Atención a los alumnos en tareas algebraicasEstudio donde se explora el nivel de desempeño en tareas algebraicas de

las y los alumnos de Matemáticas I y II del CCH Sur.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL SURACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Elaborado en el proyecto INFOCAB PB100321Roberto Guadalupe Garrido CarmonaMaría de Jesús Figueroa TorresRoberto Gustavo Figueroa TorresLilian Mendoza Zaragozamayo de 2021

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL SUR

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Atención a los alumnos en tareas algebraicas

Estudio donde se explora el nivel de desempeño en tareas algebraicas de las y los

alumnos de Matemáticas I y II del CCH Sur.

Elaborado en el proyecto INFOCAB PB100321

Roberto Guadalupe Garrido Carmona

María de Jesús Figueroa Torres

Roberto Gustavo Figueroa Torres

Lilian Mendoza Zaragoza

mayo de 2021

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Introducción

Algunas veces nos preguntamos, si los alumnos pueden resolver los problemas que

preparamos para la clase, sin embargo, hasta que se llevan a cabo las actividades

comprobamos que la mayoría tienen dificultades. Saber cuáles tareas algebraicas

pueden resolver nuestros alumnos es el motivo de este trabajo. Contar con un

paquete de problemas, adecuados para las y los alumnos de primer semestre de

matemáticas nos permitiría atenderlos de manera adecuada.

Con este trabajo queremos entender que tipo de tareas algebraicas pueden llevar a

cabo nuestros alumnos, de tal manera que podamos graduar el nivel de dificultad

de los problemas que les presentemos y los alumnos puedan ir avanzando de

manera consistente y creciente en las diferentes etapas del curso.

Iniciamos con la revisión de los temas de matemáticas que los alumnos vieron en

sexto año de primaria y los tres años de secundaria. Analizamos sus promedios de

calificaciones de la secundaria y su resultado en el examen de ingreso al

bachillerato, lo cual nos da una idea sobre los conocimientos con los que cuentan

nuestros alumnos.

Revisamos las teorías de sobre el tipo de tareas algebraicas que los alumnos

pueden llevar a cabo, de acuerdo con su edad (Piaget y Collis) y con el grado de

avance en su tránsito de la aritmética al álgebra (Cüchemann y Esquinas).

Con lo cual, estuvimos en posibilidades de construir un examen de diagnóstico que

nos permitió tener una panorámica de los tipos de tareas algebraicas que pueden

llevar a cabo nuestros alumnos, lo cual nos permitió ajustar la planeación del curso

y proponer un curso de regularización o una serie de asesorías para los alumnos

que tuvieron dificultades en la resolución de los problemas seleccionados para la

primera parte del curso.

Adicionalmente construimos un listado de errores que nuestros alumnos cometen

en el desarrollo de las tareas algebraicas, que podemos tomar en cuenta en el

momento de orientar la resolución de los problemas. Al final del trabajo se presentan

algunas conclusiones.

3

Planteamiento del problema

En nuestro grupo de trabajo, estamos interesados en la elaboración de materiales

didácticos, que apoyen a los alumnos a lograr los aprendizajes del Programa de

Estudios de Matemáticas I y II, como sabemos, en estos dos primeros cursos de

Matemáticas, se busca que los alumnos amplíen su conocimiento de la Aritmética y

avancen en el estudio del Álgebra, iniciada en la Escuela Secundaria. En los

programas de sexto de primaria de la SEP1 (2011. p 64), figura 1, se observa que

se tienen los temas de números y problemas aditivos y multiplicativos. En el tercer

año de secundaria de la SEP2 (2011. p 16), figura 2, se observa que se retoman los

temas de números, problemas aditivos y multiplicativos, y se agregan los temas de

patrones y ecuaciones.

Figura 1 Figura 2

En el programa de tercer año de secundaria, también se menciona que, al egresar,

los alumnos pueden operar con números racionales y resolver problemas con

ecuaciones o funciones, como se lee en la figura 3.

Figura 3

1http://edu.jalisco.gob.mx/cepse/sites/edu.jalisco.gob.mx.cepse/files/sep_2011_programas_de_estudio_2011.g

uia_para_el_maestro_quinto_grado.pdf

2https://www.gob.mx/cms/uploads/attachment/file/18394/Programa._Secundaria_tercer_grado_Matematicas_

guia_para_maestros.pdf

4

Por lo que es comprensible que los programas del CCH de 2016, tengan los temas

de números reales, ecuaciones de primero y segundo grado y funciones lineales y

cuadráticas.

Consideramos que los alumnos manejan adecuadamente la aritmética, ya que la

han estudiado desde la primaria, por lo que, ahora, se tiene que ampliar el estudio

del significado de los números reales, resolviendo problemas, tanto con números

racionales (no enteros) como con números irracionales, además de la resolución de

problemas a partir de relaciones algebraicas, planteando ecuaciones de primero y

segundo grado e iniciar el estudio de la variación con el estudio de las funciones

lineales y cuadráticas.

En la figura 4, gráficas 9 y 10 de la publicación “La generación 2018, un egreso

histórico” (2021. pp 16 y 17) de Santillán y López, se observa que los alumnos que

ingresaron al CCH en 2018, tienen en su mayoría (78%) un promedio de secundaria

de más de 8 puntos, en escala de 0 a 10 y el 93% de alumnos tienen más de 90

aciertos en el examen de ingreso al CCH, en una escala de 0 a 128 puntos.

Figura 4

Al proponernos apoyar a los alumnos de primer ingreso (15 a 16 años) de la Escuela

Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH) en tareas algebraicas, nos

tenemos que preguntar: ¿qué dificultades enfrentan los alumnos en el momento de

resolver un problema algebraico?; ¿cuáles son los errores que tienen en la

obtención del modelo algebraico? y ¿cuáles son los errores al resolver la ecuación

para obtener la solución del problema?

5

Para tratar de responder las tres preguntas, al inicio del año escolar 2021 se aplicó

un examen diagnóstico en varios grupos de Matemáticas I del CCH Sur, en este

trabajo se da cuenta de los resultados en uno de los grupos (con 25 alumnos).

Con la finalidad de planear las actividades del curso, aplicamos el examen

diagnóstico mencionado, donde 6 reactivos fueron tomados del examen “Concepts

in Secondary Mathematics and Science” (CSMS) de Küchemann (1981) y 8

problemas de respuesta abierta obtenidos de libros de Álgebra de bachillerato y de

algunos exámenes de los Concursos Metropolitanos de Matemáticas para

bachillerato.

Es decir, con el análisis de los resultados del examen encontramos algunos

elementos para responder a las preguntas planteadas, a partir de los cuales,

planeamos las actividades del curso, considerando el nivel de desempeño en tareas

algebraicas de nuestros alumnos.

Marco conceptual y de referencia

Nivel de Desempeño en Tareas Algebraicas

En el Plan de Estudios (PEA) del CCH se menciona que las y los alumnos tienen

que lograr los aprendizajes del curso a un nivel que corresponda con su edad.

“el alumno sea capaz de dar cuenta de las razones y de la validez de su

conocimiento y de los procesos de aprendizaje a través de los cuales lo

adquiere, en un nivel adecuado a su edad” PEA (1996. p. 36).

Por lo que tenemos que investigar, de acuerdo con la edad de nuestros alumnos

(15 a 16 años), qué nivel de desempeño en tareas algebraicas les corresponden.

De los trabajos de Piaget y Collis citados por Esquinas (2009. p 128) se tiene que

de 10 a 12 años (final de operaciones concretas) el alumno puede comprender la

letra como sustitución de varios números; de 13 a 15 años (generalización concreta)

puede comprender la letra como generalización del número y con más de 16 años

(operaciones formales) puede comprender la letra como variable. Considerando

ambos aspectos, el PEA y las etapas de Piaget, se tiene que, los profesores

tenemos la tarea de apoyar a los alumnos a situarse en la etapa de operaciones

6

formales (16 o más años) adquiriendo los conceptos de incógnita y variable propios

del álgebra, para poder resolver problemas que requieran plantear y resolver

ecuaciones de primero y segundo grado y funciones lineales y cuadráticas.

Los resultados de los exámenes de diagnóstico que hemos aplicado, nos muestran

que la mayoría de los alumnos que inician el curso de Matemáticas I, se ubican en

la etapa de final de operaciones concretas, resolviendo problemas sólo con el uso

de números enteros y las operaciones aritméticas, algunos alumnos se pueden

ubicar en la etapa de generalización concreta, utilizando expresiones algebraicas y

números racionales (no enteros) y sólo unos cuantos, se pueden situar en la etapa

de operaciones formales, resolviendo problemas con ecuaciones y funciones y

utilizando números irracionales. Por lo que, a la mayoría de nuestros alumnos les

falta la habilidad necesaria para resolver los problemas presentados en algunos

libros de álgebra de nivel bachillerato como, por ejemplo, el Fleming (1971), algunas

guías para los exámenes de los concursos de matemáticas de la etapa de

bachillerato y el calendario matemático de Alberro, A. y Bulajich, R. (2016).

El problema de bajo nivel de desempeño en tareas algebraicas continúa en los

niveles superiores, como lo muestran la siguiente cita.

“la calidad del egreso no ha sido la esperada tanto para el CCH como para

las escuelas y facultades de la Universidad … a medida que avanzan en los

semestres, se incrementa la reprobación” Barajas (2018. pp 8 y 13).

García. Segovia y Lupiáñez. (2014), reportan que, en un estudio llevado a cabo en

el Centro Universitario de la Costa Sur, en Autlán, México, para analizar los errores

de los alumnos (18 a 20 años) de matemáticas del primer semestre, en la resolución

del examen de Küchemann (1981), encontraron que algunos estudiantes (25.6%)

podían resolver tareas simples, como si a + 5 = 8 entonces a =, la mayoría (53.8%)

de los estudiantes resolvían tareas, como si m = 3n+1 y n =4 entonces m =, algunos

estudiantes (17.9%) podían resolver tareas como, sumar 4 a 3n, pero no pueden

multiplicar 4 por n+5 y sólo el 2.7% pueden realizar tareas como, ¿Cuál es más

grande 2+n o 2n? y comentan que esta situación es generalizada.

7

“todos los estudiantes ingresan con un bajo nivel algebraico” García. Segovia

y Lupiáñez. (2014. p 1562).

Küchemann establece 6 etapas, sobre la manera en que los estudiantes avanzan

en el uso de las letras al resolver tareas algebraicas:

1. Letra no usada, por ejemplo, 2x+3+2x = 7.

2. Letra evaluada, por ejemplo, 2x+3+2x = 11, sustituyendo la x por 2.

3. Letra como objeto, por ejemplo, 3p significa tres peras y 6m seis manzanas.

4. Letra como incógnita, un número desconocido que deben hallar.

5. Letra como número generalizado, no es un número fijo, sino que puede ser

cualquier número.

6. Letra como variable, puede representar cualquiera de los elementos de un

conjunto de números.

Relacionando las etapas de Piaget y Collis con las etapas de Küchemann, Esquinas

(2009. p 128) propone cuatro categorías de análisis, a los que llama niveles.

Nivel 1, los alumnos necesitan los números, el trabajo con letras es erróneo.

Nivel 2, los alumnos tienen más familiaridad con la notación algebraica, aunque aún

no realizan un trabajo formal con incógnitas, números generalizados o variables.

Nivel 3, los alumnos son capaces de comprender la letra como incógnita y número

generalizado en casos sencillos.

Nivel 4, los alumnos son capaces de comprender la letra como incógnita y número

generalizado en casos complejos y como variable, con ciertas dificultades.

Información Procesada

En nuestro examen diagnóstico del año 2019, aplicamos un ejercicio del examen

Concepts in Secondary Mathematics and Science (CSMS), que Küchemann (1981)

aplicó a 3000 alumnos de segundo, tercero y cuarto año de una escuela secundaria

de Chelsea, Londres, con edades de 13 a 15 años, figura 5.

8

Figura 5

Küchemann reportó, que los errores más comunes (28%) fueron: 𝑒 + 10, 10𝑒 y 7𝑒.

En nuestro caso, la mayoría de los alumnos (54%), respondieron: 10𝑒, 5 ∙ 𝑒 + 2,

5𝑒10, 𝑒 + 2(5). El 27% de los alumnos respondió dando un valor numérico a la 𝑒,

obteniendo los resultados que se muestran en la tabla 1, para el área del rectángulo.

Tabla 1. Valor asignado a la 𝑒 con el valor obtenido de A

𝑒 = 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = 20 𝑒 = 10, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = 60

𝑒 = 12, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = 70 𝑒 = 17, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = 85

Sólo en algunos casos (19%), se obtuvo la respuesta correcta: 5(𝑒 + 2), 5𝑒 + 10.

En la figura 2, se muestra un ejemplo donde el alumno al tratar de despejar la 𝑒 de

la ecuación 5𝑒 + 10 , escribe 𝑒 =10

5, luego escribe (5)(2 + 2), obteniendo que el

área es 20.

Los resultados de la tabla 1 y la respuesta de la figura 2, nos muestran la necesidad

que tienen la mayoría de nuestros alumnos, de obtener una respuesta numérica y

9

en números enteros, la expresión algebraica 5𝑒 + 10, no la reconoce como una

respuesta al problema presentado.

Los resultados anteriores, nos llevaron a que en nuestro examen diagnóstico de

2020 incorporáramos seis ejercicios del examen CSMS de Küchemann (1981), que

conforman los dos primeros problemas, de los 10 que contiene el examen, los otros

8, son problemas de respuesta abierta obtenidos de algunos libros de texto de

bachillerato y de algunos exámenes del concurso de matemáticas.

Se indicó a los alumnos, que para la calificación del examen diagnóstico se utilizaría

la tabla 2, por lo que deberían escribir todas las operaciones y la justificación de

cada una de sus respuestas. La respuesta correcta sin ningún desarrollo sólo cuenta

4 puntos en una escala de 0 a 10.

Tabla 2. Puntuación asignada a cada una de las respuestas

Examen Diagnóstico 2020

1. Contesta las siguientes preguntas y justifica tus respuestas.

a) Si 𝑒 + 𝑓 = 8 entonces 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 = _______

b) Si 𝑟 = 𝑠 + 𝑡 entonces 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 30 , entonces 𝑟 = _______

c) Si 𝑐 + 𝑑 = 10 y 𝑐 es menor que 𝑑, ¿qué puedes decir de 𝑐? _______________

2. Contesta las siguientes preguntas y justifica tus respuestas.

a) 𝐿 + 𝑀 + 𝑁 = 𝐿 + 𝑃 + 𝑁 es verdadero: ¿siempre, algunas veces o nunca? ____

10

b) El área del rectángulo que se muestra en la figura es __________

c) La siguiente figura es un polígono de n lados y cada lado es de longitud 2,

entonces el perímetro del polígono es _________

Resuelve los siguientes problemas.

3. Una varilla de 35 metros, es pintada de amarillo y verde, si la parte verde es el

doble más un metro mayor que la parte amarilla, ¿cuántos metros están pintados

de verde?

4. ¿En cuánto aumentará el área de un rectángulo si su largo aumenta 20% y su

ancho aumenta en 15%?

5. La suma de la longitud de la diagonal de un cuadrado con la longitud de uno de

sus lados es 6. Encuentra la longitud de cada lado del cuadrado.

6. Una caja contiene pelotas. Si el número de pelotas que hay más otro tanto igual,

más la mitad de las pelotas que había inicialmente más una cuarta parte de las

pelotas que había inicialmente, más 1 es igual a 100. ¿Cuántas pelotas tiene la

caja?

7. En un salón 3

2 de los alumnos son hombres. Un muchacho dijo: “si llegaran 4

hombres y 9 mujeres, la mitad de mis compañeros serían hombres”. ¿Cuántas

mujeres hay en el salón?

8. En un restaurante comieron 30 personas. Cada adulto gastó la misma cantidad y

entre todos gastaron $1920 y cada niño gastó la misma cantidad y entre todos

gastaron $1920. Si cada adulto gastó el doble que cada niño, ¿cuántos adultos

comieron en el restaurante?

11

9. Las 4 figuras siguientes se construyeron con palillos.

a) Llenen la tabla para obtener la fórmula que permite calcular el número de cuadros

y el número de palillos para la figura número 𝑛.

b) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que se obtiene con 496 palillos?

10. Se tienen 2 segmentos de tamaños 𝑎 y 𝑏, se divide el segmento de tamaño 𝑎

en dos segmentos de modo que el segmento mayor exceda al segmento menor en

𝑏 unidades. Por ejemplo, si 𝑎 = 4 y 𝑏 = 2, los dos segmentos miden 3 y 1, de tal

manera que 3 = 1 + 2.

a) Si 𝑎 = 7 y 𝑏 = 3 ¿cuánto miden cada uno de los segmentos?

b) Si 𝑎 = 10 y 𝑏 = 4 ¿cuánto miden cada uno de los segmentos?

c) Para valores cualquiera de 𝑎 y 𝑏 ¿cuánto miden cada uno de los segmentos?

Sabemos que algunos de los problemas seleccionados para el examen de

diagnóstico son muy difíciles para el nivel de desempeño en tareas algebraicas de

nuestros alumnos, por ejemplo, los problemas 2.a, 5, 7, 9 y 10, por lo que no

esperamos que los alumnos obtengan los 100 puntos del examen, un buen

resultado esperado es de 60 puntos. Seleccionamos esos problemas difíciles,

porque nos interesa ver la manera en que ellos plantean el modelo matemático y la

manera en que manipulan las expresiones matemáticas que escribieron para

resolver los problemas. Como se menciona en las instrucciones para el registro al

12

Concurso Metropolitano de Matemáticas 2020-2021 (CMM 20-21), enviadas por el

Comité Organizador, no están interesados en saber cuántos alumnos contestan

todo el examen, sino en la manera (habilidades) en que ellas y ellos enfrentan los

problemas.

“No te preocupes si no puedes resolver todas las preguntas. … No se espera

que contestes todas las preguntas, sino que las intentes” CMM 20-21. (2021).

En la tabla 3, se muestran los resultados cuantitativos, obtenidos en uno de los

grupos que participaron en el estudio (25 alumnos), donde C1 y C2 son el promedio

de los tres incisos de los problemas 1 y 2. Total es el promedio de los 10 problemas.

13

Observamos que 5 alumnos (20%), obtuvieron una evaluación de desempeño alto

(B), 12 alumnos (48%), obtuvieron un desempeño regular (R) y 8 alumnos (32%),

obtuvieron un desempeño bajo (M). El promedio de las calificaciones fue de 3.78

También se observa, que los problemas que tuvieron el menor promedio fueron el

4, 5, 7 y 10, con promedios 2.96, 2.88, 2.8 y 1.92, respectivamente.

Pensamos que en el problema 4, no pudieron relacionar un aumento en la longitud

de los lados de un rectángulo con el aumento en su área, posiblemente, porque no

es claro que el resultado sea un número entero o no pudieron usar una regla de

tres.

En el problema 5, algunos recordaron el teorema de Pitágoras y lo aplicaron en el

triángulo rectángulo, pero tuvieron problemas con el manejo de la raíz cuadrada y

que la solución fuera un número irracional.

En los problemas 7 y 10, consideramos que se trató de falta de comprensión del

problema (paso 1 del modelo de Polya), ya que en el 7 no restaron al alumno

expositor y en el 10 no entendieron el ejemplo.

Evaluación cualitativa de los resultados del examen diagnóstico 2020.

Con los dos primeros cursos de Matemáticas del CCH, se busca que los alumnos

tengan un uso de la 𝑥 como incógnita, como número generalizado en casos

regulares y como variable en casos sencillos, lo cual corresponde al nivel 4,

propuesto por Esquinas, descrito anteriormente.

Con la aplicación del examen diagnóstico, hemos encontrado que algunos alumnos,

al ingresar al CCH, tienen dificultades para resolver problemas con números enteros

(nivel 1) y que la mayoría no maneja las letras como incógnitas (nivel 3).

En los resultados de los alumnos, se observa de manera constante, el tratar de

encontrar un número entero positivo que resuelva el problema, los alumnos

proponen un número y lo utilizan para obtener el resultado deseado (tanteo), no

14

intentan plantear una expresión algebraica para resolver el problema, lo cual fue

mostrado por Rojano en 1994.

“resolución de problemas algebraicos verbales, un común denominador es la ausencia de métodos algebraicos en las respuestas de alumnos entre 12 y 16 años de edad” Rojano (1994. p. 49).

Los resultados de los exámenes de diagnóstico, mostraron que los alumnos están

anclados en aspectos aritméticos (tanteo), ambiente donde obtienen resultados

correctos, esto les impide avanzar a plantear una o varias expresiones algebraicas

para construir una ecuación que les permita resolver el problema de manera

algebraica.

“El Álgebra requiere un cambio en el pensamiento del estudiante de las

situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre

números y operaciones” Kieran y Filloy (1989. p. 229 y 230)

Nos hemos propuesto, generar experiencias de enseñanza, para que los alumnos

sean capaces de expresar las condiciones del problema por medio de expresiones

algebraicas, usando la 𝑥 como incógnita, combinarlas para formar ecuaciones que,

al resolverlas, puedan obtener la solución del problema, esto es, buscamos que los

alumnos, usen la 𝑥 como incógnita, avancen usando la 𝑥 como número generalizado

y finalmente se inicien en el uso de la 𝑥 como variable (nivel 4 de Esquinas).

Como todos sabemos, el desarrollo histórico del Álgebra nos muestra, cómo se

parte de la descripción de los objetos (etapa retórica) en soluciones particulares de

casos concretos y prácticos sin utilizar símbolos, para seguir a la solución de casos

menos prácticos y más abstractos, introduciendo algunos símbolos (etapa

sincopada), finalmente se pasa al uso generalizado de símbolos (simbólica) con la

solución de situaciones generales y abstractas. Melesani (1999) considera que, de

esta misma forma, los alumnos transitan de un pensamiento aritmético a un

pensamiento algebraico.

“… en los dos periodos históricos que preceden la formalización: retórico y

sincopado, porque en ellos se desarrollan precisamente los cambios

15

conceptuales necesarios en la fase de transición entre el pensamiento

aritmético y el pensamiento algebraico.” Melesani (1999. p. 4)

Consideramos que tenemos una situación similar con nuestros alumnos en el salón

de clase, que tratan de encontrarle sentido práctico a los problemas que resuelven

y no utilizan las letras para expresar las relaciones de forma general, sino que

recurren a la búsqueda de números enteros y operaciones Aritméticas para resolver

los problemas que les presentamos, esto es, tratan de resolver los problemas

pensando en situaciones prácticas y concretas (utilizando números enteros y

decimales) y no trascienden a resolver los problemas de manera abstracta

(utilizando números racionales no enteros y números irracionales) con el

planteamiento de ecuaciones y funciones, esto es, no resuelven situaciones

generales utilizando letras y expresiones algebraicas.

Observamos que, en la antigüedad, el caso del triángulo rectángulo de lados 3, 4 y

5 fue muy utilizado para trazar ángulos rectos (a escuadra) en las construcciones y

delimitación de terrenos, y que la razón 2

3 se utilizó para construir la cara de una

pirámide, de tres ladrillos de base y dos de alto, figura 6.

Figura 6

Una situación similar se sigue utilizando en los problemas que con frecuencia se

utilizan en la clase de matemáticas, por ejemplo, cuando se les pide a los alumnos,

repartir 2 manzanas entre tres personas, generalmente responden 0.66 manzanas

y para comprobar su resultado multiplican 3(0.66) = 1.98 obteniendo un pequeño

error de 0.02 manzanas, que es tan pequeño que puede no tomarse en cuenta, sin

16

embargo, si esto se hace para 1000 paquetes de 2 manzanas, se tendría que

multiplicar el error por 1000, obteniéndose 1000(0.02) = 20, que ya no es un

número pequeño y no podríamos descartar un error de 20 manzanas.

La respuesta correcta es 2

3 de manzana, pero los alumnos no logran comprender

que 2

3 es un número aceptable para la respuesta y terminan dividiendo y dando el

resultado (incorrecto) en números decimales.

Si les pedimos calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, ya les

cuesta más trabajo, pero cuando logran aplicar el Teorema de Pitágoras, su

respuesta es 1.41 y para comprobarlo escriben 12 + 12 = 1.412 = 1.988,

nuevamente consideran que un error de 0.012 es tan pequeño que puede

despreciarse, pero si los lados del cuadrado tuvieran una longitud de 1000 unidades,

el resultado en decimales sería 1414.21, que al comprobarlo escribirían

(1000)2 + (1000)2 = (1414.21)2 = 1999989.92

Ahora, el error sería de 10.08 unidades, que ya no puede descartarse.

Nuevamente, los alumnos no comprenden que la respuesta correcta es √2, ya que

ellos no le encuentran un sentido práctico y no lo pueden pensar como una

respuesta al problema propuesto.

En la tabla de respuestas correctas para ingreso al bachillerato (figura 4 de la página

4 de este trabajo) se observa, la poca importancia que se da a esta misma situación,

al sumar los porcentajes marcados en lo alto de las barras, se obtiene

8 + 74 + 18 + 1 = 101

En lugar de 100%, pero se considera que un error del 1% de alumnos es tan

pequeño que puede no tomarse en cuenta, sin embargo, se trata del número de

alumnos que ingresaron a los 5 planteles del CCH en la generación 2017-2018, que

de acuerdo con la publicación La Generación 2018 un Egreso Histórico (2021. p.

14) es de 19540 alumnos y el 1% de 19540 es 195.40, luego es un error de 195

alumnos que es un error grande, que no puede descartarse.

17

Estamos acostumbrados a dar respuestas en números enteros y decimales, sin

considerar los resultados exactos (resultados aproximados en números decimales),

desestimando los errores que se cometen al pensar que son muy pequeños. Esta

práctica se lleva al salón de clase y no se demanda a los alumnos a utilizar números

racionales (no enteros) e irracionales para dar respuestas exactas (sin errores) a

los problemas considerados, pensando en situaciones prácticas y concretas, sin

darnos cuenta de que esta situación, puede ser la causa de que los alumnos no

avancen en su tránsito de pasar de utilizar expresiones aritméticas a utilizar

expresiones algebraicas en la resolución de los problemas.

“… desde un punto de vista histórico, el Álgebra debe entenderse

principalmente como un método para resolver problemas.” Oller y Meavilla

(2014. p. 104)

Para la resolución de los problemas, se les pidió a los alumnos utilizar las cuatro

etapas del modelo de Polya. Se dio principal atención al paso 1 (Entender el

problema) ya que nos dimos cuenta, de que algunas dificultades y errores se deben

a que los alumnos no entendían lo que se solicitaba en el problema. Para el paso 2

(diseñar un plan), les pedimos utilizar tres formas de resolución: aritmética,

geométrica y algebraica, al inició atendimos las formas aritmética y geométrica, pero

fuimos avanzando a la forma algebraica, considerando lo que menciona Chalouh y

Herscovics (1988), citado por Ursini.

“… pedir a los niños que respondieran “en álgebra” fue un elemento esencial

que ayudó a los niños a pasar de un contexto aritmético a uno algebraico”

Ursini (1994. p. 101).

En el paso 3 (Ejecución del plan), se puso especial atención a la definición de la 𝑥,

mencionando que debería ser el número que resuelve el problema, como lo definió

Leonhard Euler en 1765, citado por Meavilla.

18

“Cuando se tiene que resolver un problema, el número buscado se indica por

una de las últimas letras del alfabeto … a partir de las condiciones dadas, se

puede formar una igualdad entre dos cantidades … que nos permite

determinar el valor del número buscado” Meavilla (2013. p. 23).

Para el paso 4 (Retrospección) se pidió que, para comprobar el problema, lo

resolvieran por un segundo método, esto es, si lo hicieron de forma aritmética lo

resolvieran, ahora, de forma geométrica o algebraica.

Como se mencionó anteriormente, en los programas de estudio de la educación

básica3 y secundaria4 en México, se tiene contemplado resolver problemas, por lo

que, para sexto año de primaria se puede leer en el programa de Matemáticas

“Resuelve problemas de cálculo de porcentajes y de tanto por ciento” y en el de

primero de secundaria “utilizar secuencias de situaciones problemáticas que

despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes

formas de resolver los problemas”, lo cual nos dice que los alumnos del primer año

de bachillerato tiene experiencia en resolver problemas. Con el examen diagnóstico

queremos entender la manera en que los alumnos utilizan las letras al llevar a cabo

una tarea algebraica, cómo escriben un modelo que les permita resolver el problema

y cómo operan con las ecuaciones para obtener la solución del problema.

“… los estudiantes no logran integrar los dos dominios de su conocimiento,

conformados, por un lado, por el manejo sintáctico del álgebra y, por otro, por

la resolución de problemas” Rojano (1994. p. 49).

Para la evaluación cualitativa de los problemas del examen diagnóstico 2020,

utilizamos cuatro categorías, obtenidas a partir de la propuesta de Esquinas (2009),

las cuales nos permitirán determinar el nivel de desempeño en tareas algebraicas,

de nuestros alumnos de primer semestre de Matemáticas del CCH Sur.

3 https://www.planyprogramasdestudio.sep.gob.mx/prim-ae-pensamiento-mate6.html. 4 https://www.gob.mx/sep/acciones-y-programas/secundaria-primer-grado-matematicas?state=published

Tomadas el 10 de abril de 2021.

19

Categorías para el análisis cualitativo de los problemas

A partir de la propuesta de Esquinas (2009) presentada en la página 7 de este

trabajo, se definieron cuatro categorías para el análisis cualitativo.

Categoría 1 (𝐶1). Los alumnos no utilizan las letras, su desarrollo y búsqueda de la

solución es completamente aritmético o geométrico. Cuando usan las letras, son

utilizadas como etiquetas.

Categoría 2 (𝐶2). Los alumnos utilizan las letras, pero con múltiples errores, por

ejemplo, 2x+3+2x = 7 (letra no usada), 2x+3+2x = 11 (letra evaluada), y no se

observa un manejo consistente de las letras.

Categoría 3 (𝐶3). Aún tiene errores, pero ya se observa un manejo consistente de

la letra como incógnita y se inicia en el uso de la letra como número generalizado.

Categoría 4 (𝐶4). Usa correctamente (casi sin errores) la letra como incógnita y

como número generalizado y se inicia en el uso de la letra como variable.

Evaluación cualitativa

Al observar el examen de diagnóstico 2020 (páginas de la 9 a la 11 de este trabajo),

nos damos cuenta de que tiene dos partes, la primera con 6 ejercicios, del examen

de Küchemann (1981), problemas 1 y 2, y la segunda parte, con 8 problemas

obtenidos de libros de texto y algunos exámenes del concurso de matemáticas,

(problemas del 3 al 10).

Resultados cualitativos de los problemas 1 y 2.

La tabla 4 nos muestra que la mayoría (54%) de los alumnos asignó valores

numéricos a las letras, por lo que, dichos alumnos están en la categoría 𝐶1.

Tabla 4. Resultados de la 1a. pregunta por número de alumnos.

1.a) Si 𝑒 + 𝑓 = 8 entonces 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 =

No. de alumnos 7 13 1 1 2

Respuesta 8 + 𝑔 0, 9, 12, 13, 14, 15, 16 y 18 8𝑔 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 ----

Categoría 𝐶3 𝐶1 𝐶2 𝐶2 ----

20

La tabla 5 nos muestra que la mayoría (75%) de los alumnos, contestó de forma

aritmética (tanteo) 𝑟 = 15 y 𝑟 = 20, esos alumnos están en la categoría 𝐶1.

Sólo un alumno contestó de forma algebraica, 𝑟 + 𝑟 = 30, luego 2𝑟 = 30, entonces

𝑟 =30

2= 15, por lo que ese alumno, estaría en la categoría 𝐶3.

Tabla 5. Resultados de la pregunta 1b. por número de alumnos.

1.b) Si 𝑟 = 𝑠 + 𝑡 entonces 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 30 , entonces 𝑟 =

No. de alumnos 1 18 1 1 1 2

Respuesta 𝑟 =

30

2

𝑟 = 15 𝑟 < 14 𝑟 = 20 30 − 𝑠 − 𝑡 ----

Categoría 𝐶3 𝐶1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 ----

La tabla 6 nos muestra que la mayoría (75%) de los alumnos, consideró los números

naturales menores que 5, por lo que, esos alumnos están en la categoría 𝐶1.

No es claro, si los 4 alumnos que contestaron 𝑐 < 5, están pensando en números

reales o si están pensando en números naturales.

Tabla 6. Resultados de la pregunta 1c. por número de alumnos.

1.c) Si 𝑐 + 𝑑 = 10 y 𝑐 es menor que 𝑑, ¿qué puedes decir de 𝑐?

No. de alumnos 4 1 11 6 1 1

Respuesta 𝑐 < 5 𝑐 < 4 1, 2, 3, 4 4 𝑐 + 𝑑 ≠ 5 𝑒 > 𝑐 𝑦 𝑑

Categoría 𝐶2 𝐶2 𝐶1 𝐶1 𝐶2 𝐶2

Los 12 alumnos que contestaron algunas veces (tabla 7), posiblemente están

pensando en ambas opciones: 𝑀 = 𝑃 y 𝑀 ≠ 𝑃, por lo que podríamos ubicarlos en

la categoría 𝐶3.

Tabla 7. Resultados de la 2a. pregunta por número de alumnos.

No. de alumnos 1 12 9 2

Respuesta Siempre, si 𝑀 = 𝑃

Nunca, si 𝑀 ≠ 𝑃

Algunas Veces

Nunca 𝑀 ≠ 𝑃

Siempre 𝑀 = 𝑃

Categoría 𝐶4 𝐶3 𝐶2 𝐶2

21

La tabla 8 nos muestra que una tercera parte de los alumnos (35%), asignaron

valores a la letra 𝑒, por lo que, esos alumnos están en la categoría 𝐶1.

Un alumno, cometió un error de notación, 𝑒 + 2 × 5 en lugar de (𝑒 + 2)5.

Tabla 8. Resultados de la pregunta 2b. por número de alumnos.

2.b) El área del rectángulo que se muestra en la figura es

No. de alumnos 9 4 1 1 8 1

Respuesta 5𝑒 + 10 10𝑒 2𝑒 + 14 𝑒 + 2 × 5 10, 30, 35, 40, 45, 50 y 80

----

Categoría

𝐶3 𝐶1 𝐶1 𝐶2 𝐶1 ----

La tabla 9, nos muestra que la mayoría (79%) de los alumnos asignó un número

natural, al número de lados 𝑛, por lo que, esos alumnos están en la categoría 𝐶1

Tabla 9. Resultados de la pregunta 2c. por número de alumnos.

2.c) La siguiente figura es un polígono

de n lados y cada lado es de longitud 2,

entonces el perímetro del polígono es

No. de alumnos 3 12 7 2

Respuesta 2𝑛 24 12, 14, 18, 20, 28, 32 y 36. ----

Categoría 𝐶3 𝐶1 𝐶1 ----

Resultados cualitativos de los problemas del 3 al 10.

En la tabla 10, se muestran los resultados obtenidos por 25 alumnos de uno de los

4 grupos que participaron en el estudio, se observa que la mayoría de los alumnos

(73%) tuvieron un desempeño en tareas algebraicas en la categoría 𝐶1, algunos

alumnos (20%) tuvieron un desempeño en la categoría 𝐶2 y sólo el 7% estuvieron un

22

desempeño en la categoría 𝐶3. No se encontraron alumnos con desempeño en la

categoría 𝐶4.

Tabla 10. Número de alumnos en relación con la categoría #Pregunta 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 NC

3 15 3 5 0 2

4 18 0 2 0 5

5 15 6 0 0 4

6 11 8 4 0 2

7 14 4 0 0 7

8 18 3 0 0 4

9 16 7 1 0 1

10 13 2 0 0 10

Suma 120 33 12 0 35

Ejemplos de las respuestas de los alumnos a los problemas 3 al 10.

Problema 3

En la figura 7, observamos un error al usar la variable 𝑉 y otro en un paso al despejar

la variable 𝐴, además no utiliza el valor exacto 34

3 para dar el resultado. Podriamos

decir que tiene un desempeño descrito por la categoría 𝐶3.

Figura 7

23

En la figura 8, observamos que no utiliza las letras y aproxima el resultado en lugar

de usar un número racional, tiene un desempeño descrito por la categoría 𝐶1.

Figura 8

Problema 4

En la figura 9, al parecer no encuentra la manera de utilizar la regla de tres, por lo

que no puede avanzar en la comparación de las dos cantidades por medio de la

razón. Se observa un manejo adecuado de las letras. Categoría 𝐶3.

Figura 9

En la figura 10, se observa un desarrollo aritmético del problema, pero no puede

interpretar el número 0.38 del resultado 1380 y como 20% + 15% = 35% es un

número entero considera que la respuesta es 35%, categoría 𝐶1.

Figura 10

24

Problema 5

En la figura 11, se observa que usa las letras, pero no puede avanzar si no les da

valores numéricos a las letras, tiene un desempeño en la categoría 𝐶2.

Figura 11

En la figura 12, se observa que utiliza las letras, pero no puede avanzar,

posiblemente por la raíz cuadrada del teorema de Pitágoras. Categoría 𝐶2.

Figura 12

Problema 6

En la figura 13, se observa que escribe el modelo con la variable 𝑛 sin embargo no

puede operar con la letra y termina resolviéndolo de forma aritmética. Categoría 𝐶2.

Figura 13

25

En la figura 14, se observa que combina letras y números para escribir el modelo y

lo resuelve de manera aritmética. Categoría 𝐶2.

Figura 14

Problema 7

En la figura 15, se observa que utiliza las letras como etiquetas y lo trata de resolver

de manera aritmética. Categoría 𝐶1.

Figura 15

En la figura 16, se observa que utiliza las letras como etiquetas y lo trata de resolver

de manera aritmética. Categoría 𝐶1.

Figura 16

26

Problema 8

En la figura 17, se observa que no utilizan las letras. Categoría 𝐶1.

Figura 17

En la figura 18, se observa que no utilizan las letras. Categoría 𝐶1.

Figura 18

Problema 9

Figura 19

27

En la figura 19, se observa que logra obtener la fórmula de las dos sucesiones, sin

embargo, no responde la pregunta. Categoría 𝐶3.

En la figura 20, se observa que lo resuelve, con errores, de manera aritmética, pero

ya está tratando de utilizar las letras. Categoría 𝐶2.

Figura 20

Problema 10

En la figura 21, se observa que lo resuelve de manera aritmética, con errores, pero

ya está tratando de utilizar las letras. Categoría 𝐶2.

28

Figura 21

En la figura 22, se observa que lo resuelve de manera aritmética, con errores, pero

ya está tratando de utilizar las letras. Categoría 𝐶2.

Figura 22

29

Curso de Regularización

De los cuatro grupos, del periodo 2021-1 al 2021-2, que participaron en el estudio,

se seleccionaron los 37 alumnos que obtuvieron un desempeño bajo (M) en el

examen diagnóstico, en la tabla 3 se muestran 8 alumnos en esta situación. Se

enlistaron de la menor calificación a la mayor calificación y con los primeros 13

alumnos se formó el grupo 1, con los siguientes 12 el grupo 2 y con los últimos 12

se formó el grupo 3, se consideró que, con esta distribución, los tres grupos serían

homogéneos en cuanto a su nivel de desempeño en tareas algebraicas, a los tres

grupos se les dio un curso de regularización de 20 horas, dos horas diarias y fuera

de su horario de clase.

Se utilizaron materiales de la primera etapa del concurso metropolitano de

matemáticas (cuyo objetivo es seleccionar a los alumnos que integran el equipo de

la Ciudad de México, para la Olimpiada Nacional de Matemáticas) dirigido a

estudiantes de primaria y secundaria. Se seleccionaron problemas de números,

geometría y algebra. Esperábamos que, con la resolución de los problemas, se

pudiera preparar a los alumnos para enfrentar las tareas algebraicas, que se

estarían resolviendo en su clase de Matemáticas I de CCH Sur.

A continuación, se presenta una muestra de los problemas seleccionados.

Problema 1. Si cada uno de los números 1, 2, 3 y 12 son usados una sola vez para

completar la expresión ( )

( )+

( )

( )=, ¿cuál es la suma más pequeña que se puede

obtener?

Problema 2. Tim, Tom y Jim son trillizos (es decir, tres hermanos que nacieron el

mismo día). Su hermano mayor, Paulo, es exactamente 3 años mayor que ellos. ¿Si

Tim tiene 4 años, cuál es la suma de las edades de los cuatro hermanos?

Problema 3. De entre los primeros 1000 enteros positivos, ¿cuántos son divisibles

por 3, 4, 5 y 6 simultáneamente?

Problema 4. Sea 𝑎 + 5 = 𝑏2 − 1 = 𝑐2 + 3 = 𝑑 − 4 ¿Cuál de los números a, b, c, d

es el mayor?

30

Problema 5. En la sucesión 13, 10, 1, 3, … cada término, después del primero, es

calculado sumando el dígito de las decenas más tres veces el dígito de las unidades

del término anterior. ¿Cuántos cuadrados perfectos distintos aparecerán en esta

sucesión?

Después de las dos semanas de clases de regularización, se les volvió a aplicar el

examen diagnóstico y el grupo 1 (de menor calificación en el primer examen) obtuvo

un promedio de 4.16, esto es, 38 décimas mayor que el promedio obtenido en el

primer examen por todo el grupo (tabla 3).

Consideramos que este buen resultado, se debió a que, en el curso de

regularización, los alumnos resolvieron problemas seleccionados del concurso de

matemáticas y que además asistían, junto con sus compañeros del grupo, a las

clases del curso de Matemáticas I, donde se trató, por medio de problemas, el tema

de números reales, esto es, se familiarizaron con la utilización de los números

racionales y los números irracionales.

Análisis cualitativo de los resultados de la segunda aplicación del examen

diagnóstico 2020

En las siguientes figuras, se muestran las dos respuestas del mismo alumno, de la

primera y segunda aplicación, de alumnos que tomaron el curso de regularización.

Figura 23. Problema 1.a

31

En la figura 23, primera aplicación, se observa que el alumno asigna números

naturales a las letras (4 y 1). En la segunda aplicación trata de resolver sin asignar

valores a las letras.

En la figura 24, se observa que el alumno asigna el número natural 10 a cada una

de las letras. En la segunda aplicación sigue asignando números, en este caso,

racionales, a las letras (7.5 y 15). Logra separar en dos partes, 𝑟 y 𝑠 + 𝑡.

Figura 24. Problema 1.b

En la figura 25, se observa que el alumno asigna números naturales a las letras (4

y 6). En la segunda aplicación sigue considerando números naturales para las

letras, pero afirma que uno es menor que otro y que al asignar un valor a 𝑑 el valor

que le corresponde a 𝑐 es tal que la suma es 10.

Figura 25. Problema 1.c

32

En la figura 26, se observa que el alumno considera que la veracidad de la relación

depende de la situación problemática, por lo que en unos casos es cierto, pero en

otros casos no. En la segunda aplicación considera que la veracidad de la relación

depende del valor de las letras. Les asocia un valor único a las letras 𝑀 𝑦 𝑃 por lo

que afirma que nunca es verdadero porque 𝑀 no se puede cambiar por 𝑃.

Figura 26. Problema 2.a

En la figura 27, se observa que el alumno ignora la letra 𝑒, sólo opera con los

números 5 y 2. En la segunda aplicación considera la existencia de la letra 𝑒 por lo

que escribe el resultado (𝑒 + 2)5.

Figura 27. Problema 2.b

33

En la figura 28, se observa que el alumno asigna el número 12 a la letra 𝑛 obteniendo

el número 24 para el perímetro de la figura. En la segunda aplicación, como no sabe

el valor de la letra 𝑛 le asigna el valor 𝑥, obteniendo el número 2𝑥 para el perímetro

de la figura.

Figura 28. Problema 2.c

Figura 29. Problema 3

34

En la figura 29, se observa que el alumno no entendió el enunciado del problema,

sólo considera que son dos partes y que una mide un metro más, por lo que parte

el 35 por la mitad y al 17.5 le suma el 1, obteniendo 18.5. En la segunda aplicación

se observa que tiene mayor claridad del problema y escribe el modelo 2𝑣 + 1 = 30,

donde se olvida de la parte amarilla y confunde el resultado (35). Desarrolla bien el

modelo, obteniendo 𝑣 = 14.5 y finalmente obtiene el resultado, incorrecto, 20.5 m.

En la figura 30, se observa que el alumno no sabe cómo comparar las dos áreas y

sólo suma los dos porcentajes. En la segunda aplicación se observa que asigna los

números 5 y 20 a los lados del cuadrado, para obtener el valor 100 para la primera

área y posteriormente calcula el aumento en los lados obteniendo 5.75 y 24, por lo

que obtiene 138 para la segunda área. Finalmente considera que un aumento de 38

representa un aumento del 38% en el área del rectángulo. No usa las letras,

resuelve bien el problema, pero de forma aritmética.

Figura 30. Problema 4

35

En la figura 31, se observa que el alumno confundió el enunciado del problema, ya

que escribió “de sus 6 lados” en lugar de escribir: de sus lados es 6, lo que lo lleva

a pensar en un cubo en lugar de un cuadrado y no poder ver la posibilidad de aplicar

el Teorema de Pitágoras. En la segunda aplicación se observa mayor claridad en la

comprensión del problema, usando las letras 𝑑 y 𝑙 para la longitud de la diagonal y

el lado del cuadrado. Aplica el Teorema de Pitágoras, pero no puede avanzar sin un

valor numérico para las letras, por lo que le asigna el valor 2 a la 𝑙, tiene varios

errores y finalmente logra escribir √8 = 2√2.

Figura 31. Problema 5

En la figura 32, se observa que este tipo de problemas son familiares para los

alumnos. Trata de resolverlo por tanteo, propone 30 como el número de pelotas y

ajusta el cuarto sumando para obtener el resultado. En la segunda aplicación se

observa que usa la letra 𝑥 para el número de pelotas, pero no puede interpretar el

término más 1 y escribe 1𝑥. Vuelve a resolverlo por tanteo y obtiene el resultado

correcto 36 pelotas.

36

Figura 32. Problema 6

Figura 33. Problema 7

37

En la figura 33, se observa que el alumno no comprendió el problema por lo que

sólo se observa 2

3+ 4 =

12+2

3=

14

3 en relación con los

2

3 que son hombres y los 4

hombres que llegaron. Se tiene un error al operar la suma de racionales, ya que la

confunde con la regla para la división de racionales. En la segunda aplicación se

observa que usa las letras como etiquetas, la ℎ para los hombres y la 𝑚 para las

mujeres. El modelo gráfico es muy acertado: 2

3 para los hombres y

1

3 para las mujeres

y al agregar 4 hombres y 9 mujeres obtiene la igualdad.

En la figura 34, se observa que el alumno usa la letra 𝐴 para el consumo total de los

adultos y después para el consumo de un adulto, lo mismo con los niños. Resuelve

por tanteo y como no comprueba el resultado, no se da cuenta de que está al revés,

dando el resultado 20 en lugar de 10. En la segunda aplicación vuelve a resolver

por tanteo y ahora sí obtiene el resultado correcto.

Figura 34. Problema 8

38

En la figura 35, se observa que el alumno obtiene los números de los 4 primeros

términos de la sucesión, pero no se da cuenta de que los números de la segunda

columna son impares y coloca el número 982. En la segunda aplicación se da

cuenta de que cada término de la segunda columna difiere en 2 y cada término de

la tercera columna difiere en 6, obteniendo para el número de palillos una fórmula

casi correcta 4𝑛 + 6 en lugar de 6𝑛 + 4. No lo escribe, pero posiblemente, piensa

que el número de cuadros es 2𝑛 + 1 ya que escribe la fórmula para el número de

palillos 𝑃 = 3𝑐 + 1. Escribe el resultado correcto 165 pero no es claro si lo obtuvo

con las fórmulas o al tanteo.

Figura 35. Problema 9

39

En la figura 36, se observa que el alumno no comprendió el problema ni entendió el

ejemplo. En la segunda aplicación es claro que entendió el ejemplo y escribe una

ecuación de 𝑥 donde el segmento mayor es 𝑎+𝑏

2 y el segmento menor es 𝑥.

Figura 36. Problema 10

40

El análisis cualitativo de los ejemplos seleccionados nos muestra que los cursos de

regularización tuvieron muy buenos resultados, recordemos que se trata de los

alumnos que obtuvieron los más bajos puntajes en la primera aplicación del examen

diagnóstico. Entre los avances observados, podemos citar:

• Los alumnos utilizaron los números racionales (no enteros).

• Disminuyó la asignación de valores enteros a las letras.

• Escribieron el modelo algebraico que resuelve el problema.

En general se observó un mejor desempeño en las tareas algebraicas, podríamos

decir que algunos alumnos, pasaron del nivel 𝐶1 al nivel 𝐶2.

Errores observados

A partir de los resultados, se construyó una lista de errores algebraicos de los

alumnos. Algunos casos se pueden considerar “obstáculos epistemológicos”.

1. Errores de notación

Escribió En lugar de

8𝑔 8 + 𝑔

𝑒 + 2 × 5 (𝑒 + 2)5

𝑐 < 4 menor que 5

Algunas veces Siempre, si 𝑀 = 𝑃;

Nunca, si 𝑀 ≠ 𝑃

𝑥

2+

𝑥

4=

2𝑥

6

𝑥

2+

𝑥

4=

3𝑥

4

2𝑥 +𝑥

2+

𝑥

4= 99

2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 99(2)(4)

2𝑥(2)(4) + 𝑥(4) + 𝑥(2) = 99(2)(4)

𝑥 −1

5=

4

5𝑥

𝑥 −1

5=

5𝑥 − 1

5

41

2. Errores debidos a que los alumnos no comprenden la relación de equivalencia

entre el lado izquierdo y el lado derecho de una ecuación.

“equilibrio entre los lados izquierdo y derecho de una ecuación y del papel

del signo igual como equivalencia” Kieran (1988).

En la figura 37, se observa que en la expresión 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 = sustituye 𝑒 + 𝑓 = 8,

por lo que escribe 8 + 𝑔 = , despeja 𝑔 como −8 = 𝑔, sustituye el valor de 𝑔

obteniendo 8 + (−8) = 0. Finalmente escribe 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 = 0

Figura 37

En la figura 38, se observa que en la igualdad (5)(𝑒 + 2) = 5𝑒 + 10, despeja la 𝑒 del

lado derecho 𝑒 =10

5 por lo que obtiene 𝑒 = 2, que sustituye en el lado izquierdo de

la igualdad inicial, obteniendo (5)(2 + 2) = (5)(4) = 20.

Figura 38

En la figura 39, se observa que al resolver la ecuación 𝑥 +3𝑥

4= 98, multiplican el

lado derecho por 4, obteniendo 𝑥 + 3𝑥 = (98)(4).

42

En otro caso, al resolver la ecuación 2𝑥 +𝑥

2+

𝑥

4= 99, multiplican el lado derecho

por (2)(4), obteniendo 2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 98(2)(4).

Figura 39

3. Errores debido a la falta de comprensión del enunciado del problema.

En la figura 40, se observa que, como se dice más un metro, lo agrega al 35, y

obtiene 𝑎 =36

3= 12, por lo que escribe 35 = 𝑣 + 12, luego lo sustituye en 𝑣 = 2𝑎 +

1 obteniendo 35 = [2(12) + 1] + 12.

Figura 40

4. Errores debido al desconocimiento de las propiedades de las figuras geométricas.

En la figura 41, se observa que consideran que la diagonal de un cuadrado forma

dos triángulos equiláteros.

Figura 41

43

Obstáculos epistemológicos

Al revisar el examen diagnóstico y observar cómo trabajan durante la clase,

encontramos que los alumnos recurren a métodos para resolver problemas, propios

de educación básica como, por ejemplo, resolver los problemas, con éxito,

solamente con operaciones aritméticas, usar ampliamente la regla de tres, la

utilización exclusiva de números naturales y escribir todos los números con su

aproximación decimal. Consideramos que estos hábitos, son obstáculos

epistemológicos que dificultan a los alumnos avanzar en su tránsito de la aritmética

al álgebra.

“No se trata de considerar los obstáculos externos, …, ni de incriminar a la

debilidad de los sentidos … es en el acto mismo de conocer, íntimamente,

donde aparecen, por una especie de necesidad funcional los

entorpecimientos y las confusiones.” Bachelard (2000. p. 15).

Observamos este tipo de dificultades al revisar sus respuestas y encontrar una serie

de errores que los llevan a tener resultados erróneos o no poder avanzar para

obtener la solución del problema.

“son debidos al azar. … están ligados entre ellos por una fuente común, …

antigua y que ha tenido éxito en todo un dominio de acciones. … hace falta

un flujo suficiente de situaciones nuevas, no asimilables por él, … que va a

hacer necesaria la reconsideración” Brousseau (1983).

Los posibles obstáculos epistemológicos son:

1. La mayoría de los alumnos, escriben los resultados en números naturales.

2. Usan la regla de tres de manera reiterada y no utilizan las proporciones, que les

permitirían acceder a una mayor generalidad.

3. Usan el modelo aritmético (tanteo) para resolver problemas, debido a que la

mayoría de los problemas que se les presentan tienen una solución en números

enteros.

44

4. Han aprendido a dar respuesta a los problemas, llamados de aplicación, con

aproximaciones hasta milésimas, por lo que no pueden entender que una respuesta

pueda ser dada en números racionales o irracionales.

Como lo menciona Matz (1982), citado por (Ursini 1994), estas dificultades se

constituyen en obstáculo que bloquea el aprendizaje del álgebra.

“Un usuario competente es capaz de simplificar una expresión algebraica, …

las diferencias que caracterizan los distintos usos de la variable pueden

parecer triviales … reconocerlas es crucial para los principiantes. El no

reconocerlas se torna frecuentemente un obstáculo que bloquea el

aprendizaje del álgebra” Ursini (1994. p 91).

Conclusiones

• Los resultados del examen de diagnóstico mostraron que la mayoría de los

alumnos tienen un desempeño en tareas algebraicas que puede ubicarse en la

categoría 𝐶1.

• Con el curso de regularización se logró que los alumnos se pudieran

desempeñar de manera satisfactoria en tareas algebraicas de la categoría 𝐶2.

• Promover el uso de números racionales e irracionales (no enteros) en la

resolución de tareas algebraicas, contribuye a pasar de un desempeño en tareas

algebraicas de la categoría 𝐶1 a un desempeño en la categoría 𝐶2.

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