5/9/2018 Analisis Dimensional - slidepdf.com

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ANALISIS DIMENSIONAL

Los fines de la formulación dimensional son:

1.  Verificar cualitativamente la homogeneidad dimensional de las ecuaciones que

representan las leyes físicas.

2.  Determinar las dimensiones de los coeficientes empíricos y en su caso identificar

sus magnitudes.

3.  Generalización de resultados

4.  Formular leyes de semejanza para diseño de experimentos y/o simulación en

laboratorio.

Las magnitudes físicas se cuantifican en términos de las dimensiones fundamentales:

En el Sistema Internacional (SI): [M, L, T]

En el Sistema Gravitacional (Sistema Técnico): [F, L, T]

TEOREMA π (Buckingham – Vaschy)

Toda relación dimensionalmente homogénea como la relación representada por la

ecuación: 0 )A, . . . ,A,A,A(F m321 = , entre m magnitudes físicas Ai 

susceptibles de ser expresadas en términos de n magnitudes físicas fundamentales de

medida, implica la existencia de otra relación de la forma:

0 ), . . . ,,,(f  n-m321 =ππππ , entre m-n parámetros: iπ .

Donde los iπ tienen propiedades de ser : funciones monómicas, adimensionales e

independientes entre si; y son los productos de grupos distintos de las potencias de:

A, . . . ,A,A,A m321 , de la forma:

m321 k

m

k

3

k

2

 k

1i A. . .AAA=π  

Los exponentes k  j ( j = 1, 2, . . . , m) se relacionan entre si de acuerdo con lasdimensiones de cada magnitud (variable) A i , de tal manera que con las n dimensiones

fundamentales se obtiene un sistema de n ecuaciones lineales con m variables:

k 1, k 2, . . . , k m.

LA ECUACION GENERAL DE LA HIDRAULICA

El análisis y planteamiento del problema general del flujo de agua en la hidráulica a

partir del análisis dimensional luego de un vasto análisis y reflexión se formaliza de la

siguiente manera:

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

Se elegirán n de las m magnitudes físicas Ai para que aparezcan en cada uno de los

( m -n ) paramentos iπ , las cuales se llamaran variables repetitivas y deben cumplir

las siguientes propiedades:

a) En conjunto deben contener las n magnitudes físicas fundamentales

b) En el caso de la hidromecánica serán: una dimensión geométrica importante, una

propiedad intrínseca del fluido y una característica cinemática del flujo.

c) Si de la función: 0),...,,,(f  n-m321 =ππππ se desea despejar una de las variables,

esta no debe usarse como variable repetitiva.

LA ECUACION GENERAL DE LA HIDRULICA

0 )E,,,, ,v,d,,cb,a,(F =σμ γρΔp

0 ), ,,,,,,(f  8321 =ππππππππ 7654  

Donde: Evdcba  111098754321 kkkkkkkkkk

i σμ γρΔ=π 6k p

Cada parámetro tiene sus dimensiones en el sistema M, L, T; de acuerdo a la matriz:

a b c d v pΔ   ρ    γ   μ   σ   E

M 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

L 1 1 1 1 1 -1 -3 -2 -1 0 -1

T 0 0 0 0 -1 -2 0 -2 -1 -2 -2

De donde, tomando como variables repetitivas a, v, ρ ; resulta:

b

 a b va

1-zyx

1111 =ρ=π  

c

 a c va 1-zyx

2222 =ρ=π  

d

 a d va 1-zyx

3333 =ρ=π , rugosidad relativa

Eu p

v p va

 21-zyx

4444 =

Δ

ρ=Δρ=π ; Número de Euler

Fr  / a

 v 

v va

221-zyx

5555 =

ρ γ=

 γ

ρ= γρ=π

a; numero de Froude

Re  / 

 av 

va va

1-zyx

6666 =

ρμ=

μ

ρ=μρ=π ; numero de Reynolds

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We  / 

av 

va va

221-zyx

7777 =

ρσ=

σ

ρ=σρ=π ; numero de Weber

Ma Ca E/ 

 v 

E

 v E va

221-zyx

8888 ==

ρ=

ρ=ρ=π ; numero de Cauchy o Mach

)/ E

 v 

 / 

 va 

 / 

 va ,

/ a

 v 

 / p

 v 

d

 a 

c

 a ,

 b

 a (f  

2222

ρρσρμρ γρΔ,,,,,

Despejando el número de Euler, se tiene la velocidad del flujo en función de los otros

números y/o parámetros; y representa la ecuación general de la hidráulica obtenida a

partir del análisis dimensional.

)Ca We,Re, Fr, ,d

 a

 ,c

 a

 ,b

 a

 ( 

p

 v  Φρ

Δ

=  

La magnitud de las dimensiones geométricas y velocidad del flujo a superficie libre en

la naturaleza son grandes para que pueda ser perceptible la influencia de la tensión

superficial y por tal razón y por tanto se la omite en la solución; de manera análoga

ocurre con el coeficiente de elasticidad volumétrica E, puesto para este tipo de flujo no

interesa la deformabilidad volumétrica del agua o la transmisión de ondas de presión

por el agua, por consiguiente también se descarta para el flujo a superficie libre.

Por tanto la ecuación para flujo a superficie libre queda:

)Re Fr, ,d

 a ,

c

 a ,

b

 a ( 

p v  Φ

ρ

Δ=  

Esta simplificación, enfoca el análisis en términos de la geometría del flujo, la

rugosidad relativa, el número de Froude que representa la influencia de las fuerzas del

peso propio del agua y el número de Reynolds que representa la influencia de las

fuerzas de disipación de energía debido a la viscosidad del fluido.