Algunas rarezas de los números
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1 Algunas rarezas de los números De Fermat a nuestros días Esteban di Tada
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Algunas rarezas de los números. De Fermat a nuestros días. Esteban di Tada. Teoría de números. Los griegos fueron de los primeros en estudiar los números por sus características como objetos matemáticos y no por su capacidad para medir otros cosas - PowerPoint PPT Presentation
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Algunas rarezas de los números
De Fermat a nuestros días
Esteban di Tada
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Teoría de números
• Los griegos fueron de los primeros en estudiar los números por sus características como objetos matemáticos y no por su capacidad para medir otros cosas
• Los nombres más conocidos son Pitágoras (Escuela pitagórica), Euclides,
Eratostenes, Diofanto de Alejandría, Apolonio de Perga, Thales de Mileto
3ArquímedesEuclides
PitágorasThales
4
5Arquímedes
6
Euclides
7Newton Euclides
8
De Pitágoras a nuestros días
• Luego de Pitágoras (500 AC) , Euclides (300 AC), Diofanto (250 AC) recién en 1600 DC Fermat descubre una serie de teoremas y enuncia una serie de conjeturas. Entre ellos el mas famoso el ultimo teorema de Fermat recientemente demostrado y la conjetura de la suma de cuatro cuadrados.
• La conjetura de Bachet (1581-1639) de la suma de cuatro cuadrados demostrada en 1770 por Lagrange
• Conjetura de Goldbach (1742) de la descomposición de los pares como suma de dos primos (Carta a Euler)
• La conjetura de Waring (1736-1738)como una generalización del teorema de Lagrange. Para todo n existe un k=g(n) tal que todo entero es la suma de k potencias enésimas demostrado por Hilbert en (1909)
• A partir de comienzos del siglo XX y hasta nuestros días las investigaciones han sido muy numerosas. Los números y, en particular los números primos, tienen, además, importancia económica
9
10
Pitágoras: Los números perfectos y amigos
• Números perfectos son aquellos que son iguales a la suma de sus divisores propiostales como– 6=1+2+3– 28=1+2+4+7+14– 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
• Números amigos son los pares de números tales que uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro y viceversa– Pythagoras (500 AC)
• 220=2^2*5*11• 284=2^2*71
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Otros números Amigos
Euler 1750
95629904=2^4*67*37*2411
97580944=2^4*67*227*401
Euler 1747 15002464=2^5*37*12671
15334304=2^5*227*2111
Euler 1747 26090325=3^2*5^2*17*19*359
26138475=3^2*5^2*11*59*179
12
Otros ejemplos más grandes
• Pedersen 2003– 1166272602736224266707048119503431034883322
95458784464835242446315448286006716741401830901755615547162624= 2^16*65543*536929279*282066837170927*149497683300793879*1199196214338989844846588218221893481765892668493256559
– 116629039891540693588026406591556963915638136947981387755655217384623948147217326705121886548319891685376= 2^16*1484008956492907099828927704703093577919588799*1199196211370994579713255113164450533225918589610229759
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El teorema de Lagrange
• Fermat (1601-1665) y Bachet (1581-1638) enunciaron que todo número entero es la suma de cuatro cuadrados – 21=52+12+12+22
– 5343=12+22+32+732
– 5343127=12+22+492+23112
– 5343127=12+22+492+23112
– 534312723311=1352+2532+11612+7309662
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Como se demuestra• El producto de la suma de dos o cuatro cuadrados es una suma
de dos o cuatro cuadrados respectivamente
222222
222222
14431254)4512)(3423(
)()())((
bababa
222222222222
2
222
22222222
3463463281626)34756015)(98114(
Ejemplo
cBbCdAaD
dBcAbDaCdCcDbAaBdDcCbBaA
DCBAdcba
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Consecuencia
• Por lo tanto dado el teorema fundamental de la
aritmética que todo numero es un producto de
números primos es solo necesario demostrar
que todo número primo puede representarse
como a lo sumo la suma de cuatro cuadrados
perfectos
16
Todo número primo puede representarse como la suma de
cuatro cuadrados perfectos
• El teorema es más fácil si el primo es de la forma p=4n+1. En este caso será la suma de a lo sumo dos cuadrados. Ejemplo 41 = 52 + 42
• En ambos casos el mecanismo de la demostración es encontrar primero cuatro cuadrados cuya suma sea igual a un múltiplo del número primo y luego ir transformando la ecuación hasta encontrar una solución
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Esquema de demostración
• Dado un numero primo p encontrar a , b y n tal que
npba 122
Sea p=31. La siguiente ecuación satisface las condiciones establecidas
82+112+12=186=6*3152+62+42+42=93=3*31
62+42+12+32=62=2*31. 52+12+22+12=31
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El problema de Waring
• En su libro Meditationes Algebraicae Waring propuso una
generalización del teorema de Lagrange de la suma de
cuatro cuadrados. Conjeturó que para todo n existe un
número g(n) tal que todo natural es la suma de g(n)
potencias enésimas de números enteros y donde g(n) es
solamente función de n. Waring estimó que g(2)=4, g(3)=9 y
g(4)=19. En 1909 Hilbert probó la conjetura empleando
identidades de integrales múltiples en un espacio de 25
dimensiones. Lagrange demostró que g(2) = 4. En 1909,
Wieferich probó que g(3)=9.
20
Algunos valores de g(n)
22
32)(
nnng
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
n
g(n)
n g(n)2 43 94 195 376 737 1438 2799 548
10 107911 213212 422313 838414 1667315 3320316 6619017 13205518 26361919 52650220 1051899
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Densidad de Schnirelmann (Siglo XX)
• La densidad de Schnirelmann de una secuencia de números se emplea para medir cuan densa es en relación con los naturales.
• Intuitivamente se podría conjeturar que hay más números impares que cuadrados perfectos. Sin embargo ambos conjuntos son enumerables y por lo tanto existe una función biyectiva que los pone en correspondencia. Este concepto fue el introducido por Cantor en la teoría de conjuntos. Sin embargo la densidad de Schnirelmann no es equivalente al concepto de equipolencia. La densidad del conjunto de los cuadrados de los naturales, si bien es equipolente al conjunto de los naturales, tiene densidad nula.
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Definición Sea . Se definirá donde el símbolo # denota la cardinalidad de un
conjunto. Coloquialmente A(n) es la cantidad de elementos del conjunto A no mayores que n. La densidad de Schnirelmann se define como
n
nAA
ninf)(
NA nAnA ...3,2,1#)(
Nótese que se emplea ínfimo para garantizar la existencia de la densidad independientemente de la sucesión que se considere.
23
Ejemplo
• A={1,2,3,6,7,8,9………… (A)=0.6
n A(n) A(n)/n1 1 12 2 23 3 34 3 0.755 3 0.66 4 0.677 5 0.718 6 0.759 7 0.767….. ….. ….
Densidad
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20 25 30 35
24
Otro ejemplo• A={1,5,9,13,…… (A)=0.25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 20 40 60 80 100 120
25
Propiedades
La densidad de Schnirelmann tiene las siguientes propiedades para NA
nnAnA
AA
NAA
AnnAn
A
)(::00)(.5
0)(1.4
1)(.3
)()(:.2
1)(0.1
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Suma directa
A={1,3,4,7} B={2,3,8,9}
Se define como suma directa al conjunto que se
obtiene de sumar un numero de A con uno de B
AB={3,4,5, 6,7,9,10, 11,12,13,15,16}
Formalmente:
xBABAx :
27
Teorema de Schnirelmann y Mann
)()()()()( BABABA
n
jjn AAAA
121 11)...(
)()()()( BABANBA
NBABA 1)()(
NAAAkANAvecesk
...:0)(:
28
Ejemplo
Sea un conjunto A tal que (A)=0,17
Aplicando
5254.017.01111)( 44
1
j
AAAAA
NBABA 1)()( Por lo tanto Aplicando
NAAAAAAAA
AAAAAAAA
)(
10508.1)(
A es una base aditiva de orden 8
29
Bases Aditivas
• El subconjunto A N se llama base aditiva si satisface la condición
NAAAvecesk
...
• El menor valor de k se llama grado de la
base. El teorema de Lagrange se puede
enunciar: “El conjunto de los cuadrados de
los enteros es una base aditiva de orden 4”
30
Ejemplos
Densidad de los números primos
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
Densidad de la sucesión n2
0.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000
31
Densidad de los Primos y sumas
32
Densidad de primos y suma de dos primos
33
La conjetura de Goldbach• La conjetura original de Goldbach, también llamada la conjetura de
Goldbach ternaria, fue establecida en el año 1742 en una carta que le envió a Euler y en la que decía que “parece que todo número mayor que 2 es la suma de tres números primos”. Es de recalcar que Goldbach consideraba que el 1 era primo, convención que no se emplea actualmente. Posteriormente fue reestablecida por Euler esta conjetura por una más fuerte llamada “conjetura fuerte de Goldbach” que establece que todos los números positivos mayores o iguales a cuatro pueden ser representados como la suma de dos primos. En otras palabras dado un entero positivo n existen dos primos p,q tal que p+q=2n. Formalmente sería
• El par (p,q) se lo conoce como la partición de Goldbach. • La editorial Faber and Faber ofreció un premio de 1.000.000 de
dólares a quien demostrara la conjetura de Goldbach. Pero no hay que ponerse contento porque el plazo venció el 20 de marzo del 2002.
nqpPqpNn 2:,:
34
Dado que 20 = 1 + 19 = 3 + 17 = 7 + 13, los pares R20 ={(1,19),(3,17),(7,13)}
Estos conjuntos constituyen una partición del conjunto de los primos y reciben el nombre de particiones de Goldbach. La función
mide la cardinalidad de estos conjuntos
Las Particiones de Goldbach
qpaNaRqp a :,
Si se definen los conjuntos Ra
nRn #)(
35
Justificación de la conjetura de Goldbach
n
)ln()ln(1
}Pr{pnp
primosqyp
nn
nln
La función que mide la cantidad de números primos menores o iguales que n tiene una aproximación asintótica
Si p+q=n entonces p=n-q. Si n es par ¿cuál es la probabilidad que n y q sean primos? Dada la expresión de sería n
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Justificación de la conjetura de Goldbach
Si bien desde el punto de vista riguroso hay muchas fallas como por ejemplo suponer que el hecho que p y n-p sean primos son eventos estadísticamente independientes (Por ejemplo si n es impar luego n-p es impar y los números impares tienen más probabilidades de ser primos) da algo de luz sobre el problema. Puede demostrarse que el promedio de las diferentes formas en que se pueden sumar dos primos para dar n será
que tiende a infinito para n tendiendo a infinito
2)ln(2 nn
37
Algunos comentarios
• Es razonable pensar que las particiones de Goldbach son menos numerosas para los números impares ya que la suma de dos primos impares es un número par. Solo serán impares aquellos números primos en cuya suma aparezca un dos como sumando (único primo par). Esto nos lleva a otro de las curiosidades de los números: los primos gemelos y su conjetura
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La conjetura de los números primos gemelos
• Un par de números primos (p,q) tales que q =p+2 reciben el nombre de primos gemelos.
• Se conjetura que existen infinitos primos gemelos pero no se ha podido demostrar aun.
• Se conjetura que la función que los cuenta es
........660161815,0
1
11
ln2
22
222
p
x
pcdonde
xdt
cx
39
Números gemelos
40
Representación gráfica para n par
)(ln2 2 nn
41
Cardinalidad de las particiones de Goldbach (para números impares)
0
1
2
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
42
Que pasa con tres primos
43
Cardinalidad de las particiones de suma de tres primos
0
200
400
600
800
1000
1200
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
44
Cardinalidad de las particiones de suma de tres primos pertenecientes a la clase residual 4 modulo 6
0
5
10
15
20
25
30
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Cardinalidad de las particiones de suma de tres primos pertenecientes a la clase residual 2 modulo 6
0
10
20
30
40
50
60
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Particiones de Goldbach para la suma de tres primos0 Modulo 6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 200 400 600 800 1000 1200
45
Cardinalidad de las particiones de suma de tres primos pertenecientes a la clase residual 5 modulo 6
0
200
400
600
800
1000
1200
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Cardinalidad de las particiones de suma de tres primos pertenecientes a la clase residual 1 modulo 6
0
200
400
600
800
1000
1200
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Particiones de Goldbach para la suma de tres primos3 Modulo 6
0
200
400
600
800
1000
1200
0 200 400 600 800 1000 1200
46
Suma de cuatro primos
47
Suma de cuatro primos
48
FIN
