EL CUERPO DE LOS REALES ES ORDENADO Y COMPLETO

PONENTE: ANGEL MENDOZA TICONACODIGO: 2011-115009CURSO: ANALISIS REALDOCENTE: JOSE LUIS AGUILAR QUISPEAO: QUINTO

SUPER SENCILLOSEMESTRE: NOVENOFACULTAD: FECHESCUELA: ESEDESPECIALIDAD: MACI

TACNA PERU2015

El Cuerpo de los Reales es Ordenado1. Existe un subconjunto no vacio P de R, llamado el conjunto de los nmeros reales positivo, que satisface las siguientes propiedades.Las propiedades de orden de R

PROPIEDADES:

Si a, b pertenecen a P, entonces a+b pertenece a P.Si a, b pertenecen a P, entonces a.b pertenece a P.Si a pertenece a R, entonces se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones:

DEFINICION:

Si , entonces pero Si , entonces Si , entonces pero Si , entonces

DEFINICION:

Sean a, b elementos de R.Si , entonces se escribe Si , entonces se escribe

PROPIEDADES DEL ORDEN (REGLAS DE LAS DESIGUALDADES):

TEOREMA 1:

Sean a, b, c elementos de R.Si Exactamente una de las siguientes afirmaciones se cumple: Si

Si SiTEOREMA 2:

Sean a, b, c, d elementos de R.SiSiSiSiSiSiTEOREMA 3:

TEOREMA 4:

Si

COROLARIO:

Si

DESIGUALDAD DE BERNOULLI:

Si

1.2. Valor Absoluto

DEFINICION:

Si

TEOREMA:

Para cualesquiera a y b en R se tiene:DESIGUALDAD DEL TRIANGULO:

COROLARIO:

Para cualesquiera a y b en R se tiene:

COROLARIO:

Para cualesquiera

El Cuerpo de los Reales es Completo1. Supremos e nfimos

DEFINICION:

Sea S un subconjunto de R.Se dice que un numero Se dice que un numero

Cotas Superiores de

NOTA:

Por una cuestin de terminologa, se dice que un conjunto en esta acotado por arriba si tiene una cota superior. De manera similar, si un conjunto tiene una cota inferior, se dice que esta acotado por abajo.Si un conjunto tiene tanto cota superior como inferior, se dice que esta acotado.Se dice que un conjunto de es no acotado si carece de una cota superior o de una cota inferior.

DEFINICION:

Sea un subconjunto de Si esta acotado por arriba, entonces se dice que una cota superior es un supremo de si ningn nmero menor que es cota superior de Si esta acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un infimo de si ningn nmero mayor que es cota inferior de .

S Inf S Sup S

Cotas Inferiores de S Cotas Superiores de S Infimo y Supremo de S

OBSERVACION:

Solo puede haber un Supremo e nfimo de un subconjunto dado S de R.Cuando el Supremo o el nfimo de un conjunto S existan, se denotaran por Sup S e Inf SSe hace notar asimismo que si es una cota superior arbitraria de un conjunto S, entonces . Es decir, si . Con esto se dice que Sup S es la mnima cota superior de S.

LEMA:

Una cota superior de un conjunto no vacio de es el supremo de si y solo si para cada .

LA PROPIEDAD DEL SUPREMO DE R:

Todo conjunto no vacio de nmeros reales que tiene una cota superior tiene un supremo en R.

LA PROPIEDAD DEL INFIMO DE R:

Todo conjunto no vacio de nmeros reales que tiene una cota inferior tiene un nfimo en R.

PROPIEDAD DE ARQUIMEDES:

Si

COROLARIO:

Sean

1.2. Densidad de los nmeros Racionales en R

TEOREMA:

Si

COROLARIO:

Si