1

9 Análisis límite

Rótulas plásticas

Convenio de signos:Se debe definir la fibra interior de la viga (línea punteada bajo la viga como muestra la figura 8.18).Consideramos momentos flectores positivos a aquellos que extienden o traccionan la fibra interior.En cuanto a la representación gráfica, se dibujan los momentos flectores positivos del lado de la fibra de referencia.

Figura 9.1 Figura 9.2

Concepto de rótula plástica:Vamos a suponer que el comportamiento de la sección de máximo momento se puede analizar como si existiese una rótula

de rozamiento que permanece rígida siempre que PMM < , y que permite la rotación de los dos tramos a partir del instanteen que el momento alcanza su valor plástico PM .

M

MP

ρ1

real

teoría

Entonces en las zonas de momento máximo se forman rótulas plásticas en las cuales la barra se comporta como siestuviese articulada, aunque la rótula opone a la rotación un momento resistente constante de valor PM .

Figura 1n

σfl

εfl

σ

ε

2

σ ε εfl σfl

σfl σfl

ε > εfl σfl

σfl

σfl σfl

ε >> εfl σfl

Figura 3

Rótula de fricción:Permite rotación relativa de los tramos una vez que el momento supera el momento de plastificación PM de la sección.

Descripción del proceso de ruina plástica de una estructura hiperestática simple con h = n.

Consideremos una estructura hiperestática plana formada por vigas, cargada en su plano y sometida a un sistema defuerzas. Consideremos que todas las fuerzas están multiplicadas por un factor que llamaremos factor de carga y notaremoscon la letra λ .

Suponemos que para el factor de carga 1=λ en ninguna sección de la estructura se ha superado el momento deplastificación de la misma.

Si el factor de carga λ crece lo suficiente, se va a alcanzar en alguna sección de la estructura el momento de plastificación

PM . En este proceso de carga el diagrama de momentos crece proporcionalmente con el valor de λ . En la sección en la quese alcanzó PM se va a generar una rótula plástica. La generación de la rótula nos transforma la estructura en una estructurahiperestática 1nh −= .

Si el factor de carga λ sigue aumentando, la plastificación de una sección produce una redistribución de los momentosflectores en la estructura, creciendo en las partes inicialmente menos solicitadas, mientras que en los lugares donde seprodujeron rótulas plásticas seguirá constante y de valor PM .

Es así que vemos que en estructuras hiperetáticas existe una capacidad resistente mayor gracias a las propiedades de losmateriales elasto-plásticos (dúctiles).

Con el aumento del factor de carga se va a ir dando la generación de nuevas rótulas plásticas y sucesivas redistribuciones

3

del momento flector, hasta la generación de la rótula plástica 1n + . Cuando se genera esta rótula el sistema se transforma enun mecanismo con un grado cinemático de libertad. En ese momento se da la ruina plástica de la estructura y el factor de cargaasociado se lo conoce como factor de colapso Pλ . EL valor de la carga en ese momento es conocido como carga límite delsistema y es la verdadera carga de rotura de la estructura.

Ejemplo:

Figura 4

Pr

⇒=1h 2 rótulas plásticas.

Métodos de resolución para hallar la carga límite de colapso:

1) Método paso a paso:1.1) Resuelvo la estructura hiperestática

PTV* ∫=∆⇒L

0

dxEI

mreal.X M

impongo

=∆=

0real1X

( ) =

−−+ ∫∫

L

2/L

2/L

0

dx)2/Lx(Px.Rxxdx.R.xEI1

=

−++−−+

2)2/L(

2L

2PL

3)2/L(P

3LP

3)2/L(R

3LR

3)2/L(R

EI1 2233333

−=

−+−+

485PL

3LR

EI1

161

41

31

241PL

3LR

EI1 3

33

3

0real48P5

3R

EIL3

=∆=

−⇒ 16

P5R =⇒

16PL3

1685PL

21

165PL

2PLL

16P5

2PLRLMA −=−=

−=−=−=

32PL5

2LRMB ==

MA

Figura 6

-

+

Pr

2PLRL −

L

RrBA

xy

X

real∆

Figura 5

4

1.2) Planteo la generación de la primer rótula plástica

⇒−==16PL3MM PA L3

M16P Ppl =

LM33,5P P

pl =

1.3) Sigo aumentando la carga. Ahora tengo una estructura con 0h = (isostática o estáticamente determinada).

Figura 7

A

MP

Rr

Pr

LM

2PR

2PLRLMM P

PA −=⇒−=−=

2M

2PL

2L

LM

2P

2LRM PP

B −=

−==

MB

MP

Figura 8

Segunda rótula B 2

M4

PLMM PPB −==⇒

LM6P P

colapso =

Observación:Éste es el método paso a paso de resolución. Puede resultar muy inconveniente en estructuras de alto grado de

hiperestaticidad.

Una configuración deformada del mecanismo queda dada por un grado de libertad cinemático.

∆θ θ

Figura 9

Tomamos una configuración deformada con deformaciones plásticas lo suficientemente pequeñas como para poderasumir que θ≅θtg θ=∆⇒

2L

.

Ruina parcial:Puede ocurrir en ciertos sistemas que la estructura quede fuera de servicio por la ruina plástica de una porción del

sistema, lo que no se corresponde necesariamente con la formación de 1h + rótulas plásticas.

5

Figura 10

==

4rótulasdenúmero5h

Figura 11

==

2rótulasdenúmero2h

Ruina más que completa:En sistemas simétricos para los cuales la ruina se da con la formación de 2h + rótulas plásticas.

Figura 12

==

3rótulasdenúmero1h

Campo de validez de la teoría

1) Cada sección posee un momento flector máximo llamado momento plástico PM .2) En las zonas inmediatas a las secciones con momento flector PM , que son zonas de fuerte curvatura, suponemos que

ésta se concentra en esa sección.3) El material no rompe sin antes acompañar las importantes deformaciones que suponen la creación de las rótulas

plásticas.4) El valor del PM no depende de la directa o el cortante en la sección ni de las sobretensiones generadas por una

eventual carga concentrada aplicada en la sección.5) La estructura no presenta ningún fenómeno de inestabilidad antes de formarse la rótula de orden 1n + .6) Las cargas aplicadas aumentan todas proporcionalmente.

Principio de los trabajos virtuales

Se utiliza el principio de los trabajos virtuales (PTV) para determinar la carga límite de las estructuras planas.Aplicado a estructuras, el principio plantea que si tenemos una estructura deformable, en equilibrio bajo el efecto de un

sistema de cargas exteriores, y la sometemos a un campo de desplazamientos virtuales, entonces se cumple que el trabajovirtual interno es igual al trabajo virtual externo, extint WW = .

Para una estructura plana formada por vigas y cargada en su plano, se tiene que:

6

∑∫∑==

δ+δ=tc N

1i t

N

1iiiext dx)x()x(qPW

El trabajo interno se puede escribir en función de las resultantes de los esfuerzos internos en la sección de la viga.

( )∫ ϕ∆+∆+∆=sistema

int d.Mdy.Tdx.NW

Para ver que campo de desplazamientos consideramos vamos a suponer la estructura plana de grado de hiperestaticidadh transformada en un mecanismo por la generación de 1h + rótulas plásticas.

Como campo de desplazamientos virtuales vamos a considerar la deformación plástica de la estructura, o sea eldesplazamiento de magnitud arbitraria que sufre el sistema luego de la generación de la rótula de orden 1h + .

Como la deformación elástica no modifica más que en forma despreciable la configuración indeformada de la estructura,podemos decir que los elementos componentes de la estructura se van a comportar como barras rectilíneas indeformables yarticuladas por rótulas plásticas.

En este campo de desplazamientos tenemos giros de valor arbitrario concentrados en las secciones en donde se dan lasrótulas plásticas. Luego la expresión del trabajo interno queda:

∑=

ϕ=m

1jjjint MW

Luego el PTV queda (considerando el campo de fuerzas igual a la carga límite):

∑∑∫∑===

ϕ=

δ+δλ

m

1jjj

N

1i t

i

N

1iiic Mdx)x()x(qP

tc

cN es el número de cargas concentradas aplicadas a la estructura.

tN es el número de cargas distribuidas aplicadas a la estructura.

Ejemplo:

Como usar el PTV para hallar la carga de colapso de un sistema.

θλ=θ=∆=2LP

2LPPW 0cext

θ= Pint M2W

LM4P

LPM4 P

c0

Pc =⇒=λ⇒

Observación:Siempre la coordenada cinemática aparece de ambos lados de la igualdad.

Teoremas fundamentales del análisis límite

Los métodos generales de investigación de la carga límite están basados en dos teoremas fundamentales.1) Teorema estático. Da la carga de colapso por defecto.2) Teorema cinemático. Da la carga de colapso por exceso.

θ

θ∆

MP

0cc PPrr

λ=

L

Figura 13

7

Teorema estático (para las estructuras)

Definición:Un factor de carga 0>λ se llama estáticamente admisible si se puede encontrar un diagrama de momentos flectores en

equilibrio con las cargas dadas amplificadas en el factor λ , tal que no se supere en ninguna sección el valor del momento deplastificación, PP M)x(MM ≤≤− .

Enunciado:El factor de carga de colapso Pλ es el mayor de los factores de carga estáticamente admisibles.

Ejemplo:

0PPrr

λ=

L

Figura 14

⇒=1h conozco la distribución de esfuerzos internos a menos de un parámetro.

Figura 15

RL

2PLRL −

2PL

0PPrr

λ=

Rr

-

+

+

(1)(2)

M=+ )2(C)1( estáticamente determinado.Si encuentro C tal que PM≤M en todo punto λ⇒ es estáticamente admisible.

Demostración:Para el mecanismo de colapso (con el factor de carga correspondiente Pλ ) se verifica el PTV.

Pj

m

1jjj

N

1i C

ii

N

1iiiP MM0MdxqP

t

i

c

==θ−

δ+∆λ ∑∑∫∑

===

Para un factor de cargas estáticamente admisible, su diagrama de momentos flectores está en equilibrio con Pλ , si uso elPTV con este estado de cargas y con el campo de desplazamientos correspondiente a Pλ tenemos:

Pj

m

1jjj

N

1i C

ii

N

1iii M)x(M0)x(MdxqP

t

i

c

≤=θ−

δ+∆λ ∑∑∫∑

===

Resto:

( ) 0)x(MMdxqP)(

0

m

1jjjj

N

1i C

ii

N

1iiiP

*

t

i

c

=θ−−

δ+∆λ−λ

≥

===∑∑∫∑

444 3444 214444 34444 21

8

En el mecanismo de rotura todas las rótulas absorben siempre trabajo positivo y además 00 *P ≥⇒>λ

PP 0 λ≤λ⇒≥λ−λ

Corolario:Si refuerzo una o más secciones de una estructura, la carga de colapso no puede disminuir.

Teorema cinemático

Definición:Dado un mecanismo de plastificación de una estructura, el factor λ obtenido aplicando el PTV

0Mdx)x()x(qPm

1jjj

N

1i C

ii

N

1iii

t

i

c

=θ−

δ+∆λ ∑∑∫∑

===

es cinemáticamente admisible si

0dxqPt

i

c N

1i C

ii

N

1iii >δ+∆ ∑∫∑

==

jjj 0M θ∀>θ

Enunciado:El factor de colapso Pλ es menor que todo factor de carga cinemáticamente admisible λ .

Demostración:Como λ es cinemáticamente admisible

Pj

m

1jjj

N

1i C

ii

N

1iii MM0MdxqP

t

i

c

==θ−

δ+∆λ ∑∑∫∑

===

Si hago el PTV con el campo de fuerzas correspondiente a la carga de colapso real de la estructura ( Pλ ) y con el campode desplazamientos del mecanismo correspondiente al factor de carga λ , tenemos:

Pj

m

1jjj

N

1i C

ii

N

1iiiP MM0)x(MdxqP

t

i

c

≤=θ−

δ+∆λ ∑∑∫∑

===

Resto ambas expresiones

( ) P

0

m

1jjjj

0

N

1i C

ii

N

1iiiP 0)x(MMdxqP)(

t

i

c

λ≥λ⇒=θ−−

δ+∆λ−λ

≥

=

≥

==∑∑∫∑

444 3444 214444 34444 21

Teorema de unicidad

Enunciado:Todo factor de carga estática y cinemáticamente admisible coincide con el factor de carga de colapso.

Demostración:

PP

P

admisiblementecinemáticaFactoradmisiblenteestáticameFactor

λ=λ

λ≥λ⇒λ≤λ⇒

9

Método cinemático para la determinación de la carga límite

Consiste en considerar sucesivamente todos los mecanismos de rotura posibles. Usando la ecuación deducida delprincipio de los trabajos virtuales se determina el factor de carga de formación de cada uno de estos mecanismos. Según elteorema cinemático el factor de colapso es el menor de todos los factores de carga hallados.

Para cerciorarse que no se han omitido mecanismos se traza el diagrama de momentos de la estructura correspondienteal mecanismo en cuestión y se comprueba si el diagrama es estáticamente admisible.

2) Método cinemático

2.1) Planteo un mecanismo probable y hallo el λ para ese mecanismo aplicando el PTV.

cPr

MP

MP

θθ

Figura 16

⇒F campo de fuerzas real.⇒δ campo de desplazamientos virtual que coincide con la deformación plástica del mecanismo considerado.

Por el PTV intext WW =⇒

LM6P

M3M2MW2LPPW P

c

PPPint

ext =⇒

θ=θ+θ=

θ=∆=

En este caso el factor de carga es PLM6

LM6PP PP

c =λ⇒=λ=

2.2) Verifico que λ sea estáticamente admisible y que el signo del momento en las rótulas es coherente con la deformacióndel mecanismo supuesto.

cPr

Rr

BA

Figura 17

LM2R

2LRMM P

PB =⇒==

Momentos en los puntos notables:

2LPM2

2LPRLM cPcA −=−=

Pero PPPAP

c MM3M2MLM6P =−=⇒= que es coherente con el signo del momento supuesto.

10

MP

MP

A

B+

-

Figura 18

⇒∀≤ puntoM)x(M P el λ hallado es el de colapso.

Observación:En este caso el mecanismo supuesto era el único predecible, hay casos en los que debo probar con más mecanismos.

Ejemplo:

0Pr

L L

L

A

BC

D

E

0Pr

Figura 19

Hallaremos los λ cinemáticamente admisibles para todos los mecanismos de rotura que se nos ocurran.Las rótulas se van a generar en las secciones que puedan presentar un máximo relativo del diagrama de momentos

flectores. Por ejemplo, en los puntos donde se aplican cargas concentradas, en nudos rígidos, empotramientos y en algúnpunto bajo una carga distribuida.

Las rótulas se pueden generar en A, B, C, D y E.El sistema tiene grado de hiperestaticidad ⇒= 3h necesito 1h + rótulas, o sea 4 rótulas.Pruebo diferentes mecanismos posibles:

• Mecanismo 1:

Figura 20

Pr

MPMP

MPMP

Pr

θ θ

A

BC

D

E

Figura 21

MP

MPθ

θ

Trabajo externo θλ=∆λ=∆ LPPP 00

Trabajo interno θ=θ+θ+θ+θ PPPPP M4MMMMImpongo extint WW = y saco el λ para el cual se cumple ésto.

11

LPM4M4LP0

PP0 =λ⇒θ=θλ

• Mecanismo 2:

MP MP

MP

θ

θ

α

∆

A

B C D

E

Pr

Pr

Figura 22

Cuando supongo la configuración deformada debo tener en cuenta primero que jPM θ tiene que ser > 0 para cada jθ siquiero que λ sea cinemáticamente admisible.

Figura 23

O=A'=E'∆

∆

C'

αL2

B'

θ=α⇒θ=∆=α⇒ L2L2

⇒=∆−∆= 0PPWext No es cinemáticamente admisible

• Mecanismo 3:

Figura 24

Pr

Pr

A

BC

D

EMP MP

MP αθ

θλ=∆= LP2P2W 0ext

θ=θ+θ+θ= PPPPint M6M2M2M2W

Figura 25

O=A'=E'

C'

D'Lθ

LθθL2

θ=α⇒

12

0

P

LPM3=λ⇒

Éste me hace descartar el caso 1. Éste es un candidato a cλ .Por el teorema de unicidad, si veo que este factor de carga es estáticamente admisible y en cada rótula el momento flector

posee el signo deseado para generar este mecanismo, entonces el 3λ es el cλ .

Pr

Pr

1Rr

2Rr

3Rr

4RrA

B

C

D

E

MPMP

Figura 26Momentos en E:

0MPLPLML2R PP1 =−−+−

LMR P

1 =

Equilibrio vertical:

LMPRPRR P

331 −=⇒=+

Equilibrio horizontal:

4242 RPR0PRR −−=⇒=++

Figura 27

Hr

Vr

3Rr

4Rr

MP

MP

E

D

Momentos en D:

LM2R0MMLR P

4PP4 −=⇒=++

PLM2R P

2 −=

Hallo los momentos en los puntos notables:

PPPP

P43C M2PLMLLM2L

LMP0MLRLRM −=+−

−=++=

Pero PPP

CP

00

P0 MM2L

LM3M

LM3P

LPM3PP =−=⇒==λ= , y tiene el signo que supuse para la formación del

13

mecanismo.

PPPP2B M3PLMPLM2MLRM −=−+−=−−=

Pero 0M3LLM3M

LM3P P

PB

P =−=⇒=

λ⇒ estáticamente admisible.

0

Pc3 LP

M3=λ=λ

MP

MP

MP

MP A

B CD

E

MP

Figura 28