CONSTRUCCION ALGEBRAICA DELANILLO Z DE LOS NUMEROS ENTEROS

Por el Profesor J. R. Poscual Ibarro

1. EL CONJUNTO N DE LOS NUMEROS NATURALES

Se supone conocido el conjunto N de los números naturales (com-prendido el cero) y definidas en él las operaciones de adición y mul-tiplicación. Se han estudiado también las propiedades de estas ope-raciones :

1. Connzutativa:

a-}-b=b fia a•b=b•a

2. Asoci^t^iuu:

(a-{--b)-} c-=a-}-(b-±-^? ( a•b)•c=a• (b•c)

3. Elementos neutros:

a-', u==o-;-a=-n. a•1 =1•a= a

4. Distributiva de la mziltiplicación sobre la adición:

(a-{-bj•c=a•c+-b•c.

Las ecuaciones:

a-^-x=b y a•x=b

no tíenen siempre solución en N. Para que exista un xEN, la. primeraexige que b^ a, y la segunda que a I b.

Tratamos ahora de construir un conjunto Z, en el cual la ecua-ción x-} x== 8 tenga solución, cualesquiera que sean xEZ y(iEZ.

2. CONJUNTO N

Recordemos que se llama producto cartesiano, A X B, de dos con-juntos A y B, al conjunto Tormado por todos los páres ordsnados(a, b), aEA y bEB. En particular, el conjunto N X N es el conjunto detodos los pares ordenados de nízineros naturales.

J. R. PASCUAL IBARRA

3. REPRESENTACION GRAFICA DE N X N

El conjunto N puede representarse por puntos equidistantes sobreuna temirrecta :

0 i Z 3 ^F^ ...

Si consideramos dos semírrectas de origen común O, podemos re-presentar el conjunto N X N por los puntos vértices de un retículo:

:

I,y i,^i ^,4 3. ^f ^^4

, 3 !,3 z,3 3, 3 ^i, 3

^;2 !,2 z,2 3,z ^f,2

^,^ ^,! 2,! 3,1 ^f,!

D,o !,Q z,0 3,0 ^io .

4. RELACION E DE EQUIVALENCIA

En el conjunto producto N X N definiremos la relación binaria E,anotada H :

E: (a,b)^(a`•b')^a-^b'=b-^-a'.

Se trata dé una relación de equivalencia, pues, en efecto:

I. Es reflexiva:

a-}-b=b^-a^(a, b)^(a, b).

CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL ANILLO Z 3^1

g. REPRESENTACION GRAFICA DE Z

Si ahora damos un giro a la semirrecta Oy hasta colocarla en laprolongación de la semirrecta Ox, tendremos representado el con-junto Z sobre puntos de la recta Y^.

Y ••-_-,^ ^-3

^ ^ . ^Co +i +2 ^^ ;^ • • •

10. ADICION DE NUMEROS ENTEROS

DEFINICIÓN :

( a. b ) -i- ( c, d ) _ (a -f- c, b -I- d ).

a) Propiedad uniforme:

(a, U) (a', b') ^ a-{- b' _= b-}- a' ^ a -}- b' f- c--^ d' =

( c, d ) _ ( c ^ , d' ) ^ c -^- d' _= d -^- c' ^ = b -f - a' - ^ d ^- c' ^

( a -{ c ) -^ ( b' -^- d' ) ^- ( b + d ) ^- ( a' ^+ c' ) -^ ( a -L c, b -{- d ) __

__ (a^ I- ^^, b^ + d^) _,^ (a, b^ + ( c, d) _ (a', b') + (c', d'^.

La adición que hemos definido en N^ N es, pues, estable frente ala relación E, o sea, es una operación definida en Z: x -{- ;3 es inde-pend.iente de los elementos elegidos en cada clase.

Utilizando, por tanto, los elementos canónicos: ^Podemos, por tanto, utilizar los elem^ntos canónicos. Se presen-

tan los siguientes casos:

I.

o sea,(nz, o) ^ (n, o) -_ (nz ^- n, c),

^ (^-- m) + (-{- n) _ + (nz + n) (

II. a) Si m>n:

(rn, o) -{- (o, n) __ (m, n) ^= ( ryn - n, o).es decir:

^ (-{ ^ Tia) -I^ (- n) - (m - n) ^

b) Si na C n:

(nt, o) - ^ (o, n) = (^^a, n) = ( o, n - ^^a)

s

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esto es:

c) Sim=n:

J. R. PASCUAL IBARRA

I (-}- m) -f- (- n) _ - (n - m) I

(m, o) -}- (o, n) _ (m, n) _ (o, o)

o lo que es lo mismo :(-^ m) -^ (- m) = o

III.(o, m) -}- (o, n) _ (o, m + n)

que se puede escribir:

I (- m) -I- ( n) _ - (m -{- n) I

que constituyen la conocida regla de los signos de ]a adición de nú-m.eros enteros.

Son inmediatas las propiedades:

b) Conmutativa:

I x^-^=^-^x I

c) Asociativa:

I (x-I-^S)^Y-x-i-((^+Y) I

d) Elemento neutro:

( x--{- O = 0-{- x= x I

e) Elementos opuestos: Cualquiera que sea xEZ, se le puede aso-ciar un x'EZ, tal que:

^ x+x'-O I

En efecto, six = _j- m ,_a x, _ - ^n

x=-nR.,,x'=-{ n

x=OK, x'=0

Por verificarse a), c), d) y e) el conjunto Z es un yrupo aditivo,y por verificarse b) es además conmutativo.

CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL ANILLO Z

11. ISOMORFISMO ENTRE N y Z+

363

Podemos establecer la siguiente correspondencia biunívoca entreel conjunto N de los números naturales y el subconjunto Zy de losenteros posttivos:

`dn: nEN ,,,, (-}- n)EZ+.

Esta correspondencia es compatible con las operacion^ s de adi-cidn definidas en ambos conjuntos. Es decír, cualesquiera que seana y b, naturales :

a ,^„ -^- a

b ,^„ -}- b

a ^-- b ,^„ (-}- a) ^- ( + b) _ + (a + b).

Por tanto, el semigrupo aditivo N es tsomorfo al semigrupo adí-tivo Z+. Identificando ambos conjuntos, se tiene:

N=Z+cZ.

12. RESOLUCION DE LA ECUACION a-{- x= b

1° Si b>a,x=b-a, xEN.

2 " Si b = a,, x = o, xEN.

3° Si b< a, operaremos en el conjunto Z sustituyendo a y b porsus correspondientes en el isomorfismo N,^„ Z+:

(-F a) -f- x = -^b ^ (- a) + ( + a) ^- x = ( + b) + (--- a) ^^ x = (-{- b) -}- (- a) _ - (a - b), xEZ-.

13. MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

DEFINICIÓN :

(a • b) X(c, d) _(ac -f- bd, ad -{- bc).

a) Propiedad uni for^ne:

ac -^ b'c = bc -{- a'c(a, b) _(a', b') ^ a-{- b' = b-}- a' bd -}- a'd = ad -+- b'd

^( c, d) _( c', d' )^ c-}- d' = d-}- c' a'c -^- a'd' = a'd -^- a'c'

b'd -^ b'c' = b'c -f- b'd'

36^9 J. R. PASCUAL IBARRA

_> ac + bd -}- a'd' -^- d'c' = bc + ad + a'c' -}- b'd' ^^ (ac -}- bd, ad -} bc) -_ (a'c' -F- b'd', a'd' + b'c') ^

^(a, b) X(c, d) _(a', b") X( c' d').

Por tanto, la multiplicación, inicialmente d.efinida en el conjun-to N X N, es estable frente a la relación de equivalencia E, o sea, esuna operación definida en Z. El producto x•(i es independiente delos elementos elegidos en cada clase. Operando con los elementoscanónicos se obtiene :

( ^ m) • (--^- n) _^ -^- ^na • n

( -{- m) • (- n) = - m • n

(-- m) • (-} n) _- __ na • n

(- m) • (- n) _ -}- m • n

igual.d.ades que constituyen la conocida "regla de los signas" de lam.ultiplicación de números enteros. ,

Son inmediatas, ahora, las propiedades:

b) Conmutativa:

xX(i=(i^x.

c) Asociativa:

(x í^ (i) i^ Y - z x((j i^ '!)

d) Elemento neutro:

x.(_{ ^)_-(_} !)•x x.

14. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La multiplicación d.e números enteros es distrib2ctiva sobre la adi-ción:

(x^Íj)''(_=x'Y+^j'Y•

15. ANILLO 7 DE LOS NUMEROS ENTEROS

Un conjunto C ^^ dice que tiene estructura de canillo, o que es unanilla cuando en él están definidas dos operacion^s internas, adicióny m.ultiplicación, tales que por la primera es un grupo aditivo con•mutativo, y la segunda es asociativa y distributiva sobre la pritnera.Cuan.do la segtmda es, además, conmutativa, el anillo se ll;^ma con-mutativo. Si la ^rultiplicación posee elemento neutro (unidad), es un

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anillo unitario. Diremos, por tanto, que el conjunto Z es ur. anilloconm.utativo y unitario. Se trata además de un dominio de integri-dad, por ser unitario y no tener divisores de cero, o sea, x• f^ - 0implica que x- 0 0(3 = 0.

16. ISOMORFISMO

La correspondencia N,^, Z^ es también compatible con la multi-plicación. Por tanto, ambos semigrupos son también isomorfos, comoen el caso de la adición, respecto a la operación de multiplicar:

N Z+

a R_, -{-- ab R , --(- b

a•bR^( I_a)• (-}-b)_ -{-(a•b).

17. OBSERVACION

Dado un número entero x$ I, no existe un elemento x-'EZ, talque:

x•x'--{-1.

Por tanto, la ecuación :a • x- b,

tampoco tiene solución en Z cuando a no divide a b. La solución deesta ecuación, en el caso general, éxige, pues, una ampliación delconjunto Z, o sea, la construcción del cuerpo Q de los números ra-cionales.

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LA ENSENANZADE LAS

LENCUAS CLASICAS(Ed. de la Universidad de Cambridge. Traducciónde Victor José Herrero y José María Belinchón)

Ptas. 146 (ei• tela)

PEDIDOS ,4: REVISTA "ENSEÑANZA MEDIA"