APUNTES Electrónica Digital (0)

I . E . S . A N D R S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G A C U R S O : 2 0 0 7 - 2 0 0 8 N I V E L A C A D M I C O : 4 E . S . O .

C O N C E P T O S D E E L E C T R N I C A D I G I T A L T E C N O L O G A 4 E . S . O .

D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G A I . E . S A N D R S D E V A N D E L V I R A J . G a r r i g s 1

N D I C E 1 . I N T R O D U C C I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 . D E F I N I C I O N D E D I G I T A L Y A N A L G I C O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 . N A T U R A L E Z A B I N A R I A D E L A L G I C A D I G I T A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 . O P E R A C I O N E S F U N D A M E N T A L E S D E L A L G E B R A D E B O O L E . . . . . . . . 4 4 . 1 . O p e r a c i n S U M A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 . 2 . O p e r a c i n P R O D U C T O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 . 3 . O p e r a c i n I N V E R S I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 . P O S T U L A D O S Y P R O P I E D A D E S D E L L G E B R A D E B O O L E Y T E O R E M A S D E M O R G A N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 . 1 . P o s t u l a d o s d e l l g e b r a d e B o o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6 . P U E R T A S L G I C A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 . E J E M P L O S D E R E P R E S E N T A C I N D E E C U A C I O N E S E N L E N G U A J E D E C O N T A C T O S Y P O R P U E R T A S L G I C A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 8 . S I M P L I F I C A C I N D E E C U A C I O N E S L G I C A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8 . 1 . S i m p l i f i c a c i n m e d i a n t e l o s p o s t u l a d o s y p r o p i e d a d e s d e l l g e b r a d e B o o l e y t e o r e m a s d e M o r g a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8 . 2 . S i m p l i f i c a c i n m e d i a n t e l o s d i a g r a m a s o m a p a s d e K a r n a u g h . . . . . . . 1 6 9 . O P E R A C I O N E S N A N D Y N O R Y C O N V E R S I N D E E C U A C I O N E S . . . 2 1 9 . 1 . T e o r e m a s d e M o r g a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9 . 2 . R e s o l u c i n d e e c u a c i o n e s m e d i a n t e o p e r a d o r e s N O R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

9 . 2 . 1 . R e a l i z a c i n d e u n a i n v e r s i n o n e g a c i n c o n o p e r a d o r e s N O R . . . . . . 2 2 9 . 2 . 2 . R e a l i z a c i n d e u n a s u m a n e g a d a c o n o p e r a d o r e s N O R . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9 . 2 . 3 . R e a l i z a c i n d e u n a s u m a c o n o p e r a d o r e s N O R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 9 . 2 . 4 . R e a l i z a c i n d e u n p r o d u c t o c o n o p e r a d o r e s N O R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

9 . 3 . R e s o l u c i n d e e c u a c i o n e s m e d i a n t e o p e r a d o r e s N A N D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 . 3 . 1 . R e a l i z a c i n d e u n a i n v e r s i n o n e g a c i n c o n u n a p u e r t a N A N D . . . 2 3 9 . 3 . 2 . R e a l i z a c i n d e u n p r o d u c t o n e g a d o c o n o p e r a d o r e s N A N D . . . . . . . . . . 2 3 9 . 3 . 3 . O b t e n c i n d e u n p r o d u c t o d e d o s v a r i a b l e s s i n n e g a r . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9 . 3 . 4 . R e a l i z a c i n d e u n a s u m a c o n p u e r t a s N A N D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

9 . 4 . E j e m p l o s d e r e s o l u c i n d e e c u a c i o n e s c o n o p e r a d o r e s N O R y N A N D 2 3 1 0 . R E S O L U C I N L G I C A D E A U T O M A T I S M O S C O M B I N A C I O N A L E S .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1 0 . 1 . R E S O L U C I N D E U N A U T O M A T I S M O D E L G I C A C O M B I N A C I O N A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1 1 C I R C U I T O S I N T E G R A D O S D I G I T A L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 A P N D I C E A : S I S T E M A S D E N U M E R A C I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 I N T R O D U C C I N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 S I S T E M A D E C I M A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 S I S T E M A B I N A R I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 S I S T E M A H E X A D E C I M A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 C O N V E R S I O N E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

C o n v e r s i n e n t r e b i n a r i o y d e c i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 C o n v e r s i n e n t r e b i n a r i o y h e x a d e c i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 C o n v e r s i n d e h e x a d e c i m a l a b i n a r i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 C o n v e r s i n d e h e x a d e c i m a l a d e c i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 C o n v e r s i n d e d e c i m a l a h e x a d e c i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7



1. INTRODUCCION A mediados del siglo XIX, el filsofo y matemtico George Boole, desarroll una teora

matemtica completamente distinta a la que hasta entonces se conoca, y cuya expansin ha sido

tan importante, que en la actualidad se utiliza para la resolucin y anlisis de la mayora de las

operaciones industriales complejas. Tanto los procesos de fabricacin como los equipos se han

ido complicando a causa del progreso general y la constante evolucin, hasta el punto de necesitar automatizar el control de la mayor parte de sus fases.

El lgebra de Boole establece una serie de postulados y operaciones tendentes a resolver los automatismos o procesos a ejecutar, obteniendo un conjunto de ecuaciones que debern de ser traducidas y llevadas a cabo por elementos mecnicos, hidrulicos, neumticos, elctricos o

electrnicos.

La teora de Boole considera todos los elementos como biestables, es decir, que solo

tienen "dos estados vlidos posibles, y por otra parte, opuestos entre s".

As, por ejemplo, el tratamiento que el lgebra de Boole permite a una lmpara considerarla en sus dos nicos estados posibles: encendida o apagada; un interruptor slo podr

estar conectado o desconectado; un transistor conduciendo o bloqueado, un rel activado o

desactivado; y as sucesivamente. No se admiten estados intermedios. El que slo existan dos

estados vlidos para cada elemento, en esta estructura matemtica, ha llevado a llamarla "lgebra

binaria" y tambin "lgebra lgica", pues los razonamientos que en ella se emplean son de carcter

intuitivo y lgico.

El lgebra de Boole es un sistema matemtico usado en el diseo de circuitos lgicos, que

permite representar mediante smbolos el objeto de un circuito lgico, de forma que su estado

pueda ser equivalente a un circuito real.

El fin de un sistema matemtico es, en principio, representar un grupo de objetos o

fenmenos con smbolos que definan las leyes que gobiernan sus funciones e interrelaciones, con

un conjunto de estados y ecuaciones que se escriban de forma simblica. De este modo, los

smbolos del Algebra de Boole se usan para representar entradas y salidas de los elementos

lgicos y los estados y ecuaciones que se usan para definir puertas, inversores y circuitos lgicos

ms complejos.

Una vez obtenida una ecuacin bsica, se puede simplificar para hallar el circuito cuyas

interconexiones sean lo ms simples y eficientes.



El lgebra de Boole difiere de la clsica en que sta ltima cuenta con relaciones

cuantitativas, mientras aquella cuenta con relaciones lgicas. En lgebra, clsica usamos

cantidades simblicas tales como X,Y,A,B, etc. para representar nmeros. En la resolucin d

problemas algebraicos interesa conocer el valor de la variable, o si X es mayor o menor que Y, u

otra informacin relativa a la cantidad. En el lgebra de Boole slo se busca conocer busca

conocer uno de los estados posibles que puede tener cualquier trmino lgico, por ejemplo,

cuando usamos el lgebra de Boole en sistemas digitales, nos interesa conocer si un termino vale

0 o 1. Tambin se les llama verdadero o falso ( Alto High- o Bajo Low- ) a los dos estados

posibles en esta lgebra de tipo filosfico

2. DEFINICION DE DIGITAL Y ANALGICO Las expresiones "digital" y analgico son opuestas ya que mientras que la

primera significa algo de naturaleza incremental, en cambio la segunda expresa algo que vara de

forma continua.

Se entender mejor con un ejemplo:

Consideremos una lmpara de un saln, la cual est constituida por 10 bombillas, que se

encienden y apagan desde un mismo panel. Si en este panel cada interruptor gobierna 2

lamparas; podremos ir consiguiendo una iluminacin gradual del saln hasta que tengamos la

mxima luz que nos pueden dar todas las lmparas.

Pero otra forma en la que se pueden controlar las lmparas, puede ser por medio de un

simple potencimetro que realice el encendido gradual a medida que se va girando desde la

posicin de apagado hasta la de encendido.

En el primero de los casos, el aumento de luz se efecta mediante pasos discretos,

mientras que en el segundo es de una manera continua. Es decir, que el primero de los sistemas

lo podemos encuadrar bajo el trmino digital y el segundo bajo el de analgico.

Tanto en electricidad como en electrnica los paramentos usuales de medida son el voltaje

y la corriente, las cuales varan de forma continua en el caso de la electrnica analgica, mientras

que en la digital se efecta por pasos o etapas de valor bien definido. Dos ejemplos que pueden

ser tanto analgicos como digitales son los relojes y los polmetros. Las agujas de un reloj

mecnico comn, se mueven continuamente mientras que en un reloj digital los nmeros cambian

de repente, al final de cada segundo o de cada minuto. Del mismo modo un polmetro analgico

dispone de una aguja de medida que puede desplazarse gradualmente desde un extremo al otro



de la escala, mientras que en un polmetro digital, el valor de la magnitud de medida, se muestra

mediante dgitos discretos, cada uno de los cuales cambian de repente.

En la figura se representan dos tipos de ondas, a la izquierda de tipo digital y a la derecha

analgica

:

3.NATURALEZA BINARIA DE LA LGICA DIGITAL As como en los circuitos analgicos pueden existir al mismo tiempo muchos voltajes

diferentes, en los digitales solo hay dos. Esto significa que usando estos dos estados lgicos puede codificarse cualquier nmero, letra del alfabeto, smbolo u otra informacin. Estos dos voltajes reciben el nombre de "estado lgico 0 y "estado lgico 1 o tambin "falso o bajo Low- (0) o verdadero o alto High- (1)" y nombres parecidos. Por tal motivo y debido al uso de solo dos estados, se dice que la lgica digital es binaria por naturaleza.

El significado de la naturaleza binaria de la lgica digital es correcto, puesto que los

circuitos lgicos pueden obtener todas sus funciones de decisin y memoria usando nada ms que

dos estados lgicos.

4. OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA DE BOOLE. Existen cuatro operaciones fundamentales de la teora de conjuntos del lgebra de Boole,

a las cuales se le asocian distintas disposiciones elctricas:

Operacin suma o reunin. Operacin Interseccin o producto. Operacin Inversin o negacin. Operacin O exclusiva o XOR

O n d a d i g i t a l O n d a a n a l g i c a



4.1. Operacin SUMA. La forma de representar la operacin suma mediante contactos elctricos es la disposicin

en paralelo de los contactos del circuito. La siguiente figura representa un circuito elctrico que

puede dejar pasar la corriente, de forma que:

L

BA

A.- Si uno de los contactos est cerrado, y deja pasar la corriente, decimos que est a estado

lgico 1, lmpara en funcionamiento.

B.- Si ambos contactos estn abiertos, no dejan pasar la corriente, decimos que la lmpara est a estado lgico 0, lo que significa que la lmpara estar apagada.

Pero el estado lgico, no slo se aplica al estado de la lmpara sino tambin al de los

contactos A y B, de forma que diremos que estn a estado lgico 1 si estn cerrados (dejan

pasar la corriente), y a estado lgico 0 si estn abiertos ( no dejan pasar la corriente).

Las condiciones que se cumplen en el circuito de la figura anterior son las siguientes:

1.- Si A est cerrado (A=1) y B est abierto (B=0), pasa la corriente y por tanto la lmpara est encendida (L=1).

2.- Si A est abierto (A=0) y B est cerrado (B=1), pasa la corriente, lo que implica L=1. 3.- Si A est cerrado (A=1) y B est cerrado (B=1), pasa la corriente (L=1). 4.- Si A est abierto (A=0) y B est abierto (B=0), no pasa la corriente y la lmpara estar

apagada (L=0).

Todas estas condiciones las podemos expresar mediante una tabla que nos indica el

estado de la salida en funcin del estado de las entradas, que para el caso que nos ocupa sera:

A B L

1 0 1

0 1 1

1 1 1

0 0 0



L

B

A

A este tipo de tablas, que indican el estado de las salidas (Lmpara), en funcin del de las

entradas (Contactos A y B) se le denomina Tabla de verdad o de la verdad. En base a todo lo anterior, decimos que una operacin suma (operacin OR en ingls) de

dos variables de entrada es aquella, en la cual, la salida tomar estado lgico 1 (lmpara en

funcionamiento (L=1)), si alguna de las entradas tiene estado lgico 1 (contactos A y/o B cerrados).

La forma matemtica de expresar esta operacin sera:

L = A + B Para el caso de ms de dos variables de entrada, el nmero de combinaciones distintas

puede ser ms difcil de adivinar, resultando que como norma general el nmero de combinaciones

binarias para n variables de entradas estar dado por la expresin 2n.

As por ejemplo, la operacin suma para el caso de tres variables de entrada (A,B y C)

ser: L=A+B+C

C B A A+B+C

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Dado que en el ejemplo anterior tenemos tres variables de entrada el nmero de

combinaciones binarias distintas de las entradas son:

23=8

4.2. Operacin PRODUCTO. La forma de representar la operacin producto mediante

contactos elctricos es la disposicin en serie de los contactos del

circuito. La siguiente figura representa un circuito elctrico que puede

dejar pasar la corriente, de forma que:

A.- Si uno de los contactos est abierto, y no deja pasar la corriente,

decimos que est a estado lgico 0, lmpara apagada.

B.- Si ambos contactos estn cerrados y dejan pasar la corriente,



decimos que la lmpara est a estado lgico 1, lo que significa que la lmpara estar encendida.

Pero al igual que en la operacin suma, el estado lgico no slo se aplica al estado de la

lmpara sino tambin al de los contactos A y B, de forma que diremos que estn a estado lgico

1 si estn cerrados (dejan pasar la corriente), y a estado lgico 0 si estn abiertos ( no dejan

pasar la corriente).

Las condiciones que se cumplen en el circuito de la figura anterior son las siguientes:

1.- Si A est abierto (A=0) y B est abierto (B=0), no pasa la corriente y la lmpara estar apagada (L=0).

2.- Si A est cerrado (A=1) y B est abierto (B=0), no pasa la corriente y por tanto la lmpara est apagada (L=0).

3.- Si A est abierto (A=0) y B est cerrado (B=1), no pasa la corriente, lo que implica lmpara apagada (L=0).

4.- Si A est cerrado (A=1) y B est cerrado (B=1), pasa la corriente y la lmpara estar encendida (L=1).

Todas estas condiciones las podemos expresar mediante la siguiente tabla de la verdad:

A B L

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 1

En base a todo lo anterior, decimos que una operacin producto (operacin AND en ingls) de dos variables de entrada es aquella, en la cual, la salida tomar estado lgico 1

(lmpara en funcionamiento (L=1)), si todas las entradas tiene estado lgico 1 (contactos A y B

cerrados).

La forma matemtica de expresar esta operacin sera: L = A * B As por ejemplo, la operacin producto para el caso de tres variables de entrada (A,B y C)

ser: L=A*B*C

C B A A*B*C

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1



4.3.Operacin INVERSIN. Un conjunto inverso, negado o complementario de otro conjunto est formado por los

elementos del conjunto universal no contenidos en aquel, lo que se representa en la siguiente

figura:

La forma de representar la operacin inversin mediante contactos elctricos no es tan

intuitiva como en las operaciones suma y producto, pero

podramos asociarla a la siguiente figura en la que la

lmpara L1 es complementaria de la L2, puesto que si una

est encendida la otra estar apagada y viceversa, en

funcin del estado de A.

El contacto cerrado A (que leeremos A negada), es el complementario de A.

La tabla de la verdad correspondiente a los

estados que puede poseer un conjunto y los que corresponden a su inverso se muestran en la

siguiente tabla de la verdad:

Todas estas condiciones las podemos expresar mediante la siguiente tabla de la verdad:

A A

0 1

1 0

En base a todo lo anterior, decimos que una operacin inversin (operacin NO) de una variable, es aquella que la salida tomar estado lgico 1 si la entrada es 0, y tomar estado

lgico 0 si la entrada est a 1 lgico.

Operacin O exclusiva o XOR Esta operacin derivada de la reunin, da una salida 1 cuando el nmero de entradas a 1 es impar.

A A

C o n j u n t o i n v e r s o d e A

L2

A

L1

A



La tabla de verdad para dos variables es la que se indica seguidamente:

YXYXYX ** += X Y YX

0 0 0

1 0 1

0 1 1

1 1 0

5 . P O S T U L A D O S Y P R O P I E D A D E S D E L L G E B R A D E B O O L E Y T E O R E M A S D E M O R G A N .

5 . 1 . P o s t u l a d o s d e l l g e b r a d e B o o l e . Basados en la funcin AND

1) 0*0=0 2) 0*1=0 3) 1*0=0 4) 1*1=1 Basados en la funcin OR

5) 0+0=0 6) 0+1=1 7) 1+0=1 8) 1+1=1 Basados en la funcin NO

01)10

10)9

==

5.2. Propiedades del lgebra de Boole Propiedades de la funcin AND

1) X*0=0 2) 0*X=0 3) X*1=X 4) 1*X=X Propiedades de la funcin OR

5) X+0=X 6) 0+X=X 7) X+1=1


D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G A I . E . S A N D R S D E V A N D E L V I R A J . G a r r i g s 1 0

BAx

Bx

yAx

Bxy

AxBAxBAx

BABA

BAx

Bx

oAx

Bxo

AxBAxBAx

BABA

=

=

8) 1+X=1 Combinando una variable con ella misma o con su complemento

negacin doble o acincomplement Doble)13

1)12

)110*)10

*)9

XX

XX

XXXXX

XXX

==+=+=

=

Ley conmutativa

14) X*Y=Y*X 15) X+Y=Y+X Ley distributiva

16) X*(Y+Z)=X*Y + X*Z 17) X+ Y*Z= (X+Y)*(X+Z) Ley asociativa

18) X*(Y*Z)=(X*Y)*Z 19) X+(Y+Z)=(X+Y)+Z Absorcin

20) X + X*Y=X 21) X* (X+Y)=X Una identidad

YXYXX

YXYXX

*)(*)23

*)22

=++=+

5.3. Leyes de Morgan

ZCBAZCBA

ZCBAZCBA

++++==++++

.......*.......***)2

*......***......)1

Demostracin de las leyes de Morgan:

= Interseccin = Unin



Ejemplo de aplicacin de los postulados y propiedades del lgebra de Boole y leyes de Morgan.

E n t r a d a s S a l i d a s

X Y Z X Y Z X + Y ZYX *)( + YX + YX * YX * )(* YXZ + ZYX 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

6. PUERTAS LGICAS Las operaciones y funciones vistas anteriormente en la prctica digital se representan por

las llamadas puertas lgicas, que no es otra cosa, que un dibujo normalizado que representa una

funcin.

Las puertas lgicas normalizadas son las siguientes:

Segn la norma MIL-STD-806B

NOR ExclusivaO Exclusiva

SYXX

Y SSX X S

NOROR

SYX X

Y S

NANDANDXY S SY

X

Excitador Inversor

Aunque los smbolos anteriores son los principales, no obstante, y atendiendo a las normas

BS 3939, IEC 117 y ANSI Y.32.14, tambin podemos encontrarnos los siguientes:

NOR ExclusivaO Exclusiva

NORORNANDAND

SXY

=1=1YX SSX 1 1X S

SXY

>1YX S >1SX

Y& &

YX S

Excitador Inversor



La tabla de la verdad para la salida S en cada una de las puertas lgicas indicadas anteriormente es la que se muestra en la siguiente tabla:

X Y A N D N A N D O R N O R I n v e r s o r E x c i t a d o r O E x c l u s i v a N O R E x c l u s i v a

0 0 0 1 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 0 1 0 1 0

1 1 1 0 1 0 0 1 0 1

En la prctica, se considera que tenemos un 1 lgico cuando existe un nivel de tensin

determinado, por ejemplo 5 V. De forma similar, decimos que tenemos un nivel 0 lgico cuando el

nivel de tensin est a otro nivel de tensin preestablecido, por ejemplo 0 V. Ahora bien, esto no es

tan fcil, y existen distintos tipos de tecnologas que asignan unos u otros valores a los estados

lgicos, entre los ms conocidos estn las denominadas TTL y CMOS. Profundizando un poco

ms, y utilizando como ejemplo la tecnologa TTL, se adopta que:

Se considera un valor lgico 0 en la entrada a la puerta (VIL -I=Input, L= Low-) cuando la tensin est comprendida entre 0 y 0,8 V.

Se considera un valor lgico 1 en la entrada a la puerta (VIH -I=Input, H=High -) cuando la tensin est comprendida entre 2 y 5,5 V

Se considera un valor lgico 0 en la salida de la puerta (VOH -O=Output, L= Low-) cuando la tensin est comprendida entre 0 y 0,4 V.

Se considera un valor lgico 1 en la salida de la puerta (VOH -I=Output, H=High -) cuando la tensin est comprendida entre 2,4 y 5,5 V

Como se puede apreciar existen unas franjas de tensin donde la tecnologa TTL puede considerar

un 1 o un 0 lgicos, a estas franjas de tensin se les denomina zona de indefinicin para las

entradas y zona de prohibicin para las salidas.

T e c n o l o g a

Z o n a i n d e f i n i d a d e e n t r a d a

Z o n a p r o h i b i da s a l i d a

V c c V I H V I L V O H V O L

T T L 0 . 8 a 2 v 0 . 4 a 2 . 4 v 5 v 2 a

5 . 5 v 0 a

0 . 8 v 2 . 4 a 5 . 5 v

0 a 0 . 4 v

C M O S 1 . 5 a 3 . 5 v 0 . 0 1 a 4 . 9 9 v 3 a 1 5 v

3 . 5 a 5 v

0 a 1 . 5 v

4 . 9 9 a 5 v

0 a 0 . 0 1 v

Siendo:

Vcc = Tensin de alimentacin de las puertas. En CMOS se ha supuesto dicha tensin en 5v.

VIH = Nivel alto de tensin (H) de entrada (L) VIL = Nivel bajo de tensin (L) de entrada (L) VOH = Nivel alto de tensin (H) de salida (O) VOL = Nivel bajo de tensin (L) de salida (O)



Otro concepto que conviene tener bastante presente en las puertas lgicas, es el llamado

fan-out, que nos indica el mximo nmero de puertas que se pueden alimentar simultneamente desde la salida de una de ellas. En la tecnologa TTL su fan-out es de 10, en tanto que CMOS

tiene un fan-out de 50.

7 . E J E M P L O S D E R E P R E S E N T A C I N D E E C U A C I O N E S E N L E N G U A J E D E C O N T A C T O S Y P O R P U E R T A S L G I C A S .

Debemos recordar en este apartado que el producto de variables equivale a contactos en serie, en tanto que, la suma de variables equivale a contactos en paralelo.

Aclarados estos conceptos representaremos unas ecuaciones a ttulo de ejemplo:

Ejemplo 1

BABAS ** += Esquema de puertas lgicas

Esquema de contactos

S

B B

AA

E j e m p l o 2

)(*2

)**(*1

CBAM

CBCBAM

+=+=

A*B + A*B=S

A*B

A*B

AA

B

BB

A

B A



Esquema de puertas lgicas

AA

B+C A*(B + C)= M2

B

C C

A

A*(B*C + B*C)=M1

AC

CC

ABB B

B

B*C

B*C

B*C + B*C

C

Esquema de contactos

M2

B C

AA

BB

CC

M1

8.SIMPLIFICACIN DE ECUACIONES LGICAS La simplificacin de ecuaciones es el proceso por el cual, partiendo de una ecuacin inicial, se obtiene otra con menos trminos pero que cumple la misma funcin que la primera, en

definitiva, que el resultado obtenido en ambas ser el mismo para todos los estados posibles de la

ecuacin.

La justificacin de intentar obtener una ecuacin con el mnimo nmero de variables es

evidente, pues a menor nmero de puertas lgicas o de contactos, ms simplificado ser el

circuito, se tendrn menos posibilidades de error, menor tiempo de ejecucin ser necesario, y lo

que no es menos importante, ms econmico ser el montaje.



8.1. Simplificacin mediante los postulados y propiedades del lgebra de Boole y teoremas de Morgan. Este mtodo consiste en aplicar los postulados, propiedades y teoremas del lgebra de

Boole y Morgan, para obtener de esta forma la ecuacin lo ms simplificada posible.

Ejemplo1 Considrese la ecuacin siguiente de la cual deseamos obtener otra con el mnimo nmero de trminos posibles.

DCBADCBADCBADCBAS ************ +++= Mediante la aplicacin de la ley distributiva podemos sacar factor comn de los dos primeros sumandos de la ecuacin lgica

DCBADCBADDCBAS ******)(** +++= pero sabemos que 1=+ AA , y X*1=X, de ah:

DCBADCBACBAS ******** ++= Basndonos en las mismas propiedades y postulados, podemos sacar factor comn de los

dos ltimos sumandos y simplificar.

CBACBADDCBACBAS ****)(***** +=++= De nuevo sacamos factor comn y simplificamos obteniendo el resultado final:

BASCCBAS

*)(**

=+=

Ejemplo Considrese la ecuacin siguiente de la cual deseamos obtener otra con el mnimo nmero de trminos posibles.

CBACABCBAP ++= Dado que AAA =+ , podemos sumar un sumando idntico a uno de los que contiene la ecuacin sin que esta vare, es decir:

CBACBACABCBACBACABCBAP +++=++= Ahora sacamos factor comn de los sumandos primero y tercero, por un lado, y segundo y

cuarto por otro, volvemos a simplificar de nuevo y obtenemos el resultado final

)(*

)()(

CBAP

CABAP

BBCACCBAP

+=+=

+++=



8.2. Simplificacin mediante los diagramas o mapas de Karnaugh. El fundamento de la simplificacin por Karnaugh se basa en la identidad:

BACCBACBACBA *)(****** =+=+ Se trata de encontrar parejas de trminos iguales, a excepcin de una variable, que en uno

est negada y en el otro no. Obsrvese que en todos los diagramas de Karnaugh, al pasar de una

cuadrcula a la adyacente siguiendo una fila o una columna (no en diagonal) siempre cambia de

estado una de las variables. Cambia incluso entre la primera cuadrcula y la ltima de cada fila o

de cada columna.

Imaginemos que tenemos que formar un mapa de Karnaugh de 2 variables X y Y. Nuestro

mapa deber tener, por tanto, 4 cuadros (2n donde n es el nmero de variables de entrada), y en

cada uno de ellos se debe contemplar uno de los cuatro estados posibles de estas variables segn

la tabla de verdad.

X Y

0 0

0 1

1 0

1 1

Si tomamos los valores de X para las filas y los de Y para las columnas, una de las

posibilidades sera la que se refleja en la siguiente cuadrcula, donde tambin se han indicado los

valores que toman las variables en cada uno de los cuadros:

X=1Y=1

X=1Y=0

X=0Y=1

X=0Y=0

1

010X

Y

A efectos prcticos, otra forma de representar los mapas de Karnaugh, consiste en poner

una lnea continua encima de la fila o columna en la que la variables vale 1, en aquellos cuadros

que no se encuentran bajo la sombra de la lnea decimos que la variable toma valor 0. De esta

forma el cuadro anterior quedara:



Y

X

X=0Y=0

X=0Y=1

X=1Y=0

X=1Y=1

A estas alturas, el lector seguramente est pensando que para dos variables es fcil

construir el mapa de Karnaugh, pero Y para tres, cuatro, cinco,. variables?, como se podemos

saber que se han contemplado todos los estados posibles de las variables de entrada. Daremos, a

continuacin, una regla prctica que suele ser de mucha utilidad en estos casos, imaginemos un

papel cuadrado doblado muchas veces, de forma que cada doblez dejamos su superficie en la

mitad. Una vez doblado n veces, imaginemos que dibujamos un mapa de Karnaugh de dos

variables con un rotulador que ha sido capaz de calcar la cuadrcula en todas las caras del papel

doblado. A partir de aqu, si deseamos obtener un mapa de Karnaugh de tres variables abatiremos

el papel de izquierda a derechas quitando uno de los dobleces; de esta forma veramos lo que se

muestra en la figura:

Obsrvese que la lnea de la variable Y tambin se dibuja, pues se supone que tambin se

haba calcado. Finalmente, sabemos que para ocho estados (ocho

cuadros) se necesitan tres variables, pues bien, bastar dibujar una

lnea continua a los cuadros nuevos que han aparecido en el mapa

( y que supondremos que tambin se calcar al resto de caras del

papel). Finalmente resulta el mapa de Karnaugh para tres variables:

Z

X

Y

El siguiente paso, ser obtener el mapa para cuatro variables. Siguiendo con nuestro

hipottico papel doblado, dado que antes lo hemos desdoblado hacia la derecha, ahora lo haremos

hacia abajo, y aadiremos una nueva variable para los cuadros nuevos creados, resultando

finalmente el mapa de Karnaugh de 4 variables como se indica en la siguiente figura:

X

Y



Z

X

Y

T

El siguiente mapa para 5 variables desdoblaramos nuestro papel de nuevo hacia la

derecha, resultando finalmente:

UY

T

Z

X

Y

De esta forma, obtendramos los mapas de Karnaugh para n variables, tomando como

regla general que cuando el nmero de variables que tenemos en el mapa es impar desdoblamos

hacia la derecha para obtener una nueva, y si el nmero de variables es par desdoblaramos hacia

abajo.

La simplificacin con Karnaugh trata de agrupar cuadrculas adyacentes en las que se

cumpla la ecuacin, para ir eliminando variables. Las agrupaciones de cuadriculas con valor 1 se

denominan "lazos" y alrededor de ellas se dibuja una lnea que los contiene. Cada lazo formar un

trmino en la versin simplificada de la ecuacin. Existen unas reglas para confeccionar los lazos o

agrupaciones de 1, exponindose a continuacin las ms importantes:

1.- Cada lazo debe de contener el mayor nmero de unos posible, debiendo constar de 2,4,8,16 (potencias de 2) o en ltimo caso un simple 1. y entonces no habr simplificacin de dicho

trmino.



F I G U R A 1

L A Z O A

L A Z O B F I G U R A 2

2.- Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadriculas de valor uno que correspondan a la vez a dos lazos diferentes.

3.- No s pueden formar lazos entre parejas de unos situados en diagonal. 4.- Debe tratarse de conseguir, el menor nmero de lazos, y que como se indico anteriormente,

cada lazo contenga el mayor nmero de unos.

5.- La columna ms a la derecha se considera adyacente a con la de ms a la izquierda, y la primera fila del diagrama se considera adyacente a la ltima.

6.- De entre las distintas posibilidades que existen de formar lazos, se debe elegir aquella que tenga el menor nmero de lazos.

7.- Cada lazo del diagrama representa un trmino de la ecuacin simplificada final, y dicha ecuacin rene todos los trminos o lazos mediante la operacin OR o suma lgica.

8.- Si en un lazo hay una variable que est en estado uno en alguna cuadrcula y en estado cero en otra, se elimina.

9.- Si una variable est con el mismo estado en todas las cuadrculas de un lazo, debe ser incluida en la expresin simplificada

Algunos ejemplos aclararn el sistema de simplificacin de Karnaugh:

Ejemplo 1

Simplificar por Karnaugh la ecuacin:

CBACBACBAR ****** ++= a) Las cuadriculas que cumplen la ecuacin en un diagrama de Karnaugh para tres variables, se

indican en la figura 1.

b) Con la disposicin elegida podemos hacer

dos lazos de dos unos cada uno de ellos,

no importando que un uno pertenezca a la

vez a los dos lazos del mapa.



c) Para obtener la ecuacin simplificada se suman las expresiones de los lazos, eliminando de

ellos las variables que en una de las cuadrculas aparecen negada y en la otra no. As, el lazo

A tiene dos cuadrculas que lo componen y en ambas el valor de las variables B y C valen

cero; sin embargo, la variable A, en una cuadrcula vale uno y en la otra cero, por lo que esta

variable ser eliminada, quedando expresado el lazo A como CB * .

En el lazo B sus dos cuadrculas tienen A=0 y C=0, sin embargo, en una de ellas

B=0 y en la otra B=1, as que se elimina B y dicho lazo queda expresado como CA* .

La ecuacin simplificada es igual a la suma lgica de las expresiones de los lazos,

o sea:

CACBCBACBACBAR ******** +=++= la cual es todava simplificable sacando factor comn C .

Ejemplo 2.

Simplificar por Karnaugh la ecuacin:

DCADCBADCACBAR ********* +++= a) El mapa de Karnaugh de 4 variables resuelto para la ecuacin anterior se indica en la figura 3.

b) En la figura 3 se han hecho los lazos, contemplando el hacer el menor nmero de lazos con el

mayor nmero de unos.

c) Obtencin de los trminos simplificados de cada uno de los nudos

F I G U R A 3



* * L A Z O A * *

A [ 1 , 0 , 1 , 0 ] B [ 1 , 1 , 0 , 0 ] C [ 1 , 1 , 1 , 1 ] D [ 1 , 1 , 1 , 1 ]

C D

L a z o A = C * D

* * L A Z O B * *

A [ 0 , 0 , 0 , 0 ] B [ 1 , 1 , 1 , 1 ] C [ 0 , 1 , 0 , 1 ] D [ 0 , 0 , 1 , 1 ]

A B

L a z o B = A * B

La ecuacin simplificada es la suma lgica de los lazos, o sea:

BADCDCADCBADCACBAR *********** +=+++=

9. OPERACIONES NAND Y NOR Y CONVERSIN DE ECUACIONES. Las operaciones que resuelven los automatismos y problemas digitales, contienen sumas,

productos, negaciones etc Si para cada una de las operaciones especficas se emplea una

puerta diferente que la ejecute, sern precisos bastantes modelos de circuitos integrados para

resolver el circuito que corresponde a la ecuacin planteada. Mediante ala correcta aplicacin de

los teoremas de Morgan, se puede resolver cualquier ecuacin usando exclusivamente un nico

tipo de puerta lgica: el NOR o el NAND. Esto puede suponer ventajas en el diseo y una menor

posibilidad de error.

9.1.Teoremas de Morgan En el aparatado 5.1, se indicaron y demostraron los teoremas de Morgan, segn los

cuales:

CBACBA

CBACBA

++==++

**

**

Se deja al alumno que compruebe la veracidad de estos teoremas mediante tablas de

verdad.

9.2.Resolucin de ecuaciones mediante operadores NOR Seguidamente se desarrolla el modo de realizar operaciones lgicas utilizando nicamente

operadores NOR.

E l i m i n a d a E l i m i n a d a

E l i m i n a d a E l i m i n a d a



9.2.1.Realizacin de una inversin o negacin con operadores NOR

Si el operador NOR dispone de una sola entrada, la salida que se obtiene es la negacin de

dicha entrada. La siguiente figura representa un operador NOR realizando una inversin y la tabla

de verdad que le corresponde.

A A 0 1

1 0

9.2.2. Realizacin de una suma negada con operadores NOR

El operador NOR realiza directamente la suma negada, tal y como se indica en la siguiente

figura

A A+BB

9.2.3.Realizacin de una suma con operadores NOR.

La resolucin de la suma de dos variable sin negar con el operador NOR se resuelve mediante

dos operadores, el primero suma las variables y el segunda niega la negacin de la suma de

variables que se obtiene de la primera puerta. Observe la figura.

A A+BB

A+B = A+B

9.2.4. Realizacin de un producto con operadores NOR.

Recuerde que el teorema de Morgan indica: BABA *=+ , de esta igualdad sse desprende que la suma negada es igual al producto de las negadas de cada una de las variables.

A A+B=A*BB

Otra forma de aplicar el teorema de Morgan se indica en la siguiente figura:

A A+B=A*B=A*BB

Se puede observar que para obtener el producto de dos variables hay que introducirlas

negada en la puerta lgica.

A A



A A

9.3.Resolucin de ecuaciones mediante operadores NAND. De modo similar al empleado con operadores NOR, procedemos seguidamente a estudiar la

forma de ralizar operaciones lgicas mediante operadores NAND.

9.3.1. Realizacin de una inversin o negacin con una puerta NAND

Cuando todas las entradas de la puerta estn conectadas entre s, nicamente se usa un

operador para negar la entrada.

9.3.2. Realizacin de un producto negado con operadores NAND

La puerta NAND realiza directamente el producto negado, tal y como se muestra an el siguiente figura:

A A*BB

9.3.3. Obtencin de un producto de dos variables sin negar.

La primera puerta realiza el producto y lo deja negado, siendo la segunda la que al volver a negar su entrada lo deja sin negar.

A A*BB

A*B=A*B

9.3.4. Realizacin de una suma con puertas NAND.

Para realizar una suma con operadores NADN se aplica el teorema de Morgan, segn el

cual, el producto de varias variables negadas es igual a la negacin de la suma de dichas

variables:

BABA +=* Una operacin NAND de sus entradas negadas es equivalente a la suma de dichas

entradas.

A A*B=A+B=A+BB

En definitiva, se trata de introducir las entradas negadas en la puerta lgica.

9.4.Ejemplos de resolucin de ecuaciones con operadores NOR y NAND EJEMPLO 1

Obtngase el esquema de puertas lgicas que responde a la ecuacin propuesta,

utilizando nicamente operadores NOR

( )CDABAS ++= * Resolvemos la ecuacin por sumandos, comenzando por el de la izquierda.



a) Obtencin del producto A*B

A A*BB

b) Obtencin del sumando ( )CDA +* Comenzamos por el interior del parntesis, el cual, dejamos negado :

D D+CC

A+D+C = A*(D+C)=A*(D+C)A

c ) Sumando los trminos anteriores y volviendo a negar la salida obtenemos la salida

deseada.

A

A*B

B

DD+C

CA*(D+C)

A

A

B

D

A

A*B + A* (D+C) A*B + A* (D+C)

EJEMPLO 2 Obtngase el esquema de puertas lgicas que responde a la ecuacin propuesta,

utilizando nicamente operadores NAND

( )CDABAS ++= * a) Obtencin de BA*

A A*BB

b ) Obtencin de )(* CDA +

D D*C=D+CC

A A*(D+C)



d ) Si volvemos a introducir en una puerta NAND las salidas anteriores obtendremos el

resultado deseado.

A A*BB

D D*C=D+CC

A A*(D+C)

(A*B)*[A*(D+C)] = A*B + A*(D+C)

D

Se propone al lector resolver el circuito de puertas lgicas NOR y NAND que se

corresponde con la ecuacin: )(** BADCBAS ++= 10. RESOLUCIN LGICA DE AUTOMATISMOS COMBINACIONALES. Cuando se desea resolver problemas por medio del lgebra de Boole, es muy

recomendable seguir un procedimiento metodolgico basado en 4 fases, que se desarrolla

seguidamente. Existe, no obstante, una fase inicial, no contemplada en la mecnica general de

resolucin, pero que resulta fundamental. Esta fase inicial consiste en una buena comprensin del

enunciado del problema, de forma que ser necesario dedicar todo el tiempo preciso para entender

claramente los objetivos del mismo y deducir que actuar como variables de entrada y cual, o

cuales, sern las variables de salida. A menudo, se emplea un sistema consistente en simular el

problema como una caja negra, cuyas entradas son variables, siendo los resultados las salidas de

dicha caja.

Resultados

SALIDAS

CAJA NEGRAVariables

ENTRADAS

Una vez comprendido el problema y asignadas las variables de entrada y de salida, el

procedimiento operativo es el siguiente:

1 FASE.- Formacin de la tabla de la verdad. En ella se contemplarn todos los estados binarios posibles de las variables de entradas y los que corresponden a las salidas para cada combinacin

establecida, de acuerdo a las condiciones del problema.

2 FASE.- Obtencin de ecuaciones lgicas. Tomando como punto de partida la tabla de la verdad se determinan los diferentes estados de las variables para obtener los resultados buscados. Por

ejemplo, si en el automatismo de un motor M, gobernado por tres variables A, B y C se deduce,

segn la tabla de la verdad, que estar activo en las dos combinaciones siguientes:

a. A= 1, B=0 y C=1



b. A=0, B=1 y C=1

Estas combinaciones se pueden expresar como:

a. CBA **

b. CBA ** De este modo la ecuacin que controla el motor viene dada por:

CBACBAM **** += 3 FASE.- Simplificacin de las ecuaciones lgicas. La eliminacin de variables dentro de una ecuacin, que es en lo que consiste la simplificacin, supone un ahorro econmico derivado de la

reduccin de componentes, tiempo y mano de obra del montaje. A ttulo de ejemplo, si nos fijamos

en la ecuacin anterior, y sacamos el factor comn, la ecuacin es la misma, pero pasa de seis

elementos a cinco.

( )BABACM *** += 4 FASE.- Representacin elctrica y por puertas lgicas de las ecuaciones simplificadas. Esta fase es de vital importancia pues ser donde se obtienen los planos elctrico y electrnico del

circuito.

10.1.RESOLUCIN DE UN AUTOMATISMO DE LGICA COMBINACIONAL. Una mquina de refrescos tiene y tres pulsadores a, n, y l (a para el agua, n para la naranja l para el limn), y tres depsitos con agua, naranja y limn.

Cada uno de los depsitos est controlado por una electrovlvula: Ea para el depsito del agua, En para el depsito de la naranja y El para el depsito del limn.

Se desea disear el automatismo de control de la mquina de forma que se cumplan las

siguientes condiciones:

a. La mquina puede dar agua, agua con limn y agua con naranja, pero nunca naranja o limn

solos o mezclados.

b. La electrovlvula de cada uno de los depsitos se activar por medio de su correspondiente

pulsador y siempre que se cumplan las condiciones establecidas en el problema.

c. La desconexin de las electrovlvulas se producir cuando el vaso de refresco se haya

llenado, al actuar, debido a su peso, sobre un pulsador cuando el vaso este lleno.



SOLUCIN DEL PROBLEMA

lna

Botonera

LIMNNARANJAAGUA

Pulsador NCVaso

ElEa En

Fase inicial: Designacin de las variables de entradas salidas. En este ejemplo la cosa es bastante evidente, siendo las variables de entrada los

pulsadores a, n y l, y las variables de salidas las electrovlvulas de cada uno de los depsitos. Si bien el pulsador NC es una variable de entrada, a efectos de resolver el circuito no lo

consideraremos, pues bastar conectarlo en serie con la alimentacin elctrica para cortar la

corriente al circuito cuando el peso del vaso lleno acte sobre l, y de esta forma dejar el

automatismo en estado de reposo.

1 Fase. Tabla de verdad del circuito

Variables de entrada Variables de salida

a n l Ea En El

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0

1 1 1 0 0 0



2 Fase. Obtencin de ecuaciones. Obtendremos una ecuacin por cada una de las variables de salida, en nuestro caso Ea, En y El. Ecuacin de la electrovlvula del agua:

Si observamos la tabla de verdad, la electrovlvula del agua se activa en tres estados

distintos, en los que las variables de entrada toman los siguientes valores:

a=1, n=0 y l=0, que se expresa como: lna ** a=1, n=0 y l=1, que se expresa como: lna ** a=1, n=1 y l=0, que se expresa como: lna **

La ecuacin de salida se obtiene como suma de cada uno de los trminos obtenidos para cada estado en que la variable de salida est activa, resultando finalmente:

lnalnalnaEa ****** ++= Ecuacin de la electrovlvula de la naranja:

Como se aprecia en la tabla de la verdad, la electrovlvula de la naranja slo se activa en

un estado que se corresponde con los siguientes valores de las variables de entrada:

a=1, n=1 y l=0

Por lo tanto, la ecuacin de la electrovlvula de la naranja vendr dada por:

lnaEn **= Ecuacin de la electrovlvula del limn:

De forma similar al caso anterior, tal y como se aprecia en la tabla de la verdad, la

electrovlvula del limn slo se activa en un estado que se corresponde con los siguientes valores

de las variables de entrada:

a=1, n=0 y l=1

Por lo tanto, la ecuacin de la electrovlvula del limn vendr dada por:

lnaEn **= 3 Fase. Simplificacin de ecuaciones. En este caso las ecuaciones de las electrovlvulas de la naranja y limn no pueden

simplificarse, puesto que slo tienen un sumando. Con respecto a la ecuacin de la

electrovlvula del agua, considerando la propiedad del lgebra de Boole que indica que A+A=A

obtenemos:

lnalnalnaEa ****** ++= lnalnalnalnaEa ******** +++=



Sacando factor comn del primer y segundo sumando y del tercero y cuarto

respectivamente, y simplificando tenemos:

)(*

**

)(**)(**

lnaEa

lanaEa

nnlallnaEa

+=+=

+++=

Si nos hubiramos decantado por la simplificacin a travs de los mapas de Karnaugh el

proceso sera el siguiente:

1. Dibujamos un mapa con las tres variables de entrada:

2. Dibujamos un uno en cada uno de los cuadros que se corresponden con los tres sumandos

de la ecuacin de partida de la electrovlvula del agua:

lnalnalnaEa ****** ++= ln

a l l l

3. Hacemos lazos y simplificamos:

Lazo A: la *

Lazo B: na *

nalaEa ** +=

4. Simplificamos la ecuacin sacando factor comn de a:

)(* lnaEa +=

Sea cual sea el mtodo utilizado, llegamos a la conclusin que las ecuaciones

simplificadas de nuestro problema son:

ln

a

Lazo BLazo A

llla

n l



lnaEl

lnaEn

lnaEa

**

**

)(*

==

+=

4 Fase. Representacin del circuito elctrico y de puertas lgicas: Ser este el momento, que en este caso particular, elegiremos para colocar el pulsador del

vaso.

Circuito elctrico:

Pulsador del vaso

l

a

n

ElEn

n

a

l

Ea

a

ln

Circuito de puertas lgicas:

n n

la Ela*l

a*n*l

a*n*la*n Enan

+ Vcc

Pulsador del vaso

Ea

a*(n + l )a

n+l

nnn al

l l

ll

N O T A : C o n l o s c o n o c i m i e n t o s e s t u d i a d o s h a s t a a q u , e l e s q u e m a d e p u e r t a s l g i c a s

a n t e r i o r s e r a v l i d o , p e r o e n l a p r c t i c a h a y q u e c o m p l e t a r l o c o n a l g u n o s c o m p o n e n t e s

m s ( C i r c u i t o d e p o t e n c i a , r e s i s t e n c i a s d e l o s p u l s a d o r e s d e l a s v a r i a b l e s d e e n t r a d a ,

c o n d e n s a d o r e s d e d e s a c o p l o p a r e l r u i d o e l e c t r n i c o e t c . . ) y a a d i r p a t i l l a j e y

d e s i g n a c i n d e l o s c i r c u i t o s i n t e g r a d o s , a u n q u e e s t o l o v e r e m o s p o s t e r i o r m e n t e .



11 CIRCUITOS INTEGRADOS DIGITALES. Los circuitos integrados estn formados por un bloque monoltico o sustrato sobre el cual se construyen las diferentes partes, a base de tcnicas de difusin de impurezas P N, con

procedimientos muy parecidos a los empleados en los semiconductores discretos.

Los circuitos integrados digitales son todos aquellos que trabajan sobre la base de dos

estados o niveles, los cuales son: bajo y alto. Con estos estados o niveles es posible realizar con

ellos toda clase de funciones de tipo digital o binario, ya sea en forma de circuitos combinacionales

o secuenciales.

De todas las familias lgicas posibles, en este texto nos centraremos en la denominada

TTL (Lgica Transistor Transistor) por tener buen comportamiento con los fenmenos de

electricidad esttica, un precio econmico en las puertas bsicas y una velocidad de conmutacin

lo suficientemente alta para los requerimientos necesarios en este nivel acadmico.

Las caractersticas de cada uno de los circuitos integrados vienen recogidas en los

llamados DataBook, y es muy fcil encontrar sus especificaciones a travs de Internet. A titulo de

ejemplo, la siguiente figura representa una copia de un DataBook para el circuito integrado TTL,

tipo OR de dos entradas.

Es fcil descifrar los distintos parmetros especificados en la tabla, considerando que:

I significa INPUT (entrada) O significa OUTPUT (salida) L significa LOW (bajo, haciendo referencia al nivel lgico cero). H significa HIGH (alto, haciendo referencia al nivel lgico uno). Vcc significa tensin de alimentacin del circuito integrado en corriente continua. Icc significa corriente de alimentacin del circuito integrado en corriente continua.



Seguidamente se muestran los esquemas de algunos de los circuitos integrados TTL

de la serie 74xx ms comunes:

SN7400 SN7402

SN7404 SN7408

SN7410 SN7427

SN7432 SN7486



APNDICE A: SISTEMAS DE NUMERACIN INTRODUCCIN L o s n m e r o s s e p u e d e n r e p r e s e n t a r e n d i s t i n t o s s i s t e m a s d e

n u m e r a c i n q u e s e d i f e r e n c i a n e n t r e s i p o r s u b a s e . A s e l s i s t e m a d e

n u m e r a c i n d e c i m a l e s d e b a s e 1 0 , e l b i n a r i o d e b a s e 2 , e l o c t a l d e

b a s e 8 y e l h e x a d e c i m a l d e b a s e 1 6 . E l d i s e o d e t o d o s i s t e m a d i g i t a l

r e s p o n d e a o p e r a c i o n e s c o n n m e r o s d i s c r e t o s y p o r e l l o n e c e s i t a

u t i l i z a r l o s s i s t e m a s d e n u m e r a c i n y s u s c d i g o s . E n l o s s i s t e m a s

d i g i t a l e s s e e m p l e a e l s i s t e m a b i n a r i o d e b i d o a s u s e n c i l l e z .

SISTEMA DECIMAL

S u o r i g e n l o e n c o n t r a m o s e n l a I n d i a y f u e i n t r o d u c i d o e n E s p a a

p o r l o s r a b e s . S u b a s e e s 1 0 . E m p l e a 1 0 c a r a c t e r e s o d g i t o s

d i f e r e n t e s p a r a i n d i c a r u n a d e t e r m i n a d a c a n t i d a d : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,

8 , 9 . E l v a l o r d e c a d a s m b o l o d e p e n d e d e s u p o s i c i n d e n t r o d e l a

c a n t i d a d a l a q u e p e r t e n e c e . V e m o s l o c o n u n e j e m p l o :

23720030710*210*310*7237 210 =++=++= SISTEMA BINARIO

E s e l s i s t e m a d i g i t a l p o r e x c e l e n c i a , a u n q u e n o e l n i c o , d e b i d o

a s u s e n c i l l e z . S u b a s e e s 2 . E m p l e a 2 c a r a c t e r e s : 0 y 1 . E s t o s v a l o r e s

r e c i b e n e l n o m b r e d e b i t s ( d g i t o s b i n a r i o s ) . A s , p o d e m o s d e c i r q u e l a

c a n t i d a d 1 0 0 1 1 e s t f o r m a d a p o r 5 b i t s . E n l a t a b l a s i g u i e n t e p o d e m o s

v e r l o s p r i m e r o s d i e c i s i s n m e r o s b i n a r i o s y s u e q u i v a l e n t e d e c i m a l .

D e c i m a l B i n a r i o D e c i m a l B i n a r i o

0 0 0 0 0 8 1 0 0 0

1 0 0 0 1 9 1 0 0 1

2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

3 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1

4 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0

5 0 1 0 1 1 3 1 1 0 1

6 0 1 1 0 1 4 1 1 1 0

7 0 1 1 1 1 5 1 1 1 1



SISTEMA HEXADECIMAL.

Est compuesto por 16 smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas ms utilizados en electrnica, ya que adems de simplificar la escritura de los nmeros binarios, todos los nmeros del sistema se pueden expresar con cuatro bits binarios al ser 16 = 24.

En la siguiente tabla se muestran los primeros nmeros decimales y su conversin binaria y hexadecimal:

N Decimal N binario N Hexadecimal

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 2

3 0 0 1 1 3

4 0 1 0 0 4

5 0 1 0 1 5

6 0 1 1 0 6

7 0 1 1 1 7

8 1 0 0 0 8

9 1 0 0 1 9

10 1 0 1 0 A

11 1 0 1 1 B

12 1 1 0 0 C

13 1 1 0 1 D

14 1 1 1 0 E

15 1 1 1 1 F

CONVERSIONES Conversin entre binario y decimal

Si la conversin es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dgitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:

100123456

2

10012345

2

87124016642*12*12*12*02*12*02*11010111

4712480322*12*12*12*12*02*1101111

=++++++=++++++==+++++=+++++=

O

Existe otro mtodo ms rpido de convertir un nmero binario a decimal, el cual, consiste en hacer una retcula con tantas celdas como dgitos tenga el nmero binario que deseamos convertir, despus, a cada una de las celdas le asignamos un valor decimal, igual a las potencia de 2, que se corresponde con la posicin de la celda comenzando por 20, 21, 22 y as



6 4 + 0 + 1 6 + 0 + 4 + 2 + 1 = 8 7 1 0

1 12 1 3

2 1 72

1 11 15

20

02 312

105 62

2125

sucesivamente. Finalmente, sumamos el valor de las celdas donde hay unos binarios, descartando los valores de las celdas que tienen asignados ceros.

Ejemplo: Supongamos que deseamos saber el valor decimal del nmero binario 1010111

Construimos una tabla de una fila y 7 columnas (igual al nmero de dgitos del nmero binario), y asignamos a cada una su valor decimal (en la parte superior)

26 25 24 23 22 21 20

La tabla anterior se puede expresar de la forma:

64 32 16 8 4 2 1

Colocamos en nmero binario en las celdas

64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 0 1 1 1

En la parte inferior, sumamos el valor asignado a las celdas en las que hay un 1 binario, descartando aquellas que tienen un 0 binario.

64 32 16 8 4 2 1

1 0 1 0 1 1 1

Si la conversin es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2, hasta que el cociente sea igual o menor que 1. El nmero binario se forma tomando el ltimo cociente obtenido y los restos de cada una de las divisiones, en orden inverso a como se han ido obteniendo.

Ejemplo: Pasar a binario 12510

Tal y como se puede apreciar el resultado es: 12510=11111012

Conversin entre binario y hexadecimal

La conversin entre binario y hexadecimal es muy sencilla, para ello, vasta con agrupar los bits de 4 en e 4 aadiendo los ceros que falten para conseguir un mltiplo de 4, y despus sustituir cada agrupacin por su correspondiente dgito hexadecimal.

Ejemplo: Convertir el nmero binario 1011100102 a hexadecimal:



Dado que tiene 9 dgitos le aadimos tres ceros ms a la izquierda para que sea mltiplo de 4, quedando de la forma: 0001 0111 0010 . Finalmente asociamos cada una de las agrupaciones a su correspondiente dgito hexadecimal, atendiendo a la tabla anterior.

00012= 116 01112=716 00102=216 1 0111 00102=17616 Conversin de hexadecimal a binario.

Se opera de igual forma que para la conversin de un nmero de binario a hexadecimal, pero asociando el dgito hexadecimal a agrupaciones de 4 bits binarios. Ejemplo: Convertir a binario el nmero hexadecimal: A7C16

A16 = 1010 716 = 0111 C16 = 1100

Es decir : A7C16=1010 0111 1100 Conversin de hexadecimal a decimal.

Para convertir un nmero hexadecimal en decimal se emplea el sistema de sumar el valor que representa cada dgito segn su posicin, multiplicando por las diversas potencias de la base, en este caso es 16. Ejemplo: Convertir a decimal el nmero hexadecimal 55F16

55F16= 5*162 + 5*161+F*160=1280+80+15=137510 Conversin de decimal a hexadecimal

Para convertir un nmero decimal en hexadecimal lo iremos dividiendo sucesivamente por 16, y cuando no se puedan continuar las divisiones se formar el nmero en hexadecimal con el ltimo cociente seguido de los restos sucesivos obtenidos desde el final al primero. Ejemplo: Convertir el nmero decimal 248 en hexadecimal.

24810=F816

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Para pasar de binario a decimal

a) 110012 Solucin: 2510 b) 10110110112 Solucin: 73110

2. Para pasar de decimal a binario

a) 86910 Solucin: 11011001012 b) 842610 Solucin: 100000111010102

3. Para pasar de binario a hexadecimal

a) 1100010002 Solucin: 18816 b) 100010,1102 Solucin: 22,C

4. Para pasar de hexadecimal a binario

a) 86BF16 Solucin: 10000110101111112b) 2D5E16 Solucin: 00101101010111102


a) 10610 Solucin: b) 74210 Solucin:


a) 23610 Solucin: b) 5274610 Solucin:

F

88 8 15

16248

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