República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Universidad Fermin Toro

Facultad de Ingenieria

Alumna:

Edgflormar Peña

CI: 19.639.634

1. Encuentre la función de convolución y grafíquela, con respecto a las funciones dadas:

La convolución entre las funciones f y g, viene dada en la forma:

y ( t )=f (t )∗g ( t )=∫−∞

∞

f (τ )g ( t−τ ) dτ

Escritas en términos de la función escalón unitario, las funciones f y g tienen la forma:

f (t )=2u ( t+2 )−2u (t−2 )

g ( t )=3u (t+3 )−3u(t−3)

y:

f ( τ )=2 [u (τ+2 )−u (τ−2) ]

g (t−τ )=3 [u ( t−τ+3 )−u (t−τ−3)]

Entonces sustituimos en la integral de convolución y resolvemos adecuadamente:

y (t )=∫−∞

∞

2 [u (τ+2 )−u(τ−2)] {3 [u ( t−τ+3 )−u (t−τ−3) ] }dτ

¿6 [∫−∞

∞

[u (τ+2 )u(t+3−τ )]dτ−∫−∞

∞

[u ( τ+2 )u (t−3−τ) ]dτ ]

+6 [−∫−∞

∞

[u (τ−2 )u(t+3−τ)] dτ+∫−∞

∞

[u (τ−2 )u(t−3−τ )] dτ ]

De las gráficas y de acuerdo al solapamiento de estas se observa que:

y (t )=6[u( t+5)∫−2

t+3

dτ−u( t+1)∫−2

t−3

dτ−u (t−1)∫2

t+3

dτ +u(t−5)∫2

t−3

dτ ]

Finalmente:

y (t )=6 [ ( t+5 )u ( t+5 )−( t−1 )u ( t−1 )−( t+1 )u ( t+1 )+( t−5 )u(t−5)]

La representación gráfica de y(t) se muestra en la figura de abajo:

2. Encuentre la función de convolución y grafíquela, con respecto a las funciones dadas:

f(t) vamos a escribirla representada mediante la función escalón unitario:

f ( t )=2u (t+1 )−2u (t−1)

g(t); puede ser representada empleando la función rampa en la forma:

g (t )=32r (t+2 )−3 r (t )=3 [ r (t+2 )

2−r (t )]

que también puede escribirse así:

g (t )={3( t2+1);−2< t<0

3 (−t2 +1)0<t<2

0otros valoresde t

Vamos a escribir tanto a f como a g empleando la variable τ :

f ( τ )=2u (τ+1 )−2u(τ−1)

g ( t−τ )={3 ( t−τ2+1);−2< t−τ<0

3(−t−τ2+1)0< t−τ<2

0otros valoresde t

={3 ( t−τ2+1); t< τ<t+2

3( τ−t2+1) t−2<τ< t

0otrosvalores de t

En esta gráfica se observa el solapamiento entre las funciones f y g. El solapamiento entre las dos señalesestá presentadapor la zona rayada; es decir en el intervalo que va desde -1 hasta t+2 y el otro desde t-2 hasta 1. El resultado analítico de la convolución entre f y g es entonces:

y ( t )=3[∫−1

t+2

( τ−t2+1)dτ+∫

t−2

1

( t−τ2+1)dτ ]

¿3[ 12∫−1

t+2

τdτ+(1− t2 )∫

−1

t+2

dτ+(1+ t2 )∫

t−2

1

dτ−12 ∫t−2

1

τdτ ]

Al resolver y evaluar se consigue el resultado:

y ( t )=32 [ t2 ( t+2 )−(t−2 ) ( t+3 )+ 1

2( t−1 ) ( t−3 )−(t+2)( t−3)]

La gráfica en la parte inferior muestra el resultado de la convolución de f y g.