Cedart David Alfaro Sequeiros

Álgebra 1

Aldo Rivera Holguín

Grupo 1° 1

Álgebra: Es la rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas.

Su término proviene del latín que se deriva de un vocablo que significa reducción.

Aplicaciones: La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolverEcuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 =z2, con varias incógnitas. Los anticuados babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleandoEsencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron hábiles de solucionar ciertasEcuaciones indeterminadas.

Exponente:

El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Grados:

Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como gr(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.

Términos Algebraicos

Término AlgebraicoUn término algebraico consta de las siguientes partes:

Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-). Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera

de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores

Ejemplo:

En 7ab2c  ;  7 es coeficiente de ab2ca es coeficiente de 7b2c b2 es coeficiente de 7acc es coeficiente de 7ab2

En general, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.

Variable (o parte literal). Cantidad generalizada. Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la

cantidad generalizada o variable, por sí misma.

Ejemplos:

a) -2x2; Signo: negativo

Coeficiente: -2

Variable: x

Exponente: 2

b) ax2y3; Signo: positivo

Coeficiente: a

Variables: x , y

Exponentes: 2 (de la x)3 (de la y)

Sumas

a) (5a2_ 2a3+a) + (4a+3a2) + (5a3 – 2a + 7)

R= 3a3 + 8a2 + a + 7

Polinomio cúbico

b) (3/4x2 – 4/3x + 2) + (1/6x – 5/2x2 + 7/8)

R= 7/4x2 – 7/6x + 23/8

Trinomio cuadrático

c) (4y-5z+3) + (4z-y+2) + (3y-2z-1)

R= 6y – 3z + 4

Trinomio lineal

d) (1/2m2+3/5m-4/7) + (3/8m-5/4) + (5/3m-3/10m2)

R= 1/5m2 + 117/120m – 51/28

Trinomio cuadrático

e) (2pq-3p2q+4pq2) + (pq-5pq2-7p2q) + (-4pq2+3pq-p2q)

R= – 11p2q – 5pq2 + 6pq

Trinomio cúbico

Restas

a) (5m + 4n – 7) – (8n – 7) + (4m – 3n + 5) - ( -6m + 4n – 3)

R= 15m – 11n + 8

Trinomio lineal

b) (4m4 – 3m3 + 6m2 + 5m -4) - (6m3 – 8m2 – 3m + 1)

R= 4m4 – 9m3 + 14m2 + 8m – 5

Polinomio 4°

c) (6x5 + 3x2 – 7x + 2) - (10x5 + 6x3 – 5x2 – 2x + 4)

R= – 4x5 – 6x3 + 8x2 – 5x -2

Polinomio 5°

d) (–xy4 – 7y3 + xy2) + (– 2xy4 + 5y – 2) – (– 6y3 + xy2 + 5)

R= – 3xy4 – y3 + 5y – 7

Polinomio 4°

e) (1/6x + 3/8y – 5) - (8/3y – 5/4) + (3/2x + 2/9)

R= 5/3x – 15/24 – 127/36

Trinomio lineal

División Definir división algebraica:

La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

Propiedades de la división:No es conmutativa No es asociativaEs distributiva respecto a la suma y a la restaElementos de la división:Dividendo - - por lo que se divideDivisor - - lo que se divideCociente - - el resultadoResiduo - - lo que quedaResolver1.- 8m 9 n 2 - 10m 7 n 4 - 20m 5 n 6 + 12m 3 n 8 2m2n3

4m7/n – 5m5n – 10 m3n3 + 6m3n5

2.- 20x 4 – 5x 3 – 10x 2 + 15x -5x

4x3 + x2 + 2x - 33.- 4a 8 – 10a 6 - 5a 4 2a3

2a3+ 5a3 – 5 a 2

4.- 2x 2 y + 6xy 2 – 8xy + 10x 2 y 2

2xyx + 3y – 4 + 5xy

5.- 3x 2 + 2x – 8 X + 23x + 8

6.- 2x 3 – 4x – 2 2x+2X2 + x + 2

7.- 2a 4 – a 3 + 7a – 3 2a+3a3 – 2a2 + 3a – 1

8.- 14y 2 – 71y – 33 7y+32y - 11

Productos notables1.- definir que son los productos notablesLos productos notables son expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que se puede simplificar

2.- Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los productos notables vistos en clase (5 tipos) Binomio al cuadrado a – primer termino al cuadradob – doble producto del primero por el segundoc – cuadrado del segundo termino Binomio al cuboa - cubo del primer terminob – triple producto del cuadrado del primero por el segundo c – triple producto del cuadrado del segundo por el primerod – cubo del segundo termino Binomio con términos en comúna – cuadrado del comúnb – suma o resta de los no comunes por el comúnc – producto de los no comunes Binomios conjugadosa – cuadrado del primerob – cuadrado del segundo poniendo signo positivo Desarrollar los siguientes productos notables1.- (3a + 4)2

9a2 + 24ª + 162.- (2x2 – 5)2

4x4 – 20x2 + 25

3.- (7m + 8n)2

49m2 + 112mn + 64n2

4.- (4a + 5)3

64a3 + 240a2 + 300ª + 1255.- (2a3 – 7)3

8a9 – 84a6 + 294a3 - 496.- (5m + 4)3

125m3 + 300m3 + 240m + 647.- (3x + 2)4

81x4 + 864x3 + 419904x2 + 13824x + 16

8.- (2x2 – 4)5

243 + 101250 + 10.- (2x+3) (2x+5)4x2 + 16x + 811.- (x2 – 1) (x2 + 1)x4 - 1

12.- (m+4) (m-2)m2 -2m +213.- (3a – 7) (3a + 7)9a2 - 4914.- (5a+3b) (5a – 2b)25a2 – 5ab + 6b2

15.- (4x3 +3) (4x3 -3)16x9 - 9 16.- (a2 -1) (a2 -4)a4 -5a2 + 4

3.- investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras áreas.

Factorizacion1.- Define que es factorizacion

2.- Ilustra en un mapa conseptual los diversos tipos de factorizacion

3.- factoriza las siguientes expresiones

25a2 – 64b2 = (5ª + 8b) (5ª - 8b)

8m2 – 14m – 15 = (4m + 3) (2m -5)

x2 – 15x + 54 = (x-6) (x-9)

5x2 – 13x + 6 = (5x-3) (x-2)

5a2 + 10ª = 5ª (a + 2)

n2 – 14n + 49 = (n-7)2

x2 – 20x – 300 = (x-30) (x+10)

9x6 – 1 = (3x3 - 1) (3x3 + 1)

64x3 + 125 = (4x+5) (16x2 – 20x + 25)

x2 – 144 = (x+12) (x-12)

2x2 +11x +12 = (2x+3) (x+4)

4x2y – 12xy2 = 4xy (x-3y)

xw – yw + xz – yz = wz (x-y)

x2 + 14x 45 = (x+9) (x+5)

6y2 – y -2 = 3y-2 (2y+1)

4m2 – 49 = (2m+7) (2m-7)

x2 –x -42 = (x-7) (x+6)

2m2 + 3m – 35 = (2m -7) (m+5)

a2 – 24ª + 119 = (a-17) (a-7)

1.-investiga la aplicación de la factorizacion en la solución de ecuaciones cuadráticas

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Fracciones algebraicasRealiza las operaciones con fracciones algebraicas

X 2 – 16 x-4X2+8x+16 x+4

4x – 20x 4x x2-4x-5 x+1

3a - 9b 16a- 18b 2

x 2 -6x + 9 * x 2 + 6x+5 (x -3) (x+5) x2-7x +12 3x2+2x -1 (x-4) (3x-1)

7x+21 * x 2 -5xy + 4y2 7x – 7yx2-16y2 4x2 + 11x -3 (4x-1) (x +4y)

x 2 -3x -10 * 2x +10 2x+4 x2 -25 6x + 12 6x + 36

x-4 * 4x+8 4x+82x+8 x2-16 2(x+4)2

3x-15 / 12x +18 4x -20x+3 4x +12 4x+6

4x 2 -9 / 2x-3 4x 2 - 9 x+3y 2x+6y 2x-3

x 2 – 14x – 15 / x 2 – 12x – 45 x+1x2 – 4x – 45 x2 – 6x – 27 x+5

a-3 – a aa2-3ª+2 a2-4ª+ 3 (a-2)(a-1)2

2ª -4 + 4 (a-3) (a+2) (a+4) (a+3)

x + 2 (x-7)(x+2)1.- define que es una fracción compleja y da un ejemploFracción en la que el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones.

Ecuaciones lineales

1.- definir que es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuales son los principales métodos de resolución

2.- resolver las siguientes ecuaciones

a) 4(2x-3) + 5(x-5) = 7(x+2) – (3x+4) x = 55/9

b) 5x-3 + 2x= x+1 x = 30/34 4 3 2

c) 3 (4x+3) + 2x -3 (2-x) = 2+3 (x-4) +5x -2 x = -15/9

e) 5(2x-3) +4 (x+1)-5 = 2x-3 + x x = 7/6 2 3

d) 2x +5 – 3x = x+2 + 3x x =27/24 7 5 2

Graficasa) y = 5x-1

x = 0,1,2 y = -1,4,9 solución 0.2b) y = 2x+3

x = 0,1,2 y = 3,5,7 solución 1.5

c) y = 1/2 x + 2

x = 0,1,2 y = 2, 2.5, 3 solución = -4

1.- dos automóviles viajan por la misma carretera, uno se encuentra delante del otro, el que va adelante viaja a 60km/h mientras que el otro lo hace a 70km/h ¿Cuánto tiempo tardara el segundo automóvil en rebasar el primero?En 1 hora2.- una joyería vende su mercancía 50% mas cara que su costo, si vende un anillo de diamantes en $1500 ¿Qué precio pago al proveedor? $750

Resolver los sistemas de ecuaciones

2x – 3y = 4 x = 5/-1x – 4y = 7 y = 10/-1

4ª + b = 6 a = 20/173ª + 5b = 10 b = 37/17

m-n = 3 m = 21/7 3m + 4n = 9 indefinido

5p + 2q = -3 p = -3/-92p – q = 3 q = 9/ -9

x + 2y = 8 x = 16/-13x + 5y =12 y = -12/-1

3m + 2n = 7 m = -31/-17m – 5n = -2 n = -13/-17

2h – i = -5 h = 18/-23h – 4i = -2 i = 11/-2