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Los conceptos que abordaremos serán los siguientes:

Números racionales Divisibil idadProbabilidades Teoría de conjuntosNumeración Regla de MezclasPromedios PorcentajeAnálisis combinatorio Lógica proposicional

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ARITMÉTICA26 EJERCICIOS RESUELTOS

ARITMÉTICA

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EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMA 3

PROBLEMA 1

SOLUCIONARIO

Un reservorio vacío puede ser llenado por un hidrante A en 6 horas, mientras que un hidrante B lo llena en 12 horas. Estando lleno el reservorio hasta la cuar-ta parte de su volumen, se abren al mis-mo tiempo ambos hidrantes, ¿en cuántas horas terminarán de llenar el reservorio?

A) 3B) 3,5C) 4D) 4,5

Del enunciado:

A lo llena en 6 h B lo llena en 12 h

En 1 hora:

A llena 1/6 del reserv.B llena 1/12 del reserv.

A y B llenan 1/4 del reser.

∴ t = 3 h

1/4

3/4

BA

En un aula de una academia online hay 40 alumnos. Se sabe que 8 no dieron el examen de aritmética y el resto sí. De los que dieron el examen, los 7/8 aproba-ron, ¿qué parte del total de alumnos no aprobó?

A) 3/10B) 4/11C) 4/9D) 3/5

PROBLEMA 2Un comerciante compró cierta cantidad de ceniceros y luego vendió la sexta parte de dicha cantidad. Si, al guardar lo restante, rompió accidentalmente 55 ceniceros y aún le quedaron intactos 5/8 del total de ceniceros comprados, ¿cuán-tos ceniceros compró el comerciante?

A) 288B) 240C) 312D) 264

SOLUCIONARIOSi N es el número de ceniceros que compró el comerciante. Por condición:

número de cenicerosnúmero de número de rotos ceniceros ceniceros que

vendidos quedaron intactos

5 55

6 8N

N N− − =

555

24N

=

N 264∴ =

UNMSM 2019-1


02UNMSM50Obtén 50 soles de descuento con nuestro código:

PROBLEMA 5

SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO

PROBLEMA 4

Una granja se prepara para la campaña navideña y hace un conteo de las aves que pondrá a la venta. Los 4/5 de las aves son pollos, los 5/6 del resto son ga-llinas y las 8 aves restantes son pavos. ¿Cuántas aves hay en la granja?

A) 200B) 240C) 250D) 280

Sea n el número de aves.

El número de pollos:

El número de gallinas:

El número de pavos: 8

Entonces:

45n

56 5

n6

=

n

48

5 6

298

30

+ + =

+ =

n nn

nn

240∴ =n

Del enunciado:

Aprobados:

No dieron examen: 840 alumnos

Sí dieron examen: 32

732 28

8⋅ =

A) 3 h y 15 minB) 3 h y 25 minC) 3 h y 30 minD) 3 h y 20 min

Un grifo A llena una piscina vacía en 5 horas y un grifo B llena la misma piscina vacía en 10 horas. Estando vacía, ¿cuán-to tiempo les tomará a ambos grifos, A y B, abiertos a la vez, llenarla?

Del enunciado:

Grifo A Grifo B

Piscina

Si el grifo A llena la piscina en 5 horas,entonces en 1 hora llenará 1/5.

Si ambos grifos se abren a la vez, enton-ces en 1 hora llenarán

Por lo tanto, la piscina se llenará estando ambos grifos abiertos en durante 10/3 horas, que es equivalente a 3h20min.

1 1 310 5 10

+ =

UNMSM 2019-1

Si el grifo B llena la piscina en 10 horas,entonces en 1 hora llenará 1/10.

No aprobados:

jalaron no dieron

4 8 12+ =

La fracción del total que no aprobaron es 12/40 que es igual a 3/10.

SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO

PROBLEMA 6

PROBLEMA 8

El instituto de idiomas EUROPA ONLI-NE, tiene un total 150 varones y 350 da-mas; la tercera parte de los varones y la séptima parte de las damas han elegido italiano como el idioma a estudiar. Se es-coge una persona al azar y resulta que eligió el italiano como idioma a estudiar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un varón?

A) 3/10B) 7/10C) 1/3D) 1/2

Del enunciado

50 50

100 300

Italiano

No Italiano

H(150) M(350)

50P∴ =

10012

=

Un postulante a la UNMSM desea llamar a una amiga por teléfono, recuerda los seis primeros dígitos de su número tele-fónico, pero ha olvidado los últimos tres, sin embargo, recuerda que el último dígi-to es impar. ¿Cuál es la probabilidad de que este postulante marque el número correcto en un solo intento?

A) 1/2B) 1/3C) 1/100D) 1/500

Del enunciado, para los 3 últimos dígitos:

1P

500∴ =

0 0 11 1 32 2 53 3 7

99 9

↓ ↓ ↓

10 10 5 500 #s⋅ ⋅ =

Nº casos a favorP(A)

Nº casos posibles=

PROBLEMA 7De una bajara tradicional de 52 cartas se extrae una carta al azar y, sin devolverla, se extra una segunda. Si en la baraja hay cuatro ases, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos ases?

A) 1/169B) 1/221C) 1/26D) 1/34

UNMSM 2020-1

SOLUCIONARIOSe pide la posibilidad de obtener 2 ases de una baraja de 52 cartas donde hay 4 ases.

probabilidad de probabilidad de obtener un as obtener un

segundo as

4 3

52 51P = ×

1221

P =



= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅4410 1 5 2 5 1 5 2 5

SOLUCIONARIO

PROBLEMA 9 PROBLEMA 10

PROBLEMA 11

En una tienda de venta de lubricantes, un vendedor desea envasar el contenido de un cilindro de aceite de 4410 litros de contenido, pero solo dispone de reci-pientes de 1, 5, 25, 125, … litros de ca-pacidad, además no tiene más de cuatro recipientes de cada capacidad. ¿Cuántos de estos recipientes debe utilizar para en-vasar el contenido total del cilindro, si ca-da recipiente debe quedar completa-mente lleno?

A) 3B) 5C) 6D) 7

Por condición, el aceite se distribuirá en los recipientes.

2 31 5 5 5 ... 4410⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =a b c d

44108825

55

55

17635

02

1702 1

5

5 4 2

4410 120120=

1 2 1 2 6 + + + =

El dueño de una ferretería desea envasar 119 litros de pintura, pero solo dispone de recipientes de 1, 4, 16 y 64 litros de capacidad, varios de cada tipo, ¿cuántos de estos recipientes puede utilizar, como mínimo, para envasar dicha cantidad de pintura, si todos deben estar totalmente llenos?

Por condición, la pintura se distribuirá en los recipientes.

119 64 16 4 1= × + × + × + ×d c b a

Cantidad de recipientesutilizados

3 2119 4 4 4= × + × + × +d c b a

4119 1313=

Un tren recorre la distancia que separa dos ciudades A y B a una velocidad de 80 km/h; pero al regreso de B hacia A a 120 km/h, ¿cuál es la velocidad prome-dio del recorrido?

A) 100 km/hB) 96 km/hC) 92 km/hD) 80 km/h

UNMSM 2019-1

SOLUCIONARIO

Cantidad de recipientesutilizados

Expresando 4410 en base 5:

La cantidad de recipientes a utilizar será

Expresando 4410 en base 5:

La cantidad de recipientes a utilizar será

1 3 1 3 8+ + + =



SOLUCIONARIODel gráfico:

A B

d

1V 80 km/h=

2V 120 km/h=

totalprom

total

V V= → =dd

t t

prom

2V =

dd80

+d

prom

1202

V1 180 120

=+

promV 96 km/h∴ =

PROBLEMA 12El panel de un automóvil indica el consu-mo promedio de combustible de la si-guiente forma: 12,5L/100 km ¿Cuántos kilómetros recorre en prome-dio tal automóvil con 1 litro de ese com-bustible?

A) 10 kmB) 12 kmC) 8 kmD) 9 km

UNMSM 2020-1

SOLUCIONARIOSe pide el número de kilómetros que re-corre en promedio el automóvil con 1L de combustible, entonces

(en km)

(en L)

TotalPromedio

Total

100Promedio

12,5Promedio 8

=

=

=

PROBLEMA 13Cuatro hermanos tuvieron que afrontar los gastos económicos que generó el internamiento hospitalario de su padre. Si ninguno aportó menos de S/4200 y el aporte promedio de los hermanos fue S/5600, ¿cuál es el aporte máximo que podría haber dado uno de ellos?

A) S/85000B) S/79000C) S/86000D) S/9800

UNMSM 2020-1

SOLUCIONARIOEl aporte promedio de los cuatro herma-nos se representa de la siguiente manera:

1 2 3 4H H H H5600

4+ + +

=

1 2 3 4H H H H 22400+ + + =

Para que uno tenga el aporte máximo, el resto de hermano debe aportar lo mínimo posible, y por dato lo mínimo que puede aportar cada hermano es S/4200.

1 2 3 (máx)

3 4200

H H H H 22400×

+ + + =

(máx)H S/9800∴ =



SOLUCIONARIO

PROBLEMA 14Un depósito de licores recibió 6 barriles de cerveza, cuyos contenidos son 15; 16; 18; 19; 20 y 31 litros. Se presentaron dos clientes, uno compra tres barriles y el otro dos, con la particularidad de que el segundo compró la mitad de litros que compró el primero. Si no hubo que des-tapar ningún barril al momento de ven-derlos. ¿Cuál era la capacidad del barril que no se vendió?

A) 16B) 18C) 19D) 20

Capacidades: 15; 16; 18; 19; 20 y 31

Cliente 1: 3 barriles (2k litros)Cliente 2: 2 barriles (k litros)

Se observa que la capacidad de los barri-les vendidos es múltiplo de tres. Anali-zando la capacidad de todos los barriles juntos

o3

5 barriles (3 litros)k

o

15 16 18 19 20 31 119 3 2+ + + + + = = +

Seguramente no se vendió el barril que

es . Si se descarta dicho barril, los otros cinco barriles deberían ser múltiplo de tres.

Analizando, se concluye que no se ven-dió el barril de 20 litros, ya que sin ese barril, los otros cinco barriles tendrían 99 litros (que es múltiplo de tres).

o

3 2+

PROBLEMA 15Con el fin de realizar un simulacro de examen de admisión, se solicita cierto número de aulas para distribuir a todos los inscritos, los cuales no superan los 10 000. Cuando se consideran 20 personas por aula, falta un aula pra 7 inscritos y cuando se consideran 25 personas por aula, faltan 18 inscritos para completar todas las aulas solicitadas. Si el total de inscritos es el máximo posible, ¿cuántas aulas serán necesarias considerando 25 inscritos por aula y teniendo en cuenta un aula adicionales para los restantes?

A) 387B) 396C) 398D) 397

SOLUCIONARIOSea N el número de inscritos. Donde:

oo

o o

10000

20 7100 7

25 18 25 7

N

NN

N

< = + = +

= − = +

Entonceso

100 7 10000N = + <

100 7 10000k + <

99.9k <

Para que la cantidad de inscritos sea el máximo posible:

máx 99 100(99) 7 9907k N= → = + =

Estos 9907 inscritos deben ingresar en aulas de 25 estudiante mas una extra. Se deduce que ee necesitarán 396 aulas pa-ra 25 estudiantes cada una y un aula ex-tra para los 7 estudiantes restantes.

UNMSM 2019-2



SOLUCIONARIO

PROBLEMA 16

PROBLEMA 17

En una encuesta, cuya muestra es de 420 personas, se preguntó sobre la prefe-rencia de los noticieros dominicales de los canales A, B o C. Los resultados muestran que todos ven al menos uno de los tres canales, que 240 no ven el canalA, 180 no ven el canal B, 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos dos canales son 230. ¿Cuántos ven los tres canales?

A) 32B) 36C) 40D) 42

Se pide encontrar la cantidad de perso-nas que ven los tres canales. Realizamos el diagrama de Venn-Euler.

a n

xpm

c

b

BA

C

Por dato:

40∴ =x

( ) ( ) 420( ) 230

190

+ + + + + + =+ + + =→ + + =

a b c m n p xm n p x

a b c

−

+

190 190

240180150

2( ) ( ) 570

+ + =+ + =+ + =

+ + + + + =

b c pa c ma b n

a b c m n p

A) 6B) 7C) 8D) 9

En un instituto de idiomas se ofrecen tres cursos: alemán francés e inglés. Cuatro alumnos se matricularon en los tres cur-sos, seis alumnos en los cursos de inglés y alemán, y siete en los cursos de francés e inglés. Si todos los matriculados en in-glés se matricularon también en alemán o francés, ¿cuántos matriculados hubo en inglés?

Como todos los matriculados en inglés también se matricularon en alemán o francés, entonces nadie se matriculó solo en inglés. Se observa que:

Nº matriculados (en inglés) = 9

Se pide encontrar la cantidad de matri-culados en el curso de inglés. Realizamos el diagrama de Venn-Euler.

Alemán Francés

Inglés

2 34

0

UNMSM 2018-2

SOLUCIONARIO

Si el total de personas encuestadas en 420 y los que ven por lo menos dos ca-nales es 23. Entonces



SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO

PROBLEMA 19PROBLEMA 18Un trabajador desea reinventarse, ya que perdió su empleo debido a la pandemia. Para iniciar su negocio de venta de cho-colates, compra cacao de un proveedor A, con 75% de pureza y también de otro proveedor B con un 90% de pureza. ¿Cuántos gramos debe mezclar de cada uno para obtener una mezcla de cacao de 60 gramos, con un 85% de pureza?

A) 30 de A y 30 de BB) 12 de A y 48 de BC) 15 de A y 45 de BD) 20 de A y 40 de B

Se desea obtener una mezcla de 60g:

A) 40 de A y 80 de BB) 50 de A y 70 de BC) 30 de A y 90 de BD) 60 de A y 60 de B

Se tiene dos barras de chocolate, una ba-rra A con un 73% de cacao y una barra B con un 91% de cacao. ¿Cuántos gra-mos de chocolate se debe derretir de ca-da barra para obtener una barra de 120 gramos con un 85% de cacao?

Se desea obtener una mezcla de 120g:

UNMSM 2019-1

cacao de A

a g

75% de pureza

85% de pureza

cacao de B

90% de pureza

b g

Donde:

( )g 60ga b+

75%( ) 90%( ) 85%( )a b a b+ = +

15 10

2a

b ab

= → =

Además:

60a b+ =

Se deduce que:

20 y 40a b= =

Hemos determinado que se utiliza 20g del proveedor A y 40g del proveedor B.

cacao A

a g

73% de pureza

85% de pureza

cacao B

91% de pureza

b g

( )g 120ga b+

Donde:

73%( ) 91%( ) 85%( )a b a b+ = +

2b a=

Además:

120a b+ =

Se deduce que:

a b= =40 y 80

Hemos determinado que se utiliza 20g del proveedor A y 40g del proveedor B.



SOLUCIONARIO

PROBLEMA 20El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, en-tonces el área del rectángulo varía en 160 m2. ¿Cuál era el área inicial?

A) 200 m2

B) 400 m2

C) 2 000 m2

D) 4 000 m2

Si el largo de un rectángulo aumenta un 20%, entonces el nuevo largo será el 120% del largo anterior. Asimismo, si el ancho disminuye un 20% entonces el nuevo ancho será el 80% del ancho anterior.

Si el área varía 160 m2:

AS1

S2

L

120%L

80% A

1S L A= ⋅

1 2

1

S S 160

4%S 160

− =

=

1S 4000∴ =

2

2

2 1

S 120% L 80%A

S 96% L A

S 96% S

= ⋅

= ⋅

=

El área inicial del rectángulo:

El área final del rectángulo:

PROBLEMA 21A una de las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular se le dis-minuye 1/5 de su longitud y a la otra di-mensión se le aumenta 1/3 de su longi-tud. Si, además, se incrementa en 5% la longitud de la altura del paralelepípedo, ¿en qué porcentaje se incrementará su volumen?

A) 15%B) 12%C) 8%D) 6%

SOLUCIONARIOEl volumen inicial del paralelepípedo se determina de la siguiente manera:

a

b

c

El volumen final del paralelepípedo se determina de la siguiente manera:

105%b

4 5a

4 3c

1V 100%( )abc abc= =

2

4 4V (105% )

5 3a c

b =

2V 112%( )abc=

Se deduce que se ha incrementado su volumen en un 12%.

UNMSM 2019-2



SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIOPROBLEMA 22

PROBLEMA 23

La negación de:“Richard no estudia Aritmética ni atiende a la clase” es

A) No es cierto que Richard estudia Arit-mética y atiende a la clase

B) Richard atiende a la clase y estudia Aritmética

C) Richard no atiende a la clase y estu-dia Aritmética

D) Richard atiende a la clase o no estu-dia Aritmética

Del enunciado:

Se tiene que:

Aplicando la ley de Morgan y doble negación:

p q

Richard no estudia a ni atiende a la clase

∧ ∼∼

( )∼ ∼ ∧ ∼p q

≡ ∨p q( )∼ ∼ ∧ ∼p q

A) “Inés está bien de salud y no sigue las indicaciones de su médico.

B) “Inés está bien de salud y sigue las in-dicaciones de su médico”.

C) “Inés no está bien de salud y no sigue las indicaciones de su médico”.

D) “Inés no está bien de salud y sigue las indicaciones de su médico”.

La negación del enunciado “Si Inés está bien de salud, entonces ella sigue las in-dicaciones de su médico” es

Del enunciado, sean las proposiciones simples:

p: Inés está bien de salud. q: Sigue las indicaciones de su médico. Luego:

p → q

Se pide negar todo el enunciado

Tendremos “Inés está bien de salud y no sigue las in-dicaciones del médico”.

[ ][ ]

→∨

∧

p qp q

p q

∼∼

∼

UNMSM 2018-1

PROBLEMA 24

A) solo IIIB) I y IIC) solo ID) I y III

El argumento “Si Jaime es un buen fiscal, entonces no protege al corrupto; pero no es un buen fiscal, por lo tanto, Jaime es policía” es falso. Entonces, ¿cuál o cuáles de las afirmaciones son verdaderas?

UNMSM 2020-1

I.II.III.

Jaime es un buen fiscal.El corrupto es amigo de Jaime.Jaime no es policía.

SOLUCIONARIODel enunciado, sean las proposiciones simples: p: Jaime es un buen fiscal. q: El corrupto es amigo de Jaime. r: Jaime no es policía. Luego:



PROBLEMA 26

A) 4032B) 5040C) 2160D) 1440

Una de las profesores de un centro de educación inicial tiene a su cargo ocho estudiantes. Ella planea ubicarlos simétricamente sobre el borde de un círculo pintando sobre el patio del centro educativo. Si dos de sus alumnos, los hermanos Gonzales, pertenecen al grupo y deben estar siempre juntos, ¿de cuántas maneras diferentes podrá la profesora ubicar a los ocho estudiantes sobre la circunferencia?

UNMSM 2020-1

SOLUCIONARIO

PROBLEMA 25Seis señoras se van a sentar en una fila de 6 asientos, ¿de cuántas maneras se pueden sentar, si dos de ellas, llamadas Karen y Mirian, no quieren estar juntas?

A) 480B) 490C) 500D) 520

Se pide encontrar el número de casos en los que Karen y Mirian no están juntas. Esto lo haremos, restando el número de casos totales menos el número de casos donde no están juntas. El total de casos para los seis asientos será

Casos en los que K y M estén juntas:

K M A B C D

6

6

P 6!

P 720

=

=

5 2

5 2

P P 5! 2!

P P 240

⋅ = ⋅

⋅ =

Se deduce: 480 donde no estén juntas.

[( ) ] Fp q p r→ ∧ → ≡

Deduciendo los valores de verdad:

FF V o F F

VV

V

[( ) ] Fp q p r→ ∧ → ≡

Se observa que la afirmación correcta es Jaime no es policía.

K M A B C D

SOLUCIONARIOUbicando a los ocho alumnos (A) en forma circular donde dos hermanos (H) deben sentarse juntos.

1A

2A

3A4A

5A

6A1H

2H

Sea N el número de casos:

N (7 1)! 2!= − ×

N 1440=



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