ↔𝐹3
4 11⁄
[
1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄0 0 1
2 1 8⁄
−32 11⁄ −3 11⁄
−332 11⁄ −15 4⁄0 0 4 0 0 85 11⁄
−1 61 8⁄ 14 11⁄
]
𝐹4 ↔ −4𝐹3 + 𝐹4
𝐹5 ↔ −85 11⁄ + 𝐹5
[
1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄0 0 1
2 1 8⁄
−32 11⁄ −3 11⁄
−332 11⁄ −15 4⁄
0 0 0 0 0 0
−1449 121⁄ 21
1195 532⁄ 121 4⁄ ]
𝐹4 ↔−1449 121⁄
𝐹4
[
1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄0 0 1
2 1 8⁄
−32 11⁄ −3 11⁄
−332 11⁄ −15 4⁄
0 0 0 0 0 0
1 −69 121⁄
1195 532⁄ 121 4⁄ ]
𝐹5 ↔ −1195 532𝐹4 + 𝐹5⁄
[ 𝟏 −𝟏 𝟖⁄ 𝟎𝟎 𝟏 −𝟖 𝟏𝟏⁄𝟎 𝟎 𝟏
𝟐 𝟏 𝟖⁄
−𝟑𝟐 𝟏𝟏⁄ −𝟑 𝟏𝟏⁄
−𝟑𝟑𝟐 𝟏𝟏⁄ −𝟏𝟓 𝟒⁄
𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
𝟏 −𝟔𝟗 𝟏𝟐𝟏⁄
𝟎 𝟒𝟏 𝟏𝟑⁄ ]
Matriz triangular Superior
CONCLUSIONES
Mediante el desarrollo de los ejercicios se logró poner en práctica las propiedades
existentes y los conceptos estudiados para el desarrollo de los cálculos como suma, resta
y multiplicación entre determinantes
De igual manera la realización de actividades de vectores y sus graficas mediante el uso
del programa geogebra
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Vicerrectoria Académica y de Investigación (2015). Guía integrada de actividades
académicas, curso Algebra lineal (E-learning). Universidad Nacional Abierta y a
Distancia.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (2015) Campus virtual, Recuperado el 15 de
Septiembre de 2015, en
http://66.165.175.209/campus17_20152/mod/lesson/view.php?id=775