Bateria de Ecuaciones 1

8/17/2019 Bateria de Ecuaciones 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica

1

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICAEscuela Profesional de Ingeniería Eléctrica

CURSO : EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEER R EENNCCIIAALLEESS

DOCENTE : FERNANDEZ, Juan Raymundo

TEMA : BBAATTEER R IIAA 22001133 -- BB

ALUMNOS :

VALLEJOS HOLGUIN CESAR 092542K

2013


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2

ECUACIONES DIFERENCIALES

PRACTICA #1

I) Soluciones de ecuaciones diferenciales

1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial,comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a lacorrespondiente ecuación diferencial.

a)1 2

y C senx C x es solución de (1 ) 0 xctgx y xy y

Solución:

xC SenxC y21

1 2 y C cosx C

1 y C Senx

1 1 2(1 c ) (1 )( ) cos x tgx y xctgx C Senx C senx C x x ……….. (1)

1 2 1 2( ) xy x C cosx C xC cosx C x …………………. (2)

xC SenxC y 21 …………….. (3)

Luego sumamos (1), (2) y (3)

1 1 1 2 1 2(1 c ) cos cos x tgx y xy y C senx C x x C x x C x C senx C x

(1 c ) 0 x tgx y xy y

b) x x x x e xeC xeC eC y 2321

2 es solución de

8 x

y y y y e

Solución:

x x x xe xeC xeC eC y

2

321 2

2

1 2 2 3 4 2 x x x x x x y C e C e C xe C e xe x e

2

1 2 2 2 3 4 4 4 2 x x x x x x x x x y C e C e C e C xe C e e xe xe x e

1 2 2 2 2 3 4 x x x x x x x y C e C e C e C e C xe C e e

24 4 4 4 4 2

x x x x x x

e xe e xe xe x e .......… .. (1)

1 2 2 2 3 4

x x x x x x y C e C e C e C xe C e e

24 4 2 x x x xe xe x e ……………………..… … (2)

2

1 2 2 3 4 2

x x x x x x y C e C e C xe C e xe x e … ….. (3)

x x x x e xeC xeC eC y 2

321 2 ………………….. (4)


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3

Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)

y y y y 1 2 2 2 2 3 x x x x x xC e C e C e C e C xe C e

4 4 4 x x xe e xe 24 4 4 2 x x x xe xe xe x e

1 2 2 2 3

x x x x xC e C e C e C xe C e

4 4

x x

e xe

24 2 x x xe x e 1 2 2 3

x x x xC e C e C xe C e 24 2 x x xe x e 21 2 3 2

x x x xC e C xe C e x e

8 x y y y y e

2) Demostrar que xCe x y 2 es la solución de la ecuación diferencial,

y 2 2 y y x hallar la solución particular para 3,0 y x ( esto

es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))

Solución:

xCe x y 2

2 x y Ce …………………….. (1)

2 x y x Ce ……………………..(2)

Luego sumamos (1) y (2)

2 2 x x y y Ce x Ce

2 2 y y x

( , ) (0, 3) x y 03 2(0) Ce 3C

La ecuación de la curva integral es: 2 3 x y x e

3) Demostrar que xeC eC y x x

2

21 es solución de3 2 2 3 y y y x y hallar la ecuación de la curva integral que

pase por los puntos (0,0) y (1,0)

Solución:

xeC eC y x x

2

21

2

1 22 1

x x y C e C e

2

1 24 x x y C e C e ………………….…… (1)

2

1 23 3 6 3 x x y C e C e …….………..… (2)

2

1 22 2 2 2 x x y C e C e x ….…………….. (3)

Luego sumamos (1), (2) y (3)

3 2 y y y 21 2

4 x xC e C e 2

1 23 6 3

x xC e C e

2

1 22 2 2

x xC e C e x

3 2 2 3 y y y x


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4

( , ) (0, 0) x y 0 2(0)1 20 0C e C e

1 20 C C

2 1C C

( , ) (1, 0) x y 1 2(1)1 20 1C e C e

2

1 10 1C e C e 1 ( 1) 1C e e

1

1

( 1)C

e e

21

( 1)C

e e

La ecuación de la curva integral es:

2

( 1) ( 1)

x xe e

y xe e e e

4) Demostrar que CxC y 2)( es la primitiva de la ecuación

diferencial 4 2 0 xy xy y y hallar las ecuaciones de las curvas

integrales que pasan por el punto (1,2)

5) La primitiva de la ecuación diferencial xy y es Cx y . Hallar

la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (1,2)

Solución:

Cx y

y C xy xC

xy y

( , ) (1, 2) x y 2 (1)C 2C

La ecuación de la curva integral es: 2 y x

6) Comprobar que1 2

y C cosx C senx y, ( ) y Acos x B son

primitivas de 0 y y demostrar también que ambas ecuaciones

son, en realidad, una sola.

Solución:

.1 2

y C cosx C senx

1 2

cos y C senx C x

1 2 y C Cosx C Senx …………………….. (1)

1 2 y C cosx C senx ………………………(2)


y y 1 2C Cosx C Senx 1 2C cosx C senx

0 y y

. ( ) y Acos x B

( ) y Asen x B


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5

( ) y Acos x B ………………. (3)

( ) y Acos x B …………………(4)


y y ( ) ( ) Acos x B Acos x B

0 y y

. Ahora demostraremos que 1 2 y C cosx C senx y ( ) y Acos x B

son, en realidad, una sola.

( ) y Acos x B

cos cos y A x B AsenxsenB

Como AcosBy AsenB son constantes, pueden asumir el valor de

1C AcosB 2C AsenB

1 2 y C cosx C senx ( ) Acos x B

7) Demostrar que x A x

y x )ln()ln(

2

22

se puede escribir así

x

Be y 2

Solución:

x A x

y x )ln()ln(

2

22

x A x

y x ).ln(

2

22

x A y )ln( 2

2

ye x A

2. yee x A

Como Ae es una constante Be A

Reemplazamos en 2. yee x A

2

y Be x

8) Demostrar que AarcSenyarcSenx se puede escribir así

B x y y x 22 11

Solución:

AarcSenyarcSenx

Derivamos:

2 2 01 1

dx dy

x y

2 2

2 2

1 10

1 1

dx y dy x

x y


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6

2 21 1 0dx y dy x

Integramos:

2 21 1 0 y dx x dy

2 21 1 x y y x B

9) Demostrar que A x y )1ln()1ln( se puede escribir como

C y x xy

Solución:

A x y )1ln()1ln(

A x y )]1)(1ln[(

A xy y x )1ln(

xy y xe A 1

xy y xe A 1

Como 1 Ae es constante, entonces puede tomar el valor

C e A

1

C xy y x

10) Demostrar que CxCoshySenhy se puede escribir como

A x y )ln(

Solución:

CxCoshySenhy

2 2

y y y ye e e e

Cx

ye Cx

lnCx y

ln lnC x y

Como lnC es constante entonces le damos el valor de ln A C

A x y )ln(

II) Origen de las ecuaciones diferenciales

1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos( , ) x y su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del

punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.

Solución:


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7

La pendiente es y

m x

2( ) y

x y x

2 2 y

x y x

22 2 y x yx

22

1 2

x y

x

2

2

4 (1 2 ) 2 ( 2)

(1 2 )

dy x x x

dx x

2

4 (1 )

(1 2 )

dy x x

dx x

2) Una curva esta definida por la condición que representa la condición

que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes enlos ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condición pormedio de una ecuación diferencial.

3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten endextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun nose ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese lavelocidad de conversión después de “t” minutos.

Sol:

Sea “q ” la cantidad de gramos convertidos en “t ” minutos, el

numero de gramos aun no convertidos será “ )100( q ” y la velocidad de

conversión vendrá dada por )100( q K dt

dq , donde K es la constante

de proporcionalidad.

4) Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (eleje x) estando sujeto a :

i) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo “0” en su trayectoria y dirigida hacia “0”.

ii) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad

Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial

5) Demostrar que en cada uno de las ecuaciones

a) B A x y 2

b) B x Ae y

c) )ln( Bx A y

Solamente es esencial una de las dos constantes arbitrarias.


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8

6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva

C Bx Ax y 2

Solución:

C Bx Ax y 2

2 y Ax B

2 y A

0 y

7) Obténgase la ecuación diferencial asociada con la primitiva

C y x y x 5332

8) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva( ) ( ) y Acos ax Bsen ax Siendo A y B constantes arbitrarias y “ a ”

es una constante fija

Solución:

( ) ( ) y Acos ax Bsen ax

( ) cos( ) y aAsen ax aB ax

2 2( ) ( ) y a ACos ax a BSen ax ………………..(1)

2 2 2( ) ( )a y a Acos ax a Bsen ax ….................….. (2)


2 0 y a y

9) Obténgase la ecuación diferencial asociada con la primitiva

C Be Ae y x x 2

Solución:

C Be Ae y x x 2 ………………………….. (1)

Multiplicamos xe con la ecuación (1)

x x x ye Ae B Ce

Derivamos respecto a x

x x x x y e ye Ae Ce ………………………….. (2)

Multiplicamos xe con la ecuación (2)

2 2 2 x x x y e ye A Ce

Derivamos respecto a x

2 2 2 2 22 2 2

x x x x x

y e y e y e ye Ce

………….. (3)

Multiplicamos2 xe con la ecuación (3)

2 2 2 y y y y C


9/124


9

Derivamos

3 2 0 y y y

10) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva x x x eC eC eC y 3

2

2

3

1

Solución:

3 2

3 2

6

3 2

3 2

1 1 1

3 2 13 20

9 4 19 4

27 8 127 8

x x x

x x x

x

x x x

x x x

ye e e y

ye e e ye

ye e e y

ye e e y

6 ( 2 12 22 12 ) 0 xe y y y y

2 12 22 12 0 y y y y

6 11 6 0 y y y y

11) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva22

C Cx y

Solución:22 C Cx y

2 y Cx

2 y C

0 y

12) Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radiofijo “r” cuyos centros están en el eje x.

Solución:

2 2 2( ) x a y r

2 2 x a r y

2 2

1 21 0 .

2

yy

r y

2 21

yy

r y


10/124


10

2 2r y yy

2 2 2 2( )r y y y

2 2(1 ( ) ) y r

13) Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos focosestán en el origen y cuyos ejes están sobre el eje x.

Solución:

2 4 ( ) y p x a 2

4( )

y p

x a

Derivamos:

2

2

2 ( )0

( )

y x a y x

x a

22 ( ) 0 y x a y x

2

2 ( ) y x y x a


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11

PRACTICA # 2SEPARACION DE VARIABLES:

RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.-

2 .-

3 .-

4.-

5.-


12/124


12

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-


13/124


13

II) REDUCCION A VARIABLE SEPARABLE

1.-

2.-

3.-


14/124


14

4.-

5.-


15/124


15

6.-

7.-

8.-


16/124


16

9.-

10.-

11.-


17/124


17

12.-

13.-

14.-


18/124


18

15.-

16.-

17.-

PRACTICA # 3

I.- Funciones Homogéneas

Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas:

1) f(x,y) = x2y – 4y3

f(x, y) = (x)2 (y) - 4(y)3

= 3 (x2y - 4y3)

f es homogénea de grado n=3

2) f(x,y) = y2Tg(x/y)

f(1x, 1y) = (1y)2

Tg

y

x

Tgy1xy

xx 22

Es homogénea de grado n=2

3) f(x,y) = 3 33

yx


19/124


19

f(x, y) = 3 33 )y()x(

3 33 yx


4) f(x,y) =xy

yx 22

xy

yx1

)y1)(x1(

)y1()x1()y1,x1(f

220

22


5) f(x,y) = x2 + Senx.Cosy

f no es homogénea.

6) f(x,y) = exx1e)y1,x1(f

No es homogénea.

7) f(x,y) = ex/y

f(x, y) = ex/y = y0 ex/y


8) f(x,y) = (x2+y2)3/2

f(1x, 1y) = (1x)2 + (1y)23/2 = 13 (x2 + y2)3/2


9) f(x,y)=x-5y+6

f no es homogénea.10) f(x,y) = xSen

y

xySen

x

y

)y

xySen

x

yxSen(1

y1

x1ySen1

x1

y1xSen1)y1,x1(f


III.- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) (x3+y3)dx – 3xy2 dy = 0

y = x dy = xdy + udx

(x3

+ux3

)dx – 3x3

u2

(x du + udx) = 0

x3(u+1)dx – 3x4u2du – 3x3u3dx = 0

x3(u+1-3u3)dx - 3x4 u2 du = 0


20/124


20

)x

y21(

2

1LnxC

Cdu)u3u1(

u3

x

dx

3

3

3

2

2) 0dxyxydxxdy 22

xdvvdxdy

vxy:Sea

)a...(0xdydx)yxy( 22

En (a):

)x/y(ArcSen

2

22

Cex

ArcSenvC

xLn

LnCArcSenvLnx

LnCv1

dv

x

dx

xdvdx2v1

0)xdvvdx(xdx))vx(xvx(

3) (2x6Senh y/x+3yCosh y/x)dx – 3x. Cosh y/x = 0

y = ux dy = xdu + udx

(2x.Senhu + 3y Coshu)dx – 3x2. Coshu(xdu+udx)

2x.Senhudx – 3x2.Coshudu = 0

C)x/ySenh(LnLnx3

2

CduCtghux

dx

3

2

4) (2x+3y)dx+(y-x)dy=0y=vx

dy=vdx+xdv

(2x+3(vx)dx + (vx-x)(vdx+xdv)

(v2+2v+2)dx + x(v-1)dv = 0

LnC)2x2v(

dv)1v(

x

dx2

LnC)1v(ArcTg22v2v(Ln2

1Lnx 2

x

)4xTgArceCyxy2x2

)1v(TgArc2C

2v2vxLn

4222

2

5) (1+2ex/y)dx + 2ex/y(1- )y

xdy=0 …(1)

dy

dx

Udy

du

.yLyx

De (1):


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21

C)e2(Ln)e21(Lny/x

dU)Ue2(

)e21(

y

dy

Udy

duy

)e21(

)u1(e2

dy

dx

y/xy/x

u

u

u

u

6) (x2+3xy+y2) dx – x2dy = 0

y = vx

dx = vdx + xdv

(x2+3x(vx) + v2x2)dx – x2(vdx+xdv) = 0

(v2 + 2x + 1)dx = xdv

yx

x

2

Cex

0yx

x

C

xLn

LnC)1v(

1Lnx

LnC

)1v2v(

dv

x

dx

7) 0xdydxxyy( 22

y = ux dy = x.du+udx

C)1)y

x

(y/x(LnLnx

C1u

du

x

dx

0)udxxdu(dx)1uxux(

2

2

2

8) (x-yLny+yLnx)dx + x(Lny-Lnx)dy = 0

y = vx

dy = vdx + xdv

(x-(vx)Lnv) dx + xLnv(vdx + xdv) = 0

dx + x Lnv dv = 0

LnCLnvdvx

dx

Lnx + v(Lnv-1) = LnC

x

y

x

y

x

y.cex

Lnvvvc

xLn

9) (x-yarctg 0dyx

yarctg.xdx)

x

y

y=u.x dy = xdu +udx(x-u.x.arctgu) dx + x.arctgu (xdu+udx) = 0

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO F l d d I í Elé El ó E l P f l d I í Elé


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22

C)x

y1(Ln

2

1

x

yarctg.

x

yLnx

Cdu.arctgux

dx

2

IV.- Ecuaciones Diferenciales Reductibles a Homogéneas

1) (2x-5y+3)dx – (2x+4y-6)dy = 0

2x-5y+3 = 0 y=1 , )1

k ,

1

h(P

-2x-4y-6=0 x=1

x=z+h , y=w+K

x=z+1 , y=w+1

2(z+1)-5(w+1)+3dz - 2(z+1)-4(w+1)-6dw = 0

* Homogénea: (2z+5w)dz – (2x+4w)dw = 0

C41y

1x

2Ln5

4

41y

1x

71y

1x

2Ln2

1

LnW

Cdu)4u7u2(

)5u2(

w

dww.uz

2

2) (x-y-1)dx + (4y+x-1)dy = 0 … (m)

Sea: x=x0+h ; y = y0+k ; h=1 ; k=0

En (m):

(x0 - y0)dx0 + (x0+4y0)dy0 = 0

Sea: y0=vx0 dy = vdx0 + x0dv

(x0 – vx0) dx0 + (x0 + 4vx0)(vdx0 + x0dv) = 0(1-4v2)dx0 + x0(1+4v)dv

1)1x

y21(Cx

)x

y21(Cx

LnC)v41(Ln2

1

v21

v21Ln

4

1Lnx

Lncdv)v41(

)v41(

x

dx

0

00

2

0

2

0

0

3) (x-4y-9)dx + (4x+y-2)dy = 0

x = x0 + h , y = yo+K

h – 4K = 9 h = 1 ; h = -2

4h + K = 2

(x0+1-4(y0-2)-9)dx + (4(x0+1)+(y0-2)-2)dy = 0

(x0 – 4y0)dx + (4x0+y0) dy = 0

y0 = v.x0 dy0 = vdx0 + x0.dv

(x0 - 4v.x0)dx + (4x0 + vx0) (vdx0 + x0dv) = 0

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23

C v

v

x

dx

1

)4(2

0

0

Lnx0 +2

1Ln.(v2+1) + 4Arc(Tgv) = 0

)1

2(422 )2()(

x

y Arctg

e K y x

4) (x-y-1) dy-(x+3y-5)dx=0

(x+3y-5)dx – (x-y-1)dy=0

x=x0+2 ; y=y0+1

(x0 + 3y0)dx0 – (x0 – y0)dy0 = 0

y0 = vx0 dy0 = vdx0 + x0dv

(x0 + 3vy0)dx0 – (x0 – vx0)(vdx0 + x0dv) = 0

(3v-v2)dx0 + x0(v-1)dv = 0

3/1322

3/123

0

2

0

2

0

0

)1y()1y)(2x(6)1y()2x(92x

C2x

)v9 bvv(Cx

LnC3

3vLn

6

1)v3v(Ln

2

1xLn

LnCv3v

dv)1v(

x

dx

5) (4xy2)dx + (3x2y-1)dy = 0

y=zx dy = x(zx-1)dz

4xz2 dx + (3x2 z – 2) (.z-1) dz = 0

2-1 = -1 = -2

y = z-2 dy -2z-3 dz

4xz-4 dx + (3x2 – z -2) (-2z-3)dz = 0

4xz- dx - 2(3x2 – z2) dz = 0 homogéneaZ = ux dz = x.du + udx

4x-2 udx - (6x2 – z2) (x.du + udx) = 0

yx

yx Ln yx

Ln Ln

x

dx

uu

duu

1

11

3)11(21

0)22(

)62(3

2

6) yCosxdx + (2y-Senx)dy = 0

Sen-x=z Cosx.dx = dz

ydz +(2y-z)dy = 0 homogénea

z=u.y dz = y.du + u.dy

y(ydu + udy) + (2y-uy)dy = 0

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO F lt d d I i í Elé t i El t ó i E l P f i l d I i í Elé t i


24/124


24

C Lny y

Senx

C y

dydu

2

2

7) (2x2+3y2-7)xdx – (3x2+2y2-8)ydy = 0

Sea: x2 = m ; y2 = n

2xdx = dm ; 2ydy = dn

(2m+3n-7)dm – (3m+2n-8)dn = 0

m=m0+2 ; n=n0+1

(2m0 + 3vn0)dm0 – (3m0 + 2vm0) (vdm0+m0dv) = 0

2(1-v2)dm0 – (2v+3)m0dv = 0

LnCdv1v

)3v2(

m

dm2

2

0

0

K 3xy

1xy

K Cmn

)mn(

LnC1v

1vLn

2

3)1v(2LnLnm2

22

22

2

00

2

00

2

0

8) Tg2(x+y)dx – dy = 0

z=x+y dz = dx + dy = 0

Tg2z dx – (dz-dx) = 0

Cz2Sen4

1

2

zx

CzdzCosdx 2

4x-2(x+y)-Sen2(x+y) =4X=K

PRACTICA # 4

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

1) (4x3y3-2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy

M N

)y(

34

)y(

22

2323

gxyyx

gdx)xy2yx4()y,x(f

Mx

)y,x(f

y2yx12x

Nyx12

y

= x4y3 - xy + g(y)

Cxyyx)g,x(f

Cg0'g

xyx3)y('gxxy3y

)y,x(f N

34

)y()y(

224242



25/124


25

2) (3xc3xy - 2x)dx + e3x dy = 0

M N

)y(

2x3

)y(

2x3

3xx3

gxe

gdx)x2yx3()y,x(f

Mx

)y,x(f

e3x

Ne3

y

Cxye)y,x(f

C'gxey

)y,x(f N

2x3

)g(

3

3) (Cosy+yCosx) dx + (Senx-xSeny) dy=CM N

)y(

)y(

gySenxxCosy

gdx)yCosxCosy()y,x(f

Mx

)y,x(f

SenyCosxx

NCosxSeny

y

CySenxxCosy)y,x(f

Cg0'g

xSenySenx'gSenxxSenyy

)y,x(f N

)y()y(

)y(

4) (2xyex2 - 2x) dx + ex2dy=0

M N

)y(

22x

)y(

2x

2x2x

gxye

gdx)x2xye2()y,x(f

Mx

)y,x(f

xe2x

N

Cosxxe2y

M

Cxey)y,x(f Cg0'g

e'gey

)y,x(f N

22x

)y()y(

2x

)y(

2x

5) (6x5y3+yx3y5) dx + (3x6y2 + 5x4y4) dy=0

M N

)y(

5436

)y(

5335

43254325

gyxyx

gdx)yx4yx6()y,x(f

Mx

)y,x(f

yx20yx18x

Nyx20yx18

y



26/124


26

4426

)y(

4426 yx5yx3'gxy5yx3y

)y,x(f N

Cyyyx)y,x(f

Cg0'g

5436

)y()y(

6) (2x3+3y)dx + (3x+y-1)dy = 0

M N

)g(

4

)y(

3

gxy32x

g)y3x2()y,x(f

Mdx

)y,x(df

3dx

dN3

dy

dM

Cy2

yxy3

2

x)y,x(f

Cyy

yg1y'g

1yx3'gx3y

)y,x(f N

24

2

)y()y(

)y(

7) (y2exy2+4x3)dx + (2xyexy2 – 3y2) dy = 0

M N

M

dk

)y,x(df

exy2yye2dk

dN

exy2yye2dy

dM

2xy32x

2xy32x

)y(33xy2 gdx)x4ey()y,x(f

Mdx

)y,x(df

Cygy3'g

y3xye2'gxye2y

)y,x(f N

3

)y(

2

)y(

22xy

)y(

2xy

Cyxe)y,x(f 342xy

8) (2xy2 + 2y)dx + (2x2y+ 2x) dy = 0

M N

Mk

)y,x(f

2xy4y

N2xy4

y

M

)y(2

gdx)y2xy2()y,x(f

= x2y2 + 2xy + g(y)



27/124


27

Cxy2yx)y,x(f

Cg0'g

K 2yx2'gx2yx2y

)y,x(f N

22

)y()y(

2

)y(

9) (exSeny + 2ySenx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0

M N

Mx

)y,x(f

Senx2Cosyey

NSenx2Cosye

y

M xx

)y(x

gdx)ySenx2Senye()y,x(f

= exSeny + 2yCosx + g(y)

CyCosx2Senye)y,x(f

Cg0'g

Cosx2Cosye'gCosx2Cosyey

)y,x(f N

x

)y()y(

x

)y(

x

10) (2xy3 + yCosx) dx + (3x2y2+ Senx) dy = 0

M N

Mx

)y,x(f

Cosx*xy6y

NCosxxy6

y

M 22

)y(3 gdx)yCosxxy2()y,x(f

= x2y3+ySenx + g(y)

CyCosx2Senye)y,x(f

Cg0'g

Cosx2yx3'gSenx2y2x3y

)y,x(f N

x

)y()y(

2x

)y(

11) (2xy3 + yCosx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0

M N

Mx

)y,x(f

Senx2Cosye

y

NSenx2Cosye

y

M xx

)y(3 gdx)yCosxxy2()y,x(f

= e2y3 + ySenx + g(y)

CySenxyx)y,x(f

Cg0'g

Senxyx3'gSenyyx3y

)y,x(f N

32

)y()y(

22

)y(

22

12) (Seny+ySenx+x

1x) dx + (xCosy. Cosx+

y

1) dy

M N



28/124


28

Mx

)y,x(f

SenxCosyx

N

SenxCosyy

M

)y(gdx)x1

ySenxSeny()y,x(f

= xSeny + yCosx + Lnx + g(y)

CLnyLnxyCosxxSeny)y,x(f

CLnyg

y

1'g

y

1CosxxCosy'gCosxxCosy

y

)y,x(f N

)y()y(

)y(

13) 0dy)Arctgyy1

x(dx)Arctgy

x1

y(

22

M N

Mx

)y,x(f

y1

1

x

N

y1

1

x1

1

y

M222

)y(2 gdx)arctgyx1

y()y,x(f

= yarctgx + (arctgy) (x) + g(y)

arctgxy1

x

arctgxy1

x'g

2y1

xArctgx

y

)y,x(f N

2

2)y(

Carctgyyarctgx)y,x(f

Cg0'g )y()y(

FACTORES INTEGRANTES

1) (x2 + y2+x) dx + xy dy = 0

M N

)x(f x

1

xy

yx2

yx

N

y2y

M

xee xdx

)x(f

Luego: x(x2+y2+x) dx + x2 ydy=0

M N

My

)y,x(f

xy2x Nxy2

yM



29/124


29

)y(

3224

)y(

223

g3

x

2

yx

4

x

gdx)xxyx()y,x(f

2

)y(

2 x'gyx

y

)y,x(f N

C3

x

2

yx

4

x)y,x(f

Cg0'g

3224

)y()y(

2) (1 - x2y) dx + x2 (y-x) dy = 0

M N

)x(f x

1

xy

yx2

yx

Ny2y

M

2x

dx

)x(f

x

1ee

Luego: 0dy)xyx(x

1

dx)yx1(x

1 322

2

2

M N

My

)y,x(f

1x

N1

y

M

)y(

)y(

3

2

gxyx

1

gdx)y

x

1()y,x(f

xy'gxy

)y,x(f N )y(

C2

y

xyx

1

)y,x(f

C2

ygy'g

2

2

)y()y(

3) (2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0

M N

)y(344

2x42443

2x4

24443

gy

4

)yxy2exy2(

)3xy2exy21y6eyxy2xey8(

3xy2exy2y

M

1y6exy2xey8y

M



30/124


30

4

y

dy4

)x(g

y

1ee

Luego:

0dy)y3yxeyx(y

1dx)yxy2eyxy2(

y

1 224424

3444

4

M N

My

)y,x(f

y3xy2xe2x

Ny3xy2xe2

y

M 42y42y

)y(3

2y2

)y(3

y

gy

x

y

xex

gdx)y

1

y

x2xe2()y,x(f

42

2y2

)y(4

y2

y

x3

y

xex'g

y

x3ex

y

)y,x(f N

Cy

x

y

xex)y,x(f

Cg0'g

3

2y2

)y()y(

4) 0dy)Lnxy(dxx

y 3

M N

2

dy

y

2

)y(g

)y(

y1ee

gy

2

x

1

y

M

x

1

y

N

x

1

y

M

Luego: 0dy)Lnxy(y

1dx

x

y.

y

1 322

M N

Mx

)y,x(f xy

1

x

N

xy

1

y

M22

)y(

)y(

gy

Lnx

gyx

dx()y,x(f

2)y(2

y

Lnxy'g

y

Lnx

y

)y,x(f N

C2

y

y

Lnx)y,x(f

C2

ygy'g

2

2

)y()y(



31/124


31

5) (2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0

M N

)x(f x)xyxy(2)yxy(x4

)xyxxxy2(2xy42xy4xy4x4y4(

2xy4y

M2xy4xy4x4yx4

y

M

23

32

223

323

323

2xxdx2)x(g eee

Luego:

0dy)xyxy(e2dx)y2xxydxy2yx4yxy2(e 23x422232x 2

M

N

2x32x2x22x32x

2x332x2x32x

e2xye4xye4xe4yxe4y

N

e2yxe4xye4yxe4y

M

)x(hyxe2yxex2

ye

)x(hdy)e2yxe2ye2()y,x(f

Mdx

)y,x(f

2x22242x

2x322x32x

ye2xyexye2yxe4yex2)x('hyxe2yxe2

yex

x

)y,x(f M 2x42x22x22x22x32e222x

42

ye2xyeyxe2yxe4yxe2yxe2yxe2

yex)x('h 2x42x232x22x232x2e222x

42

x

ye

2

ye

yex

e2xye2

4

e3

2

yxeye

x2

ye

2

ye

2

yex)x(h

2x42x

2x2x

2x2x222x

2x22x22x42

)x(hyxe2ye2

ye)y,x(f 2x2

42x2x

6) (xCosy-yseny) dy + (xSeny-yCosy) dy = 0

M N

)x(f 1ySenyxCosy

CosyySenyCosyxCosy

Cosyx

NySenyCosyxCosy

y

M

xdx)x(f eee

Luego:

0dx)yCosyxSeny(edy)ySenyxCosy(e x2x

M N



32/124


32

Mx

)y,x(f

ySenyeCosyexCosyex

NySenyeCosyexCosye

y

M xxxxxx

)y(gyCosye)1x(Senye

)y(gdy)yCosyexSenye()y,x(f

xx

xx

ySenyexCosye'gehySeny.Cosye)1x(Cosyey

)y,x(f N

xx

)y(

yx

g’(y) = 0 g(y) = C

CCosye)1x(eSeny)y,x(f 4x

7) (x4

+y4

) dx – xy3

dy = 0

M N

M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=14 N(x,4) Homogéneas

Luego:

r 344 x

1

y)xy(x)yx(

1

NyMx

1

Entonces:

0dy)xy(x

1dx)yx(

x

1 35

44

5

dy

df

dx

df

Integrando respecto a “x”:

)y(4

4

gx4

yLnx)y,x(f

4

3

)y(4

3

x

y'g

x

y

y

)y,x(f N

g’(y) = 0 g(y) = C

Cx4

yLnx)y,x(f

4

4

8) y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Es homogénea.

Luego:)yx(y

1

y)yxyx(xy

122222

Entonces:

Mdx

)y,x(f

)yx(

yx

dx

N

)yx(

yx

dy

M

0dy)yx(y

)yxyx(

)yx(y

dxy

222

22

222

22

22

22

22

2

)y(

)y(22

gy´x

yxLn

2

1)y,x(f

gdxyx

y)y,x(f

)yx(y

)yxyx('g

)yx(2

1

)yx(2

1

y

)y,x(f N

22

22

)y(



33/124

g y g

33

g’(y) =y

1 g(y) = Lny + C

CLnyyx

yxLn

2

1)y,x(f

10) y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0

(2xy2+y) dx + (x+2x2y – x4y3) dy = 0

x

N

y

M

yx4xy41dx

N1xy4

dy

M 33

Usamos:

)y(g

)y('g)yxy2(

)x(f

)'x(f )yxyx2x(yx4

)y(g

)y('g

M)x(f

)x('f

Nx

N

y

M

234233

4

4

y)x(gLnx4)y(Lngx

4

)x(f

)'y(g

x)x(f Lnx4)x(Lnf x

4

)x(f

)'x(f

4433

342

4.4

44332

4.4

44

yx

3

yx

2

x

N)yxyx2x(

yx

1M

yx3

yx2

yM)yxy2(

yx1M

y.x

1)y(g).x(f )y,x(

Ahora:

x

N

y

M

)y(gy3

x

y

xd)y(gdx

yx

)yxy2()y,x(f

)yxy2(yx

1

x

)y,x(

3

3

2

2

44

2

2

44

)y('gyx

x

yx

yx2

y

)y,x(f

)y(gxy3

1

yx

1

)y(gy3

x

y

x

)y,x(f

4444

2

33223

3

2

2

Pero: Ny

)y,x(f

CyLn)y(gy1)y('g

yx

yx

yx

yx2

yx

x)y('g

yx

x

yx

yx244

34

44

2

444444

2

Reemplazamos:

C)y(Lnxy3

1

yx

1)y,x(f

3322

FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN

Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales

1) ydx + x(1-3x2y2)dy = 0

ydx + ydx – 3x3y2 dy = 0 … Multiplicando por:3

2

0dyyx2)ydxxdy(3

2 23 … en:33

yx

1



34/124

g y g

34

CLny2)xy(

1.

3

1

C)Lny2(d)3

1.2

)xy(

1(d

0y

dy2

yx

)ydxxdy(

3

2

0yx

dyyx2

yx

)ydxxdy(

3

2

0dyyx2yx

)ydxxdy(

3

2

2

33

33

23

33

23

33

2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0

CyyxLn2

1

0)y(d)yx(

)yx(d

2

1

0)y(d)yx(

)yx(d

2

1

0dyy4)yx(

ydxxdx

0)yx(

dy)yx(3y4

)yx(

ydxxdx

422

4

22

22

4

22

22

3

22

22

22

22

3) xdy – ydx – (1-x2)dx = 0

Cx

1x

x

y

C)

x

1x(d)

y

x(d

0dx)1x

1(

x

ydxxdy

0dxx

)x1(

x

ydxxdy

22

2

2

2

4) xdy – ydx + (x2+y2)2dx = 0

Sabemos que: xdx + ydx = )yx(d2

1 22

Cx)yx(

1

2

1

Cdx)yx(

)yx(d

2

1

0dx)yx(

)yx(

)yx(

ydxxdy

22

22

22

222

22

222

5) x(xdy+ydx) + 0dxyx1 22

0yx1x

dxyx1

yx1x

)ydxxdy(x22

22

22

0x

dxx

2

1

yx1

)ydxxdy(x

2

122



35/124

g y g

35

Cx

dx)yx1(d

2/122

C2

xLn)yx1( 2/122

6) (x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0

(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0

C)x

y(Tgarc)yx(

2

1

C))x

y(Tgarc(d)yx(d

2

1

0)yx(

)ydxxdy()ydyxdx(

0)ydxxdy()ydyxdx()yx(

0x

)ydyxdx(

x

)ydyxdx()yx(

0dydy)yx(x

ydx

x

ydx)yx(

0dy1)yx(x

ydx

x

y)yx(

22

22

22

22

22

2222

2222

10) (x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)

C)x

y(Tgarc)xy(Ln

0))x

y(Tgarc(d))xy(Ln(d

0

)yx(

)ydxxdy(

xy

)ydxxdy(

0)yx(xy

)ydxxdy(xy

xy

)ydxxdy(

0)yx(

)ydxxdy(xy)ydxxdy(

)yx(

)yx(

22

22

2222

22

11) xdy – ydx = x2 dxyx 22

C2

x)

x

y(SenArc

C)2

x(d))

x

y(Senarc(d

0xdxyx

ydxxdy

dxyx

yxx

yx

ydxxdy

2

2

22

22

22

2

22

12) x3dy – x2ydx = x5y dx

xdy – ydx = x3

y dx , para: x 0



36/124

36

C3

x)

x

y(Ln

C)

3

x(d)

x

y(dLn

)3

x()

x

y(dLn

dxxxy

ydxxdy

3

3

3

2

13) 3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0

Multiplicamos por x2y

3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0

d(x3y3) + d(x4y3) = 0

Cyxyx

C)yx(d)yx(d

3433

3433

14) 0dx)1yx1(1xdx)1xy1(1y 2222

1x1y1:entreTodo

0)xdyydx(1x1y1x1y

0dy1y.1xx1xdx1x1yy1y

22

2222

222222

Cxy1yyLn1xxLn

C)xy(d1y

dy

1x

dx

0)xy(d1y

dy

1x

dx

0)xdyydx(1y

dy1

1x

dx1

22

22

22

22

15) 2y,1x:Para2)x1(y

)1xy(y

dx

dy2

y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dx

ydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydx

ydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dy

ydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy

)xy(d2

yxdydy

22

ydy – C)xy(d2

)yx(d

22

Cxy2

xy

2

y 222

y2 – x2y2 = 2xy + C Para: x=1 , C=4

Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4



37/124

37

16) arseny dx + 0y1

dyCosyy12x

2

2

0Cosydy2y1

xdydxarseny

2

d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0

d(x . arcseny) + 2Cosydy = C

x . Arcseny + 2Seny = C

PRACTICA 5

I).- ECUACIONES LINEALES.

1) + 2xy = 4xy =

y =

y =

∫ .4xdx = ∫ U = 4x du = 4dx dv = v = 4x = ∫ . 4xdx ∫ .4xdx = 4x . - ∫ 4xdx= 2x. y = .

y = 2x + . k

2) x = y + + – 2

= + + 3x – 2

– ( ) y= ( + 3x – 2)

y = .

y = .

y = x .

y = x . ∫

y = x ( + 3x – 2lnx ) + c )

y = + 3 - 2xmx + kx

3) ( x-2 ) = y + 2( x – 2

= + 2 ( x – 2

– ( ) y = 2 ( x – 2 )

y = ( ∫ . 2( x – 2 dx + c )

y = . ( . 2 (x - 2 dx + c )y = ( x – 2 ) . ( ∫( x – 2 dx + c ) y = ( x – 2 . ( 2 ∫ (x – 2) dx + c ) y = ( x – 2 ) ( 2 ( – 2x) + c )

y = ( x – 2 ) ( - 4x + 2c ) y = - 4 + 2cx – 2 + 8x + 4c y = - 6 + 8x + 2c ( x + 2)

4) + ydgx = x =

Y = -4

y = .

y = .

y = (sen x

y = (sen x

c = . sen x dx



38/124

38

u = sen x du = cos x dx

dv = dx v =

. sen x -

u = cos x du = sen x dx

dv = dx

cos x + sen x dx

sen x dx = . Sen x – cos x . - ∫ sen x dxsen x dx = –

y = . 5

y = - +

-4 = - +

k = 6,5

5) + ( 2 – 3 ) y =

+ ( - ) y = 1

y = .

y =

y =

y =

y = .

y = .

y =

6)

Hacemos cambio de variable:z = lny = x – z

dz = dx - = 1 -

= 1 -

Reemplazando en la ecuación:

z = = z–

x

z - = z – x

= -x

dz = xdx

=

z = + c

Reemplazando:

z = x – lny

x – lny = + c

c = + x - lny



39/124

39

8) + ey = + 2x

Resolviendo:

+ 2y = + 2x p (x) = 2, q(x) = + 2x

La ecuación general:

y =

y =

y =

Integrando por partes:

y = + c

9) xtnx - y = (eln(x) – 1)

Resolviendo:

De la ecuación diferencial:

-

De la ecuación general

y =

y =

y =

y = )( )

y = + cln(x)

10) + – Ø(x) (x) = 0

Resolviendo:

De la ecuación diferencial:

+ = Ø(x) (x)



40/124

40

De la ecuación general:

y = (

y = ∫ )


u = ⤳ du =

dv = dx ⤳v =

y = ( )

y = - 1 + c

11) =

= ⤳ = x sen y + 2 sen 2y

= - (sen y) = 2 sen 2y, ecuación lineal en x:

x =

x =

x =


x =

x = 8 + c .

12) – y ctg x = 2x - ctg x

Resolviendo:

y =

y =

Simplificando:

y = sen x



41/124

41

Integrando:

y = sen x ( + x + cosec x + c) = + c sen x

x = , y = + 1

∵ + 1 = + c c = 1 ∵ y= + sen x

13) (1 + ) ln (1 + ) - 2xy = ln (1 + ) – 2xar ctg x

y = , x

- y =

De la ecuación general:

y =

y =

y = ln (1 + dx + c)

y = ln (1 + + c) ln (1 + + c )

y = ar ctg x+x ln (1 + donde: c = -

para: y , x

c = - = 0– 0 = 0

c = 0

14) - 2xy = cos x – 2x sen x

Resolviendo:

= cos x – 2x sen x

y =

y =

y = ⟹ (



42/124

42

y = sen x + e , x varia x = -1; x = 1 x

∵ y = sen x

15) =

Resolviendo:

= = - x de donde: + x =

Ecuación lineal en x

x =

Integrando tenemos:

x =

x = + c .

II.- ECUACIONES DE BERNOULLI

1) – y = x (1 – n)

1 – (5)

- y = x

- = x

-4 + = -4x

Luego: z = = -4

Reemplazando:

+ 4z = -4x

z = .

z = .

Resolviendo por partes:

u = x du = dx

dv = v =

z =



43/124

43

z = -4x – 4 + c .

Reemplazando: z =

= -4x – 4 + c .

2) + 2xy + x = 0

= 2xy = -x

+ 2x = -x (-3)

- 6x = 3x

Hacienda cambio de variado:

z = -

Reemplazando:

= 3x

z = .

z = .

z = .


z = .

z = 3x + 3 + c .

Reemplazando z =

= 3x + 3 + c .

3) + y =

+ y = . ( )

+ = . ( -3 )



44/124

44

3 - =

z = = 3

– z = 2x – 1

z = .

z = .


z = .

z = .

z = x – 3 + c

Remplazando z =

= x – 3 + c

4) + y =

+ y =

+ =

+ =

z = = -

Reemplazando:

- z = sen x – cos x

z = .

z = .

z = .




45/124

45

z = .

z = .

z = . c

Reemplazando: z =

= . c

5) xdy – dx = 0

x – y + x (1 + lnx) = 0

– (1 + lnx) = 0

– ( (1 + lnx)

– ( = 1 + lnx (-2)

– = 2(1 + lnx)

z = =

Reemplazando:

+ = 2 (1 + lnx )

z = .

z = .

z = .

z = .


z = .

z =

z =



46/124

46

Reemplazando: z =

=

6) 2xdy + 2ydx = x

+

+ (

+ (-2)

z = = -2

– = -1

z =

z =

z =

z =

z = + . c

Reemplazando: z =

= + . c

7) =

=

= xy + (x)

- xy = (2)

2 – 2y = 2



47/124

47

Haciendo cambio de variable:

z = = 2x

- 2yz =

z =

z =


z =

z =

z =

Reemplazando:

z =

=

8) ( - ) = 2x

( - = 2x

=

=

= -

+ = . (x)

x + = (2)

2x + =

Haciendo cambio de variable:



48/124

48

z = = 2x

- =

z =

z =


z =

z = - + c .

Reemplazando:

z =

= - + c .

9) ydx + ( x - ) dy = 0

y + x - = 0

+ - = 0

+ = (

+ = (-2)

- = -1

z = = -2

Reemplazando:

- = -1

z = .



49/124

49

z = .

z = .

z = -1 + . c

Reemplazando:

z =

= -1 + c

10) 3xdy = y( 1 + x sen x - 3 sen x ) dx

3x dy = ( y + yx sen x – 3x sen x ) dx

= sen x - sen x

- ( ) sen x (

- ( ) sen x (-2)

+ 2 ( ) -2sen x

Luego: z = = -2

+ 2 ( ) -2sen x

z =

z =

z =


z =

z = sen x– cos + . c



50/124

50

11) 3x - 2y =

- = . (

- =

- =

z = = 3

- =

z = .

z = .

z = .

z =

z =

z = + c .

Reemplazando:

z =

= + c .

12) (2x - y) dx + 2xdy = 0

2x – y + 2x = 0

– + = 0

– = . (

– = . (

– =



51/124

51

z = = -2

Reemplazando:

- = 2

z = .

z = .

z = .

z = .

z =.

Remplazando:

z =

=

13) 2y + cosec x

+

+ y (y)

y + (2)

2y +

z = = 2

Reemplazando:

+ zctg x = cosec x

z = .

z = .

z =



52/124

52

z =

z = +

Reemplazando:

z =

= +

14) + =

+( = .(

+ = . (-1)

-1 - =

z = = -

Reemplazando:

- . z =

z = .

z = .

z = ( x + 1).

z = ( x + 1).

z = ( x + 1)

z =

Reemplazando: z =

=



53/124

53

PRACTICA 6

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “N”

I) INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES

1) 1 22 2 0............ 1 x x

Derivando

1 22 2 0............ 2 x x

(1) + (2)

1 1 1 2

2

2 2 0 0 7 7 .

0

x y son L I

2) 1 1 2 2 3 0 x x x

1 2 3

1 2 3

1 2

2 0......... 1

2 0............ 2

2 4 0

x x x

x x x

x x

e e x e

e e e

e e

1 2

3

3

1 2

1 2 3

2 0

2 0

0

0

, .

xe

no aon L I

3) 21 2 32 0............. 1 x x x

1 2 3 3

3 2 2 1 1 2

1 2

2 2 0.................. 2

0 2 2 , . .

cos 0

x

y n son L I

senax ax



54/124

54

1 2 3

2 3

2 2 2

1 2 3

2

1 2 3

2 3

2 2 2 2

2 3

1 2

2 2 2 0

0 2 2 0

2 2 0

1 3

0

0 2 2 0

0 2 2 0

ax bx cx

bx cx

ax bx cx

ax bx cx

bx cx

bx cx

ax tenemos

b a c a

a b e c

a x tenemos

e e e

b a c a

b a c a

4) 1 2 0 senax senax

1 2

2

1 2

2

1 2

2 2

1

2 2

1

1 1 2

cos 0

(1)

cos . 0

2 cos

cos cos 0

cos 0

cos 0

0 0 0

a ax a senax

de xasenax

a sen ax a ax senax

de x ax

a ax a axsenax

a sen ax a ax

a sen ax ax

a

5) 21 2 31; ; f x f x x f x x

21 2 3

2 3

3

3 2 1

1 2 3

0

0 2 0

0 02 0

0 0; 0

, . .

x derivando

x derivando

y

f x f x y f x son L I



55/124

55

6) 1 22 ; cosax ax

f senbx f x e bx

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2 cos 0

cos 0

cos 0 1

cos 0 2

ax

ax

senbx ax bx

R senbx bx

senbx bx derivando

b bx b senbx derivando

2

1 2

2

1 2

2 2

1

1 1 2

1 2

1 2 cos

.cos 0

cos cos 0

cos 0

0 0 0

. .

xbsenbx x bx

b sen bx b senbx bx

b bx b senbx bx

b sen bx bx

b

f x y f x son L I

7) 1 2 32 , 2 ; 2 xax bx f x f x f x

1 2 3

2

1 2 3

2 2 2

1 2 3

2 2 2 0 1

2 2 2 0 2

2 2 2 0 (3)

ax bx cx

ax bx cx

ax bx cx

a b c

derivando

a b c derivando

a b c

1 2 3

2 3

2 2 0.................................. 4ax bx cx

a b x tenemos

e

2 3

2 2

3

3

2

2

1 1

1 2

0 2 2 0................... 5

0 0 2 0.... 6

2 0

2 0

0

(4)

2 0 0

. .

bx cx

cx

cx

bx

ax

b a c a

c a a b c a

c a a b c a

como a c c b

b a como b a

de

f x y f x son C I



56/124

56

8) 21 2 3ln ; ln ln f x x f x x y f x x x 2

1 2 3 0 Lnx xLnx x Lnx

2

1 2 3

2 3

3

3 2 1

1 2 3

0

0

0 2 0

0 0 2 0

0; 0 0

; . .

como Lnx

x x derivando

x derivando

y

f x f x y f x son L I

WRONSKIANO

1)

2)

3)

4)

5)



57/124

57

6)

7)

8)

9)

10)

III) MEDIANTE EL WRONSKIANO, DEMOSTRAR QUE CADA

UNA DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE FUNCIONES

SON L.I.

Para demostrar que son L.I. basta probar que la determinante es

distinta de cero.



58/124

58

1> = ln2x + lnx – lnx = ln2x 0 lnx, xlnx son L.I.

2> = = -12 2x 0

3> = - = 0 cuando x 0

4> =

- - -

= - ( + ) = - 0

5> = =

sen2x cosx – 2cos2x senx + - + 12sen3x =

2sen3x 0 cuando x mk, K Z

6> = - = = 0; x 1

x -1

7> = + = = 0 ; x 1 x -1

8> = -2senx cosx - cos c

Sen y cos2x son L.I.

9> = =

= =48 =48

10> =

= = 2

L.

L1(x

L2(x



59/124

59

IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SUWRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS)

1) SI XE [ -1,0 ] 1 f 1 (X) + 2 f 2 (X) = 0

1 X2 + 2 0 = 0 1 = 0

SI XE [0, 1] 1 f, (X) + 2 f 2 (X) = 0

0 + 2 X2 = 0 2 = 0

UROSKIANO EN [-1,0]

X2 0

2X 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X

2) SI XE [0, 2] 1 f 1 (X) + 2 f 2 (X) = 0

1 0 + 2 (X-2)2 = 0 2 = 0

Si XE [2, 4] 1 f 1 (0) + 2 f 2 (X) = 0

1 (X-2)2 + 0 = 0 1 = 0

WRO SKIANO EN [-0,2]

0 (X-2)2

0 2(X-2)

WRO SKIANO EN [2,4]

(X-2)2 0

2(X-2) 0

3) SI XE [-2, 0] 1 f 1 (X) + 2 f 2 (X) = 0

1 X3 + 2 0 = 0 1 = 0

SI XE [0, 1] 1 f 1 (X) + 2 f 2 (X) = 0

0 + 2 X2 = 0 2 = 0

WRO SKIANO EN [-2,0]X3 0

3 X2 0

UROSKIANO EN [0,1 ]

0 X2

0 2X

X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0

X2 0 < x < 1 X2 0 < x < 1

SI XE [-1, 0] 1 X2 - 2 X2 = 0 ( X) = 0

1 X2 + 2 0 = 0 1 = 0

SI XE [0, 1] 1 f, (X) + 2 f 2 (X) = 0 f 1 y P2

0 + 2 X2 = 0 2 = 0 son L.I.

UROS KIANO EN [-2,0]

X3 0

3 X2 0

= 0=

= 0=

= 0

= 0

W=

W=

4

0 2 4

= 0W=

= 0W=

f 2 (X)

=

4)

f 1=

=W=

f 1 y P2 Son

L.I.

f 1 y P2 SonL.I.

P1 y P2 son L.I.

-2 0 1

-8

-1



60/124

60

UROSKIANO EN [0,1 ]

0 X2

0 2X

V) DEMOSTRACIONES

1)

2

2 2

1 2

2 0

22 1

1

x x

r r

r r r

r

yg C e C e

3)4 3 2

3 5 2 0r r r r

3

1 2 3

2

1 2 3

2

4 2

1 3 2 0

1 2 1 0

1, 2, 1

x x x

x x

r r r

r r r

r r r

yg C e C e C e

yg C e C e

PRÁCTICA Nº 7ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

A) Raíces reales distintas.

1. 015´2" y y y

Ecuación característica

5

533

0)5()3(01522

ecuaciónladeraíces

La solución general es: x x

eC eC y 5

2

3

1

3. 0" y y


ecuaciónlade Raíces11

)1()1(012

La solución general es: x x

eC eC y 21

7. 06´11"6´´́ y y y y


=W=

-1

-1 -1



61/124

61

ecuaciónlade Raíces321

0)3()2()1(06116 23

1 -6 11 -6

1 1 -5 6

2

1

-5

2

6

-6

0

1 -3 0

La solución general es: x x xeC eC eC y

3

2

2

3

1

9. 01´4´´ y y


ecuaciónlade Raíces

32

32

2

324

2

124

)1(2

)1()1(4.)4()4(

014

2

1

2

3

La solución general es:

x xeC eC y

)32(

2

)32(

1

B) Raíces múltiples

1. 0´3"3´´́ y y y y


3

1

0)1(0133 323

dad múltiplicideecuaciónlade Raíces

La solución general es: x x xe xC e xC eC y

2

321

3. 04119 y y y yI y I II II IV

Ecuación característica:

3

4

1

0)4()1(041193 3234

dad multiplicilade Raíz

1 -1 -9 -11 -4

-1 -1 2 7 4

-1

1

-2

-1

-7

3

-4

4

0

-1

1

-3

-1

-4

4

0

1 -4 0



62/124

62

La solución general es: x x x x

eC e xC e xC eC y 4

4

2

321

5. 08126 I II II IV y y y y


32

00)1(0)8126(

323

dad multiplicide Raíz

1 -6 +12 -8

1 2 -8 8

2

1

-4

2

4

-4

0

1 -2 0

La solución general es: x x x

e xC e xC eC C y 22

4

2

3

2

21

7. 033 y y y y I II III


3

1

0)1(0133 323



x x xe xC e xC eC y

2

321

9. 0168 y y y II IV


2

22

0)2()2(4

0)2)(2)(2)(2(4

0)4()4(0168

222

2

2224



La solución general es: x x x x

xeC xC e xC eC y 2

4

2

3

2

2

2

1

C) Raíces complejas

1.0

"

y y Ecuación característica

.

1

01

2

4

Eclade Raícesi


senxC xCosC y 21

3. 04"

y y Ecuación característica

Ecuaciónlade Raícesi24

041

2

2



63/124

63


x senC xCosC y 2221

5. 013´4" y y y


)(2

)1)(13(4)4()4(

0134

2

2

t

2

52164

Raícesi

ii

32

32

2

64

2

364


)3()3( 222

1 x seneC xeC y x x

7. 0´"

y y y


ecuaciónlade Raícesi

i

2

31

2

31

2

31

)1(2

)1)(1(4)1()1(

013

2

1

2

2


)3()3cos( 21 x seneC xeC y x x

9. 04´2" y y y


2

122

)1(2

)4)(1(4)2()2(

0422

2


i

ii

31

31

2

322

2

1


)3()3cos( 21 x seneC xeC y x x

10. 025´6"

y y y


2

100366

)1(2

)25)(1(4)6()6(

0256

2

2



64/124

64

ecuaciónlade Raícesi

i

43

43

2

646

2

1


)4()4cos( 3

2

3

1 x seneC xeC y x x

D) Raíces de cualquier índole

1. 04 I y y

III


.

2200)4(

04

2

3


ii


)2()2cos( 321 x senC xC C y



.

1

0)1()1(0)1()1(

01

22

23


ii


x senC xC eC y x

321 cos

3. 0 y y IV


.11

0)1()1(

01

22

4

ecuaciónlade Raícesii


x senC xC eC eC y x x 4321 cos

4. 02 y y y I I

IV


2

0)1(012 2224


ii

La solución general es: x sen xC x xC xSenC xCosC y 4321 cos

5. 0916 II IV y y y

IV


0)4()1(

0)4()1()1()45()1(0)361()1(

0)1()12(3)1()1(

0)132(3)1()1(

0496

222

222242

2242

22242

24242

246



65/124

65

i

i

dad multiplicide Raíz i

dad multiplicide Raíz i

2

2

2

2


)2()2( 65

4321

xCosC x senC

xCos xC x sen xC xCosC xSenC y

6. 033 y y y y I II

III


31

0)1(0133 323


La solución general es: x x x

e xC e xC eC y

2

321

7. 0 y y y y I II

III



i

i

1

0)1()1(

0)1()1(

01

2

2

23


senxC xC eC y

x

321 cos

8. 0 y y III


)1(2

)1)(1(9)1(101

0)1()1(

01

2

2

2

3

2

3

2

1

2

3

2

1

2

31

i

i

i

Las raíces de la ecuación son:

2

3

2

1

2

3

2

1

i

i


x seneC x

eC eC y

x x

x

2

3

2

3cos 23

221

10. 0 y y IV




66/124

66

ecuaciónladeraícesi 111

0)1()1(

01

22

4


x senC xC eC eC y x x 4321 cos



0)12()1(

013

2

23

2

222

2

442)1(2

)1)(1(4)2()2( 2


12121

2121


)21(

3

)21(

21

x x x

eC eC eC y

12. 044 I II

y y y III


220

0)2(0)44(

044

22

23



x x e xC eC C y 232

21

13. 0214 y y y III

IV


2

10814

2

10814

2

108142

819614

)1(2

)2)(1(4)14()14(

0241

2

22

2

22

24

1 -1 -3 -1

-1 -1 2 1

1 -2 -1 0

1 -1 -3 -1

-1 -1 2 1

1 -2 -1 0



67/124

67


x

x x x

eC

eC eC eC y

2

10814

4

2

10814

3

2

10814

2

2

10814

1

14. 002´22 y y y y y II III

IV


0222 234

Las raices son:

i

i

1

1

11

i

1

2

42

2

)1)(2(4)2()2(

0)22()1()1(

2

2

La solución es

senxeC xeC eC eC y x x x x

4321 cos

15. 095 y y y II

IV


1

94

0954

2

2

24


i

i

12

3

14

9

010940)1()94(

2

2222


x senC xC eC eC y x x

2

3

2

34321

1 -2 1 2 -2

1 1 -1 0 2

-1

1

1

-1

-1

0

2

2

-2

0

1 -2 2 0



68/124

68

PRACTICA 8

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NOHOMOGÉNEAS

1.- y’’ + 3y’ = 3 Solución:

y’’ + 3y’ = 3 y’ = p y’’ =

+ 3p = 3 → = 3 - 3p →

U= 3 – 3p → du = - 3dp- → x = -3lnu + c

X = - 3ln(3 – 3p) + c1

2.- yIV – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x

Solución:

yIV – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x y’’ = px y’’’=p yIV =

y = x3

3px – 4 x3 = - 4x5 + 390x

- 4x5 + 390x + 3px + px3

dp = (- 4x5 + 390x + 3px + px3 )dx

∫dp = - 4∫x5dx + 390∫xdx + 3p∫xdx + p∫x3dx

p = - 4 + 390 + 3p + p + c1 p = - 2 + 195x2 + 3p + p + c1

3.- y’’ – 4y’ = x Solución:

y’’ – 4y’ = x y’ = p y’’ =

x dp = ( x + 4p)dx

(ax – 1) + c

p =

p = c1

4.- y’’ – 4y’ + 8y = (sen2x – cos2x)Solución:

y’’ – 4y’ + 8y = (sen2x – cos2x)y’ = p y’’ = y = px

5.- y’’’ – 4y’ = x Solución:

y’’’ – 4y’ = x y’ = px y’’’ = p y’’’ =



69/124

69

6.- y’’ – y’ = x2 Solución:

y’’ – y’ = x2 y’ = p y’’ =

7.- y’’’ – y’ = x + 1 Solución:

y’’’ – y’ = x + 1 y’ = px y’’ = p y’’’ =

8.- y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2 Solución:

y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2

y = px y’ = p y’’ =

9.- yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5)

Solución:

yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5) y’’ = px y’’’ = p yIV =



70/124

70

10.- 2y’’ – 9y’ + 4y = 18x – 4x2

Solución:

2y’’ –

9y’ + 4y = 18x – 4x2 y = px y’ = p y’’ =

⇾

VARIACIÓN DE PARÁMETROS1.- y’’ + y = cosecx

Solución:

y’’ + y = cosecx y = px y’ = p y’’ =

2.- y’’ + y = sec2x

Solución:

y’’ + y = sec2x y = px y’ = p y’’ =

3.- y’’ + y = cotgx Solución:

y’’ + y = cotgx y = px y’ = p y’’ =

4.- y’’ + 4y = 4ctg2x

Solución:

y’’ + 4y = 4ctg2x y = px y’ = p y’’ =



71/124

71

5.- y’’ + 4y’ + 4y = e-2e2x

Solución:

y’’ + 4y’ + 4y = e-2e2x y = px y’ = p y’’ =

6.- y´´+ y´=sec2x.cscx y=px y´=p y´´=

7.-

y=px y´=p y´´=

8. y´´+ y= tanx y=px y´=p y´´=


8/17/2019 Bateria de Ec

Bateria de Ecuaciones 1

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