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7/29/2019 Apuntes MO.pdf

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Formulas utiles

r = a(1 − ecosE ) (TemadeKepler)

v =µ

hesinf uR +

µ

h(1 + ecosf ) uθ (TemadeKepler)

tanf

2

= 1 + e

1 − e

tanE

2

(TemadeKepler)

p2 = (1 − e2)x2 − 2 pex + y2 (TemadeKepler)

λ2q = sin2(E 12

), −sinh2(E 12

) (T ema de Lambert)

q = sin2(E 22

), −sinh2(E 22

) (T ema de Lambert)

G =r1r2 − r1 · r2

| r1 ⊗ r2| µ (T ema de Lambert)

ξ =G

r1η(T ema de Lambert)

G =1 − α

r3+

α

|r

− i

|3

> 0 (TemadeProblema3 cuerpos)

H = − µ2

2α2− R si γ = ∇R (T emade perturbaciones)

1. Ecuaciones de Gauss

Las ecuaciones de Gauss permiten estudiar comovarıan los parametros clasicos cuando la perturba-cion es de tipo γ = γ r ur + γ θ uθ + γ h uh. Para obtenerlas variaciones en variables de Delunay se debe impo-ner la igualdad:

dR =

cl´asicos

∂R

∂q jq j =

Delunay

∂R

∂q jq j

y llevar las relaciones entre ambos (seccion 2 ) parapoder identificar termino a termino.

Para las ecuaciones de Gauss se tiene:

∂R

∂a= γ r

r

a(1)

∂R

∂e= −γ racosf + γ θ(a +

r

1 − e2)sinf (2)

∂R

∂M = γ r

aesinf √ 1 − e2

+ γ θa2

√ 1 − e2

r(3)

∂R∂ Ω

= γ θrcosi − γ hrsini cosθ (4)

∂R

∂ω= γ θr (5)

∂R

∂i= γ hrsinθ (6)

2. Relaciones

Las relaciones entre las variables clasicas a,e,i ylas de Delunay α,h,hz permite pasar de ecuacionesplanetarias de Delunay (faciles de obtener, ya que elcambio r,θ,λ,pr, pθ, pλ −→ α,h,hz, M , ω , Ω escanonico) a las ecuaciones planetarias de Lagrange.

da =2

nadα (1)

de = b2

na4edα − b

na3edh (2)

di =cosi

nabsinidh − 1

nabsinidhz (3)

Identificando terminos en dR|Delunay = dR|Clasico:

∂R

∂α=

2

na

∂R

∂a+

b2

na4e

∂R

∂e(1)

∂R

∂h= − b

na3e

∂R

∂e+

cosi

nabsini

∂R

∂i(2)

∂R

∂hz= − 1

nabsini

∂R

∂i(3)

∂R

∂M

C

=∂R

∂M

D

;∂R

∂ Ω

C

=∂R

∂M

D

;∂R

∂ω

C

=∂R

∂ω

D

y ası se consiguen las derivadas del potencial R paralas ecuaciones de Delunay.

1



3. Ecuaciones planetarias de

Delunay

Las ecuaciones de Hamilton para la hamiltonia-

na H (α,h,hz, M , ω , Ω) = − µ2

2α2 −R(α,h,hz, M , ω , Ω)son:

M = µ

2

α3 − ∂R∂α α = ∂R∂M

ω = −∂R

∂hh =

∂R

∂ω

Ω = − ∂R

∂hzhz =

∂R

∂ Ω

4. Ecuaciones planetarias de

Lagrange

Mediante las relaciones de la seccion 2 se ob-tienen las ecuaciones que rigen las variaciones de losparametros orbitales clasicos:

M = n − 2na

∂R∂a

− b2

na4e∂R∂e

; a = 2na

∂R∂M

ω = − b

na3e

∂R

∂e− cosi

nabsini

∂R

∂i; e =

b2

na4e

∂R

∂M − b

na3e

∂R

∂ω

Ω =1

nabsini

∂R

∂i;

di

dt=

cosi

nabsini

∂R

∂ω− 1

nabsini

∂R

∂ Ω

LLevando las expresiones de ∂R/∂q j dadas segun las ecuaciones de Gauss se llega a las siguientes expresiones:

ECUACIONES DE GAUSS EN VARIABLES CLASICAS

a =2a2

h (esinf γ r +p

r γ θ) (1)

e =1

h( psinf γ r + (( p + r)cosf + re)γ θ) (2)

ω =1

eh(− pcosf γ r + ( p + r)sinf γ θ) − 1

h

sin(ω + f )

tanirγ h (3)

M = n +

√ 1 − e2

eh(( pcosf − 2re)γ r − (( p + r)sinf γ θ) (4)

di

dt=

1

hcos(ω + f )rγ h (5)

Ω =1

h

sin(ω + f )

sinirγ h (6)

ECUACIONES DE GAUSS EN VARIABLES DE DELUNAY

α = γ raesinf √

1 − e2+ γ θ

a2√

1 − e2

r(1)

h = γ θr (2)

hz = γ θrcosi − γ hrsini cosθ (3)

ω =1

eh(− pcosf γ r + ( p + r)sinf γ θ) − 1

h

sin(ω + f )

tanirγ h (4)

M = n +

√ 1 − e2

eh(( pcosf − 2re)γ r − (( p + r)sinf γ θ) (5)

Ω =1

h

sin(ω + f )

sini

rγ h (6)

2



5. Friccion aerodinamica

La perturbacion inducida por la resistencia aero-dinamica sobre el satelite se escribe como:

γ = −Dv

v

γ r = −µDhv esinf

γ θ =

−µDhv (1 + ecosf )

(D = Cv2e−r/L)

de tal forma que las ecuaciones de Gauss adoptan laforma:

e = −2

v(e + cosf )D; ω = −2sinf

evD; a = −2a2v

µD

M = n +2√

1 − e2sinf

ev(1 +

e2r

p)D

i = Ω = 0 −→ EL PLANO DE LA ORBITA

NO CAMBIA.

VARIACIONES SECULARES

M =µ1/2

a3/2; ω = 0

a = −2a2

µ

1

2π

2π

0

DvdM

< 0

e = −2

1

2π

2π

0

e + cosf

vDdM

< 0

6. Efecto achatamiento terres-

tre

Considerando unicamente la perturbacion produc-to de suponer la tierra como un elipsoide se obtiene(en coordenadas esfericas, φ −→ latitud)

R(φ, r) = J 2µR2T 1 − 3sin2

φ2r3

(1)

y su variacion media en variables de Delunay:

R =1

2π

2π

0

RdM =J 2µ4R2

T

4α3h3(3

h2zh2

− 1) (2)

entonces aplicando las ecuaciones de Delunay paraeste potencial de perturbacion se obtienen las varia-ciones seculares de los parametros:

M s = n(1 + ε3

4(1 − e2)3/2(3cos2i − 1)) (3)

ωs = nε 34(1 − e2)2

(5cos2i − 1)) (4)

Ωs = −nε3cosi

2(1 − e2)2(5)

α = h = hz = a = i = e = 0 (6)

donde se ha utilizado el parametro ε = J 2( RT

a )2 1

llevando las expresiones de v,D, y M se tiene:

a = −2a1/2µ1/2Ce−a/L

1

2π

2π

0

eae

LcosE

1 + ecosE

1 − ecosE

1/2

(1 + ecosE ) ∞

k=0

Ak(e)cosnE

dE

= −2a1/2µ1/2Ce−a/L

∞k=0

Ak(e)I k(ae

L)

e = −2a−1/2µ1/2Ce−a/L

1

2π

2π

0

eae

LcosE

1 + ecosE

1 − ecosE

1/2

(1 − e2)cosE

∞

k=0

Bk(e)cosnE

dE

= −2a−1/2µ1/2Ce−a/L

∞k=0

Bk(e)I k(ae

L)

donde I n(z) = 1

2π

2π

0ezcosucosnu du son las funciones de Bessel modificadas.

3



5.1. Orbita circular (e = 0)

Cuando e = 0 se cumple que I n(0) = δ 0n y ademas los desarrollos son An(0) = δ 0n y Bn(0) = δ 1n por lo que secumple que e = 0. Para a(t):

a = −2a1/2µ1/2Ce−a/L −→ a(t) = ai + L ln

1 − 4π

t

T i

ai

L

Di

gi

siendo Di = Cv2i e−ai/L, T i = 2π a3iµ , gi = µ

a2i

(la aceleracion de la gravedad) y v2i = µai .

5.2. Orbita de pequena excentricidad

Pese a ser e 0 se tiene que ea/L ∼ 1 por ser a/L 1 por lo que se hace e = 0 en las expresiones que no vamultiplicado por a/L. De esta forma el primer termino no nulo de la serie An(0) es A0 = 1 y de la serie Bn(0) esB1 = 1 con lo cual se llega a:

a = −2C √

aiµe−a/LI 0(aie/L) (1)

e = −2C

µ

aie−a/LI 1(aie/L) (2)

ademas de suponer a ∼ ai salvo en la exponencial, ya que es donde los cambios son m as acusados. LLamando β = aie/Ly dividiendo (2) entre (1):

dβ

da=

1

L

I 1(β )

I 0(β )−→

d

dz(zI 1(z)) = zI 0(z)

d(a/L) = dln(βI 1(β )) −→ exp−a/LβI 1(β ) = exp−ai/Lβ iI 1(β i) (3)

de esta forma se tiene automaticamente para a: a = ai − Lln

eiI 1(eiai/L)

eI 1(eai/L)

. Sustituyendo en e:

e = −2C

µ

aiexp−ai/LI 1(aiei/L)

ei

e−→ e2 = e2i − 4C

µ

aieiexp−ai/LI 1(aiei/L)t (4)

cuando e = 0 se dice que se produce la reentrada y las ecuaciones dejan de ser v alidas.

7. El problema de Kepler

CALCULO DE LOS PARAMETROS ORBITALES CLASICOS

i = arccos(hz/h) (1)

Ω = arctan2(hx, −hy) (2)

ω = arctan2(ez/sini, excosΩ + eysinΩ) (3)

ECUACIONES EN EL PLANO PERIFOCAL

xy − yx = 0 (4)

yh

µ− x

r= e (5)

xh

µ+

y

r= 0 −→ ”La ecuacion generadora de ecuaciones de Kepler” (6)

4



RELACIONES MAS IMPORTANTES

r =p

1 + ecosf x = rcosf y = rsinf

H =(e2 − 1)µ2

2h2= − µ

2ae =

v ∧ h

µ− r

r

(ae + x)2

a2+

y2

a2(1 − e2)= 1

0 < p <∞

SIEM P RE p = a(1−

e2) (1−

e2)x2 + 2 pex + y2 = p2

7.1. Orbitas elıpticas y

circulares

La parametrizacion es:

x = a(cosE − e)

y = a

1 − e2sinE

r = a(1 − ecosE )

Llevandolo a la ecuacion generado-ra de ecuaciones de Kepler:

E − esinE = M = n(t − τ )

siendo n =

µ/a3

7.2. Orbitas hiperbolicas

Cuando e > 1 ocurre que a < 0. Laparametrizacion es:

x = |a|(e − coshH )

y = |a|

e2 − 1sinhH

r = |a|(ecoshH − 1)

Llevandolo a la ecuacion generado-ra de ecuaciones de Kepler:

esinhH − H =

µ/|a|3(t − τ )

7.3. Orbitas parabolicas

Cuando e = 1 ocurre que a → ∞por lo que la parametrizacion debeser:

x =p

2(1 − η2)

y = pη

r =p

2(1 + η2)

Por lo que se deduce la ecuacion deKepler:

1

2(η + η3/3) =

µ

p3(t − τ )

5



8. Metodo del promedio

En lugar de considerar aproximacion de 1er y2do orden se puede considerar la variacion de unparametro orbital como la secular (un promedio) yun termino oscilante que no es util a la hora de ana-lizar evoluciones a largo plazo.

X X 0 + X 1 = X s(t) + X osc(t) = X st + X osc(t)

Sea R la perturbacion en variables de Delunay, y seaR0 la perturbacion particularizada con la solucion deorden 0, entonces se puede integrar las ecuaciones pla-netarias de Delunay para la perturbacion de 1er me-

diante la funcion Γ = M 0

M 0iR0dM 0:

α1 =R0 − R0i

n0

M 1 = − 3

α0

Γ

n0

− RI t

− 1

n0

∂ Γ

∂α0

h1 =1

n0

∂ Γ

∂h0

ω1 = − 1

n0

∂ Γ

∂h0

hz1 = 1n0

∂ Γ∂ Ω0

Ω1 = − 1

n0

∂ Γ∂hz0

Entonces, la variacion secular de una variable φ, φs

se define como φs = ∆φciclo/∆tciclo:

αs = 0; αs =1

2π

M I+2π

M I

(α0+α1)dM = α0+R0 − RI

n0

M s = n0 − 3

α0

(R0 − RI ) µ2

α30

(1−

3αs − α0

α0

)

µ2/α3s

−

∂ R

∂α0

=

µ2

α3s

−

∂ R

∂α0

hs =δ R

∂ωsωs = − ∂ R

∂hs

˙hzs =δ R

∂ ΩsΩs = − ∂ R

∂hzs

Por lo que son las ecuaciones canonicas de la hamil-toniana H = −2µ2/α2

s + R(αs, hs, hzs, ωs, Ωs)

9. Problema de Kepler por

ecuaciones regulares.

Se define la anomalıa excentrica generalizada, χcomo

χ0

rdχ = t0

√ µdt. Llevando la relacion r =

r(χ) se deducira la ecuacion de Kepler generalizada.Los parametros que se utilizan son: α = 1/a,

σ(t) = r · v/√ µ. De esta forma:

dr

dχ= σ

d2r

dt2= 1 − αr

dr

dχ= rv/

√ µ

d2r

dχ2= −e − αr

donde e = −αr +r/r− σ√ µv. La solucion del problema

es:

r(χ) = r0U 0(α, χ) + σ0U 1(α, χ) + U 2(α, χ)

r = r0U 0(α, χ) +r0√

µ v0U 1(α, χ) − eU 2(α, χ)

y la ley χ = χ(t) se deduce de la ecuacion de Keplergeneralizada:

√ µ(t − t0) = r0U 1(α, χ) + σ0U 2(α, χ) + U 3(α, χ)

Para calcular la velocidad:

v =

√ µ

r

dr

dχ= −

√ µU 1

r0r r0 +

1 − U 2

r

v0

6



10. Problema de los 3 cuerpos restringido.

Se tienen dos masas m1, m2 mucho mas grandes que una tercera m3, de tal forma que las dos masas grandesdescriben una trayectoria circular a lo largo de su centro de masas. Se toma un sistema de unidades tal que r12 =1, G(m1 + m2) = 1, α = m2/(m1 + m2) → ω = 1, Gm1 = 1 − α,Gm2 = α. Entonces, si x e y son las coordenadas dem3 siendo el eje OX la lınea que une las dos masas y OZ paralelo a la velocidad angular de las mismas, entonces lasecuaciones que rigen la dinamica de m3 son:

x = −(1 − α) xr3

− α x − 1|r − i|3 + x − α + 2y = −Gx + α

|r − i|3 + x − α + 2y (1)

y = −(1 − α)y

r3− α

y

|r − i|3 + y − 2x = −Gy + y − 2x (2)

z = −(1 − α)z

r3− α

z

|r − i|3 = −Gz (3)

Planteando el equilibrio de m3 se obtienen dos tipos de puntos, segun se elija G = 1 (Puntos triangulares) o y = 0(Puntos colineales) en la ecuacion (2).

10.1. Puntos colineales

En estos puntos se cumple y = 0 y la posicion enx se obtiene de resolver:

0 = −(1 − α)x

|x|3 − αx − 1

|x − 1|3 + x − α

que ofrece 3 soluciones: x < 0 (L3) 0 < x < 1(L1), y x > 1 (L2). Si ocurre que α 1 lo pun-tos L1 y L2 se pueden aproximar por xeq = 1± 3

α/3.

Linalizando las ecuaciones, esto es r req + δr, esposible estudiar como son las orbitas cercanas a lospuntos de equilibrio y su estabilidad:

δ x = 2δ y + δx + 2Geδx = 2δ y + 9δx (4)

δ y = −2δ x + δy − Geδy = −2δ x − 3δy (5)

δ z = −Geδz = −4δz (6)

La solucion general al sistema lineal es consta de dosautovalores reales (uno positivo y uno negativo) y doscomplejos conjugados puros:

δx = Ae2,50829t + Be−2,50829t + Ccos(2,07159t + D)

δy = −0,54[Ae2,51t − Be−2,51t] − 3,21Csin(2,1t + D)

δz = Ecos(2t + F )

En las orbitas de insercion se busca A 0 para quetrayectoria tienda a una elipse alargada. Cosas im-portantes: Sentido de recorrido horario. Trayectoriasabiertas si hay movimiento en Z . T 1/4π.

10.2. Puntos triangulares.

La solucion G = 1 hace que sean r = 1 y |r − i| =1, por lo que los puntos de libracion de Lagrange sesituan en: x = 1/2, y = ±√

3/2. La linealizacion delas ecuaciones en estos puntos es:

δ x = 2δ y +3

4δx +

3√

3

4(1 − 2α)δy (7)

δ y = −2δ x +9

4δy +

3√

3

4(1 − 2α)δx (8)

δ z = −δz (9)

De tal forma que para garantizar la estabilidad lasraıces del polinomio λ4 + λ2 + 27/4α(1

−α) = 0 de-

beran cumplir Re(λ) < 0. Esta condicion no es otraque buscar λ2 < 0:

1 − 27α(1 − α) = 0 −→ α <1

2−

1

4− 1

27 0,0385

7



11. Problema de Kepler con condiciones de contorno

El teorema de Lambert afirma que el tiempo transcurrido en viajar desde un punto r1 a otro r2 unicamente dependede la distancia entre ambos (c), la suma de las distancias a los focos (r1 + r2) y el semieje de la orbita (a).

t2 − t1 = f (c, r1 + r2, a)

Dados dos puntos y un tiempo de vuelo existen siempre dos soluciones para el problema: Una directa (sentido paralelo

a h) y retrograda (sentido opuesto a h). Ademas si el tiempo objetivo es suficientemente pequeno puede darse que laorbita sea abierta (hiperbolica).

Por el teorema de Lambert se deforma la orbita manteniendo los parametros a, r1 + r2, c constantes (elipse de focos

r1 y r2) hasta conseguir una trayectoria rectilınea ( h = 0, e = 1, p = 0). Como se indico en el tema de Kepler, lasecuaciones estudiadas son validas para esta singularidad.

Se definen las magnitudes adimensionales: q = amin/a (amin = (r1 + r2 + c)/2a), λ2 = (r1 + r2 − c)/(r1 + r2 + c), τ =t

µ/a3min de tal forma que el tiempo de vuelo es:

τ I,II =E 2 − sinE 2 − δ (E 1 − sinE 1)

q 3/2(1)

τ III,IV =

2π

−(E 2

−sinE 2)

−δ (E 1

−sinE 1)

q 3/2 (2)

τ V,V I =sinhE 2 − E 2 − δ (sinhE 1 − E 1)

|q |3/2(3)

Cuando q → 0 se produce el cambio de orbita cerrada a orbita abierta, el tiempo de la directa que marca la transiciones τ 1 = 4/3(1 − δλ3).

Calculo de la velocidad inicial

Una vez obtenido el semieje de la orbita el modulo de la velocidad de partida se obtiene de la ecuacion de la energıa:

v21 = µ

2

r1− 1

a

Entonces se escribe la velocidad como v1 = η( r2 − r1) + ξ r1 de tal forma que:

h = r1 ⊗ v1 = η| r1 ⊗ r2| −→ p = η2| r1 ⊗ r2|2/µ

Luego a los valores mas grandes de η2 se les asignaran las orbitas de parametro grande (I , I I I , I V ) y el valor maspequeno a las orbitas I I , I V , V I .Entonces el sistema a resolver es Aη4 + Bη2 + C = 0 siendo:

A = c2; B =

2Gc · r1

r1− v21

; C = G2; G = µ

r1r2 − r1 · r2| r1 ⊗ r2|2

La velocidad de llegada sera v2 = ηc − G/η( r2/r2)

8

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