Apunte 3 - Derivada de Funciones Exp y Log
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APUNTE DE CÁLCULO DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 39 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS NUMERO e : = e ∞ + → h lim = ¸ ¹ · ¨ © § + h h 1 1 0 lim → k ( ) k k 1 1 + con h k 1 = = e 71828 , 2 1 3 1 2 1 1 1 = + ! + + ! + ! + + h DEFINICIÓN: Si 0 > a y , 1 ≠ a y si x y a = , entonces x a y log = NOTACIÓN: ln log = = x e y x log 10 log = = x y x Logaritmo Natural Logaritmo Decimal o de Briggs X X y = ln(x) y = log x Y Y X Y 1 Función exponencial de base e, y = e ax , a > o Función exponencial de base 10, y = 10 x Y X 1 1 1
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APUNTE DE CÁLCULO
DER
DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
NUMERO e : =e ∞+→h
lim =�
�
���
� +h
h11
0lim
→k ( ) k
k1
1+ con h
k 1=
=e ��� 71828,2131
2111 =+
!++
!+
!++
h
DEFINICIÓN: Si 0>a y ,1≠a y si xya = , entonces xay log=
NOTACIÓN:
lnlog == xey x log10log == xy x
Logaritmo Natural Logaritmo Decimal o de Briggs
X X
Y Y
Y
1
Funcy = e
1
1IVADAS JUAN ESPINOZA B 39
y = ln(x) y = log x
X
ión exponencial de base e, ax, a > o
Función exponencial de base 10, y = 10x
Y
X1
APUNTE DE CÁLCULO
DERIVADAS JUAN E
REGLAS DE DERIVACIÓN: Si u es una función derivable de x,
i) ( ) ( )1,0 ,log1log ≠>= aadxdueau
uadxd
ii) ( ) =udxd ln
dxdu
u1
iii) uauadxd =
( )0 ,ln >a
dxdua
iv) dxduueue
dxd =
DEMOSTRACIÓN:
i) Por demostrar que: ( )dxdueau
uadxd log1log =
Sea uay log= ( )( )ufy = con u una función derivable de x
por la Definición de derivada.
( )
( ) ( )xuaxufuaufy
∆+=∆+
==
log
log
→→→→ ( ) ( ) ( )[ ]
∆+∆
=−∆+∆
=∆
−∆+u
xuax
uaxuaxxufxuf log1loglog1
∆+∆
⋅=
∆+∆
=ux
axu
uux
ax1log11log1
xu
ux
au∆
∆+= 1log1
→→→→ udu
dy 1= 0
lim→∆x
x
xu
ux
aux
u
ux
a0
1limlog11log =
→∆
∆
∆+=∆
∆+
e Así aplicando la regla de la cadena:
Propiedades de Logaritmo
Propiedades de Logaritmo
SPINOZA B 40
eaulog1
APUNTE DE CÁLCULO
DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 41
( ) ( )dxdueaudx
duuaduduadx
d log1loglog ==
ii) Cuando 1loglog, === eeeaea y ( )dxdu
uu
dxd 1ln =
EJEMPLOS: Calcular la Derivada de las siguientes funciones exponenciales
y logarítmicas.
a) eax
xxdxdeaxdx
dyxay log523
6523log523
1523log−
=
−
−=⇒
−=
b) ( ) 223ln =+= xy ( )3ln +x
( )3
233
12+
=+⋅+
⋅=x
xdxd
xdxdy
c) ( )32ln += xy
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )3
3ln233
13ln23ln3ln2+
+=++
⋅+=+⋅+=x
xxdxd
xxx
dxdx
dxdy
d) Deducir que: dxduauaua
dxd ln=
y
dxduueue
dxd =
Sea uay = , siendo u una función derivable de x, tomando logaritmo natural, obtenemos: auy lnln = Derivando ambos miembros con respecto a x
( )dxduay
dxdy
dxdua
dxdy
yy
dxd lnln1ln =⇒==
Como uay = se tiene que: dxduaua
dx
uadln=
APUNTE DE CÁLCULO
DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 42
Cuando ea = , ,1lnln == ea con lo cual dxduueue
dxd =
EJERCICIOS: Hallar la derivada que se indica en cada caso.
1) 221
xxey −= Hallar dxdy Resp: )4(
21
21
−− − xxe x
2) 232 xx
aey += Hallar dxdy Resp: axaxe
xxln62
232
+ (a>0)
3) xxy 32 ⋅= Hallar dxdy Resp.: ( )23ln3 +xxx
4) axeaxe
axeaxey −+
−−= Hallar ,y Resp.: 2
4,
−+
=axeaxe
ay
5) Hallar ,,y , en la Función xxey ln−=
Resp.: yx
xey −−
=,
−+−−= x
xxxey ln12,,
2
6) Hallar ,,y , en la función )3(2 xseney x−=
Resp.: yxey x 2)3(cos3, 2 −= −
+−= − xsenxey x 353cos12,, 2
7) Trazar la gráfica de la “curva de probabilidades” 0;22
>= − aaey xb . Hallar máximos, mínimos, puntos de inflexión (si existen). Determinar la concavidad.
Resp.: 22
22, xbxeaby
−−= e ( ) 22
122,, 222 xbexbaby
−−=
Puntos críticos 0=x ( )a,0 es el máximo.
APUNTE DE CÁLCULO
DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 43
Puntos críticos para bxy 2/2,, ±=
±
− 21
,2/2 aeb son los puntos de inflexión.
Esta curva se conoce como la Campana de Gauss y se utiliza en el calculo de probabilidades en estadística. Nótese que la curva es simétrica con respecto al eje Y, que tiene un punto máximo.
Y
X0 b2/2− b2/2
21−ae
