SOLUCIÓN

1. Determinar la matriz inversa de:

C=(−56 93 021 46 )

Se inicia por hallar el determinante por el método de cofactores

|C|=−5 (0−8 )−6 (18−2 )+9 (12−0 )=52

Se hallara la inversa por el método de determinantes de acuerdo a la siguiente ecuación

C−1=Adj (C t)C

Se halla la matriz transpuesta de 𝐶C t=(−531

6 0 49 2 6 )

Ahora se halla la matriz Adjunta de la transpuesta de 𝐶Adj(C t)=( −80 12

−16 39 3712 26−18)

Finalmente se obtiene la matriz inversa de 𝐶dividiendo la entre el determinante de 𝐶

C−1=Adj (C t)

|C|=(

−852

01252

−1652

−3952

3752

1252

2652

−1852

)=(−213

03

13−413

−34

3752

313

12− 9

26)

C−1=(−213

03

13−413

−34

3752

313

12− 9

26)

2. Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el método de Gauss-Seidel para el siguiente sistema lineal. Según los resultados concluya la posible solución del sistema, es decir, concrete cual es la solución.

3𝑥1−0.5𝑥2+0.6𝑥3=5.24 0.3𝑥1−4𝑥2−𝑥3=−0.387 −0.7𝑥1+2𝑥2+7𝑥3=14.803

Se procede a despejar cada incógnita de acuerdo a su orden en la diagonal principal

x1=5.24+0.5 x2−0.6 x3

3

x2=0.387+0.3 x1−x3

4

x3=14.803+0.7 x1−2 x2

7

Se suponen valores iniciales x2=0y x3=0para calcular x1

Primera iteración:

x10=5.24

3=1.74666 6

x10=5.24

3=1.74666 6

x20=

0.387+0.3 (1.746666)4

=0.22774 9

x30=

14.803+0.7 (1.746666 )−2(0.227749)7

=2.22430

Segunda iteración:

x11=

5.24+0.5 (0.227749 )−0.6(2.224309)3

=1.33976 3

x21=

0.387+0.3 (1.339763 )−2.2243094

=−0.358845

x31=

14.803+0.7 (1.339763 )−2(−0358845)7

=2.351217

Tercera iteración

x12=

5.24+0. 5 (0.358845 )−0.6(2.351217)3

=1.216615

x22=

0.387+0.3 (1.216615 )−2.3512174

=−0.399808

x32=

14.803+0.7 (1.216615 )−2(−0.399808)7

=2.350606

Cuarta iteración

x13=

5.24+0. 5 (−0.399808 )−0.6(2.350606)3

=1.209910

x22=

0.387+0.3 (1.209910 )−2.3506064

=−0.400158

x32=

14.803+0.7 (1.209910 )−2(−0.400158)7

=2.350036

Ya realizadas las 4 iteraciones se obtiene:

x1≈1.209910

x2≈−0.400158

x3≈2.350036

Comprobando valores con la primera ecuación:

3 x1−0.5 x2+0.6 x3=5.24

3(1.209910) − 0.5(−0.400158) + 0.6(2.350036) = 5.2398306 ≈ 5.24

3. De la siguiente tabla de datos realizar los siguientes procedimientos:

3.1 halle el polinomio de diferencias divididas de Newton

x i f (x i )x0=−3 2x1=−1 4x2=2 -1

f [ x i , x j ]=f [ x i ]−f [ x j ]x i−x j

f [ x i , x j , xk ]=f [ x i , x j ]−f [ x j , xk ]

x i−xk

f [ x0 ]=2

f [ x1 , x0 ]=0

f [ x1 ]=4 f [ x2 , x1 x0 ]=−815

f [ x2 , x1 ]=−53

f [ x2 ]=1

X -3 -1 2f(X) 2 4 -1

f n ( x )=f (x0 )+(x−x0 ) f [ x1 , x0 ]+(x−x0 ) (x−x1 ) f [ x2 , x1, x0 ]+(x−x0 ) (x−x1 ) ( x−xn−1 ) f [xn , xn−1 , x1 , x0 ]

Con esta ecuación hallaremos el polinomio de interpolación.

f n ( x )=p ( x )

p ( x )=2+( x+3 ) (1 )+(x+3)(x+1)(−815 )

¿− 815x2−17

15x+ 17

5

3.2 Identifique el coeficiente de x y x2

P ( x )=−815x2−17

15x+ 17

5

El coeficiente de x es −1715

El coeficiente de x2 es− 8

15

4. Se tienen los siguientes datos para que halle un polinomio P(x) de grado desconocido, con el método de Diferencias divididas de Newton:

X 0 1 2 3f(X) 1 6 8 12

Y con la ecuación o polinomio que logre aproxime el valor de P (1.7).

Solución:

x i f (x i )x0=0 1x1=1 6x2=2 8

x3=3 12

f [ x i , x j ]=f [ x i ]−f [ x j ]x i−x j

f [ x i , x j , xk ]=f [ x i , x j ]−f [ x j , xk ]

x i−xk

f [ xn , xn−1 , x1 , x0 ]=f [ xn , xn−1 , x2, x1 ]− f [ xn−1 , xn−2 , x1 , x0 ]

xn , x0

f [ x0 ]=1

f [ x1 , x0 ]=5

f [ x1 ]=6 f [ x2 , x1 , x0 ]=−32

f [ x2 , x1 ]=2 f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]=56

f [ x2 ]=8

f [ x2 , x1 , x0 ]=1

f [ x3 , x2 ]=4

f [ x2 ]=¿12

Con esta ecuación hallaremos el polinomio de interpolación.

f n ( x )=f (x0 )+(x−x0 ) f [ x1 , x0 ]+(x−x0 ) (x−x1 ) f [ x2 , x1, x0 ]+(x−x0 ) (x−x1 ) ( x−xn−1 ) f [xn , xn−1 , x1 , x0 ]

f n ( x )=p ( x )

p ( x )=1+( x−0 ) 5+x (x−1 )(−32 )+x (x−1)(x−2)( 5

6 )¿ 5

6x3−4 x2+ 49

6x+1

Se procede a reemplazar P (1.7) en el polinomio obtenido.

P (1.7 )=56(1.7)3−4 (1.7 )2+ 49

6(1.7 )+1≈7.4175