APLICACIONES A LOS NEGOCIOS

Ms.C. RONALD REYES NARVÁEZ

UNIDAD IV : APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

TEMA :

DOCENTE :

COSTO TOTAL

• En cierta fábrica, el costo marginal es dólares por unidad cuando el nivel de

producción es unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de

fabricación, si el nivel de producción sube de 6 a 10 unidades?

23( 4)q

" "q

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" "q( )C q 23( 4)

dCq

dq

10 2

6( ) 3( 4) (10) (6)C q q dq C C

10 2

6( ) 3 ( 4) 3C q q dq

3( 4)

3

q 10

6

3 3 310( 4) (10 4) (6 4)

6

216 8 208

q

SOLUCIONARIO

el costo total de producir unidades, luego el costo

es decir

Si la producción aumenta de 6 a 10 unidades, está dado por la IntegralDefinida

Entonces integrando

( )C q Sea

marginal es la derivada de

El Costo Total de producir de 6 a 10 unidades es de US$ 208

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EXCESO DE UTILIDAD NETA

• Suponga que dentro de años, una inversión generará utilidad a razón cientos de dólares al año, mientras que una segunda inversión generará utilidad a razón de

cientos de dólares al año.A. ¿Durante cuántos años será más rentable la segunda

inversión?B. Calcule el exceso de utilidad neta durante el periodo

determinado en el literal (A)C. Trace las curvas de utilidad para las dos inversiones ; y

sombree la región cuya área represente el exceso de utilidad neta calculado en el literal (B)

" "t2

1 '( ) 50P t t

2 '( ) 200 5P t t

Ms.C. Ronald Juven Reyes Narváez 03

Ordenando la igualdad

Resolviendo la ecuación

Por aspa simple

( Rechazamos )

1 2' ( ) '( )P t P t

250 200 5t t 2 5 150 0t t

15 ; 10t 10t

A) La segunda inversión supera la de la primera hasta

( 15) ( 10) 0t t

SOLUCIÓN

La segunda inversión será más rentable que la primera durante 15 años

Ms.C. Ronald Juven Reyes Narváez 04

B) El exceso de utilidad neta durante el periodo está dado por la Integral Definida 0 15t

15 2

0( ) (200 5 ) (50 )E t t t dt

2 315 2

0

155(150 5 ) 150

02 3

t tt t dt t

2 3 2 35(15) (15) 5(0) (0)150(15) 150(0)

2 3 2 3

1687,50

Cientos de dólares

El Exceso de Utilidad Neta durante 15 años es de US$ 168750

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C) El Exceso de Utilidad Neta es el área de la región limitada entre las curvas

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GANANCIAS NETAS

• Suponga que cuando una máquina industrial tiene años, genera ingresos a razón de dólares al año y que los costos operativos y de

mantenimiento se acumulan a razón de dólares al año.

A. ¿Cuántos años transcurren antes de que la rentabilidad de la máquina comience a disminuir?

B. Calcule las ganancias netas generadas durante el tiempo determinado en (A)

C. Trace la curva de la tasa de ingresos y la curva de la tasa de costos y sombree la región cuya área representa las ganancias netas calculadas en el literal (B)

" "t 2' ( ) 5000 20R t t

2' ( ) 2000 10C t t

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SOLUCIÓNA) La Utilidad asociada a la máquina después de años de funcionamiento

es y la tasa de rentabilidad está dado por( ) ( ) ( )P t R t C t 2 2' ( ) '( ) '( ) (5000 20 ) (2000 10 )P t R t C t t t

La rentabilidad comienza a disminuir cuando ' ( ) 0P t

23000 30 t

Ordenando la igualdad

Resolviendo la ecuación

Rechazamos

23000 30 0t

2 100t

10 ; 10t 10t

Deben transcurrir 10 años antes que la rentabilidad de la máquina comience a disminuir

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B) Las Ganancias Netas “G” durante el periodo está dado por la Integral Definida

0 10t

10

0( ) '( )G t P t dt

10 2

0( ) (3000 30 ) 3000 30G t t dt t

3

3

t 10

0

3 33000(10) 10(10) 3000(0) 10(0)

20000

dólares

La Ganancia Neta generada por la máquina durante 10 años es de US$ 20000

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C) La Ganancia Neta es el área de la región limitada entre las curvas

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VALOR MEDIO

• Un investigador calcula que hora después de medianoches, durante un periodo típico de 24 horas, la temperatura en cierta ciudad del norte está dada por

grados Celsius. ¿Cuál es la temperatura media en la ciudad entre las 6:00 a.m. y las 4:00 p.m.

" "t

22( ) 3 ( 13) 0 24

3C t t t

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SOLUCIÓN Como de 6:00 a.m. a 4:00 p.m. corresponde a

respectivamente, se desea calcular el promedio de temperatura para , qué está dada por la integral definida

6 16t y t

16 2

6

1 23 ( 13)

16 6 3TM t dt

3 161 23 ( 13)

610 9t t

5,22

La temperatura media durante un periodo dado es aproximadamente - 5,22° Celsius (22,6 °F)

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( )C t 6 16t

3 31 2 1 23(16) (16 13) 3(6) (6 13)

10 9 10 9

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ERNEST F. HAEUSSLER, JR. RICHARD S. PAUL. Matemáticas aplicadas a la economía. 10ma. Edición 2004 EDUARDO ESPINOZA RAMOS Análisis Matemático II Ed. Servicios Gráficos JJ – Perú 2009 LAURENCE D. HOFFMANN Cálculo Para Administración, Economía y Ciencias Sociales Séptima Edición – Colombia 2005

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GRACIAS… HASTA LA PRÓXIMA