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Apuntes de Curso

Funciones RealesJuan Mayorga-Zambrano, Ph.D.Universidad Tecnologica Israel

[email protected]

Septiembre 2012

Resumen

Se hace un primer acercamiento a las funciones reales. Se estudian las funcioneslineal afn, signo, valor absoluto y cuadratica. Adicionalmente se presenta el conceptode paridad y se expone la densidad de Q en R.

Topicos

1. Introduccion 21.1. Dominio de definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Graficacion ingenua de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Funcion lineal afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Funcion raz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Algebra de funciones 9

3. Ecuaciones e inecuaciones reales 9

4. Paridad 12

5. Funciones signo y valor absoluto 13

6. Densidad de Q en R. Numeros de punto flotante 18

7. Funcion cuadratica 19

8. Composicion de funciones 198.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.2. Invertibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9. Traslacion y cambio de escala 249.1. Traslacion en la variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.2. Traslacion en la variable dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.3. Cambio de escala en la variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . 269.4. Cambio de escala en la variable dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.5. Graficacion via traslacion y escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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10. Monotona 2910.1. Monotona y composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.2. Criterio de la tasa de variacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11. Funciones trigonometricas 3511.1. Axiomatizacion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.2. Periodicidad e Inyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.3. Otras funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.4. Funciones trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911.5. Propiedades derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.6. Graficacion de funciones sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.7. Resolucion de Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

12. Problemas 43

1. Introduccion

Como se comento en lecciones anteriores, las funciones representan la clase massimple de modelos matematicos. A una funcion

f : I R J Rx 7 f (x) (1.1)

se le denomina funcion real de variable real, esto es cuando tanto su dominio (por esola frase variable real) como su codominio (por eso la frase funcion real) son subconjuntosde R.

Observacion 1.1. En ese mismo sentido, se dice que

Z I 3 p 7 f (p) Res una funcion real de variable entera y que

R I 3 t 7 f (t) Ces una funcion compleja de variable real.

Por comodidad por funciones reales nos referiremos a funciones reales de variable real.

Como textos de apoyo el estudiante puede usar e.g. [1], [2], [3]. Parte del material presentado aqu fuepreparado para versiones preliminares de [4].

1.1. Dominio de definicion

Como se ha visto, al tratar con una funcion se requiere de un dominio (de donde setoma la materia prima), un codominio (que contiene a los productos) y una regla (o proceso)

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que permite asociar a cada elemento del dominio un unico elemento del codominio. Portanto, expresiones (o reglas de calculo) como

f (x) = x25x + 4,g(x) = 10x,

h(x) = senx,

no son funciones pues no prescriben los correspondientes dominios y codominios.

Definicion 1.1. [Dominio de Definicion]Sea f (x) una regla de calculo. Se define Dom( f ), el Dominio de Definicion (o MaximoDominio) de f (x), como el mas grande subconjunto deR donde la regla tiene sentido, esto es,donde se respetan las propiedades de los numeros reales y donde f (x) transforma reales enreales.

La siguiente regla nos permitira manejar funciones definidas por formulas.

Regla del Maximo DominioDada una regla de calculo f (x), si no se proveen explcitamente dominio ni codominiodebera trabajarse con la funcion

f : Dom( f ) R Rx 7 f (x), (1.2)

esto es, f definida sobre el dominio de definicion de f (x), y cuyo codominio es R.

Se dice que (1.2) es la funcion definida por la formula f (x).

Ejemplo 1.1. Consideramos la formula

f (x) =ln(4x)

x1 .

Para que, conforme a la Regla del Maximo Dominio, tenga sentido la formula f (x) necesitamosque

el denominador este bien definido o sea que

x1 > 0 x > 1,el numerador este bien definido o sea que

4x > 0 x < 4.Por tanto,

Dom( f ) = (1,4)

y se debe trabajar con la funcion

f : (1,4) Rx 7 f (x) = ln(4x)

x1 .

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Figura 1: Grafico de la funcion definida por la formula f (x) = ln(4x)x1 .

1.2. Graficacion ingenua de funciones

Puesto que una funcion real (de variable real) es un subconjunto de R2, usualmentees posible describir un grafico representativo. En lo mas basico, para construir la graficade una funcion f ,

i) se establece una red suficientemente nutrida de puntos

Mi = (xi, yi), i = 0,1,2, ...,N,

donde

xi Dom( f ), i = 0,1, ...,Nx0 < x1 < x2 < ... < xN,

yi = f (xi), i = 1, ...,N;ii) se une con lneas los puntos sucesivos.

Si hay un numero suficientemente grande de puntos, la grafica de f tendera a ser unacurva suave. 1 En el caso en que Dom( f ) = [a,b], a < b, se podra tomarx0 = a,xi = a + ih, i = 1,2, ...,N, (1.3)donde

h =b a

N;

de esta manera se hace un grafico aproximado con N + 1 puntos.

Recomendamos al estudiante aprender los rudimentos de graficacion de funciones en calculadorasy computadoresl. Los graficos presentados a lo largo de este trabajo han sido preparados con el paqueteMaxima que puede ser obtenido gratuitamente en

1Esto bajo el supuesto de que f es una funcion continua. El concepto de continuidad se introducira masadelante en este curso.

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http://maxima.sourceforge.net/es/

Tip de Maxima No. 1.El comando makelist permite generar listas de datos que pueden graficarsecon el comando graph2d. El comando graph2d es parte del paquete graph2dque se carga con el comando load.

Ejemplo 1.2. Consideramos la funcion definida en el Ejemplo 1.1 atraves de la formula

f (x) =ln(4x)

x1 .

Apliquemos (1.3) para construir, con ayuda de Maxima, una grafica de f en el intervalo [1.1, 3.9]con 11 puntos.

(%i1) load(graph2d);

(%o1) C : /PROGRA 1/MAXIMA 1.0/share/maxima/5.27.0/share/contrib/graph2d.lisp

(%i2) a: 1.1;

(%o2) 1.1

(%i3) b: 3.9;

(%o3) 3.9

(%i4) N:10;

(%o4) 10

(%i5) h: (b-a)/N;

(%o5) 0.28

(%i6) x[i]:= a+i*h;

(%o6) xi := a + ih

(%i7) f(x):= log(4-x)/sqrt(x-1);

(%o7) f (x) :=log(4x)

x1(%i8) s1: makelist([x[i],f(x[i])], i,0,N);

(%i9) graph2d(s1);

Comparese la Figura 2 que usa 11 puntos con el grafico real de la funcion f , disponible en laFigura 21.

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Figura 2: Grafico aproximado de la funcion definida por la formula f (x) = ln(4x)x1 con 11

puntos equidistantes.

1.3. Funcion lineal afn

Llamamos funcion lineal afn a toda funcion de la forma

L : I R Rx 7 y = L(x) = mx + b,

donde m y b son constantes reales. Debe tenerse presente que

el grafico de L cruza el eje de las Y en (0,b);si m , 0, el grafico de L cruza el eje de las X en (b/m,0);si m = 0, la grafica de L es una recta paralela al eje de las X;se tiene que

Rg(L) =

R, si m , 0,{b}, si m = 0.Al numero m R se le conoce como la pendiente de la recta descrita por L. Al numero b R se le

refiere usualmente como el intersecto de L.

Grafiquemos en Maxima funciones lineales afines considerando los casos en que lapendiente es positiva. Vease la Figura 3.

(%i1) m: 2;

(%o1) 2

(%i2) b: 1;

(%o2) 1

(%i3) f(x):= m*x + b;

(%o3) f (x) := mx + b

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(%i4) plot2d([f(x)],[x,-3,3]);

(%o4)

Figura 3: Funcion lineal afn con pendiente positiva

De la misma manera construimos los gra`ficos para los casos en que la pendiente esnegativa y nula. Veanse las Figuras 4 y 5.

Figura 4: Funcion lineal afn con pendiente negativa

1.4. Funcion raz cuadrada

La relacionr = {(x, y) R2 : y2 = x}

no es funcion. Sin embargo su grafico corresponde a unir los graficos de dos funciones:

R+{0} 3 x 7 r+(x) =

x R (1.4)R+{0} 3 x 7 r(x) =

x R (1.5)

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Figura 5: Funcion lineal afn con pendiente nula

A la funcion r+ se le conoce como la funcion raz cuadrada.

Observese que

Dom(r) = Dom(r+) = Dom(r) = {x R : x 0},y que

Rg(r) = R,Rg(r+) = {y R : y 0},Rg(r) = {y R : y 0},

Figura 6: Funcion raz cuadrada.

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2. Algebra de funciones

Dadas dos funciones reales, f y g, definidas sobre I R, i.e.,R I 3 x 7 f (x) R,R I 3 x 7 g(x) R,

se definen las funciones suma f + g y producto f g mediante

f + g : I Rx 7 ( f + g)(x) = f (x) + g(x);

f g : I Rx 7 ( f g)(x) = f (x) g(x);

Se define la funcion cociente f/g mediante

f/g : I Rx 7

(fg

)(x) =

f (x)g(x)

,

donde I = {x I : g(x) , 0}.Observacion 2.1. Cuando solo se provee dos reglas de calculo f (x) y g(x) se usa la anteriordefinicion poniendo

I = Dom( f )Dom(g).Ejemplo 2.1. Consideremos las funciones definidas por las formulas

f (x) = sen(10 x), g(x) = ex,cuyos graficos se presentan en las Figuras 7 y 8. Observese en la Figura 9 como se mezcla elefecto de estas funciones al hacer su producto.

3. Ecuaciones e inecuaciones reales

Muchos problemas en Ingeniera se pueden reducir a la busqueda de soluciones deuna ecuacion o de una inecuacion.

En forma estandar, una ecuacion real (de variable real) se escribe como

f (x) = 0, x A R. (3.6)El conjunto solucion de la ecuacion (3.6) es

CS = {x ADom( f )/ f (x) = 0}. (3.7)Observacion 3.1. Tenga presente que si bien se busca soluciones de (3.6) en el conjunto A serequiere que los candidatos a solucion vivan en el dominio de definicion de f (x).

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Figura 7: La funcion definida por la formula f (x) = sen(10x).

Figura 8: La funcion definida por la formula g(x) = ex.

Ejemplo 3.1. Consideramos la ecuacion

x32x2 = x2, x > 0. (3.8)En forma estandar esta ecuacion se puede escribir como

x32x2x + 2 = 0, x (0,).Es claro que Dom( f ) =R, donde

f (x) = x32x2x + 2= (x + 1)(x1)(x2)

de manera que el conjunto solucion de (3.8) es

CS = {1, 2}.

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Figura 9: La funcion definida por la formula h(x) = sen(10x)ex.

En forma estandar, una inecuacion real (de variable real) se escribe como

f (x) > 0, x B R. (3.9)El conjunto solucion de la inecuacion (3.9) es

CS = {x BDom( f )/ f (x) > 0}. (3.10)Observacion 3.2. Tenga presente que si bien se busca soluciones de (3.9) en el conjunto B serequiere que los candidatos a solucion vivan en el dominio de definicion de f (x).

Ejemplo 3.2. Consideramos la inecuacion

x32x2 > x2, x > 0. (3.11)La solucion de (3.11) tiene la forma

CS = S (0,),donde S es la solucion de la inecuacion

x32x2x + 2 > 0, x R.Es claro que Dom( f ) =R, donde

f (x) = x32x2x + 2= (x + 1)(x1)(x2)

En la siguiente tabla analizamos los signos de f (x) y de sus terminos constitutivos.Por tanto,

S = (1,1) (2,)y el conjunto solucion de (3.11) es

CS = (0,1) (2,).

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1 1 1 1 2 2 +x + 1 - + + +

x1 - - + +x2 - - - +f (x) - + - +

Figura 10: La funcion definida por la formula f (x) = x32x2x + 2.

Ejercicio 3.1. Indique si A = (,1/3] (2,) es el conjunto solucion dex + 5x2 2, x R.

Ejercicio 3.2. Indique si A = (4,) es el conjunto solucion dex + 5x + 4

x6x + 4

, x R.

4. Paridad

Recordemos que una funcion es el ejemplo mas sencillo de modelo matematico. Puestoque un buen modelo es un reflejo bastante aproximado del comportamiento real de unfenomeno fsico, financiero, biologico, etc., es importante extraer y utilizar el maximode informacion posible sobre el fenomeno a partir del modelo. Entonces los conceptosde paridad, periodicidad, monotona, invertibilidad, etc. son muy importantes porquepermiten tomar decisiones con un ahorro de tiempo considerable. Por ejemplo,

si una funcion es par o impar, basta con manejar la mitad derecha o izquierda dela funcion;si una funcion es periodica, basta con manejar la funcion en una region muchomas pequena que el dominio;si una funcion es invertible, entonces existe un proceso (la funcion inversa) por elque los productos pueden reconvertirse en materia prima;

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si una funcion es monotona, entonces las imagenes solo crecen o decrecen cuandonos desplazamos hacia la derecha.

El primer concepto que introducimos es el de paridad.

Definicion 4.1. [Paridad]Supongamos que I =R o bien I = [l, l] para algun l > 0. Se dice que la funcion f : I Res par si se cumple que

f (x) = f (x), x I. (4.12)Se dice que f es impar si

f (x) = f (x), x I. (4.13)

Observese que una funcion puede no ser par ni impar.

Graficamente una funcion par es simetrica respecto al eje de las Y en tanto que unafuncion impar es antisimetrica.

Figura 11: Las funciones pares son simetricas respecto al eje vertical.

Ejercicio 4.1. Pruebe que para una funcion impar, f , tal que 0 Dom( f ), se cumple que f (0) = 0.Proposicion 4.1. Sean f y g dos funciones reales.

1) Si f y g son ambas pares o ambas impares, entonces f g y f/g son pares.2) Si f es par y g es impar (o viceversa), entonces f g y f/g son impares.3) Si f y g son pares, entonces f + g es par.4) Si f y g son impares, entonces f + g es impar.

Ejercicio 4.2. Pruebe la Proposicion 4.1.

5. Funciones signo y valor absoluto

Se define la funcion valor absoluto | | :RR mediante|x| =

x2. (5.14)

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Figura 12: Las funciones impares son antisimetricas respecto al eje vertical.

Esta funcion es de suma importancia pues mide el tamano de su argumento y permiteestablecer la distancia entre dos numeros reales a y b:

dist(a,b) = |a b|. (5.15)

De su definicion es claro que la funcion valor absoluto es par.

Figura 13: La funcion valor absoluto.

Ejercicio 5.1. Pruebe que

|x| =x, si x 0,x, si x < 0, (5.16)

de manera que

dist(x, y) =

(x y)2. (5.17)

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Proposicion 5.1. Dados a,b R, se tiene que|a b| = |a| |b|; (5.18)ab = |a||b| , b , 0. (5.19)


Proposicion 5.2. Sea M > 0. Entonces el conjunto solucion de la ecuacion

|x| = M, x R,esta dado por

CS = {M,M}.Ejercicio 5.3. Pruebe la Proposicion 5.2.

Proposicion 5.3. Sea a 0. Entonces|x| a a x a, (5.20)|x| a x a x a. (5.21)

De la Proposicion anterior se sigue que, dada a 0, el conjunto solucion de la de-sigualdad

|x| a,es

CS = [a,a].Y el conjunto solucion de la desigualdad

|x| a,es

CS =],a] [a,[.Observacion 5.1. Sea a > 0. Entonces

|x| < a a < x < a, (5.22)|x| > a x > a Y x < a. (5.23)

Ejemplo 5.1. EL conjunto solucion de la inecuacion

|x + 5| 2, x R,es CS = .Ejemplo 5.2. Resolvamos la inecuacion

|x + 9| > 7, x R. (5.24)Se tiene que (5.24) es equivalente a

x + 9 > 7 Y x + 9 < 7,

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es decir,x > 2 Y x < 16.

Por tanto el conjunto solucion de (5.24) es

CS = (,16) (2,).Ejemplo 5.3. Resolvamos la ecuacion

|x + 3|+ |x5| = 0, x R. (5.25)Puesto que

|a| 0, a R,se sigue que (5.25) tendra solucion si solo si se cumpliera que

x + 3 = 0 x5 = 0,es decir,

x = 3 x = 5.Puesto que esto es una contradiccion, el conjunto solucion de (5.25) es

CS = .En el siguiente ejemplo presentamos un metodo basado en el analisis de los terminos constitutivos de

una ecuacion / inecuacion que normalmente es muy efectivo.

Ejemplo 5.4. Resolvamos la inecuacion

|x + 4| |2x5| < 4, x R. (5.26)Para poder resolver (5.26) utilizamos (5.16). Para ello, analizamos el signo de los terminosconstitutivos de (5.26):

4 4 5/2 5/2 +x + 4 - + +

2x5 - - +

Observese queR = I1 I2 I3, (5.27)

dondeI1 = (,4), I2 = [4,5/2), I3 = [5/2,).

i) Buscamos soluciones de (5.26) en I1. Aqu (5.26) es equivalente a

(x + 4) + (2x5) < 4, x I1,es decir

x < 13, x I1,de manera que una solucion parcial de (5.26) es

S1 = {x I1 : x < 13}= (,4) (,13)= (,4).

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ii) Buscamos soluciones de (5.26) en I2. Aqu (5.26) es equivalente a

(x + 4) + (2x5) < 4, x I2,es decir

x < 5/3, x I2,de manera que una solucion parcial de (5.26) es

S2 = {x I2 : x < 5/3}= [4,5/2) (,5/3)= [4,5/3).

iii) Buscamos soluciones de (5.26) en I3. Aqu (5.26) es equivalente a

(x + 4) (2x5) < 4, x I2,es decir

x > 5, x I3,de manera que una solucion parcial de (5.26) es

S3 = {x I3 : x > 5}= [5/2,) (5,)= (5,).

Por tanto, en virtud de (5.27), el conjunto solucion de (5.26) es

CS = S1S2S3= (,5/3) (5,).

Ejercicio 5.4. Resuelva la inecuacion

|3|x| 1 | 5, x R.Ejercicio 5.5. Resuelva la inecuacion

| |x3| 2 | 7, x R.

La funcion signo sgn :RR se define mediante

sgn(x) =

1, si x < 0,0, si x = 0,1, si x > 0.

(5.28)

Ejercicio 5.6. Pruebe que

sgn(x) =

|x|x, si x , 0,

0, si x = 0,(5.29)

de manera que sgn es una funcion par.

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Figura 14: La funcion signo.

Terminamos esta seccion con el siguiente resultado que establece que la longitud dellado de un triangulo es menor o igual que la suma de las longitudes de los otros doslados.

Teorema 5.1. [Desigualdad triangular]Para todo x, y R se cumple que

|x + y| |x|+ |y|. (5.30)La igualdad se alcanza si y solo si sgn(x) = sgn(y).

Ejercicio 5.7. Pruebe el Teorema 5.1.

Corolario 5.1. Dados x, y,a R se tiene que||x| |y|| |x y|, (5.31)

|x y| |x a|+ |a y|. (5.32)Ejercicio 5.8. Usando la desigualdad triangular pruebe el Corolario 5.1.

6. Densidad de Q en R. Numeros de punto flotante

Los smbolos

2,pi (pi) y e (la base de los logaritmos neperianos) aparecen en todas lascalculadoras cientficas y son usualmente encontrados en los lenguajes de programacioncomo constantes dadas. Sin embargo, trabajan realmente estos dispositivos electronicoscon estos numeros irracionales? La respuesta es no.

Como mencionamos en una clase anterior, una calculadora toma truncaciones, usual-mente referidas como numeros de tipo flotante (tipo de datos float o double float); esto es,puesto que todo dispositivo tiene (por limitaciones de memoria) una restriccion en elnumero de cifras decimales que puede manipular, digamos n, entonces un numero irra-cional (que necesariamente tiene infinitas cifras decimales) se aproxima con el numeroracional que resulta de tomar solo las primeras n cifras decimales.

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De hecho, las computadoras no trabajan ni siquiera con Q. Es natural preguntarseentonces que tanto podemos confiar en los resultados obtenidos? La respuesta dependedel grado de certeza necesario en el fenomeno bajo estudio. Por ejemplo, una variacion de0.1 voltios podra ser fatal para un chip electronico; pero si un astronomo se equivocaraen 0.1 kilometros al calcular el radio de una estrella lejana a nadie le importara.

Todo lo anterior tiene que ver con el hecho de queQ es denso enR; es decir, dado unnumero real x se puede hallar un numero racional r tan cercano a x como se quiera. Estose expone en el siguiente resultado.

Teorema 6.1. [Densidad de Q en R]Sea x R, dado. Para cada > 0, existe r Q tal que

|x r| . (6.33)


7. Funcion cuadratica

Sean b,c R y a R \ {0}. A la funcionR 3 x 7 f (x) = ax2 + bx + c R, (7.34)

se le denomina funcion cuadratica. Su grafico corresponde a una parabola. Aqu

Rg( f ) =

[ f (x0),), si a > 0,(, f (x0)], si a < 0, (7.35)donde al valor

x0 = b2a (7.36)se le conoce como el punto crtico de f . Para bosquejar rapidamente el grafico de fnecesitamos ademas conocer el signo de su discriminante, f , definido como

f = b24ac. (7.37)

8. Composicion de funciones

Continuamos en esta leccion nuestro estudio de las funciones reales.

Como textos de apoyo el estudiante puede usar e.g. [1], [2], [3]. Parte del material presentado aqu fuepreparado para versiones preliminares de [4].

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Figura 15: Funcion cuadratica, a > 0, D > 0.

Figura 16: Funcion cuadratica, a < 0, D > 0.

8.1. Definicion

Recordemos que una forma de interpretar una funcion es verla como un proceso quetransforma materia prima en un cierto tipo de productos. La idea de proceso compuesto,esto es un proceso que resulta de aplicar sucesivamente procesos mas simples, se expresamatematicamente a traves de la siguiente Definicion.

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Figura 17: Funcion cuadratica, a > 0, D < 0.

Figura 18: Funcion cuadratica, a < 0, D < 0.

Definicion 8.1. [Funcion compuesta]Dadas dos funciones reales

f : I R Rx 7 f (x),

g : J R Rx 7 g(x),

dos funciones tales queJ Rg( f ),

se define la funcion compuesta de g con f , denotada g f , medianteg f : I R R

x 7 (g f )(x) = g( f (x)). (8.38)

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Figura 19: Funcion cuadratica, a > 0, D = 0.

Figura 20: Funcion cuadratica, a < 0, D = 0.

Luego, si existen n funciones f1, f2,..., fn tales que

Rg( f1) Dom( f2), ..., Rg( fn1) Dom( fn),se pone

( fn fn1 ... f2 f1)(x) = fn( fn1(...( f2( f1(x))))), x Dom( f1).En el siguiente ejemplo se presenta un metodo para el calculo del rango de una

funcion.

Ejemplo 8.1. Consideramos las funciones

[0,5] 3 x 7 f (x) = 2x1 R,(3,8] 3 x 7 g(x) = 2x23x + 5 R,

(3,10) 3 x 7 h(x) = 2x23x + 5 R.Nos preguntamos si es posible definir las funciones g f y h f . Para dar una respuesta necesi-tamos calcular el rango de f .

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Sea y Rg( f ), cualquiera. Escogemos un x Dom( f ) tal quey = f (x) = 2x1.

Se tiene que

0 x 5,0 2x 10,

1 2x1 9,1 y 9.

Puesto que y fue elegido arbitrariamente, se tiene que

1 y 9, y Rg( f ),de manera que

Rg( f ) [1,9]. (8.39)Esta informacion es suficiente para concluir que s existe la funcion h f pues

Dom(h) = (3,10) [1,9] Rg( f ).Se tiene entonces que

h f : [0,5] R Rx 7 (h f )(x) = 2(2x1)23(2x1) + 5.

Para verificar si es o no posible definir g f necesitamos teminar el calculo de Rg( f ). Seay [1,9], cualquiera. Se tiene que

1 y 9,0 y + 1 10,0 y + 1

2 5.

De manera que el numero x0 =y+1

2 vive en Dom( f ) y se tiene que

f (x0) = 2x01 = 2(

y + 12

)1 = y,

de manera que y Rg( f ). Puesto que y fue elegido arbitrariamente, hemos probado quey [1,9] : y Rg( f ),

es decir[1,9] Rg( f ). (8.40)

Por (8.39) y (8.40) se sigue que[1,9] = Rg( f ).

Puesto queRg( f ) = [1,9] * (3,8] = Dom(g),

es claro que no existe la funcion g f .

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Ejercicio 8.1. Consideramos las funciones

(3,7] 3 x 7 f (x) = 3x + 2 R,(3,25] 3 x 7 g(x) = cos(x2)2x + 1 R,(12,25) 3 x 7 h(x) = cos(x2)2x + 1 R.

Defina, caso de ser posible, g f y h f .

8.2. Invertibilidad

La relacion entre la composicion de funciones con los conceptos de inyectividad ysobreyectividad se establece en el siguiente Teorema.

Teorema 8.1. [Relacion entre inyectividad y sobreyectividad con la composicion]Sean f : A B y g : B C.

1) Si f y g son inyectivas, entonces g f es inyectiva.2) Si f y g son sobreyectivas, entonces g f es sobreyectiva.3) Si g f es inyectiva, entonces f es inyectiva.4) Si g f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.


Ejercicio 8.3. Indique si la funcion

[3,5] 3 x 7 f (x) = 32x [3,1]

es biyectiva. Si es el caso, defina la funcion inversa

9. Traslacion y cambio de escala

Al trabajar con graficos en un computador uno usualmente necesita trasladar o moverel grafico de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo para captar alguna informacionque no se ve en pantalla. De la misma manera, a veces uno requiere hacer un zoom esdecir hacer un cambio de escala para resaltar algun detalle (un acercamiento) o para teneruna perspectiva mas global (un alejamiento). Como hace el computador para producirtales efectos? La respuesta es bastante simple: hace una composicion de funciones.

Presentamos a continuacion este recurso matematico en su version mas simple. Entoda esta seccion trabajaremos con una funcion

f : R Rx 7 f (x),

que suponemos que esta descrita por la Figura 21.

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Figura 21: Funcion original que se va a someter a escalamiento / traslacion, definida porf (x).

9.1. Traslacion en la variable independiente

Dado a R, a , 0, se dice que la funcionfa : R R

x 7 fa(x) = f (x a),es la traslacion de f en x con centro en x = a. Graficamente se tiene un desplazamientode tamano |a|: a) hacia la derecha si a > 0, b) hacia la izquierda si a < 0.

Figura 22: Traslacion definida por f (x1): hacia la derecha de la funcion original.

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Figura 23: Traslacion definida por f (x + 1): hacia la izquierda de la funcion original.

9.2. Traslacion en la variable dependiente

Dado b R, b , 0, se dice que la funcionf b : R R

x 7 f b(x) = f (x) + b,es la traslacion de f en y con centro en y = b. Graficamente se tiene un desplazamientode tamano |b|: a) hacia arriba si b > 0, b) hacia abajo si b < 0.

Figura 24: Traslacion definida por f (x) + 1: hacia arriba respecto de la funcion original.

9.3. Cambio de escala en la variable independiente

Dado a > 0, se dice que la funcion

fa : R Rx 7 fa(x) = f (a x),

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Figura 25: Traslacion definida por f (x)1: hacia abajo respecto de la funcion original.

es el cambio de escala de f en x con factor a. Graficamente se tiene una contraccion sia > 1, y una expansion si 0 < a < 1.

Figura 26: Contraccion en el eje x, respecto de la funcion original, definida por f (x 1.5).

9.4. Cambio de escala en la variable dependiente

Dado b > 0, se dice que la funcion

f b : R Rx 7 f b(x) = b f (x),

es el cambio de escala de f en y con factor b. Graficamente se tiene una contraccion si0 < b < 1, y una expansion si b > 1.

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Figura 27: Expansion en el eje x, respecto de la funcion original, definida por f (x/1.5).

Figura 28: Contraccion en el eje y, respecto de la funcion original, definida por f (x)/1.5.

9.5. Graficacion via traslacion y escalamiento

Supongamos que b y son numeros reales y que a y son positivos. Para graficar lafuncion g definida por la formula

g(x) = f (ax b) +,cuando se supone conocido el grafico de la funcion f , se puede proceder de la siguientemanera:

1) se grafica g1 = fa;2) se grafica g2 = (g1)b;

3) se grafica g3 = (g2);

4) se grafica g = g4 = (g3).

Ejemplo 9.1. La funcion y = ex2 , llamada campana de Gauss, es una funcion con multi-ples aplicaciones en Ingeniera, Fsica, Estadstica, etc. A partir de su grafico podemos graficar

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Figura 29: Expansion en el eje y, respecto de la funcion original, definida por f (x) 1.5.

funciones como g(x) = 2 e(x+1)2 + 1, siguiendo los pasos recien descritos:

Figura 30: Campana de Gauss, definida por f (x) = ex2 .

10. Monotona

Consideramos una funcion real f . Diremos que f es creciente, denotado f , si secumple que

x1,x2 Dom( f ) : x1 < x2 f (x1) f (x2).Diremos que f es estrictamente creciente, denotado f , si se cumple que

x1,x2 Dom( f ) : x1 < x2 f (x1)< f (x2).Diremos que f es decreciente, denotado f , si se cumple que

x1,x2 Dom( f ) : x1 < x2 f (x1) f (x2).

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Figura 31: Funcion definida por g2(x) = e(x+1)2.

Figura 32: Funcion definida por g3(x) = 2 e(x+1)2 .

Diremos que f es estrictamente decreciente, denotado f , si se cumple quex1,x2 Dom( f ) : x1 < x2 f (x1)> f (x2).

A una funcion que es creciente o decreciente se dice que es monotona.

En la Figura 34 se presenta un ejemplo de funcion creciente. Vease la diferencia conel comportamiento de una funcion estrictamente creciente como la esquematizada en laFigura 35.

En la Figura 36 se presenta un ejemplo de funcion decreciente. Vease la diferencia conel comportamiento de una funcion estrictamente decreciente como la esquematizada enla Figura 37.

Observacion 10.1. Los conceptos de Monotona recien expuestos se pueden referir a subcon-juntos del dominio de una funcion. Analizar la monotona de una funcion f quiere decir que seestablezcan las regiones de crecimiento y decrecimiento de f .

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Figura 33: Funcion definida por g3(x) = 2 e(x+1)2 + 1.

Figura 34: Esquema de una funcion creciente.

Ejemplo 10.1. Sean m , 0 y b R. La funcion definida por la formulaf (x) = mx + b

es estrictamente creciente cuando m > 0 y estrictamente decreciente cuando m < 0. En efecto,consideremos el caso en que m > 0 de manera que para x1 < x2 se sigue que

mx1

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Figura 35: Esquema de una funcion estrictamente creciente.

Figura 36: Esquema de una funcion decreciente.

10.1. Monotona y composicion

En el siguiente resultado se establece la relacion entre la monotona y el proceso decomposicion de funciones.

Teorema 10.1. [Relacion entre monotona con la composicion]Sean f : A B y g : B C funciones reales.

1) Si f y g son crecientes, entonces g f es creciente.2) Si f es creciente y g es decreciente, entonces g f es decreciente.3) Si f y g son decrecientes, entonces g f es creciente.4) Si f es decreciente y g es creciente, entonces g f es decreciente.


En el siguiente Corolario se establece que los cambios de escala y las traslacionesexpuestas en la Seccion 9 mantienen la monotona de la funcion original.

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Figura 37: Esquema de una funcion estrictamente decreciente.

Corolario 10.1. [Monotona de escalamiento y traslacion]Sean a > 0, b R y f un funcion real que es creciente (o decreciente). Entonces las funcionesdefinidas por las formulas

g(x) = f (ax + b), (10.41)h(x) = a f (x) + b, (10.42)

son crecientes (respectivamente decrecientes).

Ejercicio 10.3. Pruebe el Corolario 10.1. Tenga cuidado al establecer los dominios de definicionde las funciones g y h.

10.2. Criterio de la tasa de variacion

Consideramos una funcion real f . Para analizar la monotona de f en una regionI Dom( f ) es util el siguiente criterio: dados x1,x2 I tales que x1 < x2, arbitrarios, secalcula la tasa de variacion

=f (x2) f (x1)

x2x1 (10.43)y se tiene que:

si 0, entonces f es creciente;si > 0, entonces f es estrictamente creciente;si 0, entonces f es decreciente;si < 0, entonces f es estrictamente decreciente.

Para analizar la monotona de una funcion tambien es util la siguiente Proposicion.

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Proposicion 10.1. Sean f y g dos funciones reales definidas en I R. Se tiene que1) si f y g son ambas crecientes (o ambas decrecientes), entonces f + g es decreciente

(respectivamente decreciente);2) si f es creciente y g estrictamente creciente, entonces f + g es estrictamente creciente;3) si f es decreciente y g estrictamente decreciente, entonces f + g es estrictamente decre-

ciente.


Ejemplo 10.2. Analicemos la monotona de la funcion

f : R Rx 7 f (x) = x2 + 1.

Puesto que la funcion

h : R Rx 7 g(x) = 1

es tanto creciente como decreciente, por la Proposicion 10.1, se tiene que la monotona de f vienedada por la monotona de

g : R Rx 7 g(x) = x2.

Tomamos x1,x2 R tales que x1 < x2, cualesquiera. Se tiene que

=g(x2) g(x1)

x2x1=

x22x21x2x1

= x2 + x1.

Ahora bien,0 x1 < x2 > 0,

en tanto quex1 < x2 0 < 0,

entonces, por el criterio de la tasa de variacion, se tiene que f es estrictamente creciente en [0,)y estrictamente decreciente en (,0].

Mediante la siguiente Proposicion se puede utilizar el criterio de la tasa de variacionpara establecer la inyectividad de una funcion.

Proposicion 10.2. [Relacion entre monotona e inyectividad]Una funcion real estrictamente creciente o estrictamente decreciente es inyectiva.

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11. Funciones trigonometricas

11.1. Axiomatizacion y propiedades basicas

Si bien se pueden definir las funciones seno y coseno de diferentes maneras, inclu-yendo el uso del crculo trigonometrico, optamos por una axiomatizacion puesto que elestudiante ya ha tenido contacto previo con la Trigonometra y/o Geometra.

Postulamos la existencia de dos funciones reales, sen :RR y cos :RR, tales queP1: sen(pi/2) = 1;P2: cos(0) = 1 y cos(pi) = 1;P3: Para todo x, y R,

cos(x y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y);P4: Para todo x (0,pi/2),

0 < cos(x) 0 se le conoce como amplitud, a D R se le llama desplazamiento vertical. Al valor

O = a,

se le conoce como punto de referencia. Ademas se tiene que que el perodo de h es 2pi/a,as que a > 0 es un factor de escalamiento.

Es importante recalcar que < 0 corresponde a un desfase positivo, es decir unatraslacion hacia la derecha, en tanto que > 0 corresponde a un desfase negativo, esdecir una traslacion hacia la izquierda.

Figura 47: Funcion sinusoidal dada por h(x) = D + A sen(ax + ), con a = pi/2, = pi/2,A = 2, D = 4.

11.7. Resolucion de Ecuaciones Trigonometricas

Todas las ecuaciones se pueden reducir a los casos que resumimos a continuacion.Primer caso

El conjunto solucion de la ecuacion

sen(x) = , x R, (11.101)

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donde R, esta dado mediante

CS =

, si || > 1,{pi2 + 2kpi : k Z}, si = 1,{kpi : k Z}, si = 0,{pi2 + 2kpi : k Z}, si = 1,{+ 2kpi Y (pi) + 2kpi : k Z}, si || < 1,

(11.102)

donde = arcsen().

Segundo casoEl conjunto solucion de la ecuacion

cos(x) = , (11.103)


CS =

, si || > 1,{pi+ 2kpi : k Z}, si = 1,{pi2 + kpi : k Z}, si = 0,{2kpi : k Z}, si = 1,{+ 2k Y + 2kpipi : k Z}, si || < 1,

(11.104)

donde = arccos().

Tercer casoEl conjunto solucion de la ecuacion

tan(x) = , (11.105)


CS =

{pi4 + kpi : k Z}, si = 1,{kpi : k Z}, si = 0,{pi4 + kpi : k Z}, si = 1,{+ kpi : k Z}, Caso general: R,

(11.106)

donde = arctan().

12. Problemas

12.1. Sea p > 0. Pruebe que

|x2| p |x24| p2 + 4p.12.2. Indique si A R es el conjunto solucion de la ecuacion indicada

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1) A = ,|x + 3| |2x5| = 7, x R,

2) A ={ 12 , 112

},

|x|+ |x5| = 6, x R,3) A =

{8, 163 ,0

},

|x + 4|+ |x3| |3x + 8| = 1, x R,4) A =

{ 12 , 12

},

|2|x| 2 | = 1, x R,5) A = {3,1,5},

|x29| = 2x + 6, x R.12.3. Indique si A R es el conjunto solucion de la inecuacion indicada

1) A = ,|2x1|+ |x2| 1, x R,

2) A = (,8] [2,2] [8,),| |x| 5 | 3, x R,

3) A =R,|x4|+ |x + 3| 3 |x|, x R,

4) A = (9,3/5]\ {2},|2x3||x + 2| 3, x R,

5) A = (,0) (6/5,3/2) (3/2,),|x1||2x3| >

13, x R.

12.4. Indique si A R es el conjunto solucion de la inecuacion indicada1) A =R \ {3},

x + bx + 3

x + bx + 3

, x R,2) A = (2,1/6] (5/3,),

3x23x5

x + 1x + 2

, x R,3) A = [11/8,5/2) (7,),

12x2x5

x + 37x , x R,

4) A = (4,7],x + 2x4 3, x R,

5) A = (2/5,1],x + 3x1 5, x R,5) A = [5,),

x25x + 4 x3, x R,6) A = [2/3,18/5],

(x + 3)(x + 6) 2x 3x2, x R,7) A = (,3) (1,1) (1,),

|x2 + x2| > |x1|, x R,8) A = [1,3]\ {1},

|x + 1| |x3|x1 2, x R.

12.6. Mediante la Regla del Maximo Dominio defina las funciones asociadas a las siguientesformulas.

f (x) =3x + 212x2

,

g(x) = f( x

1 + x

),

h(x) = f ( f (x)),

w(x) = f (x) +1

( f (x)2.

12.7. Mediante la Regla del Maximo Dominio defina las funciones asociadas a las siguientesformulas.

f (x) =1x

1 + 11+ 1x

,

g(x) =

(x21)(x + 1)(1x2)(x2 + 1) ,

h(x) =

x +

1x,

w(x) =

x45x2 + 4.

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12.8. Resuelva las siguientes inecuaciones

2x2 + x1 > 0, x R;2x2 + x15 < 0, x R;x2 + x + 7 0, x R;

x1 3x + 1

, x R;

x 1x 1, x R;

4(x1) x(3x4), x R;x2 + 3

2x 1

2< 0, x R;

4(x1) x(3x4), x R. (12.107)12.9. Indique si el conjunto A R es el conjunto solucion de la inecuacion indicada.

1) A = (5;6], x1 6x > 1, x R.

2) A = , 1xx3

x, x R.

12.10. Considere la funcion definida por la formula

g(x) = |x2|+ |2x3| 32

x.

1) Defina la funcion g.2) Grafique la funcion g y calcule su rango.3) Resuelva la inecuacion

1 g(x) 4, x R.12.11. Consideramos las funciones

(3,7] 3 x 7 f (x) = 3x + 2 R,(3,25] 3 x 7 g(x) = cos(x2)2x + 1 R,(12,25) 3 x 7 h(x) = cos(x2)2x + 1 R.

Defina, en caso de ser posible, g f y h f .12.12. Consideramos las funciones

[3,5) 3 x 7 g(x) = sen(|x3|+ 1) R,(1,4) 3 x 7 h(x) = sen(|x3|+ 1) R,

[5,0) 3 x 7 f (x) = x + 4 R.Defina, en caso de ser posible, g f y h f .

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12.13. Consideramos las funciones

(2,2] 3 x 7 f (x) = 5x1 R,(13,40] 3 x 7 g(x) = x3 |x| R,

(11,9) 3 x 7 h(x) = x3 |x| R.Defina, en caso de ser posible, g f y h f .12.14. Calcule el rango de la funcion definida (mediante la Regla del Maximo Dominio) por la

formula

f (x) = |x4| |x + 3|+ |x2 + 2x8||x + 4| |x2| .

Analice la monotona de f .

12.15. Considere la formula f (x).

Defina la funcion real de variable real asociada a f (x).Calcule Rg( f ).Grafique f .Analice la monotona de f .

1) f (x) = |3x + 2| 3x + 8;2) f (x) = |x3|+ |x + 2|+ 1;3) f (x) = 2|x| |x3|;4) f (x) = |2x25x + 4|;5) f (x) = w(x) g(x), donde

g(x) = |2x5|y

w(x) =

|x24|

x2 , si x > 2,x + 2, si x 2;

6) f (x) = x34x2 + 5x1.12.16. Considere la formula f (x).

Defina la funcion real de variable real asociada a f (x).Calcule Rg( f ).Grafique f .Analice la monotona de f .

1) f (x) = 11+x2 ;

2) f (x) =

x, si x < 1,x2, si 1 x 4,8

x, si x > 4.;

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3) f (x) =

x2 + 1, si x < 0,0, si x = 0,3x + 4, si 0 < x < 2,5, si x = 2,x2, si x > 3,4, si 2 < x 3

;

4) f (x) = 1 + 1x2 .

12.17. Considere la funcion definida por la formula f (x). Es inyectiva? Es sobreyectiva? Encaso de ser inyectiva, modificando el codominio (de ser necesario) defina una funcion biyectiva.

f (x) = 2x3,f (x) = x33x3 + 3x1,

f (x) =x

x + 1,

f (x) =

x2, si x < 3,x + 1, si x 3,f (x) =

x + 1x1 .

12.18. Indique si la funcion

[3/2,) 3 x 7 f (x) = x23x + 2 [1/4,)es biyectiva. Si es el caso, defina la funcion inversa

12.19. Analice la monotona la funcion definida por la formula f (x).

f (x) = ax2 + bx + c, a , 0,

f (x) =

x,

f (x) = x +1x. (12.108)

12.20. Pruebe que la funcion f :R (1,1) definida mediante

f (x) =x

1 + |x|es biyectiva.

12.21. Pruebe que la funcion f :RR definida mediante

f (x) =

x, si x 0,x, si x > 0.es biyectiva.

12.22. Pruebe que la funcion N 3 n 7 2n {p N : p es par} es biyectiva.

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12.23. Halle el conjunto D R donde se cumple la igualdad indicada.sec(x)cotg(x) = cosec(x); (12.109)1

tan(x) + cotg(x)= sen(x)cos(x); (12.110)

1 + cos(x)sen(x)

=sen(x)

1 cos(x) ; (12.111)cos4(x) sen4(x) = 2cos2(x)1; (12.112)

sen(x)cos(x)

+tan(x)cotg(x)

+sec(x)

cosec(x)=

2cotg(x) + 1cotg2(x)

. (12.113)

12.24. Halle el conjunto D R donde se cumple la igualdad indicada.cos(x)(tan(x) + 2)(2tan(x) + 1) = 2sec(x) + 5sen(x); (12.114)

1 + 2tan2(x) + tan4(x) =1

(1 sen2(x))cos2(x) ; (12.115)

cos6(x) sen6(x) = 14

cos(2x) (4 sen2(2x)); (12.116)3cos(x) tan(x)sen(x)cos(x)cotg(x)3sen(x) = tan(3x); (12.117)

12.25. Halle el conjunto D R donde se cumple la igualdad indicada.1

sec(x)+

tan(x)cosec(x)

= cosec(x)sec(x); (12.118)

sec(x)cos(x)

cos(x)x

+ tan(x) = sec(x) + sen2(x)1; (12.119)sen3(x) + cos3(x)sen(x) + cos(x)

= 1 sen(x)cos(x); (12.120)1 + sen(x)1 + cos(x)

tan(x) =1 cos(x)1 sen(x) cotg(x); (12.121)

12.26. Pruebe que para todo x, y R se cumple quecos(x + y)cos(x y) + (sen(y) sen(x))(sen(y) + sen(x)) = cos(2x); (12.122)

1 + sen(x) + cos(x) = 2(12sen2(x/4))(cos(x/2) + sen(x/2)). (12.123)

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12.27. Resuelva la ecuacion indicada para x R:sen2(x) + sen(x) = 2; (12.124)

tan(2x3) = 0; (12.125)sec2(x)4 = 0; (12.126)

cos3(x) 134

cos2(x) +58

cos(x) +38

= 0; (12.127)

sen(x)1 + cos(x)

sen(x)cos(x)1 = 4; (12.128)

3sen(x) + 4cos(x) = 0; (12.129)cotg2(10x)1

2cotg(10x)= 0; (12.130)

tan(9x) + tan(x) = 0; (12.131)4 cotg(4x)cotg(2x) = 0; (12.132)

tan(5x) = tan(3x). (12.133)

12.28. Resuelva la ecuacion indicada para x R:sen2(x) + sen(x) = 2; (12.134)

1 + tan2(x)tan(x)

= 4, x (0,2pi); (12.135)1

sec2(x)1+

1cosec2(x)1

= 0; (12.136)

1sec2(x)1

1cosec2(x)1

= 0, x (pi,3pi); (12.137)

cotg2(x/2) + 1 = 2cotg(x/2); (12.138)tan(8x) tan(4x)

1 + tan(8x) tan(4x)= 5. (12.139)

12.29. Resuelva la ecuacion indicada para x R:2sen4(x) + 21sen3(x) + 59sen2(x) = 15sen(x) + 25; (12.140)

1 + tan2(x)tan(x)

= 4, x (0,2pi). (12.141)

12.30. Resuelva los siguientes sistemas para x, y R:tan(x) =5 tan(2y)

9,

5tan(x)4tan(2y) = 10;(12.142)

sen(x) =5 + cos(y)

9,

5sen(x) + 8cos(y) = 5;(12.143)

12sec(3y)8sec(2x) = 1,sec(2x)3sec(3y) = 2. (12.144)50

Mayo

rga-

Zamb

rano

, J.

Referencias

[1] T. M. Apostol, Calculus. Vol. I: One-variable calculus, with an introduction to linearalgebra, Second edition, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., Waltham, Mass.-Toronto, Ont.-London, 1967.

[2] J. Lara and J. Arroba, Analisis Matematico, Universidad Centrl del Ecuador, Ecuador,2007.

[3] J. Mayorga-Zambrano, Calculo Diferencial para Ingeniera, Universidad de Talca, Chile,2007.

[4] , Matematica Superior para Ingeniera (con ayuda de Maxima), (preprint), Ecuador,2012.

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IntroduccinDominio de definicinGraficacin ingenua de funcionesFuncin lineal afnFuncin raz cuadrada

Algebra de funcionesEcuaciones e inecuaciones realesParidadFunciones signo y valor absolutoDensidad de Q en R. Nmeros de punto flotanteFuncin cuadrticaComposicin de funcionesDefinicinInvertibilidad

Traslacin y cambio de escalaTraslacin en la variable independienteTraslacin en la variable dependienteCambio de escala en la variable independienteCambio de escala en la variable dependienteGraficacin via traslacin y escalamiento

MonotonaMonotona y composicinCriterio de la tasa de variacin

Funciones trigonomtricasAxiomatizacin y propiedades bsicasPeriodicidad e InyectividadOtras funciones trigonomtricasFunciones trigonomtricas inversasPropiedades derivadasGraficacin de funciones sinusoidalesResolucin de Ecuaciones Trigonomtricas

Problemas

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