Análisis entre técnica de paralelismo y técnica de bisectriz
Algunos usos de simetrías y reflexiones con la bisectriz ... · PDF filesi y...
-
Upload
truongtram -
Category
Documents
-
view
220 -
download
2
Transcript of Algunos usos de simetrías y reflexiones con la bisectriz ... · PDF filesi y...
IV Torneo Matemático TriangularAragón – La Rioja – Navarra
Tudela, 11 de marzo de 2017
Algunos usos de simetrías y reflexiones
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Algunos usos de simetrías y reflexionescon la bisectriz como referencia
Daniel Lasaosa Medarde
Índice
•Resultados conocidos
•Definiciones básicas
•Primeras consecuencias
•Distancias a puntos de tangencia
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Semejanzas con exinradios y alturas
•La bisectriz y la circunferencia circunscrita
•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos
•Resultados conocidos
•Definiciones básicas
•Primeras consecuencias
•Distancias a puntos de tangencia
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Semejanzas con exinradios y alturas
•La bisectriz y la circunferencia circunscrita
•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos
Resultados conocidos (I)Arco capaz, cuadriláteros cíclicos, teorema del seno
A
O
A'
O
A
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
B C
D
BDCBACBOC ∠−°=∠=∠ 23602 ARBACR
CBARBC
sin2sin2
'sin2
=∠=∠=
O
B C
Resultados conocidos (II)Potencia, ángulos semiinscritos
A
P
U
O
TU
W
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
B
V
O
VBPAUPBVPPAU ∠=∠∠=∠ ,
( )( ) 22 ROPROPROP
PVPUPBPA
−=+−=
⋅=⋅
O
V
TUV, WTV, WUT son semejantes 2WT WU WV
UTW TVU TPU
= ⋅∠ = ∠ = ∠
P
Resultados conocidos (III)Teoremas del coseno y de Stewart
CA
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
A BD
( )( ) ( )
22 2
2 2
2 2
cos sin
2 cos
BC AB AD CD
AB AC A AC A
AB AC AB AC A
= − +
= − +
= + − ⋅
ADBCDADCDADAC
ADBBDADBDADAB
∠⋅++=∠⋅−+=
cos2
cos2222
222
DB C
CDBDBC
BDACCDABAD ⋅−⋅+⋅=
222
•Resultados conocidos
•Definiciones básicas
•Primeras consecuencias
•Distancias a puntos de tangencia
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Semejanzas con exinradios y alturas
•La bisectriz y la circunferencia circunscrita
•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos
Algunas definiciones básicas (I)
Bisectrices de dos rectasBisectriz de un ángulo
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Algunas definiciones básicas (II)
Bisectrices internas y externas
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Resultados conocidos
•Definiciones básicas
•Primeras consecuencias
•Distancias a puntos de tangencia
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Semejanzas con exinradios y alturas
•La bisectriz y la circunferencia circunscrita
•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos
Primeras consecuencias (I)Puntos a igual distancia de dos rectas
P'
r
P
Q
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Un punto está a la misma distancia de dos rectas no paralelas dadas,si y sólo si está en una de las bisectrices de los ángulos formados por éstas
P'' s
P
Primeras consecuencias (II)Existencia de incentro
A
I
d
d
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Las bisectrices interiores de un triángulo coinciden en un punto,que es el centro de una circunferencia tangente a los tres lados.
BC
d
Primeras consecuencias (III)Existencia de exincentros
A
BC
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Las bisectrices exteriores de dos ángulos del triángulo, y la bisectriz interiordel tercero, coinciden en un punto, que es el centro de una circunferencia,
tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos.
d
d
d
Ia
Primeras consecuencias (IV)Teorema de la bisectriz (I)
A
cABBD ==
AC
CD
CDA
CAD
BDA
BAD
AB
BD =∠∠=
∠∠=
sin
sin
sin
sin
Usando el teorema del seno
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
La bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en dos segmentos, que están enrelación de proporcionalidad directa con los lados adyacentes.
B CD
b
c
AC
AB
CD
BD ==
cb
caBD
+=
cb
baCD
+=
Primeras consecuencias (V)Teorema de la bisectriz (II)
( )( )
( )2
22
2
2
222
cb
acbbc
cb
bcabc
CDBDBC
ABCDACBDAD
+−+=
+−=
⋅−⋅+⋅=
Usando el teorema de Stewart
A
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
B CD
( ) ( )2
222
2222 2
cos4cos12
cb
Acb
cb
AcbAD
+=
++=
Aplicando el teorema del coseno
2cos
2 A
cb
bcAD
+=
Ejemplo de aplicación (1)Problema 3, OME 2007 (Solución 1)
Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que parte de A cortaal lado opuesto en P. Probar que se cumple AP2++++OA2−−−−OP2====bc.
Solución:
La potencia de P respecto a lacircunferencia circunscrita a ABC es
A
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
circunferencia circunscrita a ABC es
CPBPOPOAOPR ⋅=−=− 2222
222222
2 OPOAbcOPRbcCPBPBC
ABCPACBPAP +−=+−=⋅−⋅+⋅=
Usando el teorema de Stewart
B CP
O
Primeras consecuencias (VI)Simétricos del ortocentro respecto de los lados
AHb
H
BBCHBAH −°=∠=∠ 90
Por ser cada altura perpendicular al lado opuesto
Luego
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
El simétrico del ortocentro H de ABC, respecto de cada lado de este triángulo,está sobre la circunferencia circunscrita a ABC.
B C
H
Ha
Hc
BCHBAHBAHBCH aa ∠=∠=∠=∠
•Resultados conocidos
•Definiciones básicas
•Primeras consecuencias
•Distancias a puntos de tangencia
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Semejanzas con exinradios y alturas
•La bisectriz y la circunferencia circunscrita
•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos
Distancias a puntos de tangencia (I)Circunferencia inscrita
A
I
xx
yz
=+=+=+
cyx
bxz
azy
V
W
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
La distancia desde el vértice A a los puntos de tangencia de la circunferenciainscrita con los lados AB, AC es (b++++c−−−−a)/2.
BC yz
z
2
acbx
−+=
U
Ejemplo de aplicación (2)Problema 2, Ibero 1990
En el triángulo ABC, sea I el centro de la circunferencia inscrita, y D, E, Fsus puntos de tangencia con los lados BC, CA, AB respectivamente. Sea P el
otro punto de intersección de la recta AD con la circunferencia inscrita, y M el punto medio de EF. Demuestra que P, I, M, D están alineados o son concíclicos.
A
El triángulo AEF es isósceles en A,
Solución:
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
B CD
E
F
I
MP
El triángulo AEF es isósceles en A,luego la bisectriz de A y la altura desde A
en AEF coinciden, y M está en AI.Como AME y AEI son semejantes,
usando la potencia de A respecto de lacircunferencia inscrita se tiene
ADAPAEAIAM ⋅==⋅ 2
Distancias a puntos de tangencia (II)Circunferencias exinscritas
A
BC U
x
xy
=++=+
ayx
ybxc
2
cbax
−+=2
bacy
−+=
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
La distancia desde el vértice A a los puntos de tangencia de la circunferenciaexinscrita opuesta, con las prolongaciones de los lados AB, AC, es (a++++b++++c)/2.
Ia
V
Wx
y
2
cbaxcyb
++=+=+
Distancias a puntos de tangencia (III)Circunferencias inscrita y exinscritas
UVM
A
BC
I
2
cbaCUBV
−+==
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
El punto de tangencia del lado BC con la circunferencia inscrita, y con laexinscrita opuesta a A, son simétricos respecto del punto medio de BC.
VM
Ia
Distancias a puntos de tangencia (IV)Cuadriláteros circunscriptibles
r r
rr
A
B
D I
T
W
xx
y
yt
t
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Un cuadrilátero convexo admite circunferencia inscrita si y sólo si las longitudesde dos lados opuestos suman lo mismo que las otras dos.
C
UV
zz
t
DABCtzyxCDAB +=+++=+
•Resultados conocidos
•Definiciones básicas
•Primeras consecuencias
•Distancias a puntos de tangencia
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Semejanzas con exinradios y alturas
•La bisectriz y la circunferencia circunscrita
•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos
Semejanzas con exinradios (I)
U
A
BC
Ir
2
acbAU
−+=2
cbaAV
++=
cba
acb
AV
AU
r
r
a ++−+==
Por semejanza de AIU, AIaV
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
La suma de los inversos de los exinradios es igual al inverso del inradio.
V
Ia
ra
rrrr cba
1111 =++
cbaAVra ++
Semejanzas con exinradios (II)
U
V
A
BC
I
B'C'
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
El vértice A, el punto de tangencia del lado BC con la circunferencia exinscritaopuesta, y el punto diametrálmente opuesto al de tangencia de la circunferencia
inscrita con BC, están alineados.
Ia
Semejanzas con exinradios (III)
U
A
BC
I
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
El vértice A, el punto de tangencia del lado BC con la circunferencia inscrita,y el punto diametrálmente opuesto al de tangencia de la circunferencia
exinscrita opuesta con BC, están alineados.
V
Ia
B'C'
Semejanzas con alturas
I
A
ha
rh
AI
r
IA
h
AA
aa −== ''
Por semejanza de AA'Ha y IA'T
Usando conocidas relacionespara el área S de ABC
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Podemos expresar los cocientes entre distancias desde vértice a incentro y apie de la bisectriz, en función de altura e inradio, luego en función de lados.
B CHa T A'
r
para el área S de ABC
a
cba
r
ha ++=
Ejemplo de aplicación (3)
Problema 1, IMO 1991Dado un triangulo ABC, sea I el centro del círculo inscrito. Las bisectrices internas
de los angulos A, B, C cortan a los lados opuestos en A', B', C', respectivamente.Demostrar que
27
8
'''4
1 ≤⋅⋅⋅⋅<CCBBAA
CIBIAI
Solución: Por el resultado anterior, y el problema es equivalente a
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Solución: Por el resultado anterior,
cba
cb
S
arS
h
rh
AA
AI
a
a
+++=−=−=
2
2
'
y el problema es equivalente a
( )( )( )( ) 27
8
4
13 ≤
+++++<
cba
accbba
( )( )( )( ) uvwpwuvwuvp
wpvpupp
++++=
+++<3
3
2
2Para la desigualdad de la izquierda,
cpw
bpv
apu
cbap
2
2
2
−=−=−=
++=
•Resultados conocidos
•Definiciones básicas
•Primeras consecuencias
•Distancias a puntos de tangencia
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Semejanzas con exinradios y alturas
•La bisectriz y la circunferencia circunscrita
•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos
La bisectriz y la circunferencia circunscrita (I)A
B
I
N
°=∠ 90MAN
Luego MN es diámetro
CAMBAM ∠=∠
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Las bisectrices interna y externa del ángulo A, cortan por segunda vez a lacircunferencia circunscrita en dos puntos diametralmente opuestos,
situados sobre la mediatriz de BC.
BC
M
d dCMBM =
Luego M está en la mediatriz de BC
CAMBAM ∠=∠
Ejemplo de aplicación (4)Problema 4, Ibero 2009
Sea ABC un triángulo con incentro I, y sea P el punto de intersección de labisectriz exterior del ángulo A con el circuncírculo de ABC. La recta PI corta porsegunda vez al circuncírculo de ABC en el punto J. Pruebe que los circuncírculos
de los triángulos JIB y JIC son respectivamente tangentes a IC e IB.
Solución:
Por ángulos semiinscritos, basta con
AP
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Por ángulos semiinscritos, basta condemostrar que ∠BJP+∠BIC=180°.Pero como PQ es mediatriz de BC,
y diámetro de la circunferencia circunscrita,∠BJP=∠BQP=90°−∠BPQ =90°−∠BAQ.
Luego ∠BJP=(B+C)/2 =180°−∠BIC.
Q
CB
I
J
La bisectriz y la circunferencia circunscrita (II)
2
CABAMICBICM
+=∠+∠=∠
Luego ICM es isósceles en M
ICMCA
CMAICMCIM
∠=+=
=∠−∠−°=∠
2
180
A
I
N
d
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
El segundo punto de corte de la bisectriz de A con la circunferencia circunscritaes centro de una circunferencia que pasa por B, C y el incentro I.
Luego ICM es isósceles en MBC
M
dd
d
IMCMBM ==
La bisectriz y la circunferencia circunscrita (III)Fórmula de Euler para el triángulo
AI
Rr
AI
MNIUCMIM
2=⋅==
Los triángulos MCN y IUA son semejantes
A
I
N
U
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
La potencia del incentro respecto a la circunferencia circunscrita es 2Rr.La distancia entre incentro y circuncentro cumple OI2====R2−−−−2Rr.
RrIMAI 2=⋅
BC
M
•Resultados conocidos
•Definiciones básicas
•Primeras consecuencias
•Distancias a puntos de tangencia
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
•Semejanzas con exinradios y alturas
•La bisectriz y la circunferencia circunscrita
•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos
Bisectriz y cuadriláteros cíclicos (I)
A
B
P
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
C
D
El triángulo APD se puede obtener como sigue: se refleja el triángulo CPBsobre la bisectriz de BPC, y se amplía con factor de escala PD/PB====PA/PC.
Los triángulos APD y CPB son semejantes
Ejemplo de aplicación (5)Problema G4, lista corta IMO 2009
Dado un cuadrilatero cíclico ABCD, sean E el punto de interseccion de lasdiagonales AC y BD, y F el punto de intersección de las rectas AD y BC. Lospuntos medios de AB y CD son G y H, respectivamente. Demuestra que EF
es tangente a la circunferencia circunscrita al triangulo EGH.
Solución:
Obtenemos AUB reflejandoy escalando CED. Al
A
D
E
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
y escalando CED. Alser AEB y DEC semejantes,
G es punto medio de UE.De forma similar obtenemosV y H es punto medio de EV.
U
V
BC
F
GH
Como U y V se obtienen reflejando y escalando EF, UV es simétrica deEF respecto de la bisectriz de ∠AFB. Como EV y EU se obtienen una de
otra por reflexión y escalado, ∠EHG=∠EVF=∠FEU.
Trazando el círculo de diámetro BC quecorta a AB, AC en F, E, se tiene que∠AEB=∠AFC=90°, luego E, F sonlos pies de las alturas desde B, C.
Además AEF se obtiene a partir de ABCpor reflexión y escalado.
Bisectriz y cuadriláteros cíclicos (II)Simetría de AH y AO respecto de la bisectriz de A
A
E
FO
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
El triángulo formado por los pies de las alturas desde B, C, y el vértice A,forman un triángulo que se obtiene de ABC por reflexión y escalado.
Esa misma transformación convierte la recta AH en la recta AO.
B CD
F
H
O
BAHBAOCCAO ∠=−°=∠−°=∠ 902
190
Como AOC es isósceles en O,
Ejemplo de aplicación (6)
Solución:
Problema 3, OME 2007 (Solución 2)Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que parte de A corta
al lado opuesto en P. Probar que se cumple AP2++++OA2−−−−OP2====bc.
A
Aplicando el teorema del coseno a AOP,obtenemos:
OAPAPROPOAAP ∠⋅=−+ cos2222
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
B CPQ
O
OAPAPROPOAAP ∠⋅=−+ cos2222
Como ∠OAP=∠QAP, APcos∠OAP=AQ,Luego usando conocidas relaciones para
el área S de ABC, tenemos
bca
RSAQROPOAAP ==⋅=−+ 4
2222
Ejemplo de aplicación (7)Problema 3, OME 2016
Sea A' el punto diametralmente opuesto al vértice A del triángulo ABC en lacircunferencia circunscrita, y sea A1 el punto en el que la recta AA' corta al lado BC.
La perpendicular a AA1 trazada por A1 corta a los lados AB y AC (o a susprolongaciones) en M y N, respectivamente. Demostrar que los puntos
A, M, A' y N están en una circunferenciacuyo centro se encuentra en la altura desde A en el triángulo ABC.
A
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
Solución:A
BC
N
M
O
A'
A1
A''
A2
El triángulo ANM es el resultado dereflejar y escalar el triángulo ABC.
Por ese mismo escalado A''se convierte en A'.
1
2
'
''
AAAA
AA AA= O' Aplicamos a la circunferencia de
ABC ese escalado, y pasa por los 4puntos pedidos. Su centro está en la
simétrica de AO respecto de la bisectriz
Ejemplo de aplicación (8-1)
Solución:
Problema 6, IMO 2008Sea ABCD un cuadrilátero convexo con AB≠≠≠≠BC. Se sabe que existe un círculoΓΓΓΓ tangente a la semirrecta BA más allá de A, a la semirrecta BC más allá de C,y a las rectas CD, DA. Demostrar que las tangentes externas comunes de las
circunferencias inscritas en ABC y ACD, se cortan en un punto de ΓΓΓΓ.
Por las simetrías en los puntos de tangencia,
; ; ; DVDUPUPTBWBT ===
B
A
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
. ; ;
; ; ;
CWCUAVATQWVQ
DVDUPUPTBWBT
======
A
C
D
Z
T
U
V
W
PQ
CDBCDUCUCWBW
DVAVATBTADBA
+=−+−=−+−=+
Luego
Solución (cont.):B
A
C
D
X
Y'
X'
Y
CYADACCDBCACAB
AX =−+=−+=22
Los puntos B, X', Y están alineadosLos puntos D, X, Y' están alineados
Ejemplo de aplicación (8-2)
Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017
Aragón – La Rioja – Navarra
D
Z
Un escalado desde B nos permite llevar X' alpunto de Γ donde la tangente es paralela a AC
Un escalado desde D nos permite llevar Y' alpunto de Γ donde la tangente es paralela a AC
En ese punto Z de Γ convergen X'Y, XY'.