UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA.

Introducción a las Matemáticas Universitarias (520145)

Técnicas de conteo.-

Principio Fundamental.- Si una operación puede efectuarse independientemente de 1n

maneras diferentes, si una segunda operación puede efectuarse independientemente de 2n

maneras diferentes , si una tercera operación puede efectuarse de 3n maneras diferentes y así

sucesivamente (para un número finito de operaciones) , entonces, el número total de maneras de

las cuales pueden efectuarse todas las operaciones en el orden indicado es 1 2 3n n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ .

Ejercicios.-

1.- ¿Cuántos números de dos cifras distintas pueden formarse con los enteros 1, 2, 3 y 4?

¿Cuántos de estos números son impares?

2.- Si se lanzan dos dados corrientes, ¿de cuántas maneras pueden caer?

3.- En una elección hay tres candidatos a presidente, cuatro a vicepresidente, cinco a

secretario y dos a tesorero. ¿Cuántos resultados distintos puede tener la elección?

4.- Un cuestionario tiene 10 preguntas que deben contestarse con verdadero o falso. ¿De

cuántas maneras distintas puede contestarse el cuestionario completo?

5.- ¿Cuántos números de tres cifras distintas, menores que 500 pueden formarse con los

dígitos 1,2,3,4,5,6 y 7?

Permutaciones.- Cada ordenación o disposición diferente de un grupo de objetos se llama

una permutación de estos objetos. Por ejemplo, los número 234 y 423 son dos permutaciones

distintas de los dígitos 2, 3 y 4. En general, si tenemos n objetos y disponemos r de ellos

( r n≤ ) en un orden determinado, llamamos a esta disposición una permutación de los n

objetos tomados de r en r .

Teorema.- El número total de permutaciones de n objetos tomados de r en r , ( ),n rΡ , está

dado por: ( ) ( )( ) ( ), 1 2 1n r n n n n rΡ = − − ⋅⋅⋅⋅⋅ − +( )

!!

nn r

=−

.

El número de permutaciones de n objetos tomados todos a la vez ( r n= ), es

( ) ( )( ) ( ), 1 2 1 !n n n n n n n nΡ = ⋅ − − ⋅⋅⋅ ⋅ − + =

Ejercicios.-

1.- Determine el número de permutaciones de los 5 enteros 1, 2, 3, 4 y 5 tomados de dos en

dos.

2.- Si cuatro personas suben a un bus en el que hay diez asientos desocupados, ¿de cuántas

maneras pueden sentarse?

3.- ¿De cuántas maneras pueden colocarse cinco libros en un estante?

4.- Determine el número de permutaciones de las catorce letras de la palabra

“paralelepípedo”.

5.-

Teorema.- Si P representa el número de permutaciones diferentes de n objetos, tomados

todos a la vez, de los cuales hay p iguales entre sí, otros q iguales entre sí, otros r iguales entre

sí, etc., entonces: !! ! !nP

p q r=

⋅⋅⋅

Combinaciones.- A diferencia de una permutación que es una disposición ordenada de

determinados objetos, una combinación es un conjunto o colección de objetos en un orden no

especificado. De este modo, por las combinaciones de n objetos diferentes tomados de r en r

( )r n≤ queremos significar todas las selecciones posibles de r objetos de entre los n , sin

considerar un determinado orden en ellos. El número total de estas combinaciones se designa por

( ),C n r o nr

.

Teorema.- El número total de combinaciones de n objetos tomados de r en r está dado por:

( ) ( )!,

! !nC n r

n r r=

−.

Dem.- En cada una de las ( ),C n r combinaciones consistente de r objetos diferentes, estos

r objetos pueden reordenarse o permutarse de !r maneras diferentes. Así, por cada combinación

habrá !r permutaciones diferentes, de modo que por las ( ),C n r combinaciones habrá ( ), !C n r r

permutaciones diferentes. Como éstas constituyen todas las permutaciones posibles de los n

objetos tomados de r en r , se tiene: ( ) ( ), , !P n r C n r r= , de donde

( ) ( )( )

, !,! ! !

P n r nC n rr n r r

= =−

, lo que queríamos demostrar

Ejercicios.-

1.- ¿Cuántos números de tres cifras diferentes pueden formarse con los dígitos de 1 a 9?

2.- ¿Cuántos números que tengan a lo más tres cifras pueden formarse con los dígitos del 1 al

9?

3.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila de siete asientos, cuatro niños y tres

niñas a) si pueden sentarse en cualquier orden,

b) alternándose niños y niñas?

4.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse ocho personas en una fila de ocho asientos si dos

personas insisten en sentarse una al lado de la otra?

5.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa?

6.- ¿De cuántas maneras pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa, si dos

personas insisten en sentarse una al lado de la otra?

7.- ¿Cuántas placas de vehículos pueden hacerse utilizando cuatro letras cualesquiera en los

cuatro primeros lugares y dos cualesquiera de los números de 0 a 9 en los dos lugares siguientes?

8.- Resuelva el problema anterior agregando la condición que las letras no puedan repetirse.

9.- Demuestre que ( ) ( ) ( )1, 1 , 1P n r n P n r+ = + −

10.- Determine n∈ si ( ) ( ),5 20 ,3P n P n=

11.- En un curso de 15 niños y 10 niñas, ¿de cuántas maneras puede formarse un comité de 3

niños y 2 niñas?

12.- De un grupo de 25 demócratas y 18 republicanos, ¿cuántos comités de 3 demócratas y 2

republicanos es posible formar?

13.- Del grupo del Problema 12), si uno de dos demócratas determinados debe presidir el

comité, ¿cuántos comités pueden formarse con el mismo número de miembros de cada partido

que en el problema anterior?

14.- Sin considerar casos especiales, (a) ¿cuántas rectas quedan determinadas por 9 puntos

del plano? (b) ¿Cuántas circunferencias quedan determinadas por 9 puntos?

15.- ¿Cuántos triángulos quedan determinados por 9 puntos, si no hay tres que sean colineales?

16.- ¿De cuántas maneras se pueden obtener 13 cartas de una baraja de 52 naipes?

17.- ¿De cuántas maneras se pueden obtener 13 cartas que sean sólo ases o naipes con figuras?