8/16/2019 Aplicaciones de Las Funciones Logarítmicas Exponenciales

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C!"#$%$"&' "x&"&#$a* D"#!"#$%$"&' "x&"&#$a*8ráfica 6o. + 8ráfica 6o. 9

:ser0e #ue en las grficas anteriores, la l;nea de la funci-n exponencial

tanto al ir creciendo o decreciendo, la gráfica se aproxima al e!e  x  sin llegar acortarlo, ya #ue a x  > 0  para todo  x . Esto significa #ue el e!e  x  es una asíntota

horizontal  para la gráfica. En la grfica +, al ir creciendo  x  0a tomando 0alores

positi0os y la gráfica crece rápidamente. En efecto, dado f (  x  ) = 2  x , si se comien4a

con  x  = 0  y se considera camios sucesi0os unitarios de  x , entonces los

correspondientes 0alores de y  son +, 9, <, =, +>, 19, >< y así sucesi0amente. Este

tipo de 0ariación es muy comn en la naturale4a y es característico del crecimiento

exponencial. En este caso, f  es conocida como función de crecimiento, pero

pueden 'aer casos en #ue existe un decrecimiento exponencial como en la

grfica 9."

E+EMPLO 1 ?no de los más comunes es el crecimiento acteriano. Es posile

#ue se oser0e experimentalmente #ue el nmero de acterias en un culti0o se

duplica cada 'ora, pero existen fórmulas para predecir en cual#uier instante de

tiempo.

 Al oser0ar el siguiente modelo" F(t) * (+$$) 1 t, se re#uiere #ue elaore una

gráfica de crecimiento para un tiempo de < 'oras. @ conteste las siguientes

preguntas" Buántas acterias 'ay al inicioC Buantas acterias 'ar a las <

'orasC ara esto utili4ar el siguiente procedimiento"

a. Ddentificar la función" F(t) * (+$$) 1t , de donde, entonces y * (+$$) 1t

.  Asignar 0alores a  x  entre $ a < 'oras, y reali4ar una tala de 0alores.

tiempo   x  $ + 9 1 <

otal de

acterias

y  +$$ 1$$ $$ 9G$$ =+$$

c.  Al representar los puntos otenidos en la tala de 0alores, en un planocartesiano y unirlos por una línea, se otiene la gráfica re#uerida.

otal de acterias

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+ 9 1 < H iempo en 'oras

Bomo puede oser0arse, la grafica asciende de i4#uierda a derec'a ya #ue la

constante es mayor #ue +.

A*-&a/ !$"0a0"/ 0" *a/ f&#$&"/ "x&"&#$a*"/ f ( x )= ax

+. El dominio de una funci-n exponencial es el con!unto de todos los numeros

reales. El rango es el con!unto de todos los n/meros reales positi0os.

9. Ia grfica de f (x ) * ax tiene intercepción con el e!e y en el punto ( $, +).

1. si a 3 +, la grafica asciende de i4#uierda a derec'a.

<. 2i $ 7 a 7 + ( #uiere decir si el 0alor de a esta entre cero y uno) , la grficadesciende de i4#uierda a derec'a.

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H. si a 3 + , la grfica se aproxima al e!e x conforme toma 0alores negati0os

cada 0e4 ms grandes en 0alor asoluto.

>. 2i $ 7 a 7 + , la grfica se aproxima al e!e x conforme x toma 0alores

positi0os cada 0e4 ms grandes.

1. FUNCIONES LOGARÍTMICAS"

f  es una función logarítmica si

y = f 21 (x) si y solo sí  x = f (y)

y = *-a x  si y sólo sí x = ay

Ia función logarítmica es la in0ersa de la función exponencial.

2i el 0alor de a es mayor #ue uno, (a 3 +), entonces la función logarítmica toma

una forma creciente (5er gráfica 6o. 1) , en camio, si el 0alor de a está entre $ y + ( $ 7

a 7 +), entonces la función toma forma decreciente (5er 

gráfica 6o. <). En amos casos el dominio de la función es el

con!unto de los nmeros reales positi0os y su contradominio son los nmeros

reales.

C!3a *-a!4'%$#a #!"#$"&'" C!3a L-a!4'%$#a 0"#!"#$"&'" 8ráfica 6o. 18ráfica 6o. <

y * *- ax, a 3 +

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E+EMPLO ara graficar la función" f(x) = *-.5 x se utili4a el siguiente

procedimiento"

a. Ddentificar la función" y = *-.5 x .

. ransformarla a forma exponencial, de donde se otiene #ue" x = .5y

c.  Asignarle 0alores a y, entre J1 y 1, para conocer los 0alores de x y elaorar una tala de 0alores.

 x  = < 9 + $.H $.9H $.+1

Y  K1 K9 K+ $ + 9 1

d.  Al representar los puntos otenidos en la tala de 0alores, en un planocartesiano y unirlos por una línea, se otiene la gráfica de la función.

E!e y