Analisis matricial

IntroduccionNo Negatividad

Nonnegativity Preservation under Singular ValuesPerturbation

Emedin Montano, Mario Salas, Ricardo Soto

Universidad Catolica del NorteFacultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

Junio 2015

Fernando Vasquez

Resumen

1 Introduccion2 No Negatividad3 Doble Estocasticidad

Fernando Vasquez

Resumen

Fernando Vasquez

Resumen

Fernando Vasquez

Introduccion

Teorema 1

Sea A ∈ Mm,n con valores singulares σ1 ≥ σ ≥ ... ≥ σr ≥ 0, r = mın{m, n}.Sean

U = (u1|u2|...|up) ∈ Mm,p, V = (v1|v2|...|vp) ∈ Mn,p, p ≤ r , (1)

cuyas columnas son los vectores singulares izquierdos y derechos,respectivamente, correspondiendo a σi , i = 1, ..., p. SeaD = diag{d1, d2, ..., dp} con σi + di ≥ 0. Entonces A + UDV ∗ tiene valoressingulares

{σ1 + d1, ..., σp + dp, σp+1, ..., σr}. (2)

Fernando Vasquez

Introduccion

Corolario 1.1

Sea A ∈ Mm,n una matriz con valores singulares σ1 ≥ σ ≥ ... ≥ σr ≥ 0,r = mın{m, n}. Sea ui y vi , respectivamente, los vectores singularesizquierdo y derecho correspondiente a σi , i = 1, ..., r . Sea α ∈ R tal queα + σi ≥ 0, i = 1, ..., r . Entonces A + αuiv∗

i tiene valores singulares

σ1, ..., σi−1, σi + α, σi+1, ..., σr . (3)

Fernando Vasquez

No Negatividad

Sea A ≥ 0. Se consideran perturbaciones de la forma A + αuivTi .

Para i = 1, la matriz A + αu1vT1 ≥ 0, ∀α > 0.

Considerar A + αusvTs , con s > 1.

Sea α > 0, suponer que (usvTs )ik<0.

Si A ≥ 0aik + α(usvT

s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik

|(us, vTs )ik |

Luego, es suficiente elegir α en(0,mın

|(us, vTs )ik |

siempre que aik > 0.

Fernando Vasquez

No Negatividad

s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik

|(us, vTs )ik |

Fernando Vasquez

No Negatividad

s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik

|(us, vTs )ik |

Fernando Vasquez

No Negatividad

s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik

|(us, vTs )ik |

Fernando Vasquez

No Negatividad

s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik

|(us, vTs )ik |

Fernando Vasquez

No Negatividad

s )ik ≥ 0⇔ 0 < α ≤ aik

|(us, vTs )ik |

Fernando Vasquez

Lema 2.1

Sea A ∈ Mm,n, A > 0 con valores singulares σ1 ≥ ... ≥ σr > 0,r = mın{m, n}. Sea α en el intervalo(

0,mıns

mıni,k

|(us, vTs )ik |

Entonces A + αusvTs , s = 2, ..., r , es no negativa con valores singulares

σ1, ..., σs−1, σs + α, σs+1, ..., σr .

Lema 2.2

0,σr mıni,k aik

σ1 +∑r−1

j=1 σj

σ1, ..., σs−1, σs + α, σs+1, ..., σr .

Fernando Vasquez

Lema 2.1

0,mıns

mıni,k

|(us, vTs )ik |

σ1, ..., σs−1, σs + α, σs+1, ..., σr .

Lema 2.2

0,σr mıni,k aik

σ1 +∑r−1

j=1 σj

σ1, ..., σs−1, σs + α, σs+1, ..., σr .

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Lema 2.3

Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica y sea Ax = λx,xT = (x1, ..., xn), con λ 6= 1. Entonces

S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)

Demostracion:

S(Ax) =∑

a1jxj +∑

a2jxj + ...+∑

∑ai1 + x2

∑ai2 + ...+ xn

∑ain

= S(x).

Entonces S(x) = S(Ax) = S(λx) = λS(x).Por lo tanto S(x) = 0.

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Lema 2.3

S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)

Demostracion:

S(Ax) =∑

a1jxj +∑

a2jxj + ...+∑

∑ai1 + x2

∑ai2 + ...+ xn

∑ain

= S(x).

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Lema 2.3

S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)

Demostracion:

S(Ax) =∑

a1jxj +∑

a2jxj + ...+∑

∑ai1 + x2

∑ai2 + ...+ xn

∑ain

= S(x).

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Lema 2.3

S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)

Demostracion:

S(Ax) =∑

a1jxj +∑

a2jxj + ...+∑

∑ai1 + x2

∑ai2 + ...+ xn

∑ain

= S(x).

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Lema 2.3

S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)

Demostracion:

S(Ax) =∑

a1jxj +∑

a2jxj + ...+∑

∑ai1 + x2

∑ai2 + ...+ xn

∑ain

= S(x).

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Lema 2.3

S(x) = x1 + x2 + ...+ xn = 0. (4)

Demostracion:

S(Ax) =∑

a1jxj +∑

a2jxj + ...+∑

∑ai1 + x2

∑ai2 + ...+ xn

∑ain

= S(x).

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Estocasticidad

Proposicion 2.1

Sea A ∈ Mn irreducible doblemente estocastica. Entonces

i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT

1 )T ∈ CS1+α1 .

ii) (A + αiuivTi ) ∈ CS1, (A + αiuivT

i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.

iii) (A +∑n

i=1 αiuivTi ) ∈ CS1+α1

Demostracion:Se tiene que AAT ∈ CS1 y AT A ∈ CS1.Entonces

u1 = v1 =1√n

e =1√n

(1, 1, ..., 1)T . (5)

Luego,

α1u1vT1 = α1v1uT

1 =1nα1eeT ∈ CSα1 .

Por otro lado, αiuivTi = αi (vT

i e)ui = 0.De i) y ii) se tiene iii).

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Proposicion 2.1

i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT

1 )T ∈ CS1+α1 .

i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.

iii) (A +∑n

u1 = v1 =1√n

e =1√n

(1, 1, ..., 1)T . (5)

Luego,

α1u1vT1 = α1v1uT

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Proposicion 2.1

i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT

1 )T ∈ CS1+α1 .

i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.

iii) (A +∑n

u1 = v1 =1√n

e =1√n

(1, 1, ..., 1)T . (5)

Luego,

α1u1vT1 = α1v1uT

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Proposicion 2.1

i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT

1 )T ∈ CS1+α1 .

i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.

iii) (A +∑n

u1 = v1 =1√n

e =1√n

(1, 1, ..., 1)T . (5)

Luego,

α1u1vT1 = α1v1uT

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Proposicion 2.1

i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT

1 )T ∈ CS1+α1 .

i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.

iii) (A +∑n

u1 = v1 =1√n

e =1√n

(1, 1, ..., 1)T . (5)

Luego,

α1u1vT1 = α1v1uT

Fernando Vasquez

Estocasticidad

Proposicion 2.1

i) (A + α1u1vT1 ) ∈ CS1+α1 , (A + α1u1vT

1 )T ∈ CS1+α1 .

i )T ∈ CS1; i = 2, ..., n.

iii) (A +∑n

u1 = v1 =1√n

e =1√n

(1, 1, ..., 1)T . (5)

Luego,

α1u1vT1 = α1v1uT

Fernando Vasquez

Ejemplo

Considerar la matriz

4 3 2 11 4 3 22 1 4 33 2 1 4

se tiene A,AT ∈ CS10.Valores singulares de A: 10, 2,8284, 2,8284, 2.Sea UΣV ∗, y D = diag{4, 3, 2, 1}. Entonces

B = A + UDV ∗ =

6,2596 4,8500 2,2404 0,65011,0822 6,0081 4,4178 2,49192,2404 0,6501 6,2596 4,85004,4178 2,4919 1,0822 6,0081

∈ CS14,

con valores singulares 14, 5,8284, 4,8284, 1

Fernando Vasquez

Ejemplo

4 3 2 11 4 3 22 1 4 33 2 1 4

B = A + UDV ∗ =

6,2596 4,8500 2,2404 0,65011,0822 6,0081 4,4178 2,49192,2404 0,6501 6,2596 4,85004,4178 2,4919 1,0822 6,0081

∈ CS14,

Fernando Vasquez

Ejemplo

4 3 2 11 4 3 22 1 4 33 2 1 4

B = A + UDV ∗ =

6,2596 4,8500 2,2404 0,65011,0822 6,0081 4,4178 2,49192,2404 0,6501 6,2596 4,85004,4178 2,4919 1,0822 6,0081

∈ CS14,

Fernando Vasquez

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