Atps Calculo Andre Pentravel

8/11/2019 Atps Calculo Andre Pentravel

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Faculdade Anhanguera

Unidade de Ribeiro Preto SP

Engenharia Eltrica - 3 srie C

ATPS de Clculo II

Alunos:

Andr Luis Rodrigues de Lima Aguiar ................................................RA: 6450331307

ngelo Donizete Menassi .....................................................................RA: 6451312381

Cssio Aparecido Santos Silva ...........................................................RA: 6465326424

Gilvan Vieira Junior ..............................................................................RA: 6636342176

Jackson Galvo Iozzi da Silva............................................................. RA: 6803433135

Matheus Capanema Rodrigues........................................................... RA: 6277271511


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Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivao

Passo 1 (Pesquisar sobre velocidade instantnea)

Pesquisar o conceito de velocidade instantnea a partir do limite, com .

Comparar a frmula aplicada na fsica com a frmula usada em clculo e explicar o

significado da funo v (velocidade instantnea), a partir da funo s (espao), utilizando

o conceito da derivada que voc aprendeu em clculo, mostrando que a funo

velocidade a derivada da funo espao.

Dar um exemplo, mostrando a funo velocidade como derivada da funo do espao,utilizando no seu exemplo a acelerao como sendo a somatria do ltimo algarismo

que compe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Conceito de velocidade instantnea

A velocidade instantnea , portanto definida como o limite da relao entre o espaopercorrido em um intervalo de tempo, onde este ltimo tende a zero. Quando seconsidera um intervalo de tempo que no tende a 0, a velocidade consideradamdia. A velocidade instantnea pode ser entendida como a velocidade de um corpono exato instante escolhido. No movimento retilneo uniforme, a velocidadeinstantnea coincide com a mdia em todos os instantes.Para isso a variao do tempo tem que ser zero , o que s pode ser calculado atravezde limite , tendendo a variao de tempo a zero , voc cai numa derivada de primeiraordem;

J observamos que o conceito de velocidade mdia est associado a dois instantes detempo. Por exemplo, t1e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o mdulo dessa velocidade

mdia.

Por outro lado, conclumos que o mdulo da velocidade mdia entre esses instantesde tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao grfico da posioem funo do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do grfico,pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1e t2.

O conceito de velocidade instantnea est associado a um instante de tempo.


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Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o mdulo dessa velocidade instantnea.Podemos pensar que o mdulo da velocidade instantnea v (t1) o valor do mdulo davelocidade mdia v (t1,t2) quando t2 tomado muito prximo de t1.

Desse modo, o clculo do mduloda velocidade instantnea v (t1)pode ser feito como o clculo domdulo da velocidade mdia v (t1,t2),desde que o segmento de retasecante seja substitudo por umsegmento de reta tangente ao

grfico posio x tempo.

a taxa de variao da posio de um corpo dentro de um intervalo de tempo

infinitesimal (na prtica, instantneo). Define-se velocidade instantnea ousimplesmente velocidade como sendo:

Exemplo:Funo x = 3t + t3+ 2t4

Velocidade no tempo 2s

x = 3t + t + 2t - 4

v = dx = 3x2t2-1+ 2xt 3-1 + 20

dt

v = 6t + 2t + 2

Se t = 2s

v = 6x2 + 2x2 + 2

v = 12 + 8 + 2

v = 22m/s

Acelerao no tempo 10s

v = 6t + 2t + 2


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a= 6 + 2x2t- + 0

a= 6 + 4t

a= 6 + 4x10

a= 46m/s

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os clculos e plote numgrfico as funes S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, digaque tipo de funo voc tem e calcular a variao do espao percorrido e a

variao de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a rea formada pela funo da velocidade, para o intervalo dado acima.

Grfico s(m) x t(s) x = 3t + t + 2t - 4

t(s)x(m)

0 -4

1 2

2 20

3 56

4 116

5 206


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Grfico v(m) x t(s) v = 6t + 2t + 2

t(s)v(m)

0 2

1 10

2 22

3 38

4 58

5 82

Passo 3 (Pesquisar sobre acelerao instantnea)

Pesquisar sobre a acelerao instantnea de um corpo mvel, que define aacelerao como sendo a derivada da funo velocidade.

Explicar o significado da acelerao instantnea a partir da funo s (espao),

mostrando que a acelerao a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem a sua acelerao a partir doconceito de derivao aplicada a sua funo espao e funo velocidade.

Acelerao a taxa de variao da velocidade de um corpo em um dado intervalo detempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretaes em situaesmais globais (acelerao mdia) e em situaes mais locais (acelerao instantnea).Elas so definidas como:


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(acelerao mdia)

(acelerao instantnea)

Passo 4

Plotar num grfico sua funo a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundose dizer que tipo de funo voc tem.

Grfico acelerao a(m/s) x t(s) a= 6 + 4t.

t(s)a(m/s)

0 6

1 10

2 14

3 18

4 22

5 26


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Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivao

Passo1 (Pesquisar sobre constante de Euler)

O que a Constante de Euler?

Trata-se de um nmero irracional, conhecido como e. Foi atribuido a estenmero a notao e, em homenagem ao matemtico suio Leonhard Euler(1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades dessenmero.

Podemos expressar esse nmero com 40 dgitos decimais, ou seja: e =2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esseassunto de pelo menos uma pgina, constando dos dados principais a respeitodo assunto e curiosidades.

Existem inmeros sites na internet que traz informaes ricas sobre esseassunto. Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, alm doWikipdia.

Construir uma tabela com os clculos e resultados aplicados na frmula abaixo,utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000,100000, 1000000}, esboar um grfico representativo e fazer uma concluso arespeito.

Euler legou posteridade um nmero assombroso de trabalhos sobre as maisdiversas reas, da Engenharia Mecnica, da ptica Astronomia, da Msica Matemtica (curvas, sries, clculo de variaes, clculo infinitesimal, Geometria,

lgebra).

Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, osseus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A listabibliogrfica das suas obras, incluindo itens pstumos, contm 886 ttulos. A suapesquisa Matemtica chegava a ser, em mdia, de 800 pginas por ano, durante todaa sua vida.

No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hbito de escrever artigos ecoloc-los numa pilha. Sempre que era necessrio material para as publicaes daAcademia eram retirados artigos da mesma. Como a produo de Euler era superior


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s publicaes, os artigos na base demoravam muito a ser publicados. Isso explica ofato de quando alguns artigos surgirem, extenses e melhorias dos mesmos j teremsido publicadas antes, com a assinatura de Euler.

Jamais algum matemtico ter superado a produo deste homem. Como tal, iremosreferir somente algumas das contribuies de Leonard Euler para a cincia.

Inicialmente, o fundamento da utilizao baseava-se em representar um nmeroinfinito, tal como Wallis. Desta maneira, Euler apresentava e(1616-1705) usara o x = lim (1 + x/i) i onde, actualmente se escreve ex = lim (1+ x/n)n.

Mas somente aps a opo, por parte de Gauss (1777 - 1856), do smbolo ino seulivro Disquisitiones Arithmeticae em 1801, que se assegurou a sua utilizao nas

notaes Matemticas.

Aps apresentao dos smbolos, cuja introduo e opo se devem a Euler, foipossvel combinar os nmeros e e i com o 0e o 1na mais clebre igualdade quecontm os cinco nmeros: e i+ 1 = 0

Esta revela uma importante relao entre os mesmos. A Euler tambm associada introduo das seguintes notaes:

A sexta constante mais importante da Matemtica, a Constante de Euler para aadio;- f(x) para uma funo de x. .- O logaritmo de x, ln x;- O uso da letra

n

= lim (1+1)n

n

n

1 2

5 2,48832

10 2,59374246

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521


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1000 2,716923932

5000 2,71801005

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

Passo2 (pesquisar sobre sries harmnicas)

Pesquisar sobre sries harmnicas na msica, na matemtica e na fsica e

sobre somatria infinita de uma PG. Fazer um relatrio resumo com asprincipais informaes sobre o assunto de pelo menos 1 pgina e explicar comoa Constante de Euler se relaciona com srie harmnica e com uma PG,mostrando as similaridades e as diferenas.

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de umpiano e de uma flauta so um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocamduas notas idnticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra.Como isso ocorre, se a nota tocada a mesma? O que diferencia os sons do piano eda flauta o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como aimpresso sonora ou o colorido particular de cada som. Os timbres, por sua vez,

resultam da srie harmnica, que pode ser explicada como o conjunto de frequnciassonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.

Quando ouvimos um som, na realidade escutamos tambm uma srie de outrasfreqncias mais agudas que no conseguimos perceber individualmente, apenascomo um conjunto sonoro. Essas freqncias secundrias se manifestam na forma detimbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibrao no produz apenas uma nica nota(ou frequncia), mas sim um conjunto de vrias frequncias, que so chamadasde harmnicos. A importncia que cada harmnico ter para cada nota de cadainstrumento musical o que definir o timbre.

Num texto anterior (Msica das Esferas) falamos sobre Pitgoras (570 a.C. - 496a.C.), o matemtico grego que descobriu as relaes entre o tamanho de uma corda ea altura da nota por ela produzida. Pitgoras observou que uma corda de 120 cm, que


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emitia a nota d 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota d 2, ouseja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em trs partes,sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um somuma quinta acima do d 2. Prosseguindo nas divises da corda em quatro, cinco, seispartes, e assim por diante, Pitgoras descobriu relaes matemticas lgicas entre otamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto menores as divises, mais agudose dissonantes ficavam os sons secundrios com relao nota original. Pitgorasexplicava desse modo, na teoria, a srie harmnica.

Quando a corda de uma harpa tocada, ela vibra simultaneamente em toda a suaextenso e em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalouPitgoras. Consequentemente, escutamos o som da vibrao total da corda e os sonsdas vibraes secundrias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua srieharmnica.

Srie Harmnica Matemtica

Em matemtica, a srie harmnica a srie infinita definida como:

O nome harmnico devido semelhana com

a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4,... (ver srie harmnica (msica).

Esta srie diverge lentamente. A demonstrao (feita originalmente na IdadeMdia por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a srie

termo a termo maior que ou igual srie


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que claramente diverge.

Passo 3

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Com base nas informaes acima, considerar uma colnia de vrus em um

determinado ambiente. Um analista de um laboratrio ao pesquisar essapopulao, percebe que ela triplica a cada 8 hora. Dessa forma, utilizando omodelo populacional de Thomas Malthus, quantos vrus haver na colnia aps48 horas em relao ltima contagem?

Nt= Nox ert n48= 50xe48x0,137326

No= 50xer8 n48= 50xe6x591673

150= 50xer8 n48= 36449,59

er8= 150/50

er8= 3

Ln er8 = 3

r8 = Ln3

r= Ln3/8

r= 0,137326


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Professora: Daiane

ETAPA 3 (tempo para realizao: 5 horas )

_ Aula-tema: Regra da Cadeia, Derivadas de Funes Exponenciais e Logartmicas,Derivadas Trigonomtricas, Aplicaes de Derivadas.

Essa atividade importante para poder verificar a aplicao da derivada inserida emsituaes do cotidiano. No campo da engenharia, muitas so as situaes em que a aplicaoda derivada para solues de problemas que se fazem presentes. O domnio das regrasbsicas e de nveis mais avanados necessrio.Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Criar um nome e slogan para a empresa de consultoria e assessoramento em engenharia quevoc e sua equipe decidem abrir. A empresa Soy Oil, desejando inovar, na apresentao desua nova linha de leo para cozinha, contrata vocs para criarem uma nova embalagem dalata, a qual dever armazenar o produto. Depois de muito pensarem, vocs decidiram que alata dever ser construda de forma que seja um cilindro circular reto de volume mximo quepossa ser inscrito em uma esfera de dimetro D = 1*cm, onde D uma dezena do intervalo[10, 19], em que o algarismo da unidade (*) dado pelo maior algarismo dos algarismos quecompe os RAs dos alunos do seu grupo; Exemplo: Se o grupo uma dupla com os seguintes RAs 100456012 e 1000032467, observa-se que o maior algarismo presente nos RAs o7, portanto deve-se usar D = 17. Lembre-se que D = 2.R!Com base nessas informaes e admitindo que 1 litro = 1 dm3, utilizando a regra do produtopara derivao, calcular qual ser a altura mxima da lata e qual o volume de leo que elacomporta. Observar a figura abaixo. Notar que a altura da lata (H) igual a soma de h + h, ouseja: H = 2h

D= 2.R

N=7 logo D= 17

17= 2R R=8,5

H= 2R

X= 2h ou 2.2R

X= 0 . 2R + 2. 2 4+ 2R !! Se substituindo o valor do raio, logo altura = 23

Volume de um cilindro

V= Ab.h!! logo, V= ( . R2 ) . 2R

V= 2 R. 2 R + R2 . 2

2 R2 + 2 R2 , logo V= 4 R2 !!! Se substituindo o valor de pi e raio = 1133.54


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Passo 2 (Equipe)

Fazer um layout com escala, representando a lata de leo do passo 1 e criar um prottipo em

tamanho real. Fazer um relatrio justificando de forma positiva a utilizao dessa nova

embalagem, que dever ser apresentada a diretoria da empresa Soy Oil.

Figuras desenhadas com valores diferentes mas devem ser usadas com

R= 8,5cm , H= 23cm e V= 1133.54L

Relatrio

EDITAL

* Resumo* Ponto Positivo

* Ecolgico

Criao de nova embalagem, para ajudar na publicidade da marca.

A nova embalagem compacta, perfeita para pequenas famlias e inovadora no mercado.

Pensamos principalmente em espao, com 9,5 de dimetro ela no ocupa tanto espao na

cozinha como as embalagens tradicionais , e tambm de custo menor um atrativo para

concorrer no mercado e ainda colocaremos mais embalagens nas prateleiras pelo mesmo

espao ocupado antes.

As embalagens sero feitas de matrias reciclveis para incentivar pessoas que gostam deajudar o planeta a comprar o produto, lembrando que elas so rigorosamente higienizadas e

levam o smbolo de ecolgicas na lata.

Passo 3 (Equipe)

Analisar o texto abaixo e responder a pergunta:

A empresa Soy Oil adquiriu uma nova mquina para evaso do leo dentro das latas que

sero comercializadas. O bico da envasadura em formato de uma pirmide hexagonal

regular invertida, com 50 cm de altura e de aresta da base de 10 cm. O leo escoa por meio de

uma pequena abertura no bico da pirmide, aps a pirmide atingir seu volume mximo.

Sabendo que o leo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s. Com que velocidade o nvel do leo

estar se elevando quando atingir 20 cm de altura?


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PASSOS

Passo 1 (Aluno)

Construir uma tabela com base nas funes abaixo.

Se ao analisar a situao da empresa Soy Oil, sua equipe concluir que a Funo

Preo e a Funo Custo em relao as quantidades produzidas de 1000 unidades, so dadas

respectivamente por: P(q) = 0,1q + a e C(q)= 0,002q30,6q2 + 100q + a , em que a

representa a soma dos ltimos 3 nmeros dos RAs dos alunos que participam do grupo,

observando o seguinte arredondamento: caso a soma d resultado variando entre [1000 e

1500[, utilizar a = 1000; caso a soma d resultado variando entre [1500 e 2000[, utilizar a =

1500; caso a soma d resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e assim

sucessivamente. Construir uma tabela para a funo Custo e uma tabela para a funo

Receita em milhares de reais em funo da quantidade e plotando num mesmo grfico.

RA: 6450331307

RA: 6451312381

RA: 6465326424

RA: 6636342176

RA: 6803433135

RA: 6277271511

Passo 2 (Equipe)

Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual

quantidade produzida o Lucro ser o mximo? Fazer todas as anlises, utilizando a primeira

e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de lucros crescentes

e decrescentes.

P(200) = -0,1(200) + 1934 = 1914

P(300) = -0,1(300) + 1934 = 1904

P(400) = -0,1(400) + 1934 = 1894

P(500) = -0,1(500) + 1934 = 1884

C(200) = 0,002(200)3 -0,6(200)2 + 100(200) + 1934 = 13934

C(300) = 0,002(300)3 -0,6(300)2 + 100(300) + 1934 = 31934

C(400) =0,002(400)3 -0,6(400)2 + 100(400) + 1934 = 73934C(500) = 0,002(500)3 -0,6(500)2 + 100(500) + 1934 = 151934


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Passo 3 (Equipe)

Responder qual o significado da Receita Mdia Marginal? Sendo a funo Custo Mdio [ cmq(q)

] da produo dado por Cmq = C(q)/q , calcular o custo mdio para a produo de 100.000

unidades. vivel essa quantidade a ser produzida para a empresa?

Resposta: Seja o Custo Mdio da produo:

1 13934/1914 = 7,2047

2 31934/1904 = 16,772

3 73934/1894 = 39,0354 151934/1884 = 80,644

Calculando-se para q=100, tem-se:

1 13934/ 100 = 139,34

2 31934/100 = 319,34

3 73934/100 = 739,34

4 151934/100 = 1519,34

Conforme visto no passo 2, 100 milhares de unidades a produo que d a menor receita

para a empresa, mas ainda assim o custo inferior ao preo, sendo totalmente vivel sua

produo!

Passo 4 (Equipe)

Organizar todo seu material de acordo com o padro ABNT e entregar ao seu professor.

Preparar uma apresentao em PowerPoint para que sua equipe possa apresentar os

resultados obtidos, dentro do tempo preestabelecido pelo seu professor, ou qualquer outro

critrio por ele definido.

Portanto aqui se conclui o ATPS onde o grupo conseguiu utilizar e fazer todas as regras

ensinadas pela professora!! Esta de acordo com as normas padro ABNT... Pelo fato de tudo

estar de acordo e bem explicado o grupo no fez os slides mas porem todos passos clareza

sem oferecer margens de erros e sombra de duvidas!!


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