M atemtica Financiera aplicadaa la Administracin Pblica JOS ABDNAGO ARVALO NIOMETODOLOGA Y PEDAGOGAISABEL C. GARCA CHAGUENDOEscuela Superior de Administracin PblicaProgramade AdministracinPblica TerritorialNcleoFUNDAMENTACINEscuela Superior de Administracin PblicaDirectorGUIDO ECHEVERRI PIEDRAHTASubdirectora AcadmicaNGELA MARA MEJA URIBEDecana de la Facultad de PregradoELBA ROJAS DE CASTILLOCoordinador de A.P.T.HERNANDO LOAIZA GALLNCorreccin de EstiloAnaMara Guerrero Martnez.Coordinadora Grupo de Grupo de Publicacionesy Recursos EducativosTeresa Gonzlez VelsquezConcepto Grfico y DiagramacinJulio Csar Crdenas Rozo ...Juc@roFotomecnica y MontajeWilliam Gabriel Castillo JimnezImpresinLuisArgemiro Forero TrianaAcabadosGrupo de Publicacionesy Recursos Educativos, ESAPEscuela Superior de Administracin Pblica Jos Abdenago Arvalo NioBogot D.C., mayo de 2004Impreso en ColombiaPrinted in Colombiaresentacin PEste documento forma parte integral del conjunto demdulos preparados por la Escuela Superior de Ad-ministracin Pblica con el fin de desarrollar su Pro-gramadeAdministracinPblicaTerritorialenlamodalidad de Educacina Distancia.De acuerdo con los criterios orientadores de estametodologa y del Programa, el mdulo: Matemti-ca Financiera, busca convertirse en la herramientafundamental y bsica mediante la cual el estudiantede esta modalidad adquiere de manera autnomalosconocimientos y habilidades exigidas dentro de losestndares de calidad establecidos para la EducacinSuperior hoy.En todo proceso educativo el estudiante es el actorprincipal. En la Educacin aDistancia, adems, elestudiante es el responsable fundamental del proce-so, es quin hace uso de su tiempo, capacidad y dis-ciplina en el desarrollo de las actividades tendientes ala adquisicindel conocimiento. La entidad educati-va, por su parte, ofrece y pone a su disposicin losinstrumentosqueacompaanelprocesodeau-toaprendizaje, as como los tutores que reorientan elprocesoacadmico - administrativo que le dan so-porteal Programa en su conjunto.Como entidad educativa que desarrolla programasbajo la modalidad a distancia, la ESAP presenta estosmdulos a sus estudiantes y tutores para que de unamanera coordinada, didctica, pedaggica y creativalos utilicen en su interaccin acadmica hacia el logrode los objetivosde formacin del Programa, y paraque de forma constructiva realicen sus aportes parael mejoramiento de los mismos.Cada mdulo debe ser asumido como un actor msdel proceso educativo y, por ende, como sujeto acti-vo del permanente proceso de autoevaluacin queimplica la bsqueda contina de la calidad acadmi-ca.4Inters15Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaNcleo TemticoFundamentacin6Inters17Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaDel NcleoFundamentacinEl Programa de Administracin Pblica Territorial estconformadopor nueve ncleos temticos, uno delos cuales es: Fundamentacin. El ncleo est cons-truido a partir de los saberes que a manera de instru-mentos el estudiante adquiere de diversas disciplinas,frecuentemente vinculadas a las ciencias exactas, yque proveen el desarrollo del proceso de formacinlas herramientas que facilitan los procesos de forma-cin y de aprendizaje.El ncleode Fundamentacin, est conformado porlos siguientes mdulos de estudio: Matemtica I Informtica I Matemtica II Informtica II Estadstica I Informtica III Estadstica II Matemtica Financiera A. P. T . OkCANlzAClONL3 lCA3 ESPACIO, TIEMPO TEITOIOlN L3lCAClN A3L3OkA CON3OkA kOL lCA lCA kOL lCA L L3 AO L O Lk CL3lONL L3AkkO O N ALN AClON kOLC OL kO kO CCl N l3kl Cl NCON3kCClON L CONOCllLNO Su denominacin y ubicacin curricular en el Progra-ma de Administracin Pblica Territorial es como apa-rece en los siguientes esquemas conceptuales:M M 8Inters19Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaMduloTemticoMatemticaFinanciera10Inters111Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaTABLADECONTENIDOINTRODUCCIONUNIDAD 1INTERESUNIDAD 2INTERES COMPUESTOUNIDAD 3ANUALIDADUNIDAD 4AMORTIZACINBIBLIOGRAFIA12Inters113Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaOBJETIVO DEL MDULO TEMTICOOBJETIVOSESPECFICOSOBJETIVOS GENERALES Facultar a la Administrador Pblico para operar Lastcnicas usualesde la Matemtica Financiera. Dar a los estudiantes las herramientas de manejo delos recursos financieros y fiscales, para que, reconociendo laimportancia y sentido de la interaccin de la Matemtica Finan-ciera con otras disciplinas como Derecho Administrativo, Penaly Civil, se hagan ms competentes y eficientes con lo cual sepuedan optimizar los recursos financieros del sector.Aprehender y aplicar en el manejo financiero y presupuestal de la Administra-cin Pblica Colombiana, las tcnicas de la Matemtica financiera, como elInters Simple, el Inters Compuesto, las Anualidades y la Amortizacin. Enesta perspectivase propender por:* Manejar el concepto de inters en sus diferentes modalidades.* Manejar el concepto de Inters en relacin con las Inversionestemporales de los recursos.* Manejar el concepto de inters en relacin con las acreencias.* Manejar el concepto de inters en relacin con las liquidaciones delas sentencias judiciales en sede administrativa.* Manejar el concepto de series uniformes en sus diferentesmodalidades.* Manejar el concepto de series uniformes en relacin con lasdiferentes modalidades de acreencia.* Manejar el concepto de series uniformes en relacin conla valoracin de las Condenas contra el Estado en sede judicial.* Manejar el concepto de amortizacin en sus diferentesmodalidades.* Manejar el concepto de Amortizacin para la presupuestacin delos valores peridicos de desembolso continuo por prstamosefectuados a favor de las Organizaciones Pblicas.14Inters115Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaMETODOLOGA GENERALEl Programa est diseado bajo la modalidad de Edu-cacin a Distancia, por ello desarrolla procesos deautoformacin, interformacin y seguimiento presen-cial. Por lo tanto a usted comoestudiante le generaretos tales como: la bsqueda de una disciplina deautoestudio, el compromiso por una actitud proacti-va de cambio, la tolerancia en el acercamiento consus compaeros de estudio mediante Equipos de Tra-bajo, y la sabidura para programar su tiempo, e in-corporar este proceso a su proyecto de vida.Teniendo en cuenta, la metodologa a distancia, eldesarrollo de las sesiones presenciales de este Mdu-lo Temtico, ser el Seminario-Taller, en el cual seemplear estrategias pedaggicas como:1. Construccin cognitiva2. Lectura autorregulada3. Elaboracin de mapas conceptuales4. Trabajo en equipo5. Trabajo de grupo6. Socializacin del trabajo de autoe interformacin7. Elaboracin de la bitcora o diariode aprendizaje8. Autoevaluacinde aprendizajes9. Autoevaluacin de construccioneselaboradas en los aprendizajes10. Autoevaluacin de procesos, decisionesy estrategias de estudio.As mismo, las sesiones presenciales se apoyarn conconversatorios, simposios, mesas redondas, estudiosde casos, exposicin de mapas conceptuales, y apli-cacin de las temticas. Las actividades a desarrollar-se en las sesiones presencialesson preparadas y or-ganizadasporelgrupodecoordinadoresdelosequipos de trabajo.La aplicacin de la metodologa incluye:Proyecto de Vida / Proyecto de Futuro/ Proyecto de Grado:Cada estudiante deber tomar los principales elemen-tos y caractersticas para su proyecto de vida en rela-cin conel ejercicio de la Gestin de la Administra-cin Pblica Territorial, elProyecto de Futuro y elProyecto de Grado; de tal manera, que se genere16Inters1coherencia en su quehacer personal y profesional tan-to en el espacio pblico como en el espacio privado.Lecturas Autoreguladas:Cada participante debe elaborar un mapa concep-tual de cada lectura por unidad de acuerdo con labibliografa bsica, y establecer los interrogantes quedesde su conocimiento y experiencia que considereque son los que se deben resolver, en relacin con laproblemticaterritorial de Colombia.Para ello los estudiantes debern tener presente en larelacin lectura - aprendizaje, los siguientes verbos:COMPRENDER, INTERPRETAR, ARGUMENTAR,APLICAR, ELABORAR, DEDUCIR, COMPARAR,DIFERENCIAR, CARACTERIZAR, IDENTIFICAR,DETERMINAR, ESTABLECER, ANALIZAR , SIN-TETIZAR Y PROPONERen la realizacin de los re-smenes de las lecturas. As mismo debern, elabo-rar notas de las lecturas y los comentarios personalesrespectivos.Bitcora o Diario De Aprendizaje:Cada participante debe llevar una bitcora o diario deaprendizaje cuyo objetivo es hacer el seguimiento alas sesionestemticas correspondientes delMdu-lo.La bitcora comprende tambin, la confrontacin queusted realice de lo aprendido en relacin con las dife-rentes actividades de formacin a la luz de los con-ceptos expuestos: Qu aprendi?, Qu no apren-di? Cules fueron las deficiencias conceptuales ymetodolgicas en el desarrollo de las sesiones? Culfue elgrado de complejidad de los textos de lectura,los facilitadores y obstaculizadores en el proceso deaprendizaje, sus fortalezas y debilidades en el mismo,las sntesis analticas o resmenes, los aportes del gru-po, de los compaeros, del tutor, y su interaccincon el grupo y con el equipo de trabajo?Equipos de Trabajo:Los participantes del programa formarn equipos detrabajo integrados por un nmero impar de cinco (5)17Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblicaestudiantes, con el fin de desarrollartrabajos en pe-queos grupos, los cuales se socializaran en el traba-jo de autoformacin. El trabajo de Interformacin ode los equipos, se socializar en el trabajo de Grupoen el desarrollo de las sesiones presenciales tutoria-les.Sesin Presencial Tutorial:Las tutoras constan de treinta y dos (32) horas y sedesarrollan en siete (7) sesiones presenciales: seis (6)sesionesde cinco (5) horas para la socializacin deltrabajo de auto e interformaciny 2 sesiones de 1horapara la socializacin de las evaluaciones.Las tutoras se desarrollan en la modalidad Seminario- Taller. Cuyo objetivo primordial es resolver los inte-rrogantes de los participantes, construir un mapaconceptual, y aplicar los conocimientos a la proble-mtica del municipio o regin, mediante el desarrollode las diferentes actividades de aprendizaje. As, lalabor del tutor en las sesiones presenciales es la dehacer el seguimiento y el acompaamiento de los pro-cesos de autoformacin e interformacin.18Inters119Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaEVALUACIN.La evaluacin es integral, es decir porprocesos. Ten-dr un carcter cualitativo y cuantitativo; As los cri-terios, a tener en cuenta sonlos productos desarro-llados, los aprendizajes obtenidos, la participacin, laasistencia a las sesiones, el inters por el desarrollode los temas, y la relacin con el grupo y con loscompaeros. Sehar Coevaluacin,Autoevaluaciny Evaluacin del tutor.Se emplear la bitcoracomo un instrumento bsi-co en la realizacin de la autoevaluacin. Finalmentela Evaluacin cuantitativa se realizar teniendo encuenta los parmetros establecidospor la ESAP, paraello los estudiantes realizarn un trabajo final escritosobre la valoracin en sede judicial o liquidacin ensede administrativa de condenas contra una entidaddel Estado donde se aplicarn las Matemticas Finan-cieras y el Desarrollo administrativo.20Inters121Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaIntroduccin22Inters1Dentro de la compleja actividad jurisdiccionaldel Estado, es preciso destacar el impactode las condenas contra las entidades de de-recho pblico, por la alta incidencia presupuestal querepresentan los desembolsos causados por ellas.En efecto, los artculos 85, 86 y 87 del Cdigo Con-tencioso Administrativo, establece el marco legal queorienta la valoracin de los perjuicios indemnizablespor concepto del ejercicio formal de las facultadesdel Estado, que se traduce en actos administrativos;o, bien, en desarrollo de hechos que no se expresande manera voluntaria ni solemne por parte de la au-toridad, pero de lo cual no se lo exonera de la res-ponsabilidad que le compete.Los perjuicios ocasionados con motivo de la activi-dad contractual que afecte la integridad patrimonialdel ejecutor, tambin se hallan normativamente esta-blecidos como consecuencia de los efectos que danlugar al pago en que permanentemente incurren lanacin y las entidades territoriales y descentralizadas.En vista de las dificultades tcnicas que la previsinde un criterio tan aleatorio presenta, la legislacin,mediante la ley anual del presupuesto, establece elrubro sentencias judicialmente exigibles comocriterio de necesaria incorporacin, no obstante laincertidumbre asociada a las cifras con que suele cuan-tificrselo.El mdulo desarrolla, la valoracin en Sede Judicial apartir de la sentencia, del laudo o del arreglo concilia-do, y relaciona los principios matemticos con los fi-nancieros que soporta la jurisprudencia con las liqui-daciones ulteriores que se llevan a cabo en las sedesadministrativas obligadas al desembolso.23Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaUnidad 1Inters24Inters125Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaPLAN DE LA UNIDAD1. INTERS1.1. OBJETIVO DIDCTICO.1. INTERS1.1. Concepto.1.2. Clases de inters.1.3.Inters simple.1.4.Inters comercial e inters real.1.5. Aplicacin del inters simple en lo Contencioso Administrativo.1.6. Valor futuro y valor presente.Aprehender el concepto de Inters y aplicarlo al manejo de la finanzas del Estado.26Inters11.2. CONTENIDOSDELAUNIDAD.1.21. CONCEPTUALES. Inters Inversin Acreencias Inters Real Inters Comercial1.2.1. PROCEDIMENTALES. Manejar el concepto de inters en sus diferentesmodalidades. Manejar el concepto de inters en relacin conlas Inversiones Temporales de los recursos. Manejar el concepto de inters en relacin con lasacreencias. Manejar el concepto de inters en relacin conlas liquidaciones de las Sentencias judicialesen sede administrativa. Qu se entiende por inters simple? Cul es la diferencia entre inters real y comercial? De qu variables depende el inters?27Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica Cundo se aplica el inters comercial y el inters real? Es posible relacionar el inters simple con el DerechoAdministrativo y con el Cdigo Penal? Qu tasas de inters son aplicables para la liquidacinde intereses en Sede Administrativa? Qu se entiende por intereses moratorios?1.2.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES.Desarrollo de competencias Cognitivas Operativas en la generacinde habilidades que favorecen el saber hacer para la aplicacin y dise-o de instrumentos.28Inters11.3. ACTIVIDADESDEAPRENDIZAJE.1.3.1. DE AUTOFORMACIN. Motivacin Cognitiva Lectura de la bibliografa bsica. Elaboracin de mapa conceptual de la lectura delesta unidad y de la lectura de la bibliografa bsica. En la bitcora, cada estudiante deber elaborar la definicinde los contenidos conceptualesy procedimentales de lapresente unidad. Elaboracin de la Autoevaluacin1.3.2. DE INTERFORMACIN.Los estudiantes conformaran grupos de trabajo, con los cuales debe-rn socializar las actividades de autoformacin.1.3.3. PRESENCIAL. Presentacin de la unidad yexposicin del mapaconceptual general por parte del tutor. Aclaracin de Conceptos Realizacin de Taller: Aplicacin de la unidad medianteun ejercicio prctico.29Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica1.4. DESARROLLO DE LA UNIDAD IEL INTERSEs la compensacin pagada o recibida por el uso deldinero tomado en prstamo. Este concepto consti-tuye parte del soporte de las finanzas y tiene comoprincipio el clculo y anlisis de la variacin del dine-ro respecto del tiempo.Si depositamos en una cuenta de ahorros de un Ban-co $4000.000 y dentro de 8 meses cancelamos lacuenta el Banco nos entrega $4230.000.- El dinero depositado de $4.000.000 es el capitalinicial o valor presente y lo representamos con K.- La inversin permanece 8 meses; es el tiempo y losimbolizamos con T.El capital inicial (K) es $4.000.000; en ocho meses,ste se convierte en $4230.000 que es el valor futu-ro. Hay una diferenciaentre el valor futuro del dine-ro (F) y el valor presente (K); es lo que se denominainters (I): de donde:I = F KInters es igual al valor futuro menos el capital inicialo valor presente, para nuestro ejemplo:$230.000 = $4230.000 -$4000.000I = F - KEl inters depende de tres variables: El tiempo (T), latasa de inters (i) y el capital (K).TIEMPO: Es el intervalo en que se desenvuelve unaoperacin financiera. El tiempo puede ser exacto oaproximado.Para el tiempo exacto tenemos en cuenta el mes ca-lendario, que puede ser de 28, de 30, o 31 das.Ejemplo: Cuntos das transcurren entre el 20 de oc-tubre del 2002 y el 19 de abril del 2003.Octubre tiene 31 das; como la fecha es el 20 de estemes, le faltan para completar el mes...............................................................................................11das.Noviembre 30 dasDiciembre 31 dasEnero 31 dasFebrero 28 dasMarzo 31 dasAbril 19 das______Total 181 dasRespuesta: Transcurren 181 das30Inters1El tiempo exacto se utiliza en lo contencioso Admi-nistrativo para hacer la liquidacin de las condenasen SEDE ADMINISTRATIVA.Para calcular el tiempo aproximado se supone quetodos los meses tienen 30 das.Ejemplo: Calcular el nmero de meses que hay entreel 13 de febrero de 1996 y el 26 de diciembre del2002.Debemos hacer un cuadro que nos indique da, mesy ao, colocando en la primera fila el tiempo ms re-ciente, y en la segunda el ms lejano, y hacemos larespectiva resta.DIA MES AO26 12 200213 02 199613 das 10 meses 6 aosConvertimos los aos en meses:6 aos x 12 meses = 72 meses; a estos 72 meses lessumamos 10 meses (restar 12 meses 2 meses) ynos da 82 meses; los 13 das debemos pasarlos ameses; como el mes tiene 30 das, dividimos 13 dasentre 30: 13= 0.433, es decir, los 13 das equivalen a 0,433 de mes. 30El total de meses es: 72 + 10 + 0.433 = 82.433meses.En cuanto al tiempo, el inters puede ser: Inters reale inters comercial o bancario.Para el inters comercial o bancario el ao tiene 360das y todos los meses son de 30 das. Por esta clasede inters se rigen todos los establecimientos comer-ciales y bancarios.En el inters real, el ao tiene 365 das, y los mesesson calendario; lo utiliza el Estado para las liquidacio-nes en sede administrativa, ya que el Estado no escomerciante.TASA DE INTERES: Tomemos el caso de tres per-sonas: Nohora, Magdalena y Johanna invierten cadauna $ 100 pesos durante un ao. Al finalizar el ao,Nohora obtiene $124, Magdalena $130, y Johanna$118. Si analizamos esta operacin financiera, vemosque Nohora gan $ 24 por cada $100 invertidos du-rante un ao, y se nota un 24%; Magdalena gan $30 por cada 100 invertidos, se nota 30% y Johannagan 18por cada $ 100 invertidos y se nota 18%.La variacin de estos $100 durante el tiempo (un ao)se nota % (por ciento) y se llama tasa de inters.CAPITAL (K): Para algunos tratadistas, en finanzasse entiende el capital como una suma prestada, pero31Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblicasi depositamos dinero en una cuenta de ahorros esCapital; cuando se condena a una entidad del Estadoa pagar una determinada suma de dinero, a este di-nero tambin se lo denomina Capital.CLASES DE INTERS: Hay dos clases de inters:Inters simple e Inters compuesto.1.4.1. INTERS SIMPLEEjemplo:Conseguimosunprstamopor$10000.000 durante 7 meses pagando una tasa deinters del 3% mensual con la condicin de que alfinal de cada mes debemos desembolsar los intere-ses. Cunto pagamos en total al final de los sietemeses?.Grfica:El prstamo es por 10000.000 y la tasa de intersmensual es del 3%; por concepto de intereses paga-mos $300.000 cada mes.Si observamos la grfica, vemos que el capital es cons-tante ($10000.000) y los intereses tambin perma-necen constantes, debido a que el computo de losintereses se hace con base en el capital inicial.Si el capital no vara y los intereses permanecen cons-tantes, hablamos de: Inters Simple.Al final de los siete meses debemos pagar el capitalinicial (los $10.000.000 del prstamo), ms siete des-embolsos por $ 300.000 (intereses) cada mes.$10.000.000 + 7 (300.000) = $12100.000CapitalInteresesTotalEl inters depende del capital, del tiempo y de la tasade inters.I = C t iDebemos tener en cuenta dos escenarios: Si el inte-rs es comercial, dividimos por 360 y s es real lo divi-dimos por 365.Ejemplo con Inters Comercial:Conseguimos un prstamo bancario por $12700.000durante 276 das pagando una tasa de inters simpledel 26.5% anual. Calcular los intereses pagados.I =K t i 360I = ?K = 1270.000i = 26.5%t = 276I = 1270.000 x 276 x 0,265 360I = $2580.216,67Los intereses pagados ascendieron por $2580.216,67.32Inters1Ejemplo con Inters real:Calcular el inters real que debemos pagar por unprstamo de $11690.000 durante 305 das pagan-do una tasa de inters simple de 28.76% anual.I = ?t = 305K = 11690.000i = 28.76%I = K t i365I = 11690.000 x 305 x 0,2876365I = $2809.379,23Inters real pagado $2809.379,23Ejemplo para la liquidacin en SedeAdministrativa:Mediante sentencia de segunda instancia, ejecutoria-da el 27 de marzo del 2002, el Consejo de Estadoimpone a una entidad oficial el pago de las sumas de$110000.000 y $51000.000 por concepto de per-juicios materiales y morales respectivamente a favorde la persona natural demandante.Para acatar el fallo, la Entidad condenada efecta lacorrespondiente liquidacin hasta el da 27 de juniodel 2002, fecha de resolucin oficial del pago.Si el cheque a que hay lugar se entrega al beneficiarioel 24 de agosto del 2002, se pide:1. Calcular y sustentar el valor correcto del pago.Para la liquidacin de esta sentencia debemos teneren cuenta los siguiente:- La sentencia C 188 del 24 de marzo de 1999, queen uno de sus apartes dice:En cunto al Artculo 177 del Cdigo ContenciosoAdministrativo, a menos que la sentencia que impo-ne la condena seale un plazo para el pago, eventoen el cual, dentro del mismo se pagaron interesescomerciales, los intereses moratorios se causan a par-l

33Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblicatir de la ejecutoria de la respectiva sentencia, sin per-juicio de la aplicacin del trmino de dieciocho (18)meses que el precepto contempla para que la corres-pondiente condena sea ejecutable ante la justicia or-dinaria- Decreto 818 de 1994 (Abril 22), aparte del Artculo3:Se entiende que ha existido pago de una sentencia,una conciliacin, o un laudo arbitral, en la fecha deentrega del cheque al beneficiario o a su apoderado,o de la consignacin en la cuenta depsitos judicia-les- Artculo 305 del Cdigo Penal . Usura. El que reci-ba o cobre, directa o indirectamente, a cambio deprstamo de dinero o por concepto de venta de bie-nes o servicios a plazo, utilidad o ventaja que excedaen la mitad del inters bancario corriente que para elperodo correspondiente estn cobrando los bancos,segn certificacin de la Superintendencia Bancaria,cualquiera sea la forma utilizada para hacer constarla operacin, ocultarla o disimularla, incurrir en pri-sin de dos (2) a cinco (5) aos y multa de cincuenta(50)adoscientos(200)salariosmnimoslegalesmensuales vigentes.Para obtener la suma a pagar por concepto de intersse aplica la siguiente formula:I= K t i 365I = Intereses a reconocer.K = Capital, el cual no vara para el clculo de cadaperodo.i = Tasa de Interst = Nmero de das del perodo.- Las tasas aplicables para la liquidacin de interesessern las certificadas por la Superintendencia Banca-ria; para los intereses comerciales se toma el intersBancario Corriente.- En cuanto al lmite mximo de los intereses morato-rios es preciso tener en cuenta el Artculo 305 delCdigo Penal.Intereses Perjuicios morales y materiales.Fecha de ejecutoria : 27 03 02Capital a Liquidar: $161000.000=Ejemplo para marzo:K = 161000.000T = 4 dasi=20.97%corriente,pormora:20.97%x1.5=31.455%I = K t i 365I = 161000.000 x 4 x 0.31455 365Intereses para marzo: 554.986,8534Inters1INTERESES MORATORIOSINTERESES CORRIENTES 0, INTERESES MORATORIOS $19893.513TOTAL NETO A PAGAR $180893.513Si en el ejemplo anterior la presentacin de los docu-mentos debidamente diligenciados es el 18 de octu-bre del 2002 y la fecha de entrega del cheque al be-neficiario: 13 de noviembre de 2002. Cuanto recibirel beneficiario?Se debe tener en cuenta las normas aplicadas en elanterior ejercicio y adems el Artculo 60 de la ley446 de 1998. Pago de sentencias. Adicinese el Art-culo 177 del Cdigo Contencioso Administrativo conlos siguientes incisos:Cumplidos seis (6) meses desde la ejecutoria de laprovidencia que imponga o liquide una condena o dela que apruebe una conciliacin sin que los beneficia-rios hayan acudido ante la entidad responsable parahacerla efectiva, acompaando la documentacinexigida para el efecto, cesar la causacin de intere-ses de todo tipo desde entonces hasta cuando sepresentare la solicitud en legal forma.En asuntos de carcter laboral, cuando se condene aun reintegro y dentro del trmino de seis meses si-guientes a la ejecutoria de providencia que as lo dis-ponga, ste no pudiese llevarse a cabo por causasimputables al interesado, en adelante cesar la cau-sacin de emolumentos de todo tipo.35Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaSe pagarn intereses por mora del 27 de marzo al 27de septiembre; a partir del 28 de septiembre hasta el18 de octubre cesar el pago de intereses. Del 19 deoctubre al 12 de noviembre intereses por mora.INTERESES MORATORIOS $27872.673,1TOTAL NETO A PAGAR $188872.673,136Inters1Dinero no recibido por la persona natural demandantepor presentar la solicitud extempornea:Septiembre 3 das161.000.000 x 3 x 0.3027 = $400.599,18365Octubre 18 das161.000.000 x 18 x 0.3045 = $2417.646,58365Total dinero no recibido $2818.205,75.El Tribunal Administrativo de Boyac en la fechaEnero 16 de 2002, declar la nulidad de la resolu-cin N 083 de octubre 13 de 2001 expedida por elDirector de una entidad descentralizada del Depar-tamento, por la cual se revoca el nombramiento deNohora Cecilia Jaimes Quintero.Como consecuencia de lo anterior, se ordena a laentidad demandada a reintegrar a Nohora Cecilia Jai-mes Quintero al cargo del cual fue removida o a otrode igual o superior categora y a reconocer y pagartodos los salarios y prestaciones sociales dejados depercibir desde la fecha de su retiro hasta aquella enque efectivamente sea reintegrada al servicio.Que tal providencia qued ejecutoriada el 18 de mayode 2002.Con base en lo anterior:1. Indexar conforme lo seala la frmula delConsejo de Estado (Artculo 178 C.C.A).2. Establecer los intereses moratorios confor-me lo seala el artculo 177 de C.C.A. (Sentencia C-188/99)Informacin adicional:- Salario Neto ao 2001 =$1870.000.- Salario Neto ao 2002 = $1942.000.- Fecha de pago: 26 de agosto de 2002I.P.C. acumuladoOctubre 2001 = 127.291656Noviembre 2001 = 127.440432Diciembre 2001 = 127.595043Enero 2002 = 128.626944Febrero 2002 = 130.281517Marzo 2002 = 131.178597Abril 2002 = 132.401814Inters Bancario Corriente:Mayo de 2002 = 20.00%Junio de 2002 = 19.95%Julio 2002 = 19.77%Agosto 2002 = 20.01%37Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaLas sumas que resultan a favor de la parte actora (No-hora Cecilia Jaimes Quintero), se ajustarn al valor deconformidad con el artculo 178 del C.C.A. (mes ames), hasta la fecha de ejecutoria de la presente pro-videncia, dando aplicacin a la siguiente frmula:R = RH ndice Finalndice InicialEn donde R se determina multiplicando el valor his-trico (RH) que es lo dejado de percibir desde la fe-cha en que dejaron de cancelarse los valores en vir-tud del acto acusado, por el guarismo que resulta dedividir el ndice final de precios al consumidor, certifi-cado por el DANE, vigente a la fecha de ejecutoria deesta providencia, por el ndice vigente a la fecha de ladesvinculacin, teniendo en cuenta los aumentosdecretados durante dicho periodo.El salario del ao 2001 fue de $1870.000oo. NohoraCecilia James fue retirada el 13 de octubre del 2001.1?870.000 x 17 = $1059.666,67 30Correspondiente a 17 das del mes de octubre.Para el ndice de precios al consumidor final se tomael del mes anterior a la ejecutoria, en este caso, el deabril del 2002.R = RHndice finalndice inicialOctubre 1059.666,67 x 132.401814= $1102.207,27 127.291656Noviembre 1870.000 x 132.401814= $1942.8000,95 127.440432Diciembre 1870.000 x132.401814= $1940.446,79 127.595043Enero 1942.000 x 132.401814= $1998.992,70 128.626944Febrero 1942.000 x 132.401814= $1973.605,53 130.281517Marzo 1942.000 x 132.401814= $1960.108,80 131.17859738Inters1Abril $1942.000Total salarios actualizados $12860.162,04Capital a liquidar: $12860.162,04Para establecer los intereses moratorios aplicamos lafrmula:I = k.t.i365Ejemplo: para el mes de mayo.k = 12860.162,04t = 13 dasi = 30%I = 12860.162,04 x 13 x 0.3 365I = $137.409,95El inters Bancario Corriente segn la Superintenden-cia Bancaria para el mes de mayo es 20%, pero comolos intereses son moratorios, multiplicamos el interspor 1.5.(20% x 1.5 = 30%)Capital $12860.162,04Intereses por mora $1045.446,59Valor total por pagar $13905.608,6339Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica1.4.2. VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE ENINTERS SIMPLESi hoy depositamos en una cuenta de ahorro (k) yesta inversin permanece durante determinado tiem-po (8 meses) ganando una tasa de inters (i), al finalla corporacin nos entregar el capital (k) ms el inte-rs (i) ganado por el dinero depositado.El valor que retiramos dentro de 8 meses lo denomi-naremos valor futuro y lo representamos con F, F =k + I.Pero I = k,t.i, reemplazando tenemos:F = k + kti, sacando factor comn:F = k (1+ti)Ejemplo:El tesorero de una entidad territorial deposita un ex-cedente financiero equivalente a $12800.000 duran-te 287 das en una corporacin que paga una tasa deinters del 17.5% anual. Cunto puede retirar al fi-nal de esta operacin financiera?40Inters1k = 12800.000t = 287 dasi = 17.5%F = F = k (1 + ti)F = 12800.000 ( 1 + 287 x 0.175) = $14585.777Dentro de 287 das puede retirar $14585.777Cunto tiempo debe permanecer un depsito de$9450.000 en un banco que paga una tasa de inte-rs del 13.8% anual, si queremos retirar $10000.000de pesos?k = 9450.000i = 13.8%F = 10000.000t = F = k (1 + ti)10000.000 = 9450.000 (1 +t

x 0.138) 36010000.000 = 1 +tx 0.1389450.000 3601.058201058 1 =t x 0.318 3600.058201058 =tx 0.318 360t = 0.058201058 x 360 = 151.820.318Respuesta: 151.82 dasQu tasa de inters gana un inversionista si hoy de-posita$3600.000ydentrode114dasretira$39800.000?F = k (1 + ti)39800.000 = 3600.000 (1 + 114 i)36039800.000 1 = 114i3600.000 3600.105555 x 360 = i 114i = 33,33%En los 114 das gana una tasa de inters simple del33,33%41Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica1.5. AUTOEVALUACIN1. Con base en la siguiente informacin presente la liquidacin debidamente tabulada que le corres-ponde al beneficio legtimo de una condena contra una entidad descentralizada del Distrito Capital. Fecha de fallo de segunda instancia proferida por el Consejo de Estado:Noviembre 14 de 2001. Fecha de ejecutoria: Noviembre 20 de 2001. Valor de la condena: $94300.000. Fecha de presentacin de los documentos debidamente diligenciados: Junio 14 de 2002. Fecha de resolucin de pago: Junio 22 de 2002. Fecha de entrega del cheque al beneficiario: Julio 18 de 2002.2. Un alcalde municipal est interesado en comprar un edificio para funcionamiento de un colegio, lehacen tres propuestas que a continuacin se detallan. Cul es la mejor, si el rendimiento del dineroes del 12% anual?a) 600000.000 al contado y un pagar a 150 das por valor de 32600.000.b) 300000.000 a 120 das y 635000.000 a 180 das.c) 200000.000 al contado y un pagar con intereses del 14% a 130 das.3. Una mquina vale $18000.000 al contado. Un comprador conviene pagar $8000.000 de cuotainicial y el resto a 90 das con un recargo del 4% sobre el precio de contado. Qu tasa de interssimple pag?4. Si el tesorero municipal deposita hoy $18950.000 y dentro de 130 das retira $19246.000. Qutasa de inters gan?5. Un inversionista deposita $10000.000 en una corporacin financiera que paga una tasa de intersdel 11.5% anual, a los dos meses retira $2500.000 y 3 meses despus retira $3400.000. Hallar elsaldo disponible a los 8 meses contados desde la fecha del depsito.6. Si hoy se depositan $8960.000 en una corporacin que paga una tasa de inters del 9.4% anualy posteriormente retiramos $9100.000. Cunto tiempo transcurri entre el depsito y el retiro deldinero?7. Cuntos aos se requerirn para que:a) Una inversin de $10000.000 se convierte en $14700.000 con una tasa de inters simpledel 18.3% anualb) Una inversin de $6400.000 se convierte en $7260.000 con una tasa de inters del 14%anual.42Inters11.6.CONSTRUCCINCOGNITIVACentro Territorial: Nombre del Estudiante: Cdigo:-Equipo: -Temtica: Unidad: -ACTIVIDADES CMO LO HICE?Identificacin del Proyecto de Aprendizaje1. Despus de hacer una revisin del con-tenido del presente captulo, me gustara elaborarun ensayo sobre el siguiente problema, dificultad,amenaza, oportunidad, potencialidad, fortaleza oaspecto de inters, que afecta mi comunidad.2. Dos preguntas que intentar responder-me en ese ensayo son:3. El Ttulo provisional del ensayo que quie-ro escribir es:4. La Utilidad (beneficios a corto plazo) queeste ensayo tendra (para m o para otras perso-nas) es:5. La Importancia (beneficios a largo plazo)que este ensayo tendrapara mi o para otras per-sonas)es:6. El objetivo propuesto en la unidad quems se aproxima a mis intereses es:7. El procedimiento o camino ms razona-ble para alcanzar el objetivo propuesto dela uni-dad es:43Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica8. Las ideas conceptos, que se relacionancon el objetivo propuesto, que yo poseo son:9. Un objetivo que yo quiero lograr con laelaboracin del ensayo es:10. El procedimiento o camino ms razona-ble para alcanzar este objetivo es:11. Algunas ideas o conceptos que poseo yque se relacionancon el objetivo mo son:12. El mapa conceptual que yo tengo sobreestas temticas lo puedo representar as:13. En mi vida diaria yo utilizo uno o ms deestos conceptos as:1.8. BIBLIOGRAFA BSICALos estudiantesdebernconsultar los siguien-tes textos: Matemticas Financiera, CapituloInters Simple.Cdigo Contencioso Administrativo.Cdigo Penal.Tablas de inters de la SuperintendenciaBancaria.1.7.RESULTADODIDCTICOAl finalizar la sesinel estudiante estar en ca-pacidad de APLICAR las herramientas del Inte-rs al manejo de la finanzas del Estado..45Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaUnidad 2Inters Compuesto46IntersCompuesto247Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaPLAN DE LA UNIDAD2. EL INTERES COMPUESTO2.1. OBJETIVO DIDCTICO.2. EL INTERS COMPUESTO2.1. Concepto de inters compuesto.2.2. Tasa nominal y tasa efectiva.2.3. Valor futuro.2.4. Valor presente.2.5. Tasas de inters equivalentes.Aprehender y aplicar el concepto de Inters Compuesto al manejo de las finanzas del Estado.48IntersCompuesto22.2. CONTENIDOSDELAUNIDAD.2.2.1. CONCEPTUALES.* Tasa* Tasa Nominal* Tasa Efectiva* Tasa Anticipada* Tasa Vencida* Valor Presente* Valor Futuro2.2.2. PROCEDIMENTALES. Manejar los conceptos de tasa nominal y tasa efectiva. Diferenciar tasas nominales anticipadas y tasas nominalesvencidas. Definir con claridad el valor futuro y el valor presente.2.2.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES.Desarrollo de competencias socioafectivas simples que posibiliten lageneracin de habilidadesque integran el saber y el saber hacer conel ser como persona para la realizacin de Trabajos en grupo, y laautoevaluacin de procesos.49Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica2.3. ACTIVIDADESDEAPRENDIZAJE.2.3.1. DE AUTOFORMACION. Autoevaluacin Autoevaluacin de Procesos, Decisiones y Estrategiasde Estudio. Lectura de la bibliografa bsica. En la bitcora, el estudiante deber elaborar el glosariode los conceptos claves de esta unidad.2.3.2. DE INTERFORMACION. Los estudiantes por grupos de trabajo, debern ELABORARUNA REFLEXIN SOBRE LA APLICACIN DE LA MATEM-TICA FINANCIERA EN EL MANEJO DE LAS FINANZAS DELESTADO. Los estudiantes por grupos de trabajo debern socializarlas actividades de autoformacin2.3.3. PRESENCIAL. Presentacin de la unidadpor parte del tutor. Exposicin de las actividades de autoformacine interformacin pro grupos de trabajo Aclaracin de conceptos Realizacin de Taller para la aplicacin de los contenidosde la unidad, mediante ejercicios prcticos.50IntersCompuesto251Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica2.4. DESARROLLO DE LA UNIDAD.INTERS COMPUESTOEjemplo:Conseguimos un prstamo por $10000.000 a unatasa de inters de 2.5% mensual durante cuatro me-ses, con la condicin de no amortizar los intereses alfinal de cada mes sino de capitalizarloshasta el final.Cunto cancelamos por el prstamo?Grfica:Si el prstamo es por $10000.000 a una tasa de in-ters mensual es del 2.5%, por concepto de interesespagamos $ 25.000 el primer mes.Si observamos la grfica, vemos que: Capital (K) e in-tereses aumentan a travs del tiempo, debido a queel inters se convierte en capital y a esta operacin ladenominamos capitalizacin.En el inters compuesto hay dos tasas de inters: Tasade inters Nominal y Tasa de inters efectiva.TASA DE INTERS NOMINAL: Es la tasa anual quese capitalizams de una vez al ao.Hablar de tasa Nominal equivale a tasa capitalizable.La tasa Nominal la representamos con J. El nmerode veces que el inters se convierte en Capital se de-nomina Capitalizacin y lo simbolizamos con m.Ejemplo: J = 30% N.M. se lee: una tasadel 30% no-minal mensual, o capitalizable mensualmente. El inte-rs durante el ao se convierte 12 veces en Capital,de donde m = 12.J = 24% NT. Se lee: una tasa anual del 24 por cientonominal trimestral o capitalizable trimestralmente. Elinters durante el ao se convierte cuatro veces enCapital: m = 4.Toda tasa nominal es una tasa anual.J = 24% N. b (Nominal bimestral): m = 6J = 30% N. d (Nominal diaria): m = 360TASA EFECTIVA: Es aqulla que realmente opera so-bre el Capital en un perodo. El perodo puede ser: unao, un mes, un semestre, un trimestre, un da, unasemana o un bimestre.Ejemplo: Un Banco nos concede un prstamo y, noscobraunatasadeintersdel30%N.M.(Nominalmensual). Cual es la tasa efectiva mensual que noscobra la Entidad Financiera?0 123 452IntersCompuesto2La tasa que nos cobra el Banco es una tasa anual(Nominal).Durante el ao el inters se convierte en Capital 12veces (el ao tiene 12 meses).Para saber cul es la tasa de inters de un mes (unperodo) debemos dividir la tasa Nominal entre elnmero de capitalizaciones:J , 30% = 2.5% m12Al dividir la tasa Nominal (30%) entre el nmero decapitalizaciones nos da una tasa del 2.5%, que es latasa de perodo o tasa efectiva mensual.Tasa de perodo es lo mismo que tasa efectiva y lasimbolizamos con i.Conseguimos un prstamo y nos cobran una tasa deinters del 30% NT (Nominal trimestral). Qu tasaefectiva debemos pagar?J = 30% N.T = 0,30 NTDurante el ao hay cuatro capitalizaciones: m = 4; latasa de periodo o efectiva (i ) = j = 0.30 = 7.5%m4efectiva trimestral o tasa de perodo trimestral.2.4.1 VALOR FUTUROEjemplo: Por un prstamo de 10000.000 de pesospagamos una tasa de inters del 18% N.M. duranteun ao. Cunto debemos pagar por el prstamo?.l ~ `

~ El prstamo es de 10000.000 de pesos (K), la tasade inters es del 18% N.M. y el tiempo es de unao; como la tasa de inters es mensual el tiempodebe ser mensual (12 meses). Debemos hallar el valorfuturo para el inters compuesto: F = K (1 + i)n.F = ?K = 10000.000i = J = 0.18 = 1.5% = 0.015 efectiva mensual.m12n = nmero de perodos; en este caso meses 12.F = 10000000 (1.015)12 = 11956.181,71Debemos pagar por el prstamo: $11956.181,71.Consignamos $ 8000.000 en una Corporacin du-rante 2 aos, y nos pagan una tasa de inters del53Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica12% N.T. (nominal trimestral). Cunto dinero retira-mos dentro de 2 aos?El depsito es por 2 aos, pero como la tasa casa deinters es trimestral, debemos convertir los aos entrimestres 8 (2 aos x 4 trimestres).La tasa de inters es Nominal, debemos convertirlaen efectiva:i = J = 0,12= 0.03m 4F = ?i = 0,03n = 8K = 8000.000F = 8000.000 (1.03)8 = $10134.160,652.4.2. VALOR PRESENTESe trata de poner capitales del futuro en pesos dehoy.Ejemplo: Dentro de 10 meses recibo $10000.000.Acuntodineroenpesosdehoyequivalenlos10000.000 de pesos, si la tasa de inters es del 2%efectiva mensual?i = 2% efectiva mensualF = K ( 1 + i)nK = F(1 + i)-nK = F (1 + i) -nn = 10K = ?F = 10000.000i = F (1 + i) n K = 10000.000 (1.02)-10 = $8203.483Financieramente es lo mismo recibir hoy $ 8203.483pesos o $10000.000 dentro de 10 meses, si la tasade inters es del 2,0% efectiva mensual.2.4.3. TASAS DE INTERS EQUIVALENTESTasas equivalentes son aqullas, que, en condicionesdiferentes, producen la misma tasa efectiva anual.Las equivalencias de tasas las podemos hacer: de Efec-tiva a Efectiva, de Nominal a Efectiva y de Nominal aNominal.K = ?54IntersCompuesto2Las tasas de inters pueden ser: vencidas o anticipa-das.Tasa de inters vencida es la que opera al final de unperodo, y anticipada es la que se aplica al principiodel perodo.En lo Contencioso Administrativo se utilizan las tasasvencidas.La tasa efectiva la simbolizamos con i, pero para equi-valencia de tasas debemos representarla con (1 + i)n.Donde n es igual al nmero de perodos, debemostomar, como unidad de tiempo para tasas de intersel ao.Ejemplo: Una Corporacin Financiera nos concede unprstamo y nos cobra una tasa de inters del 34%efectivo anual. Hallar el valor de la tasa efectiva men-sual.Simbologa de la tasa efectiva: (1 + i)n.(1 + i)1Tasa efectiva anual(1 + i)2Tasa efectiva semestral(1 + i)4Tasa efectiva trimestral(1 + i)6Tasa efectiva bimestral(1 + i)12Tasa efectiva mensual(1 + i)360Tasa efectiva diaria.Para el ejemplo debemos comparar dos tasa efecti-vas: Una anual y otra mensual.(1 + i)n = (1 + i)nTasa de inters conocida: (1.34)1Tasa de inters desconocida: (1 + i)12(1 + i)12 = (1+i )1(1 + i)12 = (1.34)1Despejamos i, (1 + i) = (1.34)1/12i = (1.34)1/12 1i = 2,46% efectiva mensual.Si un Banco nos cobra por un prstamo una tasa deinters del 2.5% efectivo mensual, qu tasa efectivaanual y trimestral nos est cobrando?Anual: (1 + i)n = (1 + i)n(1 + i)1 = (1 + i)12(1 + i)1 = (1.025)12.i = (1.025)12 1i = 34,49% efectiva anual.Para la trimestral:(1 + i)n = (1 + i)n.(1 + i)4 = (1 + i)12.(1 + i)4 = (1 + i)1255Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblicai = (1.025)12/4- 1i = 7.69% efectiva trimestral2.4.4. TASA NOMINALESLa tasa nominal la simbolizamos con J, pero para equi-valencias la representamos: (1 + J/m)m, donde m quie-re decir nmero de capitalizaciones al ao.Ejemplo: Un Banco, para hacer prstamos, cobra unatasa de inters del 36% N.M (nominal mensual). Latasa Nominal la representamos as:J=1 + 0.3612. 12J = 24% N.T =1 + 0.244 4J = 24% N.S =1 + 0.242 2 Si el Banco nos exige pagar una tasa del 36% N.M,cul es la tasa efectiva anual?Debemos igualar una tasa nominal con una tasa efec-tiva.(1 + i)n = 1 +Jm m(1 + i)1 =1 + 0.36 1212i = (1 + 0.03)12 1 = 42.57% efectiva anual.Conocida una tasa del 24% N.T, hallar la tasa efectivamensual equivalente.(1 + i)n = 1 +Jm

m(1 + i)12 =1 + 0.244 4(1 + i)12 = (1 + 0.06)41 + i = (1.06)4/12i = (1.06)1/3 1i = 1.96% efectiva mensual.Si i = 2% efectiva mensual, hallar la tasa nominal tri-mestral equivalente.1 +J m= (1+i)n 41 +J 4= (1.02)1241 +J = (1.02)12/4 4 56IntersCompuesto2J = 4 [(1.02)3 1] = 24.48% N.T.V.Si una Corporacin nos cobra una tasa de inters del2.4% efectiva mensual, hallar la tasa Nominal trimes-tral equivalente.1 +J = (1 + i)n m1 +J 4 = (1 + i)12 41 +J 4 = (1.024)124J = 4 [(1.024)12/4 1]J = 39.8% Nominal trimestral vencida.2.4.5. TASAS ANTICIPADASTasa de inters anticipada es aquella que opera al prin-cipio del periodo. Ejemplo: Si solicitamos un prsta-mo por $10000.000 y el banco nos cobra una tasadel 2.5% mensual, pueden ocurrir dos situaciones:que el Banco nos entregue los $10000.000 y noscobre intereses al final del mes (10000.000 X 0.25 =25.000) o nos cobre el inters por adelantado, eneste caso recibiramos $975.000 porque nos descon-tara $25.000 por concepto de intereses. A esto lodenominamos inters anticipado.Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o delPeriodo:NOMINALES son las que se capitalizan ms de unavez al ao. Ejemplo:Una tasa del: 24% N.M.A. se lee una tasa del 24%Nominal mes anticipado. 32% N.T.A. se lee una tasa del 32% Nominal trimes-tre anticipado.18% N.B.A. se lee una tasa del 18% Nominal bimes-tral anticipado.Si dividimos la tasa nominal anticipada (J) entre elnmero de capitalizaciones (m) obtenemos la tasaanticipada del periodo y la simbolizamos con d.Para los ejemplos anteriores:J =24%N.M.A. d = Jd =0.24 d=0.02 anticipada de mes m 12J =32% N.T.A.d =J d =0.32d=0.08 anticipada de trimestre m4J = 18% N.B.A. d = Jd = 0.18 d=0.03 anticipada de bimestrem 62%, 8% y 3% son tasas anticipadas de periodo.57Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaLa simbologa de la tasa nominal anticipada es la mis-ma de la tasa nominal vencida:(1 + J /m)mDonde J es igual a la tasa de inters y m al nmero decapitalizaciones en un ao.Una tasa del 30% N.M.A. se representa1+0.3012

12Equivalencias entre tasas anticipadas y tasas venci-das.Ejemplo: Un banco nos cobra una tasa del 30% N.M.A.Cul es la tasa efectiva anual?Los pasos a seguir son:1. Hallar la tasa anticipada de periodo.J = 30% N.M.A d =J = 0.30 = 0.025m12anticipadadelmes2. La anticipada de periodo se pasa a vencidadel mismo periodo (i)i = d=0.025= 0.0256 efctiva mensual.1-d1-0.0253. Se halla la tasa efectiva anual.(1 + i)n = (1 + i)n(1 + i)1 = (1 + i)12(1 + i)1 = (1.0256)12i = (1.0256)12 1 = 35.43% efectiva anualUna corporacin nos hace un prstamo y nos cobrauna tasa de inters del 32% N.T.A. Cul es la tasaefectiva anual?J = 23% N.T.A.d = 0.32 = 0.8 anticipado de trimestre.4i = d =0.08= 0.0869 efectiva trimestral 1-d1-0.08(1.0869)4 (1 + i)12(1.0869)1/3 = (1 + i)i = (1.0869)1/3 1 = 2,81% efectiva mensualUn prestamista cobra una tasa de inters del 24%N.B.A. Cul es la tasa nominal trimestral vencida?J = 0.24 = 0.04 6i =d=0.04= 0.0416 efectiva bimestral 1-d1-0.04(1 + i)n = (1 + J / m) m(1.0416)6 = (1 + J / 4) 4 58IntersCompuesto2(1.0416) 3/2 = (1 + J/4 )J= 4[(1.0416)3/2 1] = 25.21% N.T.V.Hallar la tasa anticipada de de trimestre equivalenteal 35% efectiva anual.Encontramos la efectiva trimestral.(1 + i)4 = (1.35)1i = (1.35)1/4 1i = 7.79% efectiva trimestralLa efectiva trimestral la convertimos en anticipada delmismo periodo (d) con la frmula: d = i1+ id = 0.0779 = 0.0724 anticipada de trimestre 1.0779Hallar la tasa nominal trimestral anticipada equiva-lente a una tasa del 24% nominal mensual anticipa-da.d = 0.24 = 2%12i =0.02= 0.0204 efectiva mensual.1-0.02(1.0204)12 = (1 + i)4i = (1.0204)3 1 = 6,24% efectiva trimestrald =i = 0.0624 = 5.87% anticipada de trimestre. .1+i 1.06245.87% x 4 = 23.48% nominal trimestral anticipada59Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica2.5. AUTOEVALUACIN1. Cul es la diferencia entre inters simple e inters compuesto?2. Qu es tasa nominal?3. Qu es tasa efectiva?4. Diferencia entre tasa nominal anticipada y tasa nominal vencida?5. Defina el concepto de capitalizacin?6. Cul es la diferencia entre tasa de periodo y tasa efectiva?7. Qu diferencia hay entre tasa nominal y tasa capitalizable?8. Qu se entiende por valor futuro y por valor presente?9. Qu alternativa es mejor para invertir los excedentes de tesorera de una empresa pblica:invertir una cantidad de dinero y duplicarla dentro de 16 meses? o depositarla en una cuentade ahorros que paga el 4.5% mensual?10. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a:a) Al 15% efectiva semestral.b) Al 20% nominal bimestral.c) Al 24% nominal trimestral anticipadad) Al 25% anticipada de ao.11. Qu tasa nominal mensual convierte 970.000 de hoy, en 1430.000 dentro de tressemestres?12. Un acreedor de una empresa descentralizada en liquidacin, acepta que se le pague hoyel 75% de tres pagars a cargo de la entidad; uno por 12 millones de pesos que est vencidohace 16 meses con un inters por mora del 1.9% mensual sobre capital e intereses, otro de 20millones de pesos que venci hace 9 meses, con la tasa de inters por mora del 1.9% mensualy el ltimo por 8 millones de pesos que vence dentro de 6 meses. Si el inters convenido esdel 22% efectivo anual, hallar la suma de dinero recibida por el acreedor.13. Una entidad territorial debe cancelar hoy un prstamo por 40 millones de pesos.El Banco decide incrementar esta suma en un 30% y pide el Municipio que el nuevo saldo seacancelado dentro de 11 meses con un pago nico. Hallar la tasa efectiva mensual que se cobrapor el prstamo.14. Un inversionista tiene 12 millones de pesos para invertirlos en una corporacin que paga unatasa de inters del 24% nominal trimestral vencida. Cunto tiempo tendr que esperarel inversionista para que el valor depositado se duplique?15. Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a:Al 26% efectiva anual.Al 35% anticipada de ao.Al 34% nominal trimestral vencida.Al 4% anticipada de bimestre.Al 31% efectivo anual.60IntersCompuesto22.6. AUTO EVALUACIN DE PROCESOS, DECISIONESY ESTRATEGIAS DE ESTUDIOCentro Territorial: Nombre del Estudiante: Cdigo:Equipo: Temtica: Unidad: FACTORESANLISIS OBSERVACIONES CALIFICACIN1. EFICACIA2. EFICIENCIA3. APROPIACION4. DEBILIDADES Y OBSTACULIZADORES5. FORTALEZAS Y FACILITADORES6. VALORACION DE LA EXPERIENCIAUnavezestudiadayresueltaslaprimeraysegundaunidad,porpartedeustedapreciadoestudiante,deberevaluar(enelformato anterior) los procesos, las decisiones y estrategias de estudio que se implementaron en las actividades de autoforma-cin, interformacin y presencialpara el desarrollo de los mismos. Por lo cual, usted debe: Determinar la Eficacia del Procesode Aprendizaje, valorando el cumplimiento de las actividades y los resultados intermedios del proceso, e indicando su nivel desatisfaccin personal. Determinar la Eficiencia del Proceso de Aprendizaje, valorando los logros alcanzados frente a los recursosutilizados (tiempo, esfuerzo, materiales de estudio) e indicando su nivel de satisfaccin personal. Sealar la apropiacin de lasEstrategias empleadaspara realizarlas actividades del proceso de aprendizaje, valorando hasta qu punto tiene dominiosobre ellas, le despiertan inters, le producen satisfaccin y compromiso y hacen parte de su repertorio cognitivo y le ayudana evitar errores y aumentar las probabilidades de acierto. Determinar las debilidades y los obstaculizadores de orden cognitivo,afectivo o sicomotor que dificultan el cumplimiento del proceso de aprendizaje, sealado algunas vas de solucin. Determi-narlasfortalezasylosfacilitadoresdeordenintrnsecoquehanpermitidoelcumplimientodelprocesodeaprendizaje;Yexpresar el valor que usted concede a la experiencia de esta unidades, en funcin de los logros, los aciertos y los errores. Laescaladecalificacinserlasiguiente:5.0:ExcelenteDesempeo;4.5:Buendesempeo;4.0:Aceptabledesempeo;3.5:Regular desempeo; 3.0: Deficiente desempeo; 2.5: Ineficiente Desempeo.61Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica2.7. RESULTADO DIDCTICOAl finalizar la sesinel estudiante estar en ca-pacidad de APLICAR las herramientas del Inte-rs Compuesto al manejo de la finanzas del Es-tado..2.8. BIBLIOGRAFA BSICALos estudiantesdebernconsultar los captulosInters Compuesto y Tasas equivalentes del libroMatemticas Financiera63Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaUnidad 3Anualidades64Anualidades365Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaPLAN DE LA UNIDAD3. ANUALIDADES3.1. Concepto de anualidad.3.2. Anualidades vencidas.3.3. Anualidades anticipadas.3.4. Refinanciacin de la deuda.3.5. Distribucin de una cuota.3.6. Anualidades diferidas.66Anualidades33.1. CONTENIDOSDELAUNIDAD.3.1.1. CONCEPTUALES. Anualidad Anualidad Anticipada Anualidad Vencida Anualidad Diferida Refinanciacin Distribucin de una Cuota Valoracin de Perjuicios Materiales3.1.2. PROCEDIMENTALES. Aplicar los conceptos mediante la realizacin de ejerciciosprcticos relacionados con el ejercicio de la Administracin PblicaColombiana. Determinar y aplicar los conceptos de anualidad estableci-dos por el Consejo de Estado Determinar y aplicar el concepto de ndices de Precios alConsumidor Determinar y aplicar la Tabla de Esperanza de Vida.3.1.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES.Desarrollo de Competencias Gerenciales y de Gestin, en el desa-rrollo de habilidades para integrar el saber y el saber hacer con el serpara la aplicacin de ejercicios simulados.67Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica3.2. ACTIVIDADESDEAPRENDIZAJE.3.2.1. DE AUTOFORMACION. Elaboracin de la Autoevalucin de la unidad Elaboracin de la Autoevaluacin de aprendizajes ocambios experimentados. Lectura de la unidad 3, y dela bibliografa bsica. Elaboracin de los conceptos claves en la bitcora.3.2.2. DE INTERFORMACION.Los estudiantes por grupos de trabajo debern socializar lasactividades de autoformacin.3.2.3. PRESENCIAL. Presentacin de las actividades de autoformacin porparte de los estudiantes Aclaracin de conceptos por parte del tutor Realizacin de Taller para aplicar lo aprendido en launidad tercera.68Anualidades369Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica3.4. ANUALIDADESEjemplo:Consignamos en una cuenta de ahorros $180.000 alfinal de cada mes durante siete meses. Si la Corpora-cin, nos paga una tasa de inters del 1.5% efectivomensual. Cunto podemos retirar durante de sietemeses?I = 1.5% efectiva mensualSi observamos la grfica, vemos que los depsitosson iguales (180.000) los intervalos de tiempo tam-bin lo son y la tasa de inters est expresada en por-centaje mensual equivalente a las unidades de tiem-po. Por reunir estas caractersticas definimos estoperacin financiera como una anualidad o serie uni-forme..En est operacin financiera intervienen varios ele-mentos, a saber:- Los depsitos (180.000) los representamos con R.- El nmero de veces que efectuamos los depsitos,lo representamos con n.- La tasa de inters que en este caso es del 2.5%mensual, la representamos con i.- El valor futuro (F) o el valor presente (P) segn laclase de operacin financiera.Si consignamos $ 180.000 al final de cada mes, y es-tamos pensando en un ahorro para dentro de sietemeses, en este caso es el valor futuro de una Anuali-dad.Para saber cunto podemos retirar dentro de sietemeses, debemos aplicar la siguiente formula:F = R (1 + i)n 1iF = Valor futuro de una AnualidadR = Valor de cada depsitoh = Nmero de perodosi = Tasa de inters del perodo o efectivaReemplazando:F = ?R = 180.000n = 7i = 1.5% efectivo mensualF = 180.000 (1.015)7 1=$1318.138,96 0,015Dentro de siete meses se puede retirar $1318.138,96A un empleado le consignan el sueldo en una cuentade ahorros que paga una tasa de inters del 14% efec-tiva anual, los depsitos mensuales ascienden a $500.000. Cunto puede retirar dentro de 12 meses?Como los perodos son meses y la tasa de inters esanual, debemos convertir las tasa efectiva anual entasa efectiva mensual. 70Anualidades3(1 + i)n = (1 + i)n(1 + i)12 = (1 + i)1(1 + i)12 = (1.14)1i = (1.14)1/12 1i = 1.097% efectiva mensualR = 500.000i = 1.097% efectiva mensualn = 12F = ?F = 500.000 (1.01097)12 1 = $6375.5800,01097Dentro de doce meses se puede retirar $ 6375.580Valor presente de una Anualidad.Un concesionario vende canos de acuerdo con lassiguientes condiciones: sin cuota inicial, tasa de inte-rs del 1,2% efectiva mensual y 12 cuotas mensualesiguales cada una de $ 1200.000 . Calcular el preciode contado. Si compramos el carro asumimos una deuda, la deu-da disminuye nuestro Capital, y debemos traer todoslos valores (12 cuotas), al momento cero, a esto lodenominamos valor presente.71Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaEl valor presente es lo que costaran las 12 cuotas de1200.000 pesos cada una en pesos de hoy.Para hacer este clculo debemos traer a valor pre-sente esta Anualidad, aplicando la siguiente frmula:P = R1 (1 + i)-n iP = Valor en pesos de hoy de las 12 cuotas mensua-lesR = Valor de cada una de las cuotasn = Nmero de pagosi = Tasa efectiva o tasa del perodoP = ?R = 1200.000n = 12i = 1,2% Efectiva mensualP = 1200.000 1- (1.012)-12

= $13336.976,84 0,012 El carro de contado nos cuesta $ 13336.976,84 pe-sos.Las anualidades o series uniformes teniendo en cuen-ta la forma en que se estipule el pago o cuota suelenser: vencidas o anticipadas. Vencidas cuando el pagoo cuota se paga al final del periodo y anticipadas cuan-do se hace el pago al comienzo del periodo.Ejemplo:El ordenador del gasto municipal deposita en unacuenta de ahorros $ 1400.00 al final de cada mesdurante 7 meses. Si la tasa de inters que paga laentidadfinancieraesdel1.3%efectivamensual,cunto dinero recibe al final del ltimo mes?Es una serie vencida por que los depsitos se hacenal final de cada mes.R = 1400.00n = 7mesesi = 1.3% efectivo anualF = R (1+i)n 1iF = 1400.00 (1.013)7 1 = $10190.589,45 0.013Si el ordenador del gasto municipal hace los mismosdepsitos al principio de cada mes y durante el mis-mo tiempo, qu cantidad recibe dentro de siete me-ses?Como los depsitos los hace al principio de cada mes,a esta operacin financiera la denominamos serie an-ticipada. 72Anualidades3R = 1400.00n = 7i = 1.3%F = El valor futuro de una serie vencida los representa-mos con la frmula:F = R (1 + i)n 1 iSi queremos convertirla en valor futuro de una serieanticipada, le agregamos (1 + i)1, la frmula ser:F = R(1 + i)n -1 (1 + i)1iF = 1400.00 (1.013)7 1 (1.013)1 = $10323.0670.013Es ms favorable para el ordenador del gasto munici-pal consignar al principio de cada mes ($10323.067)ya que si las consignaciones las efecta al final delperiodo reunir $10190.589.$ 10232.067 $ 10190.589 = $132.478 diferen-cia entre depsitos dinero al final de cada periodo yprincipio del mismo periodo.Un municipio consigue un prstamo por 38 millonesde pesos, se compromete a pagarlo mediante 24 cuo-tas mensuales iguales en forma anticipada. Si la tasade inters que cobra el banco es del 1.5% efectivomensual. Calcular el valor de las cuotas mensuales.Como es una deuda, se aplica la frmula para halla elvalor presente de una serie uniforme:P = R 1 (1 + i)-n i el municipio se compromete a pagar las cuotas al prin-cipio de cada mes, el algoritmo que debemos utilizares:P = R 1 (1 + i)-n(1 + i)1iP = 38000.000n = 24I = 1.5%R = 38000.000 = R1 (1.015)-24(1.015)10.015R = 1869.079,68El municipio debe pagar 24 cuotas mensuales de1 869.079,68 cada una.Si en el ejemplo anterior el municipio paga las cuotasal final de cada mes, cul ser el valor de cada cuo-ta? 73Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblicasi las cuotas se pagan al final de cada mes es unaserie vencida.P = 38000.000n = 24i = 1.5%R = 38000.000 = R 1 (10.015)-24 = $1897.115,870.015Si las cuotas se pagan al final de cada mes, el valor decada una es $1897.115,87.Con el fin de modernizar y ampliar la cobertura de losservicios pblicos, un municipio consigue un prsta-mo por 1200 millones de pesos a Findeter modalidaddecofinanciacinparapagarlosdurante10aosmediante cuotas mensuales vencida pagando una tasade inters del 1.5% E.M. Despus de pagar la cuota80 debido al sobredimensionamiento burocrtico, el municipio pide a Findeter le financie la deuda 6 aosms. Findeter acepta la financiacin pero la condicio-na a una nueva tasa de inters del 1.8% E.M. Se pide:1. Calcular el valor de las cuotas refinanciadas.2. El saldo de la deuda despus de habercancelado la cuota refinanciada nmero 48.3. El total de intereses pagados de la deudarefinanciada hasta la cuota 48.Calculemos la cuota ordinaria del crdito inicial.P = 1200R = n = 120i = 1.5% E.M.1200000000 = R 1 (1.015)-1200.0151200000000 R 55.49845411R =1200000000= $21622.223,89 55.49845411Valordecadaunadelas120cuotasmensuales$21622.223,89.Para refinanciarla deuda despus de pagar la cuota80 debemos hallar el saldo de la deuda.74Anualidades3Nmero de cuotas que faltan por cancelar: 120 80= 40n = 40R = 21622.223,89i = 1.5% E.M.P = P = 21622.223,89 1 (1.015)- 40 0.015Saldo de la deuda $646847.103.El saldo de la deuda se debe refinanciar a 6 aos (72meses) a una tasa de inters del 1.8% E.M.p = 646847.103n = 72i = 1.8% E.M.R = 646847.103 = R 1 (1.018)- 72 0.018R = 16099.537,12 es el valor de cada una de las 72cuotas refinanciadas.Si queremos saber el saldo de la deuda despus dehaber cancelado la cuota refinanciada nmero 48,debemos determinar el nmero de cuotas que nosfaltan por pagar.72 48 = 24 cuotas que no hemos pagado. n = 24R = 16099.537,12i = 1.8%P = P = 16099.537,2 1 (1.018)- 24 = $ 311518.519,30.018El saldo de la deuda despus de haber cancelado lacuota refinanciada nmero 48 es de : $311518.519,3a) El abono a capital.Saldo de la deuda final refinanciada (cuota 48) menossaldo inicial deuda a refinanciar.646847.103 311518.519,3 = $ 335328.583,7Se abon a capital $ 335328.583,7b) El total de desembolsos. 75Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaSe cancelaron 48 cuotas cada una por un valor de $16099.537,12Valor total 16099.537,12 x 48 = $772777.781,80Intereses pagados = total desembolsos abono ca-pital.772777.781,80 335328.583,7 = $ 437449.198,1Total intereses pagados $437449.198,1Un municipio consigue un prstamo por 80 millonesde pesos para pagarlo durante 5 aos mediante cuo-tas mensuales (iguales) vencidas, pagando una tasade inters del 1.4% efectivo mensual. Se pide:1. Hallar el valor de la cuota mensual.2. La distribucin de la cuota nmero 40 (queparte de la cuota amortiza capital y que parte va hapagar intereses)P = 80000.000n = 60 mesesi = 1.4% efectiva mensualR = 80000.000 = R 1-(1.014)-60 0.04 R = 1979.613El valor de la cuota mensual es de $ 1979.613.Si queremos hallar la distribucin de la cuota nmero40, debemos hallar el saldo de las deudas despus dehaber cancelado la cuota nmero 39.60 cuotas 39 cuotas = 21 cuotas nosfaltan por pagar.n = 21R = 1979.613i = 1.4%P = P = R1-(1+i)-niP = 1979.6131-(1.014)-21 = $35803.046,830.014El saldo de la deuda despus de cancelar la cuota 39es de $35803.046,83.Para calcular los intereses que debemos pagar en lacuota cuarenta, se debe tener en cuenta el saldo deladeudadelperiodoanterior(39)queesde$35803.046,83 y aplicarle la tasa de inters del 1.4%35803.046,83 x 0.014 = $501.242,66Intereses $501.242,66 76Anualidades3Como todas las cuotas son iguales entonces la cua-renta es de 1979.613Cuota Inters = Ahorro capital1979.613 501.242,66 = $1487.370,34Ahorro a capital $1 478.370,34La cuota nmero 40, ahorra a capital $12487.370,37y $501.242,66 a inters.En porcentaje:Ahorro a capital 1487.370,34 73.16%Inters501.242,63 26,84%Cuota 1979.613,00100,00%Por cada $100 que se paguen de la cuota cuarenta,73.16 pesos amortizan deuda y 26.84 pesos van apagar intereses.Cuantasconsignacionesde$1783.650debeha-cer el ordenador del gasto pblico al final de cadames en una corporacin que cobra una tasa de inte-rs del 1.6% efectiva mensual, para cancelar unadeuda de $24000.000.P = R1-(1+i)-n i24000.000 = 1783.650 1-(1.016)-n 0.01624000.000 = 1-(1.016)-n1783.6500.01613.45555462 = 1-(1.016)-n 0.01613.45555462 =X 0.016 = 1-(1.016)-n 0.2152888739 1 = -(1.016)-n-0.7847111261 = -(1.016)-nMultiplicando por menos 1 (-1)0.7847111261 = (1.016)-nLog 0.7847111261 = -n log 1.016-n = log 0.7847111261 log 1.016-n = -15.27n= 15.27El ordenador del gasto municipal debe hacer 15 con-signaciones por valor de 1783.650 cada unaCuntos depsitos de 484.000 se deben efectuaral final de cada trimestre en una corporacin quepaga una tasa de inters del 11% anual para reunir$2600.000?77Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaComo pensamos ahorrar, hablamos de valor futuro.F = R1+i)n-1; debemos trabajar con tasa mensuali (1.11)1= (1+i)12i = 0.873%2600.000 = 484.000(1.00873)n-10.008732600.000 = (1.00873)n-14840000.008730.04689669421 = (1.00873)n-11.04689669421 = (1.00873)nlog 1.04689669421 = n log 1.00873n = log 1.04689669421log 1.00873n = 5.27 Se deben hacer 5 depsitos de $484.000Una entidad nacional compra materia rima por 70millones de pesos para pagarlo mediante cuotas men-suales vencidas durante dos aos con la condicin deque la primera cuota se pague dentro de cinco me-ses. Si la tasa de inters es del 2.3% efectivo mensual,calcular el valor de las cuotas mensuales.El primer pago se realiza seis periodos despus depactada la operacin financiera.El precio actual de la materia prima es de 70 millones.La anualidad es vencida, dentro de cinco meses elprecio de la materia prima ser:70000.000 (1.023)5 = $78428.915,32P = 78428.915,32n = 24i = 2.3%R = ?P = R 1 (1 + i)-ni78428.915,32 = R 1 (1.023)-24 0.023R = 78428.915,3218.28659108 78Anualidades3R = 4288.875,66El valor de cada cuota mensual es de $4288.875,66.Un alcalde municipal se compromete a pagar 36 cuo-tas de $900.000 cada una al final de cada mes porla compra de un carro para servicio de la entidadterritorial. El concesionario le cobra una tasa de in-ters de 29% efectivo anual, y le da la oportunidadde cancelar la primera cuota dentro de un ao. Parahacer frente a esta obligacin el burgomaestre deci-de comprar ganado vacuno de levante y colocarlo endehesas propiedades del municipio. Se pregunta:Cunto debe invertir el alcalde en ganado vacunoen pesos de hoy?(1 + i)n = (1 + i)n(1 + i)12 = (1 .29)1i = (1.29) - 1i = 2,14% efectivo mensual.P = R 1 (1 + i)-n (1 + i)-n i900.00 1 (1.0214)-36 (1.0214)-110.0214P = 17771.147,45 El alcalde debe invertir $17771.147,45 en ganadovacuno.Una compaa es concesionaria de la explotacin deun hotel, por 10 aos contados desde su inaugura-cin, este ser puesto en servicio dentro de 9 meses.Se estima que los ingresos netos mensuales sern de$8600.000. Si la tasa de inters es del 6% efectivatrimestral, hallar el valor actual de los ingresos ne-tos. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 36 79Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaP = R 1 (1 + i)-n (1 + i)-n i(1.06)4 = (1 + i)1i = (1.06)1/4 1i = 1.46% efectivo mensualn = 120i = 1.46%R = 8600.000p = P = 8600.000 1 (1.0146)-120

(1.0146)-8 0.0146P = 8600.00 (56.4631906)(1.0146)-8P = $432419.233,8 Elvaloractualdelosingresosnetosesde$432419.233,8.El Consejo de Estado aplica las frmulas de lasAnualidades para determinar el valor de las in-demnizaciones por perjuicios materiales.Al Algoritmo F = Ra (U + i)n 1 iEl Consejo de Estado lo denomina Anualidad Conso-lidada o vencida y a la frmulaP = Ra 1 (1 + i)-nla llama anualidad Futura o Anti-icipada.Para Carlos Betancur Jaramillo se utiliza la AnualidadConsolidada o vencida:Ra (U + i)n 1,para determinar la indemniza- icin configurada por la suma delas mesadas o anualidades que debieron pagarse enel perodo comprendido entre la fecha del acaecimien-to del perjuicio y la de la ejecutoria de la sentencia.De donde:F = Suma que se busca (condena) o indemnizacinvencida.i = Tasa de inters puro o tcnico 6% anual (Artculo1617 del Cdigo Civil)Como las cuotas o pagos son mensuales, debemosconvertir la tasa efectiva anual en efectiva mensual.(1 + i)n = (1 + i)n(1 + i)12 = (1 + i)1(1 + i)12 = (1.14)1i = (1.06)1/12 1i = 0.4867% Efectiva mensual = 0,4687 = 0.004867100Ra = cuota mensual actualizada. 80Anualidades3La cuota debe ser actualizada para poder procederen concordancia con el Artculo 178 del Cdigo Con-tencioso Administrativo.La indemnizacin futura o anticipada:P = Ra 1 (1 + i)-n, se utiliza para determinarIla indemnizacin,en el perodo comprendido entre la fecha del falloque reconoce el perjuicio y la determinacin de lavida probable del damnificado o de la vctima, segnel caso, tomando siempre la vida probable menor. Enel caso de hijos menores que deban ser indemniza-dos la condena ir hasta su mayor edad.n = Nmero de mesesRa = Cuota actualizadai = Tasa efectiva mensual (0,4867%)P = Valor de la indemnizacin futura o anticipada.Ejemplo:Con los siguientes trminos de referencia calcule elvalor de la condena debidamente indexada a cargodel Ministerio de Transporte en desarrollo de la ac-cin establecida en el Artculo 86 del C.C.A. inter-puesta por los herederos legtimos del Seor HELIOBURGOS SNCHEZ, quien muri atropellado por unvehculo de la mencionada entidad pblica, el 16 deJunio de 1996:Fecha de ejecutoria de la sentencia de segunda ins-tancia: Junio 21 de 2002. Ingresos probados del causante:$900.000 mensua-les por concepto de salarios. EL AD QUEM concedi,adems, el 25% a ttulo de carga prestacional, canti-dad solicitada por el actor en la demanda y que le fuedenegada en primera instancia.Los perjuicios morales se fijaron jurisprudencialmen-te en 45 salarios mnimos mensuales para cada unode los familiares arriba relacionados.Para efectos de la esperanza de vida, utilice la tablade la Superintendencia Bancaria.81Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaDESARROLLO1. Incremento y actualizacin del salario.El salario se incrementa en el 25% correspondiente ala carga prestacional.900.000 (1.25) = 1125.000Actualizacin = Valor Histrico ndice Final (Mayo 2002)ndice Inicial (Junio 1996)Para los ndices se debe tomar el I.P.C. acumulado delrespectivo mes.A = 1125.00013.240.102= 2195.770,77 68.265.375Superior al salario mnimo mensual legal vigente en lafecha del fallo.2. Distribucin del salario.Del valor del salario, el causante destinaba el 25%para su cngrua subsistencia.2195.770,77 x 0.25 = $ 548.942,692195.770 548.942,69 = $ 1646.828,078la suma de $ 1646.828,078 se distribuye as: 50%para el cnyuge Suprstite y el 50% restante entre loshijos menores por partes iguales.Para la Cnyuge Suprstite 1646.828,078 x 0.50 =$823.414,039Para cada de los 3 hijos menores823.414,039 = $ 274.471,343Para LUIS BURGOS ARDILA $274.471,34Para ANA BURGOS ARDILA $274.471,34Para ANTONIO BURGOS ARDILA $274.471,343. ESPERANZA DE VIDA (43 aos) Esposasegn tabla de la Superintendencia BancariaHELIO BURGOS SNCHEZ (43 aos) E = 33.99 aosINS ARDILA DE B. (38 aos) E = 40.16 aosE= Esperanza de VidaSe toma la menor ESPERANZA DE VIDA 33.99 aosINS ARDILA DE BURGOSIndemnizacin consolidad o vencida.Desde 16 06 96 hasta 21 06 2002Da MesAo21 06 2002 6 aos, 5 das16 06 1996 2165 = 72,16 meses0503082Anualidades3Ra = 823.414,039n = 72,16i = 0,4867%F = ?823.414,039(1004.867)72.16 1 = $ 70983.380,71 0.004867Indemnizacin vencida...... $ 70983.380,71Indemnizacin Futura o Anticipada.Horizonte de la liquidacin (33.99) x 12 = 407,88meses407,88 72,16 = 335.72 meses.823.414,039 1 (10048675)-335.72 = $ 136026.203,8 0.0048675Indemnizacin Futura o Anticipada ........... $136026.203,8Total perjuicios materiales ......................... $207809.584,5LUIS BURGOS ARDILAFecha en que cumple 18 aos 23 11 - 97Horizonte de la liquidacin: 17.43 mesesDaMes Ao23111997 1 ao, 5 meses, 13 das1606199613 5 1Indemnizacin consolidada274.471,34(10048675)17.43-1= $ 136026.203,8 0.0048675Total perjuicios materiales ............. $ 4980.206,70 ANA BURGOS ARDILACumple 18 aos14 12 99Da MesAo44 1114 121999 3 aos, 5 aos, 28 das16 06 199628503 1528 = 41.93 meses30Indemnizacin consolidada274.471,34

(10048675)41.93-1= $ 12732.916,390.0048675Total Indemnizacin Consolidada $ 12732.916,39 83Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaANTONIO BURGOS ARDILACumple 18 aos 12 11 01Da MesAo42 1012 1120015 aos, 4 meses, 26 das16 061996 1996264 5 30= 64.86 meses274.471,34(10048675)64.86-1= $ 20873.769,61 0.0048675Total perjuicios materiales $ 20873.769,61 Determinar el valor por el cual debe librar la enti-dad nacional condenada el cheque correspondientede acuerdo con la sentencia del Consejo de Estadode febrero 26 de 2002 dentro de la Accin de Repa-racin Directa promovida por los sucesores del seorIvan Ros Jaimes, de 45 aos de edad, cuyo decesoinstantneo tuvo lugar el 4 de agosto de 1995 comoconsecuencia de las fracturas mltiples que, al arro-llarlo, le ocasion el vehculo oficial conducido por unfuncionario al servicios de la Personera Jurdica deDerecho Pblico responsable del hecho lesivo.Para resolver, considrese los siguientes elementosextractados de la sealada Providencia: Total de ingresos mensuales del causante porconcepto de salarios conforme con certificacin opor-tunamente allegada al proceso de primera instancia:$210.000oo. Por peticin expresa de la parte actora, lasuma as establecida se incrementar en un 25% con-cerniente a la carga prestacional. Las fechas de nacimiento de la cnyuge su-prstite y de los tres hijos comunes del matrimonio,celebrado conforme a los rituales de la iglesia Catli-ca, se presenta a continuacin.El valor de la condena asciende a $301476.477,384Anualidades3 Aunque el tribunal de origen no orden laactualizacin del salario debengado por el seor IvnRos Jaimes por no haberse solicitado en el escrito dedemanda, el Consejo de Estado decide concederlade oficio de acuerdo con los lineamientos jurispru-denciales de esa Corporacin (vanse, entre otrassentencias, el expediente 10.652 de 16 de julio de1998, Consejero ponente Ricardo Hoyos Duque. Con-sejo de Estado; expediente 8.020 de 27 de octubrede 1994, Consejero ponente Daniel Surez Hernn-dez) Reconoce el Adquem 40 salarios mnimosmensuales legales vigentes a la seora Dora Luz ZeaRoa y 20 salarios mnimos mensuales legales vigentesa cada uno de sus tres hijos por concepto de perjui-cios morales. Por lo dems, precdase de acuerdo con loscriterios de valoracin adoptados por el Consejo deEstado para calcular el monto de la condena a cargode la Entidad Pblica.INFORMACIN ADICIONAL Fecha de ejecutoria de la sentencia: marzo22 de 2002. Fecha del pago en sede administrativa:agosto 30 de 2002.DESARROLLOa) INCREMENTO Y ACTUALIZACIN (DE OFI-CIO) DEL SALARIO- Se incrementa en el 25% correspondiente ala carga prestacional.(210.000)(1.25) = 262.500-Actualizacin = VALOR HISTORICO ndice Final (feb-2002)ndice Inicial (Ag.-1995)A = 262.500 130,281517 = (262.500)(2.252541527)57,837565A = 591.292,150,9 (Superior al salario mnimo men-sual legalvigente en la fecha del fallo).b) DISTRIBUCIN DEL SALARIODe ese valor , el causante destinaba el 25% para susubsistencia:591.292,1508(591.292,1509)0.25= 591.292,1509 (1-0.25)= 591.292,1509 (0.75) = $ 443.469,1132Esa ltima suma se distribuye as: 50% para la cnyu-ge suprstite y el 50% restante entre los hijos meno-res, por partes iguales.85Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaPara la cnyuge suprstite: (443.469,1132)50% =$221.734,5566Para cada uno de los 2 hijos menores: 221.734,55662Para ngel Ivn Ros Zea:=$ 110.867,2783Para Luz Mery Ros Zea:=$110.867,2783TOTAL POR DISTRIBUIR: =$443.469,1132c) ESPERANZA DE VIDA (SEGN TABLADE MORTALIDAD DE LA SUPERINTENDENCIABANCARIA)Ivn Ros Jaimes (45 aos): e 45x = 32.16 aosDora Luz Zea Roa (47 aos) : e 47y = 31.89 aosSe toma la menor esperanza de vida = 31.89 aosd) LIQUIDACINDELINTERSLEGAL,PURO O TCNICO (0.06 EFECTIVO ANUAL =0.0048675 EFECTIVO MENSUAL).Fecha focal o de referencia = Fecha de fallo: 26-02-2002a) DORA LUZ ZEA ROA:Horizonte de la liquidacin: (31.89)12 = 382.68 me-sesINDEMNIZACINDEBIDAOCONSOLIDADA(I1)21212.653,29desde 4-08-1995 hasta 26-02-2002I1= 221.734,5566 (1,0048675)78,7333-1=1212.653,290.0048675INDEMNIZACINFUTURAOANTICIPADA(I1)$35141.366,35(382,68 78,7333 = 303,9467 MESES)I2 = 221.734,5566 1 (1,0048675)-303,9467 =$ 5141.366,35TOTAL PERJUICIOS MATERIALES (I1 + I2) =$56354.019,64b) NGEL IVN ROS ZEAFecha en que cumple los 18 aos: 23-03-199723-03-1979+ 1823-031997Anterior a la fecha del fallo.86Anualidades3Horizonte de la liquidacin: 19,6333 mesesSLO INDEMNIZACIN DEBIDA O CONSOLIDADA(I1)...2278.282,972110.867,2783 (1,0048675)19,6333-1 = $ 2278.282,972 0.0048675TOTAL PERJUICIOS MATERIALES (I1) =$2278.282,972c) LUZ MRY ROS ZEAFecha en que cumple los 18 aos: 11-06-2003Horizonte de la liquidacin: 94,2333 meses.87Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaINDEMNIZACINDEBIDAOCONSOLIDADA(I1).$10606.326,64Desde 4-08-2002 hasta 26-02-2002110.867,2783 (1.0048675)78,7333-1 = $ 10606.326,640.0048675INDEMNIZACINFUTURAOANTICIPADA(I2)..1651.351,61(94,2333 78,7333 = 15,5 MESES)110.867,2783 1 - (1.0048675)-15.5 = 1651.351,61 0.0048675TOTAL PERJUICIOS MATERIALES (I1 + I2) =$12257.678,2588Anualidades3LIQUIDACIN DE INTERESES EN SEDE ADMINIS-TRATIVAFecha de ejecutoria: Marzo 22 de 2002Fecha de pago: Agosto 31 de 2002Capital: 101789.980,90PAGO TOTAL EN SEDE ADMINISTRATIVA = $115391.911,103.5. AUTOEVALUACIN1. Qu se entiende por anualidad?2. Qu es una anualidad vencida?3. Cundo hablamos de anualidad anticipada?4. Cules son las caractersticas de una anualidad?5. Cmo define el Consejo de Estado anualidad consolidad o vencida y futura o anticipada?6. Qu es el ndice de precios al consumidor y para que se utiliza?7. Qu es la tabla de esperanza de vida?Total intereses monatorios89Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica8. Un colegio oficial de un municipio con 1200 estudiantes necesita laboratorios de Fsica, Qumi-ca e Idiomas. El costo de esta inversin es por $460.000.000. Para conseguir este objetivo el AlcaldeMunicipal y el Rector del Colegio constrien a los estudiantes para que cada uno haga un aporte al finalde cada mes por valor de $10.000. El dinero es depositado en una cuenta de ahorros que paga una tasade inters del 2% E.M. Cuntos depsitos se deben hacer al final de cada mes para reunir el dinero paraconseguir los laboratorios? Cul delito se tipifica de acuerdo al Cdigo Penal?9. Para hacer innovacin tecnolgica una empresa decide contratar con una firma internacionalpara que sta instale tecnologa de punta en la empresa de acuerdo con las siguientes condiciones:La empresa da una cuota inicial de 50 millones de pesos, contando para esto con los recaudos del IVAy el dinero descontando por nmina con destino al I.C.S.S. adems, se comprometi a pagar 14 cuotasmensuales c/u de $8700.000 con la primera cuota a pagar dentro de 5 meses y una cuota extraordina-ria de $10000.000 un trimestre despus de cancelar la ltima cuota mensual. Si la tasa de inters es del5% efectiva bimestral se pide:a) Determine el valor de la inversin en tecnologa en pesos de hoy.b) Si hay delitos que tipifiquen dentro del Cdigo Penal, cuales son?10. Con el fin de mantener en buen estado la malla vial una ciudad adquiri una mquina paraproducir asfalto gracias a una donacin de una entidad internacional. Los estudios tcnicos le dieronuna vida til de 15 aos. Los estudios financieros pronosticaron utilidad neta durante los seis primerosaos por $ 1400.000 al final de cada mes y de $1600.000 al final de cada mes durante el tiemporestante. Por descuido en el servicio de mantenimiento la mquina productora de asfalto funciondurante 10 aos. Si la tasa de inters de oportunidad es del 17% E.S., determine:a) Cunto dinero dej de recibir la ciudad por concepto de utilidades?b) Cul o cuales delitos se tipifican de acuerdo con el Cdigo Penal?11. Una entidad territorial adquiere maquinaria para obras pblicas por valor de $98700.000.Para pagarlo durante tres aos mediante cuotas mensuales vencidas (iguales) con una tasa de inters2.3% E.M.. Al cancelar la cuota #20 del emprstito el ordenador del gasto profiere una resolucinmediante la cual se imputa el 60% a capital y el 40% a intereses. Es financieramente correcta la deci-sin? Cul delito se tipifica de acuerdo al Cdigo Penal?12. Como resultado de la venta de bienes mostrencos y vacantes, un Alcalde Municipal asesoradopor una firma de corredores de bolsa invierte $120000.000 en un portafolio de inversiones a saber:- A.D.R.- WARRANTS- Acciones de tecnologa.- Fondos de inversin.- Moneda extranjera.90Anualidades3El corredor de bolsa le garantiza al Alcalde Municipal ingresos por $6500.000 al final de cada mesdurante los primeros ocho meses y de $7000.000 al final de cada mes durante los siguientes diezmeses. Exceptuando el sexto mes en el cual se pronostica una subida de precios de las acciones deinternet por $7800.000. Si la tasa de inters es del 22% E.A. se pide:- Analizar si es financieramente viable esta inversin.- Evaluar la actuacin del funcionario a la luz de la legislacin penal.13.Con el fin de capacitar a la comunidad el ordenador del gasto de un municipio decide que 5personas se preparen en diferentes reas de gestin pblica en cursos semestrales durante dos aos.El costo de cada semestre por persona es de $2500.000 y los cursos empezarn dentro de sietemeses. Con este propsito la entidad territorial utilizar el sistema de financiacin de becas y deseahacer una provisin presupuestal hoy para sufragar la inversin en educacin. Si la tasa de inters esdel 2.4% E.M. , se pregunta:- De cuanto debe ser la provisin en pesos de hoy.- Incurri en delito el ordenador del gasto municipal?14. Un municipio ubicado en una regin productora de arroz decide reparar un molino de supropiedad para procesar el arroz no solo de este municipio sino de otros de la misma regin. Se estimaque el tiempo para poner en funcionamiento la mquina es de ocho meses, el costo de reparacin esde $2700.000 al final de cada mes al cabo del cual y durante 24 meses ms (tiempo de gestin delalcalde) los costos fijos por concepto de mantenimiento y mano de obra sern de $ 2900.000 cadames, los ingresos por $ 7800.000 al fin de cada periodo. El alcalde este municipio en condicin deespecialista en ingeniera ambiental, cobra $ 250.000 cada mes durante los 24 meses por dar asesorasobre el reciclaje de basuras y proteccin del medio ambiente. Tasa de inters 2.8% E.M. Se pregunta:- Financieramente, es un buen negocio para el municipio?- Qu hecho o hechos punibles se tipifican con la actuacin del alcalde?15. Una casa propiedad de un municipio es ocupada de facto y a ttulo gratuito por el alcaldemunicipal para instalar una fbrica de confecciones de su propiedad con el propsito de atender lademanda de 400.000 personas. Para tal efecto, negocia una franquicia para producir ropa de la mismamarca de una importante empresa durante seis aos. El contrato estipula un pago anual de 40 millo-nes de pesos ms $4.000 por cada prenda vendida. Al cabo del primer ao la empresa propietaria delos derechos le propone a la firma confeccionista que por un pago nico de $200000.000 podrcontinuar explotando los derechos durante los cinco aos restantes sin lugar a pagos adicionales.-Cuantas prendas tendr que vender la compaa confeccionista para optar por la propuesta si su tasamnima de rendimiento es del 40% E.A.-Evale la presunta punibilidad del alcalde.16. Por solicitud interna de la Divisin Jurdica el departamento de apoyo legal y ejecucin desentencias de una entidad territorial demandada debe cuantificar las pautas generales que el Consejode Estado define como a continuacin se refiere para su posterior concrecin mediante incidente que91Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblicaha de promover el apoderado del actor, Esteban Rico Leao, desempleado y cnyuge suprstite de MaraPaula Salazar de Rico, funcionaria de Industrias ABC Ltda.., cuyo deceso, producto de un hecho adminis-trativo a cabo de a referida persona de Derecho Pblico, ocurri el 17 de agosto de 1991:1. Utilcese las tablas de Esperanza de Vida de la Superintendencia Bancaria.2. Actualcense los ingresos de las persona natural fallecida, hasta el da de la ejecutoriade la sentencia, con base en el ndice de Precios al Consumidor (I.P.C.), publicada por el DANE.3. Emplese para efectos de los clculos de la indemnizacin por perjuicios materialesconcernientes al cnyuge sobreviviente y a sus dos hijos menores el equivalente mensualefectivo a la tasa de inters legal puro o tcnico del 6% anual y adptense los algoritmoscorrespondientes a las anualidades consolidada o vencida y futura o anticipada,segn cada caso, todo conforme a la reiterada jurisprudencia de esta corporacin.4. Pguense perjuicios morales por 30 salarios mnimos legales vigentes a cada uno de losbeneficiarios.92Anualidades3DATOS ADICIONALESFecha de ejecutoria de la sentencia Marzo 13 de2002Fecha de nacimiento:Mara Paula Salazar de Rico Julio 24 de1952Esteban Rico Leao Noviembre 13de 1951Nicols Rico Salazar Octubre 19 de1988Maria Fernanda Rico Salazar Enero 16de 1990ltimo salario mensual de Mara Paula Salazar de Rico, se-gncertificacinexpedidaporIndustriasABCLtda.:$135.000.En el escrito de la demanda no se impetr incremento porconcepto de carga prestacional.El informe solicitado por la oficina jurdica se rinde comopreparacin del recurso de apelacin contra el auto queadmita el incidente de concrecin.Entrega del cheque al beneficiario, noviembre 6 de 200393Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica3.6. AUTOEVALUACIN DE APRENDIZAJES O CAMBIOSEXPERIMENTADOSCentro Territorial: Nombre del Estudiante: Cdigo:Equipo: Temtica: Unidad: FACTORESANLISIS OBSERVACIONES CALIFICACIN1. CONCEPTOS ASIMILADOS2. CONCEPTOS ENRIQUECIDOS3. DESAPRENDIZAJES4. CONCEPTOS VALIOSOS PARA EL DESEMPEO PROFESIONAL5. DEBILIDADES Y OBSTACULIZADORES6. FORTALEZAS Y FACILITADORES7. VALORACION DE LAEXPRIENCIAEn el anterior formato, mediante la comparacin y contraste de los mapas conceptuales de las unidades1, 2 y 3, el estudiante debe: Sealar y sustentar algunos conceptos que se han enriquecido oha des-aprendido, yalgunos conceptos nuevos que ha adquirido. Sealar la apropiacin de algunos conceptosencontrados en el desarrollo de las actividades de aprendizaje, e indicar que fueron superados identifican-do su correspondiente causalidad. Sealar algunas fortalezas y facilitadores de orden intrnseco y sucontribucin a reducir errores, mejorar aciertos y aumentar la motivacin. Expresar el valor que concedea la experiencia en funcin de su crecimiento personal o desarrollo profesional.94Anualidades33.8. BIBLIOGRAFA BSICALos estudiantesdebernconsultar el siguientetexto: Tablas de Esperanza de Vida, delD.A.N.E. Y SUPERINTENDENCIABANCARIA. ndices de Precios al Consumidor,del DANE. Matemticas Financieras. Cdigo Contencioso Administrativo. Derecho Procesal Administrativo3.7. RESULTADO DIDCTICOAl finalizar la sesinel estudiante estar en capaci-dad de Maneja el concepto de Series Uniformes ensus diferentes modalidades y aplicarlo en relacin conla valoracin de la condenas contra el Estado en SedeJudicial.95Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaUnidad 4Amortizacin96Amortizacin497Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin PblicaPLAN DE LA UNIDAD4. AMORTIZACIN4.1. OBJETIVO DIDCTICO.4. AMORTIZACIN4.1. Concepto de Amortizacin.4.2. Clases de amortizacin.4.3. Amortizacin con periodo de gracia.4.4. Amortizacin con abono constante a capital.Aprehender el concepto de Amortizacin y aplicarlo al manejo de la finanzas del Estado.98Amortizacin44.2. CONTENIDOSDELAUNIDAD.4.2.1. CONCEPTUALES.Amortizacin4.2.2. PROCEDIMENTALES. Manejar el concepto de amortizacin en sus diferentesmodalidades. Manejar el concepto de amortizacin para la presupues-tacin de los valores peridicos de desembolso continuo por prs-tamos efectuados a favor de las organizaciones pblicas.4.2.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES.Desarrollo de competencias Gerenciales y de Gestin en la genera-cin de habilidades que integran el saber y el saber hacer con el sercomo persona para el trabajo en en grupo en la aplicacin de ejer-cicios de simulacin.99Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica4.3. ACTIVIDADESDEAPRENDIZAJE.4.3.1. DE AUTOFORMACION. Realizacin de la Autoevaluacin de la Unidad Autoevaluacin de trabajo en equipo o por grupos,o autoevaluacin del trabajo de interformacin Lectura de la Unidad4, y dela bibliografa bsica. Elaboracin de los conceptos claves en la bitcora.4.3.2. DE INTERFORMACION. Los estudiantespor grupos de trabajo, debern leer y ha-cer una sntesis del texto: Matemticas Financieras con Ecuacionesde Diferencia Finita, de Jaime Garca, y exponerlo en la sesin pre-sencial, estableciendo los interrogantes ms significativos. Los coordinadores de los equipos de trabajo debern orga-nizar la exposicin de los grupos de trabajo por unidades tematicas.4.3.3. PRESENCIAL. Exposicin de la actividades de autoformacine interformacin Resolucin de interrogantes y aclaracin de conceptosporparte del tutor Realizacin deTaller mediante la aplicacin la temtica conejercicios prcticos.100Amortizacin4101Matemtica Financiera Aplicada a la Administracin Pblica1.4. AMORTIZACINLa amortizacin es el proceso por el cual se cancelauna obligacin financiera y sus intereses mediante unaserie de pagos.Una de las formas ms generales paraamortizar los crditos conseguidos porlas entidades territoriales y algunas delsector central es la amortizacin me-diante abono constante a capital e in-tereses por anticipado.Ejemplo:El municipio Tierra Grata solicita un prstamo por 42millones de pesos para pagarlo durante ao y mediomediante cuotas trimestrales, con abono constantea capital e intereses del 24% nominal trimestre antici-pado. Hallar las cuotas y elaborar la tabla de amorti-zacin.La tasa es del 24% Nominal trimestre anticipada.Hallamos la tasa anticipada de periodo d = j md = 0.24 = 0.06 4Como los abonos son constantes a capital, la amorti-zacin ser: 42000000 = $7000.0006n DEUDA CUOTAINTERS AMORTIZACIN042000000252000025200001350000009100000 2100000 70000002280000008680000 1680000 7000000321000000 8260000 1260000 70000004140000007840000 840000 70000005 70000007420000420000 7000000607000000070000009100000 0000 0000 0000 000000000000001000000Al observar la grfica en el periodo 0 hay desembolsode intereses por $252.000, el inters se paga en for-ma anticipada (42000000 x 0.06 = 252000), al finaldel periodo 1 se paga una cuota de $910000, com-puesta por una amortizacin de $7000000 eintere-ses por valor de $2.100.000. Al final del primer ao(periodo nmero 4) las imputaciones presupustalessern: servicio de la deuda $840.000 y abono a capi-tal $7000.000.En el ltimo periodo la cuota que se debe pagar co-rresponde a 700.000 (amortizacin), no hay pago deintereses.102Amortizacin4Cuando se consigue un crdito y se amortiza medianteuna serie uniforme de pagos, cada vez que se realizaun pago la deuda disminuye.Existen diferentes maneras para amortizar una deu-da:1. Con cuotas uniformes.Ejemplo: Un colegio oficial compra un laboratorio paraeldepartamentodeIdiomasporvalorde$20000.000 para pagarlo mediante cinco cuotas anua-les vencidas, pagando una tasa de inters del 18%anual. Se pide hallar el valor de las cuotas anuales yelaborar la tabla de amortizacin. kkkk k

20000000 = R1 (1.18)-5 0.18R = 20000.0003.127171021R = 6395556.836Lo que est en la grfica lo pasamos a una tabla: nDEUDA CUOTA INTERS AMORTIZACIN0 200000001 17204443,166395556.8363600000 2795556,836213905686,09 6395556.8363096799,7693298757,0673 10013152,756395556.836 2503023,4