Apuntes Estructuras

N= kg * m / seg²

La fuerza es el resultado de la masa en kg de un cuerpo por la aceleración de la gravedad en m / seg²

Fuerzas Cargas

*Cargas vivas *Cargas muertas

Estructura: Es el conjunto de elementos interconectados entre ellos para ofrecer un sostén a nuestro espacio arquitectónico.

- Teoría de la flexocompresión- Teoría del elemento finito

Velocidad

- Distancia: Variable dependiente- Tiempo: Variable independiente

*A mayor velocidad el impacto es mayor.

*El impacto es una reacción de la fuerza.

125 km/hr =rotación de la tierra

9.88 gravedad

∫a

b

f (t)❑=aceleraci ón

a=2/( t2

2)

a=t ² {ba*Una función es la relación proporcional existente entre dos magnitudes.

Tema 1.1: Introducción a las estructuras

Las estructuras arquitectónicas están hechas para distribuir la carga incidental en ella. Generalmente se componen de elementos rectos que trabajan a compresión o a tensión y nodos donde estos elementos interactúan.

La manera en que sus elementos se distribuyan se llama configuración. La cual proveerá de resistencia – flexión a nuestro espacio arquitectónico según sus requerimientos.

Es importante conocer propiedades físicas de dichos elementos, así como los efectos que puedan suscitarse en ellas.

El comportamiento de cada uno de los elementos de una estructura se encuentra íntimamente ligado al proceso y a sus propiedades; sin embargo, también es necesario conocer los agentes externos.

Tema 1.1.1: La diferencial

Cuando analizamos un elemento cualquiera no es fácil coincidirlo con las fórmulas aritméticas de la geometría descriptiva, más aún cuando en la arquitectura el diseño espacial de los cuerpos tiende a la corriente orgánica.

Supongamos que el siguiente cuerpo quiere ser medido. ¿Qué fórmulas utilizaría para obtener su área?

Ar=b∗hAr=3∗7Ar=21u2

Asc=π∗d2

8Asc=3.23u ²

At=Ar+AscAt=21+3.23At=24.23u ²

En la arquitectura orgánica las líneas curvas de tendencia suelta son concebidas como

trayectorias. Una trayectoria por consiguiente será la sucesión de puntos que parten de un origen y

llegan a un fin.

El origen y el fin reciben el nombre de límites y todos los valores dentro de esos límites

podrán ser denominados como una variable llamada rango.

La diferencial es el área rectangular más pequeña que existe en una función trayectoria.

Si la logramos encontrar podemos detectar las máximas y mínimas y los puntos de

inflexión.

Cuando tenemos una diferencial somos capaces de tener el área bajo la curva de nuestra

función trayectoria.

*Ejemplo: Función

∫ ( x )'=d∫ (x )dx

∫ ( x )'=d(2x2 )dx

+d (3 x )dx

−d (2 )dx

∫ ( x )'=d(2x2+3 x−2 )

dx

Diferencial obtenida

∫(x)=2x ²+3 x−2

∫ ( x )'=4 x+3

∫(x) '=0 ; Puntos de inflexión

∫ ( x )' '=d ( 4 x )dx

+d (3 )dx

∫ ( x ) ⁴=4

1.1.2: Método de obtención de la diferencial

E.C. Recta

Y= Variable dependiente [contra dominio]

X= Variable dependiente

M= Pendiente; m= y 2− y 1(x 2−x 1)

B= Ordenada; [un punto cualquiera]

Función trayectoria

y {ba=I Á rea

m=ba

∫ ydx=ba∫ xdx+∫ cdx

y=bax2

2+c

y=b x2

2a+cx

y=mx+b

y=bax+c

*Ejemplo:

Un elemento arquitectónico orgánico piensa construirse a una dimensión cuya altura varía de su geometría descriptiva teniendo como dato exclusivo dos puntos extremos por donde pasa una tangente en uno de sus puntos máximos. Determina el área y la función trayectoria de este elemento, además indica, si se puede, el valor máximo o mínimo de falla de la estructura.

Área =?

F (t) =?

Máx.=?

1.- Hallar recta tangente

X1 Y1P1= (8 , 12)

X2 Y2P2= (0 , 4)

m= y 2− y 1x 2−x1

m=4−120−8

m=−8−8

Pendientem=1

Punto y pendiente

y− y1=m ( x−x 1 )

y−12=1 (x−8 )

y−12=( x−8 )

x− y−8+12=0

Recta tangente

2.- Hallar función trayectoria

x− y+4=0

Aplicar diferencial dydx

=( x+4 )dx

∫ dydx

=∫ ( x+4 )dx

I=∫ xdx+∫ 4 dx

Función trayectoria

I {200

= x2

2+4 x {20

0

A=[ (20 )2

2+4 (20 )− (0 )2+4 (0)]

A=[ 4002

+80]A=200+80

A=280u ² Área

I= x2

2+4 x

y=x+4

x− y+4=0

dy=( x2

2+4 x) Aplicación de la diferencial

dydx

=( x2

2+4 x) dy

dx=d ( x2

2 )+d (4 x )

Y propongo

d2 ydx ²

=0 Unidades de falla

Compresión f’c

De acuerdo a lo observado, la función trayectoria nos plantea la oportunidad de conocer la volumetría en un elemento estructural en su sección transversal y el cuidado hacia el refuerzo a compresión o tensión que requiera según su punto de falla.

Tema1.1.3 Deformación Unitaria

La deformación de un elemento se describe como el cambio de posición que sufre su eje axial o eje neutro con respecto de su posición estática. Se denomina con la letra δ a dicha deformación.

La deformación de un elemento estructural puede ser temporal o permanente sin importar el tipo de carga. Al igual que la deformación permanente cuando expresamos a través de una razón la deformación total con respecto a la longitud inicial obtendremos un factor adimensional descrito por la letra Ɛ y definido como deformación unitaria.

Ɛ = δ/L

dx

d2 ydx ²

=x+4

x+4=0 x=−4

Concluimos de esta manera que la deformación unitaria puede darse de 3 maneras: La deformación por compresión, por tracción y tangencial.

Ley de Hooke

La diferencia es directamente proporcional al esfuerzo.

Ɛ = δ/L

Límite de elasticidad

ƒ(δ) = m/a

ƒ(σ) = 30tg

Esfuerzo –Deformación

Kg * m / cm 2

Si consiguiéramos tener a través de una planimetría la forma actual del eje neutro de un elemento estructural sometido a cargas podríamos conocer su función trayectoria como lo muestra el siguiente diagrama.

4L3 + 2L2 – 6L + 4 = 0

Solución

Función de Esfuerzo Normal

ƒ(L)’ =d( 4L2)/ dL + d(2L2)/dL +d(- 6L) + d(4)/dL

Esfuerzo Cortante (V)

ƒ(L)’’ = d (12L2) / dL + d(4L) / dL + d (-6) / dL

Momento flexionante

ƒ(L)’’’ = d ( 24 L) / dL + d (4)/dL

Deformada

Esfuerzos

Definimos el esfuerzo que se ejecuta en una estructura como la fuerza que se ejerce sobre un área. Solo que la parte del área es en especial la sección transversal de un corte específico de dicho elemento.

Para poder entender lo que respecta al esfuerzo debemos asistir a un modelo de trabajo como el siguiente:

ƒ(L) = 4L3 + 2L2 – 6L + 4

ƒ(L)’ =12L2 + 4 L - 6

ƒ(L)’’ = 24 L + 4

ƒ(L)’’’ = 24 u

Si describimos este modelo despreciando el propio peso del mismo, entenderemos que la fuerza incidente en él crea un fenómeno en el cuerpo llamado esfuerzo.

El esfuerzo no se distribuye, tampoco se transmite, incluso es inamovible. Esto se comprueba cuando hacemos un corte en cualquier parte de nuestro elemento a una distancia X. El último punto del cual se describe nuestro elemento es conocido como la última fibra, que es ahí donde el esfuerzo existe.

Se entiende al esfuerzo como el fenómeno encargado de influir en el comportamiento de nuestro elemento como el gasto de energía a través del tiempo de manera perpetua.

σ = F / A

Entendemos entonces que en una estructura o elemento estructural el esfuerzo es igual a fuerza sobre área σ =F/A dependerá estrictamente de la magnitud de la fuerza que se ejecute en ella pudiendo establecer al esfuerzo en función de la fuerza tomando constante la sección transversal mas el peso propio.

ƒ(F)= 1/A F + Wpp

Wpp= b; ƒ(F) = σ

La función esfuerzo es característica de trabajar como un límite en un sistema bidimensional conocido como límite de falla. Con esto consideramos entonces que el esfuerzo equivale al nalaisis de una estructura a cualquiera de sus elementos como punto de falla.

Si la resistencia de un elemento estructural no se incluye para suponer una estructura, entonces tendríamos problemas para definirlo como tal.

Todo material inherente a una estructura debe ser críticamente señalado con grandes especificaciones técnicas que ejerzan garantía de su supervivencia. A este conjunto de especificaciones le llamamos resistencia.

En las estructuras la resistencia mecánica de los materiales consiste en la cohesión molecular y la composición atómica que ofrece al esfuerzo. Por tanto el esfuerzo se describe como el reciproco actuante de la resistencia.

Centroíde

Se trata de las coordenadas de un punto definido en un cuerpo llamado centro de gravedad.

Si nos abocamos a una estructura simple como es el triángulo hallaremos este centro de gravedad

como el punto de intersección de sus mediatrices y sabremos excluyendo cualquier otro parámetro

que en ese punto el peso total resultante de una resolución vectorial habrá de dirigirse siempre

hacia el centro de la Tierra. Si hablamos de una resultante, hablamos de un vector; y si hablamos

de un vector podemos establecer equilibrio.

Para todo cuerpo que puntualice un vector peso en su centro de gravedad existirán tres primeros

momentos fundamentales referidos a un eje tridimensional. Con estos tres momentos hallaremos el

centro de gravedad de cualquier cuerpo definido por un centroíde.

*Momento de una masa con respecto a la gravedad, se llama, momento de inercia.

Imaginemos una losa de concreto diseñada en arquitectura orgánica, tal y como lo ilustra la

siguiente figura.

ƐMy; xw = ƐxAw…………… (1)

ƐMy; yw = ƐyAw…………… (2)

Recordemos que el peso total de la losa de concreto arquitectónico W será igual a la suma de todos los ∆w propuestos para la misma.

W= ∆w + ∆w 2 + ∆w 3 + ….. +∆wn

W=Ɛ ∆w

Si para la última ecuación propuesta hiciéramos a ∆w un valor tan pequeño estableceríamos lo siguiente:

Análogamente se pueden establecer de las ecuaciones 1 , 2 y 3 la suma de los primeros momentos para este elemento.

Que significan que en un momento determinado incrementaremos el número de valores para x y para y como distancias asistidas que simultáneamente haremos tan pequeño al incremento de peso estableciendo a los siguientes límites.

Por volumetría.

W = ɤ t A (kg)

Análogamente

Aw = ɤ t ∆ A (kg)

Dónde:

ɤ = Peso especifico (kg/ m3)

t=Espesor (m)

A = área (m2)

Si hacemos referencia a las ecuaciones 4 y 5 podemos proponer de la dispersión de la ecuación 3 las siguientes ecuaciones:

xw= x1 ∆w + x2 ∆w 2 + ……+ xn ∆wn …….. (6)

yw= y1 ∆w + y2 ∆w 2 + ……+ yn ∆wn …….. (7)

Si el concepto de peso por volumetría en 6 y 7 tendriamos.

Xw ɤ t A = x 1 ɤ t ∆ A1 + x2 ɤ t ∆ A2 + xn ɤ t ∆ An

w= ᶴ dw …. (3)

xw= ᶴ xdw …… (4)

yw= ᶴ ydw …… (5)

yw ɤ t A = y 1 ɤ t ∆ A1 + y2 ɤ t ∆ A2 + yn ɤ t ∆ An

Asi mismo observamos que podemos dividir ambos miembros de las ecuaciones por ɤ t, lo cual nos quedaría:

xA= x 1 ɤ t ∆ A1 + x2 ɤ t ∆ A2 + xn ɤ t ∆ An ………. (8)

yA= = y 1 ɤ t ∆ A1 + y2 ɤ t ∆ A2 + yn ɤ t ∆ An ………. (9)

De dónde podemos establecer los primeros momentos de la siguiente manera:

Y si de las ecuaciones 8 y 9 incrementamos el numero de elementos y simultáneamente redujéramos las partículas del área obtendríamos el siguiente límite:

Y que por último, al relacionarlas con 10 y 11 obtendriamos las siguientes:

En forma general el centroide de un cuerpo se puede encontrar de forma aproximada cuando este se divide en la mejor configuración de formas geométricas.

Sin embargo, en el diseño arquitectónico surgen desafíos a nivel orgánico, que de manera propuesta se podría recurrir a las tablas de curvas especiales. Tendría una debilidad este procedimiento cuando en campo no contemos con ellas o se nos propongan curvas especiales.

Ante esta situación es posible determinar las coordenadas de los centroides de los cuerpos a través de una doble integración debido a la existencia del área bajo la curva en una integral.

A=∫ d A

Qy= xA …… (10)

Qy= yA ……..

xA= ᶴ xdA ……. (12)

yA = ᶴ ydA ……..(13)

Qy= ᶴ xdA………(14)

Qx= ᶴ ydA …….. (15)

Así mismo, y basado en éste concepto se podrá encontrar los primeros momentos para un cuerpo, si tomamos de él para el análisis una pequeña porción estableciendo la orientación de esta porción y el barrido de la misma a través del área.

Con base en las formulas 12 y 13 y la ecuación A=∫ d A podemos obtener para cada

elemento diferencial su centroide parcial y llevarlo al límite de la curva completa

Así mismo y de manera análoga podríamos establecer 2 nuevas ecuaciones para cada elemento de área quedando:

x A=∫ x el dA12 A

y A=∫ y el dA13 A

De aquí podemos desprender el siguiente ejemplo:Determinar las coordenadas del centroide para la siguiente enjuta parabólica:

Determinamos K sustituyendo los valores de límite de las abscisas y ordenadas por “x” y

“y” respectivamente.

y= b y x= a b= ka2

k= b

a2

y= b

a2x2

dA = y dx

A=∫ y dx∴ A=∫0

aba2 x

2dx

A= ba2∫

0

a

x2dx

A=b

a2 [ x3

3 ]0

a

A= ba2 [ a3

3−03

3 ]A= b

a2 [ a3

3 ]A=ab

3

De la formula 13ª

x A=∫ x el dAx A=∫

0

a

xy dx

x A=∫0

a

x [ ba2 x2]dx

x A=∫0

aba2 x

3dx

x A= ba2∫

0

a

x3dx

x A=b

a2 [ x4

4 ]0

a

x A= ba2 [ a4

4−04

4 ]x A= b

a2 [ a4

4 ]x A=a

2b4

x=

a2b4A

x=

a2b4ab3

x=3a2b4 ab

x=34a

y A=∫ y el dA yel= y2

y A=∫0

ay2y dx

y A=∫0

ay2

2dx

y A=∫0

a [ ba2 x2]

2

2dx

y A=∫0

ab2 x 4

a4

21

dx

y A=∫0

ab2 x4

2a4 dx

y A= b2

2a4∫0

a

x4dx

y A=b2

2a4 [ x5

5 ]0

a

y A= b2

2a4 [ a5

5−05

5 ]y A= b2

2a4 [ a5

5 ]y A=ab

2

10

y=

ab2

10A

y=

ab2

10ab3

y= 3ab2

10ab

y= 310b

Si a= 20 b= 10

x=34(20) y= 3

10(10)

x=604

y=3

x=15

Ecuación de la Elástica

Se trata de una expresión algebraica conducente a la deflexión o deformación que experimenta un cuerpo cuando es sometido al fenómeno de esfuerzos, para esto debemos tener en cuenta que la ecuación de la elástica se define por la relación existente entre un momento del cortante con respecto del módulo de deformación total.

MEI

=d2 yd x2

Fundamental para alcanzar la elástica

A través de esta expresión concebimos la capacidad de análisis para cualquier cuerpo estructural sometido a esfuerzo incluyendo cualquier fibra que forme parte d el.

Método de la doble integración

Este método nos ofrece encontrar el valor máximo de deflexión para un elemento estructural sometido a esfuerzo y cuyos pasos podemos enumerar de la siguiente manera:

1.- Obtener las reacciones involucradas a través de las ecuaciones de la estática.2.- Bosquejar un diagrama de cuerpo libre que defina los ejes, los cortes y los extremos.3.- Bosquejar un modelo donde intervenga el barrido del análisis hacia el extremo en cuestión.4.- Obtener el momento en el punto de corte y relacionarlo con la 2º derivada de la ecuación de la elástica.5.- A través de la integración se obtendrá la ecuación e la pendiente con respecto a la elástica.6.- Se deberán explorar las condiciones para las cuales se sujetan los esfuerzos. Esto es conocer claramente los puntos de corte para los cuales trabaja nuestro modelo.7.- A través de la integración y previo encuentro de las constantes de integración se hallara las ecuación de la elástica para el punto de análisis e incluso nos proveerá de información para encontrar la deflexión máxima.

Los elementos estructurales que se revisan conforme al método de la doble integración garantizan conocer o pronosticar los puntos de refuerzo estructural para materiales de concreto.

Ejemplo:Obtener la deflexión máxima correspondiente a la curva de la elástica de la deformada

aproximada de la siguiente estructura.

Encontrar Y máx.

1) Obtener reacciones.

∑ Fx=0 +

∑ Fy=0 + Ecuaciones de la Estática

∑M=0 +

∑ Fx=0 ∑ Fy=0 ∑M A=0

Ax = 0 Ay – ω L = 0 ( ω L) ( L2

¿ = 0

Ay = ω L M A= ωL2

2

2)

3)

4) Mcorte=0 ; M=−ωx( x2 )+ωL ( x )−ωL2

2

M=−ωx2

2+ωLx−ωL

2

2

d2 yd x2 =

MEI

EId2 yd x2 =

−ω x2

2+ωLx−ωL

2

2

EI∫ d2 yd x2 =

−12∫ωx2dx+∫ωLx dx−1

2∫ωL2dx

EI∫ d2 yd x2 =

−ω2

∫ x2dx+ωL∫ x dx−ωL2

2∫ dx

EI∫ d2 yd x2 =

−ω2 [ x3

3 ]+ωL [ x2

2 ]−ωL2

2[x ]+c1

EI∫ d2 yd x2 =

−ωx3

6+ωL x

2

2−ωL

2 x2

+c1

EI∫ d2 yd x2 =

dydxpendiente

EIdydx

=−ωx3

6+ωLx

2

2−ωL

2 x2

+c1

5)

EI∫ dydx

=−ω6

∫ x3dx+ωL2∫ x2dx−ωL

2

2∫ x dx+c1∫ dx

EI∫ dydx

=−ω2 [ x4

4 ]+ωL2 [ x3

3 ]−ωL2

2 [ x2

2 ]+c1 [x ]+c2

EI∫ dydx

=−ωx4

24+ωL x

3

6−ωL

2 x2

4+c1 x+c2

y=−ωx4

24 EI+ωL x

3

6 EI−ωL

2 x2

4 EI+c1 x

EI+c2

EIModeloGeneral

Explorar Condiciones

Para Pendiente [ dydx ]dydx

=0 ;en x=0

Sustituir En (1):

EI (0 )=−w(0)3

6+wL ¿¿

0=0+0−0+c1

c1=0

Para la deflexión [ y ]y = 0; en x=0

EI (0 )=−w(0)4

24+wL¿¿

0=−0+0−0+0+c2

c2=0

dydx

=−w x3

6 EI+wLx

2

2EI−w L

2 x2 EI

pendiente

y=−wx 4

24 EI+wL x

3

6 EI−w L

2 x2

4 EIdeflexi ón

X = L

y max=−w ¿¿

y max=−w L4

24 EI+ w L

4

6 EI−w L

4

4 EI

y max=−3wL4

24 EI

26 /Octubre/ 2010.

Toda estructura colada monolíticamente puede cambiar su estado de compresión a tracción por el simple hecho de manipular su posición en los apoyos.

La estructuras presforzadas están diseñadas expresamente para trabajar a tensión.

Ejercicio 2 Determinar para la siguiente viga simplemente apoyada la pendiente y la deflexión de la misma.

Observemos que para este modelo se Desprecia el peso propio de la vigaEsperando tener una reacción concisa.

1.- Obtención de las reacciones

EFx= 0

Ax= 0

∑ Fy=0 +

Ay= ωL2

+ C = 0 … (1)

∑M=0 +

(wL2 )( L4 )−c (L )=0

wL2

8−CL=0

CL=wL2

8

C=wL2

8 L

C=wL❑

8 L

Ay=−wL2

+wL8

=0

Ay=−wL2

− wL8

Ay=−4wL−4wL8

Ay=+3wL8

2.- Diagrama de cuerpo libre

Barrer del extremo A

3.- Esquemas o modelos

Mo=Wx (x2)−3WL

8(x )

Mo=W x2

2−3WLx

8

Mo´=WL2 ( x 1

4 )−3WLx8

(x )

Mo´=−W L2

8−3WLx

8+W Lx

2

Elástica

5.-

MEI

=W x2

2 (x 14 )−3WLx

8

EI∫ d2 yd2 x

=∫W 2 x2dx−∫ 3WLx

8dx

EIdydx

=W2 ∫ x2dx−3WL

8 ∫ xdx

EIdydx

=W2 [ x3

3 ]−38WL[ x2

2 ]+C1

(a)

EI∫ dydx

=W6 ∫ x3dx−3WL

16 ∫ x2dx+C1∫ dx

EI y=w6 ( x4

4 )−3wL16 ( x3

3 )+c 1x+c 2

EI y=wx4

24−3wLx3

48+c 1x+c 2

EI ⎰=d2 ydx2 −wl

2∫ xdx−wL

2

8∫dx−3wL

8∫ xdx

EIdydx

=−wL2 ( x2

2 )−wL2

8( x )−3wL

8 ( x2

2 )+c3

EIdydx

=wLx2

4−wL

2 x8

−3wLx2

16+c3

EI ⎰ dydx

=wL4∫ x2dx−¿ wL

2

8∫ xdx−¿ 3wL

16∫ x2dx+c3∫ dx ¿¿

(b)

(c)

EI y=wL4 ( x2

3 )−wL2

8 ( x2

2 )−3wL16 ( x3

3 )+c3 x+c 4

EI y=wLx3

12−wL

2 x2

16−3wLx3

48+c 3 x+c4

y AB= yBC ; x=l2…(3 )

dydx AB

=dydx BC

; x= l2

… (4)

En (c):

y=0; x=l… (5 )

dydx

=0 ; x=l… (6 )

Uso condición 2 sustituyo en (0) y (b)

Ei=w (0 )

0=3wl ¿¿

0=0-0+C1 C1=0

Ei (0 )=w ¿¿

0=0−0+0+C2 C2=0

(d)

En (A):

Y=0; X=0……………...(1)

dydx

=0 ; X=0…….(2)

En claro AB= claro BC

Condición (1) sustituyo en (b)

Ei (0 )=wl ¿¿ C2=0

Condición (5) sustituyo en (d)

Ei (0 )=wl ¿¿

(0 )=w l4

12−w l

4

16−3w l4

48+C3 l+C4

0= 4WL4 – 3WL4 – 3WL4 /48 + C3L + C4

0= WL4/24 + C3L + C4 C3L +C4 = -WL4/24 … (e)

*Condición (5) sust. En (b) y (d)

w(l/2)4/24 – 3wl (L/2)3/48 + c1 (l/2) = wl (L/2)3/12 – wl2 (l/2)2/16

- 3wl(L/2)3/48 + c3 (L/2) + c4

wl4/384 – 3wl4/384 + c1L/2 = wl4/96 – wl4/64 – 3wl4/384 + c3L/2 + c4

c1L/2 – c3L/2 - c4 = -wL4/64 – wL4/384 + wL4/96

c1L – c3L – 2c4 = 2 (-384 – 64 +256/244576 wL4)

c1L – c3L – 2c4 = 2( -192 wL4/24576)

c1L – c3L – 2c4 = - 192 wL4/12288

c1L – c3L – 2c4 = wL4/64

A través de la condición 4

dydxAB=dy

dxBC

*Igualarlas en la ecuación A y C

ωx3−3wLx2

16+c1=wLx

2

4−wLx

2

8+ 3wLx2

16+c3

w( L2)

3

6−

3wl (L2)

2

16+c1=

wL( L2)

2❑

4−w L2(L

2)❑

8−

3wL(L2

)2

10+c3

w L3

48−3w L3

64+c 1=w L

3

16−w L

3

16−3w L3

64+c3

c 1−c 3=−w L3

48….Ecuaci ónG

Despejamos c3 de la ecuación G

C3=w L3

48+c 1

c 1L−[ w L3

48 ]c 1L+2c 4=−w L4

64

−[w L4

48 ]+2c 4=−w L4

64

+2c 4=−w L4

64+[ w L4

48 ]

2C4= -4WL + 3WL4 -------------------- 16

2C4= -WL4 C4= -WL4 --------- ---------- 16 32

Sust. c4 en ecu. e

C3L + [-WL4 ]= -WL4

-------- ------- 32 24 C3L= + WL4

-------C3L= -WL4 + WL4 8 ------ ------ 24 32

C3L= 3WL4 – 4WL4 C3= + WL3

------------------ ------- 8 8

Sust. c3 en ecu. g

C1-[+WL3] = -WL3 C1= -WL3 + WL3

--------- ------ ----- ----- 8 48 48 8

C1- WL3= -WL3 C1= - WL3 + 6WL3

------ ------ ------------------ 8 48 48

C1= +5WL3

-------- 48

Sust. Las constantes de integración en la ecu. de la elástica y su pendiente

EI dy = wx3 – 3wlx2 + 5wl3 claro AB ---- ----- ------ ------ (a) (1) dx 6 16 48

EI y = wx4 – 3wlx3+ 5wl3x (b) (1) ------- ------ ------- 24 48 48

CLARO BC

EIdydx !

=wl x2

4−wl

2 x8

−3wl x2

16−wl x

3

8(c)

EIdydx!

=wl x2

16−wl

2 x8

+wl x3

8(3)

EIdydx!

=wl x3

12−wl

2 x2

16−3wl x3

48+ wl x

3

8−wl❑

4

32(c )

EIdydx !

=wl x3

48−wl

2 x2

16+wl

3 x8

−wl❑4

32(4)

Las cuatro ec. Obtenidas reciben el nombre de ecuaciones modelo y si nuestro problema desea encontrar la deflexión máxima tendríamos que recurrir de nuevo a las condiciones de frontera.

Sustituir :

X= L/4 W= 6 kg/ m

X=L/2

X= 3/4L

L= 10 el final

( kgm ) (m2

❑ ) - ( kgm ) (m2

❑ )(m❑

❑ )+( kgm )(m❑

❑ )

Una estructura no falla por cargas , falla por comportamiento de esfuerzo

m: derivada de la deflexión, como se comporta la viga a determinada distancia.

Derivada: Variación de una cantidad con respecto a otra.

Deflexión: comportamiento interno de la viga por esfuerzo.

Deformada aproximada: como quedaría la viga cuando se retiran las cargas.

δ max: desplazamiento, punto mas bajo de la viga.

02/diciembre/2010

Marcos Planos

En la arquitectura la tendencia al trabajo causado por cargas estriba principalmente en un elemento denominado crujía, el cual alcanza una determinación de acuerdo a todos los factores que en ella se suciten. De igual manera la propia constitución.

La crujía es entonces el elemento mínimo resultante considerado elemento estructural y compuesto por al menos una trabe, dos columnas y apoyos.

De acuerdo al número de reacciones, el comportamiento mismo de nuestra crujía será variado de acuerdo a la disposición de las cargas a las que se someta nuestra crujía

*Los muros rigidizan la estructura, pero no transmiten cargas.

*Cinemática: Moviemiento de los cuerpos.

*Carga Vibratoria: Es aquella fuerza que actúa sobre la estructura de manera repetitiva pudiendo incluso ser muchas veces axial o muchas veces excéntrica. La mayoría de los enfoques trabaja en relación a los esfuerzos; debido a que, las posibles fallas estructurales se encuentran directamente relacionadas con el trabajo integral de sus elementos.

Nodos

Dentro de las estructuras es pertinente hacer mención del manejo de los esfuerzos a través de los elementos que la integran. Sabemos que las trabes y las columnas son dos elementos que se unen para formar una estructura cuya función es formar una intersección capaz de transmitir el esfuerzo. Está intersección de columna y trabe recibe el nombre de nodo y su significado estructural es el de una reacción empotrada. En sí, un nodo establece la transmisión de esfuerzos gracias al eje físico y geométrico de las estructuras.

La unidad del esfuerzo es la réplica exacta de la presión sobre un cuerpo.

Esta determinación donde las estructuras sometidas a cargas respondiendo con un esfuerzo nos lleva al lado del diseño estructural donde su fundamento y principio de diseño es el esfuerzo, mejor denominado como esfuerzo admisible.

Diseño de columnas

El principio del diseño para elementos estructurales se rige a través de los esfuerzos existentes en sus componentes como trabes y columnas. De las cuales para este proceso supondremos conocido el peso propio de las trabes y trabajaremos a dimensión de la sección transversal de las columnas. Es claro mencionar que el diseño de columnas trabaja con las fuerzas axiales que al momento de impactar la primera fibra de la misma se ejercerá una continuidad de esfuerzos en el eje de la columna. Para esto debemos tener claro que tipos de columnas conocemos y que se utilizan en cualquier edificación arquitectónica. La clasificación por material es de acero y concreto, a su vez la subcategorización del material con respecto a las columnas las divide en cortas o intermedias.

Es evidente que para las dos columnas sus fallas pueden ser determinadas por el efecto de reacción que tienen en ellas. Las columnas cortas tienden a fallar por aplastamiento, mientras que las columnas intermedias fallan por pandeo.

Con esto podemos asegurar que antes de diseñar una columna debemos verificar cual es su categoría. Involucraremos el proceso de fluencia de los materiales y la teoría de Euler con respecto a las partículas.

CC=√2 π2

Fy

CC= Columna cortaπ= 3.1416E= 149 000 000Fy= 36 000 lb/pul²

La fórmula anterior corresponde a la verificación de las columnas cortas de acuerdo al límite de fluencia que nos marque el proveedor, y a su vez existirá un esfuerzo admisible, determinado por la siguiente fórmula:

∫ a=[1−( KL2

2C C2)]∫ y

Fs

Fs=35+

3( LR )8

+3( LR )

3

8CC ³

Con lo cual debemos revisar el factor L/R con CC, el cual nos determina lo siguiente:

L/R ˃ CC Intermedias

L/R˂ CC Cortas

L= logitud de columna

R= radio de giro

L/R= relación de esbeltez para columnas de acero

Cuadro Comparativo del Factor por Comportamiento de las Columnas

Una columna será representada por el valor de su eje neutro, como la fibra interna más importantede reacción a cualquier esfuerzo. Por lo tanto describiremos el cuadro de la siguiente manera:

*El fallo por aplastamiento se debe al empotramiento y el fallo por pandeo se debe al apoyo simple.

*Puntos de inflexión: cambio de dirección de la curva.

Es importante señalar que el factor K de las columnas se destina al tipo de apoyo que constructivamente se planee en la logística. Es por ello que dentro de nuestras especificaciones técnicas debemos señalar al constructor de manera eficaz el dicho proceso.

De esta forma se hace evidente que el comportamiento de cada estructura trabaje muy dependiente a la especificación técnica. Si tratamos de obtener las reacciones debemos estar seguros de que la columna cumple con ser intermedia o corta. Para ello deduciremos factores complementarios como el radio de giro y el momento de inercia, así como la relación de esbeltez que nos diga el fabricante.

El acero estructural técnicamente persiste por tres conceptos fundamentales que en el diseño estructural se consideran complementarios:

1. Radio de giro: Se define como el límie cercano de la deflexión que se ejecuta al momento en que se le es ejercida una carga.

2. Momento de inercia: Es la situación que presenta cualquier cuerpo ante la posibilidad de un movimiento. Es la respuesta opuesta al movimiento relacionado íntimamente con la forma geométrica del elemento.

3. Relación de esbeltez: Se define como la razón matemática existente entre el peralte y la base.

Radio de giro [r]: proveedor Momento de inercia [I]: proveedor Relación de esbeltez [S]: proveedor

Para diseñar columnas de acero partiremos de la relación de esbeltez definida por KL/R, donde K es igual al factor por apoyo de las columnas, definido de la siguiente tabla:

L es igual a la longitud del elemento estructural, y R es igual al radio de giro. La relación de esbeltez del diseño debe ser comparada con el método de Euler para columnas intermedias y cortas.

CC=√2 π2

Fy

E= 29000000Fy= 36000KL/r > CC columnas largas

∫ a=149000000Fy

La utilización de este Fy será incorrecta porque sin importar el material la columna fallará siempre por pandeo, por lo tanto debe ser sustituído de la siguiente manera:

∫ a=149000000Fy ∫ a=149000000 /( Klr )

2

Cumpliéndose lo anterior tendremos dos fórmulas para cuando deseemos diseñar columnas de acero respondiendo a su esfuerzo admisible.

*Ejemplo: Determinar Fa para una columna de perfil W 6x15 – 8 cargada axialmente y apoyada en los extremos articulados. De material A-36.

Se elige el radio de giro menor entre x – x’ y y – y’

L= 8’R= 1.46

Se reemplaza en relación de esbeltez.

(1 )(8 x12)1.46

=65.75

CC=√2π 22900000036000

CC= 126.09KL/r (65.75) < CC (126.09)

∫ a=

[1−( 1962

2(126.09 )2)]36000

35

+3 ( 96 )

8−3 (96 )3/8 (126.09 )3

∫ a=2288.47 lb /¿ ³

El Fa por diseño será contrastado con una tabla que el fabricante o proveedor debe suministrarnos, la cual establece que para una cierta esbeltez o radio de giro existe un esfuerzo admisible de su acero.

Fap > Fa sirve Fap < Fa se debe buscar otro perfil