Aplicaciones de La Primera y Segunda Derivada

7/28/2019 Aplicaciones de La Primera y Segunda Derivada

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APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA.

INTRODUCCION

Utilizando el concepto de derivada vamos a estudiar algunas propiedades de

carcter local de las funciones. El estudio de estas caractersticas nos facilitar la

representacin grfica de las mismas.

Se trata aqu de obtener informacin de las funciones a partir de su derivada.

A menudo la vida nos enfrenta al problema de encontrar un mejor modo de hacer

una determinada labor. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de

cultivos que sea la ms apropiada para obtener el mayor aprovechamiento.

Algunas veces un problema de esta naturaleza puede asociarse de tal manera que

involucre maximizar o minimizar una funcin sobre un conjunto especfico.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen

el clculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, deforma

independiente. Los conceptos son difciles y hasta bien entrado el siglo XIXno se

simplificaron. A ello contribuy la aparicin de una buena notacin, que es laque

usaremos. Las aplicaciones prcticas de esta teora no dejan de aparecer


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DESARROLLO DEL TEMA

LA DERIVADA

Si la ley de movimiento de una partcula puede ser expresada a travs de la

frmula , esto quiere decir que en cada momento , nos es posible

ubicar a dicha partcula en el eje , as, si quiero saber donde se encuentra la

partcula 1 despus de haber empezado el movimiento tengo que hacer la

siguiente operacin: , esto significa que 5 metros es lo que se ha

desplazado el vehculo un segundo despus de haber empezado a desplazarse.

De este modo podemos hacer esto para cualquier valor de .

Ahora, nos plantearemos resolver el siguiente problema: Encontrar la velocidad

instantnea de un vehculo que se desplaza siguiendo la ley donde

representa el desplazamiento del vehculo en un tiempo

Figura 1:

Podemos hacer esto para cualquier intervalo de tiempo, de este modo podemos

representar una posicin en un tiempo dado como un punto en el plano de la

siguiente manera: Tomemos dos rectas que se cortan en ngulo recto en el plano;

el punto de interseccin de estas rectas lo llamamos origen, a la recta horizontal la

llamamos eje del tiempo y a la recta vertical la llamamos eje de posicin .

Dividamos ambas rectas en varios segmentos de la misma longitud. Ahora

tomemos el caso anterior en el que para , , este instante en

el tiempo y el espacio queda representado por el punto formado por el punto

formado por la interseccin de las rectas horizontal que pasa a una altura 5 en el

eje de las posiciones y la recta vertical que pasa por el (ver figura 1). Si esto

lo hacemos para todo tiempo, notaremos que obtendremos una curva en el plano

que llamaremos grfica de la funcin.
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Vale la pena hacer hincapi aqu, en la construccin hecha hasta este momento.

1. Hemos representado el tiempo por una recta y cada segundo que

transcurre, por un punto de tal recta.

2. El desplazamiento en lnea recta del vehculo lo representamos como una

recta que corta al eje del tiempo formando un ngulo recto y cada punto de

este eje representa la distancia decorrida por el objeto.

3. Un punto del plano determina una posicin del vehculo para cada tiempo

determinado.

4. La grfica de la funcin representa el recorrido del vehculo en el tiempo.

Esto significa que una curva representa la evolucin en el tiempo de una

partcula.5. Tambin se debe notar lo siguiente: Estamos estudiando una partcula en

movimiento, es decir, una partcula material determinada en un espacio y

un tiempo dado. Espacio, tiempo, materia y movimiento, todos

independientes entre si, pero siempre estn unidos. No existe materia que

no ocupe lugar o que se encuentre esttica en el espacio y el tiempo.

Figura 2:

Prosigamos, ms abajo seguiremos sacando conclusiones de todo esto, pero para

ello tenemos que seguir avanzando en la solucin del problema.

Recordemos que el problema que queremos resolver, es encontrar la velocidad de

una partcula en un tiempo dado, es decir, encontrar su velocidad instantnea.

Pero, qu es la velocidad instantnea? cmo se determina? geomtrcamente

(abstracto), qu es la velocidad instantnea?

La velocidad instantnea es la velocidad que lleva la partcula en un tiempo

determinado. Para fijar ideas, consideremos una partcula que se mueve en lnea

recta siguiendo la ley dictada por la siguiente tabla.

2 1

4 2

6 3

8 4


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Observemosmos lo siguiente: La inclinacin de la grfica del movimiento de un

vehculo determina que tan rpido se desplaza esta. Para medir la inclinacin de la

grfica, tendremos que medir la inclinacin de la recta tangente a ese punto.

Entonces, podremos decir que la velocidad instntanea de un movimiento en un

tiempo dado , est dada por la pendiente del recta tangente, ya que esta

mide que tan inclinada se encuentra una grfica. (ver figura 4).

Figura 4:

Para determinar la pendiente de la recta tangente en emplearemos unmtodo inventado por Pierre Fermat. Lo notable de este mtodo es que l

empieza a hacer uso del movimiento en las matemticas.

Primero tomemos el punto de la grfica , en el cual se desea

encontrar la pendiente de la recta tangente, en nuestro caso y cualquier otro

punto de la grfica . A la recta que pasa por ambos puntos la llamamos

recta secante.

Ahora hagamos que se aproxime a . A este proceso lo llamamos tiende a

(notacin: ). Pedir todo esto es equivalente a pedir que el punto se mueva

sobre la grfica, de tal modo que se aproxime a sorpresa! la recta secante

formada por y tender a la recta tangente en esto significa que la

pendiente de la recta secante tiende a la pendiente de la recta tangente cuando

( tiende a ). (ver figura 5).
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Figura 5:

Al proceso de encontrar la pendiente de la recta tangente de la grfica de una

funcin en un instante dado lo llamamos derivar.

Aqu describiremos con ms detalle todo lo anterior.

La pendiente de la recta (ver figura 6)secante est dada por:

Figura 6:

Segn lo anterior, el lmite de la pendiente de la recta secante es la pendiente de

la recta tangente cuando . Todo lo anterior se escribe de la siguiente

manera:

A la llamamos la derivada de con respecto a en
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En virtud de lo arriba sealado, la derivada no solamente mide la pendiente de la

recta tangente, si la funcin representa el desplazamiento de una partcula, la

derivada en el instante determina la velocidad instantnea cuando

Como ejemplo, determinaremos la velocidad de la partcula que sigue la funcin

de desplazamiento

Ahora si Esto significa que la partcula

lleva una velocidad de 10 metros sobre segundo despus de 1 segundo de

movimiento.

PRIMERA DERIVADA:

La primera derivada es la recta tangente a la curva. Es decir que podemos saber

la pendiente de una curva en cualquier punto.

En fsica la primera derivada de una funcin posicin (con respecto al tiempo) nos

da la velocidad.

SEGUNDA DERIVADA

Con la segunda derivada podemos saber intervalos de concavidad y puntos de

infexin.

En fsica cuando se deriva una funcin velocidad con respecto al tiempo

obtenemos la aceleracin.

Todo esto es importante en el trazado de curvas, problemas de fsica, problemas

de mximos y mnimos etc..

Prueba de la primera derivada

Funciones crecientes y decrecientes


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.

Una funcin que siempre es creciente odecreciente en un intervalo, se dice quees montona en ese intervalo.

En la figura de la izquierda se esboza la

interpretacin geomtrica del teorema:"Prueba de la primera derivada".

En la parte izquierda de la figura se tiene

un valor mximo relativo en c, y se observa

que f'(x)>0 parax


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P r o c e d i m i e n t oPara determinar los valores extremos relativos de una funcin seprocede de la siguiente manera:1. Se halla la derivada de la funcin: f'(x)2. Se hallan los #s crticos de la funcin, esto es los valores de xpara

los cualesf'(x) = 0 o para los cuales f' no existe.

3. Se aplica el criterio de la primera derivada

Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 14, proceda a lo siguiente: (a) obtenga los extremos relativos

de f aplicando la prueba de la primera derivada; (b) determine los valoresxen losque ocurren extremos relativos; (c) determine los intervalos en los que f escreciente; (d) determine los intervalos en los cuales f es decreciente; (e) trace lagrfica correspondiente.

S o l u c i o n e s

x f (x) f '(x) Conclusin

f decrece

0 ftiene un mnimo relativo

+ f crece

APLICACIONES DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA(A MAXIMOS

Y MINIMOS)
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En la resolucin de problemas en el que se debe determinar el mximo o

mnimo de alguna expresin debe tomarse en cuenta los siguientes pasos:

Determinar la magnitud que debe hacerse mxima o mnima, y asignarle

una letra.

Hacer un dibujo cuando sea necesario

Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir

una ecuacin en la que se establezca lo que se debe hacer mximo o

mnimo.

Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuacin

(ecuacin auxiliar)

Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en trminos de

una sola variable utilizando para ello la ecuacin auxiliar. Determinar el

dominio de esta funcin.

Obtener la primera derivada de esta funcin para determinar los valores

crticos.

Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda

derivada, si los valores crticos son mximos o mnimos.

Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el

problema

Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.

En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geomtricas

Cuando se tiene la grfica de una funcin continua resulta bastante fcil

sealar en qu intervalo la funcin es creciente, decreciente o constante.

Sin embargo, no resulta fcil decir en que intervalo la funcin es creciente,

decreciente o constante sin la grfica de la funcin.

El uso de la derivada de una funcin puede ayudar a determinar si una

funcin es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para

esto, se necesita el teorema y la definicin a continuacin para mostrar

varios ejemplos.

Teorema: Sea f una funcin derivable en el intervalo (a,b). Luego,

i) Si f(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).

ii) Si f(x)f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce

como un valor mximo (o mximo absoluto) de f.

Si f(c) es el mximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su

mximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto ms alto de la

grfica.

Anlogamente, si existe un nmero c en el intervalo [a,b] tal que f(c)

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA


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Uno de los ordenes de derivacin es el de la segunda derivada, aunque no es

despreciable la utilizacin de las derivadas de orden superior, sobre todo en

clculo de errores. Curiosamente las aplicaciones fsicas implican, por lo general,

derivadas de segundo orden como podra ser las ecuaciones de movimiento.

En esta seccin presentaremos una interpretacin grfica de los criterios de la

segunda derivada que nos servir para poder obtener los mximos o mnimos de

una funcin. Antes de analizar como es la relacin de la segunda derivada

conoceremos algunas definiciones:

Definicin.

Cncava hacia abajo. Se dice que una funcin es cncava hacia abajo cuando

la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)


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Definicin.

Puntos de inflexin y nmero de inflexin. Sea f una funcin y a un nmero.

Supongamos que existe nmeros b y c tales que b


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Criterios de la segunda derivada para mximos y mnimos relativos

Sea f una funcin con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo

abierto conteniendo al nmero a. Si f esta definida entonces podemos considerar

los siguiente aspectos:

a).- Si f(a)=0 y f(a)0 entonces se dice que f tiene un mnimo local en a.

Rapidez de cambio

La expresinx

xfxxf

+ )()(representa el cuociente entre la variacin de

la variable dependiente (funcin) y la variacin experimentada por la variable

independiente, por este motivo se le denomina razn media de cambio de la


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funcin f(x), cuando se toma el lmite a esta expresin en que x 0, es decir la

derivada, se le denomina tambin razn instantnea de cambio.

Este concepto se aplica tambin en cinemtica al expresar la posicin de un

cuerpo con movimiento unidimensional en funcin del tiempo x = x(t), en tal caso

la razn instantnea de cambio de la posicin, corresponde al concepto de rapidez

instantnea.

dt

dx

t

xfxxfv

x=

+=

)()(lim

0

Para encontrar entonces la razn de cambio se debe determinar en primer lugar larelacin entre las variables mediante una funcin y posteriormente obtener su

derivada.

Ejemplo:

Encontrar la rapidez de variacin del volumen de un cubo con respecto a la

longitud de un lado.

Solucin:

Si la relacin entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas

(a) es:

V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variacin, esto es: V = 3a 2

Ejemplo:

Se vierte agua en un estanque cilndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de

altura a razn de 50 litros por minuto. Con que rapidez asciende el nivel del

agua?

Solucin:

Llamando h a la altura del nivel de lquido en cualquier momento, se puede

expresar el volumen del contenido en funcin de h de la forma: V = r2 h

despejando h se tiene:


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h = 2r

V

en que y r son constantes, luego derivando resulta:

dt

dV

rdt

dh2

1

=

pero dado que ingresa agua a razn de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:

min/3980,0050,056,12

1m

dt

dh==

Mximos y mnimos de una funcin

Definicin: Decimos que f(c) es el valormximo absoluto de una funcin f en

un intervalo (a,b) que contiene a c, si f(c) f(x) x (a,b). De manera

anloga se define un valor mnimo absoluto de una funcin en su intervalo.

Teorema: Diremos sin demostracin que si f(x) es continua en un intervalo

cerrado [a,b], entonces f(x) tiene un mximo y un mnimo en [a,b]

Extremos de una funcin.

f(x) A C

E

D F

B

X a b c d e f

Sea f(x) una funcin continua en el intervalo [a, f], en este intervalo, la funcin

presenta dos valores mximos en A, C (f(a), f(c)) y un valor mnimo en B (f(b)),se

conocen como mximos absolutos. Los puntos D, F corresponden a mnimos en

su entorno y por lo tanto son mnimos relativos, anlogamente E que corresponde

a un mximo relativo.

Definicin

Decimos que f(c) es un mximo relativo de una funcin f si existe un intervalo

abierto (c , c + ), con >0, tal que f(x) est definida y f(x) f(c), x (c ,

c + ).


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Decimos que f(c) es un mnimo relativo de una funcin f si existe un intervalo

abierto (c , c + ), con >0, tal que f(x) est definida y f(x) f(c), x (c ,

c + ).

Teorema

Sea f(x) una funcin continua en el intervalo abierto (a, b) y sea c un punto de este

intervalo. Si f(c) es un extremo de f, entonces f(c) = 0 o bien no existe.

Demostracin

Sea f(c) un valor mximo relativo de f, y supongamos que f (c) existe. Entonces

existe un intervalo abierto (c , c + ), con >0 tal que x c en este

intervalo:

(1) f(x) - f(c) 0

Cuando x (c , c): (2) x c < 0

De (1) y (2) se sigue que x (c , c) (3) 0)()(

cx

cfxf

Por consiguiente: 0)()(

lim)(

=

cx

cfxfcf

cx

En forma anloga, x

(c, c + ) (4) x c > 0

De (1) y (4): 0)()(

cx

cfxfx (c, c + ) y f (c) 0

Puesto que por hiptesis f (c) existe, tenemos que de f (c) 0 y 0 f (c), se

tiene que f(c) = 0 o bien no existe. La demostracin es anloga cuando f(c) es un

mnimo relativo de f.

Un nmero c para el cual una funcin f est definida y para el cual f(c) = 0 o f(c)

no existe, se llama un nmero crtico para f.

Criterio de la segunda derivada para clculo de los extremos.


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As como la primera derivada mide la rapidez de variacin de la funcin, la

segunda derivada mide la rapidez de variacin de la primera derivada, cuando la

segunda derivada es positiva para un nmero c, significa que la primera derivada

es creciente.

Si f(c) = 0 y f(c) > 0, entonces f (x) crece, de valores negativos a valores

positivos cuando x crece al pasar por c, es decir, f(c) es un mnimo relativo de f.

En forma semejante, si f (c) = 0 y f(c) < 0, entonces f (c) decrece de valores

positivos a valores negativos cuando x crece al pasar por c; esto significa que f(c)

es un mximo relativo de f.

Supongamos que f y fexisten en todo punto en un intervalo abierto

(a, b) que contiene a c y sea f(c) = 0. Entonces:

1. Si f(c) < 0, f(c) es un mximo relativo de f.

2. Si f(c) > 0, f(c) es un mnimo relativo de f.

Ejemplo:

Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de la funcin

indicada:

f(x) = x3 6x2 15x

Solucin:

f(x) = 3 x2 12 x 15 = 0 Puntos crticos: x1 = -1 y x2 = 5

f(x) = 6x 12 f (-1) = -18 < 0 en x1 = -1 se tiene un mximo de

f.

f(5) = 18 > 0 en x2 = 5 se tiene in mnimo de f.

Ejemplo:

Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una parte se

dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. Dnde

se deber hacer el corte para que la suma de las reas del cuadrado y del crculo

sea un mnimo?

Solucin:

L


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x L - x

Con el primer segmento se construye el cuadrado cuyo lado medir x/4, con el

resto se construye la circunferencia en que el radio medir: 2 r = L x

2

xLr

= . Las reas, por lo tanto, medirn:

Acuadrado =2

16

1x y Acrculo =

4

)( 2xL

El rea total ser:

Atotal =2

16

1 x +4)( 2xL

La primera derivada del rea total respecto de x, resulta:

)(2

1

8

1xLx

dx

dA=

Igualando a 0 y despejando el valor de x, queda:)82(2

16

+=

Lx

La segunda derivada del rea total respecto de x queda: 02

1

8

12

2

>+=dx

Ad

lo que

nos indica que es positiva x, en consecuencia, el valor del rea es un mnimo.

Reemplazando en x el valor de la longitud del alambre: 20 cm x = 11,2 cm

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