OPERACIONAL EN PUENTES
* Jesús Daniel Villalba Morales I.C., M.Sc., D.Sc.
* Iván Darío Gómez Araujo I.C., M.Sc., D.Sc.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
fortaleza”
3
Dedicatoria
A mis padres Daniel Ortega y María Esther Cárdenas por su incondicional apoyo y dedicación
que han tenido conmigo durante toda mi vida, para ser el hombre que soy ahora.
A mi hermana Angélica María Isabel por ser siempre una compañía y una guía que siempre está
a mi lado.
La Pontificia Universidad Javeriana, por dejarme pertenecer a tan noble institución y completar
mi formación profesional.
Jesús Daniel Villalba y Iván Darío Gómez, director y co-director por emprender este proyecto
conmigo y brindarme toda su asesoría durante todo el proceso.
Luis Felipe Prada, director de la maestría por colaborarme en el comienzo tan difícil que tuve de
la maestría y brindarme su apoyo.
Al área de estructuras del departamento de ingeniería civil, por toda la asesoría, revisión y
paciencia, al trabajar durante el desarrollo de éste proyecto.
5
Resumen
La presente investigación se basó en el desarrollo de una aplicación computacional de Análisis
Modal Operacional (OMA) de código abierto para determinar las propiedades dinámicas (modos
de vibración, frecuencia) de una estructura civil en específico los puentes. En ese contexto, se
describiendo las definiciones generales del análisis modal mostrando los diferentes tipos de
análisis que existen (OMA y EMA), las definiciones de los dominios en el cual se puede realizar
el OMA (como son el dominio del tiempo y de la frecuencia) y los principales métodos para
desarrollar el análisis modal en ambos dominios.
Por consiguiente, se explicará el método de descomposición en el dominio de la frecuencia
(frequency domain descomposition –FDD), método implementado en esta investigación,
empezando con la explicación de los fundamentos matemáticos del método FDD, su algoritmo y
definición del lenguaje de programación Python y la licencia de software libre GNU. Ahora bien,
en el desarrollo de la descripción del programa del aplicativo computacional OMApy, se
desarrollará la hoja de ruta del programa, basada en una arquitectura de software de modelo, vista,
controlador (model view controller – MVC).
Finalmente se evaluará el programa a través de dos formas: la primera por medio de ejemplos
analíticos y la segunda por medio de los datos obtenidos del ensayo de vibraciones ambientales
del puente peatonal del edificio José Gabriel Maldonado, facultad de Ingeniería de la Pontificia
Universidad Javeriana. A partir de esto se concluyó que el programa tiene la capacidad de hacer
un análisis de la señal de una estructura y obtener sus modos de vibración y las frecuencias
naturales.
Palabras claves: Análisis Modal Operacional OMA, descomposición en el dominio de la
frecuencia (FDD), Software libre en Ingenieria Civil, OMApy, arquitectura de software,
vibraciones ambientales, puentes peatonales.
1.2 Objetivos ..................................................................................................................................... 15
2.1.1. Análisis Modal .................................................................................................................... 20
2.1.3 Metodologías de análisis modal operacional (OMA) ......................................................... 23
2.2 Señales ........................................................................................................................................ 30
2.5 Matriz de densidad espectral de potencia.................................................................................... 40
2.7 Descomposición en el Dominio de la frecuencia ........................................................................ 45
2.8 Licencia GNU ............................................................................................................................. 52
2.10 Arquitectura de software ............................................................................................................. 54
2.11 Modelo-Vista-Controlador .......................................................................................................... 54
3 Desarrollo del aplicativo computacional con el nombre de OMApy .................................................. 56
3.1 Hoja de ruta de OMApy .............................................................................................................. 56
3.2 Modelo Vista Controlador de OMApy ....................................................................................... 58
3.3 Diagramas de secuencia aplicado al patrón MVC: ..................................................................... 59
3.4 Diagrama de Clases ..................................................................................................................... 66
4 Ensayo de vibraciones ambientales del puente peatonal del edificio José Gabriel Maldonado. ......... 72
4.1 Ubicación y características del puente peatonal .......................................................................... 73
7
4.3 Modelo analítico del puente peatonal. ........................................................................................ 75
4.4 Descripción del ensayo ............................................................................................................... 76
4.4.1 Excitación de la estructura. ................................................................................................. 76
4.4.2 Instrumentación. .................................................................................................................. 77
4.4.3 Tiempo de la prueba y frecuencias de muestreo ................................................................. 78
4.4.4 Configuración de los acelerómetros. ................................................................................... 79
4.5 Resultados experimentales .......................................................................................................... 81
5. Evaluación del programa OMApy ...................................................................................................... 94
5.1 Evaluación del programa por medio del ensayo de vibraciones ambientales ............................. 94
5.2 Evaluación del programa por medio de ejemplos analíticos. ...................................................... 96
6. Conclusiones y futuros trabajos de investigación ............................................................................. 103
6.1 Nuevas propuestas de investigación ......................................................................................... 104
7. Referencias ........................................................................................................................................ 105
Figura 1 Árbol de métodos para realizar análisis modal................................................................24
Figura 2 Grafica de densidad espectral vs frecuencias mostrando los picos máximos de amplitud
en las frecuencias naturales del sistema. ........................................................................................28
Figura 3 Viga simplemente apoyada discretizada en 5 elementos (Gómez, 2010) .......................32
Figura 4 Señal del primer grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco. ............................................................................................................................................33
Figura 5 Señal del segundo grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco. ............................................................................................................................................33
Figura 6 Señal del tercer grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco. ............................................................................................................................................33
Figura 7 Señal del cuarto grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco. ............................................................................................................................................34
Figura 8 Señal del quinto grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco. ............................................................................................................................................34
Figura 9 Ejemplo del funcionamiento de la ventana Hanning sobre diferentes señales (White,
2010) ..............................................................................................................................................36
Figura 10 Esquemático para interpretar la matriz de espectro (Jiménez, 2013) ............................41
Figura 11 Función de densidad espectral de respuesta para cada grado de libertad por medio de la
simulación de excitaciones experimentales ...................................................................................43
Figura 12 Representación gráfica de la descomposición de valores singulares (Silveira, 2015) ..45
Figura 13 Diagrama de flujo del algoritmo FDD...........................................................................46
Figura 14 Grafica de valores singulares vs frecuencias del sistema. .............................................49
Figura 15 Espectro de valores propios ...........................................................................................50
Figura 16 Representación gráfica de las formas modales identificadas por el método FDD ........51
Figura 17 Formas para realizar OMA en el dominio de la frecuencia y del tiempo. .....................56
Figura 18 Estructura general para el programa OMApy del Modelo-Vista-Controlador. .............59
Figura 19 Interacción entre componentes del MVC mediante un diagrama de secuencias. ..........60
9
Figura 22 Datos de entrada ............................................................................................................63
Figura 23 Grafica de Valores singulares vs Frecuencias. ..............................................................63
Figura 24 Selección de picos .........................................................................................................64
Figura 25 Insertar coordenadas del sistema ...................................................................................64
Figura 26 Modos de vibración del sistema con sus gráficas. .........................................................65
Figura 27 Datos exportados en formato Excel. ..............................................................................65
Figura 28 Diagrama de clases del aplicativo computacional. ........................................................67
Figura 29 Superclase Domain y Subclases TimeDomain y FrequencyDomain ............................68
Figura 30 Clases en el dominio de la frecuencia ...........................................................................69
Figura 31 Clases en el dominio de la frecuencia y clase Sensor ...................................................70
Figura 32 Ubicación del edificio en las instalaciones de la Pontificia Universidad Javeriana
(tomado de la página web de la PUJ).............................................................................................73
Figura 33 Puente peatonal del edificio José Gabriel Maldonado. .................................................73
Figura 34 Vista en corte del puente peatonal del edificio José Gabriel Maldonado. .....................74
Figura 35 Modelo desarrollado en SAP 2000® del puente peatonal del edificio José Gabriel
Maldonado. ....................................................................................................................................76
Figura 36 Equipos suministrados por el laboratorio e estructuras de la PUJ. ................................78
Figura 37 Vista en planta del puente peatonal con las configuraciones de los acelerómetros. .....79
Figura 38 tabla de referencias de los setups...................................................................................79
Figura 39 Diferentes configuraciones en el puente: (a) setup 1, (b) setup 2, (c) setup 3, (d) setup
4,(e) setup 5, (f) setup 6 .................................................................................................................80
Figura 40 Señal con tráfico de todos los setups (a) setup 1, (b) setup 2, (c) setup 3, (d) setup 4,
(e) setup 5, (f) setup 6 ....................................................................................................................82
Figura 41 Señal sin tráfico de todos los setups (a) setup 1, (b) setup 2, (c) setup 3, (d) setup 4,(e)
setup 5, (f) setup 6 ..........................................................................................................................83
Figura 42 Paso 1. Importar la señal del setup 1 en el programa OMApy ......................................84
Figura 43 Paso 2. Introducimos los datos de entrada y ejecutamos el programa OMApy ............85
Figura 44 Paso 3. Selección de los picos y obtención de los modos de vibración de la
estructura. .......................................................................................................................................85
10
Figura 45 Paso 4. Obtención de las formas modales del setup 1. ..................................................86
Figura 46 Valores singulares vs Frecuencias de todos los setups con trafico ...............................87
Figura 47 Valores singulares vs Frecuencias de todos los setups sin trafico.................................87
11
Tabla 1 Formas modales identificadas por el método FDD ..........................................................51
Tabla 2 Frecuencias identificadas para cada setup con y sin trafico .............................................88
Tabla 3 Media de las frecuencias en común de cada setup con y sin trafico .................................88
Tabla 4 Modos de vibración verticales identificados, con trafico ................................................89
Tabla 5 Modos de vibración verticales identificados, sin trafico ..................................................90
Tabla 6 Modos de vibración verticales identificados, sin los setup 3 y 4, con tráfico. .................91
Tabla 7 Modos de vibración verticales identificados, sin los setup 3 y 4, sin tráfico....................92
Tabla 8 Porcentaje de diferencia entre la frecuencia obtenida en SAP 2000 y OMApy ...............96
Tabla 9 Comparación de las frecuencias obtenidas para el ejemplo analítico. ..............................98
Tabla 10 Modos de vibración de la viga simplemente apoyada con 5 grados de libertad. ............99
Tabla 11 Comparación de las frecuencias obtenidas para el ejemplo analítico para el segundo
ejemplo. ........................................................................................................................................101
Tabla 12 Modos de vibración de la viga simplemente apoyada con 21 grados de libertad .........102
12
DFT: transformada de Fourier discreta.
EMA: Análisis modal experimental.
FDD: Descomposición en el dominio de la frecuencia.
FFT: transformada rápida de Fourier
FRFs: Funciones de respuesta en frecuencia.
IFT: Transformada inversa de Fourier.
MVC: Modelo-Vista-Controlador.
SSI: Método de identificación de subespacios estocásticos.
SVD: Descomposición de valores singulares.
TMA: Análisis modal tradicional.
1.1 Planteamiento del problema y justificación
El crecimiento de grandes ciudades y el desarrollo rápido de las civilizaciones exige
constantemente la construcción y el diseño de estructuras complejas de gran tamaño tales como
puentes, rascacielos, presas, entre otras. En este sentido, es de vital importancia identificar las
propiedades dinámicas para este tipo de estructuras con el fin de comprender el comportamiento
real que presentan (Gomez, 2010). Así mismo, todo tipo de estructura presenta deterior a lo largo
de su vida útil, en especial las estructuras de gran uso y cargas variables como los puentes
(Brownjohn, Magalhaes, Caetano, & Cunha, 2010). Por esta razón, existo la necesidad de
desarrollar técnicas de detección de daños basados en el análisis de vibraciones en la estructura
por medio de la obtención de las propiedades dinámicas, empleando métodos basados en el
Análisis Modal, los cuales se clasifica dependiendo del tipo de excitaciones que tenga la estructura
durante el ensayo, ya sean excitaciones artificiales o naturales (Gomez, 2010; Rodriguez, 2005).
La obtención de las propiedades dinámicas se puede realizar por medio del análisis modal
operacional (Operational Modal Analysis – OMA), el cuál obtiene una descripción modal de la
estructura bajo condiciones normales de servicio, midiendo la respuesta de una estructura que es
excitada por fuerzas externas a la estructura, tales como: el viento, trafico, microsismos, entre
otras.
El uso del OMA da varias ventajas, como lo son: en la ejecución de la prueba la estructura
permanece en sus condiciones normales de funcionamiento permitiendo que los parámetros
modales obtenidos sean más aproximados a la realidad, no se aplican cargas externas a la estructura
para generar excitaciones artificiales conservando la integridad de esta y es un ensayo más
económico comparado con otros métodos de análisis modal (Rodriguez, 2005; Cauberghe, 2004).
15
Se necesita softwares para poder realizar el OMA, aunque, la mayoría de los softwares son
propietarios, es decir, restringe el estudio de su código de programación y solo tienen acceso a
estos programas las personas que puedan adquirir las licencias, creando de esta manera una
limitante a los usuarios que no puedan tener acceso a estos tipos de herramientas principales para
la vigilancia estructural. Ejemplo de este tipo de software son: Macec (Reynders et al. 2008b),
Artemis (www.svibs.com), Test.Lab (www.lmsintl.com) y ModalCAD (ahin & Bayraktar, 2009),
(Brownjohn, Magalhaes, Caetano, & Cunha, 2010).
Hoy en día las comunidades universitarias tanto privadas como públicas, se está incentivando el
uso y la promoción de los softwares libres, para investigación y apoyo a la docencia para eliminar
la dependencia del software privado, generar una apropiación del conocimiento y darle acceso a
todos los usuarios que quieran utilizar este tipo de programas. (Delgado & Cuello, 2005).
Es importante realizar este programa de análisis modal operacional en un lenguaje de
programación que pueda garantizar la creación de un buen código, por esta razón, se ha decidido
desarrollar este software en el lenguaje de programación Python, ya que este lenguaje se ha
realizada bajo la filosofía de software libre, es de escritura simple y creativa permitiendo obtener
un programa eficiente bajo una licencia MIT License.
Por último, realizando este proyecto, se dará inicio a una línea de investigación enfocado al OMA
generando así una comunidad que trabaje en torno a este tema de investigación y la producción de
softwares libres relacionados con el OMA.
1.2 Objetivos
Determinar las propiedades dinámicas (modos de vibración, frecuencia) de una estructura civil
como son los puentes por medio de una aplicación computacional de Análisis Modal Operacional
(OMA) de código abierto.
1.2.2 Objetivos Específicos
Proponer la hoja de ruta para la programación de la aplicación computacional de
OMA en puentes.
Realizar la programación de la aplicación computacional de OMA con base a la
hoja de ruta planteada.
Evaluar la programación de la aplicación computacional realizada mediante datos
obtenido de estudios realizados en el puente peatonal del edificio José Gabriel
Maldonado de la facultad de Ingeniería.
1.3 Antecedentes
El desarrollo del Análisis modal por medio de vibraciones ambientales se inició en el siglo XX; a
comienzos de siglo se desarrollaron las teorías más relevantes en el campo de la dinámica
estructura, pero el desarrollo de pruebas en estructuras claramente definidas se realizó entre 1920
a 1945, las vibraciones ambientales se empezaron a implementar en estas pruebas fue entre 1965
a 1975, con los avances de las tecnologías de la computación se desarrollaron varias técnicas para
el análisis de vibraciones ambientales (1990-2000) (Wenzel, 2005).
Con el tiempo se desarrolló pruebas de OMA en diferentes tipos de estructuras, según S.S. Ivanovic
M.D Trifunac y M.I Todorovska (2000) realizaron una recopilación bibliográfica con respecto a
este tema mostraron los siguientes autores que desarrollaron estas pruebas para diferentes
estructuras: “En edificios (ivanovie y Trifunac, 1995; Ko y Bao, 1985 Marshall et al., 1994;
McLamore et al, 1971 Midonkawa, 1990, Ristie et al, 1998: 1989; Semno, 1974; Shstan y Foissner,
Rodríguez-Cuevas, 1995; Stubbs y McLamore, 1973; Taskov y Koevska, 1998), puentes (Abdel-
17
Ghaffar et al, 1984 Abdel-Ghaffar y Housner, 1977, 1978; Brownjohn et al, 1986, 1987;. 1989,
1992; Higashihara et 1987, Ventura et al, 1994, 1996a, 1996b; Wilson y Lui, 1990) presas (Abdel-
Ghaffar y Scott, 1981), y plantas nucleares (Luz et al, 1983).” (S.S. Ivanovic M.D Trifunac et all,
2000).
En la última década se han desarrollado varias pruebas de análisis modal operacional enfocado a
la vigilancia estructural. En 2004 Wei-Xin Ren, Wael Zatar y Issam E. Harick desarrollaron
pruebas para determinar el comportamiento sísmico del puente sobre el rio Cumberland (EE.UU)
el cual fue diseñado en 1972 con el fin de determinar el estado actual que se encuentre la estructura;
Gentile y Gallino en 2007 evaluaron e comportamiento dinámico del puente peatonal Morca
(Italia) al cual se le realizo una rehabilitación estructural; en Chile los ingenieros Moroni y Sarrazi
realizaron la instrumentación de tres puentes con aislamiento sísmico para verificar el efecto
positivo que tiene la reducción de movimientos debido a los aislamientos.
Colombia no ha sido ajena al desarrollo de pruebas de OMA en puentes, como, por ejemplo:
monitoreo de la salud estructural basada en la medición de vibraciones ambientales desarrollada
en el puente El Hormigo, desarrollado por la universidad del valle, la medición de vibraciones
ambientales para la calibración del modelo analítico del puente Cajamarca desarrollado por la
Universidad Javeriana, y el análisis de vibraciones ambientales del viaducto García Cadena de
Bucaramanga.
En la actualidad no se encuentra ningún software de análisis modal bajo la filosofía de software
libre, se encontró que existe un software académico para realizar OMA llamado ModalCAD
creado por ahin, Abdurrahman y Bayraktar, Alemdar, pero no se encontró el programa (ahin &
Bayraktar, 2009) y un código en Matlab que realiza el OMA por medio del método de
descomposición en el dominio de la frecuencia creado por Mohammad Farshchin cuyo código se
encuentra en el repositorio de la página de MathWorks (Farshchin, 2015).
18
1.4 Alcance
En este proyecto se creó un programa para desarrolla un análisis modal operacional, con el nombre
de OMApy. Consistiendo este en un Análisis Modal en el dominio de la frecuencia mediante el
uso del método de descomposición en el dominio de la frecuencia (FDD). El análisis de la señal
que realiza OMApy se hace en una sola dimensión, tomando las señales obtenidas en campo y
como resultados se obtienen las frecuencias naturales y las formas modales asociados a cada
frecuencia.
1.5 Síntesis
A continuación, se presentará de forma concisa la organización del presente documento:
- El segundo capítulo presenta el marco teórico con el que se basa este proyecto de grado,
dando una descripción de las definiciones generales del análisis modal mostrando los
diferentes tipos de análisis que existen (OMA y EMA), las definiciones de los dominios en
el cual se puede realizar el OMA (como lo son el dominio del tiempo y de la frecuencia) y
los principales métodos para desarrollar el análisis modal en ambos dominios; después se
explicara el método que se enfoca este proyecto para realizar el análisis modal, el método
de descomposición en el dominio de la frecuencia (frequency domain descomposition –
FDD), empezando con la explicación de los fundamentos matemáticos del método FDD, ,
la explicación del método FDD con base a lo anteriormente expuesto y su algoritmo. Al
final de capitulo se dará unas definiciones del lenguaje de programación Python y la
licencia de software libre GNU.
- El tercer capítulo se presentan la descripción del programa del aplicativo computacional
OMApy, se mostrará la hoja de ruta del programa, comenzando con la descripción del
programa con base en una arquitectura de software de modelo, vista, controlador (model
view controller – MVC).
19
- El cuarto capítulo describe la forma en cómo se desarrolló el ensayo de vibraciones
ambientales del puente peatonal ubicado en el edificio José Gabriel Maldonado, de la
facultad de Ingeniería de la Pontificia Universidad Javeriana.
- En el quinto capítulo describe la forma en cómo se evaluará el programa el cual consiste
en dos partes: por medio de ejemplos analíticos y por medio de los datos obtenidos del
ensayo de vibraciones ambientales del puente peatonal del edificio José Gabriel
Maldonado, facultad de Ingeniería de la Pontificia Universidad Javeriana
- Para terminar en el sexto capítulo expondrá las conclusiones obtenidas del presente
proyecto y el planteamiento de proyectos a futuro que producirá este proyecto.
20
2.1.1. Análisis Modal
La técnica de análisis modal operacional se basa en la recolección de datos, la identificación del
sistema y la estimación de los parámetros modales del sistema analizado. Este análisis tiene como
objetivo obtener las características dinámicas inherentes de un sistema estructural como lo son: la
frecuencia, los modos de vibración y el amortiguamiento; que está en función de la masa, la rigidez
y el amortiguamiento del sistema, mediante el uso de técnicas de análisis de señales que permite
observar su comportamiento dinámico (Cacho-Perez, Frechilla, & Lorenzana, 2016; Lasagni,
2011).
Existen dos técnicas para realizar análisis modal: la teórica y la experimental; el análisis modal
tradicional se basa en excitar artificialmente las estructuras mientras al mismo tiempo se mide la
respuesta que se produce. Es necesario emplear la función de respuesta en frecuencia para
caracterizar la estructura y se requiere de la utilización de grandes y costos equipos que inhabilitan
el uso de la estructura durante la prueba. En cambio, el análisis modal operacional se basa en
determinar las propiedades dinámicas de la estructura mientras se encuentra sometida a sus cargas
de servicio no conocidas; por lo tanto, esta técnica es la más implementada en estructuras civiles
(Barrera, 2006).
El análisis modal posee muchas utilidades como lo indica Rodríguez (2005) las cuales se presentan
a continuación:
- Comprender como se comportan las estructuras bajo la acción de fuerzas dinámicas.
- Medir las propiedades de la estructura cuando se somete a una vibración para refinar y
validar modelos analíticos. Cada vez se usan más los ensayos dinámicos combinados con
21
los análisis de elementos finitos para mejorar los modelos analíticos a partir de los cuales
se pueden identificar los parámetros de las secciones, módulo de Young, apoyos, etc.
- Desarrollar un modelo, ya que proporciona una descripción definitiva del
comportamiento de una estructura que puede ser evaluada para ciertas especificaciones del
diseño.
- Controlar la integridad de cierta estructura y su comportamiento, con el fin de detectar
problemas y evitarlos. Es un campo de aplicación creciente ya que estructuras como
puentes están sometidos a cargas cada vez mayores y que se ven deteriorados por el paso
de los años, como se indica en He et al (2004).
- Comprobar el estado de las estructuras después de sufrir daños como por ejemplo los
debidos a un terremoto.
- Ayudar en el diseño de todo tipo de estructuras (aviones, naves espaciales, coches,
raquetas de tenis...) y hacer simulaciones en el desarrollo de prototipos.
- Predecir o simular la respuesta a excitaciones externas o cómo se comportará la
estructura bajo otras condiciones de operación diferentes.
- Simular cambios en las características dinámicas, debido a modificaciones físicas, bien
sea añadiendo una carga mayor o una rigidez para obtener una propiedad dinámica deseada.
- Estimar las fuerzas que actúan sobre la estructura.
- Hacer un análisis del ensamblaje de estructuras.
Por último, este análisis es una buena herramienta para el monitoreo de la vida estructural (SHM),
el cual consiste en la ubicación preventiva de daño en una estructura mediante la detección de
cambios en la frecuencia y modos de vibración de este por medio de una comparación con un
estado de referencia inicial de la estructura libre de daño. Incluso, se es posible detectar la
localización e intensidad de los daños y prever a futuro el comportamiento de la estructura
(Lasagni, 2011)
2.1.2. Análisis modal experimental y operacional.
Para la obtención de las propiedades dinámicas de las estructuras se emplean métodos basados en
el análisis modal, clasificados por el tipo de excitaciones que se utiliza en el ensayo de adquisición
de datos. Si el ensayo se realiza con excitaciones artificiales se le llama análisis modal
experimental (EMA) y si el ensayo se realiza con excitaciones naturales se le llama análisis modal
operacional (OMA).
Con base en la información encontrada en los documentos de Rodríguez (2005) y Freire (2011) se
realizó el siguiente paralelo sobre estas dos formas de análisis modal, la cual se explica a
continuación:
Análisis modal Experimental (EMA)
En este tipo de análisis se obtienen los parámetros modales por medio de las funciones de respuesta
en frecuencia (FRFs), el cuál relaciona los datos de salida (respuesta de la estructura) con los datos
de entrada (excitación de la estructura); a la estructura se le impone una carga artificial como dato
de entrada conocido, y las excitaciones naturales (excitaciones ambientales), se considera como
una fuente de ruido no deseado.
Para estructuras de poco tamaño como las usadas en ensayos de laboratorio y las estructuras
convencionales de gran tamaño donde sea viable generar excitaciones artificiales, es recomendable
realizar el EMA.
Análisis modal operacional (OMA)
El análisis modal operacional (OMA) consiste en la medición de la respuesta de una estructura que
es excitada por fuerzas generadas por factores externos de la estructura, estos factores pueden ser
23
el viento, el tráfico, los micros sismos, entre otras excitaciones naturales. Su principal uso es
obtener una descripción modal de la estructura bajo las condiciones normal de servicio.
Este tipo de análisis debe tener en cuenta que las fuerzas registradas son aplicadas simultáneamente
y son de tipo ruido blanco, es decir, la señal es gaussiana la cual presenta una varianza de cero y
una media constante.
Este análisis es muy empleado para estructuras donde no es fácil producir una excitación artificial,
a causa de su tamaño, forma o localización.
Freire (2011) muestra las principales ventajas del análisis modal operacional:
- Es necesario menor tiempo para realizar el ensayo, ya que sólo hay que colocar los
equipos de medida.
- Es más barato, puesto que no necesita la adquisición de equipos excitadores y puede
realizarse in situ.
- El ensayo no interfiere ni interrumpe el funcionamiento normal de la estructura, por lo
que puede seguir estando en servicio mientras se realiza.
- La respuesta medida es representativa de las condiciones reales de funcionamiento de la
estructura.
- Se evita la aplicación de cargas artificiales que conllevan un riesgo de dañar la estructura.
2.1.3 Metodologías de análisis modal operacional (OMA)
En la actualidad existen varios métodos para realizar análisis modal operacional, en los siguientes
sub índices se describirá las dos principales formas para realizar análisis modal operacional:
métodos paramétricos en el dominio del tiempo y métodos no paramétricos en el dominio de la
frecuencia como se observa en la Figura 1.
24
Figura 1 Árbol de métodos para realizar análisis modal.
El primer dominio (dominio en el tiempo) contiene los métodos basados en la ecuación de estado
de un sistema dinámico y su descomposición con el uso de los filtros de Kalman. El segundo
dominio (dominio de la frecuencia) incluye los métodos basados en la descomposición de la señal
de respuesta al dominio de la frecuenciaFuente especificada no válida..
Las suposiciones para hacer el análisis del sistema por medio de estos dos dominios son:
- La estructura es invariante en el tiempo
- Presenta poco amortiguamiento
- Las frecuencias del sistema se encuentran separadas
- La excitación que se presenta en la estructura es un ruido de banda ancha estacionaria.
ANALISIS MODAL
PP FDD EFDD FSDD
NexT-ERA SSI SSI-DATA
Métodos paramétricos en el dominio del tiempo
Existen numerosas técnicas de análisis modal operacional en el dominio del tiempo existen, pero
en esta sección se presentarán algunas de las técnicas más relevantes de identificación modal de
sistemas dinámico. Estas técnicas se dividen en dos: las que utilizan función de correlación y las
que emplean directamente las series temporales. Para la primera se presenta el método de
identificación estocástico (ERA) y el Next – ERA, y para la segunda el método de identificación
de subespacios estocásticos (SSI). Estas metodologías tienen en común la identificación de las
matrices del modelo de espacio de estado. (Ojeda, 2012; Gomez, 2010).
Los principales inconvenientes que presentan estos métodos en el dominio del tiempo son: cuando
se encuentra bajo condiciones de ruido (señales no conocidas), el número de modos de vibración
se estima con poca precisión dificultando la obtención de los modos reales de la estructura por
efectos del ruido. Por consiguiente, estos métodos no son apropiados para el monitoreo de una
estructura a largo plazo. (Ojeda, 2012).
Método de identificación estocástico (ERA): El método de identificación estocástico (en inglés
Eigensystem Realization Algorithm, ERA), consiste en un análisis de parámetros del sistema
basados en la relación de la matriz de Hankel con los parámetros Markov (funciones de
correlación) de las matrices de estado que definen el sistema. Los parámetros de Markov, son
determinados por medio de la transformada inversa de Fourier (IFT) y la matriz de densidad
espectral de potencia (CPS), obtenidas de los datos registrados en campo. La matriz de Hankel es
construida por medio de los parámetros de Markov, esta matriz se descompone y como resultado
obtiene la matriz de espacio de estado. A partir de las matrices anteriores se obtienen las
características modales de la estructura. (Luscher, Brownjohn, Sohn, & Farrar, 2011).
Método NexT-ERA: Continuación del método ERA, con la aplicación de la técnica de excitación
natura NexT que permite ensayar la estructura en condiciones normales, permitiendo identificar
mediante registros de vibraciones libres las características modales de la estructura a través de los
26
vectores y valores propios de la matriz de Hankel. Esta técnica usa la correlación cruzada existente
entre una señal de respuesta y una señal de referencia; la relación existente entre ambas señales
permite analizarlas como una respuesta de vibración libre de la estructura y, por lo tanto, no se
requiere conocimiento de la fuente causante del movimiento (Zabala & Ruiz, 2007).
Método de identificación del subespacio estocástico (SSI): Este es uno de los métodos más
poderosos para realizar el OMA en el dominio del tiempo, trabaja directamente con los datos
temporales medidos, sin la necesidad de transformarlos en espectros o correlaciones como los
métodos anteriores es una de las metodologías más completas, aunque no siempre sus datos son
del todo fiables debido que en con algunas técnicas en el dominio de la frecuencia se pueden
estimar mejores modos de vibración y amortiguamiento. Uno de los defectos del SSI es que tiene
un costo computacional muy alto comparado con los métodos en el dominio de la frecuencia, pero
la calidad de sus resultados (Rodriguez, 2005; Jiménez, 2013).
Método de identificación de subespacios estocásticos a partir de series temporales (SSI-
DATA): El método SSI-DATA (Data-Driven Stochastic Subspace Identification) estima las
matrices del sistema de espacio de estados a partir de tener únicamente el conocimiento de la
respuesta en aceleraciones del sistema; el conocimiento de la señal de entrada o la excitación es
reemplazado por la suposición, que la entrada es un proceso estocástico (bajo la hipótesis de ruido
blanco) (Gomez, 2010).
Métodos no paramétricos en el dominio de la frecuencia
En el dominio de la frecuencia, los métodos utilizados son de tipo no paramétrico, el cual permite
obtener las propiedades dinámicas de una estructura generando un modelo. La respuesta en el
tiempo de la estructura se trabaja en el dominio de la frecuencia, obteniendo las propiedades
dinámicas de una forma directa (Núñez, 2009).
27
A demás de lo anterior Núñez (2009) afirma que la identificación de las propiedades dinámicas
por medio del análisis en el dominio de la frecuencia requiere de varias herramientas como lo son
la transformada de Fourier, el Espectro de Densidad de Potencia (PSD, del inglés Power Spectrum
Density), Función de Transferencia y Coherencia, Función de Auto correlación, entre otros.
En todos los métodos en el dominio de la frecuencia se debe partir que la excitación ambiental es
un proceso estocástico gaussiano tipo ruido blanco con media nula y varianza unitaria (Gomez,
2010)
A continuación, se definirán alguna de las técnicas del análisis modal operacional en el dominio
de la frecuencia:
Promedio normalizado de los auto espectros: también conocido como pick-piking (PP) es el
método más sencillo para poder obtener las características modales de una estructura sometida a
cargas ambientales en el dominio de la frecuencia. Esta metodología se basa en la obtención de la
función de densidad espectral de potencia por medio de la conversión de las medidas de las
aceleraciones obtenidas en campo al dominio de la frecuencia con el uso de la transformada de
Fourier discreta (DFT) (Freire, 2011; Gomez, 2010).
La función de densidad espectral de respuesta de la estructura presenta amplitudes máximas
alrededor de las frecuencias naturales amortiguadas muy cercanas a las frecuencias naturales no
amortiguadas, debido a l bajo coeficiente de amortiguamiento que se presentan en las estructuras
civiles. Estas amplitudes máximas se pueden identificar en la gráfica realizada con los valores de
la función de densidad espectral vs frecuencias como se observa en la Figura 2 (Freire, 2011;
Gomez, 2010).
28
Figura 2 Grafica de densidad espectral vs frecuencias mostrando los picos máximos de amplitud
en las frecuencias naturales del sistema.
Según Freire (2010) esta metodología presenta los siguientes inconvenientes:
-Elegir las frecuencias naturales es una tarea subjetiva, especialmente si los picos no están
demasiado claros.
- Al aumentar el amortiguamiento, los picos se desplazan de las frecuencias naturales.
- No se obtienen los modos de vibración, se calculan las formas de deformación que pueden
servir como aproximación.
- Sólo los modos reales o las estructuras con amortiguamiento proporcional pueden ser
calculadas por este método. No se emplea para las estimaciones de amortiguamientos, ya
que no proporciona buenos valores
Descomposición del dominio de la Frecuencia (FDD): Este método es la continuación del
método anterior (Peak Picking), solucionando una de las principales limitaciones de este, la
identificación de las frecuencias de resonancia muy próximas entre si y la obtención de los modos
de vibración asociados a las frecuencias (Gomez, 2010; Rodriguez, 2005).
El método FDD consiste en obtener la matriz de densidad espectral de potencia (CPSD) de las
señales obtenidas en campo, hasta este punto se realiza el mismo procedimiento que el método PP.
Después de esto aplicamos la descomposición de valores singulares (SVD) a la matriz CPSD para
obtener los valores propios y vectores propios de este.
29
Los modos se obtienen mediante la matriz de densidad espectral definida como una representación
de cómo se distribuye la energía para todas las frecuencias, la cual se calcula teniendo en cuenta
que los datos de entrada están bajo la suposición de ruido blanco, es decir, la matriz de densidad
espectral de las entradas es constante (Rodriguez, 2005).
La relación entre una entrada () y las respuestas que se generan de esa entrada () se expresa
de la siguiente manera:
() = () () () Ecuación 1
Donde es la matriz de densidad espectral de potencia de entrada x (m es el número de
entradas), es la matriz de densidad espectral de potencia de salida de tamaño x (n es el
número de salidas), () es la matriz de función de respuesta en frecuencia (n x m) , el
superíndice “ ” y “” indica una matriz compleja conjugada y una transpuesta, respectivamente
(Rodriguez, 2005).
Al obtener la matriz de densidad espectral de salida aplicamos la descomposición de los
valores singulares (SVD) indicada en la Ecuación 2, con el fin de obtener los vectores propios y
valores propios del sistema, que representan las formas modales y las frecuencias naturales del
sistema.
Ecuación 2
La matriz contiene los vectores propios del sistema de donde se obtienen los modos de vibración
del sistema y es una matriz diagonal conformada por los valores propios donde cada uno de esta
muestra las frecuencias del sistema. (Rodriguez, 2005). Este método se explicará con más detalle
en el subíndice 2.7 del presente capitulo.
Descomposición del dominio de la frecuencia mejorada (EFDD): Esta técnica realiza una
mejora del método FDD, el cual permite obtener los coeficientes de amortiguamiento modal y
30
conseguir con mayor precisión que los métodos anteriores las frecuencias naturales y los modos
de vibración del sistema.
Esta mejora está basada en el hecho de que la función de auto correlación de respuesta de un
sistema de un grado de libertad sometido a una excitación bajo la hipótesis de ruido blanco puede
ser proporcional a las respuestas de vibración libre (Brinker et al, 2001).
Después de obtener las frecuencias por el método FDD se realiza la transformada inversa de
Fourier (IFFT), obteniendo de esta manera la función de auto correlación que está asociada a cada
frecuencia. Como mencionamos antes la función de auto correlación son proporcionales a las
respuestas de vibración libre, con base en esto, se puede encontrar el coeficiente de
amortiguamiento usando un concepto básico de la dinámica como lo es el decremento logarítmico.
Descomposición del dominio de la frecuencia espacio (FSDD): Este método usa la
descomposición de la matriz de densidad espectral del mismo modo que el FDD. Sin embargo, el
método EFDD evalúa un amortiguamiento a partir de la aplicación del decremento logarítmico en
función de la correlación evaluada por la aplicación de la transformada inversa de Fourier (IFT).
El cálculo de esta transformada inversa con un espectro truncado puede generar errores en la
estimación del amortiguamiento del sistema, principalmente cuando existen frecuencias naturales
muy juntas.
El método FSDD fue desarrollado para eliminar este tipo de problema. Haciendo una
transformación lineal de la matriz espectral pre multiplicando y pos multiplicando el vector
singular correspondiente a una frecuencia de resonancia. Por lo tanto, haciendo uso de las
propiedades de ortogonalidad entre los modos de vibración de la nueva matriz espectral se obtiene
un comportamiento de un sistema de un solo grado de libertad.
2.2 Señales
Previamente a realizar el OMA se deben obtener mediciones de la estructura en condiciones
normales, registrando las variables físicas de interés las cuales son llamadas señales. En un sistema
eléctrico la variable de interés es el voltaje, corriente, capacidad de carga, u otras; en un sistema
31
mecánico la variable de interés puede ser la posición, la masa el volumen, entre otras; en el caso
del OMA la variable de interés es la aceleración. Al realizar sus tareas con base al registro de la
variable de interés puede ser necesario manipular o combinar señales, extraer información de ella
o procesar la seña. Estas acciones se les conocen como procesamiento o análisis de la señal. (Cuff,
2016)
Una buena adquisición de la señal permite modelar el valor de la variable de interés física por un
delta de tiempo, se tiene que tener en cuenta que en el análisis de señales no interesa un solo valor,
sino un conjunto de valores en un rango de tiempo; para esto se necesita una señal en función del
tiempo. Por ejemplo, una función () indicará la aceleración en función del tiempo
(Cuff, 2016), como se mostrará en el ejemplo a continuación:
Ejemplo:
Durante el transcurso de este capítulo se va a tratar un ejemplo numérico donde se simula datos
experimentales similares a los que se pueden obtener en una prueba de carga dinámica. Las
características del ejemplo son tomadas de Gómez (2010), el cual se describe a continuación:
Se tiene una viga simplemente apoyada en sus extremos, discretizada en 6 elementos de un metro
cada uno como se muestra en la siguiente figura, con una sección cuadrada de 0.15 m por 0.15m
y un módulo de elasticidad de 1.787 ∗ 1010
2 con una matriz de rigidez, masa y amortiguamiento
obtenida a partir por el método matricial que fue programado en Matlab® lo cual se muestra en
laFigura 3. Con el fin de simplificar el ejemplo no se tiene en cuenta los grados de libertad axiales
y rotacionales, solo se considerar los grados de libertad verticales.
32
Matriz de rigidez:
Matriz de masa:
Matriz de amortiguamiento:
Figura 3 Viga simplemente apoyada discretizada en 5 elementos (Gómez, 2010)
A este ejemplo se le realizar la simulación de los datos experimentales por medio de la herramienta
Simulink de Matlab®, el cual tiene en cuenta la matriz de rigidez, masa y amortiguamiento,
además se crea un vector de excitación que tiene las características de ruido blanco. Con base a lo
anterior se crearon series de tiempo de aceleraciones verticales en cada uno de los grados de
33
libertad del ejemplo analítico simulando una prueba de carga dinámica en la viga simplemente
apoyada con una frecuencia de muestreo de 200 Hz y un tiempo de excitación de 5 minutos; Las
señales de se muestran a continuación:
Figura 4 Señal del primer grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco.
Figura 5 Señal del segundo grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco.
Figura 6 Señal del tercer grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco.
34
Figura 7 Señal del cuarto grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco.
Figura 8 Señal del quinto grado de libertad del ejemplo analítico bajo una excitación de ruido
blanco.
2.2.3 Tipos de señales
Las señales dinámicas en ingeniería civil se clasifican en determinísticas y aleatorias (Rodriguez,
2005):
Las señales determinísticas se pueden describir mediante una relación matemática explícita, las
cuales se clasifican en periódicas y transitorias. Las periódicas son señales repetitivas a lo largo
del tiempo de la medición debido a que están formadas por una frecuencia cíclica constante en el
tiempo, un ejemplo de este tipo de señales son las sinusoidales. Las transitorias son señales que
35
comienzan y terminan en un valor constante, por lo general es cero, ejemplo de estas señales son
las producidas por un impacto.
Las señales aleatorias son señales cuyos valores instantáneos no se pueden predecir, pero estos
valores pueden ser caracterizados en una función de densidad de probabilidad. Este tipo de señales
producen un espectro amplio y continuo, que contiene las mismas energías en todas las
frecuencias. Un ejemplo de las señales aleatorias son las vibraciones que puede presentar una
estructura debido a excitaciones ambientales.
2.3 Análisis de Fourier
El análisis en el dominio de la frecuencia se puede realizar de las siguientes formas: utilizando la
transformada rápida de Fourier (FFT) y mediante el uso de filtros digitales; para este proyecto
nos interesa el análisis de la señal por medio del FFT debido a que esta es la transformada que
utiliza el método FDD. El análisis de Fourier se basa en que las funciones periódicas se pueden
representar por medio de senos y cosenos.
La transformada de Fourier es un cálculo matemático el cual consiste en transformar una señal
que se encuentre en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, entendiendo que en el
dominio del tiempo la señal está en función del tiempo y en el dominio de la frecuencia estará en
función de la frecuencia.
Cuando la transformada de Fourier es aplicada a una señal digital, se le conoce con el nombre de
una transformada de Fourier discreta (DFT), así mismo, La aplicación del DFT en estas señales
genera errores asociados al “leakage”, esto es, un error de escurrimiento de la frecuencia debido a
que la DFT asume que la señal es periódica en la longitud de la muestra.
Con el fin de solucionar el leakage se recurre a la aplicación de ventanas de procesamiento de la
señal o ventanas de cálculo antes de realizar la DFT, para el caso de vibraciones ambientales que
son consideradas señales de tipo aleatorio la ventana más utilizada es la Hanning (Brown, 1999),
este tipo de ventana realiza una ponderación que no les da mucho peso a los datos tomados al
principio y al final del muestreo. Su formulación se describe en la Ecuación 3.
36
))
= Longitud de la ventana
En la Figura 9 Ejemplo del funcionamiento de la ventana Hanning sobre diferentes señales, se
muestra un ejemplo de la ventana Hanning para diferentes tipos de señales de entrada:
Figura 9 Ejemplo del funcionamiento de la ventana Hanning sobre diferentes señales (White,
2010)
37
Aplicando la ventana Hanning () en la transformada discreta de Fourier de una señal en el
tiempo () obtenemos la siguiente ecuación:
(,) = ∑ −
−1
=0
Ecuación 4
= Número de valores discretos de la señal .
= Intervalo de tiempo entre los valores discretos de la señal .
= Frecuencia radial
= Duración total de la señal .
Por lo general la selección de valores discretos de frecuencia de la ecuación anterior es:
=
2
Ecuación 5
En la DFT la resolución de frecuencia es la inversa de la duración total de la señal, como se muestra
en la Ecuación 6.
Ecuación 6
Reemplazando la ecuación de la frecuencia discreta () en la ecuación de la DFT la ecuación se
reescribe de la siguiente forma:
38
2
∴ = 0, 1, , − 1 Ecuación 7
Para que no exista una distorsión del contenido energético, en otras palabras, de su varianza, las
ordenadas de la señal se dividen por la raíz cuadrada del valor cuadrático medio de la ventana
Hamming (), la sumatoria de los cuadrados de las ordenadas de la ventana Hamming dividida
por el tamaño de la ordenada , como se muestra en la Ecuación 8.
= ∑ −
2 −1
=0
∴ = 0, 1, , − 1 Ecuación 8
La forma más eficiente para calcular la DFT es a través del algoritmo de la transformada rápida de
Fourier (FFT), debido a que se adapta al uso de las computadoras, proporcionando un algoritmo
para calcular el DFT de manera rápida y eficaz. (White, 2010)
La FFT es una versión más rápida de la DFT el cuál se aplica cuando el número de muestras de
la señal es una potencia de 2. El cálculo del FFT toma aproximadamente log2() operaciones,
mientras que el DFT toma aproximadamente 2,por ende, el FFT es considerablemente más
rápido. Las funciones FFT son simétricas, es decir, sus datos de salida contienen frecuencias
negativas que solo existen como propiedades matemáticas de la transformada de Fourier. La
primera mitad de los datos de salida generados por la FFT.
Por lo general, la mayoría de los analizadores de la FFT permiten la transformación de 512, 1024,
2048 o 4096 muestras, esta cantidad de muestra genera una dependencia en el rango de frecuencias
cubierto por el análisis de la FFT. (White, 2010)
39
2.4 Método de Welch
El método más empleado para estudiar las frecuencias predominantes en el movimiento de un
sistema estructural es el método de Welch o periodograma, con el cuál se estima el espectro de
densidad de potencia del sistema. Esta metodología parte de la suposición de que la estructura se
encuentra sometida a excitaciones aleatoria independientes, simultaneas o de baja correlación, y
con base en esto las frecuencias predominantes del sistema se pueden asociar con los periodos
naturales de la estructura.
El método de Welch puede estimar el espectro de densidad espectral debido a la segmentación de
la serie de tiempo y la aplicación de ventanas a la señal de respuesta que se obtiene de la estructura,
después del uso de las ventanas de tiempo, realiza una convolución entre la transformada de
Fourier de la señal con la transformada de Fourier de a ventana. (Boroschek K & Hernández P,
2010). A continuación, se describe el procedimiento de esta metodología descrita por Gómez
(2010):
- La señal de entrada es dividida en n segmentos traslapados d acuerdo al tamaño de la
ventana y el porcentaje del traslapo que se determine con otros segmentos adyacentes
(normalmente se le asigna como el 50% de traslapo).
- A cada segmento se le aplica el tipo de ventana seleccionado (Hanning)
- Se calcula la FFT a cada segmento ventaneado, donde se debe establecer el tamaño N
de la FFT
- El conjunto de FFT de cada segmento ventaneado es promediado y luego escalado, para
calcular la función de densidad espectral.
Para obtener el espectro de potencia se requiere emplear registros de duración finita, pero la
hipótesis de ruido blanco con la que se basa los métodos de OMA en el dominio de la frecuencia
son de duración finita. Por consiguiente, se llega a una incerteza estadística de la estimación del
espectro de potencia. Con el fin de reducir esta incertidumbre se utiliza el método de Welch para
promediar los espectros de potencia de ventana de tiempo sobre la señal original. A demás, el
método de Welch minimiza el efecto del leakage (Boroschek K & Hernández P, 2010).
40
2.5 Matriz de densidad espectral de potencia.
El espectro de potencia como lo explica Gómez (2010), es el resultado de utilizar al FFT en la
función de auto respuesta, para un proceso estocástico. La matriz resultante se organiza con los
auto-espectros de la señal en la diagonal principal y los espectros cruzados relacionando la
respuesta obtenida en un punto de la estructura con la respuesta obtenida en un punto . En el
caso de que todos los puntos de la estructura registraran simultáneamente la respuesta de cada uno
de esto, el resultado de la matriz espectral sería una matriz cuadrada x , donde es el número
de puntos instrumentados la cual se puede describir en la siguiente ecuación. Figura 10 ayuda a
visualizar la matriz de densidad espectral.
() = ()∗ ()
Donde:
() = Vector columna con tantas columnas como puntos instrumentados el cual contiene la FFT
de un vector de respuesta .
41
Figura 10 Esquemático para interpretar la matriz de espectro (Jiménez, 2013)
Para tener una mejor caracterización dinámica de la estructura es necesario tener un mayor número
de grados de libertad el cual se obtiene por medio de la instrumentación de varios sensores
ubicados en diferentes puntos de la estructura. Debido a esto, en la realidad se utilizan diferentes
configuraciones de acelerómetros para la medición de las respuestas de la estructura, cada
configuración se conoce con el nombre de “setup”.
Por esta razón, solo se puede obtener una matriz espectral rectangular de tamaño − ( es el
número de grados de libertad medidos en un setup y es el número de grados de libertad de
referencia), por medio de la Ecuación 11:
42
Donde:
() = vector de dimensión con la FFT a las respuestas relativas a los grados de libertad de
referencia.
Ejemplo:
En el subíndice 2.2.2 se realizó la simulación de una carga aleatoria de ruido blanco a una viga
simplemente apoyada con 5 grados de libertad en dirección vertical, una frecuencia de muestreo
de 200 Hz y una duración de la excitación de 5 minutos.
Por medio de las señales de aceleración simuladas para cada grado de libertad y utilizando el
algoritmo desarrollado en el lenguaje de programación Python, se obtienen las funciones de
densidad espectral de respuesta en aceleración del sistema estructural; teniendo en cuenta el
método de Welch utilizando una ventana Hanning con de tamaño 1024 y un traslapo del 50 %.
Las funciones de densidad espectral de respuesta se muestran en la Figura 11, mostrando en su
diagonal principal contiene los auto-espectros del sistema y con estas se pueden determinar las
frecuencias del sistema identificando los valores de los picos máximos que presentan las gráficas.
43
Figura 11 Función de densidad espectral de respuesta para cada grado de libertad por medio de la simulación de excitaciones
experimentales
44
2.6 Descomposición de valores singulares
Comprende la descomposición de una matriz real [] de dimensiones m x n, en una matriz
ortogonal m x n, matriz ortogonal n x n y una única matriz diagonal Σ n x n (posiblemente una
diagonal cuadrada aumentada con filas y columnas con ceros), definida en la Ecuación 12 (Gomez,
2010).
[] = [][Σ][] Ecuación 12
Este resultado se le llama “descomposición en vectores singulares”, donde las matrices [] y []
contienen los vectores singulares de [] y los elementos de la diagonal [Σ] son los valores
singulares. (Pería, 2010). La descomposición de valores singulares está relacionada con la
determinación de los valores y vectores propios de la matriz y ; los valores singulares
de son iguales a las raíces positivas de los valores propios de y (Gomez, 2010).
Los elementos no nulos de la diagonal de la matriz Σ son los valores singulares de la matriz
denotados como . Las matrices ortogonales y se conforman por los vectores , … , .y
,… , . que forman las columnas de los vectores respectivamente. La matriz ortogonal U se le
conoce como vectores singulares de por la izquierda y a como vectores singulares de por la
derecha (Silveira, 2015).
La descomposición de valores singulares se puede representar gráficamente como se muestra en
la Figura 12:
Figura 12 Representación gráfica de la descomposición de valores singulares (Silveira, 2015)
Donde se observa que y afectan solamente en su rotación y no en su magnitud. La matriz Σ
afecta la magnitud de la matriz inicia (la cual es la misma matriz A). Si la matriz A es una matriz
de valores complejos la Ecuación 12 se escribe de la siguiente manera:
[] = [][Σ][] Ecuación 13
Se desarrolla la ecuación de la forma anteriormente planteada, pero se tiene en cuenta como una
operación de la transpuesta de la matriz seguida de una conjugada compleja. (Gomez, 2010)
2.7 Descomposición en el Dominio de la frecuencia
El método de Descomposición en el dominio de la frecuencia o frequency domain descomposition
(FDD) es la continuación del método promedio normalizado de los auto espectros o Peack-Piking
(PP) descrito en el subnivel 2.1.3, mejorando los inconvenientes que presentaba como lo es la
posibilidad de identificar frecuencias de resonancias muy cercanas entre ellas y obtener de una
forma directa los modos de vibración del sistema (Gomez, 2010).
46
En la Figura 13 se mostrará el algoritmo de identificación del FDD el cuál describirá de forma
ordenada las operaciones sistemáticas que permiten realizar el cálculo del FDD con el fin de
obtener las frecuencias naturales y los modos de vibración.
De acuerdo al algoritmo del método FDD y con base a la información encontrada en las tesis de
Freire (2011), Jiménez (2013) y la descripción que Rodríguez (2005) realizo del artículo de
Brincker et al (2001) se realizó la siguiente descripción de esta metodología.
Figura 13 Diagrama de flujo del algoritmo FDD
Señales del
utilizando el metodo de Welch
Almacenar las frecuencias en
matriz PSD
Seleccionar los picos de la grafica de S vs f,
obteniendo las frecuencias naturales del
sistema
frecuencias naturales
contenidos en los vectores
FIN
47
Los datos de entrada necesarios para poder realizar el FDD son:
- Una matriz que contiene las señales en función del tiempo y es de tamaño x ,
donde son los grados de libertad del sistema y es el tamaño de la señal.
- Una frecuencia de muestreo , en algunos casos es 4 veces el valor de la frecuencia
máxima.
Con esta información previa se procede a pasar la señal en función del tiempo, a función de la
frecuencia por medio de la FFT para realizar la transformación de la señal. Lo anterior se realiza
con el fin de obtener la matriz de densidad espectro definida de forma de la siguiente manera como
se mostró en el índice 2.5:
() = 1
- = Transpuesta conjugada compleja
- () = Vector columna con tantas columnas como puntos instrumentados el cual
contiene la FFT de un vector de respuesta .
- () = vector de dimensión con la FFT a las respuestas relativas a los grados de
libertad de referencia.
- () = densidad espectral de potencia
Los elementos de la diagonal principal de la matriz () son estimaciones de las densidades
espectrales, en cambio, los elementos fuera de la diagonal principal son estimaciones de la
densidad espectral cruzada, como se muestra en la Ecuación 15.
48
() =
,()]
Ecuación
16
La relación existente entre la señal de entrada desconocida del sistema () y las respuestas
obtenidas () también se pueden expresar de la siguiente manera:
() = () () () Ecuación 17
Donde:
- () = matriz de orden x ( es el número de entradas) de densidad espectral de
la señal de entrada desconocida del sistema ().
- () = matriz de orden x ( es el número de salidas) de densidad espectral
de la señal de respuesta del sistema ().
- () = matriz de orden x conocida como función de respuesta en frecuencias.
- Los superíndices “()” y “()” indica una matriz compleja conjugada y una
matriz solo traspuesta respectivamente.
Se debe tener en cuenta que las densidades espectrales muestran cómo se distribuye la energía para
todas las frecuencias del sistema, debido a esto, se debe obtener la matriz de densidad espectral
del sistema por medio del método de Welch. Adicional a esto, el método de Welch nos da un
vector de frecuencias del sistema que están asociadas a la matriz de densidad espectral.
Con los valores de para frecuencias discretas = se realiza la descomposición de la matriz
por medio de la descomposición de valores singulares de la siguiente manera:
() =
Ecuación 18
- = Matriz unifilar que contiene los vectores propios del sistema.
- = Matriz diagonal que contiene los valores propios del sistema.
Los valores propios del sistema nos dan la combinación lineal de densidades autoespectrales de un
conjunto de sistemas de un grado de libertad. Con los valore propios del sistema realizamos y el
vector de frecuencias obtenidos por el método de Welch realizamos una gráfica de valores propios
vs frecuencia como se muestra en la Figura 14:
Figura 14 Grafica de valores singulares vs frecuencias del sistema.
Las frecuencias naturales son los picos de los valores propios del sistema que se observan en la
gráfica, las cuales se seleccionan manualmente. Después de realizar la selección de los picos de
interés se realiza el SVD para cada frecuencia seleccionadas, obteniendo al final los vectores
propios del sistema que contienen los modos de vibración asociados a cada una de estas
frecuencias.
50
Esta metodología tiene varias ventajas, las cuales son mencionadas por Jiménez (2013) como:
Las ventajas de este método sobre el anterior son muchas. Por ejemplo, gracias al SVD esta
técnica es capaz de separar el espacio de la señal del espacio del ruido, lo que lo hace ideal
para mediciones ruidosas. Además, gracias a que calcula el rango de la matriz de potencia
espectral, que equivale a la multiplicidad de los modos en una frecuencia dada, es capaz de
identificar modos muy cercanos e incluso repetidos
Existe una mejora de este método llamado Descomposición en el Dominio de la Frecuencia
Mejorado (EFFD) el cuál calcula el coeficiente de amortiguamiento mediante el decremento
logarítmico, sin embargo, esta metodología no entra dentro del alcance de este proyecto.
Ejemplo:
Del ejemplo anterior tomamos los auto espectros del sistema y las incluimos en una sola gráfica,
donde, se hace la selección de picos de interés. Debido a que el sistema es de 5 grados de libertad
en el eje y, tendremos 5 picos máximos en nuestra grafica de valores propios vs frecuencias, como
se muestra en la Figura 15
Figura 15 Espectro de valores propios
51
A las frecuencias identificadas con la gráfica anterior se le realiza nuevamente la descomposición
de valores singulares con el fin de obtener los vectores propios, los cuales dan las formas modales
del sistema. A continuación, se mostrarán los valores de las amplitudes de cada una de las formas
modales y su representación gráfica
Tabla 1 Formas modales identificadas por el método FDD
Grados de
1 −0.289 −0.500 −0.577 −0.499 −0.289
2 −0.499 −0.499 0.000 0.500 0.499
3 −0.577 0.001 0.577 0.000 −0.577
4 −0.500 0.500 0.000 −0.500 0.500
5 −0.288 0.499 −0.577 0.499 −0.288
Figura 16 Representación gráfica de las formas modales identificadas por el método FDD
52
2.8 Licencia GNU
El desarrollo de la aplicación computacional de Análisis Modal Operacional se realizó bajo la
filosofía de Software Libre o de Código Abierto (Open source). Según el sistema operativo GNU
un software libre es “el software que respeta la libertad de los usuarios y la comunidad. A grandes
rasgos, significa que los usuarios tienen la libertad de ejecutar, copiar, distribuir, estudiar,
modificar y mejorar el software”. Cuando nos referimos al software libre hacemos referencia a
su utilización, su código fuente es abierto (Open Source) pero no necesariamente este tipo de
software tiene que ser gratuito; El software libre puede ser diseñado con el fin de ser comercial, lo
cual no va en contra de su filosofía (Arteaga & Hernán, 2016).
Según la página web del sistema Operativo GNU (https://www.gnu.org/home.es.html), se
considera que un programa es software libre si los usuarios tienen acceso a sus cuatro libertades
principales:
- Ejecutar el programa como se desee, no importa el propósito que tenga el usuario
- Estudiar cómo funciona el programa, y poderlo cambiar a su conveniencia
- Distribuir y redistribuir copias del programa sin importar el numero
- Tener acceso al código para mejorar el programa, y colocar las mejoras a disposición
del público.
En Colombia desde la década de los años 90, se empezó a desarrollar software libre o de código
abierto (Open Source) tanto en el sector privado como en el público. En el medio académico de
investigación y científico se han generados programas bajo esta filosofía, principalmente en
universidades como la Universidad Nacional de Colombia, la Pontificia Universidad Javeriana, la
Universidad de los Andes, la Universidad de Antioquia, entre otras, donde han tenido gran acogida
y desarrollo. En el sector privado y oficial también ha aprovechado el software libre, mostrando
ventajas corporativas frente al uso del software propietario en los campos de: manejo de sus
comunicaciones, desarrollo de sitios Web, conexión de los equipos, infraestructura de seguridad
informática y control de gestión de redes. (Rios, 2004)
53
2.9 Lenguaje de programación Python
En esta sección se mostrará una descripción del lenguaje de programación de Python con el fin de
mostrar la importancia de utilizar este lenguaje de programación para este proyecto de tesis. Según
Arturo Fernández Montoro en su libro Python 3 al descubierto define Python como: “un lenguaje
de programación de alto nivel, interpretado y multipropósito. En los últimos años su utilización ha
ido constantemente creciendo y en la actualidad es uno de los lenguajes de programación más
empleados para el desarrollo de software.”
Python puede ser usado en varias plataformas y sistemas operativos, entre, como Windows, Mac
OSX y Linux. Este lenguaje puede desarrollar software para aplicaciones científicas, para
comunicaciones de red, para aplicaciones de escritorio con interfaz gráfica (GUI).
Como lo mencionan varios autores (Fernández, 2015; Orbegozo, 2013) las principales razones
para elegir Python, sus principales características lo convierten en un lenguaje muy productivo;
debido a que es un lenguaje potente, flexible con una sintaxis clara y concisa. Además, no requiere
dedicar tiempo a su compilación debido a que es interpretado.
Python es open source, es decir, cualquiera puede contribuir a su desarrollo y divulgación. Así
mismo, no se debe pagar ninguna licencia para distribuir un software desarrollado con este
lenguaje. (Fernández, 2015)
En la actualidad se ha desarrollado tres versiones de Python, cada una de ella con sus
actualizaciones. La versión 2 su última actualización es la 2.7.12 y la versión 3 su última versión
es la 3.5.2. Estas versiones se encuentran separadas, indicando que, tanto la versión 2.7.12 y la
3.5.2 son estables, pero su lógica difiere con respecto a las versiones. Se sugiere utilizar ambas
versiones y no su última versión debido a que ambas son incompatibles una con otra (Fernández,
2015). Para el desarrollo de esta tesis se utilizó la versión 2.7.12, debido a que esta versión se
encuentra en su fase final, contiene una gran variedad en sus librerías y la mayoría de las
distribuciones de Linux y Mac actuales utilizan esta versión. En cambio, la versión 3.5.2 se
encuentra en etapa de desarrollo, por lo tanto, se encuentra sujetas a actualizaciones y no presenta
un gran abanico de opciones en su librería como la presenta la versión 2.7.12 (Orbegozo, 2013)
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2.10 Arquitectura de software
Es posible hacer una comparación entre la arquitectura de software y la arquitectura en
construcción debido a que ambas generan diferentes modelos arquitectónicos teniendo en cuenta
diferentes perspectivas, para poder abarcar los diferentes aspectos de arquitectónicos que puede
presentar el modelo. Una definición más enfocada a la programación es: “la arquitectura es la
organización fundamental de un sistema incrustada en sus componentes, sus relaciones entre sí, y
con el entorno, y de los principios que rigen su diseño y su evolución” (Bennet, McRobb, &
Farmer, 2006)
La arquitectura de software ayuda a tener un diseño eficiente del programa, enfocándose en cómo
interactúan los componentes individuales del programa. El buen desarrollo de una arquitectura de
software puede implicar el éxito o el fracaso del proyecto de software (Ciocca, 2008).
Con el fin de representar la arquitectura de software se utiliza el framework como una estructura
conceptual y tecnológica de soporte definido, con artefactos y módulos concretos de software, el
cual, sirve de base para la organización y desarrollo del programa. (Fiumarelli, Santagata, &
Quincke, 2014)
2.11 Modelo-Vista-Controlador
Un patrón de arquitectura se utiliza para mostrar un esquema de organización estructural para
sistemas de software, dando un conjunto de subsistemas predefinidos especificando sus
responsabilidades e incluyendo guías y reglas para organizar las relaciones entre ellos.
Es común implementar en aplicaciones de escritorio con interfaz de usuario grafica el patrón de
diseño arquitectónico Modelo-Vista-Controlador (del inglés Model-View-Controller, MVC). La
arquitectura MVC divide una aplicación en tres componentes principales: el modelo, comprenden
la funcionalidad principal; vista, presenta la interfaz gráfica del usuario y controlador, gestionan
las actualizaciones de las vistas. Este patrón es muy útil para aplicaciones con alta interacción con
el usuario, como es el caso del programa desarrollado en este proyecto.
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A continuación, se explicará los componentes principales de la arquitectura MVC según Fontela
(2015):
- Modelo: conjunto de componentes que contienen la lógica de la aplicación. El modelo
tiene bajo acoplamiento con la vista y el controlador; las interacciones que presenta el
modelo se hace mediante métodos de consulta, los cuales informan el estado del
modelo, comandos que modifiquen estos estados y mecanismos de notificación para
informar a la vista.
- Vista: se encarga de administrar la visualización y presentación de la información.
Muestra la interfaz gráfica del programa, la cual fue desarrollada por QtDesigner, una
aplicación de PyQt de Python. Su principal tarea es observar el modelo para actualizar
las variaciones, con el fin de que la vista represente el estado actual del modelo, como
los cambios de estado que experimente el mismo.
- Controlador: Maneja el comportamiento global de la aplicación entre las diferentes
partes. Su principal labor consiste en recibir los eventos del usuario y decidir qué es lo
que se debe hacer con esa acción, enviándolo al modelo que lo modifica.
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3 Desarrollo del aplicativo computacional con el nombre de OMApy
3.1 Hoja de ruta de OMApy
Como se mencionó en el capítulo 2 el análisis modal operacional (OMA) se puede realizar
mediante varias formas tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia
(Fernández, 2015), como se muestra en la Figura 14. Sin embargo, debido al alcance del proyecto
y la complejidad matemática que conlleva entender todas las metodologías para realizar este
análisis, se enfocó en el método de descomposición del dominio de la frecuencia (FDD).
Figura 17 Formas para realizar OMA en el dominio de la frecuencia y del tiempo.
Pero un programa de análisis modal no estaría completo si solo se enfoca en una sola forma para
realizar el análisis; es necesario dar a lugar la posibilidad de introducir las otras metodologías para
hacer este análisis.
Peack Piking (PP)
la frecuencia
frecuencia mejorada
frecuencia espacio (FSDD)
Metodologi a NexT-
Método de identificación de subespacios estocásticos a partir de series
temporales (SSI-DATA)
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Debido a esto se vio la necesidad de desarrollar un diseño macro de todos los componentes que
debería llevar el programa, con el objetivo de generar un acoplamiento a futuro de las demás
metodologías.
Con el fin de desarrollar de forma estructurada y organizada el programa se realizó el diseño de
un marco por medio de una hoja de ruta, como guía para indicar la forma en cómo se desarrolló el
programa, la manera en que interactúa cada una de sus partes y como se acoplan entre ellas.
La hoja de ruta o framework es la creación de una aplicación incompleta y pre armada a la cual se
le adjuntan clases o componentes con los procedimientos deseados (Fontela, 2015).La hoja de ruta
es similar a una arquitectura de software que “modela las relaciones generales de las entidades del
dominio, proveyendo una infraestructura y entorno de trabajo que extiende el dominio” (Ciocca,
2008).
Ciocca (2008) cita en su documento al autor Rod Johnson que una hoja de ruta no impone
demasiados requisitos para el desarrollo de código y obliga a los desarrolladores a no escribir
código que no sea el apropiado, debe proporcionar una guía en cuanto a las buenas prácticas.
Debe contener los siguientes puntos de vistas:
Estructura: Diagramas de componentes que representan a los clientes, servidores,
aplicaciones, bases de datos y sus interconexiones.
Procesamiento: Requerimientos funcionales y casos de uso
Información: Modelo de objetos, diagramas de entidad relación y diagramas de flujos de
datos.
La arquitecta de software determina cuál de los puntos de vistas anteriores es necesario para el
desarrollo de un sistema de software.
Para poder ejecutar esta aplicación es necesario tener instalado en el computador los siguientes
programas:
- pycharm-professional-2016.2.3
o Numpy
o Matplotlib
o PyQt4
o Openpyxl
- Todas estas librerías excepto openpyxl se encuentra en el programa WinPython que el
autor recomienda utilizar.
A continuación, se realiza la descripción de cada una de las partes que compone la hoja de ruta del
programa:
3.2 Modelo Vista Controlador de OMApy
En el programa OMApy se realizó la implementación del MVC teniendo en cuenta la siguiente