Apunte Resist en CIA de Materiales Parte I

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UTFSM - Sede Concepción

Apuntes del Curso

RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

Para la carrera deTécnico Universitario en Mecánica Automotriz

Profesor:Gonzalo Daza HernándezIngeniero Civil MecánicoSemestre I - 2008



Índice

ÍNDICE .............................................................................................................................................. 1 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE RESISTENCIA DE LOS MATERIALES .................. 3 1.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 3 1.1.2 HIPÓTESIS FUNDAMENTALES...................................................................................................... 4 1.1.3 MÉTODO ..................................................................................................................................... 5 2. RELACIÓN ESFUERZO DEFORMACIÓN ............................................................................. 8 3. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES ............................................................................... 13 3.1. ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD ...................................................................................................... 13 3.2. LEY DE HOOKE........................................................................................................................... 13 3.3. DIAGRAMA ESFUERZO - DEFORMACIÓN (Σ - Ε) DEL ACERO COMÚN.............................................. 14 3.4. DIAGRAMA ESFUERZO – DEFORMACIÓN PARA OTROS MATERIALES .................................... 17 3.5. DIAGRAMAS IDEALES................................................................................................................ 18 3.6 CONSTANTES ELÁSTICAS .................................................................................................. 19 3.6.1 MÓDULO DE ELASTICIDAD LONGITUDINAL (E) ........................................................................ 19 3.6.2 MÓDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL (G)................................................................................ 20 3.7 COEFICIENTE DE POISSON........................................................................................................ 21 3.8 CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DE TENSIÓN ADMISIBLE Y DE CARGA ADMISIBLE .................................................................................................................... 23 4.- DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES . 25 4.1 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTAL ..................................................................... 26 4.2 DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLE .................................................................... 29 4.2.1 RELACIÓN ENTRE E Y G............................................................................................................ 30 4.3 ESTADO DOBLE ...................................................................................................................... 30 VARIACIÓN DE LAS TENSIONES EN EL PUNTO SEGÚN LA ORIENTACIÓN DEL PLANO. ........................ 30 4.3.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS, CÍRCULO DE MOHR............................................................... 33 4.4 TRAZADO DEL CÍRCULO DE MOHR EN EL ESTADO TRIPLE........................................................... 39

TORSIÓN ........................................................................................................................................ 41 INTRODUCCION ............................................................................................................................ 41 SECCION CIRCULAR ..................................................................................................................... 41 SECCIÓN ANULAR ............................................................................................................................. 44 SECCIÓN TUBULAR CERRADA DE PEQUEÑO ESPESOR ....................................................... 45 SECCIÓN RECTANGULAR ........................................................................................................... 46 SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA ......................................................................... 48 DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO .............................................................................................. 51



Resistencia de los Materiales

Técnico Universitario en Mecánica Automotriz

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DEFINICIONES.................................................................................................................................... 51





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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE RESISTENCIA DE LOSMATERIALES

1.1. INTRODUCCIÓN

Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, no existen en larealidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, enrealidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con

instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblementesobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la MecánicaTeórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformacionesseria imposible resolver un problema de gran importancia practica como es el dedeterminar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de unapieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro.

Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en lamayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementosde estas se reducen a los siguientes tipos simples, tales como barras, vigas,cáscaras, placas, etc.

Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la

misma: a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado.Esto último puede ocurrir por varios motivos: deformaciones demasiado grandes,falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del equilibrioestático por pandeo, vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la fallapor rotura, deformaciones excesivas.

La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitacionesinternas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargasexteriores. La diferencia entre la Mecánica Teórica y la Resistencia de Materialesradica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los cuerposdeformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera.

La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples

de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicosmás frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientosaproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver losproblemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que puedenser justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos.

Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos:a) Dimensionamientob) Verificación





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En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y

dimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplirsu cometido:

Con seguridadEn perfecto estadoCon gastos adecuadosEl segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y

es necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitacionesactuantes.

1.1.2 Hipótesis fundamentales

a) El material se considera macizo (cont inuo): El comportamiento real delos materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detectarse lapresencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de lamateria, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya queexisten espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formandouna red ordenada.

Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo delas funciones continuas

b) El materi al de la pi eza es homogéneo (idént icas propiedades en t odos los puntos): El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, lamadera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, losexperimentos demuestran que los cálculos basados en esta hipótesis sonsatisfactorios.

c ) El mat erial de l a pi eza es isót ropo : Esto significa que admitimos que elmaterial mantiene idénticas propiedades en todas las direcciones.

d) Las f uerzas int eri ores, or iginales, que preceden a las cargas, son nulas : Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distanciasvarían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido acargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas molecularesque existen en sólido no sometido a cargas. Esta hipótesis no se cumple

prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se originan estasfuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigóndurante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudioespecial.

e) Es válido el pr incipio de superposición de efect os : Ya se ha hecho usode este principio, para el caso de sólidos indeformables. Al tratarse de sólidosdeformables este principio es válido cuando:

Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas sonpequeños en comparación con las dimensiones del sólido.





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Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido

dependen linealmente de las cargas. Estos sólidos se denominan “sólidoslinealmente deformables”.

f ) Es apl icable el pr incipio de Saint – Venant : Este principio establece queel valor de las fuerzas interiores en los puntos de un sólido, situadossuficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muypoco del modo concreto de aplicación de las mismas. Merced a este principio enmuchos casos podremos sustituir un sistema de fuerzas por otro estáticamenteequivalente, lo que puede conducir a la simplificación del cálculo.

g) Las cargas son est át icas o cuasi-est át icas : Las cargas se dicen que son

estáticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras que sedenominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientementeprolongado. Las cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominandinámicas, y las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayoresque si fuesen estáticas o cuasi-estáticas.

1.1.3 Método

Al realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por laelección de un esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura sedebe, ante todo, separar lo importante de lo que carece de importancia, esdecir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellosfactores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistemacomo tal. Este tipo de simplificación es en todos los casos absolutamentenecesario, puesto que la solución del problema que considere todas laspropiedades de la estructura es imposible debido a que, en general éstas soninagotables.

Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cablede un ascensor. Debemos considerar ante todo el peso de la cabina, suaceleración y, en el caso de que se eleve a gran altura, el peso del cable.

Simultáneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca importanciacomo la resistencia aerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométricaa distintas alturas, la variación de la temperatura con la altura, etc.

Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes, según laexactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que interesa analizar. Porotro lado, un hecho muy importante a tener en cuenta es que a un mismoesquema de cálculo pueden corresponderle muchos objetos reales.

Esto reviste gran importancia, pues al estudiar teóricamente ciertoesquema de cálculo se puede obtener la solución de toda una serie de problemasreales comunes al esquema dado.





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Fig. 1.1

Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificacionesen:

a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar

con una barra.b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales.c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las

cargas concentradas prácticamente no existen en la realidad, sino que son lasresultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeñas.

d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hechoconsideraciones al respecto.

El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a laresolución numérica del problema, para lo cual, las bases fundamentales de laResistencia de Materiales se apoyan en la Estática, la que resulta sumamenteimportante en la determinación de las solicitaciones internas y de las

deformaciones.Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las

operaciones matemáticas pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejarbien en claro que el cálculo no consiste solamente en el empleo de fórmulas. Enefecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el sistemareal sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben seradecuadamente interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo máspróximo posible a la solución real.

Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de laResistencia de Materiales, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puedeenunciarse de la siguiente manera:





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1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo

matemático).2) Resolución matemática del problema.3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real.





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2. RELACIÓN ESFUERZO DEFORMACIÓN

Como introducción al tema observemos la máquina de la figura 2.1 lafunción de esta prensa es la de ensayar muestras de materiales sometidos aesfuerzos de compresión. Para ello se coloca la muestra sobre el piso de la base yse aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el volante delextremo superior. Esta acción somete así a la porción inferior del tornillo acompresión axial y a las barras laterales a tracción axial. Se observa también quela cruceta de cabeza está sometida a flexión y corte, y la parte superior deltornillo a torsión.

Si consideramos los componentes de prensa, vemos que los mismos estánsometidos a diferentes tipos de solicitaciones, generan esfuerzos internos. Porejemplo, podríamos trazar los diagramas característicos correspondientes amomentos flectores y corte en la cruceta de cabeza.

Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un corte comoel a-a indicado, veremos que para que la parte superior se encuentre enequilibrio (ver figura 2.2), en esta sección debe aparecer una fuerza F que enrealidad representa la acción de la otra parte eliminada. Ahora bien ¿debemossuponer que en la sección indicada aparece en realidad una fuerza concentradaF? La intuición nos dice que eso no parece lógico, lo razonable es que aparezcansolicitaciones en cada punto de la sección considerada, que no son otra cosa que

los esfuerzos que actúan en cada partícula manteniendo la continuidad delcuerpo. La ley matemática que podría corresponderle a estas solicitaciones podíaser la que se indica en la figura 2.2, aunque no lo podemos afirmarrigurosamente si no hacemos un buen estudio del problema.





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Fig. 2.1 Fig. 2.2 Fig. 2.3

Observemos a continuación el tornillo 2, vemos que en la sección indicadaaparece un momento torsor. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es en

realidad el resultante de un conjunto de solicitaciones que actúan punto a punto,y con una ley semejante a la indicada en la figura 2.3. también podemosobservar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, yaque antes teníamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a lasección, mientras que ahora las fuerzas son adyacentes en la sección, conintensidades y sentido cambiantes.

A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular unahipótesis: “Los esfuerzos internos en una sección cualquiera de un cuerpo sedesarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será de gran importancia y, como seve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente.

Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo

dividimos en dos partes mediante la intersección con un plano cualquiera,sabemos que en la sección originada aparecerán fuerzas que mantienen elequilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y un entorno deárea ∆Ω, sobre dicha área existirá una fuerza elemental ∆F. Haciendo el cocientede ∆F/∆Ω, con ∆Ω tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total otensión resultante en el punto P, al siguiente límite:





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Fig. 2.4

(2.1)ΔΩ

Δ=

→ΔΩ

F

0lim ρ

La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediantetres parámetros: intensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión quetiene es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, enKg/cm2 (KN/cm2).

Fig. 2.5

El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, unanormal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así doscomponentes de tensión denominadas tensión normal (σ) y tensión tangencial(τ). Ver figura 2.5.

Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando másgira el volante superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Seobserva así mismo que la barra se estira ligeramente de modo que para cadavalor de F se produce un pequeño alargamiento δ.





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Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las

fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Podemosentonces establecer el cociente entre el desplazamiento δ y lalongitud L de la barra cuando está descargada, a este cociente lodenominamos “deformación unitaria o especifica”

(2.2) L

δ ε =

Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es unamagnitud adimensional. Ahora bien, si todas las fibras se han alargadoigual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la mismadeformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así,con lo que cada punto tendría un valor distinto de ε. Fig. 2.6

De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de labarra tiene una tensión y una deformación. Cabe entonces una pregunta: ¿lastensiones y las deformaciones están relacionadas entre sí? Resolveremos esteinterrogante en el próximo ítem.

Supongamos ahora que quisiéramos graficar la variación Carga –Desplazamiento (F – δ):

Fig. 2.7

Para nuestro análisis, consideremos la posibilidad de combinar las variablessección y longitud; manteniendo las características del material constante.

Fig. 2.8





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Dónde:Ω2 > Ω1 L1 > L2

Aún cuando se trata del mismo material, la representación Carga –Desplazamiento va a variar si tomamos en cuenta la sección o la longitud de labarra.

Fig. 2.9





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3. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES3.1. Elast icidad y Plast icidad

Si retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos verque si la fuerza F cesa, el alargamiento δ desaparece completa o parcialmente,es decir, la barra tiende a recuperar su longitud original L. Esta propiedad queposee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial una vezque desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. Si la barra recuperacompletamente su longitud inicial, se dice que el material es “perfectamenteelástico”; de lo contrario se dice que es “parcialmente elástico”.

La “plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamenteplástico” cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene suconfiguración deformada.

En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico operfectamente plástico. Algunos materiales como el acero, aluminio, goma eincluso la madera y el hormigón pueden ser considerados como perfectamenteelásticos dentro de ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados.Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse comoperfectamente plásticos.

3.2. Ley de Hooke La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de

Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Estaley establece que si la tensión normal σ se mantiene por debajo de un ciertovalor σp, llamado tensión de proporcionalidad, las deformaciones específicas ylas tensiones son directamente proporcionales.

(3.1) · E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudinal, o módulo de

Young. El valor de E es una característica de cada material.

Fig. 3.1





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3.3. Diagrama Esfuerzo - deformación ( σ - ε ) del acero común

Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramoscon la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cualesse pueda basar la teoría. Por ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke sehace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarseexperimentalmente.

Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tiposde ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayousualmente se emplean probetas especiales, que consisten en barras de seccióncircular, las cuales son estiradas en una máquina especialmente diseñada para elensayo. Cuando una barra esta sometido a un esfuerzo axial P, aparecen

internamente tensiones normales σ calculables a través de la siguienteexpresión:

(3.2)Ω

=P

σ

Fig. 3.2

Dónde Ω es el área de la sección transversal de la barra. Sabemos tambiénque se originan desplazamientos δ. Si entonces se miden los valores (P ; δ) paracada escalón de carga, se pueden graficar los valores (σ ; ε), que se evalúanmediante las expresiones ya conocidas.

Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajocontenido de carbono, el diagrama tenso-deformación resulta como el de lafigura siguiente:





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Fig. 3.3 Diagrama Tensión-Deformación para el Acero

Dulce

En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadascaracterísticas:

a) Período elást ico: Este período queda delimitado por la tensión σe (límitede elasticidad). El límite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar almismo, el material se comporta elásticamente, es decir que producida ladescarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se

considera como tal cuando en la descarga queda una deformación especificaremanente igual al 0.001 %. Este período comprende dos zonas: la primera, hastael σp (límite de proporcionalidad), dónde el material verifica la ley de Hooke. Lasegunda entre σp y σe, si bien es elástica, no manifiesta proporcionalidad entretensiones y deformaciones.

(3.3) En la primera zona: E d

d ==

ε

σ

ε

σ

(3.4) En la segunda zona: )(ε ε

σ

ε

σ f

d

d == ; Módulo de elasticidad

reducido

En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muypoco entre sí.

b) Período elasto-plástico: Para valores de tensión superiores al límiteelástico, la pieza si fuera descargada no recobraría su dimensión original,apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. Amedida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de unafunción para la cual disminuye el valor de su Tangente, tendiendo a anularse en





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el tramo final del período, al cual se llega con un valor de tensión que se indica

como σf (tensión de fluencia).

c) Período plástico (fluencia): Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el material fluye, es decir, aumentan las deformaciones sinque existe aumento de tensión. En realidad este fenómeno no es tan simple, yaque puede verse que la tensión oscila entre dos valores límites y cercanos entresí, denominados límites de fluencia superior e inferior, respectivamente.

La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de latensión de fluencia.

(3.5)F p σ σ 8.0≅

d) Período de endurecimiento y de estricción: Como consecuencia de unreacomodamiento cristalográfico, luego de la fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de incrementar la resistencia, esdecir, puede admitir un incremento de carga. Sin embargo en este período lasdeformaciones son muy pronunciadas.

La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado“tensión de rotura”, a partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza unadeterminada deformación de rotura, produciéndose la tensión σR no es enrealidad la máxima tensión que se origina en la probeta sometida a carga. Enefecto, alcanzado el valor de la deformación especifica correspondiente a σR,

comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno denominado “estricción”.Este consiste en la reducción de una sección central

de la pieza. Esta reducción, progresiva con el aumento dela carga, hace que las tensiones aumenten y que, enrealidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar suconcavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión enlas vecindades de σR y cambia su curvatura presentandouna rama creciente hasta alcanzar la deformación derotura εR.

Debido a lo que hemos mencionado recientemente el

diagrama que acabamos de ver suele denominarse“diagrama convencional σ - ε”, ya que los cálculos de lastensiones se realizan siempre sobre la base de suponer lasección transversal constante, con área igual a la inicial.

Fig. 3.4:Fenómeno de

estricción

Una valoración cuantitativa del fenómeno de estricción esta dada por el“coeficiente de estricción lateral”, el cual se define según la siguienteexpresión:





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(3.6) f

f i

A

A A −

=ϕ

Donde:Ai: Area InicialAf: Area FinalEn aceros comunes ϕ ≈50%

Si al realizar el ensayo de unacero común, una vez alcanzado unpunto tal como el M de la gráfica dela figura 1.14, se descarga laprobeta, se llega a una tensión nula através de una recta paralela a la quedefine el período elástico, quedandouna deformación remanente. Si laprobeta vuelve a cargarse retoma lacurva en el punto N,

pero con un nuevo recorridodonde ya no existe el período defluencia. Así mismo, la zona recta seprolonga hasta un valor σ'p > σp.

Fig. 3.5: Endurecimiento mecánicodel acero dulce

3.4. Diagrama esfuerzo – deformación para otros materiales

Hay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama σ - ε esuna curva continua sin tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningúnmomento verifican la ley Hooke. Un ejemplo clásico es el hormigón, para el cualen general interesa su curva σ - ε en compresión.

En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Cabendistinguir tres valores del módulo de elasticidad:

a) Módulo al origen(3.7) E = tg α

b) Módulo instantáneo o tangente. Suvalor lo da la pendiente a la curva σ - ε encada punto:





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(3.7) 0α ε

σ tgd

d

E == c) Módulo secante, el que viene dado

por la tangente trigonométrica del ánguloα1.

Fig. 3.6 Módulos Tangentes y

secantes

Para estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propusocomo relación entre σ y ε una ley de tipo exponencial que lleva su nombre:

(3.8) ε σ ⋅= E K

donde el coeficiente k depende del material(valor medio, ya que depende de muchasvariables):

Fig.3.7

En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke.Ciertos materiales presentan además la particularidad de tener uncomportamiento diferente en compresión que a tracción, tal es el caso delhormigón.

3.5. Diagramas idealesLos diagramas que hemos visto suelen no ser prácticos para trabajar con

ellos, por lo que en determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramasidealizados debidos a Prandtl, que resumen las características fundamentales de

los tres tipos básicos de materiales.El diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dostramos rectos: uno inclinado, correspondiente al período elástico; el otrohorizontal, materializando el período de fluencia. El período de endurecimientono interesa porque la deformación al final de la fluencia es tan significativa queel material está en falla antes de llegar a la rotura.





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Fig. 3.8.1: diagrama

ideal para un materialdúctil

Fig. 3.8.2: Diagramaideal de una material

frágil

Fig.3.8.3: Diagrama idealpara un material plástico

En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es muy próximo a latensión de rotura, prescindiéndose entonces del tramo curvo.

Para los materiales plásticos el diagrama es una recta horizontal, lo quesignifica que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incrementode tensión.

3.6 CONSTANTES ELÁSTICAS

El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite determinar valorescaracterísticos o constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellosa los llamados módulos de elasticidad.

3.6.1 Módulo de elasticidad longitudinal (E)

Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la acción de fuerzasaxiales. Esta pieza por acción de la fuerza sufre un alargamiento ∆L.

Fig. 3.9La relación ∆L/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con ε.

Admitiendo para el ε material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión

Ω=P

σ , será proporcional a la deformación ε.





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Fig. 3.10

La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es tambiénconocida como módulo de Young. Es la más importante de las cuatro constanteselásticas.

3.6.2 Módulo de elast icidad t ransversal (G)

Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior y de baja altura losometemos a una fuerza P en su cara superior.

Fig. 3.11La deformación que se produce, muy pequeña, es una distorsión(deformación angular); al ángulo lo llamamos γ. La tensión (coincidente con elplano de la sección) la designamos como τ, siendo:





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(3.9) Ω=

P

τ ; τ : Tensión tangencial ode corte

De la misma forma que se grafica larelación σ-ε, puede hacerse con la de τ - γ. Parael caso del acero común la gráficarepresentativa, es similar a la ya vista para lastensiones normales.

Dentro del campo lineal elástico, laconstante que vincula la tensión tangencial conla deformación angular, es llamada módulo deelasticidad transversal

(3.10) Gtg ==γ

τ β

γ τ G=

Para el acero común: FlFl σ τ 57.0≅

Fig. 3.12 Diagrama Tensión-Distorsión angular

3.7 Coeficiente de Poisson

Al someter a una barra a un esfuerzo axial, además de experimentar

deformación según la dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en lasdirecciones normales a ella.

Fig. 3.13

L

L L

Δ=ε ;

a

at

Δ=ε

Llamando con εL a la deformación específica en dirección de la fuerza y εt ladeformación específica transversal, se define como coeficiente de Poisson (omódulo de Poisson) a la relación entre:

(3.11) L

t

ε

ε μ −= ; o bien,

t

Lmε

ε

μ −==

1

El valor de µ es función del material, aunque su variación es pequeña. Engeneral para materiales isótropos, µ varía entre 0,25 y 0,33.

En cualquier caso µ < 0,50.





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3.8 CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DE TENSIÓN ADMISIBLE Y DE CARGA ADMISIBLE

En el primer ítem de este capítulo hemos enunciado algunas de las causasque pueden provocar la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamientodebemos crear seguridad contra todas las clases de falla posible, la cual puedeproducirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por ejemplo, uncrecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuyaresistencia se ha debilitado por la existencia de vicios ocultos.

La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr unaseguridad absoluta, lo único que puede hacerse es mantener reducidas las

probabilidades de falla.“La seguridad de una construcción siempre estará amenazada porincertidumbres, será satisfactoria cuando las probabilidades de falla queden pordebajo del valor considerado como admisible”.

Existen numerosas causas de incertidumbres:• Las hipótesis de cargas• Las hipótesis de cálculo• Los errores de cálculos• Defectos del material• Errores de las dimensiones• Errores de ejecución

• Etc.

El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes deSeguridad es el basado en las tensiones. Según este método, el cálculo de laresistencia se realiza controlando el valor de la tensión máxima que se produceen cierto punto de una estructura. La tensión máxima de trabajo no debe superarcierto valor.

(3.12)υ

σ σ L

máx ≤

σL: cierto valor límite de la tensión para el material dado.υ : un número mayor que la unidad denominado “coeficiente de seguridad”

Para el caso de materiales dúctiles el valor límite σL es el límite defluencia, en el caso de materiales frágiles σL es el límite de resistencia o tensiónde rotura. La relación σ L / υ recibe el nombre de “tensión admisible”.

(3.13) adm L σ υ

σ =

La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor gradode incertidumbre que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una





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serie de criterios, en general probabílisticos, que escapan a los alcances de este

curso. Existen reglamentos que establecen los criterios de Dimensionamiento delcoeficiente de seguridad, por ejemplo, AISC.

Para los casos más frecuentes ya existen valores establecidos de loscoeficientes de seguridad. Podemos hacer referencia a disposicionesreglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores quevarían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de losedificios y los estados de carga considerados. Para estructuras de hormigónarmado, los coeficientes de seguridad varían entre 1,75 y 2,10. Para el caso de lamadera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a sucomportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes más grandes.

Una expresión que es usada con frecuencia para dar un concepto del

coeficiente de seguridad, es que éste representa el incremento que deberíatener el estado de cargas para producir el colapso de la pieza. Debemos señalarque si bien esto puede ser cierto, solamente lo será si los demás parámetros queintervienen en el problema están totalmente controlados, y no existe ningunaincertidumbre respecto de ellos.

En los materiales que tienen un período lineal elástico, la tensión admisiblese encuentra en dicha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la leyde Hooke, ya que la tensión de trabajo resulta menor o igual que la admisible.Para los materiales donde no existe un período elástico bien definido, tambiénpuede considerarse valida la ley de Hooke ya que para valores bajos de lastensiones, el diagrama σ - ε se aproxima bastante a una recta.

Fig. 3.14: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materiales

Al criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridadbasado en relación de tensiones lo llamaremos criterio elástico. Además de esteexiste otro al cual lo llamaremos plástico. La denominación utilizada paraidentificar a cada criterio, está relacionada al método de cálculo empleado paraestablecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un método decálculo elástico, y método de cálculo plástico.





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4.- DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES YSIMPLES DE TENSIONES

Consideremos el caso de un sólido en equilibrio bajo la acción de cargasexteriores y aislemos del interior del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dyy dz, de manera que las cargas pueden orientarse según el sistema de referencia.

Sobre cada una de las caras existirá un vector tensión total de manera talque el cubo elemental se encuentre en equilibrio. Estos vectores puedenproyectarse según los ejes de referencia de manera que en cada una de las seiscaras tendremos en general una tensión normal y dos tensiones tangenciales

perpendiculares entre sí. Un estado de tensiones de estas características se diceque es un “estado triple o espacial”.En determinadas circunstancias las cargas actuantes sobre el cuerpo hacen

que las tensiones sobre el cubo elemental queden ubicadas dentro de un plano.Este estado se denomina “doble o plano”.

Cuando los vectores tensión son paralelos a un eje el estado se denomina“simple o lineal”.

En realidad, la definición de un estado como simple, doble o triple no solodepende de estado de cargas actuante sino de la orientación del cubo elemental.Como veremos más adelante, el estado simple puede pasar a ser un estado doblesi el elemento diferencial tiene una rotación, inclusive puede convertirse en un

estado triple. El proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si tenemos unestado doble, por ejemplo, es probable que no encontremos, por rotación delelemento, una posición para el cual el estado sea lineal.

Fig. 4.1





26

Fig. 4.2

Para poder entendernos con claridad el referirnos a las tensiones, vamos aestablecer ciertas convenciones:

σi: el subíndice i indicará al eje respecto del cual las tensiones normales sonparalelas ( σx, σy, σz ). Serán positivas cuando produzcan tracción.

τij: el subíndice i indicará el vector normal al plano donde actúan lastensiones tangenciales, y el subíndice j indicará el eje al que resultan paralelas(τxy, τxz, τyz, τyx, τzx, τzy ).

Tanto las tensiones normales como las tangenciales varían punto a punto enel interior de un cuerpo, por lo tanto, debemos tener presente que las tensionesquedan expresadas como funciones:

σ = σ(x,y,z); τ = τ(x,y,z)

4.1 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTAL

Consideremos, como en la figura 4.3, un punto A correspondiente a unsólido sujeto a tensiones, punto que hacemos coincidir con el origen decoordenadas; y tres planos perpendiculares que pasan por el punto, coincidentescon los planos coordenados. Supongamos además un segundo punto B del mismosólido, de coordenadas dx, dy y dz.

Admitiremos que las funciones que definen las tensiones en los puntos delsólido son continuas y derivables. Las tensiones que actúan en los planos quepasan por B pueden definirse como las que actúan en los planos paralelospasantes por A mas el correspondiente incremento. Así tendremos, por ejemplo,

tomando como incremento el primer termino del desarrollo enserie de Taylor.

El prisma elemental estará sometido a fuerzas actuantes en sus caras comoconsecuencia de las tensiones, además existirá una fuerza de masa quesupondremos aplicada en el baricentro. Llamaremos X, Y, Z a las componentes dedicha fuerza por unidad de volumen.





27

Si planteamos el equilibrio del prisma elemental tendremos:

Fig. 4.3

Planteando además ΣFy=0 y ΣFz=0 se llega a:





28

(4.1)

Continuando con las ecuaciones de momento, donde suponemos trasladadala terna de ejes al baricentro del elemento, tendremos:

(4.2)

Despreciando diferenciales de orden superior nos queda:

(4.3)

Estas últimas ecuaciones reciben el nombre de “LEY DE CAUCHY o LEY DERECIPROCIDAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES”, cuyo enunciado es: “En dosplanos normales cualesquiera, cuya intersección define una arista, lascomponentes normales a ésta de las tensiones tangenciales que actúan en dichosplanos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista”.

Las ecuaciones diferenciales del equilibrio tienen nueve incógnitas, las que

considerando la ley de Cauchy se reducen a seis. Ahora bien, siendo que sólodisponemos de tres ecuaciones, el numero de incógnitas excede el número deecuaciones, con lo que concluimos que este problema resulta ESTATICAMENTEINDETERMINADO. Las ecuaciones que faltan pueden obtenerse sólo si se estudianlas CONDICIONES DE DEFORMACION y se tienen en cuenta las propiedades físicasdel cuerpo dado (por ejemplo la ley de Hooke).

La determinación del estado tensional de un cuerpo siempre resultaindeterminada por condición interna e implica la consideración de ecuaciones decompatibilidad, las cuales establecen relaciones entre las deformaciones, enforma similar como las ecuaciones diferenciales del equilibrio relacionan a lastensiones entre sí.





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4.2 DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLE

La experiencia demuestra que cuando se produce el estiramiento de unabarra, el alargamiento longitudinal va acompañado de acortamientostransversales que son proporcionales al longitudinal. Si en un cubo diferencialactúa solamente σx tendremos:

(4.4)

Si además actúa σy tendremos un valor adicional:

(4.5)Y lo mismo si actúa σz. En consecuencia podemos establecer las siguientes

leyes:

(4.6)

Puede demostrarse que las tensiones tangenciales no provocan alargamientoni acortamientos, sólo cambios de forma, de modo tal que puede establecerse:

Fig. 4.4

(4.7)





30

4.2.1 Relación entre E y G

Si en un cuerpo sometido a tensiones consideramos un elemento diferencialen una determinada posición, la energía de deformación por unidad de volumencorrespondiente al mismo deberá mantenerse se la suponemos rotado. Sitenemos un prisma elemental sometido a corte puro, sabemos que a 45º de esaposición nos encontraremos en el elemento sometido a tensiones de tracción ycompresión, las que en valor absoluto serán iguales entre sí e iguales e la tensióntangencial. Si evaluamos la energía de deformación por unidad de volumen enambos casos obtendremos:

(4.8)

Fig. 4.5

4.3 ESTADO DOBLE

Variación de las tensiones en el punto según la orientación delplano.

Un elemento definido por tres planos normales entre sí, esta sometido a unestado plano, cuando las tensiones en dos de sus caras son nulas.

Analicemos el elemento de la figura:





31

Fig. 4.6

Adoptamos las siguientes convenciones de signos:Tensiones normales : serán positivas cuando produzcan tracción.Tensiones tangenciales : serán positivas cuando produzcan un giro de

momento con sentido horario con respecto a un punto interior del prisma.Angulo α : El ángulo se mide a partir del plano vertical y se considerapositivo cuando es antihorario.

El plano definido mediante el ángulo α es paralelo al eje z. Los tres planosdeterminados por los ejes x, y, y el ángulo α pasan por el mismo punto; de allíque no tenemos en cuenta fuerzas de masa sobre dicho elemento.

Recordamos por Cauchy:|τxy|= |τyx|Planteando proyecciones de fuerzas sobre la dirección 1, por razones de

equilibrio tenemos:





32

(4.9)

Similar a lo anterior, proyectamos fuerzas sobre la dirección 2:

(4.10)

Las tensiones vinculadas a dos planos perpendiculares se denominantensiones complementarias. Para calcularlas podemos reemplazar en las

ecuaciones anteriores, que son válidas para cualquier ángulo α, por ( α+90º ).

Si analizamos la siguiente suma:

(4.11) ← de Invariante tensiones





33

Podemos ver que la suma de las tensiones normales correspondientes a dos

planos ortogonales se mantiene constantes, por lo que a esta suma se ladenomina invariante de tensiones.

4.3.1 Valores máximos y mínimos, círculo de Mohr

En el ítem anterior hemos visto la manera de poder calcular el valor de lastensiones cuando el prisma elemental tiene una rotación, ahora vamos a tratarde determinar la rotación que debería tener para que las tensiones alcancenvalores extremos.

(4.12)

Observando esta última ecuación, podemos ver que la misma quedasatisfecha por dos valores de α, los cuales difieren entre sí 90º. Reemplazandoentonces en la ecuación 3.8 por estos valores llegamos a obtener las expresionescorrespondientes a las tensiones normales máxima y mínimas. Para ello nosapoyamos en la construcción gráfica de la figura, de donde resulta muy simpleobtener los valores de cos 2ασ y sen 2ασ.

Fig. 4.7





34

(4.12)

Si calculamos el valor de τα para ασ

(4.13)

Podemos ver que las tensiones máximas y mínimas, no sólo se producen

simultáneamente en planos ortogonales, sino que al mismo tiempo en dichosplanos las tensiones tangenciales son nulas. Las tensiones máximas y mínimas sedenominan “tensiones principales” y los ejes perpendiculares a los planos dondeactúan, “ejes principales”.

A continuación vamos a tratar de determinar las tensiones tangencialesmáximas y mínimas.

(4.14)

Los planos donde se producen las tensiones principales difieren 45º deaquellos donde las tensiones tangenciales son máximas y mínimas.

(4.15)

Calculemos el valor de σατ para τατ





35

(4.16)

Esta última expresión resulta ser la ecuación de una circunferencia concentro sobre un eje asociado a las tensiones normales σ, y de abscisa (σx + σy)/2.El radio de la circunferencia es:

(4.17)

La propiedad fundamental de esta circunferencia es que cada punto de ellaestá asociado a un par de valores (σ, τ) correspondiente a un plano.

Desde el punto de vista práctico el trazado de la circunferencia es muysimple:

- Ubicamos los puntos A y B de coordenadas:A (σx, τxy)B (σy, τyx)- La circunferencia con centro en C, pasante por A y B define el llamado

“Circulo de Mohr”, cuyo radio coincide con el indicado en la ecuación anterior





36

Fig. 4.8

(4.18)

(4.19)

(4.20)

Si por los puntos A y B trazamos dos rectas paralelas a los planos deactuación de las tensiones que definen los puntos, dichas rectas se cortan en elpunto P, el cual presenta propiedades muy importantes. Este punto P sedenomina “punto principal de Mohr”.

Si por el punto principal de Mohr trazamos una recta paralela al planorespecto del cual deseamos evaluar las tensiones actuantes, la misma corta a lacircunferencia en el punto M.





37

Fig. 4.9

A continuación vamos a demostrar que las coordenadas de ese punto(OT;MT) se corresponden con los valores de σα y τα.

El círculo de Mohr no sólo resulta práctico para determinar las tensionespresentes en un plano cualquiera, sino que a partir del mismo pueden obtenerselas tensiones principales y sus planos principales, o las tensiones tangencialesmáxima y mínima. En el círculo de la figura hemos representado las tensionesrecientemente mencionadas y sus correspondientes planos de actuación. En el





38

mismo también puede verse que en correspondencia con las tensiones principales

existen tangenciales nulas.

Fig. 4.10

A través del círculo de Mohr podemos analizar algunos casos particulares

que nos interesan.a) Corte puro

Fig. 4.11

En este estado vemos que existe un elemento girado a 45º con respecto alsolicitado por corte puro, tal que sus caras están sometidas a tensiones normalesde tracción y compresión, iguales en valor absoluto y numéricamente iguales a latensión tangencial.





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b) Tracción simple

Fig. 4.12

4.4 Trazado del círculo de Mohr en el estado triple

Así como es posible determinar las tensiones principales en un estadodoble, éstas también pueden calcularse en un estado triple. Si suponemos que

estas tensiones son conocidas, es posible demostrar que el par de tensiones (σ, τ)correspondiente a un plano inclinado cualquiera se corresponde con lascoordenadas de cierto punto ubicado dentro del área rayada indicada en lafigura, encerrada por los círculos, definidos, en este caso por las tres tensionesprincipales.

Fig. 4.13





40

Un hecho importante a destacar es el que se observa en el circulo, tenemos

un estado triple donde σ3=0, y puede verse que la tensión tangencial máximaresulta mayor que la que correspondería al estado plano correlacionado con lastensiones principales σ1 y σ2 exclusivamente.

Fig. 4.14





41

5 TORSIÓN

5.1 INTRODUCCION

Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión simple,cuando la reducción de las fuerzas actuantes sobre éste, a un lado de la sección,da como resultado una cupla que queda contenida en el plano de la misma.

El problema de torsión simple se presenta muy pocas veces, ya que en

general aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, lo queestudiaremos es totalmente general, dado que aplicando el principio desuperposición de efectos, a partir del problema de torsión simple puede llegarsea otros casos de torsión compuesta.

5.2 SECCION CIRCULAR

Para esta sección es valida la hipótesis de Coulomb, la cual se verificaexperimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas como

huecas. La hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de lapieza permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación portorsión. Además, luego de la deformación, las secciones mantienen su forma(estamos dentro del período elástico).

Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienenrotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continúansiendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatricesrectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices.

A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con lacompatibilidad de las deformaciones, deseamos saber qué tipo de tensionesgenera la torsión simple y cual es su distribución. Supongamos en primera

instancia que aparecen tensiones normales σ. Su distribución no podría seruniforme ya que de ser así existiría una resultante normal a la sección. Aldistribuirse entonces en forma variable, según la Ley de Hooke, lasdeformaciones especificas ε variaran también punto a punto, y la sección nocontinuaría siendo normal al eje, no siendo válida la hipótesis de Coulomb, queindica que la sección se mantiene plana.

En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsiónaparecen únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensionesconstituyan un sistema estáticamente equivalente al momento torsor Mt debeocurrir que:





42

∫Ω =Ω 0d ZX τ

∫Ω

=Ω 0d ZY τ

(6.1)( )∫

Ω

=Ω+ Mt d x y ZY ZX τ τ

Resulta evidente que si tomamosun elemento diferencial en coincidenciacon el borde de la sección, la tensióntangencial τ deberá ser tangente a lacircunferencia, ya que de no ser así

existirá una componente de τ radial, laque, por Cauchy, originaría una tensióntangencial aplicada sobre una generatrizdel cilindro.

Fig. 5.1

Esto que ocurre en el borde puede admitirse que también acontece enel interior, con lo que las tensiones tangenciales beberían ser normales al radio.

De lo visto podemos obtener algunas conclusiones- Sólo existen tensiones tangenciales.- Su distribución a lo largo de un diámetro es altimétrica.

- Su dirección es normal al radio.A continuación trataremos de establecer la ley de distribución de las

tensiones. Para ello consideramos que aislamos de una barra torsionada unatajada de longitud unitaria. El ángulo que giran ambas secciones será θ, y comola separación entre las secciones es la unidad, a este ángulo la denominaremos“ángulo específico de torsión”.





43

(6.2)El ángulo γ resulta ser el “ángulo dedistorsión” de la sección. Debemostener presente que si el ángulo θ es

pequeño entonces los arcos seconfunden con las tangentes, lo quepermite establecer γ ≅ tg γ.De acuerdo a la ley de Hooke:

(6.3) Fig. 5.2

Se puede apreciar que las tensionestangenciales varían linealmente con

el radio, alcanzando su valormáximo en el borde de la sección:

(6.4)

(6.5)Fig. 5.3

El ángulo de torsión específico θ resulta directamente proporcional almomento torsor e inversamente proporcional al producto G. Ip que recibe elnombre de “Rigidez a la torsión” y que mide la resistencia a dejarse retorcer.

Para el dimensionamiento debemos tener acotado el valor de la tensióntangencial máxima.





44

5.3 Sección Anular

Si analizamos un elemento diferencial del interior de una barra circulartorsionada encontraremos un estado de corte puro. Como ya hemos visto, paraeste caso las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signocontrario e iguales al valor de las tensiones tangenciales. Además actúan a 45ºcon respecto a los planos de las secciones, formando superficies helicoidales.

(6.6)Vamos a comparar la eficiencia de una sección anular para absorber torsión

con relación a una sección maciza de igual resistencia.

Fig. 5.4

(6.7)D: diámetro de la sección maciza igualmente resistente a la hueca.





45

(6.8)

Puede verse que, 1 ≥ ψ , lo que significa que la sección hueca es másconveniente que la sección llena ya que siempre se requiere menor área para

resistir el mismo esfuerzo. No debemos confundir área con diámetro, ya que paraigual resistencia el diámetro de la sección maciza será menor que el exterior dela hueca. Lo que importa es que aún con menor diámetro, la sección maciza essiempre más pesada y por ende más cara.

Lo que concluimos recientemente se debe a que las tensiones desarrolladasen la parte central de la sección maciza son muy pequeñas y no tienen un aportemuy significativo, por lo que para resistir a la torsión las secciones másconvenientes son las huecas. En efecto, si consideró una sección anular tal queD2 = 2 D1, o sea α= 0.50, obtendremos ψ= 1.28. Vemos entonces que la secciónmaciza igualmente resistente es un 28% más pesada que la anular.

5.4 SECCIÓN TUBULAR CERRADA DE PEQUEÑO ESPESOR

Consideremos una sección tubular de forma arbitraria pero de paredes muydelgadas con relación a la menor dimensión de la misma, sometida a torsión.Admitamos también que el espesor e del tubo varía en forma continua.

Debido al pequeño espesor del tubo es posible suponer que las tensionestangenciales son constantes en intensidad y dirección a lo largo del espesor, yque la dirección coincide con la tangente al contorno medio de la sección en elpunto considerado.

Si en una sección s-s tomamos un elemento diferencial de ancho e y

longitud ds, sobre el mismo actuará una fuerza elemental dT.

Fig. 5.5





46

(6.9)Si elegimos un punto cualquiera del plano de la sección y llamamos r a ladistancia al mismo de la fuerza dT tendremos:

(6.10)Si separamos del tubo una tajada de longitud unitaria y luego aislamos una

porción seccionando al eje del tubo, tendremos que según la ley de Cauchyaparecen tensiones verticales que dan dos resultantes T1 y T2, las cuales deberánser de igual intensidad por razones de equilibrio.

Dado que las secciones 1 y 2 son arbitrarias, de lo anterior podemosestablecer:

ctee =⋅τ

(6.11) Fórmula de Bredt

Ω: área que encierra la línea media de la secciónPuede verse que en este tipo de sección la tensión tangencial es

inversamente proporcional al espesor de la misma, lo que significa que la tensióntangencial máxima ocurre en el lugar donde el espesor es mínimo.

Si deseamos conocer el ángulo especifico de torsión, podemos calcularlo através de consideraciones energéticas.

Text = USi tomamos una porción del tubo de longitud unitaria, el giro relativo

entre las dos secciones extremas será igual al ángulo específico de torsión.

(6.12)

5.5 SECCIÓN RECTANGULAR

En barras de sección no circular, durante la torsión las secciones nopermanecen planas, sino que se curvan (alabean).

Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales noaparecen tensiones normales. Esta torsión se denomina torsión pura o libre.





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Exponemos a continuación los resultados fundamentales para barras desección rectangular cuando a > b.Si la teoría desarrollada por Coulomb para la torsión circular fuera válida

para la rectangular, en un punto como el A de la figura 5.10 debería existir unatensión tangencial τA perpendicular al radio vector rA, lo que daría componentesτzx y τxy no nulas, apareciendo tensiones τxz y τyz exteriores que contradicen lahipótesis de torsión simple. La hipótesis de Coulomb no es entonces aplicable ala sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular.

Fig. 5.6

La solución exacta del problema, atribuida a Saint Venant, como

mencionamos antes, pertenece al dominio de la Teoría de la Elasticidad. En lafigura siguiente se indica la ley de variación de las tensiones tangenciales,pudiendo apreciarse que la tensión tangencial máxima tiene lugar en el centrodel lado mayor.





48

Fig. 5.7Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión

pueden calcularse mediante las fórmulas siguientes. Los coeficientes α, β y η,que son funciones de la relación de lados a/b, pueden obtenerse de la tabladetallada a continuación.

a/b 1 1.5 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10 ∞

α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

γ 1.00 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742

(6.13)

(6.14)

(6.15)

5.6 SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA

Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominadode la Analogía de la Membrana, el cual no lo desarrollaremos en este curso.

Para este tipo de secciones se puede suponer una distribución lineal detensiones a través del espesor. Además, la teoría mencionada muestra que lastensiones varían muy poco si suponen enderezados los perfiles de modo detransformarse en rectángulos muy alargados.





49

Fig. 5.8

Para rectángulos muy alargados resulta:

(6.16)

(6.17)Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto derectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor Mt.Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismogiro específico de torsión.

Si llamamos:Entonces:

Donde Mti corresponde al momento torsor que absorbe un rectángulo icualquiera que constituye la sección.

(6.18)





50

En el caso de perfiles laminados, el momento de inercia torsional resultamayor que el calculado mediante la expresión anterior. Esto se debe a que loscontornos redondeados incrementan la rigidez de la sección.

Los perfiles abiertos no tienen una buena capacidad para resistir torsión.Vamos a tratar de evidenciar esto comparando las rigideces de dos seccioneshuecas, una cortada y otra entera.

Fig. 5.9

(6.19)

De este ejemplo puede verse que una sección hueca es mucho más rígidaque una sección abierta. Por esto se debe evitar que las barras de secciónabierta trabajen a torsión.

Apunte Resist en CIA de Materiales Parte I

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