Análisis de la Estabilidad Relativa del...

ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA MECÁNICO ARO –BARRA CON LIGADURAS NO HOLÓNOMAS

PROYECTO FIN DE CARRERA

Capítulo 4.

Análisis de la Estabilidad Relativa del Sistema.

En este capítulo analizaremos la estabilidad relativa de los puntos de equilibrio hallados en el capítulo anterior, es decir, veremos como se comporta nuestro sistema cuando, estando en equilibrio, lo perturbamos sacándolo de este estado y lo dejamos evolucionar libremente a continuación.

4.1- Introducción.

El objetivo de esta sección es, dado que las soluciones no se han calculado expresamente y que nos hemos limitado a estudiar la influencia que el valor de los autovalores, dependientes de la velocidad angular de giro, tienen en la estabilidad del sistema, mostrar gráficamente el comportamiento del mismo una vez perturbado. Se pretende confirmar visualmente lo discutido en el capítulo anterior, la evolución del conjunto aro-barra cuando las condiciones iniciales, sin ser las dadas para el equilibrio, se encuentran muy próximas a las mismas.

Para representar gráficamente cada uno de los casos se hará uso del programa Dynamics Solve. Introduciremos las ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales para cada hipótesis, obteniendo como salida, gráficas representativas de las distintas evoluciones del sistema, calculadas por el programa numéricamente.

4.2- El Programa.

Dynamics Solve está destinado a resolver problemas de sistemas dinámicos, discretos o continuos, con condiciones iniciales y/o de contorno.

La introducción de los datos y de las expresiones matemáticas que recogen la física del problema se realiza mediante ventanas de diálogo, obteniéndose los resultados de forma numérica y a través de gráficos. Permite trabajar y mostrar no sólo las soluciones del problema sino también sus derivadas y los distintos parámetros presentes.

Presentado por: D. Juan de Dios Rey Morillo Página 43 de 77



Las presentaciones gráficas aportarán una comprensión más intuitiva, de aquellas expresiones matemáticas complejas cuyas soluciones, bien son difíciles de obtener de manera exacta, bien sólo podremos obtenerlas numéricamente.

Los datos, parámetros, condiciones iniciales, aparte de las ecuaciones, se introducirán mediante cuadros de diálogos semejantes al mostrado:

Fig 4.1: Tipo de sistema y número de variables.

Tenemos un sistema de tres ecuaciones diferenciales de segundo orden, que para poder introducirlo en el programa necesitamos convertirlo en un sistema de seis ecuaciones diferenciales de primer orden.

Una vez abierto un nuevo ejercicio, comenzamos picando Edit en la barra de herramientas, para seguidamente y de forma sucesiva ir entrando en los diferentes campos que nos permitirán introducir todos nuestros datos. El campo Type es el que nos proporciona la primera ventana mostrada, aquella en que definimos el tipo de ecuaciones y la dimensión del sistema, o número de nuestras variables.

En la ventana correspondientes a los cuatro campos siguientes, definiremos las seis variables, todas ellas dependientes del tiempo, e igualmente haremos con los parámetros y las condiciones iniciales, picando en cada una de las pestañas.




Fig 4.2: Entrada de Variables.

Fig 4.3: Entrada de Ecuaciones.

Cumplimentados los campos correspondientes a la introducción de los datos, y decidido cuales serán las variables cuyas soluciones queremos hallar y representar, picamos en Output en la barra de herramientas. El campo New grap window nos permitirá abrir una ventana de salida gráfica y nos mostrará un cuadro de diálogo donde decidir cuales serán las variables a representar, así como sus rangos de visión, colores, etc.




Fig 4.4: Nueva ventana gráfica.

Fig 4.5: Cuadro de diálogo para la ventana gráfica.

Las figuras 4.4 y 4.5 muestran las ventanas obtenidas al picar en el campo New grap window.




El último paso para la resolución del problema es picar en el logotipo Go de la barra de herramientas. El programa mostrará en cada una de las ventanas de salida gráfica, la curva o curvas correspondientes a las variables seleccionadas con antelación.

Será en el próximo apartado donde se recogerán las distintas presentaciones, correspondientes a cada uno de los casos que se analizan.

4.3- Equilibrios Relativos.

Analizaremos la estabilidad del sistema aro-barra en torno a cada uno de los puntos de equilibrio hallados.

Las expresiones a considerar serán las deducidas al linealizar el segundo caso, aquellas que se expresaron en la forma:

0ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

=+

+

+

DCBA

ψθϕ

ψθ

ϕ

ψθ

ϕ

en el apartado 3.3.2 del capítulo anterior.

Para introducirlas en el programa, dado que este no acepta letras griegas, establecemos:

=

PsThPh

ψθϕ

y

=

PsiThetaPhi

ψθϕ

Las tres últimas relaciones mencionadas, conforman junto con las tres anteriores el sistema de seis variables que se introducirá finalmente en el programa. Las derivadas primeras de estas variables deberán despejarse en función de las propias variables y los parámetros existentes.

Por la misma razón expuesta arriba se introducirán:

ππα+

==1

a yπ

β+

==1

1b

como parámetros.




4.3.1- Estabilidad para el punto de equilibrio 00 =ψ .

A continuación se mostrarán los resultados gráficos obtenidos para cada una de las variables, y los compararemos con lo dicho en el capítulo 3.

a) La primera serie tendrá las siguientes condiciones iniciales:

00001.00

00

===

PsThPh

0000

0

==

=

PsiTheta

VariablePhi

Se estudiará como afecta una pequeña desviación respecto a la vertical de equilibrio y se modificará la velocidad de giro, mostrando la evolución en un mismo grafo.

El rango visual para la variable Th se limitará a

∈

2,0 πTh y el de t dependerá

del valor inicial para la velocidad de giro.

Fig 4.6: Relación Ph-t en función de Phi para Th=0.001.

Fig 4.7: Relación Phi-t para Th=0.001.




Fig 4.8: Relación Phi-Ph para Th=0.001.

Se observa que la variación del ángulo de giro es lineal y dependiente del tiempo.

Fig 4.9: Relación Th-t para distintos Phi.

Fig 4.10: Relación Theta-t para distintos Phi.




Fig 4.11: Relación Theta-Th para distintos Phi.

Estos tres gráficos muestran la evolución temporal, tanto del ángulo de caída como de la velocidad de caída, cuando al sistema se le aplica diferentes velocidades de giro. El sistema es claramente inestable, las curvas son divergentes y tienden a infinito.

Tal como los autovalores pronostican, para una velocidad de giro en torno a 1=ω el sistema se estabiliza ligeramente, las curvas tienden a aplanarse y el periodo de tiempo se incrementa. Al aumentar la velocidad de giro por encima de este valor, la inestabilidad del sistema crece, tanto más cuanto más aumentamos la velocidad. La curva crece con mayor rapidez y el tiempo de caída se reduce.

Fig 4.12: Relación Ps-t para distintos Phi y Th=0.001.




Fig 4.13: Relación Psi-t para distintos Phi y Th=0.001.

Fig 4.14: Relación Psi-Ps para distintos Phi y Th=0.001.

El ángulo de la barra con la horizontal no varía cuando la velocidad de giro es nula, el conjunto aro-barra cae sin producir rodadura. Cuando se incrementa la velocidad de giro observamos que el ángulo y la velocidad de rodadura (Ps, Psi) acompañan al ángulo y a la velocidad de caída en su evolución, el sistema comienza a rodar cada vez más rápido y a guiñar con velocidad constante, a medida que aumenta la velocidad de caída.

El hecho de que el ángulo y la velocidad de rodadura tengan valores negativos es consecuencia del valor positivo de la velocidad de giro y de los sistemas de referencia elegidos inicialmente. El sentido negativo al rodar se corresponde el sentido positivo de caída del conjunto.

El rango de variación elegido para la variable temporal esta condicionado por el ángulo de caída, este mismo, no puede tomar valores superiores a 90º, llegados a los cuales la disposición horizontal del sistema implicaría el cese de todo movimiento. Esta es la razón de haber realizado todas las representaciones en ese rango de valores.




b) La segunda serie tendrá las siguientes condiciones iniciales:

000

00

===

PsVariableTh

Ph

0000

10

==

=

PsiThetaPhi

Se estudiará como afectan distintas desviaciones respecto a la vertical de equilibrio, para una velocidad de giro fijada.

El rango visual para la variable Th , a igual que se hizo anteriormente, se limitará

a

∈

2,0 πTh y el de t dependerá del valor de la velocidad de giro.

Fig 4.15: Relación Ph-t para distintos Th iniciales y Phi=1.

Fig 4.16: Relación Phi-t para Th inicial variable.




Fig 4.17: Relación Phi-Ph para Th inicial variable.

Se observa que la variación del ángulo Ph es lineal, dependiente del tiempo. Considerar diferentes desviaciones iniciales respecto a la vertical no afecta a la velocidad con la cual gira el sistema.

Fig 4.18: Relación Th-t para distintos Th iniciales y Phi=1.

Fig 4.19: Relación Theta-t para distintos Th iniciales y Phi=1.




Fig 4.20: Relación Theta-Th para distintos Th iniciales y Phi=1.

Estos tres gráficos muestran la evolución temporal, tanto del ángulo de caída como de la velocidad de caída, cuando al sistema se le aplica diferentes desviaciones iniciales. El sistema también es inestable, las curvas son divergentes y tienden a infinito.

Para una velocidad de giro 1=ω se observa que cuanto mayor es la desviación inicial más rápida es la caída del conjunto. Además, para valores en torno a Th=0.1, vemos que el carácter exponencial de la curva de velocidad se ve alterado, la tendencia es la misma, pero la velocidad disminuye ligeramente antes de divergir.

En la figura 4.20 observamos que ángulo y velocidad de caída poseen, para desviaciones pequeñas, una relación lineal; relación que se ve alterada a medida que la desviación inicial crece. Las curvas, aunque tienden asintóticamente a la relación lineal primera, oscilan en torno a ella y la velocidad de caída, sin que por ello el ángulo deje de incrementarse en todo momento, se desacelera y acelera consecutivamente.

Fig 4.21: Relación Ps-t para distintos Th iniciales y Phi=1.




Fig 4.22: Relación Psi-t para distintos Th iniciales y Phi=1.

Fig 4.23: Relación Psi-Ps para distintos Th iniciales y Phi=1.

El ángulo y la velocidad de rodadura (Ps, Psi) acompañan al ángulo y a la velocidad de caída en su evolución, el sistema comienza a rodar y a guiñar, primero lentamente y luego acelerándose a medida que aumenta la velocidad de caída, con mayor rapidez en tanto y en cuanto la desviación inicial aumenta.

Indicar que la curva correspondiente a la velocidad de rodadura no pierde en ningún instante el carácter exponencial, como ocurre con la de caída, para valores próximos a Th=0.1.

c) La tercera serie tendrá las siguientes condiciones iniciales:

001.000000

−===

PsThPh

0000

0

==

=

PsiTheta

VariablePhi

En esa ocasión variamos el ángulo que forma la barra con la horizontal, para una velocidad de giro variable.




Fig 4.24: Relación Ph-t para distintos Phi iniciales y Ps=-0.001.

Fig 4.25: Relación Phi-t para Phi inicial variable.

Fig 4.26: Relación Phi-Ph para Phi inicial variable.

Los gráficos correspondientes al ángulo y a la velocidad de giro son semejantes a los mostrados en la primera serie.




Fig 4.27: Relación Th-t para distintos Phi iniciales y Ps=-0.001.

Fig 4.28: Relación Theta-t para distintos Phi iniciales.

Fig 4.29: Relación Theta-Th para distintos Phi iniciales.




Los grafos correspondientes al ángulo y la velocidad de caída también son semejantes a los de la primera serie, con una salvedad; para 0=ω , y dado que no existe desviación inicial respecto a la vertical, el sistema no cae, se mantiene en una posición vertical de equilibrio inestable.

Por otro lado, el tiempo de caída es para las mismas velocidades de giro ligeramente superior.

Fig 4.30: Relación Ps-t para distintos Phi iniciales.

Fig 4.31: Relación Psi-t para distintos Phi iniciales.




Fig 4.32: Relación Psi-Ps para distintos Phi iniciales y Ps=-0.001.

En estas últimas representaciones de la serie sucede algo semejante a lo acaecido en las anteriores. El comportamiento es similar al de la primera serie, con salvedades.

La desviación inicial se produce respecto a la posición horizontal de la barra. Son el ángulo y la velocidad de caída quienes acompañan, en esta ocasión, la evolución de estos últimos representados.

Además para 0=ω el sistema no sólo no cae sino que tampoco ve alterado el ángulo inicial de la barra, dándose un equilibrio inestable y estático.

4.3.2- Estabilidad para el punto de equilibrio 20πψ = .

a) La primera serie tendrá las siguientes condiciones iniciales:

20

001.0000

π=

==

Ps

ThPh

0000

0

==

=

PsiTheta

VariablePhi

Se estudiará como afecta una pequeña desviación respecto a la vertical de equilibrio y se modificará la velocidad de giro, mostrando la evolución en un mismo grafo.

El rango visual para la variable Th se limitará a

∈

2,0 πTh y el de t dependerá

del valor inicial para la velocidad de giro.




Fig 4.33: Relación Ph-t en función de Phi para Th=0.001.

Fig 4.34: Relación Phi-t para Th=0.001.

Fig 4.35: Relación Phi-Ph para Th=0.001.




Se observa que la variación del ángulo de giro es lineal y dependiente del tiempo. El aspecto que presenta en este caso no difiere del que presenta para el primer punto de equilibrio, el comportamiento es el mismo. La función correspondiente al ángulo de giro se encuentra en todos los casos de nuestro estudio desacoplada de las otras dos funciones que relacionan los restantes ángulos.

Fig 4.36: Relación Th-t para distintos Phi.

Fig 4.37: Relación Theta-t para distintos Phi.




Fig 4.38: Relación Theta-Th para distintos Phi.

Respecto al ángulo y a la velocidad de caída, la información obtenida es bastante relevante.

Observamos que en las relaciones de tiempo, representadas en las Fig 4.36 y Fig 4.37, existe un rango de variación para la velocidad Phi (entre 0 y aproximadamente 1,2), en el cual el sistema resulta claramente inestable. El sistema desplazado de su punto de equilibrio cae y lo hace a mayor velocidad a medida que aumenta la velocidad de giro. Atendiendo a este hecho, y aunque el rango de tiempo es más amplio, debemos indicar que de las dos primeras curvas, sólo deben considerarse los periodos de tiempo comprendidos entre el instante inicial y aquellos en los cuales el ángulo de caída alcanza los 90º, es decir, los instantes en que el movimiento cesa (t=6 y t=4 en correspondencia). Si esto último es considerado, la velocidad de caída Theta nunca será negativa, llegará a mostrar un cambio de pendiente, una desaceleración, pero en modo alguno se anulará.

Para el resto de las curvas se observa que superado el rango de Phi indicado con anterioridad (Phi>1,2 aprox.) la inestabilidad lejos de seguir aumentando se amortigua. Las relaciones tienen carácter senoidal y las amplitudes máximas van reduciéndose, hasta alcanzar un rango de valores estables en torno al ángulo y la velocidad inicialmente definidos. Los picos existentes en las ondas armónicas se desplazan sobre ellas de forma periódica, también tienen carácter cíclico. Esta situación es claramente estable, el sistema tiende a corregirse recuperando y manteniendo la posición de partida, oscilando alrededor de ella, pero sin llegar nunca a caer. Se comporta como un giróscopo.

La Fig 4.38 refleja el cambio de equilibrio relativo. Los dos segmentos casi horizontales correspondientes a los dos primeros valores de Phi dan paso a un conjunto de curvas, con centro en las coordenadas (Th,Theta)=(0.001,0), con longitudes cada vez mayores a medida que el valor de la velocidad de giro crece y dentro de un rango de variación bien definido.




En esta sección se corrobora lo discutido en el capítulo anterior y se visualiza lo que adelantan los autovalores.

Fig 4.39: Relación Ps-t para distintos Phi y Th=0.001.

Fig 4.40: Relación Psi-t para distintos Phi y Th=0.001.




Fig 4.41: Relación Psi-Ps para distintos Phi y Th=0.001.

El comportamiento tanto del ángulo como de la velocidad de rodadura, que relacionan la disposición de la barra de nuestro sistema respecto a un plano horizontal y perpendicular al eje de giro, no hace más que respaldar el mostrado por el ángulo y la velocidad de caída, algo consecuente si consideramos que las debidas funciones se encuentran acopladas. Lo dicho conforme a la estabilidad de la caída puede aplicarse a la de la rodadura.

A continuación y con objeto de visualizar mejor el carácter cíclico de las relaciones, se recogen las gráficas para el caso de Phi=8, obviando las debidas al ángulo y a la velocidad de giro por ser lineales y estar desacopladas.

Fig 4.42: Relación Th-t para Phi=8. Fig 4.43: Relación Ps-t para Phi=8.

Fig 4.44: Relación Theta-t para Phi=8. Fig 4.45: Relación Psi-t para Phi=8.




Fig 4.46: Relación Theta-Th para Phi=8. Fig 4.47: Relación Psi-Ps para Phi=8.

b) La segunda serie tendrá las siguientes condiciones iniciales:

20

000

π=

==

Ps

VariableThPh

00005.10

==

=

PsiThetaPhi

Esta situación, a igual que ocurre en el subapartado anterior (a), se corresponde con el subapartado (b) para el punto de equilibrio con 00 =ψ , es decir, aplicamos el mismo desequilibrio respecto al eje vertical que aplicábamos para ese caso, con la única

diferencia de que el ángulo de equilibrio para la barra es ahora 20πψ = .

Fig 4.48: Relación Ph-t para distintos Th iniciales y Phi=1.5.




Fig 4.49: Relación Phi-t para Th variable.

Fig 4.50: Relación Phi-Ph para th variable.

Las primeras tres gráficas, como viene ocurriendo en los apartados anteriores, muestran un comportamiento desacoplado.

Fig 4.51: Relación Th-t para Phi=1.5.




Fig 4.52: Relación Theta-t para Phi=1.5.

Fig 4.53: Relación Theta-Th para Phi=1.5.

Observamos que para desviaciones pequeñas respecto de la vertical el sistema no se ve apenas afectado, las líneas tienden a superponerse, el sistema se muestra estable. Sólo cuando la desviación es incrementada de manera apreciable el sistema se desestabiliza y cae.

Las amplitudes de oscilación en torno a la posición de partida no son compatibles con el movimiento, se alcanzan los 90º para el ángulo de caída y el movimiento cesa.




Fig 4.54: Relación Ps-t para Phi=1.5.

Fig 4.55: Relación Psi-t para Phi=1.5.

Fig 4.56: Relación Psi-Ps para Phi=1.5.




c) La tercera serie tendrá las siguientes condiciones iniciales:

001.02

0

0000

−=

==

πPs

ThPh

0000

0

==

=

PsiTheta

VariablePhi

Fig 4.57: Relación Ph-t para distintos Phi iniciales y Ps=1.5698.

Fig 4.58: Relación Phi-t para Phi variable.




Fig 4.59: Relación Phi-Ph para Ps=1.5698.

Relaciones para el ángulo y la velocidad de giro, cuando la posición de equilibrio se perturba mediante un leve desplazamiento de la barra, manteniendo vertical el eje de giro.

Fig 4.60: Relación Th-t para Ps=1.5698.




Fig 4.61: Relación Theta-t para Ps=1.5698.

Fig 4.62: Relación Theta-Th para Phi variable.

Al estar acoplados los efectos de rodadura y de caída el efecto de la perturbación es semejante, por no decir el mismo. Los gráficos de los apartados (a) y (c) para este punto de equilibrio, a igual que ocurre para el punto de equilibrio previo, son parecidos. Varían las amplitudes de las líneas, las frecuencias pueden ser algo mayores o algo menores, los picos dentro de la onda pueden suavizarse, pero en esencia reflejan el mismo patrón.




Fig 4.63: Relación Ps-t para Ps=1.5698.

Fig 4.64: Relación Psi-t para Ps=1.5698.

Fig 4.65: Relación Psi-Ps para Phi variable.




4.3.3- Evolución entre los puntos de equilibrio.

En los apartados anteriores se ha analizado como pequeñas perturbaciones sobre nuestro sistema, pueden llevar a este a una situación de equilibrio estable o inestable, en función de las distintas velocidades de giro aplicadas y la posición relativa de la barra en cada punto de equilibrio. También se ha considerado el efecto que una perturbación o desviación de mayor amplitud, con respecto a la vertical, puede provocar cuando consideramos una velocidad de giro constante.

Recogemos en este apartado el caso particular en el cual, manteniendo una velocidad de giro constante, la posición relativa de la barra varía pasando de un punto de equilibrio al otro. Eligiendo adecuadamente el valor de la velocidad de giro, por ejemplo 20 =ϕ , los gráficos mostrarán como el sistema pasará de un estado de

equilibrio estable

=

20πψ uno inestable ( )00 =ψ , tal como los apartados previos han

reflejado.

Las siguientes condiciones iniciales son:

VariablePsThPh

===

00000

0000

20

==

=

PsiThetaPhi

Los ángulos elegidos para Ps inicial recogidos en radianes, se corresponden con 80º, 60º, 30º y 10º respectivamente. Pasamos del segundo punto de equilibrio al primero.

Fig 4.66: Relación Ph-t para Phi=2 con Ps variable.




Fig 4.67: Relación Phi-t para Phi inicial constante.

Fig 4.68: Relación Phi-Ph para Ps inicial variable.

Un dato interesante en la representación de Ph y Phi es la desviación respecto al comportamiento lineal, que sucede conforme aumenta el ángulo Ps inicial. Hemos comentado que estos parámetros se encuentran desacoplados del resto, sin embargo, el grado de desacoplamiento depende del valor que tome el ángulo Ps a través de términos armónicos, es decir, para los puntos de equilibrio estos términos se anulan desacoplando las primeras variables del resto del problema. En cambio, cuando la inclinación de la barra se aleja de los extremos de equilibrio el ángulo y la velocidad de giro se acoplan, pasan a depender de las demás variables.

Podemos observar que las líneas que se corresponden con los ángulos de 60º y 30º son las que muestran mayor grado de acoplamiento, alejándose del comportamiento lineal visto en los anteriores casos.




Fig 4.69: Relación Th-t para Phi=2.

Fig 4.70: Relación Theta-t para Phi=2.

Fig 4.71: Relación Theta-Th para Phi=2 y Ps variable.




El ángulo de caída presenta un comportamiento estable para las dos primeras curvas, aquellas más próximas al segundo punto de equilibrio. La segunda de las curvas tiene un amplitud de oscilación en torno a la posición inicial incluso mayor que la primera, el movimiento esta más amortiguado. Las curvas con los ángulos más cercanos a la horizontal, como era de prever, se alejan del comportamiento estable. El sistema intenta contrarrestar la caída, la velocidad Theta para la tercera curva muestra una inflexión que no es suficiente para evitarla. El sistema termina de adoptar un comportamiento inestable y el movimiento cesa.

Fig 4.72: Relación Ps-t para Phi=2.

Fig 4.73: Relación Psi-t para Phi=2.




Fig 4.74: Relación Psi-Ps para Ps variable y Phi=2.

Las últimas variables, acopladas con las previas, muestran una pauta similar. Las curvas con ángulos menores son claramente inestables, el sistema rueda sin deslizar, el ángulo se incrementa exponencialmente y no se recupera, como si ocurre en la primera curva.

Teniendo en cuenta los resultados de los ángulos de caída y de rodadura, podemos decir que en situación de inestabilidad, y dado que las funciones de estas dos variables se encuentran acopladas en todo momento, el sistema no muestra un movimiento de rodadura perfecto ni tampoco de giro perfecto, el sistema muestra un movimiento mixto en el cual el conjunto aro-barra rueda sin deslizar (ligadura no holónoma) a medida que la inclinación del plano que lo contiene (ángulo de caída) aumenta y gira, aumenta su ángulo de guiñada, sobre el plano horizontal de desplazamiento del punto de contacto.

De los tres movimientos elementales descritos en el capítulo 3, descartamos dos, quedándonos unicamente con uno de ellos, el estudiado. Observamos pues, que en condiciones de equilibrio inestable, el sistema tiende al tercero de los movimientos elementales descritos, evidentemente el más rico en información y del cual, el movimiento estudiado puede considerarse un caso particular resultante de imponer unas determinadas condiciones o restricciones. El tercer movimiento como se discutió en su momento, no presentaba puntos de equilibrio alguno, no siendo capaz de soportar las restricciones impuestas.


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