Algebra(2) 5° 1 b

27 28COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to . Año Secundaria ÁLGEBRA5to Año Secundaria

13. Hallar x en :

a) 3 b) c)

d) e) N.a.

14. Resolver

a) 3 b) 3 2

c) 33

d) 38 e) N.a.

15. Resolver :

e indicar :

a) b) c) -7

d) e). N.a.

I. OBJETIVOS ESPECIFICOS. 1. Reconoce y define expresiones

algebraicas.2. Establece que las expresiones

algebraicas constituyen las piezas fundamentales del álgebra y de sus aplicaciones.

3. Opera con las expresiones algebraicas manejando con soltura las reglas adecuadas.

4. Modifica expresiones algebraicas, transformarlas para que adquieran una fisonomía favorable al uso que queramos hacer de ellas.

II. PROCEDIMIENTOS.

A. INICIALES .Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el Algebra se debió sobre todo a los matemáticos, árabes y, muy en particular, a A1 – Hwarizmi ( siglo IX d.C), que sentó las bases del Algebra tal como lo conocemos hoy en día.

B. DESARROLLO.DEFINICIONES.-El álgebra es la parte de la matemática que tiene por objeto generalizar todas las cuestiones que se puedan proponer sobre las cantidades.

Con frecuencia hacemos uso de símbolos para representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por ejemplo, podemos usar x para expresar un número real aunque no especifiquemos ningún número real en particular.Una letra que se utilice para representar cualquier elemento de un conjunto dado se llama VARIABLE.Un símbolo que representa a un elemento específico se llama CONSTANTE.A menos que se especifique otra cosa, las variables representan número reales.

EL DOMINIO DE UNA VARIABLE es el conjunto de números reales representados por la variable.

Para ilustrar esto, es un número real si y sólo si x 0; se deduce que en este caso, el dominio de x es el conjunto de los números reales no negativos.

Análogamente, cuando

consideramos la expresión

se debe excluir x = 2 para evitar la división entre cero; por lo tanto el dominio es el conjunto de todos los números reales diferentes de 2.

A este dominio, algunos autores, también les llaman DOMINIO DE DEFINICION; CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES O RECINTO DE VALORES ADMISIBLES.

Empezando con cualquier colección de variables y números reales, y aplicando sumas, restas,

multiplicaciones, divisiones o extracción de raíces, se obtiene una EXPRESION ALGEBRAICA. A continuación se dan ejemplos de expresiones algebraicas :

7x3 2xy5 + yz3

en donde x, y, z, w son variables.

Si se sustituyen las variables por números específicos en una expresión algebraica, al número real que resulte se le llama VALOR NUMERICO de la expresión para esos números. Por ejemplo, el valor de la segunda expresión anterior, cuando x = 2 e y = 3 es :

Al trabajar con expresiones algebraicas se supondrá que los dominios están elegidos de modo que las variables no representen números que hagan que las expresiones no tengan sentido. Se supone por tanto que los denominadores no deben ser cero.

Ciertas expresiones algebraicas tienen nombres especiales. Si x es una variable, entonces un MONOMIO EN x es una expresión de la forma axn, en donde el coeficiente a es un número real y n

S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

EXPRESIONES


es un entero no negativo llamado grado del monomio.

Un polinomio en x es cualquier suma finita de monomios en x. Otro modo de decirlo es el siguiente :

DEFINICION.-

En la definición anterior, cada una de las expresiones :

de la suma, es un TÉRMINO

del polinomio. Si el coeficiente es

cero, el término será omitido.

El coeficiente de la potencia más

alta de x es el COEFICIENTE

PRINCIPAL del polinomio y si 0,

se dice que el polinomio tiene

GRADO “n” . Cuando todos los

son distintos de cero, se dice que el polinomio ES COMPLETO aun cuando las potencias de x no conserven cierto orden y como todas las potencias de x disminuyen de uno en uno se dirá que tiene ORDEN DECRECIENTE aún cuando

algún sea cero, y si las potencias

de x se aumentan de un término a otro se dirá que tiene ORDEN CRECIENTE.

Por definición, dos polinomios son IDENTICOS si y sólo si son del mismo grado (términos semejantes), siendo los valores

numéricos iguales para cualquier valor que se le asigne a la variable (Conjunto de valores admisibles). Si todos los coeficientes del polinomio son cero, se obtiene el llamado POLINOMIO NULO que se denota por P(x , y) 0. Por costumbre, al polinomio nulo no se le asigna grado.

A continuación se dan algunos ejemplos de polinomios.

3x4 + 5x3 + (7) x + 4 ( grado 4 )x8 + 9x2 + (2) x ( grado 8 )5x2 + 1 ( grado 2 )7x + 2 ( grado 1 )5 ( grado 0 )

Si algunos de los coeficientes de un polinomio son negativos, entonces por conveniencia usaremos signos menos entre los términos adecuados. Por ejemplo, en lugar de : 3x2 + (5) x + (7)escribimos : 3x25x7

Se pueden considerar también polinomios con otras variables por ejemplo :

es un polinomio en z de grado 7. Generalmente colocamos los términos con las potencias de la variable en orden decreciente y escribimos :

De acuerdo con la definición de grado, si “c” es un número real diferente de cero, entonces “c” es un polinomio de grado cero.

Tales polinomio (incluyendo al polinomio nulo) se conocen como POLINOMIOS CONSTANTES.Un polinomio en x puede ser considerado como una expresión algebraica obtenida empleando únicamente sumas, restas y multiplicaciones que incluyen a x. En particular, las expresiones :

no son polinomios enteros en x pues existen divisiones entre variables, o raíces en las que existen variables.Los coeficientes de los polinomios se pueden elegir de algún sistema matemático distinto del de los números reales. Sin embargo, a menos que se especifique otra cosa, el término “POLINOMIO” se referirá siempre a un polinomio con coeficientes reales.

Puesto que los polinomios, y los monomios que constituyen los polinomios, son símbolos que representan números reales, todas las propiedades conocidas pueden aplicarse. Si se llevan a cabo sumas, restas y multiplicaciones con polinomios, se puede simplificar entonces el resultado haciendo uso de las propiedades de los números reales.

Ejemplo 1: Hallar la suma de los polinomios :x3 + 2x2 5x + 7 y 4x3 5x2 + 3

Resolución :

Reordenando los términos y aplicando las propiedades de los números reales tenemos :

( x3 + 2x2 5x + 7 ) + ( 4x3 5x2 + 3 )x3 + 4x3 + 2x2 5x2 – 5x + 7 + 3( 1 + 4 ) x3 + ( 2 5 ) x2 + ( 5 ) x + ( 7 + 3 )5x3 + 3x2 5x + 10

Es frecuente asignar letras mayúsculas P, Q, R, S y encerrar en paréntesis a la x, para distinguir un polinomio de otro y señalar las variables de la misma, así :

P (x) = 3 CONSTANTE; si es de grado cero.Q (x) = 4x + 5 LINEAL; cuando es

de primer grado R (x) = 2x2 +4x 2 CUADRATICO;

por ser de segundo grado. S (x) = x3 + 5x2 7x + 1 CUBICO;

siendo de tercer grado.Cuando el coeficiente principal es igual a la unidad se le llama :POLINOMIO MONICO como el polinomio S.

Cuando los coeficiente son primos entre si se dice que es un POLINOMIO PRIMITIVO como Q y S observando que R no es primitivo.

Es importante observar la siguiente propiedad para POLINOMIOS COMPLETOS :

Número de términos = grado + 1

Aclaramos que si dos polinomios son de distinto grado, en la suma o resta de los mismos prevalecerá el mayor de estos grados, así por ejemplo :

P(x)=2x3 + 4x2 5x + 7 ; Q (x) = 3x22x + 5


Un POLINOMIO EN x es una

expresión de la forma :


los grados de P y Q son respectivamente 3 y 2 ; luego :

P(x) + Q(x) = 2x3 + 7x2 7x + 12P(x) - Q(x) = 2x3 + x2 3x + 2

Cuyos grado que serán señalados con G ( de aquí en adelante) como :

G (P + Q) = 3G (P Q) = 3; son iguales al grado

de P que tiene mayor grado que Q.

Sin embargo, cuando los grados de P y Q son iguales el grado para la suma o resta será menor o igual que el grado común, ya que pueden eliminarse las mayores potencias de x.

También existen reglas prácticas para encontrar los grados de otras operaciones que se realicen con P y Q; así :

G ( PQ ): Se SUMAN los grados G ( P/Q ) : Se RESTAN los grados de

P y Q; siendo P de mayor grado que Q

G ( Pn ) : Se MULTIPLICA el grado de P por n.

: Se DIVIDE el grado de Q

entre n, siendo entero dicho resultado.

EL VALOR NUMERICO de un polinomio P se obtiene cuando se sustituye su variable por un número real “a”, se denota por P(a) ; así por ejemplo para P(x) = 2x2 + 3x 5

Si x = 2, resulta :

P(2) = 2 ( 2)2 + 3 (2) 5P(2) = 2 (4) 6 5

P(2) = 3

Los valores numéricos de uso frecuente son P(1) y P(0) que representan la SUMA DE LOS COEFICIENTES de P y su TERMINO CONSTANTE respectivamente .

DEFINICION.-

Pudiendo haber tantos ceros de acuerdo al grado de P y estos no son necesariamente reales. Esta definición se utilizará en el teorema del factor y en las funciones polinomiales que serán tratados más adelante :

Ejemplo 2: ¿ Los números 1; 2 y 3 son ceros de P(x) = x3 6x2 + 11x 6 ?

Resolución :

x = 1 ; P (1) = (1)3 6(1)2 + 11(1) 6 = 0

x = 2 ; P(2) = (2)3 6(2)2 + 11(2) 6 = 0

x = 3 ; P(3) = (3)3 6(3)2 + 11(3) 6 = 0

Luego 1; 2 y 3 son efectivamente ceros del polinomio.

Si el polinomio tiene más de una variable las definiciones se aplicarán independientemente para cada una de ellas. En cuanto al grado si tomamos en cuenta alguna variable en particular esta se llamará GRADO RELATIVO y será el exponente de la mayor potencia de la misma.

En cambio si se toman en cuenta todas las variables este grado se llamará GRADO ABSOLUTO que se obtiene de la mayor suma de exponentes de las variables en uno de sus términos.

Ejemplo 3 : Hallar los grados del polinomio .

P (x, y ) = 2x5 + 3x4 y2 5 y3

Resolución :

Los exponentes de las variables son :

Exponente de x: 5 40

Exponente de y : 02 3

Sumas en cadatérmino : 5 6 3

Luego : GR ( x ) = 5GR ( y ) = 3GA ( P ) = 6

Donde GR : grado relativoGA : grado absoluto

DEFINICION .-

En la práctica bastará notar que los grados absolutos de cada uno de los monomios de P sean iguales.

Esta definición se utiliza principalmente el CALCULO INTEGRAL y DIFERENCIA para determinar si una función es homogénea.

PRACTICA DE CLASE

01. Si : P(x) = .

Hallar P[2 - P(0)]

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

02. Siendo: P(x+7)=

. Determinar P(x).

a) x2-x+7 b) x2 - 7x - 3 c) x2+7x +3d) x2 - 4x +7 e) N.a.

03. Si: F(x+1) = 4x - 3. Hallar F(x - 2)

a) 4x - 11 b) 4x + 1 c) 4x - 15d) 2x + 15 e) 15x - 4

04. Siendo F( +1) = 3x +

2. Obtener F(x)

a) 3x2 - 6x +5 b) 2x2 - 7x + 3c) 3x2 - 5x + 6 d) 6x2 - x + 3e) x2 - 5x + 6

05. Si : P(x+4) = 3x - 1. Determinar el valor de “K” en : P(K) + P(K + 1) = 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

06. Cuando “x” varía de -0,2 a -0,2; la expresión:


Se llama cero de un polinomio P al número “a” de modo que P(a) = 0

Un polinomio P de variable x e y se dice homogéneo si y sólo si :

P(kx; ky) = Kn P(x; y)

para cualquier k real no nulo y

distinto de la unidad, de grado de


P(x) =

a) aumenta en 1/10b) disminuye en 1/10c) disminuye en 5/66d) aumenta en 5/66e) permanece constante

07. Si: p(2) . p(4) . p(6) ... p(2n) = 145; donde :

p(x) = . Calcular “n”.

a) 72 b) 145 c) 73d) 146 e) 147

08. Si: P(x) = .

Calcular el valor de :P (P (P (P (P (P (P (3) ) ) ) ) ) )

a) 11/12 b) 12/11 c) 3d) 1/3 e) 1

09. De la expresión:

Hallar el valor de .

a) 16 b) 64 c) 128d) 256 e) 512

10. Si :

P(x)=

Encuentre:

a) 99 b) 101 c) 97d) 103 e) 0

11. Calcular H(3) a partir de: H(x)=F(x+1)+G(x-1)

donde: F(x-1) = y

G(x+1) =

a) 4 b) 6 c) 32d) 8 e) 35

12. Sabiendo que P(x+2) = 6x+1 y además:P[F(x)] = 12x - 17. Calcular F(15).

a) 20 b) 17 c) 25d) 29 e) 8

13. Si: P(x - 3)=5x - 7 y P[F(x)+2]= 10x - 17. Hallar: F(x - 2).

a) 2x - 11 b) x - 10 c) 2x + 7d) 3x - 11 e) 2x - 5

14. Si se cumple: (f(x) - 1) = 2x + 4 (x) = x + 2Halle: f(2)

a) 7 b) 5 c) 3d) 1 e) 0

15. Si: P(x) = x ; y P[A(x) + B(x)] = 4x + 6

P[A(x) - 2B(x)] = x + 12Evalúe : A [B(1)]

a) 0 b) 5 c) 7d) 15 e) 20

16. Si :

. Calcular F(1).

a) b) c)

d) e)

17. Dar el valor de :

sabiendo que :

a) 55 b) 65 c) 77d) 100 e) N.a.

18. Si : P(x) = y

P[P(x)] =

Hallar “a+b+c”

a) 23 b) 26 c) 29d) 3 e) N.a.

19. Si: P(x) = ax+b, además P(P (P (x))) 4x+3

Calcular el valor de : E = P

a) 1 b) 0 c) 2d) -2 e) -1

20. Si: = x + 1.

Obtener P(x).

a) 2x - 7 b) 2x + 7 e) -2x+7d) -2x-7 e) 2x + 21

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Hallar la suma de coeficientes del siguiente trinomio:

a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 10

02. Si: .

Hallar el grado absoluto de:

03. ¿Cuántas letras se deben tomar para que el grado absoluto del monomio:

sea 6006?

04. Siendo P(x, y) un polinomio donde:

Calcular el grado absoluto mínimo que puede tomar P(x, y)

05. Si se cumplen:

Siendo (a + b+ c) un número comprendido entre 180 y 318. Calcule el grado relativo a x del polinomio:

; sabiendo que esto posee un grado absoluto mínimo

06. Si el grado de es

44y el grado de es 3. Calcular

el grado de , siendo P y Q

dos polinomios de grados desconocidos

a) 33 b) 42 c) 24d) 12 e) 1089

07. Señalar el coeficiente del monomio S(x, y) =

, si es de

noveno grado y de octavo grado relativo a “y”

a) 50 b) 100 c) 150d) 200 e) 250

08. Sabiendo que el grado de la expresión:



es - 5. Calcular el

valor de “n”

a) 20 b) 24 c) 30d) 38 e) 48

09. Calcular m + n, si el polinomio:

es de grado 10 y la diferencia entre los grados relativos “x” e “y” es 4

a) 2 b) 4 c) 10d) 14 e) 6

10. En el polinomio: P(x+1) =

,

donde “n” es impar, la suma de coeficientes y el término independiente suman 1, entonces el valor de “n” es:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 9

TAREA DOMICILIARIA

01. Calcular la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo:

P(x;y)=

a) 13 b) 15 c) 17d) 19 e) 21

02. Si se conoce que el polinomio:

P(x,y) =

es homogéneo. Calcular:

a) 0,01 b) 10 c) 100d) 1000 e) N.a.

03. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo:

P(x;y) =

para que sea de grado 45 con respecto a “y”.

a) 16 b) 8 c) 14d) 15 e) 17

04. Calcular “ab” en el siguiente polinomio homogéneo:

P(x,y,z) =

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 8

05. Si el polinomio:

P(x) =

es completo y ordenado en forma ascendente. Hallar el valor de “m+n+p”.

a) 35 b) 36 c) 37d) 38 e) 39

06. Sabiendo que el polinomio:

P(x) =

es completo y ordenado decrecientemente.

Calcular :

a) 2 b) c)

d) 3 e) 4

07. Calcular la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado:

P(x) = ;

abcd

a) 24 b) 44 c) 10d) 34 e) 14

08. El polinomio completo y ordenado:

P(x ; y)

que también es homogéneo, se verifica que la suma de los grados absolutos de sus términos s 240, según esto halle Ud. su grado de homogeneidad.

a) 20 b) 15 c) 10d) 15 e) 25

09. La suma de los grados absolutos de todos los términos de un polinomio homogéneo y completo de dos variables es 600. ¿Cuál es su grado absoluto?

a) 12 b) 30 c) 24d) 30 e) 25

10. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma decreciente:

P(x) =

a) 5 b) 3 c) 6d) 4 e) 7

11. Si el polinomio ordenado decreciente y completo:

P(x) = ....

posee “2c” términos. Hallar “a + b + c”.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

12. Calcular “abc”, si:

P(x)=

es completo y ordenado en forma ascendente.

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

13. Dado el polinomio mónico:

P(x) =

donde a R. Hallar la suma de sus coeficientes.

a) 10 b) 13 c) 14d) 15 e) 17

14. Calcular , si se

cumple:

a) 16 b) 2 c) 4

d) 6 e)

15. Si: a(x+b) + b(x+a) x + 26. Hallar el valor de:

E =

a) 1 b) 2 c) 13

d) e)

16. Hallar “k”, si se cumple:

a) 6 b) 8 c) 7d) 5 e) 10

17. Hallar (A+B+C) si se tienen los polinomios idénticos:

P(x) = A(x+2) (x-2) + B(x+2) (x-1) + C(x-1)

Q(x) =

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) -2



18. Calcular: “a+b+c+d” ; si :

a) 2 b) 4 c) 7d) 11 e) 23

19. Si se cumple que:

determinar: a,b y c.

Señalar:

a) 2 b) 3 c) -3d) -2 e) 1

20. Indicar el valor de (a+b+c) si:

a) cero b) -6 c) 7d) -13 e) 10


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