ANALISIS DE FRECUENCIA EN

HIDROLOGIA

JULIAN DAVID ROJO HERNANDEZ

Probabilidad - Perodo de retorno y riesgo

La probabilidad de ocurrencia de un fenmeno en hidrologa puede citarse de varias Formas:

El evento hidrolgico posee una probabilidad de ocurrencia del 2%

El evento hidrolgico se presenta una vez cada 10 aos.

Existe una relacin entre probabilidad de ocurrencia de un evento hidrolgico y tiempo de recurrencia el fenmeno. Por ejemplo:

Si un suceso hidrolgico se presenta (en promedio) una vez cada 10 aos, su probabilidad de ocurrencia ser 0.1 (10%).

Si la probabilidad de ocurrencia de un determinado fenmeno hidrolgico es de 0.04 (4%), significa que dicho fenmeno se presentar ( en promedio) 4 veces en 100 aos, es decir, una vez cada 25 aos.

Perodo de retorno (Tr)

Se define el perodo de retorno, Tr, de un evento de cierta magnitud como el tiempo promedio que transcurre entre la ocurrencia de ese evento y la prxima ocurrencia de ese evento con la misma magnitud. Se define tambin como el tiempo que transcurre para que un evento sea excedido o igualado, al menos una vez en promedio. Si P es la probabilidad de excedencia, entonces:

Tr

1=P

Riesgo

Supngase que se calcula un cierto caudal para el periodo de retorno de 50 aos, entonces la probabilidad de que se produzca dicho caudal este ao ser de 0.02 (1/50). Si este ao no se produce dicho caudal, La probabilidad de que se produzca el ao siguiente sigue siendo 0.02. en cualquier ao la probabilidad es 0.02. Surge una pregunta: Cual es la probabilidad de que se presente dicho caudal durante los prximos n aos?:

Probabilidad de que un suceso de periodo de retorno T se presente este ao.. 1/T

Probabilidad de que un suceso de periodo de retorno T NO se presente este ao 1- 1/T

Probabilidad de que un suceso de periodo de retorno T NO se presente en dos aos.(1- 1/T) (1- 1/T)

Probabilidad de que un suceso de periodo de retorno T NO se presente en n aos..(1- 1/T)^n

Probabilidad de que un suceso de periodo de retorno T SI se presente en n aos.. 1- (1- 1/T)^n

Entonces la probabilidad de que s se presente alguna vez un suceso hidrolgico con periodo de retorno de T durante los prximos n aos se denomina Riesgo.

n

Tr

11-1=R

Ejemplo1: Se va a construir un canal cuya vida til es de 75 aos. Si el caudal supera el valor correspondiente al perodo de retorno de 100 aos se desbordar. Cual es la probabilidad de que se produzca algn desbordamiento en los prximos 75 aos.

Ejemplo2: Se esta diseando una obra cuya vida til se estima en 50 aos y se admite que el riesgo de dao sea del 10%. Cual debe ser el periodo de retorno del caudal de diseo? (Tarea)

%9.52529.0100

11-1

11-1=R

75

n

Tr

Factor de frecuencia

Recordando el proceso de estandarizacin tpico de la distribucin normal, la variable aleatoria estandarizada se defina como:

Por tanto se puede inferir que:

Y para una muestra poblacional:

Es decir, el valor esperado de una variable aleatoria para para un determinado periodo de retorno T (xt) depende de su media y ser proporcional a su desviacin estndar, en general:

Donde la constante de proporcionalidad kt se conoce como factor de frecuencia y depende, de la probabilidad de ocurrencia (el periodo de retorno) y su fdp.

ii

xz

xsx ii zx

ii zx

xsx TT kx

Intervalos de confianza

Cuando se desea hallar cualquier estadstico, por ejemplo la media,

generalmente se dispone de una muestra de tamao limitado.

Se quiere saber qu tan cercano puede estar ese estimado al

verdadero valor desconocido de la poblacin.

En otras palabras, se quisiera conocer con una cierta certeza

(probabilidad) la franja de valores entre los cuales se encontrara el

verdadero valor de la poblacin.

Franja grande: mucha incertidumbre.

: Nivel de confianza o nivel de probabilidad.

ST: Error estndar.

El error estndar, ST, es una medida de la desviacin estndar de la

magnitud de un evento calculado a partir de una muestra respecto a la verdadera magnitud del evento.

SZX ETi 2/1

2

K+ 1

N

= S

2

xET

2

1

Ejemplo: Caudales de ro Escondido

Cual es el caudal correspondiente a un TR=100 aos, si tienen una distribucin normal. N=25 aos.

=283.5 m3/s

=24.8 m3/s

En este caso se puede escribir:

P= 1/Tr = 0.01

Fu(K) = 1 - P = 0.99

K= z = Fu-1 (0.99) Tabla K=2.326

18.341

8.24326.25.283

100

100

Q

KQ

Intervalos de confianza para =5%:

smSzX

Tablazz

ETT /07.1119.34171.896.118.341

96.1

3

1

975.02/1

71.8 2

K+ 1

N

= S

2

xET

2

1

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN EL ANLISIS DE

FRECUENCIAS

Muchas variables naturales se ajustan a la distribucin simtrica propuesta por Gaus. Sin embargo existen casos en los que no existe la misma proporcin de los pequeos que de los grandes. Dando como resultado una fdp asimtrica.

En hidrologa los caudales y las precipitaciones medias anuales suelen ajustarse a la distribucin simtrica de Gaus. Pero los caudales y las precipitaciones mximas o mnimas (extremos) no. Estos ltimos suelen ajustarse a campanas asimtricas

Distribuciones simtricas y asimtricas

Los matemticos han encontrado para nosotros las ecuaciones de muchas de las campanas asimtricas.

Distribuciones Asimtricas continuas:

Distribucin General de Valor Extremos (Gumbel)

Distribucin Gamma (Pearson)

Distribucin Log Normal

Distribucin Log Gumbel

Distribucin Log Pearson.

Para cada distribucin existen ecuaciones que permiten determinar el factor de frecuencia para un determinado Tr y su respectiva banda de error.

Distribuciones de probabilidad para anlisis de frecuencias.

Distribucin General de Valor Extremo

Los valores extremos son valores mximos y mnimos seleccionados de un conjuntos de datos.

Las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier distribucin de probabilidad convergen en una de las tres formas de distribucin de valor extremo, llamadas:

Tipo I: Gumbel

Tipo II: Frechet

Tipo III: Weibull

Funcin de Distribucin de probabilidad para la GEV

/1

-1-exp=F(x)x

Donde:

, y son parmetros que deben ser determinados.

Los tres casos limitantes son:

1. = 0 Distribucin de Valor Extremo Tipo I (Gumbel)

Rango:

Estimacin de parmetros:

-x-exp-

-x-exp

1=f(x)

x-

5772.0 x

6

=

2. < 0 Distribucin de Valor Extremo Tipo II (Frechet)

Rango:

3. > 0 Distribucin de Valor Extremo Tipo III (Weibull)

Rango:

/1

-1-exp=f(x)x

x)/(

/1

-1-exp=f(x)x

)/(x

Distribucin Gumbel

Intervalos de confianza: Que tan cercano puede estar el estimado al valor verdadero desconocido de la poblacin.

: Nivel de confianza o nivel de probabilidad

ST: Error estndar

1-Tln-Tlnln+0.5776-=K rr

SuX T2-1T

N=ST

^

K1.1+1.1396K+1= 2

1/2

xx

exp-expF(x)

La fda y el factor de frecuencias es:

Como ajustar la fda de la distribucin Gumbel a una muestra de datos (Fcil)

Mtodo 1: (rpido, buenos resultados)

Siendo:

Mtodo 2: (EL mejor, mas preciso)

xbxaexp-expF(x)

xSa

2825.1 xSXb 45.0

c exp-expF(x)

bxac

x

y

Sa

aXb

y

Ejemplo 1: Gumbel

De una serie de 55 caudales extremos se sabe que su media es 21.97 m3/s y la desviacin estndar es de 13.22 m3/s.

a) calcular la probabilidad de que se supere un caudal de 60 m3/s.

b) Cul caudal se superar el 1% de los aos?.

Por el mtodo 1)

Ejemplo 3 : Distribucin Gumbel

Los caudales mximos del rio Nare tienen una distribucin Gumbel, determinar el caudal con Tr de 100 aos si se sabe que el valor medio es de los mximos es de 94.35 y su desviacin de 22.45 y sus intervalos de confianza

KTr=100 = 3.13

)1ln(lnln577.06100

RR TTK

N=ST

K1.1+1.1396K+1= 21/2

= 3.91

ST = 14.62

QTR 1.6*14.62

141.4 164.77 188.17 m3/s

Ejemplo: Distribucin Gumbel

Intervalos de confianza:

TTr SQ 95

Distribucin Gamma (2 Parmetros)

Una de las mas usadas en Hidrologa.

Crecientes mximas anuales

Caudales mnimos

Volmenes de flujo anuales y estacionales

Valores de precipitaciones extremas

Volmenes de lluvia de corta duracin

Tiene 2 3 parmetros (Pearson Tipo III).

ex

)(||

1=f(x)

x-

1-

Parmetros y Factor de frecuencia

(Parmetro de escala)

> 0 (Parmetro de forma)

() es la funcin Gamma completa

Estimacin de parmetros: Mtodo de los momentos

dzez=)(z-1-

0

=

22 =

Distribucin Gamma 3 Parmetros(Pearson Tipo III)

Funcin de distribucin de probabilidad

Funcin de densidad acumulada

Parmetros

y , parmetros de escala y forma respectivamente.

xo parmetro de localizacin.

x-x-exp

x-x

()||

1=f(x) oo

1-

dzez=)(z-1-

0

Xxx

dxxx

exXP

0

1

0

0

)(

1)(

Parmetros e Intervalos de confianza (Funcin Gamma)

Estimacin de Parmetros: Mtodo de los momentos

Que tan cercano puede estar el estimado al verdadero valor

desconocido de la poblacin: Conocer con cierta certeza. Franja

grande: mucha incertidumbre.

: Nivel de confianza o nivel de probabilidad

ST: Error estndar

2

2=

SuX T21T

N=ST

2

=

=X0

Tabla Factor de frecuencia Pearson tipo III

Valores de para la Distribucin Gamma Pearson tipo III

Ejemplo: Distribucin Gamma

Hallar el QTR=100. Si la distribucin de los caudales de la estacin de Nare

es Gamma.

= 94.35 m3/s y = 22.45 m3/s, = 0.845

Y = 4.52 y Y = 0.2337, Y = 0.0069

De tabla: K = 2.32

QTR=100 = 94.35 + 2.32*22.45 = 146.4

Intervalos de confianza:

SuX T21T

De tabla =4.7, N= 36 datos.

ST = 17.6

De tabla 95=1.6

146,4 1.6*17.6

146.4 28.16 m3/s

NST

Distribucin Log Normal

En general, cuando la variable aleatoria X es el producto de un gran

nmero de otras variables aleatorias, la distribucin de los logaritmos

de X puede aproximarse a la Normal, ya que los logaritmos de X son la

suma de los logaritmos de los factores contribuyentes.

Si se tiene una variable aleatoria X y ln X = Y, se ajusta a una

distribucin Normal, se dice que la variable aleatoria X es log

normalmente distribuida.

Funcin de Distribucin de Probabilidad

Asumiendo Y = loga (X)

-y

2

1- exp

2x

1 = f(x)

2y

y

2

y

Parmetros y Factor de frecuencia

Media (Parmetro de escala)

Desviacin estandar (Parmetro de forma)

Estimacin de parmetros: Mtodo de los momentos

K es la misma de la distribucin normal

Si se quiere trabajar con la variable no transformada en el campo logartmico se tiene que:

N

1iiaY )X(log

N

1

21N

1i

2

YiaY )X(logN

1

yyT K+=Xln

Cv

1-2

Cv+1ln-Cv+1lnKexp

= K

22 1/2

T

TFu

11

1

Es el inverso de la funcin de distribucin Normal

estandarizada acumulada y Cv es el coeficiente

de variacin

T

1-1F=K

r

1-T u

SXln T2-1T u

N=S

YT

2

K+1=2T

1/2

Intervalos de confianza

: Nivel de confianza o significancia

ST: Error estndar

Ejemplo: Distribucin Log Normal

La media y desviacin estndar de los Qmax anuales de la estacin del ro Nare son:

=94.35 m3/s y =22.45 m3/s

Y=4.52 y Y=0.2337

Hallar el QTR=100 si los Qmax tienen una distribucin Log Normal.

K=2.326

QY Tr=100=4.52+2.326*0.237

QTr=100=159 m3/s

Intervalos de Confianza: Ln(QTR=100) 95ST

Es un intervalo de dos colas, con una probabilidad en cada una de 5%

=1.92

ST=0.075

5.0711.6*0.075

4.94 QY 5.14 139159 170 m3/s

N=S

YT

2K+1=

2T

1/2

Distribucin Log Pearson Tipo III

Funcin de distribucin de probabilidad

Parmetros

y , parmetros de escala y forma

y yo parmetro de localizacin

Estimacin de Parmetros

Mtodo de los momentos

e y-(x)ln

)( x

1=(x)

o y-(x)ln -o

1-

xf

2

y

2

2

=

y

y

y y0

Factor de Frecuencia:

Intervalos de Confianza: Que tan cercano puede estar el estimado al verdadero valor desconocido de la poblacin: Conocer con cierta certeza. Franja grande: mucha incertidumbre.

: Nivel de confianza o nivel de probabilidad ST: Error estndar

K+=Xln=Y yyTT

T2/1T SXln

SuX T2-1T

N=S

yT