Tasa de Inters de Retorno. TIR

Yeisson Acevedo Agudelo *

Alejandro Puerta Cruz **

Resumen

Se reconoce la tasa de inters de retorno (TIR) como la rentabilidad implci-ta de un proyecto. Calculada como el inters que hace equivalente los egresosa los ingresos. En el siguiente apartado se toma los flujos de caja despus deimpuestos de un proyecto cervecero y se calcula a travs de mtodos numricosel valor correspondiente a la TIR.

Inici el empeo de modelar la materia incoherente y vertiginosa de que se com-

ponen los sueos, matemticamente esto sera mucho ms arduo que tejer una cuer-

da de arena o amonedar el viento sin cara. Sin embargo, para iniciar su tarea decidi

esperar a que el disco de la Luna fuese perfecto.

1. Datos del proyecto

FLUJOS DE CAJA DESPUS DE IMPUESTOS

Detalle Flujo de inversin Flujo Operacin D/I Flujo de caja DD impuestos0 820.000.000 820.000.0001 125.927.786 244.075.496 118.147.7102 141.039.120 313.923.208 172.884.0883 157.963.814 396.031.383 238.067.5694 176.919.472 492.514.747 315.595.2755 999.118.515 605.845.342 1604.963.857

2. Pregunta en cuestin

Cmo calcular operativamente el valor de la TIR? Se toman en cuenta los flujosde caja DD impuestos para cada periodo de los 5 aos, de tal manera que:

820000000 =118147710

(1 + T )1+

172884088

(1 + T )2+

238067569

(1 + T )3+

315595275

(1 + T )4+

1604963857

(1 + T )5

Procederemos a calcular el valor respectivo de T . Tenemos que:

*Lic Matemticas y Fsica, Universidad de Antioquia**Contador Pblico, Universidad de Antioquia

1

0 = 820000000+118147710

(1 + T )1+172884088

(1 + T )2+238067569

(1 + T )3+315595275

(1 + T )4+1604963857

(1 + T )5

Sean a = 820000000; b = 118147710; c = 172884088; d = 238067569; e =315595275; f = 1604963857 Por tanto:

0 = a+b

(1 + T )1+

c

(1 + T )2+

d

(1 + T )3+

e

(1 + T )4+

f

(1 + T )5

Luego:

0 =a(1 + T )5 + b(1 + T )4 + c(1 + T )3 + d(1 + T )2 + e(1 + T ) + f

(1 + T )5

Ahora debemos recordar que:

(1+k)5 = 1+5(1)4k+10(1)3k2+10(1)2k3+5(1)k4+k5 = 1+5k+10k2+10k3+5k4+k5

(1 + k)4 = 1 + 4(1)3k + 6(1)2k2 + 4(1)k3 + k4 = 1 + 4k + 6k2 + 4k3 + k4

(1 + k)3 = 1 + 3(1)3k + 3(1)k2 + k3 = 1 + 3k + 3k2 + k3

(1 + k)2 = 1 + 2(1)k + k2 = 1 + 2k + k2

(1 + k)1 = 1 + (1)k = 1 + k

Para nuestro caso T = k Luego se cumple que:

0 = {a[1+ 5T +103T 2+10T 3+5T 4+T 5] + b[4T +6T 2+4T 3+T 4] + c[1+ 3T +3T 2 + T 3] + d[1 + 2T + T 2] + e[1 + T ] + f} (1 + T )5

Luego podemos eliminar el denominador multiplicando en ambos lados de laigualdad por (1 + T )5 obteniendo as el nmerador igual a 0 as:

0 = a[1 + 5T +103T 2 +10T 3 +5T 4 + T 5] + b[4T +6T 2 +4T 3 + T 4] + c[1 + 3T +3T 2 + T 3] + d[1 + 2T + T 2] + e[1 + T ] + f

Luego despus de eliminar corchetes, distribuyendo y agrupando tenemos:

0 = aT 5 + (5a + b)T 4 + (10a + 4b + c)T 3 + (10a + 6b + 3c + d)T 2 + (5a + 4b +3c+ 2d+ e)T + (a+ b+ c+ d+ e+ f)

sustituyendo los valores iniciales de a,b,c,d,e,f tenemos:0 = 820000000T 53981852290T 47554525072T 36734393907T 22317026483T+

1629658499 o mejor an:

0 = 820000000T 5+3981852290T 4+7554525072T 3+6734393907T 2+2317026483T1629658499

dividiendo por 820000000 en la igualdad tenemos:

2

T 5+4, 855917427T 4+9, 212835454T 3+8, 212675496T 2+2, 825642052T1, 987388413 = 0

Ahora nuestro problema se reduce a solucionar este polinomio de 5to grado:

F (x) : x5+4, 855917427x4+9, 212835454x3+8, 212675496x2+2, 825642052x1, 987388413 = 0

Es decir; hallar las 5 raices del polinomio para las cuales T sea coherente. Perohallarlas todas no ser necesario, posiblemente algunas sean raices complejas o realesnegativos, pero slo una de stas deber ser positiva y consistente para T , ya queasumimos que los porcentajes de tasa T no son negativos, de hecho 0 T 1 as,podemos hacer uso del mtodo de Newton Rapson para calcular este valor, lo cualser fcil ya que debemos evaluar inicialmente un cualquier valor para x (0, 1).

xr : xf(x)

f (x)= R(x) =

xx5 + 4, 855917427x4 + 9, 212835454x3 + 8, 212675496x2 + 2, 825642052x 1, 987388413

5x4 + (4)4, 855917427x3 + (3)9, 212835454x2 + (2)8, 212675496x+ 2, 825642052=

xx5 + 4,855917427x4 + 9,212835454x3 + 8,212675496x2 + 2,825642052x 1,987388413

5x4 + 19,42366971x3 + 27,63850636x2 + 16,42535099x+ 2,825642052

A simple vista parecera complicado, pero slo debemos evaluar el valor que de-cidamos tomar del intervalo (0, 1) y seguidamente evaluamos el xr respuesta quehallemos, este proceso se repite hasta que se estabilicen varios dgitos con lo cuallogramos una muy alta precisin para nuestro valor T . Tomemos por ejemplo ini-cialmente x = 0,4 Luego:

R(0,4) = (0,4) (0,4)5+4,855917427(0,4)4+9,212835454(0,4)3+8,212675496(0,4)2+2,825642052(0,4)1,987388413

5(0,4)4+19,42366971(0,4)3+27,63850636(0,4)2+16,42535099(0,4)+2,825642052

R(0,4) = 0,322242.Luego volvemos a evaluar, para x = 0,322242 y el resultado denuevo, sucesivamente hasta obter un valor muy aproximado para x = 0,3100029779

Luego T = 0,3100029779 31%

Finalmente para el lector, dejamos una aproximaximacin grfica para un inter-valo determinado.

3

4