2.1. Los siguientes datos se obtuvieron contando el número de vehículos que cruzan por un punto fijo de una avenida durante intervalos de un minuto. Los 54 conteos se hicieron a lo largo del mismo día. Construya una tabla de dos encabezados mostrando la frecuencia de cada medición obtenida.

Número de vehículos frecuencia Número de vehículos frecuencia

20 3 30 2Número de vehículos por minuto 21 1 31 3

28 30 25 36 24 27 33 26 29 22 3 32 332 25 20 28 20 27 31 23 27 23 3 33 2

24 34 25 24 22 26 28 38 32 24 4 34 2

26 30 37 21 28 31 38 28 27 25 4 35 0

23 32 39 26 29 33 28 20 22 26 5 36 1

23 25 34 24 26 31 27 22 27 27 6 37 1

28 6 38 229 2 39 1

a) Porcentaje de minutos con 30 o mas vehículos.a = 17 x 100 / 54 = 31.5%

b) Porcentaje de minutos con menos de 25 vehículos.b = 14 x 100 / 54 = 25.9%

c) Porcentaje de minutos con mas de 28 y 32 o menos vehículos.c = 10 x 100 / 54 = 18.5%

2.2. A continuación se presentan 103 determinaciones del contenido de ácido ascórbico en el jugo de toronja.

0,49 0,56 0,53 0,58 0,53 0,48 0,46 0,41 0,43 0,500,49 0,47 0,46 0,43 0,38 0,39 0,51 0,51 0,50 0,450,42 0,43 0,42 0,40 0,49 0,47 0,48 0,41 0,44 0,390,35 0,33 0,35 0,40 0,43 0,47 0,47 0,46 0,48 0,500,45 0,50 0,42 0,38 0,41 0,35 0,32 0,33 0,33 0,380,40 0,45 0,50 0,41 0,45 0,48 0,43 0,48 0,47 0,370,42 0,36 0,34 0,34 0,36 0,42 0,40 0,44 0,47 0,460,50 0,44 0,43 0,41 0,40 0,38 0,41 0,36 0,36 0,340,36 0,40 0,43 0,47 0,48 0,46 0,34 0,37 0,34 0,350,37 0,39 0,38 0,41 0,46 0,43 0,42 0,44 0,38 0,360,36 0,33 0,33

a) ¿Que inconveniente tendría en este caso una tabla como la del problema 2.1?R = La naturaleza de los datos ya no es discreta y hace difícil la clasificación de los datos.

b) Elija límites de clases adecuados para los datos y construya una tabla de frecuencias con límites y valor medio de clase, frecuencias abs. y frecuencias rel., frecuencias abs. acumuladas y frecuencias rel. acumuladas.

limite de clase valor medio de clase Frecuencia abs. Frecuencia rel. Frecuencia abs. acum.. Frecuencia rel. acum..(0,31 - 0,33] 0,32 6 0,058 6 0,058(0,33 - 0,35] 0,34 9 0,087 15 0,146(0,35 - 0,37] 0,36 10 0,097 25 0,243(0,37 - 0,39] 0,38 9 0,087 34 0,33(0,39 - 0,41] 0,40 13 0,126 47 0,456(0,41 - 0,43] 0,42 14 0,136 61 0,592(0,43 - 0,45] 0,44 8 0,078 69 0,67(0,45 - 0,47] 0,46 13 0,126 82 0,796(0,47 - 0,49] 0,48 9 0,087 91 0,883(0,49 - 0,51] 0,50 8 0,078 99 0,961(0,51 - 0,53] 0,52 0 0 99 0,961(0,53 - 0,55] 0,54 2 0,019 101 0,981(0,55 - 0,57] 0,56 1 0,01 102 0,99(0,57 - 0,59] 0,58 1 0,01 103 1

2.3. Los siguientes son conteos del número de cromosomas en una herbácea.

1

24 28 28 28 27 28 29 29 29 30

29 30 30 29 31 29 31 24 28 29

28 24 28 29 31 31 24 28 29 30

29 28 30 33 28 34 38 28 32 33

28 31 32 34 39 40 31 35 27 28

31 35 30 29 24 28 31 32 28 32

28 29 30 33 41 30 29 42 28 29

32 33 30 28 28 31 32 28 29 30

28 28 31 34 34 28 36 31 36 35

a) Construya una tabla de dos encabezados mostrando la frecuencia de cada conteo.

número de cromosomas frecuencia número de cromosomas frecuencia24 5 34 425 0 35 326 0 36 227 2 37 028 23 38 129 15 39 130 10 40 131 11 41 132 6 42 133 4

b) Construya una tabla de frecuencias que le permita contestar las siguientes preguntas:

valor de la clase

Frecuencia abs.

Frecuencia rel.Frecuencia abs.

acum.Frecuencia rel.

acum.24 5 0,06 5 0,0625 0 0 5 0,0626 0 0 5 0,0627 2 0,02 7 0,0828 23 0,26 30 0,3329 15 0,17 45 0,530 10 0,11 55 0,6131 11 0,12 66 0,7332 6 0,07 72 0,833 4 0,04 76 0,8434 4 0,04 80 0,8935 3 0,03 83 0,9236 2 0,02 85 0,9437 0 0 85 0,9438 1 0,01 86 0,9639 1 0,01 87 0,9740 1 0,01 88 0,9841 1 0,01 89 0,9942 1 0,01 90 1

1. ¿Qué porcentaje de células tienen 32 cromosomas o menos?De acuerdo con la frecuencia acumulada se obtiene que el 80% de las células tienen 32 cromosomas o menos

2. ¿Qué porcentaje de células tienen más de 28 cromosomas?De acuerdo con la frecuencia acumulada se obtiene que el 33.3% de las células tienen 28 cromosomas o menos, por lo tanto las células que tienen mas de 28 cromosomas es: 100 – 33.3 = 66.6%

2

3.1. En seguida se presenta el número de terremotos ocurridos en cada una de las horas lunares durante cierto tiempo.

hora lunar (y)

número de terremotos (x)

hora lunar (y)

número de terremotos (x)

hora lunar (y)

número de terremotos (x)

0 7 9 2 18 51 2 10 0 19 92 3 11 5 20 23 5 12 3 21 24 8 13 4 22 55 5 14 5 23 26 8 15 9 24 77 6 16 98 1 17 6

Con estos datos evalúe:

a) 120

b) 300

c) 10

d) 147

e) 81

f) 28-40 = -12

g) 28 – 5 = 23

h) 2.8(25) (300) = 21000

i) 151

j) 252 = 625

k) 162

l) 27x22=594

3.2. Use la notación de sumatoria para abreviar las siguientes expresiones:

a) X8 + X9 + X10 + X11 =

b) X2 + X4 + X6 + X8 + X10 =

c) X1 + X22 + X3

3 + X44 + X5

5 + X66 =

d) X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 =

e) 8X1 + 7X2 + 6X3 + 5X4 + 4X5 + 3X6 + 2X7 + 1X8 - X10 =

f)

3.3. Demuestre las siguientes propiedades:

3

a)

b)

3.4. el gerente de una tienda de auto servicio que permanecerá abierta de las 6 de la mañana a las 12 de la noche, cuenta un día el número de cliente que pasan por las cajas registradoras durante cada una de las 18 horas. Los resultados obtenidos son: 21, 45, 30, 48, 56, 77, 60, 59, 23, 42, 36, 49, 73, 96, 90, 71, 42, 23. Calcule media y mediana del número de clientes por hora.

Mediana: (48+49) / 2 =48.5

Media: 52.27

3.5. Calcule media, moda y mediana del número de vehículos por minuto en el ejercicio 2.1. Localice estas medidas en el diagrama de puntos obtenidos en el ejercicio 2.6 y comente sobre su posición relativa.

Número de vehículos frecuencia Número de vehículos frecuencia20 3 30 221 1 31 3

22 3 32 3

23 3 33 2

24 4 34 2

25 4 35 0

26 5 36 1

27 6 37 1

28 6 38 2

29 2 39 1

3.12. Con los conteos de cromosomas del ejercicio 2.3 elaboramos la siguiente tabla e frecuencias:

Mediana: 27

Moda: 27.5

Media: 27.8

Media > moda > mediana

2021222324252627282930313233343536373839

4

Número de cromosomas por planta

Frecuencia

(23,26] 5(26,29] 40(29,32] 27(32,35] 11(35,38] 3(38,41] 3(41,44] 1

a) Calcule media, mediana, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación del número de cromosomas por planta usando la tabla.

Intervalo Valor medio, Xi Frecuencia, ni xi ni xi2 ni (xi - )2 (xi - )2ni

(23-26] 24.5 5 122.5 3001.25 28.44 142.22(26-29] 27.5 40 1100 30250 5.44 217.78

(29-32] 30.5 27 823.525116.7

50.44 12

(32-35] 33.5 11 368.5012344.7

513.44 147.89

(35-38] 36.5 3 109.50 3996.75 44.44 133.33(38-41] 39.5 3 118.50 4680.75 93.44 280.33(41-44] 42.5 1 42.50 1806.25 160.44 160.44

Σ= 90 2685 81196.5 1094

Media:

Mediana: se encuentra entre el dato 45 y 46, por lo tanto: (27.5 + 30.5) / 2 = 29 cromosomas

Varianza:

Desviación estándar: S = √S2 = 3.5 cromosomas

Coeficiente de variación:

b) Calcule estas medidas en los datos individuales y compárelas.

Número de cromosomas

frecuencia abs

xi ni xi2 ni (xi - )2 (xi - )2ni

24 5 120 2880 40.25 201.2625 0 0 0 28.56 026 0 0 0 18.87 027 2 54 1458 11.19 22.3728 23 644 18032 5.5 126.4229 15 435 12615 1.81 27.1130 10 300 9000 0.12 1.1931 11 341 10571 0.43 4.7332 6 192 6144 2.74 16.4533 4 132 4356 7.05 28.2134 4 136 4624 13.36 53.4535 3 105 3675 21.67 65.0236 2 72 2592 31.99 63.9737 0 0 0 44.3 038 1 38 1444 58.61 58.6139 1 39 1521 74.92 74.9240 1 40 1600 93.23 93.2341 1 41 1681 113.54 113.54

5

42 1 42 1764 135.85 135.85Σ= 90 2731 83957 1086.32

Media:

Mediana: se encuentra entre el dato 45 y 46, por lo tanto: (29 + 30) / 2 = 29.5 cromosomas

Varianza:

Desviación estándar: S = √S2 = 3.49 cromosomas

Coeficiente de variación:

Las diferencias observadas se deben al ancho elegido de los intervalos de clases. Se conoce cuantos datos existen en el intervalo pero no su distribución dentro de él, lo que lleva a errores en el cálculo de las medidas descriptivas.

3.14. En seguida se presentan los porcentajes de población y de inversión del gasto público del gobierno federal en cada una de las entidades federativas de la Republica Mexicana:

Entidad (X) (Y) Entidad (X) (Y) Entidad (X) (Y) Entidad (X) (Y)

Aguascalientes 0,7 0,5Distrito Federal

14,2 29,8 Morelos 1,3 0,5 Sinaloa 2,6 8,2

B. California Norte 1,8 1,9 Durango 1,9 1,8 Nayarit 1,1 0,6 Sonora 2,3 2,5B. California Sur 0,3 1 Guanajuato 4,7 2,1 Nuevo León 3,4 1,5 Tabasco 1,6 2,1

Campeche 0,5 1,2 Guerrero 3,3 2,9 Oaxaca 4,5 4,1Tamaulipa

s3 3,2

Chiapas 3,2 5,4 Hidalgo 2,5 1,2 Puebla 5,2 1,1 Tlaxcala 0,9 0,4Chihuahua 3,3 4,8 Jalisco 6,8 3,1 Querétaro 1 1 Veracruz 7,9 3,6

Coahuila 2,3 2,3 México 7,9 3,3Quintana

Roo0,2 1 Yucatán 1,6 1,2

Colima 0,5 0,8 Michoacán 4,8 3,6S. Luis Potosí

2,7 2 Zacatecas 2 1,3

Para resolver se construye la siguiente tabla:

xi (xi - )2 yi (yi - )2 (xi - ) (yi - )Aguascalientes 0,7 3,125 5,88063 0,5 3,125 6,890625 6,365625

B. California Norte 1,8 3,125 1,75563 1,9 3,125 1,500625 1,623125B. California Sur 0,3 3,125 7,98063 1 3,125 4,515625 6,003125

Campeche 0,5 3,125 6,89063 1,2 3,125 3,705625 5,053125Chiapas 3,2 3,125 0,00563 5,4 3,125 5,175625 0,170625

Chihuahua 3,3 3,125 0,03063 4,8 3,125 2,805625 0,293125Coahuila 2,3 3,125 0,68063 2,3 3,125 0,680625 0,680625Colima 0,5 3,125 6,89063 0,8 3,125 5,405625 6,103125

Distrito Federal 14,2 3,125 122,656 29,8 3,125 711,5556 295,425625Durango 1,9 3,125 1,50063 1,8 3,125 1,755625 1,623125

Guanajuato 4,7 3,125 2,48063 2,1 3,125 1,050625 -1,614375Guerrero 3,3 3,125 0,03063 2,9 3,125 0,050625 -0,039375Hidalgo 2,5 3,125 0,39062 1,2 3,125 3,705625 1,203125Jalisco 6,8 3,125 13,5056 3,1 3,125 0,000625 -0,091875México 7,9 3,125 22,8006 3,3 3,125 0,030625 0,835625

Michoacán 4,8 3,125 2,80563 3,6 3,125 0,225625 0,795625Morelos 1,3 3,125 3,33063 0,5 3,125 6,890625 4,790625Nayarit 1,1 3,125 4,10063 0,6 3,125 6,375625 5,113125

Nuevo León 3,4 3,125 0,07563 1,5 3,125 2,640625 -0,446875Oaxaca 4,5 3,125 1,89063 4,1 3,125 0,950625 1,340625Puebla 5,2 3,125 4,30563 1,1 3,125 4,100625 -4,201875

Querétaro 1 3,125 4,51563 1 3,125 4,515625 4,515625Quintana Roo 0,2 3,125 8,55563 1 3,125 4,515625 6,215625

6

S. Luis Potosí 2,7 3,125 0,18062 2 3,125 1,265625 0,478125Sinaloa 2,6 3,125 0,27562 8,2 3,125 25,75563 -2,664375Sonora 2,3 3,125 0,68063 2,5 3,125 0,390625 0,515625

Tabasco 1,6 3,125 2,32563 2,1 3,125 1,050625 1,563125Tamaulipas 3 3,125 0,01562 3,2 3,125 0,005625 -0,009375

Tlaxcala 0,9 3,125 4,95063 0,4 3,125 7,425625 6,063125Veracruz 7,9 3,125 22,8006 3,6 3,125 0,225625 2,268125Yucatán 1,6 3,125 2,32563 1,2 3,125 3,705625 2,935625

Zacatecas 2 3,125 1,26563 1,3 3,125 3,330625 2,053125Σ= 100 257,88 100 822,20 354,96

a) Calcule , Sx, Sy, C.V. (x) y C.V. (y).

Al observar la naturaleza de los datos se decide hacer un análisis estadístico poblacional, debido a que se considera al 100% de la población mexicana y se requieren las medidas descriptivas de la población.

Para X Para Y

Promedio = = 3.125 = = 3.125

Varianza σy2 = = 8.058 σy

2 = = 26.522

Desviación estándar σX = = 2.838 σy = = 5.15

Coeficiente de variación C.V.(X) = = 0.908 C.V.(Y) = = 1.648

b) Dibuje el diagrama de dispersión de datos y calcule SXY y rXY. Interprete el signo y la magnitud de rXY con la ayuda de su diagrama.

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 % Población

% In

vers

ión

Covarianza:

7

Coeficiente de correlación:

Se puede observar claramente una tendencia directamente proporcional en el diagrama de dispersión, lo que queda demostrado con la magnitud y el signo del valor de rXY.

El coeficiente de determinación es (rXY)2 = 0.575; por lo tanto se puede afirmar que el 57.5% de la variación en el porcentaje de inversión del gasto publico se debe a la variación en el porcentaje de la población nacional; lo que es bastante aceptable para suponer un comportamiento lineal.

c) Observe cuidadosamente su diagrama de dispersión. El punto (14.2, 29.8) corresponde al Distrito Federal, se aparta notablemente de la tendencia del resto de los datos. Elimine ese punto y repita los cálculos de los incisos a y b. Interprete los cambios en las medidas descriptivas. En particular observe la reducción en SY, C.V.(Y) y rXY.

Al eliminar el valor del D.F. se obtienen los siguientes valores:n = 31 Σyi = 70.2 Σ(yi - )2 = 87.69

Σxi =85.8 Σ(xi - )2 = 131.27 Σ(xi - )(yi - ) = 244.3

Para X Para Y

Promedio = = 2.767 = = 2.264

Varianza Sy2 = = 4.375 Sy

2 = = 2.923

Desviación estándar Sy = = 2.091 Sy = = 1.709

Coeficiente de variación C.V.(X) = = 0.755 C.V.(Y) = = 0.754

Covarianza:

Coeficiente de correlación:

El coeficiente de determinación es (rXY)2 = 0.217; por lo tanto se puede afirmar que solo el 21.7% de la variación en el porcentaje de inversión del gasto publico se debe a la variación en el porcentaje de la población nacional.

Con esta información se descarta la posibilidad de que exista una correlación lineal, tal como se observa en la siguiente tabla de dispersión:

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 % Población

% In

vers

ión

Se observa que al eliminar el valor del Distrito Federal: x9, y9 (14.2, 29.8) se disminuye notablemente su contribución en la sumatoria de (yi - )2 con ello se trae la particular reducción de los valores de SY, C.V.(Y) y rXY.

9