Analisis Vectorial

Apuntes de

ANALISIS VECTORIAL I

Hector Fiel

23 de junio de 2010

1

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Nota preliminar:Estos apuntes se crearon para la asignatura de Analisis Vectorial I impartida en la

ETSIT de Malaga en el primer curso de Ingenierıa Superior de Telecomunicacion. Con-cretamente pertenecen al curso 2003-2004, y fueron tomados en las clases de Da GloriaGalan, a la que agradezco desde aquı su papel como profesora.

Estos apuntes se suministran tal cual. Se ha intentado en la medida de lo posibleeliminar todas las erratas, pero no se puede garantizar su correccion. En caso de detectaralgun error, o si se tiene alguna sugerencia, te ruego me escribas a [email protected].

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Hector Fiel - Junio de 2010.

Indice general

I Campos Escalares y Vectoriales 8

1. Introduccion a Rn 91.1. Definicion de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Estructura de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Topologıa de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Definiciones de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Propiedades de los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Ejercicios de ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Campos escalares y vectoriales 162.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1. Dominio de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2. Dominio de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Representacion de campos: Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Representacion de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.1. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2. Superficies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6. Lımites de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6.1. Notacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6.2. Propiedades: Algebra de lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6.3. Tecnicas de calculo de lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7. Lımites de Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8. Continuidad en campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9. Continuidad en campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9.1. Teorema de la continuidad de los campos vectoriales . . . . . . . . . 322.10. Composicion de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.10.1. Continuidad en composicion de funciones de varias variables . . . . . 32

II Derivacion 33

3. Derivacion en campos escalares y vectoriales 343.1. Derivadas parciales de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

INDICE GENERAL 4

3.1.1. Funciones derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2. Notacion en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.3. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.4. Derivadas parciales cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.5. Teorema de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Derivadas parciales y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Derivada direccional de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4. Diferenciablidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5. Diferenciabilidad de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6. Teorema de unicidad de la diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7. Teorema de continuidad en campos diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 403.8. Teorema de condicion suficiente de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . 403.9. Pasos para estudiar la diferenciablidad de un campo . . . . . . . . . . . . . 413.10. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.11. Matriz asociada a una aplicacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.12. Diferenciablidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.12.1. Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.13. Vector gradiente y superficies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.13.1. Calculo del plano tangente a una superficie en un punto . . . . . . . 463.14. Aproximacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.14.1. Interpretacion geometrica de la aproximacion lineal . . . . . . . . . . 473.15. Diferenciabilidad en campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.15.1. Teorema de diferenciabilidad de campos vectoriales . . . . . . . . . . 473.16. Matriz asociada a la diferencial en un campo vectorial . . . . . . . . . . . . 48

3.16.1. Teorema para el calculo de la matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . 483.16.2. La matriz Jacobiana como generalizacion de la derivada . . . . . . . 48

3.17. El operador diferencial nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.18. Operaciones con ∇ en campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.18.1. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.18.2. Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.18.3. Laplaciano de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.18.4. Interpretacion fısica de los operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Diferenciablidad de campos por composicion 504.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2. Derivadas sucesivas de la composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Diferenciablidad de funciones implıcitas 545.1. Determinante jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2. Funcion Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.1. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3. Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.1. Exigencias y consideraciones del teorema . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.2. Demostracion y ejemplo de la regla de la cadena . . . . . . . . . . . 56

5.4. Sistemas de ecuaciones implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5. Derivadas parciales y diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6. Derivadas sucesivas de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

INDICE GENERAL 5

5.7. Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.8. Teorema de Taylor para campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.8.1. Expresion de En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.8.2. Teorema de Taylor para f : Rn → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.8.3. Calculo del polinomio de Taylor de una funcion definida implıcitamente 65

6. Extremos de campos escalares 666.1. Maximos y mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2. Existencia de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2.1. Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.3. Localizacion de extremos absolutos y relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3.1. Teorema de localizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3.2. Punto crıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3.3. Interpretacion geometrica de los puntos crıticos . . . . . . . . . . . . 676.3.4. Anotacion al teorema de localizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3.5. Punto de silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3.6. ¿Donde puede haber extremos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3.7. Localizacion de extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4. Localizacion de extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.1. Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.2. Criterio de clasificacion de puntos crıticos . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.3. Demostracion del criterio de clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . 706.4.4. Generalizacion del criterio de clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.6. Metodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.6.1. Expresion general del problema de los extremos condicionados . . . 746.6.2. Metodo de los multiplicadores de Lagrange para una condicion . . . 746.6.3. Metodo de los multiplicadores de Lagrange para varias condiciones . 756.6.4. Demostracion de la condicion ∇g 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.6.5. Metodo de los multiplicadores de Lagrange para extremos absolutos

condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.6.6. Metodo de los multiplicadores de Lagrange para extremos relativos

condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

III Integracion 79

7. Integral de Lınea 807.1. La integral de lınea como extension del concepto de integral . . . . . . . . . 807.2. Funciones vectoriales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3. Representacion grafica de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 817.4. Funciones vectoriales regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.5. Definicion de la integral de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.5.1. Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.6. Expresion de la integral de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.6.1. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.7. Propiedades de las integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

INDICE GENERAL 6

7.7.1. Notacion para curvas cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.8. Campos gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.9. Conjunto conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.9.1. Conjunto simplemente conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.9.2. Conjunto convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.10. Teorema de los campos gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.11. Condicion necesaria para que un campo sea un gradiente . . . . . . . . . . . 887.12. Condicion necesaria y suficiente para que un campo sea un gradiente . . . . 907.13. Calculo de un potencial asociado a un gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8. Integrales dobles 968.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.2. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.3. Integrales dobles en funcion de Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 97

8.3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.4. Interpretacion geometrica de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.5. Calculo de integrales dobles por integracion iterada . . . . . . . . . . . . . . 988.6. Teorema de la existencia de la

∫∫. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.7. Recintos de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.8. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.8.1. Demostracion para recintos de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.9. Cambio de orden de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.10. Cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.11. Transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.11.1. Aplicacion de la transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.12. Integrales dobles impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.12.1. Integrales dobles impropias en recintos no acotados . . . . . . . . . . 1058.12.2. Integrales dobles impropias con f(x, y) no acotado en el dominio . . 1058.12.3. Ejemplos de integrales dobles impropias . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9. Integrales Triples 1079.1. Integrales triples y sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2. Calculo de integrales triples por integracion iterada . . . . . . . . . . . . . . 1079.3. Teorema de Fubini para integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.4. Interpretacion geometrica de la integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.5. Cambios de variable en integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.5.1. Transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.5.2. Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.5.3. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.5.4. Variante para las coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.5.5. Ejemplos de cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.6. Integrales triples impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.7. Integral multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10.Integracion y curvas en polares 115

INDICE GENERAL 7

11.Integrales de superficie 12111.1. Representacion de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11.1.1. Clasificacion de superficies parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . 12211.1.2. Producto vectorial fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.1.3. Clasificacion de los puntos de una superficie parametrica . . . . . . . 12311.1.4. Superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.1.5. Uso de las coordenadas como parametros . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.2. Area de una superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.2.1. Caso particular con parametros (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.2.2. Caso particular con funciones implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.2.3. Ejemplos de calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

11.3. Integral de superficie de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12811.3.1. Caso particular con parametros (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.4. Cambio de representacion parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

12.Integrales de flujo 13012.1. La integral de flujo como integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.2. Notacion mediante cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

12.2.1. Caso para expresiones explıcitas de S . . . . . . . . . . . . . . . . . 13112.2.2. Traslado del caracter vectorial de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

12.3. Ejemplos de integral de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

13.Teoremas integrales 13713.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

13.1.1. Curva de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.1.2. Teorema de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.1.3. Demostracion del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13813.1.4. Funcion Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13913.1.5. Funcion β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14013.1.6. Ejemplos del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

13.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14613.2.1. Ejemplo del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14913.3.1. Anotacion sobre el teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15113.3.2. Ejemplo del teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Parte I

Campos Escalares y Vectoriales

8

Capıtulo 1

Introduccion a Rn

1.1. Definicion de Rn

Definimos Rn como una extension de R de la siguiente forma:

R2 : R× R = {(x, y)�x, y ∈ R}R3 : R× R× R = {(x, y, z)�x, y, z ∈ R}...

......

Rn : R× · · · × R = {(x1, · · · , xn)�xi ∈ R, 1 ≤ xi ≤ n}

1.2. Notacion

Por comodidad, los elementos (x1, · · · , xn) ∈ Rn se expresaran en forma compacta conla representacion de vector ~x:

~x = (x1, · · · , xn)

1.3. Estructura de Rn

En Rn podemos definir las siguientes operaciones y sus propiedades:

Suma(x1, · · · , xn) + (y1, · · · , yn) = (x1 + y1, · · · , xn + yn)

∀(x1, · · · , xn), (y1, · · · , yn) ∈ Rn

Producto Externoα(x1, · · · , xn) = (αx1, · · · , αxn)∀α ∈ R,∀(x1, · · · , xn) ∈ Rn

Por las propiedades de las operaciones + y · en Rn podemos afirmar que (Rn,+, ·)es un espacio vectorial.

Producto Escalar

~x · ~y = (x1, · · · , xn) · (y1, · · · , yn) = (x1y1 + · · ·+ xnyn) =n∑i=1

xiyi

∀~x, ~y ∈ Rn

9

CAPITULO 1. INTRODUCCION A RN 10

Como tenemos producto escalar, podemos afirmar que (Rn,+, ·) es un espacio vec-torial euclideo.

Con estas operaciones podemos definir dos nuevos conceptos:

Norma de un vector

‖~x‖ =√~x · ~x =

√√√√ n∑i=1

x2i ∀~x ∈ Rn

Propiedades de la norma

‖~x‖ ≥ 0 ∀~x ∈ Rn‖~x‖ = 0 ⇐⇒ ~x = ~0‖α~x‖ = | α | ·‖~x‖ ∀α ∈ R,∀~x ∈ R‖~x+ ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ ∀~x, ~y ∈ Rn

Distancia entre dos vectores

d(~x, ~y) = ‖~x− ~y‖ =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2 =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2 ∀~x, ~y ∈ Rn

Propiedades de la distancia

d(~x, ~y) = 0 ⇐⇒ ~x = ~yd(~x, ~y) ≥ 0 ∀~x, ~y ∈ Rnd(~x, ~y) = d(~y, ~x) ∀~x, ~y ∈ Rnd(~x, ~y) ≤ d(~x, ~z) + d(~z, ~y) ∀~x, ~y, ~z ∈ Rn

A esta ultima propiedad se le llama propiedad triangular.

1.4. Topologıa de Rn

En este apartado vamos a estudiar la estructura de los subconjuntos de Rn que sedefinen a continuacion:

Bola abierta:

Sea ~a ∈ Rn y sea r ∈ R, r > 0. Se define la bola abierta B con centro ~a y radio rB(~a, r) como el conjunto de ~x ∈ Rn:

B(~a, r) = {~x ∈ Rn�d(~a, ~x) < r}

En R2 serıa un cırculo excluida la circunferencia.

En R3 serıa una esfera excluida la superficie.

Del mismo modo podemos definir la bola cerrada:


Bola cerrada:

B(~a, r) = {~x ∈ Rn�d(~a, ~x) ≤ r}

La diferencia se halla en la frontera (en este caso si se incluyen la circunferencia delcırculo (en R2) y la superficie de la esfera (en R3).

Bola abierta perforada:

Es la bola abierta B(~a, r) excluido el centro ~a:

B′(~a, r) = B(~a, r)− {~a}

Bola cerrada perforada:

Es la bola cerrada B exluido el centro ~a:

B′(~a, r) = B(~a, r)− {~a}

Ahora vamos a clasificar los elementos de Rn respecto de un subconjunto A ⊆ Rn:

Punto interior:Sea ~a ∈ Rn; ~a es punto interior a A si esta totalmente rodeado de puntos de A, esdecir:

∃B(~a, r)�B(~a, r) ⊂ A

El conjunto de todos los puntos interiores al conjunto A se llama interior de A, yse denota A.

Punto exterior:Sea ~a ∈ Rn; ~a es punto exterior a A si esta totalmente rodeado de puntos que /∈ A,es decir:

∃B(~a, r)�B(~a, r) ⊂ CA

donde CA es el complementario de A.El conjunto de todos los puntos exteriores al conjunto A se llama exterior de A yse denota ExtA.

Punto frontera:Sea ~a ∈ Rn; ~a es punto frontera de A si esta rodeado de puntos de A y de CA, esdecir:

∀B(~a, r) se tiene que

{B(~a, r) ∩A 6= ∅B(~a, r) ∩ CA 6= ∅

El conjunto de los puntos frontera de A es la frontera de A y se denota FrA.

Durante la realizacion de ejercicios, y solo como comprobacion de los resultados, puedenresultar utiles las siguientes relaciones:

1. A ∪ FrA ∪ ExtA = Rn

2. A ⊂ A (puede coincidir o no)

3. ExtA ⊂ CA (puede coincidir o no).


4. La FrA puede o no pertenecer a A.

5. Cualquier punto de Rn pertenece a uno de los tres subconjuntos (frontera, interior,exterior)

Ademas de esta clasificacion, un punto puede ser otras cosas respecto de A:

Punto de adherencia:Sea ~a ∈ Rn, ~a es punto de adherencia de A si:

es de Aosin pertenecer a A esta muy cerca

Matematicamente, ~a es punto adherente si:

∀B(~a, r)⇒ B(~a, r) ∩A 6= ∅

PE: (0, 1] en R; 0 /∈ R, pero pertenece a la adherencia.

El conjunto de los puntos de adherencia se llama adherencia o cierre de A y sedenota A.

Dentro de los puntos de adherencia encontramos dos tipos:

• Puntos aisladosSea ~a ∈ Rn; ~a es un punto aislado de A si:

∃B(~a, r)�B(~a, r) ∩A = {~a}

o∃B′(~a, r)�B′(~a, r) ∩A = ∅

• Puntos de acumulacionSon los puntos de adherencia que no son aislados, o los que sin ser de A estanmuy cerca.

Sea ~a ∈ Rn; ~a es un punto de acumulacion de A si:

∀B′(~a, r)⇒ B′(~a, r) ∩A 6= ∅

Estos puntos son los que cumplen el contrario de la segunda definicion de puntoaislado

El conjunto formado por todos los puntos de acumulacion se llama conjuntoderivado1 y se denota A′.

Ahora que hemos visto todos los conceptos, veamos un ejemplo:

A = (0, 1] ∪ {2}

A = (0, 1) ; ExtA = (−∞, 0) ∪ (1, 2) ∪ (2,∞)

FrA = {0, 1, 2} ; A = [0, 1] ∪ {2} ; A′ = [0, 1]

1No confundir con el concepto de derivada


1.5. Definiciones de conjuntos

Ahora veremos las definiciones de algunos conjuntos en funcion de las propiedades desus elementos.

Conjunto abiertoSea A ⊆ Rn; A es un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores, esdecir, A = A.

Ejemplos de conjuntos abiertos:

• Una bola abierta en Rn.

• El conjunto vacio, ya que al no tener puntos, todos son interiores.

• El propio Rn es un conjunto abierto en Rn.

Conjunto cerradoSea A ⊆ Rn; A es un conjunto cerrado si su complementario es abierto.

Ejemplos de conjuntos cerrados:

• Una bola cerrada.

• El conjunto ∅, ya que su complementario, Rn, es abierto.

• El propio Rn, ya que su complementario, ∅, es abierto.

Por lo tanto, ∅ y Rn son los unicos conjuntos que son, a la vez, abiertos y cerrados.Son los casos triviales.

Conjunto acotadoSea A ⊆ Rn; A es un conjunto acotado si:

∃B(~a, r)�A ⊆ B(~a, r)

Conjunto compactoSea A ⊆ Rn; A es un conjunto compacto si es a la vez cerrado y acotado.

Por ejemplo, el conjunto:

CN = (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) · · ·

es cerrado, (porque su complementario, N, es abierto), pero no esta acotado

1.6. Propiedades de los conjuntos

Los conjuntos que acabamos de definir cumplen las siguientes propiedades:

1. La union y la interseccion finitas de conjuntos abiertos forman un conjunto abierto.

2. La union y la interseccion finitas de conjuntos cerrados forman un conjunto cerrado.

3. La union infinitade conjuntos abiertos es un conjunto abierto (de la interseccion nopuedo decir nada).

4. La interseccion infinitade conjuntos cerrados es un conjunto abierto (de la union nopuedo decir nada).


1.7. Ejercicios de ejemplo

1. Estudiar la topologıa del conjunto A y dar el interior, exterior, fontera, cierre ypuntos aislados.

A = (0, 2]× [1, 5) ∪{(

5 +1

n,

n

n2 + 1

)}n∈N

a) Interior de A:A = {(0, 2)× (1, 5)}

que es el interior del rectangulo sin incluir los segmentos que forman sus verti-ces.

b) Frontera de A:

FrA =

{(x, y) ∈ R2� x = 0

1 ≤ y ≤ 5

}∪{

(x, y) ∈ R2� x = 21 ≤ y ≤ 5

}∪

∪{

(x, y) ∈ R2� 0 ≤ x ≤ 2y = 1

}∪{

(x, y) ∈ R2� 0 ≤ x ≤ 2y = 5

}∪

∪{(

5 +1

n,

n

n2 + 1

)}n∈N∪ (5, 0)

que son cada uno de los segmentos del rectangulo, incluyendo los extremos.Hay que notar que los puntos donde los segmentos se cortan (las esquinas deltriangulo) se cuentan mas de una vez, pero mientras no nos dejemos ninguna,no importa que se repitan. A estos segmentos, hay que anadir el punto (5, 0), ya

que si en{(

5 + 1n ,

nn2+1

)}n∈N

asignamos a n valores muy grandes, nos vamos

a (5, 0), y en se punto, si tomamos una bola abierta, abarco puntos de A (conuna n que tienda a ∞−) y de CA (el propio punto (5, 0)).

c) Exterior de A:

ExtA =

(x, y) ∈ R2�(x, y) /∈ [0, 2]× [1, 5]

(x, y) /∈{(

5 + 1n ,

nn2+1

)}n∈N

(x, y) 6= (5, 0)

que son todos los puntos de R2 exluyendo los que forman el rectangulo (tambienhay que descartar los bordes, de ahı que se usen intervalos cerrados a izquierda

y derecha), los que genera la sucesion{(

5 + 1n ,

nn2+1

)}n∈N

, y el punto (5, 0),

ya que pertenece a la fontera.

d) Cierre de A ≡ Adherencia de A:

A = {[0, 2]× [1, 5]} ∪{(

5 +1

n,

n

n2 + 1

)}n∈N

que son los puntos que conforman el rectangulo (incluyendo los bordes) juntocon los que genera la sucesion (pero sin incluir el (5, 0)).


e) Conjunto derivado:A′ = {[0, 2]× [1, 5]} ∪ (5, 0)

que son los puntos que conforman el rectangulo (incluyendo los bordes) juntocon el (5, 0).

f ) Puntos aislados: {(5 +

1

n,

n

n2 + 1

)}n∈N

que son los que genera la sucesion.

Con esto tendremos definidos todos los puntos del conjunto A. Si queremos compro-bar el resultado, podemos usar la relacion dada anterioremente:

A ∪ FrA ∪ ExtA = Rn

Al calcular estas uniones, efectivamente obtenemos R2.

2. Estudiar el conjunto de R3:

A = {(x, y, z) ∈ R3�x2 + y2 + z2 > 9 y 1 < x < 2}

a) Interior de A:A = A

porque no se incluyen las fronteras en ningun conjunto.

b) Frontera de A:

FrA =

{(x, y, z) ∈ R3� x2 + y2 + z2 = 9

1 ≤ x ≤ 2

}∪{

(x, y, z) ∈ R3� x = 1x2 + y2 + z2 > 9

}∪

∪{

(x, y, z) ∈ R3� x = 2x2 + y2 + z2 > 9

}que son, respectivamente, los dos arcos que forman el corte entre la esfera y losplanos, y cada una de las semirectas (x = 1 y x = 2)

c) Exterior de A:

ExtA = {(x, y, z) ∈ R3�x < 1} ∪ {(x, y, z) ∈ R3�x > 2}∪

∪{(x, y, z) ∈ R3� 1 ≤ x ≤ 2x2 + y2 + z2 < 9

donde el ultimo termino representa el trozo interior de la esfera atrapado entrex = 1 y x = 2.

d) Cierre de A:

A = {(x, y, z) ∈ R3�x2 + y2 + z2 ≥ 9 y 1 ≤ x ≤ 2}

donde se incluyen los arcos de la esfera que forman parte de la frontera.

e) Derivado de A:A′ = A

f ) Puntos aislados:

No existen.

Capıtulo 2

Campos escalares y vectoriales

2.1. Definicion

Un campo escalar es una funcion f de la forma:

f : D ⊆ Rn → R , n > 1

Dado que la imagen ∈ R, f es un escalar.

Un campo vectorial es una funcion f de la forma:

f : D ⊆ Rn → Rm , n > 1, m > 1

Dado que la imagen ∈ Rm, f es un vector.

2.2. Notacion

Para representar las componentes de los campos escalares podemos aprovechar laidea intuitiva que tenemos de R2 como un plano, y de R3 como un espacio tridimen-sional.

• Ası, en R2 tendrıamos:f : R2 → Rz = f(x, y)

Donde x e y son las variables independientes, y z la variable dependiente.

• Para R3 nos quedarıa:f : R3 → Rf(x, y, z)

Donde ahora las tres variables x, y, z son independientes

• Cuando n > 3, la idea intuitiva de plano y espacio se pierde, y resulta mascomodo nombrar las componentes de Rn mediante subındices:

f : Rn → Rf(x1, x2, · · · , xn)

16

CAPITULO 2. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 17

En el caso de campos vectoriales, las componentes se pueden expresar como cam-pos escalares. Por ejemplo, en el siguiente campo vectorial:

F : R3 → R3

F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

Donde las tres componentes P,Q,R son campos escalares de R3 → R

2.3. Dominios

2.3.1. Dominio de un campo escalar

Sea f : Rn → R. El dominio del campo sera el mayor subconjunto de Rn donde festa definido.

2.3.2. Dominio de un campo vectorial

Sea f : Rn → Rm. Dado que el campo vectorial lo puedo representar como una familiade campos escalares f = (f1, · · · , fm), su dominio sera la interseccion de todos los camposescalares que lo componen.

Como ejemplo, sea el campo vectorial:

f : R2 → R2

f(x, y) =(

sen(x2+y2)x−y , ln

(16−x2−y2x2+y2−4

))Sus campos escalares componentes son:

f1(x, y) = sen(x2+y2)x−y

f2(x, y) = ln(

16−x2−y2x2+y2−4

)luego el Dom(f) sera la interseccion de Dom(f1) ∩ Dom(f2):

D1 = {(x, y) ∈ R2�x 6= y}

D2 = {(x, y) ∈ R2�

16− x2 − y2 > 0

yx2 + y2 − 4 > 0

o

16− x2 − y2 < 0

yx2 + y2 − 4 < 0

}

Si estudiamos cada uno de los dos casos que se nos presentan en D2:

1. a) 16− x2 − y2 > 0 =⇒ x2 + y2 < 16: el interior del cırculo (excluida la frontera)de centro (0,0) y radio 4.

b) x2 + y2− 4 > 0 =⇒ x2 + y2 > 4: el exterior del cırculo (excluida la frontera) decentro (0,0) y radio 2.

con lo que al combinar a) y b) resulta ser la corona circular comprendida entre r=2y r=4.

2. a) 16− x2 − y2 < 0 =⇒ x2 + y2 > 16: el exterior (excluida la frontera) del cırculode centro (0,0) y radio 4.


b) x2 + y2 − 4 < 0 =⇒ x2 + y2 < 4: el interior (excludia la frontera) del cırculo decentro (0,0) y radio 2.

con lo que al combinar a) y b) vemos como este caso es imposible (@ un punto queeste a la vez en el exterior del cıculo grande y en el interior del pequeno). Por lotanto, quitamos este caso de D2.

Con lo cual, para calcular el dominio del campo vectorial, solo nos queda anadir la condi-cion de D1 , x 6= y, es decir, hay que eliminar los puntos que corresponden a la bisectriz.Por lo tanto:

Domf = D1 ∩D2 =

(x, y) ∈ R2�16− x2 − y2 > 0x2 + y2 − 4 > 0x 6= y

2.4. Representacion de campos: Ecuaciones

En la representacion grafica de campos, veremos que solo podemos representar camposescalares de dos tipos:

1. f : R =⇒ R, el cual genera una curva en 2D.

2. f : R2 =⇒ R, el cual, haciendo la identificacion Z = f(x, y), genera una superficieen 3D.

En 3D, solo vamos a trabajar con superficies con mucha simetrıa, las cuales son: para-boloides, esferas, elipsoides, conos, cilindros y planos.

Procedemos a estudiar basicamente estas superficies:

Paraboloides: El caso general es un paraboloide con el vertice en (0,0,0), centradoalrededor del eje ≡ OZ (coincide con la Z cartesiana) y “abierto hacia arriba” (z > 0).Su ecuacion es:

z = x2 + y2

Sobre este caso base puedo introducir modificaciones. Por ejemplo, un paraboloidecon vertice (x0, y0, z0), manteniendo identicas el resto de propiedades:

z − z0 = (x− x0)2 + (y − yo)2

Si corto el paraboloide mediante planos paralelos al eje XY, obtengo circunferencias.Pero el paraboloide puede estar degenerado, con lo que al cortarlo obtendrıa elipses.Un paraboloide elıptico tiene como expresion:

z − z0 =(x− x0)2

a2+

(y − yo)2

b2

Si el paraboloide esta “abierto hacia abajo”:

z − z0 = −(x2 + y2)

y en general, cualquier paraboloide deformado (elıptico) y abierto hacia abajo:

z − z0 = −(x− x0)2

a2− (y − y0)2

b2


Hay que indicar que, por comodidad, en estas expresiones siempre se toma la variablez como la dependiente, pero al trabajar con los paraboloides puede que me interesetomar cualquier otra variable como la dependiente, cosa que podemos hacer sinningun problema.

Esferas: La ecuacion mas general de una esfera es:

x2 + y2 + z2 = r2

la cual representa una esfera centrada en (0, 0, 0) de radio r. Si cambiamos el centrode la esfera por (x0, y0, z0):

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2

Aunque el paraboloide se expresa como z = algo, la esfera viene dada en formaimplıcita. Y aunque puedo despejar la z, me quedarıa una expresion de la forma:z = ±

√x2 + y2, la cual es muy incomoda de manejar.

Elipsoide: Si degeneramos la esfera, nos queda esta otra figura (parecida a un balonde rugby):

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1

donde tenemos un elipsoide de centro (x0, y0, z0) y semiejes a, b, c

Cono: Su expresion es:z2 = x2 + y2

para el caso general centrado en (0, 0, 0) y eje paralelo al eje OZ. En caso de tenerel centro en (x0, y0, z0), su expresion sera:

(z − z0)2 = (x− x0)2 + (y − y0)2

y si el cono es elıptico:

(z − z0)2 =(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2

Cilindro: La ecuacion general de un cilindro viene dada por:

x2 + y2 = r2

ecuacion que en 2D representa una circunferencia, y en 3D un cilindro. Esta ecuacionrepresenta un cilidro con centro en (0, 0) (la z se extiende infinitamente: no hay queindicarla) y radio r. Dicho cilindro se extiende paralelo al eje OZ. Si cambiamos elcentro por (x0, y0), la expresion resultante queda:

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

un cilindro elıptico tendrıa como ecuacion:

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= r2


Planos: Un plano centrado en (0, 0, 0):

ax+ by + cz = 1

centrado en (x0, y0, z0):

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0

Todas estas ecuaciones estan en forma normalizada, pero al trabajar en los problemasveremos que no siempre se nos dan las ecuaciones en esta forma. Por lo tanto, tendremosque hacer una transformacion que nos permita convertir la ecuacion que nos dan en algunade las que hemos visto aquı. Para llevar a cabo dicha transformacion, podemos empleardos herramientas clave:

Sacar factor comun

Completar cuadrados

Veamos un ejemplo de transformacion:

2x2 + 2x+ 3y2 + 6y + z2 =5

2

1. Agrupo terminos x, terminos y y terminos z sacando factor comun, de manera queel coeficiente de los terminos al cuadrado sea 1:

2(x2 + x) + 3(y2 + 2y) + z2 =5

2

2. Completo cuadrados, de la forma (x2 + x) −→ 2[(x+ 1

2

)2 − 14

], con lo cual nos

queda:

2

[(x+

1

2

)2

− 1

4

]+ 3

[(y + 1)2 − 1

]+ z2 =

5

2

3. Efectuo los corchetes:

2

(x+

1

2

)2

− 1

2+ 3(y + 1)2 − 3 + z2 =

5

2

4. El −12 y el −3 pasan al otro miembro

2

(x+

1

2

)2

+ 3(y + 1)2 + z2 = 6

5. Divido todo entre 6 para forzar que este igualado a 1:(x+ 1

2

)23

+(y + 1)2

2+z2

6= 1

Con lo cual nos queda que la expresion es un elipsoide de centro (−12 ,−1, 0) y semiejes

(√

3,√

2,√

6).


2.5. Representacion de campos escalares

2.5.1. Curvas de nivel

Sea f : D ⊆ R2 → R. La representacion de dicho campo mediante curvas de nivel (lasque se emplean, por ejemplo, en los mapas para delimitar las zonas con la misma altura)son los puntos Ck del plano que cumplen:

Ck = {(x, y) ∈ D�f(x, y) = k}

Por ejemplo, en z = z0 + (x− x0)2 + (y − y0)2, las curvas de nivel serıan:

Ck = {(x, y) ∈ D�z0 + (x− x0)2 + (y − y0)2 = k}(x− x0)2 + (y − y0)2 = k − z0

que representa circunferencias concentricas de centro (x0, y0) y radio√k − z0 ; k ≥ z0

2.5.2. Superficies de nivel

Sea f : D ⊆ R3 → R. Al igual que al trabajar en 2D con las curvas de nivel, en 3D nosencontramos con el concepto de superficies de nivel:

Sk = {(x, y, z) ∈ D�f(x, y, z) = k}

Por ejemplo, f(x, y, z) = ax+ by + cz. La superficie de nivel de esta expresion serıa:

Sk = {(x, y, z) ∈ R3�ax+ by + cz = k}

que serıa el plano que pasa por(ka , 0, 0

),(0, kb , 0

),(0, 0, kc

)2.6. Lımites de campos escalares

Para calcular lımites de campos escalares, vamos a partir del concepto de lımite queya conocemos en f : R→ R, y procederemos a extenderlo. La definicion de lımite en R es:

lımx→a

f(x) = L⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0�0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

Generalizando para Rn: Sea f : D ⊆ Rn → R:

lım~x→~a

f(~x) = L⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0�0 < ‖~x− ~a‖ < δ ⇒ |f(~x)− L| < ε

Donde hay que prestar atencion al hecho de que trabajo con vectores, por lo tanto nopuedo calcular |~x − ~a| (no existe el valor absoluto de un vector), pero como se vio enla primera parte de la asignatura, tenemos el concepto de norma, y a traves de el, el dedistancia entre dos vectores, que es el que podemos emplear aquı. Ası mismo, en el ultimotermino no tenemos ningun problema al emplear el valor absoluto, ya que el valor de f~xsı es un escalar, por lo que |f(~x)− L| sı esta definido.

Merece la pena anotar tambien que el punto ~a tiene que ser un punto de acumulacion,ya que en otro caso no tendrıa sentido que nos aproximaramos a el.


2.6.1. Notacion:

f : D ⊆ R2 → Rlım(x,y)→(a,b) f(x, y)

f : D ⊆ R3 → Rlım(x,y,z)→(a,b,c) f(x, y, z)

2.6.2. Propiedades: Algebra de lımites

Sean f : Rn → R y g : Rn → R ; Si lım~x→~a f(~x) = L y lım~x→~a g(~x) = M entonces:

1.lım~x→~a

(f ± g)(~x) = L±M

2.lım~x→~a

(f · g)(~x) = L ·M

3.

lım~x→~a

(f

g)(~x) =

L

Msi M 6= 0

Hay que tener cuidado con esto, porque la propiedad dice que si existen los lımites L yM entonces puedo aplicarlo, por lo que tengo que comprobar que existan antes de nada.Si L y M no existen, no puedo aplicar ninguna de estas propiedades.

2.6.3. Tecnicas de calculo de lımites

1. Aplicar la definicion: En este caso trabajamos igual que con lımites en f : R → R.Ejemplos:

a) Demostrar aplicando la definicion que: lım(x,y)→(0,0)

5x2y

x2 + y2= 0

lım(x,y)→(0,0)

5x2y

x2 + y2= 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0�0 < ‖~x− ~a‖ < δ ⇒

⇒ 0 <√x2 + y2 < δ ⇒ | 5x2y

x2+y2− 0| < ε

Ahora tengo que acotar |f(x)− L| por ε:

| 5x2y

x2 + y2| ≤ 5|y| ≤ 5

√x2 + y2 < 5δ

Ahora, si tomo:

δ <ε

5⇒ | 5x2y

x2 + y2| < ε

con lo que queda demostrado que ∀ε ∃δ, δ < ε5


b) Demostrar aplicando la definicion que : lım(x,y)→(1,2)

(x− 1) sen

(1

y − 2

)= 0

lım(x,y)→(1,2)

(x− 1) sen

(1

y − 2

)= 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 � 0 <

√(x− 1)2 + (y − 2)2 < δ ⇒

⇒ |(x− 1) sen(

1y−2

)− 0| < ε

Partiendo de |f(x)− L|:

|(x− 1) sen

(1

y − 2

)| ≤ |x− 1| ≤

√(x− 1)2 + (y − 2)2 < δ

Tomando:

δ < ε⇒ |(x− 1) sen

(1

y − 2

)| < ε

luego ya tenemos acotado el lımite por ε

Aplicar la definicion tiene la ventaja de su sencillez, ya que solo necesitamos acotarel lımite. Pero el inconveniente es que a veces no es tan facil encontrar el valor deesa acotacion; de hecho, hay pocos campos en los que podamos aplicar la definicion.Ademas, para poder aplicarla, necesitamos tener de antemano un valor del lımite Lque tendremos que demostrar mediante la definicion.

2. Aplicar transformaciones algebraicas:

Con las transformaciones algebraicas intentamos simplificar el lımite para evitar unaindeterminacion. Ası, podemos emplear factorizacion mediante Ruffini, multiplicary dividir por el conjugado en caso de raices, etc. Ejemplos:

a)

lım(x,y)→(0,0)

x2 + y2√x2 + y2 + 1− 1

=(I = 0

0

)=

multiplicando y dividendo

por el conjugado del

denominador

=

= lım(x,y)→(0,0)

(x2 + y2)(√

x2 + y2 + 1 + 1)

(√x2 + y2 + 1− 1

)(√x2 + y2 + 1 + 1

) =

= lım(x,y)→(0,0)

(x2 + y2)(√

x2 + y2 + 1 + 1)

x2 + y2 + 1− 1=

= lım(x,y)→(0,0)

√x2 + y2 + 1 + 1 = 2

b)

lım(x,y)→(1,1)

(x3 − 1)(y4 − 1)

(x− 1)(y2 − 1)=

(I = 0

0

)= {factorizando mediante Ruffini} =

= lım(x,y)→(1,1)

(x− 1)(x2 + x+ 1)(y2 − 1)(y2 + 1)

(x− 1)(y2 − 1)=

= lım(x,y)→(1,1)

(x2 + x+ 1)(y2 + 1) = 6


3. Aplicar el Teorema de Compresion:

Sean f, g, h : Rn → R, y f(~x) ≤ g(~x) ≤ h(~x).

Si se cumple:lım~x→~a

f(~x) = lım~x→~a

h(~x) = L

entonces puedo asegurar que:lım~x→~a

g(~x) = L

Aunque encontrar f(~x) y h(~x) puede resultar complicado, podemos emplear unaconsecuencia inmediata del teorema.

4. Consecuencia del teorema de compresion (0 · acotado = 0)

Sea f : Rn → R � f(~x) = a(~x)b(~x).

Si se cumple:

A) lım~x→~a

a(~x) = 0

B) b(~x) acotado en las proximidades de ~a

}⇒ entonces lım

~x→~af(~x) = 0

Ejemplos:

a)

lım(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y2= lım

(x,y)→(0,0)x

x2

x2 + y2= 0

b)

lım(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) sen

(1

xy

)= 0

5. Equivalencias de infinitesimos:

senx ' x en x = 0

1− cosx ' x2

2 en x = 0tanx ' x en x = 0ex − 1 ' x en x = 0ax − 1 ' x ln a en x = 0ln(1 + x) ' x en x = 0ln(x) ' x− 1 en x = 1

Ejemplos:

a)

lım(x,y)→(0,0)

1− cos(xy)

x2y2=

{1− cosx ' x2

2

}= lım

(x,y)→(0,0)

(xy)2

2

x2y2= lım

(x,y)→(0,0)

x2y2

2

x2y2= 1

2

b)

lım(x,y)→(0,0)

etan(x2y) − 1

2 sen(x2y)=

{ex − 1 ' xsenx ' x

}= lım

(x,y)→(0,0)

tan(x2y)

2x2y=

= {tanx ' x} = lım(x,y)=(0,0)

x2y

2x2y= 1

2


6. Cambios de variable:

En este caso introducimos una nueva variable que actua en lugar de una parte dellımite. Suele usarse para eliminar indeterminaciones.

Ejemplo:

lım(x,y)→(1,2)

y(x− 1)3

(x− 1)2 + (y − 2)2=

(00 = I

);

{u = (x− 1) (si x→ 1, u→ 0)v = (y − 2) (si y → 2, v → 0)

}⇒

⇒ lım(u,v)→(0,0)

(v + 2)u3

u2 + v2= lım

(u,v)→(0,0)(v + 2) · u · u2

u2 + v2=

= 0 · acotada = 0

7. Indeterminaciones exponenciales:

Son los casos en los que tengo una indeterminacion de la forma lım = aI . Pararesolverlas, supongo que existe el lımite y que lım = A. Entonces, podemos aplicarln a ambos lados y, mediante las reglas de los logaritmos, manipular la expresionpara eliminar la indeterminacion.

Ejemplo:

lım(x,y)→(0,3)

(1 + x2y)1x2 = A⇒ ln

(lım

(x,y)→(0,3)(1 + x2y)

1x2

)= lnA⇒

⇒ lım(x,y)→(0,3)

ln(1 + x2y)1x2 = lnA⇒

⇒ lım(x,y)→(0,3)

1

x2ln(1 + x2y) = lnA =

{0

0= I

}⇒ {ln(1 + x) ' x} ⇒

⇒ lım(x,y)→(0,3)

1

x2x2y = lnA⇒ lım

(x,y)→(0,3)y = lnA⇒

⇒ lnA = 3⇒ A = e3

8. Lımites direccionales:

Este metodo es esclusivamente refutativo, es decir, sirve para demostrar la noexistencia del lımite, pero mediante el no podemos saber si un lımite existe. Sebasa en que si un lımite no existe, su valor variara segun la direccion con la quenos aproximemos a el. Ası, si al aplicar el lımite direccional el resultado final es unvalor que depende de un parametro, podremos asegurar que dicho lımite no existe.Por el contrario, si al calcular el valor por distintas direcciones obtengo que el lımitesiempre vale L, sin depender de nigun parametro, no puedo garantizar la existenciadel lımite, pero si que puedo asegurar que, en caso de que dicho lımite exista, su valortiene que ser L. Esto puede resultar util en combinacion con la definicion de lımite,ya que de aquı puedo obtener un valor L que demostrar mediante la definicion. Hayque tener en cuenta que el camino que escojamos tiene que pasar por el punto dondevayamos a calcular el lımite.

Ejemplos:

a)

lım(x,y)→(0,0)y=mx

xy

x2 + y2= lım

x→0

mx2

x2 +m2x2={÷x2

}= lım

x→0

m

1 +m2=

m

1 +m2= @


Dado que el lımite depende de un parametro m, podemos asegurar que el lımiteno existe.

b)


x2y2

x2y2 + (x− y)2= lım

(x)→(0)

m2x4

m2x4 + (x−mx)2= lım

x→0

m2x4

m2x4 + x2(1−m)2

= lımx→0

m2x2

m2x2 + (1−m)2=

{0 si m 6= 11 si m = 1

c)

lım(x,y)→(1,2)y=mx−m+2

(x− 1)(y − 2)

(x− 1)2 + (y − 2)2= lım

x→1

m(x− 1)2

(x− 1)2 +m2(x− 1)2=

m

1 +m2⇒ @

d) En este ejemplo, al calcular el lımite direccional a traves de la recta y = mx, elvalor del lımite sale 0, por lo tanto no puedo asegurar nada y debo probar conotra direccion:

lım(x,y)→(0,0)y=mxm 6=1

x2

y − x= lım

x→0

x

mx− x= lım

x→0

x

m− 1= 0

lım(x,y)→(0,0)y=x+mx2

m 6=0

x2

y − x= lım

x→0

x2

x+mx2 − x= lım

x→0

x2

mx2= 1

m

En este ultimo lımite, como el valor del lımite varıa segun la direccion por laque nos acerquemos, podemos asegurar que el lımite no existe.

9. Lımites iterados:

Sea f : D ⊆ R2 → R, y sea (a, b) el punto en el que vamos a calcular el lımite.Supongo que existen los lımites unidireccionales lım

x→af(x, y), lım

x→bf(x, y). Bajo esta

suposicion, si existe el lımite doble lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L entonces existen los lımites

iterados:

lımx→a

(lımy→b

f(x, y)

)= lım

y→b

(lımx→a

f(x, y))

= L

Aunque no podemos aplicar el teorema directamente, al igual que con el teorema decompresion, podemos emplear una consecuencia del mismo.

10. Consecuencia de los lımites iterados:

Si existen los lımites iterados y son distintos, entonces el lımite doble no existe.

Si lımx→a

(lımy→b

f(x, y)

)6= lım

y→b

(lımx→a

f(x, y))

entonces lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) no existe.

Hay que notar que la condicion recıproca no funciona, es decir,la no existencia de loslımites iterados, o el que existan y sean iguales, no me asegura nada sobre el lımitedoble.

Ejemplos:


a)

lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2=

(0

0= I

)Comprobemos si existen los lımites unidireccionales:

lımx→0

x2 − y2

x2 + y2= −1

lımy→0

x2 − y2

x2 + y2= 1

Una vez que hemos comprobado los unidireccionales, veamos los lımites itera-dos:

lımy→0

(lımx→0

x2 − y2

x2 + y2

)= −1

lımx→0

(lımy→0

x2 − y2

x2 + y2

)= 1

Con lo que vemos que los lımites iterados ∃, pero son distintos, por lo tanto,podemos asegurar que el lımite doble @ .

b)

lım(x,y)→(0,0)

x sen

(1

y

)+ y sen

(1

x

)Comprobamos los unidireccionales:

lımx→0

x sen

(1

y

)+ y sen

(1

x

)= @

ya que 1x → ∞, y el sen∞ = @. Pero el lımite sı existe (trivialmente), por la

consecuencia del teorema de compresion:

lım(x,y)→(0,0)

x sen

(1

y

)+ y sen

(1

x

)= 0 · acotada + 0 · acotada = 0

c)

lım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y4=

(0

0= I

)Comprobamos los unidireccionales:

lımx→0

xy

x2 + y4= 0

lımy→0

xy

x2 + y4= 0

luego ∃ los unidireccionales y son iguales. Los iterados:

lımy→0

(lımx→0

xy

x2 + y4

)= lım

y→0(0) = 0

lımx→0

(lımy→0

xy

x2 + y4

)= lım

x→0(0) = 0


Luego existen los iterados y son iguales, lo que me indica que en caso de existirel lımite, su valor sera 0, pero todavıa tengo que comprobar que exista.

Probemos con lımites direccionales:


xy

x2 + y4= lım

x→0

mx2

x2 +m4x4= lım

x→0

m

1 +m4x2= m⇒ @

Como el lımite a traves de la direccion y = mx depende de un parametro m,podemos asegurar que el lımite doble no existe.

11. Lımites en polares:

Esta tecnica solo es valida en lımites de R2 → R, y solo cuando (x, y)→ (0, 0).

Sea f : D ⊆ R2 → R. Para estudiar lım(x,y)→(0,0)

f(x, y), podemos realizar un cambio

de variable a coordenadas polares de la siguiente forma:

x = r cos θy = r sen θ

}→ lım

r→0f(r cos θ, r sen θ)

Si al calcular el lımite en polares este no existe, entonces el lımite doble tampocopuede existir. Pero la condicion recıproca no es valida (en general): si el lımite enpolares existe, no puedo asegurar nada sobre el lımite doble. Resumiendo:

a) Si lımr→0

f(r cos θ, r sen θ) no existe, entonces lim(x,y)→(0,0)f(x, y) tampoco existe.

b) En general, la existencia de lımite en polares no garantiza la existencia dellımite doble.

c) Bajo ciertas condiciones, la existencia de lımites polares implica la existenciadel lımite doble.

Estas condiciones se analizan en el siguiente punto.

12. Teorema de los lımites polares:

Sea f : D ⊆ R2 → R. Si se cumplen estas dos condiciones:

a)|f(r cos θ, r sen θ)| ≤ F (r) ∀r, θ

(La funcion f esta acotada por una funcion F que solo depende de r)

b)lımr→0

F (r) = 0

Entonces podemos afirmar que:

lım(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0

Ejemplos:


a)

lım(x,y)→(0,0)

x2y

x4 + y2=

(0

0= (I)

)Vamos a comprobar como este lımite existe en polares, pero el lımite en si noexiste.

Por polares:

lımr→0

r3 cos2 θ sen θ

r4 cos2 θ + r2 sen2 θ= {÷r2} = lım

r→0

r cos2 θ sen θ

r2 cos4 θ + sen2 θ=

=

1) si sen θ = 0 o cos θ = 0⇒ lım

r→0= 0

2) si sen θ 6= 0 y cos θ 6= 0⇒ lımr→0

r cos2 θ sen θ

r2 cos4 θ + sen2θ= 0

Por lo tanto, existe el lımite en polares (luego no se nada, excepto que si ellımite doble existe, tiene que valer 0). Si ahora calculo el lımite direccional atraves del camino parabolico y = mx2 (elijo este camino porque en el lımitetengo x2, x4, los cuales se iran al simplificar):

lım(x,y)→(0,0,)y=mx2

x2y

x4 + y2= lım

x→0

mx4

x4 +m2x4=

m

1 +m2

Y podemos ver como el lımite depende de un parametro m, por lo tanto ellımite doble no existe.

b)

lım(x,y)→(0,0)

x2y2

(x2 + y2)3/2=

(0

0= I

)Vamos a estudiar el lımite en polares:

lımr→0

r4 cos2 θ sen2 θ

(r2 cos θ + r2 sen2 θ)3/2

Y teniendo en cuenta que cos2 a+ sen2 a = 1:

lımr→0

r4 cos2 θ sen2 θ

(r2)3/2= lım

r→0

r4 cos2 θ sen2 θ

r3= lım

r→0r cos2 θ sen2 θ = 0

Ahora que tenemos un valor candidato del lımite, tenemos que comprobarlo, para locual lo acotamos mediante la definicion:

|f(r cos θ, r sen θ)| = |r cos2 θ sen2 θ| ≤ r = F (r) ∀r, θlımr→0

F (r) = 0

Por lo tanto podemos asegurar que el lım(x,y)→(0,0)

∃, y que su valor es 0.

13. Lımites por regiones:


Sea f : D ⊆ Rn → R, y sea a un punto de acumulacion del dominio. Supongo queD se puede expresar como union de particiones de D:

D = D1 ∪D2 ∪ · · · ∪Dk

Di ∩Dj = ∅, ∀i, j

a es punto de acumulacion de Di, 1 ≤ i ≤ k (a es punto de acumulacion en todoslos subdominios). Con todo esto, puedo asegurar que:

lımx→a

f(x) = L⇔ lımx→ax∈Di

f(x) = L 1 ≤ i ≤ k

Esto no es mas que la generalizacion de los lımites laterales en funciones reales deuna variable real. En la teorıa, el metodo es bastante comodo, ya que descompongoen lımites mas pequenos y los estudio por separado. Pero en la practica, resulta muycomplicado encontrar una particion del cunjunto.

Ejemplo:

lım(x,y)→(0,0)

ln(1 + x2y2)

x2 + y2

El dominio de la funcion es:

D = {(x, y) ∈ R2 � (x, y) 6= (0, 0)}

Una posible particion de D:

D1 = {(x, y) ∈ D � x = 0 o y = 0}D2 = {(x, y) ∈ D � x 6= 0, y 6= 0}

Ahora estudio lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈D1

y lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈D2

:

a)

lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈D1

ln(1 + x2y2)

x2 + y2= 0

b)

lım(x,y)→(0,0)(x,y)∈D2

ln(1 + x2y2)

x2 + y2=

{ln(1 + x) ' xx = 0

}= lım

(x,y)→(0,0)(x,y)∈D2

x2y2

x2 + y2= 0

Como al calcular los lımites por regiones el resultado es identico:

lım(x,y)→(0,0)

ln(1 + x2y2)

x2 + y2= 0


2.7. Lımites de Campos Vectoriales

Sea f : D ⊆ DRn → Rm:

lımx→a

f(x) = L⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 � 0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− L‖ < ε

En la practica, el calculo de lımites se hace por medio del siguiente teorema:

Teorema: El lımite del campo vectorial es la union de los lımites de sus camposescalares componentes.

Sea f : D ⊆ Rn → Rm, f = (f1, f2, · · · , fm).

L ∈ Rm, L = (L1, L2, · · · , Lm).

lımx→a f(x) = L⇔ lımx→a fi = Li 1 ≤ i ≤ m

2.8. Continuidad en campos escalares

Sea f : D ⊆ Rn → R.f es continuo en a ∈ D si se cumplen estas tres condiciones:

1. a ∈ D (a es punto de acumulacion del dominio).

2. ∃ lımx→a

f(x) (existe el lımite en el punto).

3. lımx→a

f(x) = f(a) (el valor del lımite coincide con el valor del campo en ese punto).

Luego f es continuo en a ∈ D si:

lımx→a f(x) = f(a)

Esto lo podemos extender a funciones de Rn → Rm, es decir, a campos vectoriales.

2.9. Continuidad en campos vectoriales

Sea f : D ⊆ Rn → Rmf es continuo en a ∈ D si:

1. a ∈ D

2. ∃ lımx→a

f(x)

3. lımx→a

f(x) = f(a)

Con todo esto, f es continuo en a ∈ D si y solo si:

lımx→a f(x) = f(a)

En la practica, para comprobar la continuidad de un campo vectorial, lo descompongoen n campos escalares componentes, y compruebo la continuidad de dichos campos.


2.9.1. Teorema de la continuidad de los campos vectoriales

Sea fD :⊆ Rn → Rm, f = (f1, · · · , fm).

f es continuo en a⇔ fi es continuo en a , 1 ≤ i ≤ m

2.10. Composicion de funciones de varias variables

Sean f y g dos campos vectoriales tales que:

f : Rn → Rmg : Rm → RpImg(f) ⊆ Dom(g)

Bajo estas condiciones puedo definir la funcion compuesta como:

(g ◦ f) : Rn → Rp(g ◦ f)(x) = g

(f(x)

)2.10.1. Continuidad en composicion de funciones de varias variables

Si: f es continua en a ∈ Rny: g es continua en f(a) ∈ Rm

}⇒ entonces (g ◦ f) es continua en a

Parte II

Derivacion

33

Capıtulo 3

Derivacion en campos escalares yvectoriales

3.1. Derivadas parciales de un campo escalar

Sea f : D ⊆ R2 → R, y sea (a, b) un punto interior, (a, b) ∈ D. Las derivadas parcialesde f se definen como:

D1f(a, b) = ∂f∂x = lım

h→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

h

D2f(a, b) = ∂f∂y = lım

k→0

f(a, b+ k)− f(a, b)

k

Ejemplo:

f(x, y) =

{x6

(x2−y)2+x6si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Aplicando la definicion, obtengo las derivadas parciales de f en (0, 0):

D1f(0, 0) = lımh→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= lım

h→0

h6

h4+h6− 0

h= lım

h→0

h6

h5 + h7= lım

h→0

h

1 + h2= 0

D2f(0, 0) = lımk→0

f(0, k)− f(0, 0)

k= lım

k→0

0− 0

k= 0

Por suerte, no tengo que recurrir a la definicion, ya que puedo emplear las tecnicas decalculo que conocemos para funciones f : R→ R.

3.1.1. Funciones derivada parcial

f : D ⊆ Rn → RD1 : Rn → RD2 : Rn → R

El sentido fısico de estas funciones es el de latasa de cambio de una variable cuandoel resto se mantienen constantes.

Todo lo visto de R2 → R, se generaliza ahora para Rn → R.

34

CAPITULO 3. DERIVACION EN CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 35

3.1.2. Notacion en Rn

Para respresentar la derivada parcial, podemos emplear tres representaciones:

D1f ;∂f

∂x; fx

3.1.3. Derivadas de orden superior

Sea el campo escalar f : Rn → R Sus derivadas parciales son:

D1 : fRn → R...

Dn : fRn → R

D1 · · ·Dn pueden admitir derivadas parciales.

Ası, D1 puede derivarse n veces, que conformarıan las derivadas de orden superior.Como ejemplo, en f : R2 → R:

D1 : fR2 → RD2 : fR2 → R

Ya que D1 y D2 son derivables, voy a tener 4 derivadas de segundo orden:

D11f = D1(D1f) =∂2f

∂x2=

∂

∂x

(∂f

∂x

)= fxx

D21f = D2(D1f) =∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f

∂x

)= fyx

D12f = D1(D2f) =∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

)= fxy

D22f = D2(D2f) =∂2f

∂y2=

∂

∂y

(∂f

∂y

)= fyy

La notacion empleada se lee de derecha a izquierda; ası, D21f es la 1a derivada (respectode x) respecto de la 2a variable (y).

3.1.4. Derivadas parciales cruzadas

Hay que notar que las derivadas parciales cruzadas (D21 y D12) en principio no tienenporque coincidir, ya que el orden en el que se calculen las derivadas es importante.

Ejemplo:

f(x, y) =

{xy x

2−y2x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Vamos a demostrar que D12f(0, 0) 6= D21f(0, 0).D21f(0, 0) es la segunda parcial de la primera parcial; aplicando la definicion de deri-

vada parcial:

D21f(0, 0) = lımk→0

D1f(0, k)−D1f(0, 0)

k


Para seguir calculando, necesito hallar D1f(0, k) y D1f(0, 0):

D1f(0, k) = lımh→0

f(h, k)− f(0, k)

h= lım

h→0

hk x2−k2h2+k2

h= −k

D1f(0, 0) = lımh→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= 0

Volviendo a D21f(0, 0):

D21f(0, 0) = lımk→0

−kk

= −1

Calculamos ahora la otra derivada cruzada:

D12f(0, 0) = lımh→0

D2f(h, 0)−D2f(0, 0)

h

Calculamos ahora D2f(h, 0) y D2f(0, 0):

D2f(h, 0) = lımk→0

f(h, k)− f(h, 0)

k= lım

k→0

hk h2−k2h2+k2

k= h

D2f(0, 0) = lımk→0

f(0, k)− f(0, 0)

k= 0

Luego:

D12f(0, 0) = lımh→0

h

h= 1

Con lo que comprobamos que D21 6= D12 ⇒ las parciales cruzadas no tienen porque coin-cidir.

Dado que resultarıa interesante que las derivadas cruzadas coincidieran (es decir, queel orden no fuera importante), vamos a indicar unas condiciones bajo las cuales esto esposible:

3.1.5. Teorema de Schwartz

Sea f : R2 → R y (a, b) un punto del dominio.

1. Supongo que ∃D1f,D2f y una de las derivadas cruzadas (PE D12f) en un conjuntoabierto que contenga a (a, b).

2. Supongo ademas que la cruzada que ∃ es continua. (D12f es continua en (a, b))

Si se cumplen 1 y 2 ⇒ ∃D21f(a, b) y ademas:

D21f(a, b) = D12f(a, b)

Hay que notar que este es un resultado puntual, que funciona en (a, b); pero si las condi-ciones impuestas se cumplen en todo el dominio de la funcion, entonces podemos extenderel resultado a dicho dominio. Si lo extiendo a Rn, en el calculo de las derivadas de ordenk tienen que existir todas las derivadas de orden anterior (k − 1), y ademas una de lasderivadas de ese orden k. Con estas dos condiciones, existen el resto de derivadas de ordenk. Ası por ejemplo, si nos encontramos con que calcular D12 es mucho mas complicado quehallar D21 y se cumplen las condiciones del teorema de Schwartz, tendremos solucionadoel problema.


3.2. Derivadas parciales y continuidad

Ahora vamos a ver como el concepto de derivada parcial no implica continuidad de uncampo escalar, y para ello vamos a comprobar como la existencia de derivadas parcialesen un punto no obliga a que la funcion sea continua en dicho punto.

Sea f(x, y) =

x6

(x2 − y)2 + x6en (x, y) 6= (0, 0)

0 en (x, y) = (0, 0)Vamos a comprobar como f(, x, y)

no es continua en (0, 0), pero que tiene derivadas parciales en dicho punto. Mediante lımitesdireccionales, voy a calcular el lımite aproximandome mediante una recta de tangente 1(la bisectriz del primer cuadrante) y una parabola:

lım(x,y)→(0,0)

y=x

x6

(x2 − y)2 + x6= lım

x→0

x6

(x2 − x)2 + x6= lım

x→0

x6

x4 − 2x3 + x2 + x6= {÷x2} =

= lımx→0

x4

x2 − 2x+ 1 + x4= 0

lım(x,y)→(0,0)

y=x2

x6

(x2 − y)2 + x6= lım

x→0

x6

(x2 − x2)2 + x6= lım

x→0

x6

x6= 1

luego, dado que el lımite varıa en funcion de la direccion con la que nos acerquemos, dicholımite no existe, por lo que la funcion no es continua en (0, 0). Sin embargo, las derivadasparciales existen, y su calculo se vio en 3.1.

3.3. Derivada direccional de un campo escalar

Para intentar que la derivada parcial implique continuidad, vamos a generalizar aunmas su concepto con el de derivada direccional.

Sea f : R2 → R y sea u = (u1, u2) un vector unitario.Defino la derivada direccional como:

Duf(a, b) = lımh→0

f(a+ hu1, b+ hu2)− f(a, b)

h

Y al igual que en el resto de definiciones donde intervienen lımites, si el lımite @, entoncesla direccional tampoco puede existir.

Generalizando: f : Rn → R ; u = (u1, · · · , un)

Duf(a1, · · · , an) = lımh→0

f(a1 + hu1, a2 + hu2, · · · , an + hun)− f(a1, · · · , an)

h

Hay que notar que las derivadas parciales son un caso particular de las direccionales; ası,en R2:

Si u = (1, 0), la Du = D1 (primera parcial)

Si u = (0, 1), la Du = D2 (segunda parcial)


Lo mismo puede extenderse para RnEl sentido fısico de la derivada direccional es el de la tasa de cambio de una magnitud,

en la direccion u, por unidad de longitud.Ejemplo:Sea f(x, y, z) = xyz. Calcular la derivada direccional en el punto a = (1, 0,−1) a traves

de la direccion del vector v = (1, 1, 1).Lo primero que debemos hacer es normalizar v (recordemos que el vector ha de ser

unitario):

u = ‖v‖ =

(√3

3,

√3

3,

√3

3

)Con lo que la derivada direcccional nos queda:

Duf(1, 0,−1) = lımh→0

f(

1 + h√

33 , h

√3

3 ,−1 + h√

33

)− f(1, 0,−1)

h=

= lımh→0

(1 + h

√3

3

)h√

33

(−1 + h

√3

3

)h

=

= lımh→0−√

3

3+ h2

(√3

3

)= −

√3

3

Sin embargo, vamos a ver como las derivadas direccionales tambien fallan al intentarextender la continuidad. Ejemplo:

f(x, y) =

{xy2

x2+y4si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Vamos a comprobar como f(x, y) tiene derivadas direccionales en cualquier direcccion.

u = (u1, u2)

Duf(0, 0) = lımh→0

f(hu1, hu2)− f(0, 0)

h= lım

h→0

h3u1u22

h(h2u21 + h4u4

2)=

= lımh→0

h3u1u22

h3u21 + h5u4

2

= lımh→0

u1u22

u21 + h2u4

2

=

u22

u1si u1 6= 0

0 si u1 = 0

Como no hemos puesto ninguna restriccion en cuanto a la direccion, y los lımites existen,la parcial existe en cualquier direccion, pero el campo no es continuo, como vemos acontinuacion:

lım(x,y)→(0,0)x=ay2

xy2

x2 + y4= lım

y→0

ay4

a2y4 + y4=

a

1 + a2

Dado que el valor del lımite depende del parametro a, y por lo tanto el lımite no existe,podemos asegurar que f(x, y) no es continua en (0, 0).


3.4. Diferenciablidad

Cuando nos encontramos en R → R, disponemos de tres definiciones equivalentes dediferenciablidad.

Sea f : R→ R. f es derivable en a y su derivada es f ′(a) si:

1.

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h= f ′(a)

2.

lımh→0

f(a+ h)− f(a)− hf ′(a)

h= 0

3.

∃λ : R→ R dada por λ(x) = f ′(a)x � lımh→0

f(a+ h)− f(a)− λ(h)

h= 0

Dado que en R→ R estas tres definiciones son completamente equivalentes, empleamos laque mas nos interesa. Sin embargo, cuando trabajamos en Rn → R, las definiciones dejande ser equivalentes. Vamos a generalizar la tercera definicion:

3.5. Diferenciabilidad de campos escalares

Sea f : Rn → R. Sea a un punto interior de D. Dire que f es diferenciable en a si:

∃λ : Rn → R� lımh→0

f(a+ h)− f(a)− λ(h)

‖h‖= 0

En el caso particular de encontrarnos ante f : R2 → R:

a = (a, b)h = (h, k)

lım(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k)− f(a, b)− λ(h, k)√h2 + k2

= 0

3.6. Teorema de unicidad de la diferencial

Sea f : Rn → R. Si f es diferenciable en a, existe una unica aplicacion lineal:

λ : Rn → R � lımh→0

f(a+ h)− f(a)− λ(h)

‖h‖= 0

A esta aplicacion se le llama apicacion diferenciable, y se denota:

λ(x1, · · · , xn) ≡ dfa(x1, · · · , xn) = D1f(a)x1 +D2f(a)x2 + · · ·+Dnf(a)xn

Este teorema es condicion necesaria de diferenciablidad, pero no suficiente. Para quefuera condicion suficiente, deberıa comprobar que las parciales cumplen la definicion. Laaplicacion diferenciable tambien puede emplearse como condicion suficente de no di-ferenciablidad, ya que si las derivadas parciales no existen, la funcion no puede serdiferenciable.


3.7. Teorema de continuidad en campos diferenciables

Sea f : Rn → R; Si f es diferenciable en a entonces f es contınuo en a.Demostracion en R2 → R:Partimos de la condicion necesaria de diferenciabilidad.

lım(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−D1f(a, b)h−D2f(a, b)k√h2 + k2

= 0

Este lımite es una indeterminacion(I = 0

0

), ya que el denominador siempre es 0, y solo

puede tener solucion 0 si el numerador es 0 y resolvemos la indeterminacion (empleandopara ello el metodo que mas comodo nos resulte). Es decir, que la solucion es 0 cuando elnumerador cumpla:

lım(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−D1f(a, b)h−D2f(a, b)k = 0⇒

lım(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k) = f(a, b)

3.8. Teorema de condicion suficiente de diferenciabilidad

Sea f : Rn → R. Si existen todas las derivadas parciales de f en a y son continuas,entonces f es diferenciable en a.

Para demostrarlo, vamos a dar dos definiciones:

1. Teorema del valor medio

f(a+ h, y)− f(a, y) = D1f(x0, y)h con x0 ∈ (a, a+ h)f(x, b+ k)− f(x, b) = D2f(x, y0)h con y0 ∈ (b, b+ k)

2. Continuidad de las parciales

D1f(a+ h, b+ k)−D1f(a, b) = ε1(h, k) con lım(h,k)→(0,0)

ε1(h, k) = 0

D2f(a+ h, b+ k)−D2f(a, b) = ε2(h, k) con lım(h,k)→(0,0)

ε2(h, k) = 0

Una vez dadas estas expresiones, para demostrar el teorema necesito demostrar que:

lım(h,k)→(0,0)


= 0

Manipulando la expresion:

f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−D1f(a, b)h−D2f(a, b)k = {por el Tma. del valor medio}= f(a+ h, b+ k)− f(a, b+ k) + f(a, b+ k)− f(a, b)−D1f(a, b)h−D2f(a, b)k =

= D1f(x1b+ k)h+D2f(a, y)k −D1f(a, b)h−D2f(a, b)k =

{con x ∈ (a, a+ h)

y ∈ (b, b+ k)

}=

= ε1(h, k)h+ ε2(h, k)k con

{lım(h,k)→(0,0) ε1(h, k) = 0

lım(h,k)→(0,0) ε2(h, k) = 0


Con esa expresion del numerador, procedo a calcular el lımite:

lım(h,k)→(0,0)


=

= lım(h,k)→(0,0)

ε1(h, k)h+ ε2(h, k)k√h2 + k2

= 0

Donde el ultimo lımite se resuelve empleando la consecuencia del teorema de compresion.

3.9. Pasos para estudiar la diferenciablidad de un campo

1. Estudio la existencia de derivadas parciales en a. Si no existen todas las parciales,el campo no es diferenciable. Si existen todas las parciales, no se nada.

2. Suponiendo que existen las parciales, estudio la condicion suficiente de diferencia-blidad: continuidad de las parciales. Si existen las parciales y son continuas, puedoasegurar que el campo es diferenciable. Si existen las parciales y no son continuas,el teorema no me sirve, y continuo hasta el paso 3.

3. Empleo la definicion, es la ultima posibilidad que nos queda.

Cuando tenga un campo escalar que tiene derivadas parciales y son continuas, se dice quees un campo diferenciable en continuidad.

Ejemplo:Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales, existencia de derivadas di-

reccionales y diferenciabilidad del campo:

f(x, y) =

{xy2

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

en el punto (0, 0).

1. Continuidad:

Si se cumple lım(x,y)→(0,0)

xy2

x2+y2= 0, el campo es continuo en el punto. Por el teorema

de compresion:

y2 6(x2 + y2

)⇒ y2

x2 + y26 1

Entonces, si x = 0, 0· acotada = 0, luego vale lo mismo que el campo en (0, 0), conlo que aseguro que es continuo. Si el campo no fuera continuo, ya tendrıa descartadala posiblidad de que fuera diferenciable (de la existencia de parciales y direccionalesno sabrıa nada aun), pero como es continuo, prosigo con los calculos.

2. Existencia de derivadas parciales:

D1f(0,0) = lımh→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= 0

D2f(0,0) = lımk→0

f(0, k)− f(0, 0)

k= 0

Donde vemos que las parciales existen y son iguales (esto es pura casualidad: notienen porque coincidir).


3. Continuidad de las parciales:

Para comprobar la continuidad, busco una expresion de las parciales para puntosdistintos de (0, 0) , y estudio su lımite.

D1f(x, y), con (x, y) 6= (0, 0). Derivando con algebra de derivadas:

D1f(x, y) =y2(x2 + y2

)− 2x2y2

(x2 + y2)2 =y4 − x2y2

(x2 + y2)2

D2f(x, y) =2xy

(x2 + y2

)− 2xy3

(x2 + y2)2 =2x3y

(x2 + y2)2

Estudiando los lımites en (0, 0), comprobamos si existen y son iguales al valor en(0, 0). El lımite de la primera parcial es (empleando direccionales):

lım(x,y)→(0,0)

y4 − x2y2

(x2 + y2)2 = lım(x,y)→(0,0)

y=kx

y4 − x2y2

(x2 + y2)2 = lımx→0

k4x4 − k2x4

(x2 + k2x2)={÷x4

}=

k4 − k2

(1 + k2)2

donde vemos que el valor del lımite depende de un parametro k, con lo que el lımite noexiste. Por lo tanto, la primera parcial no es continua, y no me sirve de nada calcularla otra, ya que la continuidad no se va a cumplir. Por lo tanto, no podemos aplicar lacondicion suficiente de diferenciabilidad, con lo que para estudiar la diferenciabilidadsolo nos queda recurrir a la definicion.

4. Diferenciablidad (mediante la definicion):

lım(h,k)→(0,0)

f(h, k)− f(0, 0)− df(0,0)(h, k)√h2 + k2

= lım(h,k)→(0,0)

hk2

h2+k2− 0− 0

√h2 + k2

= lım(h,k)→(0,0)

hk2

(h2 + k2)3/2

introduciendo lımites direccionales:

lım(h,k)→(0,0)

k=mh

hk2

(h2 + k2)3/2

= lımh→0

m2h3

(h2 +m2h2)3/2

= ± m2

(1 +m2)3/2

con lo que comprobamos como el lımite depende de un parametro m, luego el lımiteno existe, por lo que podemos afirmar que el campo no es diferenciable.

5. Existencia de derivadas direccionales:

Hemos reservado la comprobacion de la existencia de direccionales para el final,ya que si en en paso anterior hubıeramos obtenido que el campo es diferenciable,por medio del teorema resolverıa las direccionales de manera inmediate. Pero comohemos obtenido que el campo no es diferenciable, tengo que calcularlas a mano.

Dado que no nos indican una direccion, deberemos estudiar la exsitencia de direc-cionales para cualquier direccion.

Duf(0, 0) = lımh→0

f(hu1, hu2)− f(0, 0)

h= lım

h→0

h3u1u22

h(h2u2

1 + h2u22

) = u1u22


con lo que vemos que existe la derivada direccional en cualquier direccion. Ademas,comprobamos como el gradiente es cero sı y solo sı u1 = 0 o u2 = 0, en cuyo caso laderivada direccional se reduce a la parcial.

3.10. Vector gradiente

Sea f : Rn → R un campo escalar tal que existen todas las derivadas parciales en unpunto a. Entonces, defino el gradiente como:

D1f(a), · · · , Dnf(a)

gradf(a) = ∇f(a) = (D1f(a), · · · , Dnf(a))

3.11. Matriz asociada a una aplicacion lineal

Sea f : Rn → R diferenciable en un punto a, y sea λ : Rn → R la aplicacion diferencial.Como por algebra sabemos que una aplicacion lineal tiene asociada una matriz, se que

λ tiene una matriz de 1× n.

λ(x1, · · ·xn) = dfa(x1, · · ·xn) = D1f(a)x1 +D2f(a)x2 + · · ·+Dnf(a)xn

Por el teorema de unicidad, la matriz asociada a la aplicacion diferencial es el vectorgradiente.

El vector gradiente es efectivamente la generalizacion del concepto de derivada paracampos escalares. Hasta ahora, las generalizaciones del concepto de derivada que hemosprobado no han funcionado, debido a que todas han fallado al extender la continuidad.Sin embargo, el vector gradiente permite extender el concepto de derivada ası como surelacion con la continuidad a campos escalares. Ası, podemos ver la extension del conceptode derivada de la siguiente forma:

En f : R→ R trabajo con numeros y producto de numeros:

dfa(x) = f ′(a)x

En f : Rn → R trabajo con vectores y producto de vectores:

dfa(x) = ∇f(a) · x

Habıamos visto que la existencia de derivadas parciales es una condicion necesaria (nosuficiente) de diferenciablidad.

Ahora vamos a estudiar la relacion entre diferenciabilidad y la existencia de derivadasparciales.

3.12. Diferenciablidad y derivadas direccionales

Sea f : Rn → R.Sea u ∈ Rn un vector unitario.Si f es diferenciable en a entonces existe la derivada direccional en la direccion de u:

Duf(a) y ademas:

Duf(a) = ∇f(a) · u = D1f(a)u1 + · · ·+Dnf(a)un


3.12.1. Demostracion

lımh→0

f(a+ h)− f(a)− ∇f(a) · h‖h‖

= 0

Se cumple por la definicion de diferencial y el teorema de unicidad. Dado que h = h · u,donde u es el vector unitario en la direccion de h, h esta relacionado con la norma de ‖h‖,y h > 0 siempre que quiera, luego puedo reescribir la expresion:

lımh→0

f(a+ hu)− f(a)− ∇f(a)hu

h= 0

que es lo mismo que decir:

lımh→0

f(a+ hu)− f(a)

h= ∇f(a) · u

donde el primer termino es la definicion de derivada direccional Duf(a):

Duf(a) = lımh→0

f(a+ hu)− f(a)

h= ∇f(a · u

con lo que queda demostrado.El teorema me dice que si f es diferenciable, existe la Du, y Du = ∇f(a) · uLuego, bajo las hipotesis del teorema:

Duf(a) = ∇f(a) · u = |∇f(a)| cos θ

Siendo θ el angulo formado por ∇f(a) y por u.De aquı obtengo 3 conclusiones:

1. Duf(a) es maxima si cos θ = 1 ⇒ θ = 0, esto es, si lo vectores tienen la mismadireccion, y su valor maximo es |∇f(a)|. Es en esta direccion donde f tiene mayortasa de crecimiento.

2. Duf(a) es mınima si cos θ = −1⇒ θ = π, es decir, que los vectores tienen direccionescontrarias, y su valor mınimo es −|∇f(a)|.

3. Duf(a) es nula si θ = π2 .

Un error que se suele cometer es olvidar la hipotesis de diferenciabilidad, ya que si nose cumple, no puedo aplicar el teorema.

Un ejemplo de campo con parciales pero no diferenciable (donde no se cumple elteorema):

f(x, y) =

xy

(x2 + y2)1/2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Vamos a ver que existen parciales en (0, 0), que existe Du(0, 0) y que no se cumple laigualdad que nos da el teorema:

D1f(0, 0) = lımh→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= 0

D2f(0, 0) = lımk→0

f(0, k)− f(0, 0)

k= 0


Ahora vemos la Duf(0, 0) aplicando la definicion:

u = (u1, u2)

Duf(0, 0) = lımh→0

f(hu1, hu2)− f(0, 0)

h= lım

h→0

h2u1u2√h2u2

1 + h2u22

− 0

h= lım

h→0

h2u1u2

h√h2u2

1 + h2u22

=

=

{√u2

1 + u22 = 1, ya que es vector unitario

}= ±u1u2 6= D1f(0, 0)u1 +D2f(0, 0)u2 = 0

Donde la igualdad falla porque ±u1u2 solo es 0 si u = (1, 0) o u = (0, 1). Por lo que laigualdad no funciona, ya que f no es diferenciable en (0,0).

Vamos a comprobar ahora como f no es diferenciable:Si f fuera diferenciable, la aplicacion diferencial serıa = 0 (ya que las derivadas son

0). Aunque ahora mismo ya se que f no es diferenciable por incumplir el teorema, comoejercicio voy a comprobar que no es diferenciable en (0, 0). Para que f fuera diferenciableen (0, 0), empleando la definicion tendrıa que ocurrir:

lım(h,k)→(0,0)

f(h, k)− f(0, 0)− 0(h, k)√h2 + k2

= 0

Cuando en realidad:

lım(h,k)→(0,0)

f(h, k)− f(0, 0)− 0(h, k)√h2 + k2

= lım(h,k)→(0,0)

hk − 0− 0(h, k)√h2 + k2 ·

√h2 + k2

= lım(h,k)→(0,0)

hk

h2 + k2

y por direccionales comprobamos que el lımite no existe:

lım(h,k)→(0,0)

k=ah

hk

h2 + k2= lım

h→0

ah2

h2 + a2h2=

a

1 + a2⇒ @

Con lo que ya tenemos demostrado que f no es diferenciable en (0, 0).

3.13. Vector gradiente y superficies de nivel

La interpretacion geometrica del gradiente en campos de R2 → R y de R3 → R secorresponde con los conceptos de curvas y superficies de nivel.

Sea f : D ⊆ R2 → R diferenciable en (a, b), y ademas ∇f(a, b) 6= (0, 0). Se puededemostrar que ∇f(a, b) es ⊥ a la curva de nivel que pasa por (a, b):

∇f(a, b)⊥Ck = {(x, y) ∈ D � f(x, y) = f(a, b)}

Sea f : D ⊆ R3 → R diferenciable en (a, b, c), y ademas ∇f(a, b, c) 6= (0, 0, 0). Se puededemostrar que ∇f(a, b, c) es ⊥ a la sperficie de nivel que pasa por (a, b, c):

∇f(a, b, c)⊥Sk = {(x, y, z) ∈ D � f(x, y, z) = f(a, b, c)}


3.13.1. Calculo del plano tangente a una superficie en un punto

Sea una superficie de nivel F (x, y, z); supongo que el campo F cumple las condicionesde diferenciabilidad en (a, b, c), y que ∇F (a, b, c) 6= (0, 0, 0).

El plano tangente es el plano que pasa por (a, b, c) y que tiene como vector caraterısticoa un vector perpendicular a la superficie en dicho punto, que es el vector ∇F (a, b, c):

Plano tg

{pasa por (a, b, c)∇F (a, b, c)

Luego el plano es el producto escalar de dos vectores perpendiculares:

∇F (a, b, c) · (x− a, y − b, z − c) = 0

o tambien, ya que ∇ es el vector de las derivadas direccionales:

D1F (a, b, c)(x− a) +D2F (a, b, c)(y − b) +D3F (a, b, c)(z − c) = 0

Ejemplos:

1. Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie Sk ≡ x2 − 4y2 + z2 = 16 en(2, 1, 4).

Esta es la superficie de nivel del campo F (x, y, z) = x2 − 4y2 + z2. El gradiente delcampo sera:

∇F (x, y, z) = (2x,−8y, 2z)

∇F (2, 1, 4) = (4,−8, 8)

Donde este ultimo vector ∇ es el vector perpendicular a la superficie en (2, 1, 4). Contodo esto, nos queda que el plano tangente es:

4(x− 2)− 8(y − 1) + 8(z − 4) = 0⇒ {÷4} ⇒ x− 2y + 2z = 8

2. Hallar la ecuacion del plano tangente a Z = 4x+ y2 en (−1, 3, 5):

F (x, y, z) = 4x+ y2 − z∇F (x, y, z) = (4, 2y,−1)⇒ ∇F (−1, 3, 5) = (4, 6,−1)

∇F (−1, 3, 5) · (x+ 1, y − 3, z − 5) = 0⇒⇒ 4(x+ 1) + 6(y − 3)− (z − 5) = 0⇒ 4x+ 6y − z = 9

3.14. Aproximacion lineal

Haciendo uso de las derivadas direccionales, puedo realizar una aproximacion lineal aun numero: Sea f : R→ R derivable en a:

f(a+ h) ' f(a) + f ′(a)h

Sea f : Rn → R diferenciable en a:

f(a+ h) ' f(a) +∇f(a) · h


Ası, en f : R2 → R diferenciable en (a, b):

f(a+ h, b+ k) ' f(a, b) +D1f(a, b)h+D2f(a, b)k

Ejemplo: calcular mediante aproximacion lineal√

(2,1)2 + (1,2)2 + (1,98)2:

f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2 ⇒ f(2, 1, 2) =

√9 = 3

f(2,1, 1,2, 1,98) ' f(2, 1, 2) +D1f(2, 1, 2)1

10+D2f(2, 1, 2)

2

10+D3f(2, 1, 2)

(−2

100

)con lo que solo me queda calcular las parciales:

D1f(x, y, z) =x√

x2 + y2 + z2;D1f(2, 1, 2) =

2

3

D2f(x, y, z) =y√

x2 + y2 + z2;D2f(2, 1, 2) =

1

2

D3f(x, y, z) =z√

x2 + y2 + z2;D3f(2, 1, 2) =

2

3

luego:

f(2,1, 1,2, 1,98) ' 3 +2

3· 1

10+

1

3· 2

10− 2

3· 1

100= 3,12

3.14.1. Interpretacion geometrica de la aproximacion lineal

La aproximacion lineal es, geometricamente, aproximarnos a un punto de una curva atraves de la tangente a la curva en dicho punto. En R2 → R me aproximo a una superficieen un entorno de un punto, a partir del plano tangente a la superficie en ese punto.

Ejemplo: Sea z = f(x, y) (por lo que trabajamos en R2 → R).z es superficie de nivel del campo F (x, y, z) = f(x, y) − z. Vamos a calcular el plano

tangente a la superficie en un punto (a, b, f(a, b)):

D1f(a, b)(x− a) +D2f(a, b)(y − b)− (z − f(a, b)) = 0

pasando z al otro miembro:

z = f(a, b) +D1f(a, b)(x− a) +D2f(a, b)(y − b)

3.15. Diferenciabilidad en campos vectoriales

Sea f : Rn → Rm. f es diferenciable en a ∈ f si existe:

λ : Rn → Rm � lımh→0

||f(a+ h)− f(a)− λ(h)||||h||

= 0

Esta expresion resulta incomoda de manejar, por lo que para calcular recurrimos al si-guiente teorema:

3.15.1. Teorema de diferenciabilidad de campos vectoriales

Sea f : Rn → Rm, donde f es la familia de campos escalares: f = (f1, · · · , fm).f es diferenciable en a ⇔ fi es diferenciable en a, i ∈ {1, · · · ,m}


3.16. Matriz asociada a la diferencial en un campo vectorial

Sea f : Rn → Rm. Si la diferencial es una aplicacion lineal de la forma λ = Rn → Rm,esta tiene asociada una matrix de orden m× n. Para calcular dicha matriz, recurrimos alsiguiente teorema:

3.16.1. Teorema para el calculo de la matriz Jacobiana

Si f : Rn → Rm es diferenciable en a, entonces existen todas las parciales Difj(a) coni ∈ {1, · · · , n}; j ∈ {1, · · · ,m}. La matriz asociada a la diferencial se denomina matrizjacobiana de f en a:

J(f)a =

D1f1(a) D2f1(a) · · · Dnf1(a)D1f2(a) D2f2(a) · · · Dnf2(a)

......

. . ....

D1fm(a) D2fm(a) · · · Dnfm(a)

=

∇f1(a)

∇f2(a)...

∇fm(a)

El teorema me dice que la diferenciabilidad del campo vectorial esta relacionada conla diferenciabilidad de los campos escalares componentes, luego es logico que la matrizeste relacionada con los ∇.

En el caso particular de encontrarnos en campos vectoriales de Rn → Rn, la matrizjacobiana es cuadrada (n × n), con lo que vemos que tiene sentido el concepto de deter-minante. Al determinante de la matriz jacobiana se le llama Jacobiano.

3.16.2. La matriz Jacobiana como generalizacion de la derivada

Al igual que cuando trabajamos con campos escalares vimos como el vector gradienteera una correcta generalizacion del concepto de derivada, ahora que nos encontramos encampos vectoriales la generalizacion es la matriz Jacobiana. Vamos a ver las analogıasentre las diferenciales de distintos campos:

f : R→ R su diferencial es dfa(x) = f ′(a)x

f : Rn → R ′′ dfa(x) = ∇f(a) · xf : Rn → Rm ′′ dfa(x) = J(f)aX

Donde X es la matriz columna cuyos elementos son las componentes de x

3.17. El operador diferencial nabla

Sea f : R3 → R donde existen las derivadas parciales. Considero el “vector” nabla(operador diferencial):

∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk ⇒ ∇f =

∂f

∂xi+

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

Donde vemos como al multiplicarlo por f nos da las parciales (esto es, el gradiente de f).Puedo trabajar con ∇ como si fuera un vector normal, luego puedo hacer:

∇ · ∇ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2


Donde ∇ · ∇ es el operador laplaciano (o laplaciana):

∇ · ∇ = ∇2 = ∆

La laplaciana de f sera entonces:

(∇ · ∇)f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

3.18. Operaciones con ∇ en campos vectoriales

Sea F : R3 → R, donde f = (P,Q,R). Supongo la existencia de las parciales. Podemosdefinir 3 operaciones sobre el campo f mediante el operador diferencial nabla:

3.18.1. Divergencia de un campo vectorial

∇ · F =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

3.18.2. Rotacional de un campo vectorial

∇× F =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣ =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)i+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)j +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k

3.18.3. Laplaciano de un campo vectorial

(∇ · ∇

)F =

(∂2P

∂x2+∂2P

∂y2+∂2P

∂z2,∂2Q

∂x2+∂2Q

∂y2+∂2Q

∂z2,∂2R

∂x2+∂2R

∂y2+∂2R

∂z2

)3.18.4. Interpretacion fısica de los operadores

Cuando el campo f o el F tienen un sentido fısico, estos operadores tambien tienenun sentido fısico. Ası, dado un campo:

∇f = 0 f es armonico

∇ · F = 0 F es solenoidal

∇× F = 0 F es irrotacional

Capıtulo 4

Diferenciablidad de campos porcomposicion

4.1. Regla de la cadena

Sean:f : Rn → Rm

g : Rm → Rp

h = g ◦ f : Rn → Rp

Si f es diferenciable en a y g es diferenciable en f(a) entonces h = g ◦ f es diferenciableen a, y ademas:

J(h)a = J(g)f(a) · J(f)a

Ejemplo: Sean f y g dados por:

f : R2 → R3 f(u1 + u2) = (f1(u1, u2), f2(u1, u2), f3(u1, u2))g : R3 → R2 g(v1, v2, v3) = (g1(v1, v2, v3), g2(v1, v2, v3))h = g ◦ f : R2 → R2 h(u1, u2) = (h1(u1, u2), h2(u1, u2))

donde:v1 = f1(u1, u2)v2 = f2(u1, u2)v3 = f3(u1, u2)

50

CAPITULO 4. DIFERENCIABLIDAD DE CAMPOS POR COMPOSICION 51

Calculamos las jacobianas:

J(h) =

∂h1

∂u1

∂h1

∂u2∂h2

∂u1

∂h2

∂u2

J(g) =

∂g1

∂v1

∂g1

∂v2

∂g1

∂v3∂g2

∂v1

∂g2

∂v2

∂g2

∂v3

J(f) =

∂f1

∂u1

∂f1

∂u2∂f2

∂u1

∂f2

∂u2∂f3

∂u1

∂f3

∂u2

y dado que hemos “renombrado” v1 = f1(u1, u2), · · · , etc, podemos reescribir la jacobianade f :

J(f) =

∂v1

∂u1

∂v1

∂u2∂v2

∂u1

∂v2

∂u2∂v3

∂u1

∂v3

∂u2

Ahora, mediante el uso de la regla de la cadena, puedo recalcular J(h):

J(h) =

∂h1

∂u1

∂h1

∂u2∂h2

∂u1

∂h2

∂u2

=

∂g1

∂v1

∂g1

∂v2

∂g1

∂v3∂g2

∂v1

∂g2

∂v2

∂g2

∂v3

·

∂v1

∂u1

∂v1

∂u2∂v2

∂u1

∂v2

∂u2∂v3

∂u1

∂v3

∂u2

⇒

⇒

∂h1

∂u1=∂g1

∂v1· ∂v1

∂u1+∂g1

∂v2· ∂v2

∂u1+∂g1

∂v3· ∂v3

∂u1∂h1

∂u2=∂g1

∂v1· ∂v1

∂u2+∂g1

∂v2· ∂v2

∂u2+∂g1

∂v3· ∂v3

∂u2∂h2

∂u1=∂g2

∂v1· ∂v1

∂u1+∂g2

∂v2· ∂v2

∂u1+∂g2

∂v3· ∂v3

∂u1∂h2

∂u2=∂g2

∂v1· ∂v1

∂u2+∂g2

∂v2· ∂v2

∂u2+∂g2

∂v3· ∂v3

∂u2

El arbol de dependencias es:

h g

v1 f1

{u1

u2

v2 f2

{u1

u2

v3 f3

{u1

u2


4.2. Derivadas sucesivas de la composicion

Sean los campos f y g, y su composicion h = g ◦ f :

f : R2 → R2 f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y))g : R2 → R g(u, v)

h = g ◦ f : R2 → R

Siendo los vectores u y v, y el arbol de dependencias:

u = f1(x, y)v = f2(x, y)

h g

u f1

{xy

v f2

{xy

Aplicando la regla de la cadena:

∂h

∂x=∂g

∂u· ∂u∂x

+∂g

∂v· ∂v∂x

∂h

∂y=∂g

∂u· ∂u∂y

+∂g

∂v· ∂v∂y

Calculamos ahora las derivadas sucesivas mediante reglas normales de derivacion:

∂2h

∂x2=

∂

∂x

(∂g

∂u· ∂u∂x

+∂g

∂v· ∂v∂x

)=

usando:

derivada suma = suma derivadas

(fg)′ = f ′g + g′fregla de la cadena

=∂2g

∂u2

(∂u

∂x

)2

+∂2g

∂v∂u· ∂v∂x· ∂u∂x

+∂g

∂u· ∂

2u

∂x2+

∂2g

∂u∂v· ∂u∂x· ∂v∂x

+∂2g

∂v2

(∂v

∂x

)2

+∂g

∂v· ∂

2v

∂x2

Operamos igual para obtener:∂2h

∂y2;∂2h

∂x∂y;∂2h

∂y∂x

Con lo que nos queda:

∂2h

∂y∂x=

∂

∂y

(∂g

∂u· ∂u∂x

+∂g

∂v· ∂v∂x

)=∂2g

∂u2· ∂u∂y· ∂y∂x

+∂2g

∂v∂u· ∂v∂y· ∂u∂x

+

+∂g

∂u· ∂

2u

∂y∂x+

∂2g

∂u∂v· ∂u∂y· ∂v∂x

+∂2g

∂v2· ∂v∂y· ∂u∂x

+∂g

∂v· ∂

2v

∂y∂x

∂2h

∂x∂y=

∂

∂x

(∂g

∂u· ∂u∂y

+∂g

∂v· ∂v∂y

)= · · ·

∂2h

∂y2=

∂

∂y

(∂g

∂u· ∂u∂y

+∂g

∂v· ∂v∂y

)= · · ·


Ejemplo:Sea f : R2 → R dado por:

z = f(x, y)

Sabiendo que las parciales hasta orden 2 son continuas (por lo que se cumple el Teoremade Schwartz), e introduciendo el cambio de variable:

x = r cos(θ)y = r sen(θ)

con lo que la funcion f(x, y) = ϕ(r, θ).

Hallar:∂ϕ

∂r;∂ϕ

∂θ;∂2ϕ

∂r2;∂2ϕ

∂θ2

Aplicando la regla de la cadena:

∂ϕ

∂r=∂f

∂x· ∂x∂r

+∂f

∂y· ∂y∂r

∂ϕ

∂θ=∂f

∂x· ∂x∂θ

+∂f

∂y· ∂y∂θ

∂x

∂r= cos(θ)

∂y

∂r= sen(θ)

∂x

∂θ= −r sen(θ)

∂y

∂θ= r cos(θ)

luego:∂ϕ

∂r=∂f

∂xcos(θ) +

∂f

∂ysen(θ)

∂ϕ

∂θ= −∂f

∂xr sen(θ) +

∂f

∂yr cos(θ)

Para hallar las segundas derivadas parciales, aplico reglas de derivacion:

∂2ϕ

∂r2=∂2f

∂x2· ∂x∂r

cos(θ) +∂2f

∂y∂x· ∂y∂r

cos(θ) +∂2f

∂x∂y· ∂x∂r

sen(θ) +∂2f

∂y2· ∂y∂r

sen(θ) =

=∂2f

∂x2cos2(θ) + 2

∂2f

∂y∂xsen(θ) cos(θ) +

∂2f

∂y2sen2(θ)

Capıtulo 5

Diferenciablidad de funcionesimplıcitas

5.1. Determinante jacobiano

Sea F : Rn → Rn tal que F = (F1, · · · , Fn), y que existan todas las parciales de Fi. Lammatriz jacobina sera de orden n× n. Designamos como J el determinante de la matriz:

J =

∣∣∣∣∣∣∣∂F1∂x1

· · · ∂F1∂xn

.... . .

...∂Fn∂x1

· · · ∂Fn∂xn

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∂(F1, · · · , Fn)

∂(x1, · · · , xn)

∣∣∣∣5.2. Funcion Implıcita

Si estoy en R2 y tengo una funcion de la forma z = f(x, y), dicha funcion es una expre-sion explıcita de z en terminos de f (z es funcion explıcita de x, y). Si tengo F (x, y, z) = 0decimos que es una funcion implıcita de z, de la cual puedo despejar la z y convertirlaen una funcion explıcita. Ası, por ejemplo, la expresion x2 + y2 + z2 = r2 es una funcionimplıcita ( ya que la z no esta despejada), de la que puedo despejar facilmente la z deforma que la expresion quede: z = ±

√r2 − x2 − y2, con lo cual ya tengo una funcion

implıcita de z en terminos de x, y.Sin embargo, despejar la variable definida implicitamente no siempre resulta sencillo,

por ello vamos a definir algunas reglas de derivacion de funciones implıcitas que nos vana permitir trabajar con estas funciones sin tener que despejar.

5.2.1. Notacion

Representamos la funcion implıcita como F :

F (x1, · · · , xn−1) = 0

Representamos la funcion explıcita como f :

xn = f(x1, · · · , xn−1)

54

CAPITULO 5. DIFERENCIABLIDAD DE FUNCIONES IMPLICITAS 55

5.3. Teorema de la funcion implıcita

Con este teorema puedo asegurar, bajos ciertas condiciones, la diferenciabilidad de unafuncion implıcita.

Sea F : Rn → R tal que cumpla:

1. F (a1, · · · , an) = 0, es decir que F se puede expresar como F (x, y, z, · · · , n) = 0.

2. F es diferenciable con continuidad en dicho punto, es decir, que existen las parcialesen ese punto y son continuas.

3. DnF 6= 0 en dicho punto.

Bajo estas tres hipotesis, la funcion:

f : Rn−1 → R

dada por:xn = f(x1, · · · , xn−1)

donde xn es el ultimo vector de F , es diferenciable en el punto (a1, · · · , an−1), y ademas:

Dif =−DiF

DnF, i ∈ {1, · · · , n− 1}

en dicho punto.El teorema me dice que si la funcion F : Rn → R cumple las tres condiciones, Xn

es funcion implıcita de las demas variables (se comporta como la z en los ejemplos de[5.2]), y ademas es diferenciable en el punto de estudio, y la expresion de la diferencial es

Dif =−DiF

DnF.

5.3.1. Exigencias y consideraciones del teorema

1. Es puntual, aunque al igual ocurre con otros teoremas a lo largo del curso, si sepuede extender para que se cumpla en el dominio, podemos emplearlo sin problemasen todo el dominio.

2. Si me dan una funcion implıcita, la tendencia y la costumbre nos invitan a despejar.Sin embargo esto puede ser imposible, o incluso no ayudarme en los calculos. Unejemplo es la ecuacion x2 + y2 + z2 = r2. Si despejo, me veo obligado a trabajar con± y raıces, pero si uso directamente el teorema sin despejar, solo tengo que emplearcuadrados y sumas.

3. Cuando se enuncia el teorema, siempre se da xn = f(x1, · · · , xn−1), (la ultima va-riable). Pero esto es solo una forma de notacion, y por lo tanto el teorema se puedeemplear para cualquier variable.

4. El teorema me da condiciones suficientes. Si no se cumplen las tres hipotesis, nose nada. Pero si se cumplen las tres condiciones, aseguro el resultado (no necesitocomprobar las conclusiones mediante el uso de definiciones).


5.3.2. Demostracion y ejemplo de la regla de la cadena

Sea F (x1, · · · , xn) = 0 (con lo que ya se cumple la primera condicion del teorema).Asumo que F (x1, · · · , xn) = 0 define a xn como funcion implıcita de las demas variables:

xn = f(x1, · · · , xn−1)

Si asumo que F = 0 defina a xn = f(x1, · · · , xn−1), es mentira que F dependa de nvariables (ya que no depende de xn, y xn depende de n− 1 variables, lo que impone queF depende tambien de n− 1 variables), por lo que reescribo F como g(x1, · · · , xn−1):

g(x1, · · · , xn−1) = F (x1, · · · , xn−1, f(x1, · · · , xn−1)) = 0

La diferencial de g sera:

Dig = {regla de la cadena} = DiF +DnFDif = 0, 1 ≤ i ≤ (n− 1)⇒ Dif =−DiF

DnF

ya que DiF depende de F , DnFDif depende de f(xi) a traves de F , y su producto esigual a 0 porque (g = 0) es constante.

Ası, el arbol de dependencias queda:

g f

x1

· · ·xn−1

xn = f

x1

· · ·xn−1

Ejemplo:Sea z = f(x, y) definida implicitamente por la relacion F (x−az, y−bz) = 0. Demostrar

la relacion:

a∂z

∂x+ b

∂z

∂y= 1

Construyo dos variables auxiliares u y v:

u = x− azv = y − bz

con lo que el arbol de dependencias queda:

F

u

x

z

{xy

v

y

z

{xy

Voy a trabajar asumiendo que existe la funcion implıcita.


La parcial de F con respecto a x (siguiendo el camino):

∂F

∂x=∂F

∂u· ∂u∂x

+∂F

∂u· ∂u∂z· ∂z∂x

+∂F

∂v· ∂v∂z· ∂z∂x

= 0

Si estudio ahora las parciales de las variables auxiliares u y v:

∂u

∂x= 1

∂v

∂y= 1

∂u

∂z= −a ∂v

∂z= −b

Con estos resultados reescribo∂F

∂x:

∂F

∂x=∂F

∂u− ∂F

∂u· a · ∂z

∂x− ∂F

∂v· b · ∂z

∂x= 0

y despejando la∂z

∂x:

∂z

∂x=

∂F/∂ua∂F∂u + b∂F∂v

Operando ahora con la variable y:

∂F

∂y=∂F

∂u· ∂u∂z· ∂z∂y

+∂F

∂v· ∂v∂y

+∂F

∂v· ∂v∂z· ∂z∂y

= 0⇒

⇒ −∂F∂u· a · ∂z

∂y+∂F

∂v− ∂F

∂v· b · ∂z

∂y= 0

y despejando la∂z

∂y:

∂z

∂y=

∂F/∂va∂F∂u + b∂F∂v

5.4. Sistemas de ecuaciones implıcitas

¿Cuando un sistema de m ecuaciones, con n incognitas, (n > m), me permite definirm variables como funcion implıcita de las n−m variables restantes?

Ejemplo:F (x1, · · · , xn, y, z) = 0 (n+ 2 variables)G(x1, · · · , xn, y, z) = 0 (n+ 2 variables)

donde tenemos m = 2 ecuaciones, y n = (n+ 2) incognitas, y F ,G son diferenciables concontinuidad.

La condicion para definir y, z como funciones implıcitas es que el jacobiano:∣∣∣∣∂(F,G)

∂(y, z)

∣∣∣∣ 6= 0

y se puede demostrar que:

∂y

∂xi=−∣∣∣∂(F,G)∂(xi,z)

∣∣∣∣∣∣∂(F,G)∂(y,z)

∣∣∣


y que:

∂z

∂xi=−∣∣∣∂(F,G)∂(y,xi)

∣∣∣∣∣∣∂(F,G)∂(y,z)

∣∣∣con i ∈ {1, · · · , n}.Con esto hemos visto que el teorema de la implıcita se puede generalizar para sistemas

de ecuaciones.Ejemplo:Dado el sistema:

2x = u2 − v2

y = u · v

}¿Para que condiciones el sistema define a u y v como funciones implıcitas de x y de y? En

ese caso, calcular:∂u

∂x,∂u

∂y,∂v

∂x,∂v

∂yEl sistema lo puedo escribir como:

F (x, y, u, v) = 2x− u2 + v2 = 0G(x, y, u, v) = y − uv = 0

}1a condicion del teorema

Dado que ambas expresiones son polinomios,la condicion de diferenciabilidad y conti-nuidad esta resuelta (2a condicion del teorema).

La 3a condicion del teorema (jacobiano 6= 0):

∣∣∣∣∂(F,G)

∂(u, v)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∂F

∂u

∂F

∂v∂G

∂u

∂G

∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ −2u 2v−v −u

∣∣∣∣ = 2u2+2v2 = 2(u2+v2)

{= (0, 0) si (u, v) = (0, 0)6= (0, 0) si (u, v) 6= (0, 0)

Luego el sistema me permite definir a u, v como f(x, y) en cualquier caso excepto enel que (u, v) = (0, 0), donde no puedo.

Calculamos ahora las parciales a traves del teorema de la implıcita:

∂u

∂x=

−∣∣∣∣∂(F,G)

∂(x, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣∂(F,G)

∂(u, v)

∣∣∣∣ =

−

∣∣∣∣∣∣∣∂F

∂x

∂F

∂v∂G

∂x

∂G

∂v

∣∣∣∣∣∣∣2(u2 + v2)

=

−∣∣∣∣ 2 2v

0 −u

∣∣∣∣2(u2 + v2)

=2u

2(u2 + v2)=

u

u2 + v2

y operamos igual para obtener el resto de parciales:

∂u

∂y=

−∣∣∣∣∂(F,G)

∂(y, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣∂(F,G)

∂(u, v)

∣∣∣∣ = · · · = v

u2 + v2

∂v

∂x=

−∣∣∣∣∂(F,G)

∂(u, x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∂(F,G)

∂(u, v)

∣∣∣∣ = · · · = −vu2 + v2


∂v

∂y=

−∣∣∣∣∂(F,G)

∂(u, y)

∣∣∣∣∣∣∣∣∂(F,G)

∂(u, v)

∣∣∣∣ = · · · = u

u2 + v2

5.5. Derivadas parciales y diferencial total

Sea z = f(x, y) y tengo g(x, y) = 0 que define implicitamente a y como funcion de x,con lo que el arbol de dependencias queda:

z

{xy x

luego vemos que z solo depende realmente de x, por lo que puedo expresardz

dx:

dz

dx=∂z

∂x+∂z

∂y· dydx

Ejemplos:

1. Hallar∂z

∂xsi:

z = x2 + y2

F = x2 + y3 + y = 0

El arbol de dependencias es:

z

{xy x

Y la parcial se convierte en una diferencial total:

∂z

∂x=dz

dx=∂z

∂x+∂z

∂y· dydx

= 2x+ 2y ·(−2x

3y2 + 1

)= 2x− 4xy

3y2 + 1

donde hemos usado el teorema de la implıcita para calculardy

dx.

2. Sea z = f(x, y) tal que existen las parciales, y tengo las relaciones:

g1(x, y, t) = 0g2(x, y, t) = 0

}que definene un sistema de ecuaciones implıcitas, el cual supongo que me permitedefinir a x e y como funciones implıcitas de t. El arbol de dependencias es:

z

{x ty t

Luego:dz

dt=∂z

∂x· dxdt

+∂z

∂y· dydt


3. Sea z = x3y. Hallardz

dtsabiendo que:

x5 + y = tx2 + y3 = t

}

z

{x ty t

Vamos a hacerlo son aplicar la formula de teorema; en su lugar, vamos a verlo comoun sistema de ecuaciones:

5x4 dxdt + dy

dt = 1

2xdxdt + 3y2 dydt = 1

}y ahora lo trato como un sistema de ecuaciones normal y corriente (el cual puedoresolver por sustitucion, igualacion, etc.). Restando las dos ecuaciones:

(5x4 − 2x

) dxdt

+(1− 3y2

) dydt

= 0⇒ dy

dt=

(5x4 − 2x

3y2 − 1

)dx

dt

Sustituyendody

dten la 1a ecuacion:

5x4dx

dt+

(5x4 − 2x

3y2 − 1

)dx

dt= 1⇒ dx

dt=

15x4−2x3y2−1

+ 5x4=

=

{multiplico numerador ydenominador por 3y2 + 1

}=

3y2 − 1

15x4y2 − 2x

Como antes ya habıa despejadody

dt, sustituyo este ultimo resultado en su expresion:

dy

dt=

(5x4 − 2x

3y2 − 1

)dx

dt=

(5x4 − 2x

3y2 − 1

)·(

3y2 − 1

15x4y2 − 2x

)=

5x4 − 2x

15x4y2 − 2x

Con esto ya tengodx

dtydy

dt, y procedo a calcular

dz

dt:

dz

dt=∂z

∂x· dxdt

+∂z

∂y· dydt

= 3x2y ·(

3y2 − 1

15x4y2 − 2x

)+ x3 ·

(5x4 − 2x

15x4y2 − 2x

)=

=9x2y3 − 3x2y + 5x7 − 2x4

15x4y2 − 2x= {÷x} =

9xy3 − 3xy + 5x6 − 2x3

15x3y2 − 2

5.6. Derivadas sucesivas de la funcion implıcita

Sea F (x, y, z) = xz − z3 − y = 0. ¿Cuando define a z como funcion implıcita de x e y?En tal caso, hallar todas las parciales hasta orden 2.

F define a z como funcion de x, y cuando:

∂F

∂z= x− 3z2 6= 0


las parciales de z en funcion de x e y son:

∂z

∂x=−∂F/∂x∂F/∂z

=−z

x− 3z2

∂z

∂y=−∂F/∂y∂F/∂z

=1

x− 3z2

Ahora hallo las segundas derivadas, para lo cual aplico el algebra de derivadas:

∂2z

∂x2=− ∂z∂x ·

(x− 3z2

)+(1− 6z ∂z∂x

)z

(x− 3z2)2 =2z + 6z3

x−3z2

(x− 3z2)2 =

={÷(x− 3z2

)}=

2xz − 6z3 + 6z3

(x− 3z2)3 =2xz

(x− 3z2)3

Una segunda forma de hacerlo serıa derivando directamente de F (x, y, z) asumiendoque z = f(x, y) (mediante la regla de la cadena), y teniendo en cuenta que para ello tieneque seguir cumplıendose la condicion

∂F

∂z= x− 3z2 6= 0

Derivando con respecto de x:

z + x∂z

∂x− 3z2 ∂z

∂x= 0⇒ ∂z

∂x=

−zx− 3z2

Derivando con respecto a y:

x∂z

∂y− 3z2 ∂z

∂y− 1 = 0⇒ ∂z

∂y=

1

x− 3z2

Para hallar las segundas derivadas, derivo las de primer orden:

∂2z

∂x2=

∂

∂x

(∂z

∂x

)=∂z

∂x+ 1 · ∂z

∂x+ x · ∂

2z

∂x2− 6z ·

(∂z

∂x

)2

− 3z2 ∂2z

∂x2= 0⇒

⇒ ∂2z

∂x2=

6z(∂z∂x

)2 − 2 · ∂z∂xx− 3z2

=

6z3

(x−3z2)2+ 2z

x−3z2

x− 3z2=

2xz

(x− 3z2)3

Y se harıa lo mismo con la∂z

∂x. Como se puede comprobar, el resultado es el mismo

mediante ambos metodos.

5.7. Teorema de la funcion inversa

Sea F : Rn → Rn, F = (F1, · · · , Fn), tal que F es diferenciable con continuidad en a.Si se cumple que:

J =

∣∣∣∣∂(F1, · · · , Fn)

∂ (x1, · · ·xn)

∣∣∣∣a

6= 0

entonces:


1. ∃F−1 : Rn → Rn en F (a).

2. F−1 es diferenciable en F (a).

3. la matriz jacobiana de F−1 es igual a la inversa de la jacobiana de F :

J(F−1)F (a) =(J(F )a

)−1

En principio, el teorema es puntual, pero si lo extiendo, puedo aplicarlo al dominio.Ejemplo:Sea F : R2 → R2 dado por F (x, y) = (ex + ey, ex− ey). Demostrar que F es invertible,

y que F−1 es diferenciable. Hallar la matriz J(F−1)Dado que el campo esta definido por funciones exponenciales, la condicion de que F

sea diferenciable con continuidad esta solucionada. Por lo tanto el jacobiano:∣∣∣∣∂(F1, F2)

∂(x, y)

∣∣∣∣ 6= 0 =

∣∣∣∣∣ ∂F1∂x

∂F1∂y

∂F2∂x

∂F2∂y

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ex ey

ex −ey∣∣∣∣ = −2exey = −2ex+y

luego −2ex+y 6= 0 se cumple siempre, con lo que puedo asegurar la existencia de lafuncion inversa:

F−1(u, v) , siendo

{u = ex + ey

v = ex − ey

y a traves del teorema, tambien puedo asegurar que la inversa es diferenciable.El teorema de la inversa nos dice que la jacobiana de la inversa es la inversa de la

jacobiana. Ası, siendo la jacobiana:

J(F (x, y)

)=

(ex ey

ex −ey)

y dado que el determinante es 6= 0, no tengo problemas para invertirla. Por el teorema:

J(F−1

)=(JF)−1

=

e−x

2

e−x

2e−y

2−e−y

2

Pero como hemos definido F−1 en funcion de las variables (u, v), tenemos que reescribir

la matriz para que muestre este cambio de variable. Si trabajo con las expresiones de u yv:

u = ex + ey

v = ex − ey

}sumando⇒ 2ex = u+ v ⇒ ex =

u+ v

2⇒ e−x =

2

u+ v

u = ex + ey

v = ex − ey

}restando⇒ 2ey = u− v ⇒ ey =

u− v2⇒ e−y =

2

u− v

con lo que ya podemos escribir la matriz en funcion de (u, v):

J(F−1

)=

1

u+ v

1

u+ v1

u− v− 1

u− v


5.8. Teorema de Taylor para campos escalares

El teorema de Taylor para funciones reales de una variable real (R→ R) decıa que sif tiene derivadas hasta orden n continuas en un punto, puedo escribir:

f(a+ h) = f(a) + f′(a)h+

1

2!f

′′(a)h2 + · · ·+ 1

n!fn(a)hn + En(a, h) , lım

h→0En(a, h) = 0

donde el termino En es la expresion del error cometido.Si desarollamos este resultado en R2:Sea f : R2 → R, la cual supongo que tiene derivadas parciales continuas (orden 1) en

un punto (a, b). El polinomio de Taylor centrado en (a, b) para dicho orden serıa:

f(a+h, b+k) = f(a, b)+∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k+E1(a, b, h, k) , lım

(h,k)→(0,0)E1(a, b, h, k) = 0

Si la funcion tiene derivadas parciales hasta orden 2 continuas:

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k+

+1

2!

[∂2f

∂x2(a, b)h2 + 2

∂2f

∂x∂y(a, b)hk +

∂2f

∂y2(a, b)k2

]+

+E2(a, b, h, k) , lım(h,k)→(0,0)

E2(a, b, h, k) = 0

donde tengo 4 parciales de orden 2, pero como las parciales son continuas, se cumplen

las condiciones del teorema de Schwartz, con lo que:∂2

∂x∂y=

∂2

∂y∂x.

Si la funcion tiene parciales hasta orden 3 continuas:

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k+

+1

2!

[∂2f

∂x2(a, b)h2 + 2

∂2f

∂x∂y(a, b)hk +

∂2f

∂y2(a, b)k2

]+

+1

3!

[∂3f

∂x3(a, b)h3 + 3

∂3f

∂x2∂y(a, b)h2k + 3

∂3f

∂x∂y2(a, b)hk2 +

∂3f

∂y3(a, b)k3

]+E3(a, b, h, k) , lım

(h,k)→(0,0)E3(a, b, h, k) = 0

Si continuamos con este desarrollo, el termino generico con las parciales hasta orden ncontinuas serıa:

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)h+

∂f

∂y(a, b)k + · · ·+

+1

n!

[∂nf

∂xn(a, b)hn +

(n1

)∂nf

∂xn−1∂y(a, b)hn−1k +

(n2

)∂nf

∂xn−2∂y2(a, b)hn−2k2+

+ · · ·+ ∂nf

∂yn(a, b)kn

]+ En(a, b, h, k) , lım

(h,k)→(0,0)En(a, b, h, k) = 0

con lo que ya tengo el polinomio de Taylor hasta orden n con las parciales continuas.


5.8.1. Expresion de En

Una extension del teorema de Taylor me dice que si las parciales hasta orden (n+ 1)son continuas, tengo la siguiente expresion del termino En:

En(a, b, h, k) =1

(n+ 1)!

n+1∑i=0

(n+ 1i

)∂n+1f(a, b)

∂xi∂yn+1−i · hi · kn+1−i

y donde En no esta evaluado en (a, b), sino en (a, b), con:

a ∈ (a, a+ h)

b ∈ (b, b+ k)

5.8.2. Teorema de Taylor para f : Rn → R

Si estoy en f : Rn → R, ya no tiene sentido trabajar componente a componente. Enestos casos, el teorema de Taylor me dice que:

f(a+ h

)= f(a) +

n∑i=1

∂f(a)

∂xihi +

1

2!

n∑i=1

n∑j=1

∂2f(a)

∂xi∂xjhihj+

+1

3!

n∑i=1

n∑j=1

n∑k=1

∂3f(a)

∂xi∂xj∂xkhihjhk + · · ·

Ejemplo:Hallar el enesimo polinomio de Taylor asociado a f(x, y) = ex−2y centrado en (2, 1).Vamos a empezar a calcular las parciales, teniendo en cuenta que las cruzadas seran

iguales por el terorema de Schwartz, ya que trabajamos con funciones exponenciales:

∂f

∂x= ex−2y ⇒ ∂2f

∂x2= ex−2y

∂f

∂y= −2ex−2y ⇒ ∂2f

∂y2= (−2)2ex−2y

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x= −2ex−2y

...

∂nf

∂xi∂yn−i= (−2)n−iex−2y

Una vez calculadas las derivadas, las evaluo en el punto (2, 1):

f(2, 1) = 1∂f

∂x

∣∣∣∣(2,1)

= 1

∂f

∂y

∣∣∣∣(2,1)

= −2

;

∂2f

∂x2

∣∣∣∣(2,1)

= 1

∂2f

∂x∂y

∣∣∣∣(2,1)

= −2

∂2f

∂y2

∣∣∣∣(2,1)

= (−2)2

;∂nf

∂xi∂yn−i

∣∣∣∣(2,1)

= (−2)n−i


donde tengo en cuenta que al calcular las sucesivas derivadas no me conviene simplificar

los resultados (por ejemplo, en la∂2f

∂y2

∣∣∣∣(2,1)

= (−2)2 no debo simplificar el resultado a 4,

ya que con la expresion completa puedo intuir mejor que va a pasar con las derivadasenesimas, y ademas me permite simplificar mas facilmente el desarrollo del Taylor).

Construyo ahora el polimonio de Taylor:

Tn(2,1)(x, y) = 1 + [(x− 2) + (−2)(y − 1)] +

1

2!

[(x− 2)2 + 2(−2)(x− 2)(y − 1)+

+(−2)2(y − 1)2]

+1

3!

[(x− 2)3 + 3(−2)(x− 2)2(y − 1) + 3(−2)2(x− 2)(y − 1)2+

+(−2)3(y − 1)3]

+ · · ·+ 1

n!

[n∑k=0

(nk

)(−2)n−k(x− 2)k(y − 1)n−k

]

5.8.3. Calculo del polinomio de Taylor de una funcion definida implıci-tamente

Hallar el polinomio de Taylor de la funcion x = f(x, y) definida implıcitamente porx2 + y2 + z3 + z − 2 = 0 en (0, 0, 1). Vamos a calcularlo por el segundo metodo dederivacion de la funcion implıcitica, derivando directamente [ver apartado 5.6]. Ası, lasderivadas parciales nos quedan:

2x+ 3z2 ∂z

∂x+∂z

∂x= 0⇒ ∂z

∂x=−2x

1 + 3z2⇒ ∂z

∂x

∣∣∣∣(0,0,1)

= 0

2y + 3z2 ∂z

∂y+∂z

∂y= 0⇒ ∂z

∂y=−2y

1 + 3z2⇒ ∂z

∂y

∣∣∣∣(0,0,1)

= 0

y las sucesivas quedan (respecto de x2):

2 + 6z

(∂z

∂x

)2

+ 3z2 ∂2z

∂x2+∂2z

∂x2= 0⇒ ∂2z

∂x2=−2− 6z

(∂z∂x

)1 + 3z2

⇒ ∂2z

∂x2

∣∣∣∣(0,0,1)

=−1

2

operando de igual modo respecto de xy y respecto de y2 obtenemos:

∂2z

∂x∂y

∣∣∣∣(0,0,1)

= 0 ;∂2z

∂y2

∣∣∣∣(0,0,1)

=−1

2

Por lo tanto, ya podemos construir nuestro polonomio de Taylor de orden 2:

T2(0,0,1) = T

2(0,0) = 1 +

1

2!

[−1

2x2 − 1

2y2

]Donde hemos evaluado el polinomio en (0, 0) en lugar de (0, 0, 1), ya que al estar la

variable z definida implıcitamente, el 1 esta forzado. Ademas, dado que las parciales deprimer orden y las cruzadas son 0, no aparecen en la expresion.

Capıtulo 6

Extremos de campos escalares

6.1. Maximos y mınimos

Sea f : D ⊆ rn → R. Decimos que f tiene:

Maximo absoluto en un punto a si se verifica que

f(x) ≤ f(a) ∀x ∈ D

Maximo relativo (o local) en a si cumple

f(x) ≤ f(a) en una bola centrada en a

Mınimo absoluto en a si cumple

f(x) ≥ f(a) ∀x ∈ D

Mınimo relativo (o local) en a si cumple

f(x) ≥ f(a) en una bola centrada en a

6.2. Existencia de extremos

Para los extremos abolutos tenemos un teorema que nos permite demostrar su exis-tencia, siempre que se cumplan sus condiciones. Para extremos relativos no hay ningunteorema.

6.2.1. Teorema de Weierstrass

Sea f : D ⊆ Rn → R. Si D es cerrado y acotado, y f es continua en D, entonces falcanza su maximo y su mınimo absoluto en D.

Este teorema me da condiciones suficientes, con lo que me permite asegurar la exis-tencia de estos extremos. Fuera de esto, si las hipotesis no se cumplen, no se nada.

66

CAPITULO 6. EXTREMOS DE CAMPOS ESCALARES 67

6.3. Localizacion de extremos absolutos y relativos

Para facilitar la localizacion de los extremos, vamos a enunciar un teorema, y unadefinicion que nos permite emplear ese teorema.

6.3.1. Teorema de localizacion

Si f : D ⊆ rn → R tiene extremo en un punto interior a, y f es diferenciable en a,entonces todas las derivadas parciales de f en a se anulan, es decir:

∇f(a) = 0

Hay que tener cuidado, ya que este teorema presenta tres condiciones:

1. f tenga extremos en a

2. a sea interior

3. f sea diferenciable en a

Si no se cumplen las tres, el teorema no me sirve de nada, pero eso no quiere decirque no haya extremos.

6.3.2. Punto crıtico

Sea f : D ⊆ Rn → R. Se dice que un punto interior a es punto crıtico o estacionario si:

1. f es diferenciable en a

2. ∇f(a) = 0

Un punto crıtico, por lo tanto, satisface las 3 hipotesis del anterior teorema.

6.3.3. Interpretacion geometrica de los puntos crıticos

Sea f : D ⊆ R2 → R. Sea (a, b) un punto crıtico de f . Voy a calcular el plano tangentea la superficie de f en el punto (a, b, f(a, b)). El campo lo represento por z = f(x, y). Parahallar el plano tangente lo veo como una superfice de nivel:

F (x, y, z) = f(x, y)− z∇F (x, y, z) = (D1f(x, y), D2f(x, y),−1)

∇F (a, b, f(a, b)) = (0, 0,−1)

luego la ecuacion del plano tangente es:

−(z − f(a, b)) = 0⇒ z = f(a, b) ⇒ z = cte ⇒ plano horizontal


6.3.4. Anotacion al teorema de localizacion

Hay que tener en cuenta que el recıproco del teorema no es cierto: ∇f(a) = 0 noimplica que nos encontremos ante un extremo.

Ejemplo:Sea f(x, y) = xy. (0, 0) es un punto crıtico, pero se puede ver que no tiene extremos,

ya que si comprobamos el signo que toma la funcion f en los cuadrantes, vemos como enun entorno de (0, 0) hay puntos que son > 0 y < 0, luego no hay maximos, con lo que secomprueba que el recıproco del teorema no es cierto. Con este ejemplo, podemos dar unanueva definicion.

6.3.5. Punto de silla

Sea f : D ⊆ Rn → R, y sea a un punto crıtico. Se dice que a es punto silla (o puntode silla) si f no tiene maximo ni mınimo en a

6.3.6. ¿Donde puede haber extremos?

Con todo lo que hemos visto, podemos indicar cuales son los puntos donde podemosencontrar candidatos a extremos:

En los puntos crıticos

Donde fallen las hipotesis del teorema, es decir:

• En la frontera

• En los puntos donde f no sea diferenciable

6.3.7. Localizacion de extremos absolutos

Hallar los extremos absolutos de f(x, y) = x2 + y2− x− y+ 1, definido en el cuadradode vertices (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Dado que el campo es diferenciable siempre, podemostener extremos en dos sitios:

Puntos crıticos

Frontera

Los puntos crıticos son:D1f(x, y) = 2x− 1

D2f(x, y) = 2y − 1

Imponiendo la condicion de que:D1f(x, y) = 0

D2f(x, y) = 0

obtengo un sistema de ecuaciones:2x− 1 = 0

2y − 1 = 0

cuya unica solucion es(

12 ,

12

). Este es mi primer candidato a extremo.

Ahora estudio los posibles puntos de la frontera, formada por los cuatro lados delcuadrado y que estudiamos por separado:


1. x = 0, 0 ≤ y ≤ 1. Con esta condicion, f(x, y) se reduce a g(y) = y2−y+1. Hallamoslos extremos de g : R→ R, mediante su derivada: g′(y) = 2y−1. Si en esta expresionimpongo la condicion g′(y) = 0 obtengo que y = 1

2 , luego otro candidato es (0, 12).

2. x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, con lo que de nuevo f(x, y) queda reducida a una expresiong : R → R, que en este caso coincide con la anterior: g(y) = 2y − 1, y operando deigual modo que antes, obtenemos un nuevo candidato, (1, 1

2).

3. y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, de donde obtengo (12 , 0).

4. y = 1, 0 ≤ x ≤ 1, de donde obtengo (12 , 1)

Pero dado que el dominio va de 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, tambien son candidatos lospuntos que forman la frontera de la frontera, es decir, los cuatro vertices del cuadrado:(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), con lo que en total tengo 9 candidatos a extremos.

Como lo que me piden son los extremos absolutos, calculo el valor de f en los candidatosy selecciono el mayor y el menor de ellos:

f

(1

2,1

2

)=

1

2

f

(0,

1

2

)= f

(1,

1

2

)= f

(1

2, 0

)= f

(1

2, 1

)=

3

4

f(0, 0) = f(1, 0) = f(0, 1) = f(1, 1) = 1

Con lo que vemos que f tiene maximo absoluto en (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) y mınimoabsoluto en (1

2 ,12).

El problema se complicarıa si me pidieran buscar los extremos relativos. Tendrıa quebuscar candidatos, y estudiar el crecimiento y decreciemiento de la funcion en un entornodel punto.

6.4. Localizacion de extremos relativos

6.4.1. Matriz Hessiana

Sea f : R2 → R tal que existen las derivadas hasta orden 2 (sin importar que seancontinuas) en un punto (a, b). Con estas condiciones, se llama Matriz Hessiana a:

Hf(a, b) =

(D11f(a, b) D12f(a, b)D21f(a, b) D22f(a, b)

)y se llama Determinante Hessiano al determinante de dicha matriz:

|Hf(a, b)|

6.4.2. Criterio de clasificacion de puntos crıticos

Sea f : R2 → R con derivadas parciales hasta orden 2 continuas en un punto crıtico(a, b).

Si |Hf(a, b)| > 0 y D11f(a, b) > 0, entonces el campo f tiene un mınimo relativo enel punto (a, b).


Si |Hf(a, b)| > 0 y D11f(a, b) < 0, entonces f tiene un maximo relativo en (a, b).

Si |Hf(a, b)| < 0 entonces f tiene un punto de silla en (a, b).

Si |Hf(a, b)| = 0, el criterio de clasificacion no decide, y debo estudiar el punto porotro medio.

6.4.3. Demostracion del criterio de clasificacion

Vamos a demostrar los casos del maximo y el mınimo. Nos basamos para ello en lahipotesis de las parciales de orden 2 continuas, con lo que se cumple el teorema de Schwartz⇒ D12f(a, b) = d21f(a, b).

Vamos a llamar:D11f(a, b) = A

D12f(a, b) = D21f(a, b) = B

D22f(a, b) = C

Con lo que el determinante Hessiano queda:

|Hf(a, b)| =∣∣∣∣ A BB C

∣∣∣∣ = AC −B2

La hipotesis con la que trabajamos, |Hf(a, b)| > 0⇒ AC −B2 > 0, nos obliga a que A yC sean 6= 0, ya que si A o C son = 0, nos queda que −B2 > 0, lo cual es imposible. Porlo tanto, estamos seguros de que A,C 6= 0.

Calculamos ahora el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en el punto (a, b), en elcual vamos a pasar el primer miembro del polinomio, f(a, b), al primer termino, restando:

f(a+ h, b+ k)− f(a, b) =1

2

[Ah2 + 2Bhk + ck2

]+ E2(a, b, h, k)

con lım(h,k)→(0,0)

E2(a, b, h, k) = 0.

Hay que notar que el signo de la diferencia del primer miembro coincide con el signodel corchete, ya que al ser 1

2 positivo, y al tender E2 a 0, no afectan al signo. Estudiandoel corchete:

Ah2+2Bhk+ck2 =

{multiplicando y dividiendo entre A

y completando cuadrados

}=

(Ah+Bk)2 +(AC −B2

)k2

A

con lo que vemos que, dado que el numerador siempre es ≥ 0, el signo de la expresiondepende del signo de A:

Si A > 0, entonces la expresion es > 0 ⇒ f(a + h, b + k) − f(a, b) > 0 ⇒ f(a, b) <f(a+ h, b+ k), con lo que f tiene un mınimo en (a, b).

Si A < 0 ⇒ f(a + h, b + k) − f(a, b) < 0 ⇒ f(a, b) > f(a + h, b + k), con lo que ftiene un maximo en (a, b).

con lo que queda demostrado .Se debe hacer mencion al hecho de que las variables son intercambiables: lo mismo que

hemos demostrado para la variable A se puede demostrar para el caso de que la variableescogida sea la C.


6.4.4. Generalizacion del criterio de clasificacion

Vamos a generalizar el criterio para campos de f : Rn → R. Para ello, el primer pasosera generalizar la matriz Hessiana.

Si f : Rn → R tiene derivadas parciales hasta orden 2 en un punto (no es necesarioque las parciales sean continuas), definimos la matriz Hessiana como:

Hf(a) =

D11f(a) D12f(a) · · · D1nf(a)D21f(a) D22f(a) · · · D2nf(a)

......

. . ....

Dn1f(a) Dn2f(a) · · · Dnnf(a)

Y procedemos a extender el criterio, donde en este caso daremos la definicion mediantelos autovalores de la matriz Hessiana:

Sea el campo f : Rn → R, con un punto crıtico a, y con derivadas parciales continuashasta orden 2 en ese punto a.

Si todos los valores propios de la matriz Hf(a) son > 0⇒ f tiene un mınimo en a.

Si todos los autovalores de Hf(a) son < 0⇒ f tiene un maximo en a.

Si todos los autovalores de Hf(a) son no nulos, y existen autovalores > 0 y < 0,entonces a es punto silla.

En cualquier otro caso, el criterio no decide.

Ejemplo:Hallar los extremos relativos del campo:

f(x, y) = (x2 + y2)2 − 2a2(x2 − y2) ; a 6= 0

Sabemos que podemos encontrar extremos en los siguientes lugares:

Puntos crıticos, los cuales estudiaremos ahora.

Puntos frontera. En este caso, no vamos a tener ya que la expresion es un polinomio.

Puntos donde el campo no sea diferenciable. No vamos a tener, ya que el campo esdiferenciable siempre por ser un polinomio.

Calculamos las parciales:

D1f(x, y) = 4x(x2 + y2)− 4a2x = 4x(x2 + y2 − a2)

D2f(x, y) = 4y(x2 + y2) + 4a2y = 4y(x2 + y2 + a2)

y los puntos crıticos se hallaran donde se anulen las parciales. Imponiendo las condiciones:

D1f(x, y) = 0

D2f(x, y) = 0

}obtengo el siguiente sistema de ecuaciones:

4x(x2 + y2 − a2) = 0

4y(x2 + y2 + a2) = 0

}


el cual es un sistema de ecuaciones no lineal, por lo tanto no dispongo de ningun proce-dimiento para estudiarlo de forma comoda. Tenemos que abordarlo por el estudio de losposibles casos, teninendo cuidado de barrer todos los casos.

1. x = 0, con lo que la primera ecuacion se satisface. En la 2a, para que se siga cum-pliendo me obliga a que y = 0, con lo que ya tengo el primer punto crıtico: (0, 0).

2. y = 0, la segunda ecuacion se cumple, y en la primera tengo tres posibilidades: x = 0,x = a y x = −a. El caso de x = 0 ya se ha estudiado en el punto 1, con lo que nosolvidamos de el. Las otras dos posiblidades nos dan como resultado los puntos (a, 0)y (−a, 0).

3. x 6= 0 y y 6= 0, para el cual no tengo solucion posible.

Con esto ya tengo hallados todos los puntos crıticos: (0, 0), (a, 0), (−a, 0). Clasificamosahora estos puntos crıticos, para lo que estudio las derivadas de segundo orden (en lascuales se cumple el teorema de Schwartz):

D11f(x, y) = 12x2 + 4y2 − 4a2

D12f(x, y) = D21f(x, y) = 8xy

D22f(x, y) = 4x2 + 12y2 + 4a2

Evaluamos las parciales de segundo orden en los puntos crıticos:

(0, 0):D11f(0, 0) = −4a2

D12f(0, 0) = 0

D22f(0, 0) = 4a2

con lo que la matriz Hessiana queda:

Hf(0, 0) =

(−4a2 0

0 4a2

)⇒ |Hf(0, 0)| = −16a4 < 0 ; D11f(0, 0) < 0

luego comprobamos que en (0, 0) tenemos un punto de silla.

(a, 0):D11f(a, 0) = 8a2

D12f(a, 0) = 0

D22f(a, 0) = 8a2

con lo que la matriz Hessiana queda:

Hf(a, 0) =

(8a2 00 8a2

)⇒ |Hf(a, 0)| = 64a4 > 0 ; D11f(a, 0) > 0

luego vemos que en (a, 0) el campo tiene un mınimo.

(−a, 0):

En este caso obtenemos el mismo resultado que en el apartado anterior, luego en(−a, 0) tenemos un mınimo.


6.5. Extremos condicionados

Los extremos condicionados se presentan en aquellos casos donde el campo se da me-diante condiciones (PE en el ejemplo 6.3.7). Veamos un ejemplo:

Hallar los extremos de la parabola y = x2 mas proximos a la recta y = x− 1. En estecaso, la funcion en la cual tenemos que hallar extremos es en realidad la funcion distanciaentre dos puntos, en la cual imponemos dos condiciones: la parabola y la recta. La funciondistacia es:

d(x0, y0, x1, y1) =√

(x0 − x1)2 + (y0 − y1)2

Pero dado que la raiz cuadrada es una funcion monotona, los extremos de la distancia dse corresponden con los extremos de d2. Introduciendo una funcion g = d2:

g(x0, y0, x1, y1) = (x0 − x1)2 + (y0 − y1)2

Tendremos ahora que hallar los extremos de g metiendo las dos condiciones de la parabolay la recta.

1. Que un punto pertenezca a y = x2:

(x0, y0) = (a, a2)

2. Que el otro pertenezca a y = x− 1:

(x1, y1) = (b, b− 1)

Por lo tanto, ahora trabajaremos con una funcion f(a, b):

f(a, b) = (a− b)2 + (a2 − b+ 1)2

Hallamos las parciales, las igualamos a 0 y resolvemos el sistema que generan:

D1f(a, b) = 2(a− b) + 2(a2 − b+ 1)2a

D2f(a, b) = −2(a− b)− 2(a2 − b+ 1)

Imponiendo:D1f(a, b) = 0

D2f(a, b) = 0

me queda el sistema:

D1f(a, b) = (a− b) + 2a(a2 − b+ 1) = 0

D2f(a, b) = (a− b) + (a2 − b+ 1) = 0

}

el cual resolvemos por casos:

1. (a = b):(a− b) = 0⇒ a2 − a+ 1 = 0

Que es una ecuacion de segundo grado sin soluciones reales, por lo tanto con a = bno tenemos candidatos.


2. (a 6= b):

El primer termino, (a − b), no nos afecta en la igualdad, pero el termino de 2anos impone la condicion 2a = 1, ya que de otra forma no se podrıan igualar las 2ecuaciones.

2a = 1⇒ a =1

2⇒ 1

2− b+

1

4− b+ 1 =

7

4− 2b = 0⇒ b =

7

8

Y si lo comprobamos con el criterio de clasificacion, vemos que f(a, b) tiene unmınimo en (1

2 ,78).

Por lo tanto, el punto de la parabola mas proximo a la recta es (12 ,

14), ya que si x0 =

12 , y0 = x2

0 =(

12

)2= 1

4 .

6.6. Metodo de los multiplicadores de Lagrange

A veces nos encontraremos con casos como este:Hallar los extremos de la funcion f(x, y) = x+y sometido a la condicion x5+y5+x+y =

1. Esto define a y como funcion implıcita de x, pero no puedo meter la condicion en lafuncion, con lo que no puedo actuar igual que en el ultimo ejemplo.

Vamos a ver un metodo que nos permitira resolver estos casos. Para ello, vamos aexpresar estos problemas de forma general:

6.6.1. Expresion general del problema de los extremos condicionados

Hallar los extremos de f(x1, · · · , xn), sometido a m condiciones de la forma:

g1(x1, · · · , xn) = 0

...

gm(x1, · · · , xn) = 0

Siendo m < n, y donde suponemos que f y las condiciones no presentan problemas, esdecir:

f(x1, · · · , xn), g1(x1, · · · , xn), · · · , gm(x1, · · · , xn)

son diferenciables con continuidad.

6.6.2. Metodo de los multiplicadores de Lagrange para una condicion

Para hallar los extremos de f(x1, · · · , xn) sometido a la condicion g(x1, · · · , xn) = 0,

siendo f(x1, · · · , xn) y g(x1, · · · , xn) diferenciables con continuidad, y siendo ∇g 6= 0 , seprocede de la siguiente forma:

1. Se construye la funcion de Lagrange (de (n+ 1) variables):

L(x1, · · · , xn, λ) = f(x1, · · ·xn)− λg(x1, · · ·xn)


2. Los extremos de f sometidos a la condicion de g estan entre los puntos que verifican:

∇L(x1, · · ·xn, λ) = 0

donde este gradiente, como es logico, tambien tiene (n+1) variables. Los puntos quese obtengan de esta condicion seran candidatos a extremos, los cuales deberemossustituir en el campo para seleccionar aquellos que efectivamente se correspondancon extremos.

6.6.3. Metodo de los multiplicadores de Lagrange para varias condicio-nes

Si quiero hallar los extremos de f(x1, · · · , xn), sometido am condiciones: g1(x1, · · · , xn) =0, · · · , , gm(x1, · · · , xn) = 0, donde todo son diferenciales con continuidad.

Ahora, mi L dependera de (n+m) variables:

L(x1, · · ·xn, λ1, · · ·λm) = f(x1, · · ·xn)− λ1g1(x1, · · · , xn)− · · · − λmgm(x1, · · · , xn)

Los candidatos a extremos estaran entre las soluciones de:

∇L(x1, · · ·xn, λ1, · · ·λm) = 0

Aclaracion sobre la notacion de los multiplicadores de Lagrange

Los parametros λ son herramientas que actuan como variables de apoyo. Ası, en algunasareas de las matematicas y algunos libros, nos puede interesar tratar L de distinta manera,con lo que la funcion de los multiplicadores de Lagrange queda:

L(x1, · · ·xn, λ1, · · ·λm) = f(x1, · · ·xn) + λ1g1(x1, · · · , xn) + · · ·+ λmgm(x1, · · · , xn)

Esto no afecta a los calculos, ya que los parametros λ los imponemos nosotros, asi quepodemos operar con ellos como mejor nos convenga.

6.6.4. Demostracion de la condicion ∇g 6= 0

Vamos a ver ahora un ejemplo que nos muestra la necesidad de dicha condicion. Eneste ejemplo ∇g 6= 0 no se cumple, y por lo tanto al metodo de los multiplicadores se leescapa el extremo del campo.

Sea f(x, y) = (x+1)2+y2. Este campo presenta un mınimo en (0, 0) sometido a x3 = y2,como vamos a comprobar inmediatamente. Si x3 = y2, esto nos indica que x3 ≥ 0⇒ x ≥ 0.Entonces, f(x, y) = (x+ 1)2 + y2 ≥ 1, y en (0, 0), f(0, 0) = 1⇒ f(0, 0) ≤ f(x, y) en todoslos puntos que cumplen la restriccion. Por lo tanto, hemos comprobado que en (0, 0) hayun mınimo.

Veamos ahora lo que ocurre al aplicar Lagrange:

L(x, y, λ) = (x+ 1)2 + y2 − λ(x3 − y2)

D1L(x, y, λ) = 2(x+ 1)− 3λx2

D2L(x, y, λ) = 2y + 2λy

D3L(x, y, λ) = −(x3 − y2)


Imponiendo que ∇L(x, y, λ) = 0, obtenemos el siguiente sistema:

2(x+ 1)− 3λx2 = 0

2y + 2λy = 0

x3 = y2

Donde podemos comprobar como el punto (0, 0) no satisface la primera ecuacion, por lotanto dicho punto no me aparecerıa como candidato por Lagrange. Esto se debe a que elgradiente de g en forma normalizada es:

∇ = (3x2,−2y)

y vemos como en (0, 0) dicho gradiente se anula, por lo que deja de cumplirse la condicionde ∇g 6= 0. Con esto hemos visto la importancia de comprobar que se cumpla dichacondicion, puesto que de otro modo, al aplicar directamente Lagrange podemos dejarnosatras algunos candidatos a extremo.

6.6.5. Metodo de los multiplicadores de Lagrange para extremos abso-lutos condicionados

Hallar los extremos condicionados absolutos de:

f(x, y) = x3 + y3

definida en el conjunto x2 + y2 = 1.Comprobamos primero que se cumple la condicion de ∇g 6= 0:

∇g = 2x+ 2y

Aquı podemos ver como en (0, 0) no se cumple, ya que el gradiente se anula, pero el punto(0, 0) ni siquiera cumple la restriccion impuesta al campo, x2+y2 = 1, ya que 02 +02 6= 1.Por lo tanto, dicho punto queda fuera de nuestro estudio, y podemos continuar aplicandoel metodo.

L(x, y, λ) = x3 + y3 − λ(x2 + y2 − 1)

Imponiendo que ∇L(x, y, λ) = 0 obtenemos el sistema:

3x2 − 2λx = 0

3y2 − 2λy = 0

x2 + y2 = 1

El cual, al no ser un sistema lineal, procedemos a resolver por casos.

1. x = 0:

La primera ecuacion se satisface, y de la tercera obtenemos dos resultados posibles:y =1 e y = −1. Con estos valores de y, puedo despejar el valor de λ en la segunda ecua-cion:

x = 0

{y = 1⇒ λ = 3

2y = −1⇒ λ = −3

2


2. y = 0:

En este caso se cumple la segunda ecuacion, y de la tercera obtengo x = 1 y x = −1.Introduciendo estos valores en la primera ecuacion, obtengo el valor de λ asociado:

y = 0

{x = 1⇒ λ = 3

2x = −1⇒ λ = −3

2

3. x 6= 0, y 6= 0:

Sacando factor comun x en la primera ecuacion e y en la segunda, se fuerza quex = y, con lo que obtenemos los siguientes puntos.

x =

√2

2, y =

√2

2, λ =

3√

2

4

x = −√

2

2, y = −

√2

2, λ = −3

√2

4

Ası, ya tenemos los posibles candidatos a extremos, los cuales debemos introducir enel campo para seleccionar finalmente los que sean extremos absolutos.

6.6.6. Metodo de los multiplicadores de Lagrange para extremos relati-vos condicionados

Sea f : R2 → R, con derivadas parciales de orden 2 continuas, sometido a una unicacondicion g(x, y) = 0, donde el campo g : R2 → R tiene tambien parciales hasta orden 2continuas.

Sea (a, b, λ0) tal que cumple: ∇L(a, b, λ0) = 0 (con lo que ya tenemos que (a, b) es unposible extremo). Sea el determinante:

|HL(a, b, λ0)| =

∣∣∣∣∣∣D11L(a, b, λ0) D12L(a, b, λ0) D13L(a, b, λ0)D21L(a, b, λ0) D22L(a, b, λ0) D23L(a, b, λ0)D31L(a, b, λ0) D32L(a, b, λ0) D33L(a, b, λ0)

∣∣∣∣∣∣El criterio me dice que:

Si |HL(a, b, λ0)| > 0, entonces f sometido a g(x, y) = 0 tiene un mınimo local en(a, b).

Si |HL(a, b, λ0)| < 0, entonces f sometido a g(x, y) = 0 tiene un maximo local en(a, b).

Si |HL(a, b, λ0)| = 0, entonces el criterio no decide.

Al usar este criterio hay que tener en cuenta dos cosas importantes:

1. Dado que imponemos que las parciales de orden 2 sean continuas, se cumplen lascondiciones del teorema de Schwartz, luego las derivadas parciales cruzadas soniguales, lo cual hace que el calculo del determinante se simplifique en gran medida.

2. Hay que tener cuidado con los signos del criterio, ya que este va al contrario de losque hemos visto: si el determinante |HL(a, b, λ0)| es menor que cero se presenta unmınimo, y si es mayor que cero presenta un maximo.


Ejemplo:Hallar los extremos de f(x, y) = (x− y)2 sometido a x2 + y2 = 1. Entonces:

L(x, y, λ) = (x− y)2 − λ(x2 + y2 − 1)

Si derivamos e imponemos la condicion de que las derivadas sean iguales a 0, obtenemosel siguiente sistema:

2(x− y)− 2λx = 0

−2(x− y)− 2λy = 0

−(x2 + y2 − 1) = 0

Donde vemos que, sumando las dos primeras ecuaciones, obtenemos una ecuacion que nosofrece dos casos:

λ(x+ y) = 0

{λ = 0

x+ y = 0

Estudiamos cada caso:

Si λ = 0, o bien en la primera ecuacion, o bien en la segunda, queda (x− y) = 0⇒x = y, y si x = y, de la tercera ecuacion obtengo los valores de x e y:

x =√

22 , y =

√2

2o

x = −√

22 , y = −

√2

2

Si x+ y = 0, de la tercera ecuacion obtengo dos posiblidades:

x = −x⇒

x =

√2

2 , y = −√

22

o

x = −√

22 , y =

√2

2

Ahora, introduzco estos valores de x e y en la primera o segunda ecuacion, y obtengolos correspondientes valores de λ, que en ambos casos resulta ser λ = 2.

Como ya tengo los candidatos, evaluo el determinante en dichos puntos para aplicar elcriterio, teniendo en cuenta que se cumplen las hipotesis del teorema de Schwartz:

|HL|

∣∣∣∣∣∣2− 2λ −2 −2x−2 2− 2λ −2y−2x −2y 0

∣∣∣∣∣∣Evaluando el determinante en los puntos candidatos:∣∣∣∣∣HL

(√2

2,

√2

2, 0

)∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣HL(−√

2

2,−√

2

2, 0

)∣∣∣∣∣ = −16∣∣∣∣∣HL(√

2

2,−√

2

2, 2

)∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣HL(−√

2

2,

√2

2, 2

)∣∣∣∣∣ = 16

luego resulta que el campo sometido a la condicion presenta un mınimo en(√

22 ,√

22

)y en(

−√

22 , −

√2

2

), y tiene un maximo en

(−√

22 ,

√2

2

)y tambien en

(√2

2 ,−√

22

).

Parte III

Integracion

79

Capıtulo 7

Integral de Lınea

7.1. La integral de lınea como extension del concepto deintegral

Es una forma de extender el concepto de integral que conocemos,∫ ba f(x)dx, para

generalizarlo. Intuitivamente, la generalizacion consiste en pasar de funciones de R → Ra campos de Rn → Rn. Ası, pasamos de trabajar con un intervalo [a, b] a trabajar conuna curva en un espacio n-dimensional. Y de trabajar con funciones f(x) de una variablereal (acotadas por [a, b]), a trabajar con campos f : Rn → Rn, acotados por la curva n-dimensional.

Sin embargo, para pasar de esta idea intuitiva al proceso matematico vamos a requerirel uso de ciertas herramientas matematicas.

7.2. Funciones vectoriales en Rn

Trabajaremos con funciones vectoriales de la forma:

α : R→ Rn

Donde denotamos a la funcion con la letra α, para reservar la letra f para el campovectorial.

Un ejemplo de funcion vectorial es la representacion de la trayectoria de un movil. Ası,en 2D tendrıa una funcion que describe la trayectoria del movil en cada instante t:

α : R→ R2

t→ (x(t), y(t))

y en 3D, de manera equivalente:

α : R→ R3

t→ (x(t), y(t), z(t))

.Dada una funcion vectorial α : R → Rn, puedo descomponerla de la misma mane-

ra que lo hacıa con los campos. Ası, podıa ver un campo f como la combinacion delos campos (f1, f2, · · · , fn), y ahora puedo descomponer una fucion vectorial α como

80

CAPITULO 7. INTEGRAL DE LINEA 81

α = (α1, α2, · · · , αn), con lo cual el estudio de α se reduce al estudio de n funcionescomponentes. Por ejemplo, el estudio del dominio de α es el estudio de la interseccion delos dominios de sus funciones componentes.

Ejemplos de descomposicion:

lımt→p

α(t) =

(lımt→p

α1(t), lımt→p

α2(t), · · · , lımt→p

αn(t)

)α′(t) =

(α′1(t), α′2(t), · · · , α′n(t)

)En nuestro caso particular, a nosotros nos interesan las funciones vectoriales definidas

en un intervalo:α : [a, b]→ Rn

7.3. Representacion grafica de funciones vectoriales

α : [a, b]→ R2 representa un conjunto de puntos en el plano.

α : [a, b]→ R2 representa un conjunto de puntos en el espacio 3D.

α : [a, b]→ R2 representa un conjunto de puntos en el espacio n-dimensional.

En el caso de que α sea continua, a la representacion grafica se le da el nombre de curva,como por ejemplo en el caso de la trayectoria de un movil.

No debemos identificar funcion vectorial con representacion grafica. No decimos lacurva tal, sino que hablamos de la funcion tal, cuya representacion grafica es la curvatal. En estas situaciones esto es especialmente delicado puesto que, por ejemplo en latrayectoria de un movil, si tengo la curva que describe, solo tengo los puntos por los queha pasado el cuerpo. Pero si ademas tengo la funcion vectorial, se como se ha engendradola curva (en que sentido se recorre, donde avanza mas rapido, ...).

Dada una curva, esta se puede expresar matematicamente de infinitas maneras. A estasinfinitas formas de expresar la curva les llamamos parametrizaciones.

Ejemplo:α(t) =

(t2, t3

)0 6 t 6 1

β(t) =(

t,t3/2)

0 6 t 6 1

Si representamos estas dos funciones vectoriales, vemos que son parametrizaciones de lamisma curva.

Ejemplo:α(t) =

(t, t2

)t ∈ R

β(t) =(

- t,t2)

t ∈ R

Si represento estas dos funciones, ambas generan la misma parabola, pero la segunda laengendra en sentido contrario a la primera (C2 = −C1).

7.4. Funciones vectoriales regulares

Sea α : [a, b] → Rn una funcion vectorial continua. Se dice que α es regular si existeα′, y dicha funcion es continua en (a, b). Notar que en este caso hablamos del intervalo


abierto (a, b), y no de [a, b], ya que todo lo referido a derivabilidad en la frontera no tienesentido.

Sedice que α es regular a trozos si el intervalo [a, b] lo puedo descomponer en un numerofinito de subintervalos, en cada uno de los cuales α.

Introducimos tambien el concepto de camino. Cuando hablamos de camino, queremosexpresar que tenemos todos los datos de la funcion vectorial (no solo su curva). Ası,una funcion vectorial genera un camino, una funcion vectorial regular genera un caminoregular, y una funcion vectorial a trozos genera un camino regular a trozos.

Con todo esto, ya nos encontramos en condiciones de definir la integral de llınea.

7.5. Definicion de la integral de lınea

Sea α : [a, b]→ Rn una funcion vectorial regular a trozos (un camino regular a trozos).Sea f : Rn → R un campo vectorial definido y acotado sobre α. Se define la integral delınea a lo largo del camino α como:∫

f ◦ dα =

∫ b

af (α(t)) ◦ α′(t)dt

7.5.1. Notaciones∫C f◦dα, donde C es la curva que es la representacion grafica de α.∫ C2

C1f ◦ dα donde C1 y C2 son los extremos de la curva.

7.6. Expresion de la integral de lınea

Si tenemos en cuenta que podemos escribir:

f = (f1, f2, · · · , fn)

α = (α1, α2, · · · , αn)

α′ = (α′1, · · · , α′n)

podemos reescribir la integral de lınea de la siguiente manera:∫f ◦ dα =

∫ b

a

n∑i=1

fi (α(t))α′i(t)dt =

n∑i=1

∫ b

afi (α(t))α′i(t)dt

En la practica, dado que solo vamos a trabajar en R2 y R3, podemos identificar α1 → x,α2 → y, α3 → z, con lo que nos queda (para R2):

α(t) = (α1(t), α2(t)) = (x(t), y(t))

f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y))∫f ◦ dα =

∫ b

af1(x, y)x′(t)dt+ f2(x, y)y′(t)dt =

=

∫ b

a

(f1(x, y)x′(t) + f2(x, y)y′(t)

)dt =

{x′(t)dt ≡ dxy′(t)dt ≡ dy

}=

=

∫Cf1(x, y)dx+ f2(x, y)dy


Donde vemos que al hacer el cambio de variable, nos ha surgido un problema: (a) y (b)son los extremos del campo en funcion de t, y ya no tenemos t; por eso hemos empleadola notacion de la integral con el camino,

∫c .

En el caso de que trabajemos en R3, de manera analoga obtenemos:∫f ◦ dα =

∫f1(x, y, z)dx+ f2(x, y, z)dy + f3(x, y, z)dz

Y si nos encontramos en Rn:∫f ◦ dα =

∫f1(x1, · · · , xn)dx1 + · · ·+ fn(x1, · · · , xn)dxn

7.6.1. Formas diferenciales

A una expresion de la forma:

f1(x, y)dx+ f2(x, y)dy

se le llama forma diferencial en R2. De la misma manera, en R3:

f1(x, y, z)dx+ f2(x, y, z)dy + f3(x, y, z)dz

tenemos una forma diferencial en R3.En general:

f1(x1, · · · , xn)dx1 + · · ·+ fn(x1, · · · , xn)dxn

es una forma diferencial en Rn.

Ejemplo: Calcular

∫f ◦ dα entre (0, 0) y (1, 1), siendo:

f = (xy + 1, x+ y)

1. a lo largo del camino α(t) = (t, t2), 0 ≤ t ≤ 1.

2. a lo largo del camino β(t) = (t, t), 0 ≤ t ≤ 1.

Vamos a construir para cada camino su forma diferencial:

1.x = t, dx = dt

y = t2, dy = 2tdt

La forma diferencial es:

(x+ y + 1)dx+ (x+ y)dy = (t3 + 1 + (t+ t2)2t)dt =

= (t3 + 1 + 2t2 + 2t3)dt = (3t3 + 1 + 2t2)dt

luego la integral de lınea sera:∫ (1,1)

(0,0)f ◦ dα =

∫ 1

0(3t2 + 2t2 + 1)dt =

29

12


2.x = t, dx = dt

y = t, dy = dt

En este caso, la forma diferencial es:

(xy + 1)dx+ (x+ y)dy = (t2 + 1 + 2t)dt

por lo tanto, la integral de lınea sera:∫ (1,1)

(0,0)f ◦ dβ =

∫ 1

0(t2 + 2t+ 1)dt =

7

3

7.7. Propiedades de las integrales de lınea

1. La integral de lınea no depende de la parametrizacion. Esto es, que para dos funcionesvectoriales cualesquiera, la integral depende del camino. Pero si las dos funciones sonparametrizaciones de la misma curva, entonces las integrales a lo largo de las doscurvas son iguales. ∫

Cf ◦ dα =

∫Cf ◦ dβ

donde α y β son dos caminos que son parametrizaciones de la misma curva.

2. ∫(Af +Bg)dα = A

∫f ◦ dα+B

∫g ◦ dα

3. ∫Cf ◦ dα =

∫C1f ◦ dα+

∫C2f ◦ dα

donde se cumple:C = C1 ∪ C2

C1 ∩ C2 = ∅

4. Si C2 = −C1: ∫C2f ◦ dα = −

∫C1f ◦ dα

7.7.1. Notacion para curvas cerradas

Cuando la curva C es cerrada, a la integral de lınea se la designa

∮f ◦ dα, y el nombre

que se le suele dar es circulacion del campo a lo largo de la curva C.


7.8. Campos gradientes

Sea el campo f : Rn → Rn. f es un gradiente si existe una funcion ϕ : Rn → Rdiferenciable tal que:

f = ∇ϕ

con lo que tenemos:

f1(x1, · · · , xn) =∂ϕ(x1, · · · , xn)

∂x1

...

fn(x1, · · · , xn) =∂ϕ(x1, · · · , xn)

∂xn

Construimos la forma diferencial:

f1(x1, · · · , xn)dx1 + · · ·+ fn(x1, · · · , xn)dxn =

=∂ϕ(x1, · · · , xn)

∂x1dx1 + · · ·+ ∂ϕ(x1, · · · , xn)

∂xndxn =

= dϕ

Si f es un gradiente, a la forma diferencial dϕ se le llama forma diferencial exacta. Enalgunos libros, a ϕ se le denota tambien como u, y se le denomina funcion potencial.

7.9. Conjunto conexo

Un subconjunto de Rn abierto, A ⊆ Rn, se dice que es conexo si para todo par depuntos xy, y ∈ A, se tiene que existe un camino regular a trozos que los une, cuya graficaesta contenida en A.

Es importante resaltar que lo contrario de conexo no es convexo, sino no conexo.

7.9.1. Conjunto simplemente conexo

Es un conjunto conexo sin agujeros.

7.9.2. Conjunto convexo

A ⊆ Rn es convexo si para todo x, y ∈ A se tiene que existe un camino rectilıneo quelos une, y cuya grafica esta contenida en A.

La relacion entre conexo y convexo es que un conjunto convexo abierto es conexo.

7.10. Teorema de los campos gradientes

Sea D un conjunto abierto conexo, y sea C una curva regular a trozos contenida en D.Bajo estas hipotesis son equivalentes las afirmaciones siguientes:

a) f es un gradiente.

b)∫c f ◦ dα es independiente del camino.


c)∫c f ◦ dα = 0, esto es, la integral de linea a lo largo de cualquier camino cerrado

es siempre cero.

De cada una de estas afirmaciones puedo pasar a las otras dos.Demostracion:

a⇒ b; b⇒ c; c⇒ b; b⇒ a

Con estos cuatro casos los demostramos todos. Los tres primeros casos resultan sencillos demanejar, y el unico que puede presentar alguna dificultad es el caso b⇒ a. Demostramoscada caso:

a⇒ b:

f(x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j =∂ϕ(x, y)

∂xi+

∂ϕ(x, y)

∂yj

Calculamos la integral de lınea:

∫ (x1,y1)

(x0,y0)f ◦ dα =

∫ (x1,y1)

(x0,y0)

∂ϕ(x, y)

∂xdx+

∂ϕ(x, y)

∂ydy =

=

∫ (x1,y1)

(x0,y0)dϕ = ϕ(x1, y1)− ϕ(x0, y0)

Con lo que vemos que el valor de la integral de lınea no depende de α (es decir, nodepende del camino), sino que solo depende de (x0, y0) y de (x1, y1).

b⇒ c

Consideramos el camino cerrado que comienze y termine en un punto (x0, y0) yconsideramos un punto (x1, y1) de dicho camino. Podemos dividir ese camino C endos caminos:

• C1: de (x0, y0) a (x1, y1).

• C2: de (x1, y1) a (x0, y0).

La hipotesis dice que la integral a traves de la curva C,∫C f ◦ dα, es independiente

del camino, luego tiene que ser lo mismo:∫C1

f ◦ dα = −∫C2

f ◦ dα

Calculamos la integral para la curva cerrada C:∮Cf ◦ dα =

∫C1

f ◦ dα+

∫C2

f ◦ dα = 0

Donde vemos que la integral es 0, dado que∫C1

= −∫C2


c⇒ b

Consideremos (x0, y0), (x1, y1) y un camino cerrado C que comienza y termina en(x0, y0), pasando por (x1, y1), con lo que se divide el camino cerrado C en dos caminosC1 y C2.

Nuestra hipotesis dice que:∫C1

f ◦ dα+

∫C2

f ◦ dα = 0⇒∫C2

f ◦ dα = −∫C1

f ◦ dα

y comprobamos como efectivamente:∫−C2

f ◦ dα = −∫C2

f ◦ dα =

∫C1

f ◦ dα

b⇒ a

Sea f(x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j.

Nuestra hipotesis dice que:∫f ◦ dα =

∫P (x, y)dx+Q(x, y)dy

es independiente del camino.

Queremos demostrar que existe una funcion ϕ(x, y) tal que:

∂ϕ(x, y)

∂x= P (x, y)

∂ϕ(x, y)

∂y= Q(x, y)

Vamos a suponer que ϕ tiene una expresion de la forma:

ϕ(x, y) =

∫ (x,y)

(a,b)P (s, q)ds+Q(s, q)dq

donde (a, b) es un punto arbitrario, y donde en P y Q no podemos emplear (x, y)como variables, ya que (x, y) aparecen en la expresion como extremos de integracion,asi que introducimos otras variables (s, q).

Comprobamos que ∂ϕ(x,y)∂x = P (x, y), ∂ϕ(x,y)

∂y = Q(x, y):

∂ϕ(x, y)

∂x= lım

h→0

ϕ(x+ h, y)− ϕ(x, y)

h

Vamos a desarrollar el numerador por separado:

ϕ(x+ h, y)− ϕ(x, y) =

∫ (x+h,y)

(x,y)P (s, q)ds+Q(s, q)dq


Con lo que vemos que el problema se reduce a calcular esta integral de lınea. Sitomamos la linea recta que va desde (x, y) hasta (x+ h, y) para calcular la integral:{

s = x+ ht 0 6 t 6 1 ds = hdtq = y dq = 0

}=

∫ 1

0P (x+ ht, y)hdt =

=

{u = ht du = hdt

t = 0⇒ u = 0 t = 1⇒ u = h

}=

∫ h

0P (x+ u, y)du =

= hP (x+ ν, y), ν ∈ [0, h]

Llevamos ahora este resultado a la definicion de derivada parcial:

∂ϕ(x, y)

∂x= lım

h→0

ϕ(x+ h, y)− ϕ(x, y)

h= lım

h→0

6 hP (x+ ν, y)

6 h

Y dado que ν esta acotado 0 ≤ ν ≤ h y h → 0, podemos asegurar que ν es 0, y laderivada parcial vale:

P (x, y)

Operando de la misma manera podemos obtener que∂ϕ(x, y)

∂y= Q(x, y).

En la practica, es incomodo trabajar con el teorema para ver que un campo es ungradiente. Pero es facil utilizarlo para demostrar que no es un gradiente, ya que con quefalle cualquiera de las condiciones el campo ya no es un gradiente.

7.11. Condicion necesaria para que un campo sea un gra-diente

Sea f = (f1, · · · , fn) un campo vectorial diferenciable con continuidad en un conjuntoconexo S ⊆ Rn.

Si f es un gradiente entonces:

Difj(x) = Djfi(x)

i, j ∈ {1, · · · , n}i 6= j

∀x ∈ S

Demostracion para n = 2:

f(x, y) = f1(x, y)i+ f2(x, y)j

Hipotesis: f es un gradiente.Para que esto se cumpla, existe una funcion ϕ(x, y) tal que:

f1(x, y) =∂ϕ(x, y)

∂x

f2(x, y) =∂ϕ(x, y)

∂y


Ademas, por nuestra hipotesis, sabemos que f es diferenciable, con lo que podemoscalcular:

D2f1(x, y) =∂2ϕ(x, y)

∂y∂x

D1f2(x, y) =∂2ϕ(x, y)

∂x∂y

Y dado que f es derivable con continuidad, D1 y D2 son continuas, luego se cumplenlas condiciones del teorema de Schwartz. Con esto, ya podemos asegurar que todas lasderivadas cruzadas son iguales, con lo que queda demostrada la condicion necesaria.

Ejemplo: Sea f(x, y) =

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

). Su dominio esD = R2−{(0, 0)}. Descomponemos

el campo f en dos campos:

f1(x, y) =−y

x2 + y2

f2(x, y) =x

x2 + y2

Calculamos las derivadas cruzadas:

D2f1(x, y) =−(x2 + y2) + 2y2

(x2 + y2)2 =y2 − x2

(x2 + y2)2

D1f2(x, y) =

(x2 + y2

)− 2x2

(x2 + y2)2 =y2 − x2

(x2 + y2)2

y como resulta que son iguales, no puedo afirmar nada (si fueran distintas, habrıa de-mostrado que el campo no es un gradiente, pero en este caso tenemos que continuarcalculando).

Vamos a demostrar que este campo no es un gradiente. Para ello, calcularemos laintegral de lınea por un camino cerrado que rompe la integral. La integral de lınea es:∫

f ◦ dα =

∫−y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

Si ahora introducimos como camino:

x = cos t 0 6 t 6 2πy = sen t 0 6 t 6 2π

dx = − sen t dt

dy = cos t dt

la integral de lınea nos queda convertida en:∫ 2π

0

(sen2 t+ cos2 t

)dt = 2π 6= 0

Donde demostramos que f no es un gradiente, ya que su integral a lo largo de uncamino cerrado es 6= 0.


7.12. Condicion necesaria y suficiente para que un camposea un gradiente

Sea f = (f1, · · · , fn) un campo vectorial diferenciable con continuidad en un conjuntoabierto convexo S ⊆ Rn. f es un gradiente si y solo si:

Difj(x) = Djfi(x)

i, j ∈ {1, · · · , n}i 6= j

∀x ∈ S

Donde vemos que, para convertir la condicion necesaria en condicion necesaria y sufi-ciente, solo hemos tenido que cambiar el conjunto S, pasando de uno conexo a uno abiertoconvexo.

7.13. Calculo de un potencial asociado a un gradiente

Si hemos comprobado que el campo f es un gradiente, entonces podemos proceder acalcular un potencial del mismo. El potencial sera:

ϕ(x, y) =

∫ (x,y)

(a,b)f ◦ dα

Dado que siempre tenemos un factor de indeterminacion (porque el punto (a, b) es arbi-trario), hablamos de un potencial, y no del potencial.

Ejemplo:Sea f(x, y, z) =

(2xyz + z2 − 2y2 + 1

)i+(x2z − 4xy

)j +

(x2y + 2xz − 2

)k. Compro-

bar si el campo es un gradiente, y en caso de que lo sea, hallar una funcion potencial.Otra manera de preguntar lo mismo serıa: la forma diferencial

(2xyz + z2 − 2y2 + 1

)dx+(

x2z − 4xy)dy +

(x2y + 2xz − 2

)dz ¿es exacta?. En ese caso, hallar un potencial.

Lo primero que haremos sera comprobar que f es un gradiente. Para ello, usamos lacondicion necesaria y suficiente para que un campo sea un gradiente:

Difj(x) = Djfi(x)

Con i 6= j. Con esto, para ver que f es un gradiente tenemos que comprobar (ya queestamos en R3):

D1f2(x, y, z) = D2f1(x, y, z)

D1f3(x, y, z) = D3f1(x, y, z)

D2f3(x, y, z) = D3f2(x, y, z)

Si calculamos dichas derivadas cruzadas, podemos comprobar como efectivamente coinci-den, por lo tanto aseguramos que f es un gradiente. Vamos a calcular la funcion ϕ de dosformas.


1. 1a forma: Si f es un gardiente, se que existe una funcion ϕ(x, y, z), donde:

∂ϕ

∂x= 2xyz + z2 − 2y2 + 1

∂ϕ

∂y= x2z − 4xy

∂ϕ

∂z= x2y + 2xz − 2

Entonces puedo obtener ϕ integrando cada una de las parciales respecto de su com-ponente:

ϕ(x, y, z) =

∫ (2xyz + z2 − 2y2 + 1

)dx = x2yz + xz2 − 2xy2 + x+A(y, z)

donde hemos introducido como constante de integracion A(y, z), esto es, una funcionque engloba a las variables que no hemos integrado. Operamos de igual modo cony, z:

ϕ(x, y, z) =

∫ (x2z − 4xy

)dy = x2yz − 2xy2 +B(x, z)

ϕ(x, y, z) =

∫ (x2y + 2xz − 2

)dz = x2yz + xz2 − 2z + C(x, y)

Vemos como en las tres expresiones hay elementos que se repiten (como x2yz). Aho-ra, tenemos A,B,C indeterminadas, pero dado que las tres expresiones que hemosobtenido para ϕ(x, y, z) tienen que ser iguales, puedo obtenerlos.

A(y, z). Para hallar su valor, tenemos que buscar en las otras dos expresiones deϕ(x, y, z) los elementos que dependen de (y, z), pero no de x. Si comprobamoslas expresiones, obtenemos:

A(y, z) = −2z

B(x, z). Operamos igual que antes, y obtenemos:

B(x, z) = xz2

C(x, y). Repetimos el proceso una ultima vez:

C(x, y) = −2xy2 + x

Ahora procedemos a construir ϕ(x, y, z). Para ello, partiendo de una de las tresexpresiones originales, vamos a crear una nueva expresion en la que aparezcan losterminos en comun de las tres expresiones, y aquellos que solo aparecen en las otrasdos. De este modo, si tomamos la primera expresion y sustituimos A(y, z) por elvalor que hemos calculado arriba nos quedarıa una expresion de la forma:

ϕ(x, y, z) = x2yz + xz2 − 2xy2 + x− 2z +D

que serıa la expresion final de la funcion potencial, la cual contiene todos los elemen-tos repetidos y no repetidos de las tres expresiones. Esto mismo lo podrıamos haber


hecho en la segunda expresion (la que continene B(x, z)) sustituyendo B(x, z) porel valor calculado y obtendrıamos el mismo resultado. Lo mismo se puede decir dela tercera expresion.

Si al calcular alguna de las integrales me encontrara con algun termino dependientede (x, y, z) que no apareciera en las otras dos integrales, tendrıa un error, que sepodrıa deber, o bien a que el campo f no es un gradiente (caso que descartamosal comprobar antes del proceso que de hecho f es un gradiente, por medio de lacondicion necesaria y suficiente), o bien a que hemos cometido un error al calcularlas integrales. Cualquier termino que dependa la vez de (x, y, z) tiene que aparecerpor fuerza en el resultado de las tres integrales simultaneamente.

2. 2a forma: metodo de los conjuntos convexos Podemos expresar f de la forma: f(x, y, z) =f1(x, y, z)i+ f2(x, y, z)j + f3(x, y, z)k. Calculamos el potencial a partir de la defini-cion, y reescribimos la forma diferencial con otras variables.

ϕ(x, y, z) =

∫ (x,y,z)

(a,b,c)f1(p, q, r)dp+ f2(p, q, r)dq + f3(p, q, r)dr

Donde hay que tener cuidado de que el punto (a, b, c) pertenezca al conjunto. In-troduzco el camino rectilıneo que va de (a, b, c)→ (x, y, z), cosa que podemos hacerdado que el conjunto en el que estamos trabajando (R3) es un conjunto convexo,por lo tanto, entre dos puntos cualesquiera del conjunto existe un camino rectilıneo.Parametrizamos:

p = a+ (x− a)t 0 6 t 6 1q = b+ (y − b)tr = c+ (z − c)t

una vez que tengo las expresiones de p, q, r, calculamos:

dp = (x− a)dt

dq = (y − b)dtdr = (z − c)dt

y reescribimos la forma diferencial con la nueva parametrizacion. Con esto ya tendrıamosresuelto el problema.

En este metodo encontramos una variante que nos permite simplificar los calculos.Si en lugar de introducir como camino la recta que une (a, b, c) → (x, y, z), cojotres segmentos rectilıneos paralelos a los ejes, puedo dividir el camino original entres caminos mas sencillos: (a, b, c) → (x, b, c) → (x, y, c) → (x, y, z), donde en cadacamino anado una nueva variable. Con esto, tengo que calcular tres integrales, perocada una de ellas respecto de una unica variable.

Analizemos cada tramo:

a) El primer tramo irıa de (a, b, c)→ (x, b, c). Con este camino, la parametrizacionqueda:

p = a+ (x− a)t 0 6 t 6 1 dp = (x− a)dtq = b dq = 0r = c dr = 0

donde vemos que q y r son constantes, luego sus diferenciales son 0.


b) El segundo tramo serıa (x, b, c)→ (x, y, c):

p = x dp = 0q = b+ (y − b)t 0 6 t 6 1 dq = (y − b)dt

r = c dr = 0

donde p ya es constantemente x.

c) El tercer tramo va de (x, y, c)→ (x, y, z):

p = x dp = 0q = y dq = 0

r = c+ (z − c)t 0 6 t 6 1 dr = (z − c)dt

Con esto, habrıamos simplificado enormemente los calculos.

Pero en el caso de que el punto (0, 0, 0) pertenzca al conjunto, puedo introducirloen el lugar de (a, b, c), con lo que el proceso se me simplifica aun mas, ya que laparametrizacion por un camino quedarıa:

p = xt 0 6 t 6 1 dp = xdtq = yt dq = ydtr = zt dr = zdt

y en caso de que lo hagamos por tramos, los tramos serıan:

(0, 0, 0)→ (x, 0, 0)→ (x, y, 0)→ (x, y, z)

.

Vamos a ver ahora un ejemplo del segundo metodo, primero a traves de un unicocamino, y luego por tres tramos.

a) Por un unico camino: Sea f(x, y, z) =(2xyz + z2 − 2y2 + 1

)i+(x2z − 4xy

)j+(

x2y + 2xz − 2)k. Ya sabemos que el campo es un gradiente (por la condicion

necesaria y suficiente). Tomamos como punto arbitrario (a, b, c) = (0, 0, 0), yrescribimos la forma diferencial, donde tenemos que introducir otras variables enlugar de (x, y, z), ya que estas representan a uno de los extremos de integracion:

ϕ(x, y, z) =

∫ (x,y,z)

(0,0,0)

(2pqr + r2 − 2q2 + 1

)dp+

(p2r − 4pq

)dq +

(p2q + 2pr − 2

)dr

Como R3 es convexo, hay un camino rectilıneo que une (0, 0, 0) con (x, y, z).Parametrizamos:

p = xt 0 6 t 6 1 dp = xdtq = yt dq = ydtr = zt dr = zdt

e introducimos esta nueva parametrizacion en la integral (con lo que cambianlos extremos de integracion):

ϕ(x, y, z) =

∫ 1

0

(2xyzt3 + z2t2 − 2y2t2 + 1

)xdt+

(y2zt3 − 4xyt2

)ydt+

+(x2yt3 + 2xzt2 − 2

)zdt =

∫ 1

0

(4x2yzt3 + 3xz2t2 − 6xy2t2 + x− 2z

)dt =

= x2yz + xz2 − 2xy2 + x− 2z


aquı vemos que no nos aparece ninguna constante de integracion, dado quela integral se ha convertido en una integral definida. Por lo tanto, tengo queintroducirla para obtener el valor real de ϕ(x, y, z) (dado que, aunque nosotroshemos forzado que (a, b, c) = (0, 0, 0) para hacer los calculos, el punto es enrealidad arbitrario, y por lo tanto nos introduce una indeterminacion que serefleja en la constante de integracion). Con esto, nos queda:

ϕ(x, y, z) = x2yz + xz2 − 2xy2 + x− 2z + C

b) Por tres tramos:

En este caso, la parametrizacion serıa:

Primer tramo: (0, 0, 0)→ (x, 0, 0):

p = xt 0 6 t 6 1 dp = xdtq = 0 dq = 0r = 0 dr = 0

Con esto, los ultimos terminos de la integral son 0, ya que dq = dr = 0.Pero ademas, en el termino correspondiente a dp, muchos de los sumandosse hacen 0, ya que q = r = 0. De esta manera, la forma diferencial se reducea:

1dp = xdt

Con todo esto, la integral me queda:∫dp =

∫ 1

0xdt = x

Segundo tramo: (x, 0, 0)→ (x, y, 0):

p = x dp = 0q = yt 0 6 t 6 1 dq = ydtr = 0 dr = 0

igual que en el primer tramo, la forma diferencial se reduce debido a losvalores 0 de las varibales, con lo que la forma nos queda (introduciendo laparametrizacion del segundo tramo):

−4pqdq = −4xy2tdt

luego la ingtegral serıa:∫−4pqdq =

∫ 1

0−4xy2tdt = −2xy2

Tercer tramo: (x, y, 0)→ (x, y, z):

p = x dp = 0q = y dq = 0r = zt 0 6 t 6 1 dr = zdt


Con lo que la forma diferencial me queda:(p2q + 2pr − 2

)dr =

(x2y + 2xzt− 2

)zdt

Procedo a calcular la contribucion del tercer tramo al potencial:∫ (p2q + 2pr − 2

)dr =

∫ 1

0

(x2yz + 2xz2t− 2z

)dt = x2yz + xz2 − 2z

Por lo tanto, la funcion potencial me queda:

ϕ(x, y, z) = x− 2xy2 + x2yz − xz2 − 2z + C

Donde de nuevo he introducido una constante de integracion C para reflejar laindeterminacion que me genera el punto arbitrario (a, b, c).

Capıtulo 8

Integrales dobles

8.1. Introduccion

Partimos de la integral definida∫ ba f(x)dx. La idea de la integral doble es: en lugar

de trabajar con un intervalo [a, b] en la recta real, trabajo en un subconjunto Q ⊆ R2. Yen lugar de trabajar con una funcion real de una variable real,f : R → R trabajo con uncampo f : Q ⊆ R2 → R, siendo Q el reciento de integracion.

[a, b] Q ⊆ R2

f(x)Pasamos a−−−−−−→ f : Q ⊆ R2 → R∫ b

a f(x)dx∫∫Q f(x, y)dxdy

8.2. Sumas de Riemann

Vamos a imponer una restriccion sobre Q, de forma que Q sea un rectangulo de ladosparalelos a los ejes.

Q = [a, b]× [c, d] ={

(x, y) ∈ R2 � a 6 x 6 b, c 6 y 6 d}

Tengo mi campo f(x, y) definido y acotado en el conjunto. Consideramos las dos particio-nes siguientes dentro del campo:

1o: Una particion del intervalo [a, b] en n subintervalos:

P1 = {a = x0, x1, · · · , xn = b}

2o: Una particion del intervalo [c, d] en m subintervalos:

P2 = {c = y0, y1, · · · , ym = d}

Con estas dos particiones puedo definir una suma, de la misma manera que los hacıamosen funciones f : R→ R. A esta suma la llamamos Suma de Riemann:

Rf =n∑i=1

m∑j=1

f(x∗i , y

∗j

)(xi − xi−1) (yj − yj−1)

96

CAPITULO 8. INTEGRALES DOBLES 97

donde:x∗i ∈ [xi−1, xi], y

∗j ∈ [yj−1, yj ]

, es decir,(x∗i , y

∗j

)es un punto del rectangulo.

Por lo tanto, el valor de Rf depende de las dos particiones que se hagan, y del punto(x∗i , y

∗j

).

Hay dos sumas especialmente importantes:

Suma superior:

Uf =n∑i=1

m∑j=1

f(x∗i , y

∗j

)(xi − xi−1) (yj − yj−1)

donde: f(x∗i , y

∗j

)= max (f(x, y)) cuando x ∈ [xi−1, xi], y ∈ [yj−1, yj ]

Suma inferior:

Lf =n∑i=1

m∑j=1

f(x∗i , y

∗j

)(xi − xi−1) (yj − yj−1)

donde: f(x∗i , y

∗j

)= mın (f(x, y)) cuando x ∈ [xi−1, xi], y ∈ [yj−1, yj ]

8.3. Integrales dobles en funcion de Sumas de Riemann

8.3.1. Definicion

Sea Q = [a, b]× [c, d] y sea f(x, y) : R2 → R.f es integrable en Q por definicion ⇔ existe un unico numero I tal que Lf 6 I 6 Uf ,

para cualquier Lf , Uf .

8.3.2. Propiedades

1. ∫∫Qf(x, y)dxdy =

∫∫Q1

f(x, y)dxdy +

∫∫Q2

f(x, y)dxdy

donde Q1, Q2 son una particion de Q, es decir:

Q1 ∪Q2 = Q

Q1 ∩Q2 = ∅

2. Linealidad:∫∫Q

(af(x, y) + bg(x, y)) dxdy = a

∫∫Qf(x, y)dxdy + b

∫∫Qg(x, y)dxdy

3. Comparacion: ∫∫Qf(x, y)dxdy 6

∫∫Qg(x, y)dxdy

siempre que f(x, y) 6 g(x, y),∀(x, y) ∈ Q


8.4. Interpretacion geometrica de la integral doble

Sea Q = [a, b], y sea f(x, y) definido y acotado en Q. Supongo que f(x, y) ≥ 0 (esfuncion positiva). Entonces: ∫∫

Qf(x, y)dxdy

es el volumen de la region 3D limitada por:

Suelo: rectangulo [a, b]× [c, d].

Paredes: los planos x = a, x = b, y = c, y = d.

Techo: la grafica de la superficie que genera el campo escalar z = f(x, y).

Esto nos permite emplear las integrales dobles para calcular el volumen limitado poruna base rectangular, planos laterales, y una superfcie superior.

8.5. Calculo de integrales dobles por integracion iterada

Bajo ciertas condiciones, puedo calcular la integral doble con comodidad. Sea Q =[a, b] × [c, d], y sea f(x, y) un campo escalar definido y acotado. Supongo que existe laintegral: ∫ b

af(x, y)dx

, donde solo integro respecto de x, dejando la y constante. Si esta integral existe, depen-dera de y. Supongamos ademas que dicha integral existe para todo el rango de valores quepuede tomar la variable y: ∫ b

af(x, y)dx = A(y), ∀y ∈ [c, d]

y supongamos que existe: ∫ c

dA(y)dy

Bajo estas hipotesis, puedo asegurar que existe la integral doble extendida a Q de:∫∫Qf(x, y)dxdy

y su expresion es: ∫∫Qf(x, y)dxdy =

∫ c

dA(y)dy =

∫ d

c

∫ b

af(x, y)dxdy

Ademas, esto tambien se cumple al integrar primero respecto de y: Supongamos queexiste: ∫ d

cf(x, y)dy = B(x), ∀x ∈ [a, b]


y que existe ∫ b

aB(x)dx

entonces podemos asegurar que existe:∫∫Qf(x, y)dxdy =

∫ b

aB(x)dx =

∫ b

a

∫ d

cf(x, y)dydx

Hay que tener cuidado con el orden de las integrales, ya que depende del orden en elque evaluemos los extremos. Ası, el orden de los simbolos de diferenciacion me indica cualhay que realizar primero. ∫ d

c

∫ ba → dxdy∫ b

a

∫ dc → dydx

Para que este metodo de calculo, hay que seguir los pasos cuidadosamente:

1. Compruebo si existe A(y).

2. Compruebo si existe∫A(y).

3. Si ambas existen, entonces puedo asegurar que existe∫∫Q

8.6. Teorema de la existencia de la∫∫

Sea Q = [a, b]× [c, d], y sea f(x, y) un campo escalar continuo en Q. Bajo la hipotesisde continuidad puedo asegurar la existencia de la

∫∫.

∃∫∫

Qf(x, y)dxdy =

∫ b

a

∫ d

cf(x, y)dydx =

∫ d

c

∫ b

af(x, y)dxdy

Ejemplo: Q = [a, b]× [c, d].∫∫Q

(x+ y)dxdy =

{por Tmacontinuidad⇒

⇒ ∃∫∫Q

}=

∫ y=d

y=c

∫ x=b

x=a(x+ y)dxdy =

=

∫ d

c

[x2

2+ xy

]ba

dy =

∫ d

c

[(b2 − a2

)2

+ y(b− a)

]dy =

=

[(b2 − a2

)2

y +y2

2(b− a)

]dc

=(b− a)2

2(d− c) +

(d2 − c2

)2

(b− a) =

=(b− a)(b+ a)(d− c)

2+

(d− c)(d+ c)(b− a)

2=

=(b− a)(d− c)

2(a+ b+ c+ d)


8.7. Recintos de Fubini

Mediante los recintos de Fubini vamos a extender la integral doble a recintos masgenerales que el rectangulo.

Tenemos dos tipos de recintos de Fubini:

Tipo I: donde el recinto esta limitado por los dos segmentos verticales x = a, x = b,y por las curvas y = g1(x), y = g2(x). El recinto queda:

R ={

(x, y) ∈ R2 � a 6 x 6 b; g1(x) 6 y 6 g2(x)}

Tipo II: limitado por los segmentos horizontales y = c, y = d, y por las curvasx = h1(y), x = h2(y). El recinto para el tipo II queda entonces:

R ={

(x, y) ∈ R2 � c 6 y 6 d;h1(y) 6 x 6 h2(y)}

8.8. Teorema de Fubini

Sea f(x, y) continuo en un recinto de Fubini R. Dependiendo del tipo de recinto deFubini, podemos asegurar:

Si R es de tipo I:

∃∫∫

Rf(x, y)dxdy =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f(x, y)dydx

Si R es de tipo II:

∃∫∫

Rf(x, y)dxdy =

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)f(x, y)dxdy

8.8.1. Demostracion para recintos de tipo I

Sea el recinto definido por R ={

(x, y) ∈ R2 � a 6 x 6 b, g1(x) 6 y 6 g2(x)}

. Esterecinto esta delimitado por la izquierda por x = a; por la derecha por x = b; en laparte superior por la curva g2(x); por la parte inferior por g1(x).Prolongo los lados hastaconstruir un recinto Q formado por un rectangulo que engloba al recinto R. Con esto, loslaterales siguen delimitados por x = a, x = b, pero las partes superior e inferior se encierranahora por las rectas horizontales y = c (lado inferior) e y = d (lado superior). Los valoresde c y d son el mınimo de la curva g1(x) y el maximo de la curva g2(x) respectivamente(ambos extremos calculados entre x = a y x = b). En este nuevo recinto definimos unafuncion f(x, y) a trozos de la siguiente forma:

f(x, y) =

{f(x, y) (x, y) ∈ R

0 (x, y) ∈ Q−R

De manera que, en los puntos del recinto Q que coinciden con los del recinto R, f(x, y)toma los valores originales de f(x, y), y en aquellos puntos donde Q engloba areas de R2


donde R no estaba definido, la nueva funcion toma el valor 0. De este modo, procedemosa calcular:∫∫

Rf(x, y)dxdy =

∫∫Qf(x, y)dxdy =

∫ b

a

∫ d

cf(x, y)dxdy =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f(x, y)dxdy

con lo que queda demostrado .Existen bastantes casos de recintos que son simultaneamente de tipo I y de tipo II

(PE un cırculo, ya que podemos delimitarlo con dos rectas x = a, x = b o con dos rectasy = c, y = d). Tambien existen muchos otros donde podemos ver facilmente que se tratade una composicion de recintos de ambos tipos.

8.9. Cambio de orden de integracion

Cuando me dan una integral como esta:∫ x=−3

x=−4

∫ y=√

16−x2

y=0f(x, y)dydx+

∫ x=3

x=−3

∫ y=√

16−x2

y=√

9−x2f(x, y)dydx+

∫ x=4

x=3

∫ y=√

16−x2

y=0f(x, y)dydx

formada por tres recintos de tipo I, y queremos convertirla a tipo II, tenemos que cambiarel orden de integracion de esta forma:∫ y=3

y=0

∫ x=√

9−y2

x=√

16−y2f(x, y)dxdy+

∫ y=3

y=0

∫ x=√

16−y2

x=√

9−y2f(x, y)dxdy+

∫ y=4

y=3

∫ x=√

16−y2

x=√

16−y2f(x, y)dxdy

8.10. Cambios de variable

Cuando nos encontramos ante una integral que por las caracterısticas del recinto resultamuy complicada de calcular, podemos introducir un cambio de variable. Ası, convertimosla integral de esta forma: ∫∫

Sf(x, y)dxdy →

∫∫TF (u, v)dudv

Para realizar el cambio de variable necesitamos que se cumplan una serie de cosas:Suponemos que:

1.x = x(u, v)

y = y(u, v)

u = u(x, y)

v = v(x, y)

tienen que ser inversibles.

2.x = x(u, v)

y = y(u, v)

u = u(x, y)

v = v(x, y)


tienen que ser biyectivas: Puntos distintos se transforman en puntos distintos

3.x = x(u, v)

y = y(u, v)

u = u(x, y)

v = v(x, y)

tienen que ser diferenciables con continuidad.

Con todo esto, tenemos que:∫∫Sf(x, y)dxdy =

∫∫Tf (x (u, v) , y (u, v))

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣dudvEjemplo de cambio a coordenadas polares:Realizamos el siguiente cambio: {

x = r cos θ

y = r sen θ

por lo que r =√x2 + y2, r > 0. El valor de θ dependera de los valores de x, y, estando

acotado por [0, 2π):

θ =

arctg y

x x 6= 0π2 x = 0, y = 0

3π2 x = 0, y < 0

y el jacobiano de la transformacion sera:

J =

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂r

∂x

∂θ∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ cos θ −r sen θsen θ r cos θ

∣∣∣∣ = r

con lo que al aplicar el cambio a la integral, esta queda:∫∫Sf(x, y)dxdy =

∫∫Tf (r cos θ, r sen θ) r drdθ

Ejemplo:Calcular el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 = a2. Si la proyectamos sobre el eje XY ,

nos genera la circunferencia x2 + y2 = a2, y si convertimos la expresion de la esfera enz = ±

√a2 − x2 − y2, podemos calcular el volumen de la mitad positiva de la esfera y

multiplicar su valor por dos:

V = 2

∫ a

−a

∫ √a2−x2−√a2−x2

√a2 − x2 − y2dydx

Pero el calculo de esta integral resulta demasiado complejo, y dado que la forma es unaesfera, puede que nos interese realizar el cambio a coordenadas polares.{

x = r cos θ

y = r sen θ


donde 0 < r ≤ a y 0 ≤ θ < 2π. Con estos cambios, la integral se transforma en:

V = 2

∫ 2π

0

∫ a

0r√a2 − r2drdθ =

2

3

∫ 2π

0

[−(a2 − r2

)3/2]a0

dθ =2

3a32r =

4

3πa3

donde hemos hecho el siguiente calculo intermedio:∫r√a2 − r2dr =

{u = a2 − r2

du = −2rdr

}= −1

2

∫u

1/2du = −1

2

u3/2

3/2+ C = −1

3

(a2 − r2

)3/2 + C

8.11. Transformacion lineal

Otra tecnica que podemos emplear es la transformacion lineal, donde se realiza elsiguiente cambio de variable:

x = Au+Bv

y = Cu+Dv

con lo que la integral se transforma:∫∫Sf(x, y)dxdy →

∫∫TF (u, v)dudv

donde imponemos la siguiente condicion:∣∣∣∣ A BC D

∣∣∣∣ 6= 0 = JF

que es el jacobiano de F .Con este cambio, podemos simplificar bastante el recinto de integracion.Ejemplo: ∫∫

R(y − x)dxdy

donde el recinto R esta definido como:

y = x+ 1

y = x− 3

y =−x3

+7

9

y =−x5

+ 5

si hacemos el cambio:u = x+ yv = x

3 + y

podemos definir el nuevo recinto T de la siguiente forma:

u = −1u = 3v = 7

9v = 5


T = [−1, 3]× [7/9, 5]

De las expresiones de u, v sacamos la representacion de x, y en funcion de u, v:

+3u = 3x− 3y3v = x+ 3y

3u+ 3v = 4x⇒ x = 3u4 + 3v

4

− u = x− y3v = x+ 3y

u− 3v = −4y ⇒ y = −u4 + 3v

4

Con esto, ya podemos calcular el Jacobiano:

JF =

∣∣∣∣ 3/43/4

−1/43/4

∣∣∣∣ =9

16+

3

16=

12

16=

3

4

donde, en caso de que el valor del jacobiano me hubiera salido negativo, tendrıa quetomar su valor absoluto.

Procedemos a calcular la integral.∫∫R

(y − x)dxdy =3

4

∫∫T

(−u

4+

3v

4− 3u

4− 3v

4

)dudv =

3

4

∫∫−ududv =

=3

4

∫ u=3

u=−1

∫ v=5

v= 79

−ududv = −38

5

8.11.1. Aplicacion de la transformacion lineal

Mediante la trasnformacion lineal podemos calcular el area de una superficie definidapor f : D ⊆ R2 → R, donde f tiene derivadas parciales continuas en el dominio D. Elarea definida por la funcion z = f(x, y) serıa entonces:

A =

∫∫D

√1 + (D1f(x, y))2 + (D2f(x, y))2 dxdy

8.12. Integrales dobles impropias

En f : D ⊆ R→ R una integral es impropia si:

el integrando es infinito o

el intervalo es infinito

Cuando pasamos a trabajar con funciones f : D ⊆ R2 → R, tendremos que la integraldoble

∫∫D f(x, y)dxdy sera impropia si:

f(x, y) no esta acotado o

D es infinito, no acotado

Vamos a tratar ambos casos por separado.


8.12.1. Integrales dobles impropias en recintos no acotados

Cuando tengamos que calcular una integral doble impropia en un recinto no acotado,trabajaremos de la siguiente manera:

Construyo un recinto auxiliar DM :

DM = D ∩{

(x, y) ∈ R2 � x2 + y2 6M}

Calculamos: ∫∫Df(x, y)dxdy = lım

M→∞

∫∫DM

f(x, y)dxdy

ahora, en funcion del valor de dicho lımite:

• si es finito,∫∫D f(x, y)dxdy converge

• si es infinito,∫∫D f(x, y)dxdy diverge

• si no existe,∫∫D f(x, y)dxdy no existe

8.12.2. Integrales dobles impropias con f(x, y) no acotado en el dominio

Vamos a suponer que existe un punto (x0, y0) del dominio en el que el campo noesta acotado:

lım(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) =∞

En este caso, para calcular la integral:

Construimos un recinto auxiliar Dn:

Dn = D −{

(x, y) ∈ R2 � (x− x0)2 − (y − y0)2 6 n2}

Calculamos: ∫∫Df(x, y)dxdy = lım

n→0

∫∫Dn

f(x, y)dxdy

ahora, en funcion del valor de dicho lımite:

• si es finito,∫∫D f(x, y)dxdy converge

• si es infinito,∫∫D f(x, y)dxdy diverge

• si no existe,∫∫D f(x, y)dxdy no existe

8.12.3. Ejemplos de integrales dobles impropias

1. Calcular la integral: ∫ ∞0

∫ ∞0

e−(x2+y2)dxdy

Introducimos el cambio de variable a polares:

x = r cos θ

y = r sen θ

0 ≤ θ ≤ π

2r > 0


Con lo que el jacobiano queda: J = r

Calculamos la integral:∫ θ=π2

θ=0

∫ r=∞

r=0e−r

2rdrdθ = lım

R→∞

∫ π2

0

∫ R

0e−r

2rdrdθ

Resolvemos aparte la integral indefinida:∫e−r

2rdr =

{u = e−r

2

du = 2e−r2rdr

}−1

2

∫du =

−1

2u+ C =

1

2e−r

2+ C

Con este resultado, volvemos al lımite y terminamos de resolver la integral:

lımR→∞

∫ π2

0

∫ R

0e−r

2rdrdθ = lım

R→∞

1

2

∫ π2

o

[−e−r2

]R0dθ = lım

R→∞

π

4

[−e−r2 + 1

]=

π

4

2. Calcular el area del hemisferio:

z =√a2 − x2 − y2

La funcion que tenemos, f(x, y) =√a2 − x2 − y2, esta definida en un dominio x2 +

y2 = a2, que es un cırculo de centro en el origen y radio a. Calculamos sus parciales:

D1f(x, y) =−x√

a2 − x2 − y2

D2f(x, y) =−y√

a2 − x2 − y2

Calculamos el area:

A =

∫∫D

(√1 +

x2

a2 − x2 − y2+

y2

a2 − x2 − y2

)dxdy =

∫∫D

√a2

a2 − x2 − y2dxdy =

= a

∫∫D

dxdy√a2 − x2 − y2

la cual es una integral impropia. Dado que la proyeccion es un cırculo, es conveninentepasar a polares:

x = r cos θ

y = r sen θ

A = a

∫ θ=2π

θ=0

∫ r=a

r=0

rdrdθ√a2 − r2

= a lımR→a

∫ θ=2π

θ=0

∫ R=R

R=0

rdrdθ√a2 − r2

calculamos la integral indefinida:∫rdr√a2 − r2

=

{u = a2 − r2

du = −2rdr

}=

1

2

∫u−

12du = −1

2

u12

1/2+ C = −

(a2 − r2

) 12 + C

Por lo tanto:

A = 2πa lımR→a

[−(a2 − r2

) 12

]R0

= 2πa lımR→a

[−(a2 −R2

) 12 + a

]= 2πa2

Capıtulo 9

Integrales Triples

9.1. Integrales triples y sumas de Riemann

Sea f : R3 → R acotado en un recinto Q = [a, b]× [c, d]× [e, f ], y sean las particiones:P0, particion de [a, b]; P1, particion de [c, d]; P2, particion de [e, f ].

Con estas particiones definimos la siguiente suma de Riemann:

Rf =

n∑i=1

n∑j=1

n∑k=1

f(x∗i , y∗j , z∗k)(xi − xi−1)(yj − yj−1)(zk − zk−1)

donde:x∗i ∈ [xi−1, xi]

y∗j ∈ [yj−1, yj ]

z∗k ∈ [zk−1, zk]

9.2. Calculo de integrales triples por integracion iterada

Sea Q = [a, b]× [c, d]× [e, f ], y sea f(x, y, z) continua en Q. Entonces existe la integraltriple: ∫∫∫

Qf(x, y, z)dxdydz

y se puede calcular por integracion iterada.

9.3. Teorema de Fubini para integrales triples

Sea f : D ⊆ R3 → R. En el caso de los recintos de Fubini para integrales triples se nospresentan 6 recintos distintos.

1.

D1 ={

(x, y, z) ∈ R3 � a 6 x 6 b; f1(x) 6 y 6 f2(x); g1(x, y) 6 z 6 g2(x, y)}

Entonces:

107

CAPITULO 9. INTEGRALES TRIPLES 108

∫∫∫Df(x, y, z)dxdydz =

∫ x=b

x=a

∫ y=f2(x)

y=f1(x)

∫ z=g2(x,y)

z=g1(x,y)f(x, y, z)dzdydx

Y puedo operar de manera analoga con cada uno de los otros recintos posibles, queenumeramos a continuacion:

2.

D2 ={

(x, y, z) ∈ R3 � a 6 x 6 b; f1(x) 6 z 6 f2(x); g1(x, z) 6 y 6 g2(x, z)}

3.

D3 ={

(x, y, z) ∈ R3 � a 6 y 6 b; f1(y) 6 x 6 f2(y); g1(x, y) 6 z 6 g2(x, y)}

4.

D4 ={

(x, y, z) ∈ R3 � a 6 y 6 b; f1(y) 6 z 6 f2(y); g1(y, z) 6 x 6 g2(y, z)}

5.

D5 ={

(x, y, z) ∈ R3 � a 6 z 6 b; f1(z) 6 x 6 f2(z); g1(x, z) 6 y 6 g2(x, z)}

6.

D6 ={

(x, y, z) ∈ R3 � a 6 z 6 b; f1(z) 6 y 6 f2(z); g1(y, z) 6 x 6 g2(y, z)}

Ejemplo: Sea el campo f(x, y, z) = xy + 2z, y sea el recinto:

D = {(x, y, z) � 0 6 x 6 2; 0 6 y 6 x; 0 6 z 6 x+ y}

Calculamos la integral:∫ x=2

x=0

∫ y=x

y=0

∫ z=x+y

z=0(xy + 2z)dzdydx =

∫ 2

0

∫ x

0

[xyz + z2

]x+y

0dydx =

=

∫ 2

0

∫ x

0

(x2y + xy2 + (x+ y)2

)dydx =

∫ 2

0

[x2y2

2+xy3

3+

(x+ y)3

3

]x0

dx =

=

∫ 2

0

(x4

2+x4

3+

8x3

3− x3

3

)dx =

∫ 2

0

(5

6x4 +

7

3x3

)dx =

[5

6

x5

5+

7

3

x4

4

]2

0

=

=44

3

9.4. Interpretacion geometrica de la integral triple

El significado geometrico de la integral triple∫∫∫

D f(x, y, z)dxdydz es el del volumenque encierra esa region.


9.5. Cambios de variable en integrales triples

Cuando realizamos un cambio de variable en integrales triples pasamos de calcular laintegral de f(x, y, z) a calcular la de F (u, v, w), de la siguiente forma:∫∫∫

Sf(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫TF (u, v, w)dudvdw

En las siguientes secciones veremos los cambios de variable que vamos a emplear en loscalculos.

9.5.1. Transformacion lineal

En este cambio de variable operamos de igual manera que con la transformacion linealen integrales dobles. El cambio que realizamos en este caso es:

x = Au+Bv + Cz

y = Du+ Ev + Fz

z = Gu+Hv + Iz

El resto de calculos son los mismos que para integrales dobles, aplicados a tres variables.

9.5.2. Coordenadas cilındricas

Para poder trabajar con las coordenadas cilındricas, vamos a definir primero cualesson las variables que van a introducirse en este cambio, es decir, (r, θ, z). En R3, tomemosun punto P del primer octante. Proyectamos dicho punto sobre el plano XY , con loque obtenemos el punto Q sobre dicho plano. La distancia que hay entre el origen decoordenadas O y el punto Q es nuestra variable r. Si medimos ahora el angulo que formanel eje OX positivo y el segmento OQ (en ese sentido, de OX a OQ), dicho angulo esel angulo θ. La ultima variable, z, es la que corresponde a la altura del punto, es decir,la distancia del plano XY hasta el punto P , medida como es logico en perpendicular alplano.

Ahora que conocemos las variables, vamos a analizar el rango de valores que puedentomar r y θ. La variable r siempre es r > 0, y nunca tomaremos ≥ para evitar quela transformacion que realizamos sea biyectiva. Con respecto a la variable θ, esta tomavalores comprendidos entre 0 ≤ θ < 2π, donde de nuevo tomamos exlusivamente < 2π ynunca ≤ para evitar de nuevo una transformacion biyectiva.

Una vez que tenemos definidas las variables y los rangos entre los que oscilan, vamos aenunciar las ecuaciones necesarias para realizar el cambio de variable. La transformacionque vamos a realizar es:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

Con esto, ya solo nos queda calcular el jacobiano correspondiente a esta transformacion:

J =

∣∣∣∣∣∣cos θ −r sen θ 0sen θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ = r


Ahora, ya podemosexpresar nuestra integral en funcion de las nuevas variables:∫∫∫Sf(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫Tf(r cos θ, r sen θ, z)rdrdθdz

donde el nuevo recinto de integracion T es la imagen del recinto original S, y donde la rque aparece multiplicando a f(x, y, z) es el jacobiano expresado en valor absoluto, y dadoque el jacobiano es positivo, no hay que cambiar su signo.

Con esto, ya tenemos definido completamente el cambio de variable a coordenadaspolares, y emplearemos este cambio en aquellas integrales triples donde el recinto presentesimetrıa cilındrica.

9.5.3. Coordenadas esfericas

En el cambio de variable a coordenadas esfericas, vamos a definir, igual que en elapartado anterior, las variables que intervienen. En este caso, nuestras nuevas variablesseran (ρ, θ, ϕ). De nuevo, vamos a definirlas a partir de un punto P del primer octantede R3. Proyectando el punto sobre el plano XY , obtenemos el punto Q. La variable ρsera la distancia entre el origen de coordenadas O y el punto P (distancia OP ). El anguloθ sera el que formen el semieje OX positivo y el segmento OQ, en ese sentido. La ultimavariable, ϕ, sera el angulo formado por el semieje OZ positivo y el segmento OP , en esesentido.

En este caso, el rango de valores que pueden tomar las variables sera:

ρ > 0

0 ≤ θ < 2π

0 ≤ ϕ ≤ π

En este caso, las ecuaciones para el cambio de variable son:

x = ρ cos θ senϕ

y = ρ sen θ senϕ

z = ρ cosϕ

y el jacobiano queda:

J =

∣∣∣∣∣∣cos θ senϕ −ρ sen θ senϕ ρ cos θ cosϕsen θ senϕ ρ cos θ senϕ ρ sen θ cosϕ

cosϕ 0 −ρ senϕ

∣∣∣∣∣∣ = −ρ2 senϕ

Tras el cambio, la integral se transforma de la siguiente manera:∫∫∫Sf(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫Tf(ρ cos θ senϕ, ρ sen θ senϕ, ρ cosϕ)ρ2 senϕdρdθdϕ

donde ρ2 senϕ es el valor absoluto del jacobiano.


9.5.4. Variante para las coordenadas esfericas

En esta variante, solo cambiamos la forma en la que medimos ϕ. Si lo comparamoscon la definicion de variables que acabamos de ver en el apartado anterior, ϕ es ahorael angulo entre OQ y OP , medido en ese sentido. Al introducir esta variacion, tambiencambia en rango de valores que puede tomar ϕ:

−π26 ϕ 6

π

2

Y en las ecuaciones, el cambio se refleja de la siguiente manera: los senϕ se transformanen cosϕ, y viceversa. Ası, las ecuaciones del cambio quedan:

x = ρ cos θ cosϕ

y = ρ sen θ cosϕ

z = ρ senϕ

y el jacobiano:J = −ρ2 cosϕ

Con esta variante, la transformacion de la integral queda:∫∫∫Sf(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫Tf(ρ cos θ cosϕ, ρ sen θ cosϕ, ρ senϕ)ρ2 cosϕdρdθdϕ

9.5.5. Ejemplos de cambios de variable

Coordenadas cilındricas

Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies:

9x2 + 4y2 + 36z = 36

z = 0

}

manipulando la primera expresion, sin mas que despejar la z, comprobamos que setrata de un paraboloide, en este caso orientado hacia abajo, que corta con el planoz = 0.

z = 1− x2

4− y2

9z = 0

El volumen del cuerpo se calculara (por tratarse de un recinto de Fubini):

V =

∫ x=2

x=−2

∫ y=3

√1−x2

4

y=−3

√1−x2

4

∫ z=1−x2

4− y

2

9

z=0dzdydx

y la proyeccion del cuerpo sobre el plano XY sera la de la elipse que forma su base:{(x, y) ∈ R2 �

x2

4+y2

96 1

}


Introducimos el cambio de variable a coordenadas cilındricas:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

Ahora tenemos que tener en cuenta el rango que podemos dar a las variables, y nosencontramos con un problema: r tiene que variar entre (0, 2) (con la periodicidaddel coseno x variara entre (−2, 2) como necesitamos), pero en y llegamos de −3 a 3(cuando x = 0); ¿Como podemos hacer que se cumplan los dos cambios a la vez? Tansolo tenemos que dejar r tal y como esta (entre (0, 1)), y multiplicar cada ecuacionpor el valor adecuado. De esta forma, el cambio con sus respectivos rangos queda:

x = 2r cos θ

y = 3r sen θ

z = z

0 < r 6 1

0 6 θ < 2π0 6 z 6 1− r2

Con lo que hemos logrado que la variable y siga la forma que describe la elipse dela base.

Calculamos ahora el jacobiano de la transformacion:

J =

∣∣∣∣∣∣2 cos θ −2r sen θ 03 sen θ 3r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 6r

Una vez que tenemos el cambio de variables y el valor del jacobiano, procedemos acalcular el volumen:

V = 6

∫ θ=2π

θ=0

∫ r=1

r=0

∫ z=1−r2

z=0rdzdrdθ = 6

∫ θ=2π

θ=0

∫ r=1

r=0(r − r3)drdθ = 12π

[r2

2− r4

4

]1

0

=12π

4= 3π

Coordenadas esfericas

Hallar el volumen del elipsoide:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Lo primero que haremos sera calcular la proyeccion del elipsoide sobre el plano XY(cuando z = 0). 1 Dicha proyeccion es:{

(x, y) ∈ R2 �x2

a2+y2

b26 1

}1Hay que tener cuidado con esto, ya que depende de la figura con la que trabajemos. Si estamos ante

un cono, la proyeccion habra que hacerla con z = MAX, ya que un cono sin degenerar tiene el vertice enz = 0, con lo que su proyeccion en XY serıa unicamente un punto.


Con esto, el volumen a calcular queda:

V =

∫ x=a

x=−a

∫ y=b√

1−x2a2

y=−b√

1−x2a2

∫ z=c√

1−x2a2− y2b2

z=−c√

1−x2a2− y2b2

dzdydx

el cual es un recinto de Fubini. Esta integral es bastante complicada, pero vamos aver como al introducir el cambio de variable logramos simplificarla en gran medida.

El cambio a coordenadas esfericas, con su correspondientes rangos y el jacobianoquedan:

x = aρ cos θ senϕ

y = bρ sen θ senϕ

z = cρ cosϕ

0 < ρ 6 1

0 6 θ < 2π0 6 ϕ 6 π

J = −abcρ2 senϕ

Ahora, procedemos calcular el volumen:

V = abc

∫ θ=2π

θ=0

∫ ϕ=π

ϕ=0

∫ ρ=1

ρ=0ρ2 senϕdρdϕdθ =

abc

3

∫ θ=2π

θ=0

∫ ϕ=π

ϕ=0senϕdϕdθ =

=2

3πabc [− cosϕ]π0 =

2

3πabc [1 + 1] =

4

3πabc

9.6. Integrales triples impropias

Una integral triple es impropia si ocurre:

1. El recinto de integracion no esta acotado.

2. Tengo un campo escalar no acotado en ese recinto.

Estudiemos cada caso:

Sea D un recinto no acotado. Para solucionar este problema, trabajo con un recintoDM , el cual defino como:

DM = D ∩{

(x, y, z) ∈ R3 � x2 + y2 + z2 6M2}

y entonces procedemos a transformar la integral:∫∫∫Df(x, y, z)dxdydz = lım

M→∞

∫∫∫DM

f(x, y, z)dxdydz

Sea f(x, y, z) no acotado en D, de forma que en un punto (x0, y0, z0):

lım(x,y,z)→(x0,y0,z0)

f(x, y, z) = 0


Para poder trabajar con este caso, empleo un recinto auxiliar al que le quitamos unaesfera centrada en donde el campo se escapa de la acotacion:

Dn = D −{

(x, y, z) ∈ R3 � (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < n2}

con este nuevo recinto, la integral queda:∫∫∫Df (x, y, z) dxdydz = lım

n→0

∫∫∫Dn

f (x, y, z) dxdydz

En estos dos casos tengo tres posibles resultados:

1. Que la integral sea convergente (cuando el lımite existe).

2. Que la integral sea divergente (cuando el lımite crece indefinidamente).

3. Que la integral no exista (cuando el lımite no exista).

9.7. Integral multiple

Tambien tenemos otros tipos de integral, como el de integral multiple, en los cualesno vamos a profundizar aquı. El concepto de integral multiple trata de extender lo queya conocemos para poder trabajar con n variables. Para que exista la integral multipletendrıamos que generalizar la continuidad, los recintos de Fubini, etc.

Capıtulo 10

Integracion y curvas en polares

En este capıtulo vamos a ver ejemplos de calculo integral con curvas que expresadas encoordenadas cartesianas tienen una expresion compleja, pero que al pasarlas a coordenadaspolares se simplifican.

Hallar el area limitada por las curvas:

x2 + y2 = 2bx

x2 + y2 = 2ax

y = x

y = 0

0 < a < b

Cuando nos aparece un termino x2 y otro x, puede parecernos que lo mejor escompletar cuadrados:

1.x2 + y2 = 2bx→ (x− b)2 + y2 = b2

que es una circunferencia de centro (b, 0) y radio b.

2.x2 + y2 = 2ax→ (x− a)2 + y2 = a2

que es una circunferencia de centro (a, 0) y radio a.

Sin embargo, ahora no debemos emplearlo, ya que si completamos cuadrados, alpasar a polares vamos a obtener dos circunferencias no concentricas, con lo que se“rompen” las polares.

Hacemos la transformacion a polares directamente:

x = r cos θ

y = r sen θ

}

con lo que cada ecuacion se transforma en:

1.r2 = 2br cos θ ⇒ r = 2b cos θ

115

CAPITULO 10. INTEGRACION Y CURVAS EN POLARES 116

2.r2 = 2ar cos θ ⇒ r = 2a cos θ

3.r sen θ = r cos θ ⇒ sen θ = cos θ ⇒ θ =

π

4

4.y = 0⇒ y = r sen θ ⇒ θ = 0

Procedemos a calcular el area, donde, dado que estamos en un recinto de Fubini,tenemos el orden de integracion forzado.

A =

∫∫Rdxdy =

∫ θ=π4

θ=0

∫ r=2b cos θ

r=2a cos θrdrdθ =

1

2

∫ θ=π4

θ=0

[r2]2b cos θ

2a cos θdθ =

= 2(b2 − a2

) ∫ θ=π4

θ=0cos2 θdθ = 2

(b2 − a2

) [θ2

+sen θ cos θ

2

]π4

0

=

= 2(b2 − a2

)(π8

+

√2

2 +√

22

2

)=

(b2 − a2

)4

(π − 2)

donde hemos calculado aparte∫

cos2 θdθ:∫cos2 θdθ =

θ

2+

sen θ cos θ

2+ C

Con esto, hemos visto que a veces resulta mejor trabajar con la expresion en polaresdirectamente, sin hacer el cambio. La forma resulta comoda cuando tengo fucionesr(θ). Hay toda una familia de curvas donde la expresion de r(θ) no es directamenteuna funcion de θ, sino de cos θ y sen θ, pero esto tambien resulta interesante, dadoque por la periodicidad de estas funciones me encuentro en un intervalo cerrado.

Hallar el area de la region limitada por:(x2 + y2

)2= 2

(x2 − y2

)x2 + y2 = 1

}

En el ejemplo anterior, podıa transformar las ecuaciones para averiguar que graficatenıa la curva, pero en este caso, desconocemos la representacion de la primera curva.Por lo tanto, lo primero que haremos sera estudiar su comportamiento.

Expresando la curva en polares:

x = r cos θ

y = r sen θ

}

(r2 cos2 θ + r2 sen2 θ

)2=(r2)2

= r4 = 2(r2 cos2 θ − r2 sen2 θ

)=

= 2r2(cos2 θ − sen2 θ

)⇒ r2 = 2 cos (2θ)


Esta expresion solo vale cuando θ > 0. Vemos que r depende de θ a traves de uncoseno. Como sabemos el comportamiento del cos en los cuadrantes (positivo en elprimer y cuarto cuadrante, negativo en el segundo y el tercero), si tomamos rangos devalores para 2θ, obtenemos los rangos de valores para los que la curva esta definida:

0 6 2θ 6π

2' 0 6 θ 6

π

4⇒ cos (2θ) = +

3π

26 2θ 6 2π ' 3π

46 θ 6 π ⇒ cos (2θ) = +

2π 6 2θ 65π

2' π 6 θ 6 5π

4⇒ cos (2θ) = +

7π

26 2θ 6 4π ' 7π

46 θ 6 2π ⇒ cos (2θ) = +

En todos estos intervalos para la variable θ, la curva esta definida.

Vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funcion coseno en los cuadran-tes:

•0 6 θ 6

π

4

la funcion decrece.

•3π

46 θ 6 π

la funcion crece.

•π 6 θ 6

5π

4

la funcion decrece.

•7π

46 θ 6 2π

la funcion crece.

Con todo esto, obtenemos que la forma de la curva es una lemniscata, con lo quetengo que hallar el area entre la lemniscata y la circunferencia, para lo cual buscolos puntos de corte.

La interseccion entre ambas curvas se obtiene a traves de la ecuacion:

r2 = 2 cos (2θ)

r2 = 1

}⇒ 2 cos (2θ) = 1⇒ cos (2θ) =

1

2

Hay una propiedad de las curvas planas que dependen del cos θ o del sen θ, y essu simetrıa. Por ello, puedo trabajar solo en el primer cuadrante y extender losresultados que obtenga al resto.

cos (2θ) =1

2⇒ 2θ =

π

3⇒ θ =

π

6


Con este punto de corte en el angulo θ = π6 , el area a calcular queda dividida en dos

trozos. Para angulos mayores de θ = π6 , tenemos un pequeno arco de lemniscata que

nace en el origen, y acaba en el punto de corte entre las dos curvas, estando comple-tamente encerrado en la circunferencia. A esta parte la llamaremos S1. Por debajodel punto de corte en θ = π

6 , tenemos el mayor trozo de lemniscata, el cual quedacortado en dos partes por la circunferencia. La parte interior a la circunferencia, ala que llamaremos S2, es la que nos interesa. Esta parte es un sector circular de lacircunferencia.

Debido a la simetrıa, sabemos que el area total de la curva sera:

A = 4 (AS1 +AS2)

Calculamos el area de S2:

AS2 =

∫∫S2dxdy =

∫ θ=π6

θ=0

∫ r=1

r=0rdrdθ

y dado que estamos en un recinto rectangular, podemos calcular las dos integrales ala vez, con lo que queda:

AS2 =1

2· π

6=

π

12

Procedemos ahora a calcular el area de S1:

AS1 =

∫∫S1dxdy =

∫ θ=π4

θ=π6

∫ r=√

2 cos(2θ)

r=0rdrdθ =

1

2

∫ θ=π4

θ=π6

[r2]√2 cos(2θ)

0dθ =

=1

2

∫ θ=π4

θ=π6

2 cos (2θ) dθ =

∫ θ=π4

θ=π6

cos (2θ) dθ =

[sen (2θ)

2

]π4

π6

=

=1

2

(sen

π

2− sen

π

3

)=

1

2

(1−√

3

2

)=

1

2

(2−√

3

2

)=

2−√

3

4

donde en la primera integral hemos puesto como extremo superior de integracionθ = π

4 , ya que para valores superiores de θ la curva no esta definida.

Conocidos los valores de S1 y S2, procedemos a calcular el valor del area total:

AT = 4 (AS1 +AS2) = 4

(π

12+

2−√

3

4

)=(π

3+(

2−√

3))

=

=π + 6− 3

√3

3


Hallar el area interior a la curva:

x2 + y2 = 64

y exterior a:

x2 + y2 = 8(√

x2 + y2 + x)

Lo primero que haremos, sera pasar la curva a coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r sen θ

}

con lo que obtenemos las ecuaciones:

1.r2=64

2.r2 = 8 (r + cos θ)⇒ r2 = 8r (1 + cos θ)⇒ r = 8 (1 + cos θ)

con lo que vemos que en la segunda ecuacion tenemos r como funcion explıcita deθ a traves de un coseno, por lo que deberemos estudiar el comportamiento de dichafuncion en un intervalo [0, 2π]. Los valores obtenidos para r son:

θ = 0⇒ r = 16

θ =π

2⇒ r = 8

θ = π ⇒ r = 0

θ = 3π

2⇒ r = 8

θ = 2π ⇒ r = 16

Si dibujaramos la funcion obtendrıamos la representacion de una cardioide, la cualpresenta simetria respecto al eje X.

Procedemos ahora a calcular la interseccion entre las dos curvas:

r2=64

r = 8 (1 + cos θ)

}⇒ r2=64

r2 = 64 (1 + cos θ)

}⇒ cos θ = 0⇒ θ =

π

2

En este caso, el area a calcular se encuentra solamente en el segundo y tercer cua-drante, ya que la mitad de circunferencia que se encuentra en el primer y cuartocuadrante esta completamente tapada por la cardioide. Ademas, dada la simetrıa delas figuras, solo necesitamos calcular el area en el segundo cuadrante, y multiplicarel resultado por 2. En dicho cuadrante, tenemos una cuarta parte de circunferenciaa la que debemos quitar un trozo de cardioide.


Calculamos finalmente la integral en el segundo cuadrante:

A = 2

∫ θ=π

θ=π2

∫ r=8

r=8(1+cos θ)rdrdθ = 2

∫ π

π2

[r2

2

]8

8(1+cos θ)

dθ = 82

∫ π

π2

(1− (1 + cos θ)2

)dθ =

= 64

∫ π

π2

(−2 cos θ − cos2 θ

)dθ = 64

(−2

∫ π

π2

cos θdθ −∫ π

π2

cos2 θdθ

)=

= 64

(−2 [sen θ]ππ

2−[θ

2+

cos θ sen θ

2

]ππ2

)= 64

(−2 [−1]−

[π4

])= 64

(2− π

4

)

Capıtulo 11

Integrales de superficie

En este tipo de integrales, vamos a integrar a traves de una superficie en 3D en lugarde hacerlo a traves de una region del plano.

11.1. Representacion de superficies

Una superficie se puede dar de varias formas:

Explıcita: z = f(x, y)

Implıcita: F (x, y, z) = 0

Parametrica: r(u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j + z(u, v)k, donde tengo (x, yz) en funcionde dos parametros (u, v).

En esta ultima forma de representacion, es tan importante conocer las variables (x, y, z)como conocer el rango de valores donde se definen (u, v):

(u, v) ∈ T

Veamos un ejemplo con las tres posibles representaciones de una esfera:

Explıcita: z = ±√a2 − x2 − y2.

Implıcita: x2 + y2 + z2 = a2 o x2 + y2 + z2 − a2 = 0.

Parametrica: vamos a elegir como parametros los angulos de los cambios a coorde-nadas esfericas (en concreto, la segunda variante de coordenadas esfericas que se havisto en 9.5.4).

r(u, v) = a cosu cos vi+ a senu cos vj + a sen vk

donde:u ∈ [0, 2π] ; v ∈

[−π

2,π

2

]Con la representacion parametrica de la esfera, no solo conozco los puntos, sino que se comose ha engendrado la superficie. Para comprender esto, imaginemos una superficie rectan-gular T como la que se muestra en la siguiente imagen.

121

CAPITULO 11. INTEGRALES DE SUPERFICIE 122

Nuestro recinto se extiende en el eje X a lo largo del intervalo [0, 2π], y en el eje Yhasta [0, π2 ]. Podemos curvar el recinto para generar con el media esfera de manera que elvertice AB conformarıa el polo superior de la esfera, el vertice CD el ecuador de la misma,y los laterales se unirıan para terminar de cerrar la esfera, tal y como se ve en la imagen:

De igual manera que hemos creado una esfera, podemos curvar la misma region T paracrear un cilindro (en este caso solo habrıa que curvarlo para unir los laterales), e inclusopodemos volver a curvar sobre si mismo el cilindro obtenido para obtener un toro (uniendolos extremos superior e inferior). Al trabajar con representaciones parametricas hay queapuntar que la representacion parametrica de una superficie no es unica.

Cuando representemos parametricamente una superficie, siempre vamos a suponer quelas funciones:

x(u, v)

y(u, v)

z(u, v)

son funciones continuas.

r(u, v) = x(u, v)i+ y(u, v)j + z(u, v)k ; (u, v) ∈ T

Con esto aseguro que la superficie que estamos generando se crea curvando, doblando,estirando, o comprimiendo el recinto T , pero nunca rompiendolo.

11.1.1. Clasificacion de superficies parametricas

Vamos a clasificar las superficies parametricas en dos grupos:

Simple: en este tipo de superficies, puntos diferentes de T tienen imagenes distintas enla superficie (es decir, que puntos diferentes de T tambien generan puntos diferentessobre la superficie generada).

No simple: es aquella superficie que no es simple.

Volviendo al ejemplo mostrado en la imagen, cuando generamos una esfera a partir delrecinto rectangular T , nos encontramos ante una superficie no simple, dado que todos lospuntos que se encuentran en el vertice AB se unen en un mismo punto (el polo de la esfera)y los puntos de ambos laterales se unen para cerrarla, con lo que de nuevo tenemos puntosque en la forma original son distintos, y se convierten en los mismos tras la deformacion.


11.1.2. Producto vectorial fundamental

Sea r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k. Supongo que existen las seis parciales de(x, y, z). Defino las parciales:

∂r

∂u=∂x

∂ui+

∂y

∂uj +

∂z

∂uk

∂r

∂v=∂x

∂vi+

∂y

∂vj +

∂z

∂vk

y con ellas el producto vectorial fundamental, pvf ,:

∂r

∂u× ∂r

∂v=

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ∂y∂u

∂z∂u

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ ∂x∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂z∂v

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ ∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣∣∣∣ k =

=

∣∣∣∣ ∂y∂u

∂z∂u

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣ i+

∣∣∣∣ ∂z∂u

∂x∂u

∂z∂v

∂x∂v

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ ∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣∣∣∣ k =

∣∣∣∣∂(y, z)

∂(u, v)

∣∣∣∣ i+

∣∣∣∣∂(z, x)

∂(u, v)

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ kel cual esta formado por los jacobianos de cada una de las variables.

11.1.3. Clasificacion de los puntos de una superficie parametrica

Sea r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, con (u, v) ∈ T . Distinguimos dos tipos depuntos:

Punto regular, si cumple las dos condiciones siguientes:

1. Ambas parciales, ∂r∂u y ∂r

∂v , existen y son continuas.

y

2. El producto vectorial fundamental ∂r∂u ×

∂r∂v 6= 0

Punto singular, si cumple alguna de estas condiciones:

1. Alguna parcial, ∂r∂u o ∂r

∂v , no existe o no es contınua.

o

2. El producto vectorial fundamental ∂r∂u ×

∂r∂v = 0

11.1.4. Superficies regulares

Diremos que una superficie es superficie regular si todos sus puntos son regulares. Lacondicion de existencia y continudad de las derivadas parciales en los puntos regularesquiere decir, geometricamente, que la superficie es suave, es decir, que no presenta bordes,aristas ni picos. La segunda condicion, la cual dice que el pvf es distinto de 0, vamos aestudiarla por medio de un ejemplo: Tenemos un recinto T como el que se vio en 11.1. Si enese recinto rectangular T tomo un diferencial tambien rectangular de area dudv, al generarla superficie parametrica de un hemisferio de esfera el diferencial de area se correspondera aun recinto con forma de paralelogramo curvilıneo, cuya area sera:

∥∥ ∂r∂u ×

∂r∂v

∥∥ dudv. Lanorma del pvf actua como vector de proporcionalidad. Por esto, si el pvf = 0, se produceuna degeneracion: el rectangulo de area dudv se anula al generar la superficie parametrica,con lo que tenemos puntos del recinto original que desaparecen.


11.1.5. Uso de las coordenadas como parametros

Si tengo la expresion explıcita de una superficie, z = f(x, y), y tomo como parametrosa las propias variables (x, y), entonces la representacion parametrica de la superficie serıa:

r(x, y) = xi+ yj + f(x, y)k

Esta representacion presenta bastantes ventajas:

1. Se trata de una superficie parametrica simple.

2. El recinto T es la proyeccion de la superficie sobre el plano XY .

3.∂r

∂x= i+

∂f(x, y)

∂xk

∂r

∂y= j +

∂f(x, y)

∂yk

⇒∂r

∂x× ∂r

∂y=

∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 0 ∂f∂x

0 1 ∂f∂y

∣∣∣∣∣∣∣ = −∂f∂xi− ∂f

∂yj + k

En este tercer caso, los unicos puntos singulares van a salir o bien de la no existenciade las parciales, o de que estas no sean continuas, ya que nunca se nos va a presentarel caso de que el pvf sea igual a cero.

Ejemplo:Vamos a ver un ejemplo de superficie parametrica mediante un hemisferio de esfera,

definido por:z =

√a2 − x2 − y2

donde por sencillez vamos a emplear solo el hemisferio superior. Procedemos a parametrizarla superficie por medio de las coordenadas (x, y):

r(x, y) = xi+ yj +√a2 − x2 − y2k

Y el recinto T esta definido para:

T ={

(x, y) ∈ R2 � x2 + y2 6 a2}

Como podemos comprobar, al hacer la parametrizacion por medio de las coordenadas(x, y), hemos generado una superficie parametrica simple. Dicha superficie se ha engen-drado de la misma forma que una pelıcula de jabon que se hincha creando una pompa.

Las derivadas parciales de la expresion parametrica de la superficie son:

∂f

∂x=

−x√a2 − x2 − y2

∂f

∂y=

−y√a2 − x2 − y2

Estas parciales no estan definidas en todo T , sino que solo tienen sentido en el interiordel cırculo.

Ahora vamos a comprobar lo que pasa si tratamos la superficie con la otra parametrıza-cion que hemos estudiado:

r (u, v) = a cosu cos vi+ a senu cos vj + a sen vk


En este caso, el recinto T es el rectangulo formado por:

T = [0, 2π]×[0,π

2

]y la superficie se va a curva tal y como se vio en 11.1. Vamos a comprobar si el hemisferiode esfera engendrado de esta forma presenta puntos singulares. Para ello, estudiamos supvf :

∂r

∂u× ∂r

∂v= a cos vr

En este pvf , si v = π2 , cos v = 0, con lo que obtenemos que v = π

2 , cos v = 0, lo que nosindica la presencia de un puntos singular. Esto es ası ya que con v = π

2 la imagen de todoel lado superior del recinto T se convierte en el polo norte del hemisferio.

Tal y como acabamos de comprobar, el que la superficie parametrica sea o no simpleno depende de superficie en sı, sino de como la hemos engendrado.

11.2. Area de una superficie parametrica

Sea S = r(u, v) con (u, v) ∈ T una superficie parametrica regular. Sea dudv un dife-rencial rectangular de area de T , dicho diferencial se convertira al engendrar la superficieen un diferencial de area con forma de paralelogramo curvilıneo, cuya area sera:∣∣∣∣∣∣∣∣∂r∂u × ∂r

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ dudvcon esto, el area total de la superficie S es:

a(S) =

∫∫T

∣∣∣∣∣∣∣∣∂r∂u × ∂r

∂v

∣∣∣∣ dudv∣∣∣∣Vamos a reescribir esta expresion para hacer que sea mas comodo usarla, empleando

para ello la expresion del producto vectorial fundamental:

∂r

∂u× ∂r

∂v=

∣∣∣∣∂(y, z)

∂(u, v)

∣∣∣∣ i+

∣∣∣∣∂(z, x)

∂(u, v)

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ kreescrbiendo a(S):

a(s) =

∫∫T

√∣∣∣∣∂(y, z)

∂(u, v)

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣∂(z, x)

∂(u, v)

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣2dudv11.2.1. Caso particular con parametros (x, y)

Cuando mi superficie esta engendrada en forma explıcita, z = f (x, y), puedo tomarcomo parametros (x, y) en lugar de (u, v). De esta forma, obtenemos:

r (x, y) = xi+ yj + f(x, y)k


y calculando sus derivadas parciales, podemos obtener su pvf :

∂r

∂x= i+

∂f

∂xk

∂r

∂y= j +

∂f

∂yk

∂r

∂x× ∂r

∂y= −∂f

∂xi− ∂f

∂yj + k

si ahora trasladamos todo esto al calculo del area de la superficie parametrica, resulta:

a(s) =

∫∫T

√(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

+ 1

Vamos a reescribir la expresion.Dado que ∂r

∂x y ∂r∂y son vectores tangentes a la superficie, su producto vectorial funda-

mental sera perpendicular a la superficie:

N =∂r

∂x× ∂r

∂y= −∂f

∂xi− ∂f

∂yj + k

donde denotamos con la letra N para indicar que son normales a la superficie. Si estevector es perpendicular a la superficie, tambien lo es este otro:

N =∂f

∂xi+

∂f

∂yj − k

Sea k el vector unitario en la direccion del eje OZ+, (0, 0, 1), y sea γ el angulo formadopor N y k. El producto escalar entre N y k sera:

N · k = ±1 =∣∣∣∣N ∣∣∣∣ cos γ

donde el signo ± depende del caso del vector N que hayamos elegido.Si tomamos la norma del vector y el valor absoluto de γ podemos quitarnos el ±:

1 =∥∥N∥∥ |cos γ|

Con esta notacion, la expresion del area queda:

a(S) =

∫∫T

dxdy

|cos γ|

donde hay que notar que la expresion no tiene sentido con cos γ = 0

11.2.2. Caso particular con funciones implıcitas

Si la superficie se engendra de forma implıcita, F (x, y, z) = 0, a traves del teorema de laimplıcita tenemos otro caso particular del calculo del area. Para esta situacion, se tiene quecumplir la condicion del teorema de la funcion implıcita, ∂F∂z 6= 0. Se puede demostrar quetodo lo que se ha visto en el anterior caso particular para funciones explıcitas z = f (x, y)


sigue siendo valido para el caso de funciones implıcitas, y solo tenemos que cambiar laexpresion de las parciales en funcion de lo que nos dice el teorema de la implıcita, es decir:

∂z

∂x=−∂F/∂x∂F/∂z

∂z

∂y=−∂F/∂y∂F/∂z

con esto, podemos calcular el pvf :

∂r

∂x= i−

∂F/∂x∂F/∂z

k

∂r

∂y= j −

∂F/∂y∂F/∂z

k

∂r

∂x× ∂r

∂y=∂F/∂x∂F/∂z

i+∂F/∂y∂F/∂z

j + k

y la expresion del area de la superficie queda:

a(S) =

∫∫T

√√√√√(∂F∂x )2 +(∂F∂y

)2+(∂F∂z

)2(∂F∂z

)2 dxdy =

=

∫∫T

√(∂F∂x

)2+(∂F∂y

)2+(∂F∂z

)2∣∣∂F∂z

∣∣ dxdy

11.2.3. Ejemplos de calculo de areas

Hallar el area del hemisferio z =√a2 − x2 − y2.

Mediante parametros (x, y)

r (x, y) = xi+ yj +√a2 − x2 − y2k

D ={

(x, y) ∈ R2 � x2 + y2 6 a2}

El area de la superficie queda:

a(S) =

∫∫D

√(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

+ 1dxdy

calculamos aparte las parciales:

∂f

∂x=

−x√a2 − x2 − y2

∂f

∂y=

−y√a2 − x2 − y2


y vemos como las parciales no estan definidas en la frontera, ya que su dominio es{(x, y) ∈ R2 � x2 + y2 < a2

}Con esto, el area queda:

a(S) =

∫∫D

√x2

a2 − x2 − y2+

y2

a2 − x2 − y2+ 1dxdy =

=

∫∫D

√a2

a2 − x2 − y2dxdy = a

∫∫D

dxdy√a2 − x2 − y2

= 2πa2

Mediante parametros (u, v)

r (u, v) = a cosu cos vi+ a senu cos vj + a sen vk

u ∈ [0, 2π] , v ∈[0,π

2

]calculamos el pvf :

∂r

∂u× ∂r

∂v= a cos vr ⇒

∥∥∥∥ ∂r∂u × ∂r

∂v

∥∥∥∥ = a cos2 v

el area de la superficie queda:

a(S) = v2

∫∫T

cos vdudv = a2

∫ u=2π

u=0

∫ v=π2

v=0cos vdvdu =

= 2πa2 [sen v]π20 = 2πa2

Con lo que comprobamos que mediante las dos parametrizaciones el resultado es elmismo.

11.3. Integral de superficie de un campo escalar

Sea S = r (u, v) , (u, v) ∈ T una superficie parametrica regular. Sea f (x, y, z) un campoescalar definido y acotado en S.

Definimos la integral de superficie de f (x, y, z) a traves del recinto S como:∫∫Sf (x, y, z) ds =

∫∫Tf (r (u, v))

∥∥∥∥ ∂r∂u × ∂r

∂v

∥∥∥∥ dudv11.3.1. Caso particular con parametros (x, y)

r (x, y) = xi+ yj + g (x, y) k

El pvf en este caso es:

∂r

∂x× ∂r

∂y= −∂g

∂xi− ∂g

∂yj + k


el cual resulta ser un vector normalizado.Calculando la norma del pvf :∥∥∥∥ ∂r∂x × ∂r

∂y

∥∥∥∥ =

√(∂g

∂x

)2

+

(∂g

∂y

)2

+ 1 =1

|cos γ|

Y con esto, el calculo del area queda:∫∫Sf (x, y, z) ds =

∫∫Tf (x, y, z)

dxdy

|cos γ|

11.4. Cambio de representacion parametrica

Sean r (A) y R (B) dos parametrizaciones de la superficie S. Si existe la integral:∫∫r(A)

f (x, y, z) ds

entonces tambien existe ∫∫R(B)

f (x, y, z) ds

y ademas: ∫∫R(B)

f (x, y, z) ds =

∫∫r(A)

f (x, y, z) ds

es decir, la integral de superficie es independiente de la parametrizacion.

Capıtulo 12

Integrales de flujo

12.1. La integral de flujo como integral de superficie

Sea la superficie S = r (u, v) , (u, v) ∈ T una superficie parametrica regular. SeaF : R3 → R3 un campo vectorial definido y acotado en S. Sea n un vector unitarioperpendicular a la superficie S en cada punto, lo que es equivalente a decir que n tiene ladireccion del producto vectorial fundamental, o la direccion opuesta al producto vectorialfundamental.

n ∈ {n1, n2} ,

{n1vector unitario en la direccion del pvf

n2vector unitario en la direccion opuesta al pvf

Con esto definimos que la integral de flujo de F a traves de la superficie S es la integralde superficie del producto escalar: ∫∫

SF · ndS

con lo que logramos que nuestro integrando se convierta en un escalar y podamos resolverla integral de superficie de un campo vectorial.

Reescribimos la expresion:∫∫SF · ndS =

∫∫TF · n

∣∣∣∣∣∣∣∣∂r∂u × ∂r

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv =

= ±∫∫

TF ·(∂r

∂u× ∂r

∂v

)dudv

donde el ± dependera de si hemos tomado n ∈ n1 o n ∈ n2.Desarrollamos F : R3 → R3 mediante sus componentes:

F (x, y, z) = P (x, y, z) i+Q (x, y, z) j +R (x, y, z) k

y el producto vectorial como determinante mediante jacobianos:

∂r

∂u× ∂r

∂v=

∣∣∣∣∂ (y, z)

∂ (u, v)

∣∣∣∣ i+

∣∣∣∣∂ (z, x)

∂ (u, v)

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∂ (x, y)

∂ (u, v)

∣∣∣∣ kcon lo que podemos reescribir la integral como:∫∫

SF · ndS = ±

∫∫TPdy ∧ dz +Qdz ∧ dx+Rdx ∧ dy

130

CAPITULO 12. INTEGRALES DE FLUJO 131

donde

dy ∧ dz =

∣∣∣∣∂ (y, z)

∂ (u, v)

∣∣∣∣ dudvdz ∧ dx =

∣∣∣∣∂ (z, x)

∂ (u, v)

∣∣∣∣ dudvdx ∧ dy =

∣∣∣∣∂ (x, y)

∂ (u, v)

∣∣∣∣ dudvHay que apuntar dos cosas sobre esta operacion:

dy ∧ dz 6= dz ∧ dy, es decir, la operacion no es conmutativa. Si cambio el orden, enel jacobiano se intercambian las filas y las columnas, con lo que cambia el signo y eljacobiano no me sirve.

El sımbolo ∧ es solo una manera comoda de escribir, pero por abuso de notacion, amenudo se omite y la integral se escribe

∫∫T Pdydz +Qdzdx+Rdxdy. Esto, aunque

lo parezca, no es una integral doble, ya que P,Q,R dependen de tres variables.

12.2. Notacion mediante cosenos directores

En este caso particular, expresamos F mediante sus campos componentes y n por suscosenos directores, es decir,

n = (cosα, cosβ, cos γ)

con lo que nos queda la siguiente integral:∫∫SF · nds =

∫∫S

(P cosα+Q cosβ +R cos γ) ds

donde vemos que no tenemos dualidad de signo (±) en la integral ya que la represen-tacion mediante cosenos me sirve en los dos casos.

Dentro de esta representacion en cosenos directores tenemos casos particulares en fun-cion de como expresemos la superficie S o el caracter vectorial de n.

12.2.1. Caso para expresiones explıcitas de S

En este caso, en funcion de cuales sean las variables que definen a la funcion explıcita,me interesara proyectar sobre uno u otro plano.

z = g (x, y) En este caso, me interesara proyectar sobre el plano XY :

z = g (x, y)→ ds =dxdy

|cos γ|⇒∫∫

SF · nds =

=

∫∫T

(P cosα+Q cosβ +R cos γ)dxdy

|cos γ|

donde T es la proyeccion sobre el plano XY


y = g (x, z) En este caso, me interesara proyectar sobre el plano XZ:

y = g (x, z)→ ds =dxdz

|cosβ|⇒∫∫

SF · nds =

=

∫∫T

(P cosα+Q cosβ +R cos γ)dxdz

|cosβ|

donde T es la proyeccion sobre el plano XZ.

x = g (y, z) En este caso, me interesara proyectar sobre el plano Y Z:

x = g (y, z)→ ds =dydz

|cosα|⇒∫∫

SF · nds =

=

∫∫T

(P cosα+Q cosβ +R cos γ)dydz

|cosα|

donde T es la proyeccion sobre el plano Y Z.

12.2.2. Traslado del caracter vectorial de n

Si pasamos el caracter vectorial de n al diferencial de superficie, la integral queda:∫∫SF · ndS =

∫∫SF · dS

12.3. Ejemplos de integral de flujo

1. Hallar∫∫S F · ndS donde:

F (x, y, z) =xz

a2i+

yz

b2j +

z2

c2k

, S es la superficie de la parte del elipsoide x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 con z > 0, y n es la

normal unitaria exterior al elipsoide.

Comenzamos parametrizando la superficie, para lo cual tengo dos posibilidades:

Aprovechamos que la expresion del elipsoide es una funcion implıcita y puedopasarla a explıcita, ±√ , y dado que z > 0, me queda +

√.

Parametrizacion analoga (u, v), donde hay que tener en cuenta la deformacionde los semiejes: en x meto el semieje a, en y el b y en z el c, con lo que obtengouna esfera deformada, para lo cual tengo que multiplicar la primera fila deljacobiano por a, la segunda por b y la tercera por c.

Vamos a calcular la integral mediante la primera parametrizacion.

Parametrizamos la superficie:

r (x, y) = xi+ yj + c

√1− x2

a2− y2

b2k

donde en la tercera componente se nos presenta la z despejada, con raiz +√

. Estaexpresion solo es valida si el termino interior de la raiz es positivo, pero como se nos


ha indicado al principio del ejercicio que z > 0, no tenemos ningun problema. Elrecinto T sobre el que vamos a trabajar es el interior de la elipse:

T =

{(x, y) ∈ R2 �

x2

a2+y2

b2< 1

}donde la condicion x2

a2+ y2

b2< 1 se obtiene de nuevo de que z > 0.

Procedemos ahora a calcular el producto vectorial fundamental:

∂r

∂x× ∂r

∂y=−∂f∂x

i− ∂f

∂yj + k

y dado que

z = f (x, y) = c

√1− x2

a2− y2

b2

el producto vectorial fundamental nos queda:

xca2√

1− x2

a2− y2

b2

i−ycb2√

1− x2

a2− y2

b2

j + k

Estudiando la expresion, vemos que la tercera componente, k, es > 0; como nos dicenque estamos trabajando con el vector n que sale, concluimos que n = n1, por lo tantotiene la misma direccion que el producto vectorial fundamental y es positivo.

Vamos a trabajar con notacion en cosenos directores, y procedemos a compactar laexpresion:

N =∂r

∂x× ∂r

∂y

los cosenos directores son:

cosα =1∥∥N∥∥

xca2√

1− x2

a2− y2

b2

, cosβ =1∥∥N∥∥

ycb2√

1− x2

a2− y2

b2

, cos γ =1∥∥N∥∥

Dado que el recinto T es el interior de la elipse, trabajamos con una integral propia.Si tuvieramos T ≤ 1 nos encontrarıamos ante una integral impropia.

El diferencial de superficie depende del valor absoluto del coseno de γ, pero dadoque hemos visto que n = n1, el cos γ > 0, por lo que:

ds =dxdy

|cos γ|; cos γ > 0⇒ ds =

dxdy

cos γ


Calculamos la integral y la compactamos:∫∫SF · nds =

∫∫T

(xz

a2cosα+

yz

b2cosβ +

z2

c2cos γ

)dxdy

cos γ=

=

∫∫T

(xz

a2

cosα

cos γ+yz

b2cosβ

cos γ+z2

c2

)dxdy =

=

∫∫T

xza2

xc

a2

1√1− x2

a2− y2

b2

+yz

b2yc

b21√

1− x2

a2− y2

b2

+z2

c2

dxdy =

=

∫∫T

(x2c2

a4+y2c2

b4+z2

c2

)dxdy =

=

∫∫T

(x2c2

a4+y2c2

b4+ 1− x2

a2− y2

b2

)dxdy =

=

∫∫T

(x2(c2 − a2

)a4

+y2(c2 − b2

)b4

+ 1

)dxdy

realizamos el cambio a coordenadas polares teniendo en cuenta los semiejes:

x = ar cos θ

y = br sen θ

}0 < r < 1

0 6 θ < 2π, J = abr

introducimos el cambio de coordenadas en la integral, con lo que nos queda:

ab

∫ θ=2π

θ=0

∫ r=1

r=0

((c2 − a2

)a2

r2 cos2 θ +

(c2 − b2

)b2

r2 sen2 θ + 1

)rdrdθ =

= ab

∫ θ=2π

θ=0

[(c2 − a2

)a2

r4

4cos2 θ +

(c2 − b2

)b2

r4

4sen2 θ +

r2

2

]r=1

r=0

dθ =

= ab

∫ θ=2π

θ=0

((c2 − a2

)4a2

cos2 θ +

(c2 − b2

)4b2

sen2 θ +1

2

)dθ =

= ab

((c2 − a2

)4a2

π +

(c2 − b2

)4b2

π + π

)

2. Hallar la integral de superficie∫∫S F · nds con:


el recinto S tiene las coordenadas del cubo formado por:

(0, 0, 0) , (0, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, 0)

(0, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)

y el vector n es exterior al cubo.


Comenzamos estudiando por separado cada cara del cubo. Necesito hallar el vectorn exterior a cada lado del cubo. En la cara con z = 0, n = (0, 0,−1) = −k =(0, 0, cos γ) , cos γ = −1. Hacemos lo mismo con cada una de las caras. Por ejemplo, enla cara x = 0, x = 0⇒ n = (−1, 0, 0) = −i = (cosα, 0, 0) , cosα = −1. Completandolos calculos para las otras caras obtenemos la siguiente tabla:

x = 0⇒ n = −i = (−1, 0, 0)

x = 1⇒ n = i = (1, 0, 0)

y = 0⇒ n = −j = (0,−1, 0)

y = 1⇒ n = j = (0, 1, 0)

z = 0⇒ n = −k = (0, 0,−1)

z = 1⇒ n = k = (0, 0, 1)

Estudiamos el valor de∫∫S F · nds en cada cara del cubo:

z = 1 ∫∫SF · nds =

∫ y=1

y=0

∫ x=1

x=0R (x, y, 1) cos γ

dxdy

|cos γ|=

=

∫ y=1

y=0

∫ x=1

x=0R (x, y, 1) dxdy

z = 0 ∫∫SF · nds =

∫ y=1

y=0

∫ x=1

x=0R (x, y, 0) cos γ

dxdy

|cos γ|=

= −∫ y=1

y=0

∫ x=1

x=0R (x, y, 0) dxdy

x = 1 ∫∫SF · nds =

∫ z=1

z=0

∫ y=1

y=0P (1, y, z) cosα

dydz

|cosα|=

=

∫ z=1

z=0

∫ y=1

y=0P (1, y, z) dydz

x = 0 ∫∫SF · nds =

∫ z=1

z=0

∫ y=1

y=0P (0, y, z) cosα

dydz

|cosα|=

= −∫ z=1

z=0

∫ y=1

y=0P (0, y, z) dydz

y = 1 ∫∫SF · nds =

∫ x=1

x=0

∫ z=1

z=0Q (x, 1, z) cosβ

dzdx

|cosβ|=

=

∫ x=1

x=0

∫ z=1

z=0Q (x, 1, z) dzdx


y = 0 ∫∫SF · nds =

∫ x=1

x=0

∫ z=1

z=0Q (x, 0, z) cosβ

dzdx

|cosβ|=

= −∫ x=1

x=0

∫ z=1

z=0Q (x, 0, z) dzdx

y el flujo total es la sumatoria de todos los subflujos.

Capıtulo 13

Teoremas integrales

13.1. Teorema de Green

Este teorema, tambien conocido como Teorema de Green en el plano y como Teoremade Green-Riemann, nos permite relacionar una integral de lınea con una integral doble.Para enunciar el teorema, necesito definir lo que es una curva de Jordan.

13.1.1. Curva de Jordan

Una curva de Jordan es una curva simple plana cerrada. Analizemos cada parte de ladefinicion por separado:

Curva plana: es una funcion α : [a, b]→ R2. Es plana por ser su imagen ∈ R2.

Cerrada: el principio de la curva coincide con el final, α (a) = α (b).

Simple: aparte del corte entre el principio y el final no presenta otros cortes: α (t1) 6=α (t2), si t1, t2 ∈ [a, b).

La caracterıstica de una curva de Jordan es que divide al plano en dos regiones, unainterior a la curva (acotada) y otra exterior (no acotada).

13.1.2. Teorema de Green-Riemann

Sea C una curva de Jordan regular a trozos. Sea R la union de la curva C con suinterior. Sean P,Q campos escalares de R2 → R diferenciables con continuidad en R.Entonces podemos afirmar:∫∫

R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∫CPdx+Qdy

donde el circulo sobre el signo de integral indica que la curva se recorre en sentido antiho-rario.

Este teorema funciona en los dos sentidos, por lo que si resulta complicado calcular laintegral doble, hago la integral a traves del camino cerrado, y viceversa.

137

CAPITULO 13. TEOREMAS INTEGRALES 138

13.1.3. Demostracion del teorema de Green

Vamos a demostrar el teorema dividiendolo en dos partes:∫∫R

∂Q

∂xdxdy =

∫CQdy∫∫

R−∂P∂y

dxdy =

∫CPdx

Vamos a demostrar la segunda parte, y la primera es analoga. Suponemos que R es unionde recintos que son simultaneamente de tipo I (para Pdx) y tipo II (para Qdy). Dado quevamos a demostrar la segunda parte, tomamos un recinto de tipo I, donde los lateralesson los dos segmentos verticales x = a, x = b, y los extremos superior e inferior estandelimitados por las curvas y = g(x), y = f(x) respectivamente.

La integral nos queda:∫∫R−∂P∂y

dxdy = −∫ x=b

x=a

∫ y=g(x)

y=f(x)

∂P

∂ydydx =−

∫ x=b

x=a[P (x, y)]

g(x)f(x) dx =

= −∫ x=b

x=a(P (x, g (x))− P (x, f (x))) dx =

=

∫ x=b

x=a(P (x, f (x))− P (x, g (x))) dx

Mantenemos este resultado aquı, y comenzamos a trabajar con la integral a traves dela curva C, recorrida en sentido antihorario. Procedemos a descomponer la integral encuatro partes, una para cada lado del recinto de Fubini. Denotamos cada lado como:

C1→ y = f (x)

C2→ x = b

C3→ y = g (x)

C4→ x = a

con lo que nos quedan las siguientes integrales:∫C1Pdx =

∫ x=b

x=aP (x, f (x)) dx∫

C2Pdx =

∫C4Pdx = 0∫

C3Pdx =

∫ x=a

x=bP (x, g (x)) dx = −

∫ x=b

x=aP (x, g (x)) dx

luego la integral

∫CPdx queda:∫

CPdx =

∫C1Pdx+

∫C2Pdx+

∫C3Pdx+

∫C4Pdx =

=

∫ x=b

x=aP (x, f (x)) dx+ 0−

∫ x=b

x=aP (x, g (x)) dx+ 0 =

=

∫ x=b

x=a(P (x, f (x))− P (x, g (x))) dx

con lo que queda demostrado .


13.1.4. Funcion Γ

La funcion Γ, ası como la funcion β que veremos a continuacion, estan definidas comointegrales impropias. En el caso concreto de la funcion Γ su expresion integral es:

Γ (n) =

∫ ∞0

tn−1e−tdt, n > 0

Pero a nosotros nos va a interesar mas su expresion recursiva, que nos permite definirla funcion Γ(n+ 1) en terminos de funciones Γ(n). Esta definicion recursiva de la funcionΓ se obtiene mediante integracion por partes, de la siguiente forma:

Γ (n+ 1) =

∫ ∞0

tne−tdt =[−tne−t

]∞0

+

∫ ∞0

ntn−1e−tdt =

= n

∫ ∞0

tn−1e−tdt = nΓ (n)

con lo que obtenemos la expresion recursiva de Γ (n):

Γ (n+ 1) = nΓ (n)

para todo numero n > 0. La funcion Γ no esta definida para n = 0.En caso de trabajar con numero enteros, la funcion Γ se comporta como un factorial,

de la forma:Γ (n+ 1) = n! si n = 0, 1, 2, . . .

En caso de tener numero negativos, podemos emplear la anterior relacion para hacer:

Γ (n) =Γ (n+ 1)

n

Algunos valores de la funcion Γ para numero enteros son, usando la definicion recursivade la funcion:

Γ (1) = (1− 1)! = 0! = 1

Γ (2) = 1Γ (1) = 1!

Γ (3) = 2Γ (2) = 2!

Γ (4) = 3Γ (3) = 3!

Y en caso de trabajar con numeros racionales:

Γ

(1

2

)=√π

Γ

(3

2

)=

(1

2

)Γ

(1

2

)=

√π

2

Γ

(5

2

)=

(3

2

)Γ

(3

2

)=

3

22

√π

Γ

(7

2

)=

(5

2

)Γ

(5

2

)=

3 · 523

√π


13.1.5. Funcion β

La funcion β se define en dos puntos a, y b, expresandose β (a, b).Como se indico antes, la funcion β tambien esta generada a partir de una integral

impropia, siendo en este caso:

β (a, b) =

∫ π2

0sen2a−1 θ cos2b−1 θdθ

o, lo que es lo mismo:

β (a, b) =

∫ π2

0senp θ cosq θdθ =

1

2β

(p+ 1

2,q + 1

2

)La funcion β se puede expresar tambien en terminos de la funcion Γ:

β (a, b) =Γ (a) Γ (b)

Γ (a+ b)

Un ejemplo de uso de la funcion β:

β

(2,

5

2

)=

∫ π2

0sen3 θ cos4 θdθ =

1

2β

(4

2,5

2

)=

1

2

Γ (2) Γ(

52

)Γ(

92

) =

=1

2

Γ(

52

)72

52Γ(

52

) =2

35

Cuando tengamos que emplear la funcion β para calcular integrales del tipo∫

sena θ cosb θdθcuyos extremos no sean

[0, π2

], podemos manipular la expresion de la integral si compro-

bamos el signo que toman las funciones sena θ, cosb θ y su producto en cada uno de loscuadrantes. Ası, por ejemplo, si tenemos que calcular una integral donde intervengansen3 θ cos4 θ, sabiendo que sen3 θ es positivo en el primer y segundo cuadrantes y negati-vo en el tercero y cuarto, y que cos4 θ es positivo en todos los cuadrantes, su producto,sen3 θ cos4 θ, tendra el mismo comportamiento que sen3 θ, es decir, positivo en el primer ysegundo cuadrantes. Con esto, podrıamos calcular las siguientes integrales:∫ π

0sen3 θ cos4 θdθ = 2

∫ π2

0sen3 θ cos4 θdθ∫ 3π

2


∫ π2

0sen3 θ cos4 θdθ

con lo que ya tendrıamos integrales que se corresponden con la expresion de la funcionβ, y podrıamos calcularlas de manera comoda mediante la relacion entre la funcion Γ y lafuncion β.

13.1.6. Ejemplos del teorema de Green

1. Calcular la integral: ∫C

x2 − y2

x2 + y2dx− 2xy

x2 + y2dy


cuando la curva C es:

Antes de comenzar a resolver el problema, vamos a comprobar que el recinto nopresente ningun problema. En este caso, el unico punto conflictivo serıa el (0, 0), queanularıa los denominadores, pero dado que dicho punto no pertenece a la curva, notenemos ningun problema.

Vamos a resolver el problema de dos formas: calculando la integral directamente ypor medio del teorema de Green.

Directamente:

Vamos a dividir la integral en 4 trozos:

• Semicircunferencia x2 + y2 = 16Parametrizamos la curva en ese trozo:

x = 4 cos θ

y = 4 sen θ

}0 6 θ 6 π

dx = −4 sen θdθ

dy = 4 cos θdθ

Reescribimos el integrando:∫x2 − y2

x2 + y2dx− 2xy

x2 + y2dy =

=

∫ θ=π

θ=0

((16 cos2 θ − 16 sen2 θ

)16

(−4 sen θ)− (32 sen θ cos θ)

16(4 cos θ)

)dθ =

=

∫ π

0

(−4 cos2 θ sen θ + 4 sen3 θ − 8 cos2 θ sen θ

)dθ =

=

∫ π

0

(−12 cos2 θ sen θ + 4 sen3 θ

)dθ

Vamos a calcular por separado las integrales, haciendo uso de la funcion β,para lo cual vamos a calcular el valor de la integral entre

[0, π2

]y compro-

bamos el signo que tomas las funciones seno y coseno:∫ π2

0cos2 θ sen θdθ =

1

2β

(3

2, 1

)=

1

2

Γ(

32

)Γ (1)

Γ(

52

) =1

2

Γ(

32

)1

32Γ(

32

) =1

3


La funcion sen θ es positiva en el primer y segundo cuadrantes, y la funcioncos2 θ es positiva es todos los cuadrantes, por lo tanto la funcion cos2 θ sen θes positiva en el primer y segundo cuadrante. Con esto, calculamos:∫ π

0cos2 θ sen θdθ = 2

∫ π2

0cos2 θ sen θdθ =

2

3

Hacemos la misma operacion con la otra integral:∫ π2

0sen3 θdθ =

1

2β

(2,

1

2

)=

1

2

Γ (2) Γ(

12

)Γ(

52

) =

=1

2

Γ(

12

)32Γ(

32

) =1

2

Γ(

12

)32

12Γ(

12

) =2

3

Comprobamos los signos, y vemos que la funcion sen3 θ es positiva en elprimer y segundo cuadrante, por lo tanto:∫ π

0sen3 θdθ = 2

∫ π2

0sen3 θdθ =

4

3

Regresamos a la integral original y terminamos de calcularla:∫ π

0

(−12 cos2 θ sen θ + 4 sen3 θ

)dθ = −12

2

3+ 4

4

3=−24 + 16

3=−8

3

con lo que ya hemos obtenido el valor de la integral en la 1a semicircunfe-rencia.

• Semicircunferencia x2 + y2 = 9Ahora vamos a calcular la integral de la segunda semicircunferencia, dondetenemos que tener en cuenta que hay que recorrerla en sentido antihorario,por lo que no podemos parametrizar como antes, ya que si parametrizo:

x = 3 cos θ

y = 3 sen θ

}la estarıa recorriendo en sentido horario (la recorrerıa igual que la prime-ra semicircunferencia). Cambiamos la parametrizacion para tener esto encuenta:

x = −3 cos θ

y = 3 sen θ

}0 6 θ 6 π

dx = 3 sen θdθ

dy = 3 cos θdθ

y procedemos a calcular la integral:∫x2 − y2

x2 + y2dx− 2xy

x2 + y2dy =

=

∫ π

0

((9 cos2 θ − 9 sen2 θ

)9

3 sen θ +(18 sen θ cos θ)

93 cos θ

)dθ =

=

∫ π

0

(9 cos2 θ sen θ − 3 sen3 θ

)dθ = 9

2

3− 3

4

3=

18

3− 12

3= 2


donde de nuevo hemos hecho uso de la funcion β para calcular su valor, dela misma manera que en el apartado anterior.

• Segmento entre [−4,−3]Parametrizamos:

x = t

y = 0

}− 4 6 t 6 −3

dx = dt

dy = 0

calculamos la integral:∫x2 − y2

x2 + y2dx− 2xy

x2 + y2dy =

∫ −3

−4

t2

t2dt− 0 =

∫ −3

−4dt = 1

y ya tenemos el valor en ese segmento.

• Segmento entre [3, 4]Parametrizamos:

x = t

y = 0

}3 6 t 6 4

dx = dt

dy = 0

calculamos la integral:∫x2 − y2

x2 + y2dx− 2xy

x2 + y2dy =

∫ 4

3dt = 1

y con esta ultima integral ya tenemos calculados todos los trozos en los quedividimos la integral original.

Una vez realizados todos los calculos, la integral a lo largo de toda la curvacerrada C es: ∫

C

x2 − y2

x2 + y2dx− 2xy

x2 + y2dy = −8

3+ 4 =

4

3

Mediante el teorema de Green:

Vamos a resolver ahora el problema por medio del teorema de Green, el cualnos dice: ∫

Pdx+Qdy =

∫∫R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy

En este caso:

P = x2−y2x2+y2

Q = −2xyx2+y2


Calculamos sus parciales:

∂Q

∂x=−2y

(x2 + y2

)− (−2x) (2xy)

(x2 + y2)2 =

=−2y

(x2 + y2

)+ 4x2y

(x2 + y2)2 =2x2y − 2y3

(x2 + y2)2

∂P

∂y=−2y

(x2 + y2

)− 2y

(x2 − y2

)(x2 + y2)2 =

=−4x2y

(x2 + y2)2

de esto, obtenemos:∂Q

∂x− ∂P

∂y=

6x2y − 2y3

(x2 + y2)2

con lo que el problema se reduce a calcular la integral doble a traves del re-cinto R, siendo este recinto la curva formada por las semicircunferencias y lossegmentos junto con su interior:

I =

∫∫R

6x2y − 2y3

(x2 + y2)2 dxdy

Pasamos a coordenadas polares, ya que si trabajo en cartesianas me encuentrocon raices. En polares, R es un rectangulo, con lo que nos queda:

I =

∫ θ=π

θ=0

∫ r=4

r=3

(6r3 cos2 θ sen θ − 2r3 sen3 θ

)r4

rdrdθ

sacando factor comun r y simplificando obtenemos:

I =

∫ π

0

∫ 4

3


)drdθ =

=

∫ π

0


)dθ =

= 62

3− 2

4

3=

4

3

que resulta ser lo mismo que obtuvimos al calcular la integral directamente sinemplear el teorema de Green.

2. Ejemplo del teorema de Green con una astroide.

Hallar el area de la region:

x2/3 + y

2/3 = a2/3

Comenzamos el problema comprobando de que figura se trata, en este caso nosencontramos ante una astroide. La parametrizacion de la astroide es:

x = a cos3 θ

y = a sen3 θ

}θ ∈ [0, 2π)


Vamos a calcular el area por dos caminos, de la misma forma que en el ejemploanterior. Comenzamos calculando la integral doble directamente.

Directamente:

El area a calcular viene dada por la integral:

A =

∫∫Rdxdy

introducimos el cambio de variable:

x = r cos3 θ

y = r sen3 θ

}0 < r 6 a

0 6 θ < 2π

y el jacobiano de dicho cambio es:

J =

∣∣∣∣ cos3 θ −3r cos2 θ sen θsen3 θ 3r sen2 θ cos θ

∣∣∣∣ = 3r sen2 θ cos2 θ

Calculamos la integral:

A = 3

∫ θ=2π

θ=0

∫ r=a

r=0r sen2 θ cos2 θdrdθ =

3a2

2

∫ θ=2π

θ=0sen2 θ cos2 θdθ

ahora calculamos esta integral por medio de la duncion β:∫ π2


1

2β

(3

2,3

2

)=

1

2

Γ(

32

)Γ(

32

)Γ (3)

=

=1

2

√π

2

√π

2

2!=

π

16

Necesitamos la integral: ∫ θ=2π

θ=0sen2 θ cos2 θdθ

y para calcularla, estudiamos el signo de las funciones seno y coseno. En estecaso, al estar ambas funciones elevadas al cuadrado, su signo es siempre positivo,por lo tanto: ∫ 2π

0= 4

∫ π2

0= 4

π

16=π

4

Con este valor, regresamos a la integral doble original:

A =3a2

2

∫ θ=2π

θ=0sen2 θ cos2 θdθ =

3

8πa3

con lo que obtenemos el valor de area de la astroide.


Por medio del teorema de Green:

El teorema indica: ∫∫Rdxdy =

∫CPdx+Qdy

donde la condicion del teorema nos dice:

∂Q

∂x− ∂P

∂y= 1

Procedemos a calcular. Si:

Q (x, y) = x2 P (x, y) −y2

entonces el area sera:

A =1

2

∫−ydx+ xdy

parametrizamos:

x = a cos3 θ

y = a sen3 θ

}dx = −3a cos2 θ sen θdθdy = 3a sen2 θ cos θdθ

con lo que el area queda:

A =1

2

∫ 2π

0

(3a2 sen4 θ cos2 θ + 3a2 sen2 θ cos4 θ

)dθ =

=3a2

2

∫ 2π

0sen2 θ cos2 θ

(sen2 θ + cos2 θ

)dθ = =

=3a2

2

∫ 2π


3

8πa2

que es lo mismo que obtenıamos calculando directamente.

13.2. Teorema de Stokes

Sea Γ una curva de Jordan regular a trozos. Sea T el interior de la curva Γ. Sear : R2 → R3 un campo vectorial definido en Γ∪T . Sea S = r (T ) una superficie parametricasimple y regular. Sea C = r (Γ) una curva. Sea F : R3 → R3, F = (P,Q,Z), F diferenciablecon continuidad en S ∪ C.

La idea del teorema es la siguiente: tenemos una curva Γ con su interior T . Esta curvava a engendrar un hemisferio de esfera, de manera que Γ engendra la circunferencia delhemisfero y T engendra su superficie.

Con todo esto, podemos asegurar que:∫∫R

rotF · nds =

∫CF · dα

donde n es el vector unitario en la direccion del pvf en cada punto de la superficie, ydonde C se recorre en el sentido que resulta de aplicar a r a la curva Γ, r (Γ), si la curvaoriginal Γ se recorre en el sentido antihorario.


En la practica, el teorema solo se aplica en este sentido:∫CF · dα =

∫∫R

rotF · nds

Para hacer la parametrizacion:


rotF =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)i+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)j +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k

con estas dos expresiones podemos escribir:∫∫R

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)dy ∧ dz +

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)dz ∧ dx+

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx ∧ dy =

=

∫CPdx+Qdy +Rdz

Este teorema esta relacionado con el teorema de Green, ya que si nuestra superficie Ses una superficie en 2D, el teorema se convierte en el teorema de Green. Podemos ver elteorema de Stokes como una generalizacion del teorema de Green para superficies en 3D,o ver el teorema de Green como un caso particular del teorema de Stokes para superficies2D.

13.2.1. Ejemplo del teorema de Stokes

Hallar la integral de linea: ∫Cydx+ zdy + xdz

donde C es la curva interseccion de estas dos superfcies en 3D:

x+ z = 2

x2 + y2 + z2 = 2 (x+ z)

}

Vamos a calcular el resultado directamente. La primera superficie es un plano, y paraver que es la segunda agrupo terminos:

x+ z = 2

(x− 1)2 + y2 + (z − 1)2 = 2

}

si hago:

z = 2− x⇒ (x− 1)2 + y2 + (2− x− 1)2 = 2 (x− 1)2 + y2 = 2⇒

⇒ (x− 1)2 +y2

2= 1

Con esto, aunque no sabemos la forma exacta de la curva, tenemos una informacionmuy importante, y es que su proyeccion sobre el plano z = 0 es una elipse.


Con la informacion que tenemos, ya podemos parametrizar, mediante parametros(x, y), lo cual me fuerza z = 2− x:

x = 1 + cos θ

y =√

2 sen θ

z = 1− cos θ

0 6 θ < 2π

dx = − sen θdθ

dy =√

2 cos θdθ

dz = sen θdθ

Calculamos la integral:∫Cydx+ zdy + xdz =

=

∫ 2π

0

(−√

2 sen2 θ +√

2 cos θ −√

2 cos2 θ + sen θ + sen θ cos θ)dθ =

= −√

2

∫ 2π

0

(sen2 θ + cos2 θ

)dθ = −

√2

∫ 2π

0dθ = −2

√2π

Ahora vamos a resolver el problema aplicando el teorema de Stokes.Partimos de:

x+ z = 2

(x− 1)2 + y2 + (z − 1)2 = 2

}y lo proyectamos sobre el plano XZ, con lo que la esfera deformada (una elipse) en

3D nos proyecta una circunferencia (sin deformar) sobre dicho plano, y con lo que vemosque el plano x + z = 2 es una plano diametral de la esfera, el cual pasa por su centro,por lo tanto la interseccion entre el plano y la esfera es una circunferencia maxima. Contodo esto, vemos que C es la circunferencia que define ese plano dentro de la esfera. Nosfalta averiguar quien es S. S puede ser el cırculo que acabamos de encontrar, pero tambienpuede ser el hemisferio superior de la esfera. Como ambas superficies nos sirven, tomamosla mas facil, en este caso el cırculo que define el plano. Por lo tanto:

F = yi+ zj + xk

rotF =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

y z x

∣∣∣∣∣∣ = −i− j − k

Parametrizo la superficie del plano:

r (x, y) = xi+ yj + (2− x) k

En este caso, el recinto T es la proyeccion de la elipse:

T =

{(x, y) ∈ R2 � (x− 1)2 +

y2

26 1

}


Hallamos el pvf :∂r

∂x× ∂r

∂y= −∂f

∂xi− ∂f

∂yj + k = i+ k

Calculamos la integral: ∫∫S

rotF · ndS = −2

∫∫Tdxdy

cambiamos a polares:

x− 1 = r cos θ

y =√

2r sen θ

}0 < r 6 1

0 6 θ < 2π, J =

√2r

y volvemos a la integral:

−2√

2

∫ 2π

0

∫ r=1

r=0rdrdθ = −2

√2

1

22π = −2

√2π

13.3. Teorema de Gauss

Este teorema nos realaciona una integral de flujo con una integral de superficie.Sea V una region del espacio 3D limitada por una superficie parametrica S. Sea n

la normal unitaria exterior a S en cada punto. Sea F : R3 → R3 un campo vectorialdiferenciable con continuidad en V . Con todo esto puedo asegurar:∫∫

SF · ndS =

∫∫∫V

divFdxdydz

Esta es la expresion compacta del teorema. Vamos a extenderla:


n = (cosα, cosβ, cos γ)∫∫SF · ndS =

∫∫S

(P cosα+Q cosβ +R cos γ) dS =

=

∫∫∫V

(∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

)dxdydz

Vamos a demostrar el teorema con la version extendida.Si puedo demostrar estas tres igualdades y las sumamos:∫∫

SP cosαdS =

∫∫∫V

∂P

∂xdxdydz∫∫

SQ cosβdS =

∫∫∫V

∂Q

∂ydxdydz∫∫

SR cos γdS =

∫∫∫V

∂R

∂zdxdydz

entonces tendremos toda la demostracion. Vamos a demostrar la tercera igualdad, ylas otras dos seran analogas.


∫∫SR cos γdS =

∫∫∫V

∂R

∂zdxdydz

Para demostrar esto, vamos a imponer dos restricciones que nos permitiran simplificarlos calculos: La superficie S la vamos a descomponer en tres partes:

1. S1, z = f(x, y) continua en T (la parte de arriba).

2. S2, z = g(x, y) continua en T (la parte de abajo).

3. S3, opcionalmente, una pared lateral vertical, perpendicular al plano XY.

La tercera parte, S3, puede que no aparezca si S1 y S2 encajan perfectamente.La segunda restriccion afecta a la tercera componente del vector n:

1. 3a componente positiva en S1.

2. 3a componente negativa en S2.

3. 3a componente nula en S3.

Con esto estamos indicando que el solido es proyectable en el plano XY .Con estas restricciones, puedo empezar a demostrar. Comenzamos con la integral triple:∫∫∫

V

∂R

∂zdxdydz =

∫∫T

∫ z=f(x,y)

z=g(x,y)

∂R

∂zdzdxdy =

=

∫∫T

(R (x, y, f (x, y))−R (x, y, g (x, y))) dxdy

Dejamos aquı la integral triple y trabajamos con la de flujo:∫∫SR cos γdS =

∫∫S1

R cos γdS +

∫∫S2

R cos γdS +

∫∫S3

R cos γdS

calculamos cada integral:

∫∫S3

R cos γdS = 0

ya que el S3 la tercera componente era nula, luego el coseno es 0.

∫∫S1

R cos γdS =

∫∫TR cos γ

dxdy

|cos γ|=

∫∫TR (x, y, f (x, y)) dxdy

donde el coseno es positivo porque la primera componente es positiva en S1.

∫∫S2

R cos γdS =

∫∫TR cos γ

dxdy

|cos γ|= −

∫∫TR (x, y, g (x, y)) dxdy

donde en este caso el coseno sale negativo, ya que la tercera componente en S2 esnegativa.


Con las tres integrales calculadas, las sumo:∫∫SR cos γdS =

∫∫S1

R cos γdS +

∫∫S2

R cos γdS +

∫∫S3

R cos γdS =

=

∫∫T

(R (x, y, f (x, y))−R (x, y, g (x, y))) dxdy

con lo que queda demostrado .

13.3.1. Anotacion sobre el teorema de Gauss

Para que el teorema funcione, la superficie tiene que ser cerrada. Pero si no lo es,podemos cerrarla nosotros mismos. Por ejemplo, para calcular una integral a traves de unapared cilındrica, el teorema no funciona porque la superficie no es cerrada, pero podemossolucionarlo agregando nosotros una tapa y una base a la pared.

13.3.2. Ejemplo del teorema de Gauss

Dado el campo F = zi+ yj + 2zk, hallar el flujo a traves de la parte de la superficie:

z = 7− x2 − y2

para la cual z > 0.En este problema, la superficie sobre la que tenemos que calcular el flujo es un pa-

raboloide bocabajo, y su proyeccion sobre el plano XY sera nuestro recinto T . Vamos acalcular directamente la integral

∫∫S F · ndS:

Parametrizamos:r (x, y) = xi+ yj +

(7− x2 − y2

)k

T ={

(x, y) ∈ R2 � x2 + y2 6 7}

El pvf es:∂r

∂x× ∂r

∂y=−∂f∂x

i− ∂f

∂yj + k = 2xi+ 2yj + k

Con esto, calculamos:∫∫SF · ndS =

∫∫T

(2xz + 2y2 + 2z

)dxdy =

= 2

∫∫T

(xz + y2 + z

)dxdy =

= 2

∫∫T

(x(7− x2 − y2

)+ y2 + 7− x2 − y2

)dxdy

Pasamos a polares y completamos el calculo:

2

∫ θ=2π

θ=0

∫ r=√

7

r=0

(r cos θ

(7− r2

)+ r2 sen2 θ + 7− r2

)rdrdθ =

= 2

∫ r=√

7

r=0

(r2π + 14π − 2πr2

)rdr = 2π

∫ r=√

7

r=0

(14r − r3

)dr =

= 2π

(7r2 − r4

4

)√7

0

= 2π

(72 − 72

4

)= 2π

3

472 =

3

2π72


Ahora vamos a hacer el calculo por medio del teorema de Gauss. En este caso, vemosque la superficie no es cerrada, y la cerramos nosotros poniendo como base el cırculo quecierra el paraboloide en z = 0. De este modo nos queda:∫∫

SF · ndS +

∫∫Base

F · ndS =

∫∫∫V

divFdxdydz

Calculamos la integral de la base, con n = (0, 0,−1) y z = 0:∫∫Base

F · ndS = 0

Calculamos la integral triple:∫∫∫V

divFdxdydz = 3

∫∫∫Vdxdydz

Pasamos a coordenadas cilındricas:

3

∫ θ=2π

θ=0

∫ r=√

7

r=0

∫ z=7−r2

z=0rdzdrdθ = 6π

∫ r=√

7

r=0

(7r − r3

)dr =

= 6π

[7r2

2− r4

4

]√7

0

= 6π

(72

2− 7

4

2)

=6

4π72 =

=3

2π72

con lo que podemos concluir que:∫∫SF · ndS =

3

2π72

Analisis Vectorial

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