Anlisis VectorialEnestecaptulocompletamosyllevamosasuculmenlateoradel Clculomostrando los resultados ms espectaculares: Teoremas de Green, de la divergencia yde Stokes.2ndice general1. 52. 73. 94. 115. Anlisis Vectorial 135.1. Integrales de lnea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.1.1. Curvas en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.1.2. Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.1.3. Integral de lnea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . 175.1.4. Propiedades de la integral de lnea de un campo escalar . . . . 175.1.5. Interpretaciones de la integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.1.6. Relacin de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2. Integrales de lnea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2.1. Integrales curvilneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2.2. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2.3. Distintas interpretaciones de la integral curvilnea. . . . . . . . . 275.2.4. Relacin de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3. Los teoremas de Green y de la divergencia en el plano . . . . . . . . . . 315.3.1. Regiones compactas del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3.3. Teorema de la divergencia en el plano . . . . . . . . . . . . . . . 335.3.4. Rotacin de un campo vectorial en R2. . . . . . . . . . . . . . 355.3.5. Relacin de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4. Integrales de Supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4.1. Parametrizacin de supercies en R3. . . . . . . . . . . . . . . 395.4.2. Espacio tangente y Plano tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4.3. Orientacin de una supercie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4.4. rea de una supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4.5. Integrales de supercie de campos escalares . . . . . . . . . . . 455.4.6. Integrales de supercie de un campo vectorial . . . . . . . . . . 465.4.7. Relacin de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5. Teoremas de Stokes y de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4934 NDICE GENERAL5.5.1. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.5.2. Teorema de la divergencia en el espacio. . . . . . . . . . . . . . 515.5.3. Identidades de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5.4. Relacin de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Captulo 156 CAPTULO 1.Captulo 278 CAPTULO 2.Captulo 3910 CAPTULO 3.Captulo 41112 CAPTULO 4.Captulo 5Anlisis Vectorial5.1. Integrales de lnea de un campo escalarSumarioEn esta leccin introduciremos el concepto de integral a lo largo de una curva de uncampo escalar, llamada tambin integral de lnea respecto de la longitud de arco. El contenidocompleto de esta leccin se articula de la siguiente manera:V.1.1Curvas.V.1.2Longitud de una curva.V.1.3Integral de lnea respecto de un campo escalar.V.1.4Propiedades de la integral de lnea.V.1.5Interpretaciones de la integral de lnea.V.1.6Relacin de ejercicios.5.1.1. Curvas en RnRecordemos que una curva en Rnes una funcin continua:[a, b] Rn. sedice que dicha curva se dice regular si la curva es de clase C1en[a, b].El ejemplo ms sencillo de curva regular es el segmento:Dados dos puntos x e y de Rn, se dene el segmento de extremosx ey, [x, y],como la curva: [0, 1] Rn,denida por(t) = (1 t)x + ty.1314 V.1. Integrales de lnea de un campo escalarLlamaremos trazagrcadelacurvaa la imagen de dicha curva, =([a, b]).A los puntos(a) y(b) se les llama, respectivamene, orgen y extremo de lacurva. Si(a) = (b) se dice que la curva es cerrada.Si es inyectiva se dice que es simple y si es cerrada y /]a, b[ es inyectiva, sedice que es una curva cerrada simple.se diceregularatrozossi existe una particinPdel intervalo[a, b], P={x0, x1, ..., xn}, tal que la curva/[xk1,xk] es regular parak = 1, 2, ..., n.NotaAveces,haciendounabusodellenguaje,identicamoslacurvaconsutraza.En tal caso, se dice que la curva viene parametrizada por(t). Es evidente que, eneste sentido, una misma curva puede tener distintas parametrizaciones. Si no se indicanada acerca de la parametrizacin de la curva, es porque se considera que existe unaparametrizacin predeterminada. As, por ejemplo1. Laparametrizacinpredeterminadaparalaelipsedesemiejes ayb, vienepor(t), donde: [0, 2] R2, est denida por(t) = (acos(t), bsen(t)).La elipse es una curva regular cerrada simple.2. Las grcas de cualquier funcin real de variable real continua f: [a, b] R sonotros ejemplos naturales de curvasC, cuyas parametrizaciones predeterminadasvienen dadas por(t)=(t, f(t)). Si fes de clase C1, entonces su grca es unacurva regular.3. Salvo advertencia, la circunferencia de centro (a, b) y radio r se supone parametri-zada por : [0, 2] R2, dada por (t) = (a+rcos(t), b +rsen(t)), t [0, 2].La circunferencia es una curva regular cerrada simpleReparametrizacin de una curvaSean: [a, b] Rnuna curva y seag: [c, d] [a, b] una biyeccin tal queg C1([c, d]). A la curva = g se le llama reparametrizacin de.Si gescreciente(g

(t) >0)diremosqueesunareparametrizacinqueconservalaorientacin. En caso contrario (g

(t) dt,donde por< ., . > representamos el producto escalar en Rny por tanto_Fds =_ban

i=1Fi (t)

i(t))dt.Teniendoencuentaquesi f : U Resuncampoescalar, seadmitelasiguienteexpresin_fdxi=_baf((t))

i(t)dt,podemos tambin escribir_Fds =_F1dx1 + F2dx2 + ... + Fndxn.Si es cerrada se suele escribir la integral con el smbolo _ Fds.Veamos ahora algunas de las propiedades ms caractersticas.24 V.2. Integrales de lnea de un campo vectorialProposicin5.2.1. Sean: [a, b] Rnunacurvaregularatrozos, UunabiertodeRnquecontengaa([a, b])yF, G: U Rndoscamposvectorialescontinuos.Entonces:1. _(rF+ sG)ds = r_ Fds + s_ Gds, r, s R.2. Si es una reparametrizacin de, entonces_Fds = _Fds,segn que ambas curvas sean no equivalentes, en particular,_Fds = _Fds.3. Si : [c, d] Rnesotracurvaregularatrozostal que(b) =(c)yFC( ), se tiene que_+Fds =_Fds +_Fds.4. Dadasm curvas1, 2, ..., m ysu suma formal, entonces_Fds =_1Fds +_2Fds + ... +_mFds.NotaNtese que la segunda propiedad es algo diferente a la correspondiente integral delnea de campos escalares. En este caso, la integral depende de la orientacin de la curva.Por ello, si no se especica nada, se entiende que la correspondiente parametrizacinrecorre la curva en contra de las agujas del reloj.Ejemplo:Calclese la integral curvilnea_Cxdy ydx,siendoCla circunferencia de centro(0, 0) y radior. (Ntese que si no se indica nadase entiende recorrida en contra de las agujas del reloj)Anlisis Matemtico 255.2.2. Campos conservativosComo siempre, con la denicin suele ser dicil calcular integrales curvilneas. Enesta seccin veremos que, bajo ciertas condiciones sobre el integrando, ste clculo esms fcil.El primer resultado a destacar es la siguiente reglaTeorema 5.2.2.(Regla de Barrow para la integral de lnea)SeanUun abierto de Rnyg: U R un campo escalar de clase C1y: [a, b] Rnuna curva regular a trozos con U. Entonces_gds = g((b)) g((a)),donde g, es el campo vectorial que a cada puntox U, le asocia el vector gradientedeg en el puntox. En particular, sies cerrada_gds = 0.En vista del resultado, parece natural preguntarnos si, dado un campo vectorial F,existe un campo escalar, g, de clase C1tal que F= g. Cuando esto ocurra se dice queg es un potencial de F(una especie de primitiva)y que Fes un campo conservativo.La conclusin es clara: Si Fes un campo conservativo y conozco un potencial,entonces el problema del clculo de la integral de F a lo largo de una curva est resuelto.EjemploHllese la integral del campoF: R3R3denido porF(x, y, z) = (3y2z + yex, 6xyz + ex, 3xy2),a lo largo de la curva: [0, 1] R3, denida por(t) = (sen(t/2) + cos(2t) 1, tcos(t), t2sen(t)).El siguiente resultado caracteriza aquellos campos que admiten un potencial:Teorema 5.2.3.SeaUuna abierto de RnyF: U Rnun campo vectorial de claseCm. Las siguientes armaciones son equivalentes:1. Fes un campo conservativo.2. Fadmite un potencial g de clase Cm+1.26 V.2. Integrales de lnea de un campo vectorial3. Si : [a, b] Rnescualquiercurvaregularatrozos,con U,laintegral_ Fds depende slo del origen y del extremo de.4. Si : [a, b] Rnescualquiercurvacerradaregularatrozos, con U,entonces_Fds = 0.Pese a lo vistoso del resultado anterior, muy til una vez sabido que un campoesconservativo, stenoesprcticoparadecidirsi uncampoesnoconservativo.Busquemos pues condiciones sencillas de comprobar que nos permitan asegurar que undeterminado campo es conservativo.Comencemos suponiendo queF:U Rnes un campo conservativo y quegun potencial de clase C2enUdeF. Es claro quegxi(x) = Fi(x), x U, i = 1, 2, ..., n,y por tanto, derivando2gxixj(x) =Fi(x)xj(x), x U, i, j= 1, 2, ..., n,yaplicandoellemadeSchwarz,seobtienequeunacondicinnecesariaparaqueuncampo vectorialFde clase C1admita un potencial:Fverica la siguiente condicinFi(x)xj(x) =Fj(x)xi(x), , x U, i, j= 1, 2, ..., n.Esta condicin no es, en general suciente como muestra el siguiente ejemploEjemploSeaF: R2\{(0, 0)}, denida porF(x, y) = (yx2+ y2,xx2+ y2).Prubesequesi eslacircunferenciadecentroel origendecoordenadasyradio1,entonces_Fds = 2 = 0.Busquemosahoraalgunacondicinadicional. Paraellonecesitamosalgunasdeniciones:SeaC Rnse dice que es convexo si dados dos puntos cualesquiera deC, elsegmento que los une est contenido enC.Anlisis Matemtico 27Teorema 5.2.4.SeanUun abierto convexo de RnyF: U Rnun campo de claseC1. EntoncesFes conservativo si, y slo si,Fi(x)xj(x) =Fj(x)xi(x), , x U, i, j= 1, 2, ..., n.De hecho, el teorema sigue siendo cierto para una clase ms amplia de conjuntos,losllamados simplementeconexos, estoes, conjuntosdel planoquenotienenagujeros.Una vez comprobado que un campo es conservativo, veamos ahora a cmo desa-rrollar un mtodo prctico para el clculo de un potencial.Sea Fun campo conservativo denido en un conjunto abierto y convexo U de Rn.Vamos a calcular un potencial de F. Sea p un punto del conjunto U y sea el segmentoque une un punto jo p del conjunto U con otro punto cualquiera x del mismo conjuntoU,estoes, =[p, x]es inmediatoqueg: U R,denido,paracadax U,porg(x) =_[p,x]Fds es un potencial deF.5.2.3. Distintas interpretaciones de la integral curvilnea.Interpretacin fsicaJustiquemos, ahora desde la perspectiva de la Fsica, los conceptos que aparecenen esta leccin.Consideremos el siguiente problema: Supongamos que en cada punto p = (x, y, z)deunareginAdel espacioactaunafuerza F. Tenemos as uncampovectorialF: A R3, al que llamamos campo de fuerzas. Si situamos un objeto puntual enel puntop A, y queremos llevarlo a travs del campo hasta un puntoq, a lo largo deuna trayectoria dada ,esto es, queremos realizar un trabajo a lo largo de la grca dela curva: [a, b] R3, de clase C1, con A, donde(a)=p y(b)=q. Puesbien, veamos que dicho trabajoWpq se obtiene comoWpq=_Fds =_ba< F((t)),

(t) > dt.En efecto, baste para ello imaginar una sucesin de poligonales {Pn} inscritas en lacurva, asociadas a una sucesin {Pn} de particiones del intervalo [a, b], cuyos dimetrostienden a cero. Para n sucientemente avanzado, podemos considerar la fuerza constanteF en cada segmento [(ti1), (ti)] de la correspondiente poligonal y por tanto, el trabajorealizado entre los puntos(ti1) y(ti),W(ti1(ti), no es otra cosa queW(ti1)(ti)=< F, d >,donde d es el vector de origen (ti1) y extremo (ti). En particular, existe ci [ti1, ti],tal que(ti) (ti1)

(ci))(titi1). El resto es consecuencia de que la integral esel paso al lmite de la sucesin de sumas correspondiente.28 V.2. Integrales de lnea de un campo vectorialEjemploCalclese el trabajo realizado por un punto material que se desplaza a lo largo dela mitad superior de la elipse de semiejesa yb entre los puntos(a, 0) y(a, 0) sujetoal campo de fuerzasF= yi xj.Veamos ahora que el trabajo necesario para mover una partcula desde un puntop hasta un puntoqa travs de un campo de fuerzas, es igual a la diferencia entre laenerga cintica de la partcula en el puntoq y la correspondiente en el puntop.En efecto, segn la Segunda Ley de Newton, el valor de la fuerza Fen el punto (t)es igual a la masam de la partcula por su aceleracin en ese punto. Esta ltima no esotra cosa que el vector derivada segunda

(t). Entonces,Wpq=_Fds =_ba< F((t)),

(t) > dt = m_ba<

(t),

(t) > dt.Dado que ||

(t)||2=, es claro que(/2)||

(t)||2es una primitiva de<

(t),

(t) >. As,Wpq= (1/2)m[||

(t)||2]ba= (1/2)m(||

(b)||2||

(a)||2).Obsrvese que ||

(t)|| es la magnitud del vector velocidad de la partcula en elinstantet. Escribiendov(p)= ||

(a)|| yv(q)= ||

(b)|| la frmula anterior se puedever comoWpq= (1/2)m(v(q)2v(p)2).SupongamosnalmentequeelcampoFesconservativo.Seag: A R3unpotencial de F. Como sabemos_ Fds = g((b))g((a)) y comparando esta expresincon la integral obtenida anteriormente paraWpqen trminos de la energa cintica dela partcula, se obtiene:g((b)) g((a)) = 1/2m((v(q)2v(p)2). bien(1/2)mv(p)2g(p) = (1/2)m(v(q)2g(q).Al escalar g(x)selallama, enfsica, energapotencial delapartculaenelpuntox R3(Esto justica el nombre de potencial para la funcing).Lafrmulaanteriorestableceentonces, quelasumadelaenergacinticaylaenergapotencial delapartculaenlospuntosinicial ynal delatrayectoria, esla misma, es decir, se conserva. (De hecho, esta suma es la misma en cualquier puntode la trayectoria). Este es el conocido "Principio de la Conservacin de la Energa", ypor esta razn, a los campos para los que es vlido este principio se les llama camposconservativos.Anlisis Matemtico 29Relacin con la integral a lo largo de una curva de un campo escalarSeanUunabiertodeRn, unacurvaregularatrozostal que UyF: U Rnun campo vectorial continuo. Si notamos porT(t)=

(t)||

(t)||, esto es, elvector tangente unitario a la curva en el punto(t), se tiene, para cadat, que< F((t)),

(t) >=< F((t)), T(t) > ||

(t)||,y por tanto_Fds =_g(s)ds,dondeg: U R es el campo escalar tal que, para cada t,g((t)) =< F((t)), T(t) > .Este hecho, abusando del lenguaje, se suele escribir_Fds =_FTds.Por otra parte, obsrvese que FTno es otra cosa que la componente tangencialdeFa lo largo de la curva, baste recordar para ello que| < x, y> | = ||x||||y||cos,siendo el valor del ngulo que forman los vectoresx ey.5.2.4. Relacin de ejercicios1. Calclese la integral curvilnea_xdx ydy + zdz,siendo: [0, 1] R3la curva denida por(t) = (t, t2, t3)2. Calclense la integral deFa lo largo de la curva en cada uno de los siguientescasosa) F(x, y, z) = (yz, xz, xy) y : [0, /4] R3denida por (t) = (sen(t), sen(t), t).b) F(x, y, z) = (yz, xz, xy) y : [0, 1] R3denida por (t) = (2t/2,2t/2, t/4).c) F(x, y, z) =(3y2z+ yex, 6xyz+ ex, 3xy2)y: [0, ] R3denidapor(t) = (sen(t/2) + cos(2t) 1, tcos(t), t2sen(t)).3. Comprubese si el campoFes conservativo en cada uno de los siguientes casos:a) F: R2R2, denido porF(x, y) = (x + 4, 4x + y)30 V.2. Integrales de lnea de un campo vectorialb) F: R3R3, denido porF(x, y, z) = (3y2z + yex, 6xyz + ex, 3xy2).4. Calclese_Fds,dondees la curva= 1 + 2 + 3 con1: [0, 2] R2denida por1(t) =(4cos(t), 4sen(t)), 2: [0, 2] R2denidapor2(t) =(cos(t) + 2, sen(t)),3: [0, 2] R2denidapor3(t) =(cos(t) 2, sen(t))yFesel campoF: R2R2denido porF(x, y) = (y, x), (x, y) R2.5.3. LOS TEOREMAS DE GREEN Y DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO 315.3. Los teoremas de Green y de la divergencia en elplanoSumarioEn esta leccin presentamos el teorema de Green el cul establece una conexin entrelaintegraldelneaextendidaaunacurvacerradaylaintegraldobleextendidaalareginque encierra la curva, bajo determinadas condiciones de regularidad sobre el campo vectoriala integrar y sobre la regin de integracin. Veremos como aplicacin el clculo de integrales delnea mediante integrales dobles y viceversa. El contenido completo de esta leccin se articulade la siguiente manera:V.3.1Regiones compactas del plano.V.3.2Teorema de Green.V.3.3Teorema de la divergencia en el plano.V.3.4Rotacin de un campo vectorial en R2.V.3.5Relacin de ejercicios.5.3.1. Regiones compactas del planoEl objetivo de esta seccin es relacionar integrales de lnea a lo largo de curvascerradas simples, con integrales dobles sobre ciertas regiones del plano que llamaremos compactas. Para ello necesitamos dar unos conceptos previos.Se demuestra (Teorema de la curva de Jordan), que toda curva: [a, b] R2cerradasimpledeterminados regiones del plano: Unaacotada, A, llamadaregininterior a , y otra no acotada, B, llamada regin exterior a . Es claro que Fr(A) =Fr(B) = .Intuitivamente, diremos que una curva cerrada simple est orientada positi-vamente cuando al recorrerla, la regin interior se mantiene siempre a la izquierda. A lacurva as orientada, la notaremos +. En caso contrario, diremos que est orientadanegativamente y la notaremos por.Sean, 1, 2, ..., nn + 1 curvas cerradas simples en R2tales que:1. Para cadai = 1, 2, ..., n,ise encuentra en la regin interior de2. Para cadai = j,i

j= .3. Para cadai = j,ise encuentra en la regin exterior dej.32 V.3. El teorema de GreenLlamaremos regin compacta en R2determinada por , 1, 2, ..., n al conjuntode los puntos que se encuentran en la regin interior de y en la regin exterior de cadauna de lasi, junto con la frontera . Es claro que la frontera de la regin compactaAes el conjunto 1 2 ... n y la notaremosFr(A).Diremos que la frontera deA est positivamenteorientada, y lo notaremosFr(A)+, cuando al recorrer las curvas, 1, 2, ..., la regin S se mantiene siempre ala izquierda.EjemplosLos ejemplos ms sencillos de regiones compactasA son las llamadas regioneselementales que son de tres tipos:1. Regiones y-simple o de tipo 1, esto es, regiones de la formaA = {(x, y) R2; x [a, b], 1(x) y 2(x)},donde todas las funciones que aparecen son continuas en el intervalo [a, b]. Es claroque su frontera Fr(A) lo componen las grcas de esas funciones y dos segmentosrectilneos.2. Regiones x-simple o de tipo 2, esto es, regiones de la formaA = {(x, y) R2; y [c, d], 1(y) x 2(y)},donde todas las funciones que aparecen son continuas en el intervalo [c, d]. Es claroque su frontera Fr(A) lo componen las grcas de esas funciones y dos segmentosrectilneos.3. Regiones simples, esto es, regiones que son simultneamente x-simples e y-simples.Ejemplos: circunferencias, cuadrados, y, en general, regiones encerradas por curvascerradas simples.5.3.2. Teorema de GreenYa podemos enunciar el primer resultado importante de esta leccinTeorema 5.3.1.(Teorema de Green)SeaUun abierto en R2yF: U R2un campo vectorial de clase C1. SeaA Uuna regin compacta. Entonces:_Fr(A)+Fds =_A(F2x(x, y) F1y(x, y))d(x, y).El Teorema de Green nos permite calcular integrales de lnea mediante el clculode una integral doble o viceversa.Anlisis Matemtico 33Ejemplos:1. SeanF : R2R2denidapor F(x, y) =(3x2y, x3)yAlaregindeR2denida porA = {(x, y) R2: x2 y 1}.Calclese _Fr(A)+ Fds.2. Calclese el rea del recintoA = {(x, y) R2: x2/a2+ y2/b2 1}.Para resolver el segundo ejemplo, aplicaremos el Teorema de Green, para lo quebasta entonces encontrar un campoFdenido en un abierto que contenga aSy talqueF2x(x, y) F1y(x, y) = 1.Tmese, por ejemplo,F: R2R2denido porF(x, y) = (y, 2x). A este respectontese queFr(A)+es la elipse de ecuacinx2/a2+ y2/b2=1 parametrizada por:[0, 2] R2, denida por(t) = (acos(t), bsen(t)).5.3.3. Teorema de la divergencia en el planoVeamos ahora la consecuencia ms relevante del teorema de Green.SeanUun abierto de Rn, F:U Rnun campo diferenciable yP U. Sellama divergencia deFenp adivF(P) =F1x1(P) +F2x2(P) + ... +Fnxn(P).El teorema de la divergencia permite ver a sta como una medida del ujo delcampo por unidad de rea en cada puntop deU.Teorema 5.3.2.(Teorema de la divergencia en el plano)SeanUun abierto de R2,F:U R2de clase C1yA Uuna regin compactade R2, tal queA+sea la imagen de una curva:[a, b] R2regular a trozos. SeaG = (F2, F1) entonces_Fr(A)+Gds =_AdivF/d(x, y).34 V.3. El teorema de GreenEl resultado es obvio a partir del Teorema de Green.Un campo vectorialFde clase C1se dice libre de divergencia sidiv(F) = 0.Notemos ahora por N(t) = (T2(t) T1(t)), al vector unitario normal exterioraA, el cual es ortogonal a T(t). Es claro que si G es un campo ortogonal a F, entoncesGT= FN,por lo que, abusando del lenguaje, se tiene_Fr(A)+Gds =_Fr(A)+GTds =_Fr(A)+FN,y por tanto el teorema de la divergencia se puede escribir_AdivF=_Fr(A)+FNds. (1)La divergencia tiene una importante interpretacin fsica.Podemos imaginar que Fes el campo de velocidades de un uido. La divergenciarepresenta la razn de expansin por una unidad de supercie bajo el ujo de un uido.En efecto, sea B el disco cerrado centrado en un punto P y radio . Por el teoremade la divergencia y del teorema del valor medio para integrales, existe un punto Q Btal que_Fr(B)+FNds =_BdivF= divF(Q).Area(B) = divF(Q).2,y por tanto,divF(P) = lim0divF(Q) = lim012_Fr(B)+FNds.As, si divF(P)>0, consideraremosPcomo una fuente, porque hay un ujoneto hacia el exterior de en entorno deP; sidivF(P) < 0, se denomina un sumideroparaF.Se dice que una curva es una lnea de ujo para un campo vectorial Fsi, paracada t, F((t)) =

(t). En tal casoFrecibe el nombre de campo de velocidades dela curva.Por otra parte, teniendo en cuenta (1), se puede demostrar que siFes el campode velocidades de un uido, ste es libre de divergencia si, y slo si, la cantidad neta deuido que uye hacia fuera de cualquier regin es cero. Un uido con esta propiedad sedenomina incompresible.Anlisis Matemtico 355.3.4. Rotacin de un campo vectorial en R2Sean U un abierto de R2,F:U R2un campo continuo y:[a, b] R2una curva cerrada simple de clase C1, tal que U.Se llama circulacin del campoFalrededor deaC=_+Fds.SeaA la regin interior de. Se llama rotacindelcampoFalrededorde arotF() =1rea(A)_+Fds =Crea(A).Vamos ahora a localizar el concepto de rotacin de un campo. Sea P= (x0, y0)un punto deUy consideremos la curvacuya traza es la circunferencia de centroPy radio. Parece razonable denir larotacindeFenelpuntoPcomo el lmite,cuando tiende a cero, de la rotacin deFalrededor de, esto es,rotF(P) = lim0rotF() = lim012_+FdsSe puede demostrar, aplicando el teorema de Green, el teorema del cambio devariable y el teorema fundamental del clculo que, siFes un campo de clase C1enU,entoncesrotF(x, y) =F2x(x, y) F1y(x, y), (x, y) U.Se dice que un campo es irrotacional enUcuando rotF(x, y) = 0, (x, y) U.Por tanto, siFes de clase C1,F es irrotacional si, y slo si,F2x(x, y) =F1y(x, y), (x, y) U.As pues, por el Teorema de Green, es claro que, si el campo es irrotacional, lacirculacin deFa lo largo de cualquier curva contenida enUes cero.De hecho, el Teorema de Green se puede escribir_ArotF=_Fr(A)+Fds (2)Es obvio que siFes conservativo, es irrotacional, pero el recproco no es ciertocomo vimos en un ejemplo de la leccin anterior. De hecho vimos que el recproco si escierto si el abierto, en el que est denidoF, es convexo.36 V.3. El teorema de GreenVeamos ahora una interpretacin fsica de la rotacin, que, por otra parte, no esotra que su base histrica.Supongamos que Fes el campodevelocidades delacurva =(Fr(A)+,estoes, F(x, y)nosdael vectorvelocidaddel ujoenel punto(x, y) U. Siahoraimaginamosuncorchocircularotandoenlacorrientelquidacuyocampodevelocidades estdescritoporF,adems delmovimientodearrastre,puededarseun movimiento de rotacin del corcho alrededor de su eje. El signo de la circulacinCnos dice si el campoFhace girar el corcho en sentido antihorario, si es positivo, ensentido horario, si es negativo, o no lo hace girar si C es cero. El concepto de rotacinnos va a dar una estimacin de la velocidad angular con que gira el corcho.Sepruebaque,enenelcasocomentado, rotF()eseldobledelavelocidadangular del corcho. (En un campo irrotacional el corcho no gira sobre su eje).EjemploSeaF: R2 R2, denida porF(x, y)=(1, x) y seala circunferencia decentro (a, b) y radio r recorrida en sentido positivo. Prubese que la circulacin C de Falrededor de esC= r2y por tanto querotF() = 1.Obsrvese que el valor deCno depende del centro(a, b) de la circunferenciasobre la que circula el campoF. Esto signicara que el efecto de la corriente cuyocampodevelocidadesestdescritoporF,nodependedellugardondesecoloqueelcorcho.Como ya vimos, tambin en la leccin anterior,_Fr(A)+Fds =_Fr(A)+FTds,dondeT(t) =

(t)||

(t)||es el vector unitario tangente a= Fr(A)+en(t). Por tanto, elteorema de Green, nos arma que_ArotF(x, y)d(x, y) =_Fr(A)+FTds (2).Las notacionesvistasen(1)yen(2)tienencomoobjetomostrarlasimetraexistente entre las expresiones del teorema de la divergencia y del teorema de Green.As puesel teoremadeGreensepuedeinterpretarcomoquelaintegral delacomponentetangencial del campo a lo largo de la curva es igual a lasumadelos efectos rotacionales del campo en el interior, y el teorema de la divergenciase puede leer como que la integral delacomponentenormal del campo sobre lacurva es igual a la suma de los efectos divergentes del campo en el interior.Anlisis Matemtico 375.3.5. Relacin de Ejercicios1. Calclese la circulacin del campo vectorial F: R2R2, denido por F(x, y) =(1, x) a lo largo de : [0, 2] R2, denida a su vez por (t) = (a +tcos(t), b +sen(t).2. Calclese la circulacin deF= (ysen(x), x2) a lo largo del tringulo de vrtices(0, 0),(/2, 0) y(/2, 1) recorrido en sentido positivo.3. Calcleseel reaencerradapordel cardiode, donde : [0, 2] R2, estdenida por(t) = (2a(1 + cos(t))cos(t), 2a(1 + cos(t))sen(t)).4. Calclese el rea encerrada por el arco del cicloide denido en [0, 2] y el eje x,donde: R R2, est denida por(t) = r(t sen(t), 1 cos(t)).5. Calclese el rea encerrada por la lemniscata de Geromo, donde: [0, 2] R2, est denida por(t) = (asen(t), asen(t)cos(t)).6. Calclese la integral deF: R2 R2, denido porF(x, y)=(3x2y, x3) en lafrontera de la reginA = {x, y) R2: x2 y 1}.7. Calclense las lneas de ujo del campo vectorial denido en R2, por F= yi x j .5.4. INTEGRALES DE SUPERFICIE 395.4. Integrales de SupercieSumarioEnestaleccinintroduciremosel conceptodeparametrizacindeunasupercie,producto vectorial y el clculo de reas de supercie, para, posteriormente, denir las integralesde supercie y los ujos, que son las extensiones a las integrales de lnea de un campo escalarydeuncampovectorial. El contenidocompletodeestaleccinsearticuladelasiguientemanera:V.4.1Parametrizacin de supercies en R3.V.4.2Espacio tangente y plano tangente.V.4.3Orientacin de una supercie.V.4.4Area de una supercieV.4.5Integrales de supercie de un campo escalar.V.4.6Integrales de supercie de un campo vectorial.V.4.7Relacin de ejercicios.5.4.1. Parametrizacin de supercies en R3SeaUun conjunto abierto de R3. Una supercieS es un conjunto del tipoS= {(x, y, z) U; f(x, y, z) = 0},para algn campo escalar f: U R continuo. Dicha supercie se dice determinadaporf.Nuestro objetivo es considerar las posibles representaciones paramtricas de unasupercieS.SeanAunsubconjuntode R2, g: A R3talesqueS=g(A).Elcampovectorial gsedicequeesunaparametrizacindelasupercieS.Dehecho,lascoordenadas de los puntos deS las representaremos comox = g1(u, v), y= g2(u, v), z= g3(u, v).Sig es de clase C1,g/A es inyectiva y rangoJg(u, v) = 2,(u, v) A, diremosqueS es una supercie simple.40 V.4. Integrales de supercieSe dice queS es una supercie localmente simple si, para cada puntoQ S,existe un entorno Vtal que SVes una supercie simple. En tal caso existe un conjuntoA0 de R2y una funcing0: A0 R3tal queV

S= g0(A0) y se dice queg0 es unaparametrizacin local deS.SeaS= g(A) una supercie simple, entonces se llama borde deS,S,S:= g(Fr(A)) = g(A).Se llama interior deS,Int(S) := g(int(A))NotaNotemos que los conjuntos recin denidos no tienen ninguna relacin con losconceptos topolgicos de frontera e interior deS.EjemploConsidrese un tronco de paraboloide parametrizado por g: B R3, denida porg(u, v) = (u, v, u2+ v2) y dondeB es el crculo de centro(0, 0) y radio1. Es claro queg(C), dondeCes la circunferencia de centro(0, 0) y radio1, es el borde deS, esto es,la circunferencia de radio uno contenida en el planoz=1 y centrada en(0, 0, 1). Porotra parte,Int(S) = {(x, y, z) R3: z= x2+ y2, x2+ y2< 1},esto es, el resto del tronco del paraboloide. Evidentemente este conjunto tiene interiorvaco desde el punto de vista topolgico.Veamos ahora algunos ejemplos de supercies parametrizadasEjemplos de supercies parametrizadas1. Sea A un subconjunto de R2y h : A R2un campo escalar. La grca de dichocampo escalar es una supercieSS= {(x, y, z) U; (x, y) A, z= h(x, y)},dondeg(x, y) =(x, y, f(x, y))eslaparametrizacintrivial delasupercieS= g(A).S es uns supercie simple siempre queh C1(U).As, por ejemplo, el paraboloideP,P= {(x, y, z) R3; z= a(x2+ y2)},es una supercie simple, ya queh(x, y) = a(x2+ y2) es de clase C1en R2.2. SeanUunabiertode R3yh: U R,unafuncindeclase C1ysinpuntoscrticos; entonces, para cadac R, la supercieS= {(x, y, z) U: h(x, y, z) = c},sedenominasuperciedenivel devalor c. SepuedeprobarqueSesunasupercie de nivel si, y slo si,S es una supercie localmente simple.Anlisis Matemtico 41Veamos ahora algunos ejemplos de supercies localmente simples.1. El cilindro.En efecto, sear>0. Los campos vectorialesg1, g2: [0, r] R R3denidaspor g1(x, y) =(_r2y2, y, z)yg2(x, y) =(_r2y2, y, z)sondosparame-trizacioneslocalesdel cilindror2=x2+ y2( x 0yx 0respectivamente).2. La esfera.En efecto, seanr> 0 yA = {(u, v) R2: u2+ v2 1}. Los campos vectorialesg1, g2: AR2denidas por g1(x, y) =(x, y,_r2x2y2) yg2(x, y) =(x, y, _r2x2y2) son dos parametrizaciones locales de la esfera x2+y2+z2=r2(z 0 yz 0 respectivamente ).3. El elipsoide.Dehecho, los campos vectoriales g1, g2: ER3denidos por g1(x, y) =(x, y, c_1 (x/a)2(y/b)2)yg2(x, y) =(x, y, c_1 (x/a)2(y/b)2)(don-de E es la elipse de semiejes a y b) son dos parametrizaciones locales del elipsoidede semiejesa ,b yc) (z 0 yz 0 respectivamente ).4. El cono.SeaA=]0, 2[R+. Los campos vectoriales g1, g2: AR3, denidas porg1(x, y)=(x, y,_x2+ y2)yg2(x, y)=(x, y, _x2+ y2)sondosparametriza-ciones locales del cono (z 0 yz 0 respectivamente ).Existenparametrizacionesglobalesparaloscilindros, esferasyconos?Larespuesta es armativa en algunos casos. De hecho, usando las cambios de coordenadasesfricas, cilndricas elpticas, se obtienen nuevas parametrizaciones:Ejemplos- Para la esfera basta considerarg: [0, 2] [/2, /2] R3denida porg(, ) = (acos()cos(), asen()cos(), asen()).- Para el cilindro basta considerarg: [0, 2] R R3denida porg(, z) = (acos(), asen(), z)).- Para el paraboloide basta considerarg: R+0 [0, 2] R3denida porg(, ) = (aacos(), asen(), a2).-Noparaelcono,sparaelsemicono,bastaconsiderarg: R+0 [0, 2] R3denida porg(, ) = (acos(), asen(), a).42 V.4. Integrales de supercieSea S= g(A) una supercie simple en R3, g: A R3una parametrizacin deSyB R2una regin del plano. Si : B A es una funcin biyectiva de clase C1y tal quedetJ(s, t) = 0, (s, t) B.Entonces la funcin h = g : B R3se dice que es una reparametrizacin de S.5.4.2. Espacio tangente y Plano tangente.SeaSuna supercie simple yg:A R3una parametrizacin deS=g(A).SeanP =(u0, v0) int(A)yQ=g(P) Int(S). Podemosconsiderarlascurvas(u) = g(u, v0) y (v) = g(u0, v), las cuales estn contenidas en S y pasan por el puntoQ = g(P). Los vectores tangentes a dichas curvas enQ vienen dados por

(u0) =gu(P) y

(v0) =gv(P).Se dice que un vectoru R3es un vectortangentea una supercieSenQ,siexisteunacurvacontenidaenSquepasaporelpuntoQyquetienetangenteendicho punto, esto es, existe: [, ] R3continua tal que Scon(0) = Q y

(0)=u. As pues, los vectoresgu(P) ygv(P) son vectores tangentes aSenQ.De hecho, se demuestra que todo vector tangente se puede escribir como combinacinlineal de dichos vectores. La condicin sobre el rango,Jg(u, v)=2,(u, v) A, en ladenicin asegura que dichos vectores son linealmente independientes.Se dene el espacio tangente aSenQ,TQ(S), como el subespacio vectorialde todos los vectores tangentes enQ. Como ya hemos visto, el cojunto de los vectoresgu(P) = (g1u (P), g2u (P), g3u (P))ygv(P) = (g1v(P), g2v(P), g3v(P))forman una base de dicho espacio tangente.Sedeneel planotangenteaSenel puntoQ=g(P)comoel planoquepasaporel puntoQycuyosvectoresdirectoressongu(P)ygv(P), estoes, Q + TQ(S).En consecuencia, el plano tangente tiene las ecuaciones paramtricas siguientes:(x, y, z) = Q + sgu(P) + tgv(P) (s, t R.Anlisis Matemtico 43Lacondicinsobreelrango, Jg(u, v)=2, (u, v) A,aseguraqueexisteelplano tangente a S en el punto Q, lo que se traduce en que la supercie no tiene vrtices aristas.Recordemos que dadosu=(u1, u2, u3) ev=(v1, v2, v3) dos vectores de R3, sedene su producto vectorial,u v comou v= (M11, M12, M13),siendoMijeladjuntodelelementoaijdecualquiermatrizcuadradadeorden3,cu-yassegundayterceralasseanlascoordenadasdeuyvrespectivamente. Sabemosque dicho vector es perpendicular a los vectoresu yvy su sentido sigue la regla delsacacorchos.As pues, en nuestro caso, el vector,gu(P) gv(P). es un vector perpendicular alplano tangente. Dicho vector se denomina vector normal aS en el puntoQ, Ng(P),Ng(P) :=gu(P) gv(P).SiS es una supercie localmente simple pueden existir aristas.5.4.3. Orientacin de una supercie.En esta seccin abordamos el problema de asignar una orientacin a una supercie.De manera intuitiva, una supercie en R3se dir orientable si es posible decidir, sinambigedad, cul es cada uno de los lados de la supercie. La herramienta con la quese puede precisar esta idea es el concepto de vector normal a la supercie: Su misinser la de apuntar en la direccin de uno de los lados de la supercieSe dice que una supercieSes orientable cuando existe un campo continuoN: S R3queasociaacadapuntoQ SunvectorunitarioN(Q)normalaS(vector perpendicular al plano tangente). La continuidad nos asegura que los vectoresnormales no cambian repentinamente de sentido.Si Ses una supercie orientable, el campoNle asigna aSuna orientacin.As, la supercieS junto con el campoNdeterminan una supercie orientada.Proposicin 5.4.1.Toda supercie simple es orientableSi g: A R2R3es una parametrizacin de S, recordemos que Ng(P) es unvector ortogonal al plano tangente aS enQ = g(P)44 V.4. Integrales de supercieAs pues, en el caso de una supercie simple, podemos considerar el siguientecampo de vectores normales aS,N: S R3, denida porN(Q) =Ng(P)||Ng(P)||.Se suele decir que la parametrizacin g determina una orientacin en la supercieS= g(A).Como ejemplo, consideramos el tronco del paraboloidez=x2+ y2por debajodel planoz=1, esto es, S=g(D), dondeDes el disco de centro(0, 0) y radio1 yg(u, v) = (u, v, u2+ v2). Es fcil ver queN(Q) = N(g(u, v)) =(2u, 2v, 1)4u2+ 4v2+ 1,es un vector normal aS en el puntoQ = g(u, v)Esclaroqueelvector(0, 0, 1),queapuntahaciaelinteriordelparaboloideesunvector del campo, ya que(0, 0, 1) = N(g(0, 0)),luego la orientacin que proporcionaNes hacia el interior deS.De manera anloga a las curvas, una reparametrizacin puede invertir no laorientacin de una supercie. Esto cocurre segn que detJ(s, t) sea negativo positivo,respectivamente.5.4.4. rea de una supercieSea S= g(A) una supercie simple en R3, parametrizada por la funcin g: A R2R3. Se dene el rea deS,Area(S),Area(S) =_A||Ng(u, v)||d(u, v).Como era de esperar, se demuestra que el rea de una supercie no depende dela parametrizacin deS.En el caso particular en que S sea la grca de una funcin h : A R2R declase C1, es fcil ver que el vectorNg(u, v) = (hv(u, v), hu(u, v), 1)y por tantoAnlisis Matemtico 45Area(S) =_A_1 + (hu(u, v))2+ (hv(u, v))2d(u, v).En el caso del ejemplo anteriorArea(S) =_A1 + 4u2+ 4v2d(u, v) =_20_10_1 + 42ddt = /6(53/21).5.4.5. Integrales de supercie de campos escalaresSeaS=g(A)unasuperciesimpleen R3,parametrizadaporlafuncing:A R2 R3(basta quegsea de C1, inyectiva y rango (Jg(u, v)) sea igual 2, salvoen un conjunto de medida nula) yf: S R un campo escalar continuo. Se dene laintegral de supercie del campofsobreS,_SfdS=_Af(g(u, v))||Ng(u, v)||d(u, v).En particular,_S1dS= Ar(S).SeaSuna supercie simple en yf : S R un campo escalar continuo. Sedene el valor medio defsobreS comofS=_S fdSAr(S) .Si la supercie S es unin nita de supercies simples =

Si, cuyas interseccionessean de medida cero (esfera, tronco de cono, ortoedro, etc,) entonces podemos denir_SfdS=

i_SifdS.Veamos ahora algunas de las propiedades ms caractersticas.Proposicin 5.4.2. Sean S una supercie simple parametrizada por un campo vectorialg, U un abierto de Rnque contenga a S y f, g: U R dos campos escalares continuos.Entonces:1. _S(rf+ sg)dS= r_S fdS + s_S gdS, r, s R.46 V.4. Integrales de supercie2. Sih es una reparametrizacin deS, entonces_SgfdS=_ShfdS.( El valor de la integral_S fdS no depende de la parametrizacin que se considereenS.)3. Si Tes otra supercie simple parametrizada porh tal quemedida(S T)=0 yS T U, se tiene que_STfdS=_SfdS +_TfdS.EjemploUn helicoide es una supercieS parametrizada porg: A R3, denida porg(r, ) = (rcos, rsen, ),y dondeA=[0, 1] [0, 2]. Calclese su rea y _S fdS, dondefes el campo escalardenido porf(x, y, z) =_x2+ y2+ 1.5.4.6. Integrales de supercie de un campo vectorialSupongamos queF: R3R3es un campo continuo que representa el campodevelocidadesdeunuidoyseaSunasuperciesimple. Setratadevercul eslacantidaddeujoquepasaatravsdelasupercieS, ademsdel sentidoenquelohace.Sean S= g(A) una supercie simple en R3parametrizada por g: A R2R3,(basta que g sea de C1, inyectiva y rango (Jg(u, v)) sea igual 2, salvo en un conjunto demedida nula), Uun abierto de R3que contenga a S y F: U R3un campo vectorialcontinuo. Se dene la integraldesuperciedeFsobreS, llamada ujodeFatravs deS como_SgFdS=_A< F(g(u, v)), Ng(u, v) > d(u, v).Ntese queN(g(u, v)) =Ng(u,v)||Ng(u,v)||y por tantoF.N=< F(g(u, v)), N(g(u, v)) >=< F(g(u, v)), Ng(u, v) > ||Ng(u, v)||,esto es, _SgFdS=_S F.NdS.Anlisis Matemtico 47As pues, si al calcular _SgFdSnos sale positiva, fsicamente signica que elujo del campo atraviesa la supercieSen el mismo sentido queNg. Por el contrario,si sale negativa, el ujo del campo atraviesaS en el sentido opuesto aNg.Si la supercie S es unin nita de supercies simples =

Si, cuyas interseccionessean de medida cero (esfera, tronco de cono, ortoedro, etc,) entonces podemos denir_SFdS=

i_SiFdS.Ensuperciesconcretas, comoel paraboloidelaesfera, sepuedeversi laorientacin dada hace que los vectores normales apunten hacia el interior deS el exterior de S, con lo cual sabremos si el ujo atraviesa la supercie hacia el interioroelexterior.Encualquiercaso,lacantidaddeujoqueatraviesalasupercieeslamisma e igual al valor absoluto de la integral.EjemploSea S la porcin del paraboloide de ecuacin z= u2+v2que intersecta al cilindrocentradoenel origendecoordenadasyderadio1(u2+ v21). ConsideremoselcampoF: R3R3denido porF(x, y, z) = (x, y, z 1), (x, y, z) R3. Se obtienefcilmente que_SFdS= 3/2.El resultado indica que el ujo atraviesa aSen sentido contrario al vectorN.Evaluando ste en un punto concreto, por ejemplo el(0, 0), se tieneN(0, 0) = (0, 0, 1);esto es, N apunta hacia el interior de S, por tanto el ujo atraviesa el paraboloide haciael exterior.Veamos ahora algunas de las propiedades ms caractersticas.Proposicin 5.4.3. Sean S una supercie simple parametrizada por un campo vectorialg, UunabiertodeRnquecontengaaSyF, G: URndoscamposvectorialescontinuos. Entonces:1. _Sg(rF+ sG)dS= r_SgFdS + s_SgGdS, r, s R.2. Sih es una reparametrizacin deS, entonces_SgFdS= _ShFdS,segn que la reparametrizacin conserve o no la orientacin.(Esta integral es in-variante por reparametrizaciones que no cambien la orientacin de la supercie).48 V.4. Integrales de supercie3. Si Tes otra supercie simple parametrizada porh tal quemedida(S T)=0 yS T U, se tiene que_STFdS=_SFdS +_TFdS.NotaNtese que la segunda propiedad es algo diferente a la correspondiente integralde supercie de campos escalares en analoga con las integrales de lnea para camposvectoriales.5.4.7. Relacin de ejercicios1. Calclese la supercie de un toroT(R, r), sabiendo que su parametrizacin vienedada porg: [0, 2] [0, 2] R3denida porg(x, y) = ((R + rcos(y))cosx, (R + rcos(y))senx, rsen(y)).2. Calcleseel areadel troncodeparaboloidez =x2+ y2situadoentreel planoz= 0 y el planoz= 1.3. Calclese el area del tronco de cono z2= 3(x2+y2) comprendido entre los planosz= 0 yz= 3.4. Calclese la integral de supercie del campo escalar f(x, y, z) = x2+y2+z2sobreel tronco de cono del ejercicio anterior.5. Calclense las integrales de supercie de los campos escalaresf(x, y, z)=ax +by + z yf(x, y, z) = xy + z2sobre el toroT(R, r).6. Calcleselaintegral desuperciedel campovectorial F(x, y, z) =(ax + by+z, xy + z2, z) sobre el toroT(R, r).7. Calcleseelvalormediodelasumadetresnmerosnonegativos,talesquelasuma de sus cuadrados es siempre igual a la unidad. (Sol.: 3/2)8. Calcleseel valormediodel productodetresnmerosnonegativoscuandosusuma es siempre igual a la unidad. (Sol.: 1/60)9. Calclese el ujo del campoF: R3 R3, denido porF(x, y, z)=(x, y, z) atravs de la esfera centrada en el origen de coordenadas y radior10. Sea F: R3R3denido por F(x, y, z) = (3z 2x, 0, 2z x) y S= {(x, y, z) R3: x + y + z= 1, x, y, z 0}. Calclese _S FdS.5.5. TEOREMAS DE STOKES Y DE LA DIVERGENCIA 495.5. Teoremas de Stokes y de la divergenciaSumarioEn esta leccin presentaremos los teoremas de Stokes y de la divergencia en el espacioo de Gauss. El primero nos relaciona las integrales de supercie con las integrales de lnea ycon las triples el teorema de la divergencia. El contenido completo de esta leccin se articulade la siguiente manera:V.5.1Teorema de Stokes.V.5.2Teorema de la divergencia en el espacio.V.5.3Identidades de operadores.V.5.4Relacin de ejercicios.5.5.1. Teorema de StokesEn un primer momento abordamos el teorema de Stokes, generalizacin a R3del teorema de Green. ste estableca la relacin entre la integral de lnea del campoalolargodeunacurvacerradasimple, fronteradeunaregincompactaA R2,yuna integral doble sobre la reginA de cierta funcin (obviamente relacionada con elcampo).El teorema de Stokes generalizar esta situacin en el sentido siguiente: sea la re-gin A de R2y sea g: A R3una parametrizacin de una supercie simple S= g(A)orientada. El teorema establece la relacin entre la integral de lnea a lo largo del bordepositivamenteorientadoylaintegral desuperciedel camporotacional sobrelasu-percie S. Pero qu se entiende por borde positivamente orientado? Intuitivamente, siconsideramos un observador que camina a lo largo del borde de una supercie, de ma-nera que el vector normal seala desde sus pies hacia la cabeza, entonces la orientacines positiva si la supercie queda a la izquierda.Consideremos por ejemplo el tronco de paraboloideSz=x2+ y2entrez=0yz =1. Sabemosqueel bordedel paraboloidees g(C((0, 0), 1), dondeg(x, y) =(x, y,_x2+ y2). Como ya hemos vistoNg(x, y) = (2x, 2y, 1),en particular apunta hacia el interior del paraboloide. As pues la orientacin positivadel borde coincide cong(), donde: [0, 2] R2denida por(t) = (cost, sent).50 V.5. Teoremas de Stokes y de la divergenciaEngenerallaorientacinpositivadelbordeS+eslaimagendelafronteradel conjuntoA recorrida en sentido positivo. Esta orientacin se llama frecuentementeorientacin inducida.SeaUun abierto de R3yF: U R3un campo diferenciable. Se dene elrotacional deFen un puntoP UporrotF(P) = (F3y(P) F2z(P), F1z(P) F3x(P), F2x(P) F1y(P)).Obsrvese que siUes un abierto sin agujeros, entoncesFes conservativo si, yslo si,rotF= 0.Teorema 5.5.1.(Teorema de Stokes)SeanSuna supercie simple yg: A R2R3de clase C2una parametrizacinque determina una orientacin enS,Uun abierto de R3que contenga aS yF: U R3un campo de clase C1. Entonces_S+Fds =_SrotFdS.Si Sno tiene frontera, como es el caso de la esfera, entonces la integral de laderecha es cero.Con una tcnica similar a la que hicimos en la leccin5,3 con el teorema de ladivergencia, usando el teorema de Stokes podemos comprobar querotF(g(u, v))N(g(u, v) = lim012_B+Fds.Este resultado se puede interpretar armando que la componente normal de uncampo vectorial (rotF) sobre una supercie orientadaSes igual a la integral de lneade la componente tangencial de Fsobre la frontera de F. Esto nos permite comprenderel signicado preciso derotFrespecto del movimiento de un uido en el queFes sucampo de velocidades: La circulacin_B+F ds es la velocidad neta del uido alrededordeB, de modo querotFNrepresenta el efecto de giro o rotacin del uido alredordel ejeN.EjemploseseelteoremadeStokesparaevaluarlaintegral _Cy3dx + x3dy z3dz,dondeCes la interseccin del cilindrox2+ y2=1 y el plano x + y + z=1, y laorientacin en C corresponde a un movimiento en sentido contrario al de las agujas delreloj en el planoz= 0.Anlisis Matemtico 515.5.2. Teorema de la divergencia en el espacioSeaUun conjunto abierto. Se dice queUes un dominio si es arcoconexo, estoes, si dados dos puntos cualesquieraPyQ, existe una curva, tal queP, Q U. DiremosqueundominioacotadoDesundominioregularcuandosufronteraseaunasupercielocalmentesimple. Todasuperciequeesfronteradeundominioacotado se dice que es una supercie cerrada. Diremos que la supercie est orientadapositivamente si, a cadaQ S le asocia un vector normal que apunta hacia el exteriordel dominio.Recordemos que si Ues un abierto de R3, F=U R3un campo vectorialdiferenciable yPun punto deU, se dene la divergencia del campoFen el puntoPcomodivF(P) =F1x(P) +F2y(P) +F3z(P).Como ejemplo de dominios regularesD de R3, consideramos aquellos que seande alguno de uno de los tres tipos siguientes;Tipo I, esto,es, de la forma{(x, y, z) R3; (x, y) A1, 1(x, y) z 2(x, y)}.Tipo II esto es, de la forma{(x, y, z) R3; (x, z) A2, 1(x, z) y 2(x, y)}.Tipo III esto es, de la forma{(x, y, z) R3; (y, z) A3, 1(y, z) x 2(y, z)}.DondeA1, A2, A3son regiones y-simple, x-simple, y todas las funciones que aparecenson de clase C1. Por ejemplo, la bola unidad,B, es un dominio regular, basta observarqueB no es otro que el conjunto{(x, y, z); x [0, 1], y [1 x2,1 x2], z [_1 x2y2,_1 x2y2]}.Los conjuntos del tipo {x, y, z) R3; (x, y A1)z=i(x, y)} (anlogamentecony=i(x, z), x=i(y, z)) reciben el nombre de caras. Estos ejemplos elementalesdedominiosregularestienencomomnimodoscaras(porejemploenel conjuntoBanterior, las caras son los dos hemisferios) y como mximo seis (por ejemplo el ortoedro)El teoremadeladivergenciaparacamposenR3vaarelacionarlaintegralde un campoFsobre un determinado tipo de supercieScon la integral triple de ladivergencia deFsobre un dominioD determinado porS.52 V.5. Teoremas de Stokes y de la divergenciaTeorema 5.5.2.(Teorema de Gauss o la divergencia en el espacio)SeaD un dominio regular,Sla frontera de dicho dominio regular, superce orien-tadapositivamente. Entonces, si UesunabiertodeR3quecontengaaDyaSyF: U R3un campo vectorial de clase C1, se tiene_SFdS=_DdivFd(x, y, z).Este teorema nos permite calcular el ujo de un campo a travs de una supercie,sinconocerunaparametrizacinconcreta, ya que, segn el teorema, calculandola integral triple, el resultado ser siempre el ujo que atraviesa la supercie hacia elexterior.Si Fesuncampodevelocidadesdeunuido, ladivergenciadel campoFrepresenta una medida del ujo del campo por unidad de volumen, en cada punto PdeU.EjemploConsiderseel campovectorial F(x, y, z) =(2x, y2, z2)yseaSlaesferaunidad.Calclese _S FdS.5.5.3. Identidades de operadoresPara nalizar el captulo, vamos a recapitular algunos resultados en trminos dealgunos operadores.Llamaremosoperadorgradientealaaplicacin : f fparacadacampo escalarf. Sus propiedades ms elementales son:1. (f+ g) = (f) +(g).2. (rf) = r(f)(r R).3. (fg) = f(g) + g(f).4. (f/g) = (g(f) f(g))/g2, siempre queg(x) = 0.Llamaremos operador divergencia a la aplicacin div: F divFpara cadacampo vectorialF. Sus propiedades ms elementales son:1. divF= F.2. div(F+ G) = div(F) + div(G).3. div(fF) = fdiv(F) +f.Anlisis Matemtico 534. div(f g) = 0.Llamaremos operadorlaplaciano o de Laplace a la aplicacin 2:f div(f) para cada campo escalarf. Sus propiedades ms elementales son:1. 2(fg) = f2g + g2f+fg.2. div(fg gf) = f2g g2f.Llamaremos operadorrotacional a la aplicacinrot : F rotFpara cadacampo vectorialF. Sus propiedades ms elementales son:1. rotF= F.2. rot(F+ G) = rot(F) + rot(G).3. div(F G) = GrotF FrotG.4. divrot(F) = 0.5. rot(fF) = frot(F) +f F.6. rot(f) = 0.Por otra parte, en trminos de operadores, puede escribirse,rotF= F,y por tanto la tesis del teorema de Stokes, queda_S+Fds =_SFdS.5.5.4. Relacin de ejercicios1. Comprubese el teorema de Stokes en los siguientes casos:a) SeaF: R3R3denida porF(x, y, z) = (xy, 2xz, 3yz) yS= {(x, y, z) R3: x + y + z= 1, x, y, z 0}.b) Sea F: R3R3denida por F(x, y, z) = (x2y, 3x3z, yz2) y S= {(x, y, z) R3: x2+ y2= 1, 1 z 1}.2. SeaSel tronco del cilindrox2+ y2=1 acotado por los planosz= 1 yz=1incluyendo las bases y seaF(x, y, z) = xyi + x2yj + yk. Calclese _S FdS3. SeaS la esfera unidad. sese el teorema de la divergencia para calcular_Sx2+ y + zdS.54 V.5. Teoremas de Stokes y de la divergencia4. Calclese el ujo del campoF: R3 R3, denido porF(x, y, z) = (0, esenxz+tgz, y2) a travs del elipsoide superior2x2+ 3y2+ z2=6, z 0 con su normaldirigida hacia arriba.5. Calclese el ujo del campoF(x, y, z) = xyi + (y2+exz2j +sen(xy)k a travs dela supercie frontera de la regin acotada por el cilindro parablicoz= 1 x2ylos planosz= 0, y= 0, y + x = 2.