Trigonometra 3 de Secundaria

Prof. Jhon Villacorta Villacorta - 1 -

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE

NGULOS EN POSICIN NORMAL II

11.. nngguullooss CCuuaaddrraannttaalleess

Entenderemos por ngulo cuadrantal a

aquel ngulo en posicin normal cuyo lado

final coincida con cualquier semieje del

plano cartesiano. La medida de este ngulo

siempre tendr la forma:

2

n ; n Z n. 90.

Ejemplo:

Para diferentes valores enteros de n

tendramos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; .

n . 90 = -270; -180; -90; 0; 90; 180; 270;

360;

El siguiente grfico muestra algunos

ngulos Cuadrantales y su medida.

22.. RR.. TT.. ddee nngguullooss CCuuaaddrraannttaalleess

DDoonnddee::

CCOOMMPPRROOBBAACCIINN

1. 1rr

y90sen

r

2. 0rr

x90cos

0

3. /r

y90tg

0

r

33.. RR.. TT.. ddee nngguullooss CCootteerrmmiinnaalleess

Si dos o ms ngulos son coterminales

entonces las Razones Trigonomtricas de

sus medidas tienen el mismo valor

numrico por ende diremos que son

iguales.

x

y

90 180

-90

m

R.T.

0,

360 90 180 270

0; 2 /2 3/2

Sen 0 1 0 -1

Cos 1 0 -1 0

Tg 0 N 0 N

Ctg N 0 N 0

Sec 1 N -1 N

Csc N 1 N -1

0 = Cero 1 = Uno N = No definido

x

y

90

(0; r)

r

La divisin de un nmero entre 0

(cero) es una operacin no

definida.

x

y (a; b)

R.T. = R.T.

Trigonometra 3 de Secundaria

Prof. Jhon Villacorta Villacorta - 2 -

PPrrccttiiccaa DDiirriiggiiddaa NN 0011

TTaarreeaa NN 0011

Ejercicios Resueltos

Son s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y final.

Ejemplos

1. Calcular:

8)Cos360(2Sen270

1)Cos180(3Sen90E

2

2

Solucin:

Reemplazando valores:

8)2(-1)

1(-1)3(1)E

2

2

1(

8

14E

2(-3)

2

17

17E

E = 1

1. Simplificar:

360cosab2

0cos)ba(90sen)ba(E

a) a b) b c) a-1

d) b-1

e) ab

2. Simplificar:

90cscab2

270sen)ba(0sec)ba(E

22

a) a b) b c) 1

d) 2 e) 4

3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x

Calcular: )2

(f

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x

Calcular: )4

(f

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

1. Calcular:

2abcsc270

cos1802

b)-(asec3602

b)(aE

a) 1 b) 2 c) 3

d) -3 e) -2

2. Calcular:

90cscb30seca

360cos)ba(90sen)ba(E

22

33

a) a b) b c) 2a

d) 2b e) ab

3. Si: 4

xtg

3

xcos

2

xsen)x(f

Calcular: f()

a) 1 b) 1,5 c) 2

d) 2,5 e) 3

Trigonometra 3 de Secundaria

Prof. Jhon Villacorta Villacorta - 3 -

Tarea N 01

4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

Calcular: )2

(f

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

5. Calcular:

E = (3Sen90 Cos180)2 + (Sen270 Cos360)

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

6. Reducir: nCos0mSen90

1805

Cos2

n903

Sen2

mC

a) m + n b) m n c) mn

d) nm

2n

2m

e)

nm

2n

2m

1. Calcular:

E = (2Sen180 Sen90)2 + (3Cos180 Cos90)

2

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

2. Reducir:

2703

Sen2

nmnSen270Cos02

m

Cos3603

nSen903

mJ

a) m n b) m + n c) m

d) n e) n m

3. Calcular:

Csc2702ab

Cos180b)(aSec360b)(aE

22

a) 1 b) 2 c) 3

d) -3 e) -2

4. Seale el signo de:

316Cos

124340.CtgSenP

a) (+) b) () c) (+) y ()

d) (+) () e) No se puede precisar

5. Seale el signo de:

1905

316.Sen3

Sec

3104

217.Sen3

160.Tg5

CosA

a) (+) b) () c) (+) y ()

d) (+) () e) No se puede precisar

6. A qu cuadrante pertenece , si: Cos < 0;

y Sen < 0?

a) IC b) IIC c) IIIC

d) IVC e) Es cuadrantal

7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

Calcular: )2

(f

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

8. Si: IIC, IIIC IVC

Indicar el signo de la expresin:

sectg

coscscE

a) + b) - c) + -

d) + - e) Todas son positivas

9. Calcular: E =

Sec2)2

3Ctg(

Cos-)2

2Sen(

a) 1 b) 1 c) 2

d) 3 e) 22

10. Seale el signo de:

1703

200.Cos4

Sec

1602

214.Tg5

170.Cos3

SenA

a) (+) b) () c) (+) y ()

d) (+) () e) No se puede precisar

Trigonometra 3 de Secundaria

Prof. Jhon Villacorta Villacorta - 4 -

=2(n)+ = 360(n)+ R.T[2(n)+]=R.T[]

R.T[360(n)+]=R.T[]

NGULOS COTERMINALES

Los ngulos se pueden medir en el sentido

del movimiento de las agujas del reloj (tiene

medida negativa) y al contrario del

movimiento de las agujas del reloj (con

medida positiva).

Dos o ms ngulos se denominan

coterminales, cuando tienen el mismo

lado inicial y el mismo lado final.

La diferencia entre dos o ms ngulos

coterminales es el nmero de vueltas

sobre el lado inicial.

Aqu es donde se justifica porque los

ngulos trigonomtricos no tienen lmites

en su magnitud, pues slo se diferencian

en el nmero de vueltas.

Ejemplos

Si dos o ms ngulos son coterminales

entonces las Razones Trigonomtricas de

sus medidas tienen el mismo valor

numrico por ende diremos que son

iguales.

Para encontrar un ngulo coterminal

positivo y uno negativo con un ngulo dado,

puede sumar y restar 360 si el ngulo es

medido en grados o 2 si el ngulo es

medido en radianes.

Ejemplo 1:

Encuentre un ngulo coterminal positivo y

uno negativo con un ngulo de 55.

55 360 = 305

55 + 360 = 415

Un ngulo de 305 y un ngulo de 415

son coterminales con un ngulo de 55.

En General:

EJERCICIOS DE NGULOS

COTERMINALES

Obs.: La diferencia es igual a 360

Los siguientes ngulos estn en la posicin

estndar, encuentre un ngulo coterminales

positivos.

1) 120 --- > 480

2) 135 --- > 495

3) 240 --- > 600

4) 315 --- > 675

5) 60 --- > 420

6) 90 --- > 450

7) -30 --- > 330

8) -150 --- > 210

9) 150 --- > 510

10) -45 --- > 315

x

y (a; b)

R.T. = R.T.