Billares y super cies planas - UFRGSagudo es una orbita peri odica del billar. (En clase veremos una...

Billares y superficies planas

Ferran ValdezCentro de Ciencias Matematicas, UNAM

www.matmor.unam.mx/~ferran/

c© Borrador al 30 de septiembre de 2014

www.matmor.unam.mx/~ferran/

Indice general

Introduccion 1

1. Billares poligonales 3

1.1. Motivacion: el problema de las orbitas periodicas . . . . . . . . . . . 4

1.2. La construccion de Katok-Zemljakov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Geodesicas en la superficie SP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Singularidades y topologıa de la superficie SP . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Caso racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2. Caso irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Superficies planas y grupos de Veech. 17

2.0.3. Superficies planas: punto de vista euclidiano. . . . . . . . . . . 17

2.0.4. Superficies planas: punto de vista analıtico . . . . . . . . . . . 20

2.0.5. Conexiones de silla y vectores de holonomıa. . . . . . . . . . . 23

2.0.6. Difeomorfismos afines y el grupo de Veech. . . . . . . . . . . . 24

3. La dicotomıa de Veech 33

3.1. Rudimentos de geometrıa hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Accion del grupo de Veech sobre H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Dicotomıa de Veech: el caso del toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Dicotomıa de Veech: enunciado general . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

i

ii INDICE GENERAL

Introduccion

Estas son las notas para el curso Flat surfaces and polygonal billiards que seimpartio en la III Escola Brasileira de Sistemas Dinamicos del 20 al 24 de octubre de2014 en Bento Goncalves, Rio Grande do Sul, Brasil. Esta obra esta bajo la licenciaCreative Commons CC BY 4.0 1.

En este curso estudiaremos primero el juego de billar en un mesa con for-ma de polıgono. El ejemplo fundamental es el billar en el cuadrado. Veremos quela dinamica de las trayectorias de una bola de billar en un cuadrado satisface lasiguiente dicotomıa: para una direccion fija o bien toda trayectoria es periodica obien se distribuyen en la mesa de manera uniforme. En este sentido, diremos que elbillar en el cuadrado tiene propiedades dinamicas optimas.

Un problema natural es determinar en cuales mesas de billar tenemos una di-cotomıa similar. El objetivo principal de este curso es llegar a entender un resultadoclasico de Veech que nos da una condicion suficiente para que el la dinamica de unbillar poligonal sea optima.

Teorema 1. [Vee89] Sea S una superficie plana tal que su grupo de Veech Γ(S) esuna retıcula. Entonces para cada direccion θ ∈ R/2πZ el flujo geodesico gtθ es o bienperiodico o bien unicamente ergodico con respecto a la medida de Lebesgue µ.

Como veremos mas adelante, este teorema generaliza un resultado clasico sobrela dinamica de geodesicas en un toro plano (atribuido a Weyl, pero probablementeconocido desde mucho antes). Es de notar que la palabra billar no aparece en elenunciado del teorema de Veech. Esto se debe a que para estudiar la dinamica delbillar en realidad lo que se analiza es el flujo geodesico en una superficie planaasociada a la mesa de billar.Como leer este texto. Despues de dar una motivacion para el estudio de losbillares, en el capıtulo §1 explicaremos con calma como asociar a cualquier polıgonoP una superficie S(P ) con una metrica “plana”. En el capıtulo §2 estudiaremoslas superficies planas en general y sus invariantes afines. El invariante afın que nos

1Para mas detalles ver creativecommons.org/licenses/by/4.0/

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creativecommons.org/licenses/by/4.0/

2 INDICE GENERAL

interesa mas es el llamado grupo de Veech. Este esta formado por las diferenciales dedifeomorfismos afines de una superficie plana fija y es, para el caso que nos interesa,un subgrupo discreto (Fuchsiano) de SL(2,R). Por tanto, el grupo de Veech actuapor transformaciones de Mobius sobre el plano hiperbolico H2. Esta accion ası comola prueba del enunciado del teorema de Veech conforman el contenido del capıtulo§3.

Capıtulo 1

Billares poligonales

A lo largo de este texto, un billar sera un sistema dinamico compuesto de tresingredientes: una bola, una mesa y una ley de reflexion. En este curso nos concen-traremos en estudiar billares donde los ingredientes tienen los siguientes “sabores”:

1. La mesa es la cerradura de un abierto conexo del espacio euclidiano R2 cuyafrontera es una lınea poligonal.

2. La bola es una masa puntual que se desplaza en lınea recta (i.e. a lo largo deun segmento de geodesica) a velocidad constante.

3. La colision de la bola con la parte suave de la mesa es perfectamente elasticay el momento tangencial se preserva.

El primero de los sabores nos dice que la mesa tiene forma de polıgono, en un sentidoamplio. El segundo es otra manera de decir que la bola no experimenta friccion conla mesa, ergo una vez que comienza a moverse no se detiene a menos que encuentreuna parte no suave de la frontera de la mesa, en cuyo caso convenimos que el movi-miento de esta se detiene, como si hubiera un agujero infinitesimal. El ultimo implicala llamada ley de reflexion de Descartes que nos dice que el angulo de incidencia dela trayectoria es igual al angulo de reflexion despues de la colision.

Ejercicio 1. Demuestra la ley de reflexion de Descartes a partir de suponer quela colision de la bola con la parte suave de la mesa es perfectamente elastica y elmomento tangencial se preserva.

Ejercicio 2. Intenta definir un billar para mesas en R3 que sea lo mas parecido ensu definicion a la que acabamos de dar. ¿Podrıas hacerlo lo mismo para mesas enRn?

3

4 CAPITULO 1. BILLARES POLIGONALES

Nota. Los sabores de los tres ingredientes que hemos escogido pueden variar yesto produce otros tipos de billares que no consideraremos en este texto. Por ejemplo,puede suponerse que la bola no es un punto y tomar en cuenta su momento angulary friccion con la mesa. La mesa puede ser un polıgono del plano hiperbolico y labola desplazarse siguiendo segmentos de geodesicas hiperbolicas. O bien, podemospensar que el angulo de reflexion de la trayectoria de la bola al chocar con la mesaes funcion del angulo de incidencia (distinta de la identidad).

Definicion 1. A todo punto de de la frontera de la mesa de billar que no seasuave lo llamaremos una buchaca1. Consideremos el billar en una mesa T ⊂ R2.Una trayectoria de billar que comience en un punto p ∈ T con una velocidad v sedice periodica si despues de un numero finito de rebotes la bola regresa al punto pcon la misma velocidad. Una trayectoria cuyo inicio y fin es una buchaca se llamadiagonal generalizada o trayectoria periodica singular. La longitud combinatoria deuna trayectoria periodica corresponde al numero de rebotes que la bola hace con ∂Tantes de regresar a su posicion original.

En particular, toda trayectoria de billar regresa al punto donde comenzo conla misma direccion con la que salio.

Ejercicio 3. Determina todos las posibles longitudes combinatorias de una trayecto-ria de billar en un cuadrado y en un triangulo equilatero. ¿Notas alguna diferencia?

Ejercicio 4. ¿Existe alguna mesa poligonal que no tenga trayectorias periodicas deperiodo dos? ¿Existe alguna mesa que tenga trayectorias periodicas de todos losposibles periodos?

1.1. Motivacion: el problema de las orbitas pe-

riodicas

Sin duda, una de las conjeturas mas famosas en la teorıa de billares poligonaleses la siguiente:

Conjetura 1. Todo billar triangular tiene una orbita periodica

Segun R.E. Schwarz [Sch09], esta conjetura tiene por lo menos dos siglos. Enlos parrafos que siguen trataremos de dar sustento a esta conjetura procediendo demanera sistematica.

Orbitas periodicas en triangulos agudos. Todo billar en un triangulo agudo

1En ingles pocket.

1.1. MOTIVACION: EL PROBLEMA DE LAS ORBITAS PERIODICAS 5

tiene al menos una orbita periodica. Este resultado se le debe al conde Fagnanoy data de 1775. Originalmente, Fagnano lo probo cuando trato de resolver el si-guiente problema variacional: encontrar en un triangulo agudo, el triangulo inscrito(no degenerado) de menor perımetro. La orbita periodica en cuestion es el llamadotriangulo pedal o triangulo ortico, que es el que se obtiene al unir los pies de lasalturas. Mas precisamente, si el triangulo agudo “original” es 4ABC, entonces eltriangulo ortico sera 4PQR como se muestra en la siguiente figura:

A

Q

CP

R

B

El triangulo ortico.

Ejercicio 5. Da una prueba elemental de que el triangulo ortico de un trianguloagudo es una orbita periodica del billar. (En clase veremos una parte de la prueba).

Ejercicio 6. Demuestra si ponemos la bola de billar suficientemente cerca de unode los lados de triangulo ortico y le pegamos con una direccion paralela a dicholado entonces obtendremos tambien una trayectoria periodica. ¿Puedes calcular sulongitud combinatoria?

Dicho de otra manera, la orbita periodica del billar definido por el trianguloortico pertenece a una familia de orbitas periodicas paralelas.

Ejercicio 7. ¿Hasta donde puedes extender la familia de trayectorias periodicas quedefine el trıangulo ortico de un triangulo agudo? ¿Podrıas cubrir toda la mesa?

Orbitas periodicas en triangulos rectangulos. Al viajar del mundo delos triangulos agudos a los rectangulos, el triangulo ortico no sobrevive y degeneraen una altura. Sin embargo sus hermanitas paralelas sı sobreviven, como pedimosprobar en el siguente ejercicio.

Ejercicio 8. Demuestra que en todo triangulo rectangulo existe al menos una tra-yectoria periodica. Sugerencia: considera la siguiente figura.


A

BC hUna orbita periodica en el triangulo rectangulo y una altura.

Ejercicio 9. ¿Define el triangulo ortico de un triangulo obtuso una trayectoria pe-riodica del billar? ¿Que tal una trayectoria paralela a uno de los lados del trianguloortico?

Orbitas periodicas en triangulos obtusos. El triangulo ortico de un trianguloobtuso esta fuera de la mesa y por tanto el truco que funcionaba en los dos casosanteriores no funciona en este. Buscar trayectorias periodicas paralelas al trianguloortico de un triangulo obtuso tampoco funciona.

Proposicion 1 ([Vor92]). Para todo n ∈ N existe un triangulo obtuso 4(n) endonde toda trayectoria periodica tiene longitud combinatoria al menos n.

Ejemplos explıcitos de orbitas periodicas en algunas familias de triangulosobtusos han sido construidas por G.A. Vorobets [Vor92]. Usando el programa Mc-Billiards, R.E. Schwartz pudo probar el siguiente

Teorema 2. [Sch09] Todo triangulo cuyo angulo obtuso es menor a 100 gradosposee una orbita periodica.

Llamemos a un polıgono racional si todos sus angulos interiores son de laforma p

qπ, es decir, multiplos racionales de π. Un polıgono que no sea racional lo

llamaremos irracional. El siguiente teorema de H. Masur implica la existencia unconjunto denso de medida cero en el espacio de triangulos formado por triangulosque admiten orbitas periodicas.

Teorema 3. [Mas86] Todo billar poligonal racional tiene al menos una orbita pe-riodica.

1.2. LA CONSTRUCCION DE KATOK-ZEMLJAKOV. 7

Este resultado es puramente existencial, es decir, no muestra la manera comose construyen dichas orbitas periodicas. En resumen: a grosso modo la conjeturasigue abierta para todo triangulo obtuso irracional cuyo angulo obtuso mide mas de100 grados.

En la siguiente seccion abordaremos una idea central: el estudio de la dinamicade los billares se puede traducir en el estudio de la dinamica de un flujo geodesicoen una superficie “plana” asociada a la mesa de billar. Esta idea permite contextua-lizar el problema de las orbitas periodicas, al menos para polıgonos racionales, en elmundo de la geometrıa compleja y los espacios de Teichmueller. Es en este ultimocontexto donde la prueba del teorema de Masur tiene lugar.2

1.2. La construccion de Katok-Zemljakov.

En esta seccion presentamos una construccion que asocia a cada billar poli-gonal P una superficie “plana” SP . Como veremos mas adelante, el estudio de lastrayectorias de billar es equivalente al estudio de las geodesicas en S(P ).

La construccion que presentamos ha sido atribuıda en repetidas ocasiones aKatok y Zemljakov [Zem75], sin embargo las ideas en que esta esta basada puedenencontrarse en los trabajos de los anos 30 del siglo XX de Fox y Kerschner [Fox36].Tomemos P un polıgono euclidiano de lados e1, . . . , en y angulos interioresα1, · · · , αn. Sea σi la reflexion del plano con respecto a la recta que contieneal lado ei. Definimos H < Isom(R2) como el grupo generado por las isometrıasdel plano σ1, . . . , σn. La multiplicacion dentro de H se realiza por la izquierda.Consideremos la familia de copias de P :

(1.1) P :=⊔h∈H

P × h

Sobre P definimos dos identificaciones de manera intuitiva:

1. Consideremos P × h y P × h′ y supongamos que hσi = h′ para alguna i =i, . . . , n. Entonces identificamos P × h y P × h′ a lo largo del i-esimo lado deP de manera que se preserve la orientacion de este.

2. Consideremos P ×h y P ×h′ y supongamos que h′h−1 es una translacion. En-tonces identificamos P ×h puntualmente con P ×h′ usando dicha translacion.

2De hecho Masur probo su teorema para diferenciales cuadraticas en superficies de Riemanncompactas.


Al conjunto que resulta de aplicar sobre P la primera identificacion lo denotamospor SP . Al conjunto que resulta de aplicar sobre P las dos identificaciones anterioreslo denotamos por SP .

Ejemplo 1. Si P es el cuadrado unitario, SP es la teselacion por cuadrados del planoR2 y SP un toro plano teselado por cuatro copias de P .

Tenemos tres proyecciones naturales:

SPπ1

π2 // SP

π~~

P

Fijemos un encaje de P en el plano y denotemos por P ′ al polıgono P privado de susvertices. Denotaremos por S ′P y S ′P a los conjuntos que resultan de quitarle a SP ySP aquellos puntos que se proyectan sobre vertices de P vıa π1 y π2 respectivamente.Por construccion, los conjuntos S ′P y y S ′P admiten un atlas donde los cambios decoordenadas son translaciones. Es decir, cuando quitamos los vertices del polıgono,los conjuntos que acabamos de construir son superficies.

Definicion 2. Una superficie3 S se dice de translacion si los cambios de coordenadasde su atlas son siempre translaciones del plano.

Lema 1. Toda superficie de translacion hereda del plano C una metrica de curvaturacero.

Demostracion. La metrica es el pull back de la metrica |dz| por cualquier carta dela estructura. Se deja al lector los detalles de que dicha definicion no depende de lacarta.

Llamaremos a esta metrica heredada del plano, la metrica natural de la su-perficie de translacion S. El lema anterior implica que todo punto en una superficiede translacion tiene una vecindad isometrica a un abierto del plano C. En partici-lar, la metrica |dz| define por pull-back metricas de curvatura constante cero en las

superficies S ′P y S ′P .

Ejercicio 10. Determine el genero de SP cuando P es:

1. Un triangulo equilatero.

2. El triangulo rectangulo de angulos interiores (π8, 3π

8).

3Es decir, variedad real de dimension dos

1.3. GEODESICAS EN LA SUPERFICIE SP 9

3. El triangulo isoceles de angulos interiores (π5, π

5).

Sugerencia: dada una triangulacion de SP con C caras, V vertices y A aristas,la caracterıstica de Euler de la superficie SP se define como el numero χ(P ) =V + A− C. Luego, el genero g(SP ) de la superficie SP satisface:

2− 2g(SP ) = χ(SP )

1.3. Geodesicas en la superficie SP

Disclaimer: el tratamiento que daremos de las superficies SP no utiliza el for-malismo de la geometrıa diferencial propio a flujos geodesicos en variedades Rieman-nianas. Hemos escogido un tratamiento diferente para simplificar la presentacion.

En los siguientes parrafos veremos como el estudio del juego de billar en el polıgonopuede llevarse a cabo estudiando el “flujo” geodesico en la superficie SP . En la sec-cion anterior, vimos que tanto para el caso racional como el irracional, la superficieS ′P tiene una estructura de superficie de translacion. El fibrado tangente de este tipode superficies tiene una estructura muy simple.

Lema 2. Sea S una superficie de translacion. Entonces el fibrado tangente es trivial,i.e. TS = S ×R2.

Demostracion. En general, los cociclos del fibrado TS son de la forma D(ϕj ϕ−1i ),

donde (U,ϕi) y (U,ϕj) son cartas S. Como S es superficie de translacion, siempretenemos que D(ϕj ϕ−1

i ) = IdR2 , lo que implica que el fibrado tangente de S estrivial.

Ası las cosas, podemos considerar a S superficie de translacion con la metricaque hereda del plano. Entonces, el fibrado tangente unitario de S puede escribirsecomo S ×R/2πZ. Las fibras de la proyeccion en la segunda coordenada

(1.2) π : S ×R/2πZ→ R/2πZ

son campos de vectores paralelos en S. Denotaremos Vθ al campo correspondientea π−1(θ). Llamaremos a una curva integral maximal de Vθ una geodesica paralelaa la direccion θ. El nombre se justifica pues se estas curvas integrales son geodesi-cas de la metrica plana de S heredada del plano. Denotaremos por gtθ al flujo4 del

4En realidad como veremos mas adelante gtθ en el caso de una superficie plana que proviene delbillar no es un flujo en el sentido estricto pues no esta definido para todo tiempo. Sin embargosiempre nos podemos restringir a un subconjunto de medida total donde sı tengamos definido unflujo.


campo Vθ y lo llamaremos flujo geodesico en la direccion θ. Denotaremos al conjun-to de geodesicas paralelas a la direccion θ por Gθ. Este conjunto define una foliacion.

Geodesicas y trayectorias de billar. La superficie SP no es una superficie detranslacion en el sentido escrito de la palabra pues aquellos puntos que se proyectansobre vertices del polıgono P donde el angulo interior no es de la forma π

nno tienen

vecindades isometricas el plano. Sin embargo, podemos relajarnos y pensar que a SPle hemos quitado dichos puntos. Esto no es descabellado pues en el caso en el queP sea un polıgono racional la cantidad de dichos puntos es finita y en el resto de loscasos forma un subconjunto discreto. Ası las cosas, podemos pensar que SP es unasuperficie de translacion salvo por un pequeno conjunto de puntos “problematicos” yque en ella tenemos un flujo geodesico bien definido. Notemos que por la manera co-mo definimos la construccion de Katok-Zemljakov la proyeccion π : SP → P mandageodesicas en trayectorias de billar. En particular, geodesicas cerradas se proyectanen trayectorias periodicas.

Flujos geodesicos en el toro. El toro R2/Z× Z es una superficie de translacioncompacta. El siguiente teorema es un resultado clasico que describe la dinamica delflujo geodesico en el todo y por tanto a la dinamica de las trayectorias de billar enun cuadrado.

Teorema 4. Sea θ ∈ S1 = R/2πZ y gtθ el flujo geodesico del toro en la direccion θ.Entonces:

1. Toda orbita de gtθ es cerrada y del mismo periodo si y solo si θ es un multiploracional de π.

2. El flujo gtθ es unicamente ergodico y la medida invariante es Leb si y solo si θes un multiplo irracional de π.

Mas adelante abordaremos la nocion de ergodicidad y ergodicidad unica conmas detalle. Notese que el teorema precedente nos dice que el flujo geodesico en eltoro satisface una dicotomıa.

1.4. Singularidades y topologıa de la superficie SP

Como vimos en el capıtulo anterior, la metrica euclidiana |dz| de C define vıa

pull-back metricas en las superficies de translacion S ′P y S ′P . En los siguientes parra-

fos describiremos metricamente las vecindades de los puntos en SP y SP . Luego,determinaremos la topologıa de la superficie SP .

1.4. SINGULARIDADES Y TOPOLOGIA DE LA SUPERFICIE SP 11

Recordemos que tenemos dos casos:

1. El caso racional. Este es el caso cuando todos los angulos interiores de P sonmultiplos raciones5 de π. Ası las cosas, diremos que P es un polıgono racional.

2. El caso irracional. Este es el caso cuando existe al menos un angulo interior deP que no es multiplo racional de π. En este caso diremos que P es un polıgonoirracional.

1.4.1. Caso racional

Consideremos la funcion fn(z) = zn definida de C a C. Si quisieramos definirla funcion inversa f−1

n : C → C tendrıamos un problema de multivaluacion. Pararesolver este problema consideramos el cubriente cıclico n : 1 ramificado sobre elorigen

(1.3) ρn : Σn → C

Este cubriente tiene una estructura de superficie de Riemann natural y hereda delplano la metrica ρ∗|dz|.

Supongamos que el angulo interior de P en un vertice v es racional, i.e. de laforma p

qπ con p y q primos relativos. En este caso, llamemos σi y σj a los generadores

de H que son reflexiones respecto a las dos rectas que contienen a los lados de Pque se intersectan en v.

Lema 3. Sea x ∈ SP tal que πP (x) = v es un vertice de P donde el angulo interiores de la forma p

qπ con p y q primos relativos. Entonces existe una vecindad V de x

isometrica a un cubriente cıclico p : 1 ramificado de un disco.

Prueba. Queremos probar que existe una vecindad V de x y ε > 0 tal que, si εDdenota el disco de radio ε centrado en el origen de C con respecto a la metrica |dz|,entonces V \x, que es superficie de translacion, es isometrico a la superficie ρ−1

n (εD)con respecto a la metrica ρ∗|dz|. Notemos que, en S(P ) el conjunto de copias de Pque contienen a x ∈ π−1

P (v) esta naturalmente indexado por los elementos del grupo

(1.4) Hij :=< σi, σj > .

El grupo Hij es isomorfo al grupo diedrico D2q. Como cada copia indexada por unelemento de Hij contribuye con un incremento angular de pπ

qla contribucion total

es de 2pπ.

5Tambien se dice en este caso que todos los angulos interiores son conmesurables con π.


Definicion 3. A cada uno de los puntos x ∈ SP para los que existe una vecindadV isometrica a un cubriente cıclico p : 1 del disco, con p > 1, les llamaremossingularidades conicas de angulo 2pπ.

Ejercicio 11. Sea P un triangulo rectangulo racional con un angulo de la forma πn.

Determina el numero y angulo total de las singularidades que presenta la superficieSP .

Ejercicio 12. El triangulo isoceles P de angulos interiores (π5, π

5) produce una super-

ficie SP plana con una singularidad conica de angulo total 6π. ¿Es el conjunto depolıgonos P tales que SP tiene solo una singularidad conica de angulo total 6π finitoo infinito?

Ejercicio 13. ¿Es el conjunto de polıgonos P tales que SP tiene solo una singularidadconica de angulo total kπ, k ≥ 2 finito o infinito? ¿Puede ser vacıo?

Ejercicio 14. Si P es un polıgono racional, la estructura de superficie de translacionde S ′P se extiende de manera unica en una estructura de SP de superficie de Riemann.Es decir, en una estructura donde, si pensamos a cambios de coordenadas comofunciones de C en C, estos resultan holomorfos. ¿Puedes dar una expresion explıcitade la carta de esta superficie en una vecindad de una singularidad de tipo conico?

Ejercicio 15. Sea x ∈ SP punto que se proyecta a vertice de P donde el angulo inte-rior es de la forma π

n. Demuestra que la metrica plana de la superficie de translacion

S ′P se extiende a S ′P ∪ x.

Lema 4. Sea P un polıgono racional. Entonces SP es una superficie compacta.

Demostracion. Denotemos por Trans(H) = Trans(R2) ∩ H, el subgrupo de Hformado por todas las translaciones. Notemos que por construccion, el numero decopias de P que tesela a la superficie SP esta en biyeccion con los elementos delgrupo H/Trans(H). Cuando el polıgono P es racional, H/Trans(H) es un grupofinito.

De hecho, contanto el numero de polıgonos que teselan la superficie SP cuandoP es un poligono racional, podemos calcular la caracterıstica de Euler de la superficieSP , refinar el resultado anterior y probar el siguiente:

Lema 5. Supongamos que los angulos interiores del polıgono P son de la forma piπqi

,i = 1, . . . , k, con pi y qi primos relativos. Sea N el mınimo comun multiplo de losq′is. Entonces

(1.5) genero(SP ) = 1 +N

2

(k − 2−

∑ 1

qi

)


La demostracion de este lema es un bonito ejercicio de combinatoria que sedeja al lector.

Observacion. El lema anterior nos dice que para polıgonos racionales, la to-pologıa de la superficie SP depende de los angulos interiores del polıgono.

1.4.2. Caso irracional

Este es sin duda alguna el caso mas interesante pues es el caso generico. Elsiguiente lema nos implica que la construccion de Katok-Zemljakov tal cual la defini-mos para el caso racional produce un espacio topologico que no puede ser variedad.

Lema 6. Sea P un polıgono irracional y SP el espacio topologico que resulta dela construccion de Katok-Zemljakov tal como la definimos para el caso racional.Entonces SP no es localmente compacto.

Demostracion. Como en el caso racional, tenemos una proyeccion π : SP → P .Tomemos ahora un punto x ∈ SP tal que π(x) sea un vertice donde el angulointerior de P sea de la forma λπ, λ ∈ R\Q. En este caso el grupo Hij que definimosen (1.4) no es finito y por tanto existe una vecindad de x isometrica a un cubrientecıclico infinito del disco.

Para poder obtener a partir de un polıgono irracional una superficie debemosrealizar una pequena modificacion a la construccion de Katok-Zemljakov que utili-zamos para el caso racional. Sea entonces P un polıgono irracional y P 0 el polıgonoque resulta de quitar todos los vertices donde el angulo interior sea un multiplo irra-cional de π. Consideremos entonces, como en (1.1) la union disjunta de los puntos(x, h) salvo que x ahora solo puede ser un punto en P 0 . Escribimos, abusando de lanotacion, SP como el cociente que resulta de considerar aplicar la construccion deKatok-Zemljakov al polıgono P 0.

Ejercicio 16. Demuestra que para un polıgono irracional el conjunto SP admite unaestructura de superficie de Riemann.

Claramente la superficie SP esta teselada por un numero infinito de copiasdel “polıgono” P 0. Denotaremos por SP al conjunto que resulta de pegarle a cadacopia de P que tesela SP los vertices del polıgono donde el angulo interior es unmultiplo irracional de π. Entonces, tenemos un par de proyecciones naturales que


hacen conmutar el siguiente diagrama:

SP

π

// SP

π

P 0 // P

Ejercicio 17. Demuestra que si quitamos de SP todos los puntos que se proyectanen vertices de P donde el angulo interior es un multiplo de π que no es de la formaπn

entonces obtenemos una superficie con una estructura natural de superficie detranslacion.

Definicion 4. Sea x ∈ SP un punto tal que toda vecindad V de x es no compacta.Llamaremos a dichos puntos singularidades conicas de angulo infinito de SP o SP .

Esta nomenclatura se justifica pues la imagen metrica de pequenas vecinda-des de una singularidad de tipo infinito es la de un helicoide infinito donde hemoscolapsado el eje a un punto.

Ejercicio 18. ¿Se extiende la estructura de superficie de Riemann de SP a las sin-gularidades de tipo infinito?

Las superficies compactas orientables estan caracterizadas, modulo homeomor-fismo, por su genero. Una vez que conocemos el genero sabemos exactamente elnumero de toros que tenemos que sumar conexamente para obtener la superficie.En el caso de las superficies no compactas el invariante topologico es un poco mascomplicado, sin embargo bastante intuitivo. Las superficies no compactas orienta-bles estan caracterizadas, modulo homeomorfismo, por dos invariantes: el genero(que puede ser infinito) y el espacio de fines. A grandes rasgos, los fines forman unaextension natural de un espacio topologico no compacto y como conjunto puedenser provistos de una topologıa. El espacio (topologico) de fines es un invariante to-pologico. Para mas detalles sobre la nocion de fin de un espacio topologico el lectorpuede consultar el trabajo fundador de Freudenthal [Fre31], o [Ray60] y para el casoparticular de las superficies los trabajos de Richars [Ric63].

Definicion 5. Llamamos monstruo del lago Ness a la unica superficie orientable(modulo homeomorfismo) de genero infinito cuyo espacio de fines es solo un punto.

La nomenclatura puede atribuırsele a Ghys [Ghy95], aunque su uso se remontaa trabajos de Sullivan. El monstruo del lago Ness es la superficie topologica de generoinfinito mas sencilla. El siguiente teorema nos dice que esta juega un papel destacadoen el mundo de los billares poligonales.

Teorema 5. [Val09] Sea P un polıgono irracional, entonces SP es homemomorfa almonstruo del lago Ness.


En particular, en el caso irracional, la topologıa de la superficie SP no dependede los angulos interiores del polıgono.

Capıtulo 2

Superficies planas y grupos deVeech.

En el capıtulo anterior vimos como se le asocia a un polıgono euclidiano Puna superficie “plana” SP . En este capıtulo veremos como SP se inscribe dentro deun marco mas general, el de las erroneamente llamadas superficies planas. En estecapıtulo introduciremos estos objetos desde dos puntos de vista: el geometrico y elanalıtico. Luego, definiremos el grupo de Veech asociado a una superficie plana. A lolargo de este, y salvo que se especifique lo contrario, P denota un polıgono euclidianoracional, i.e. donde todos los angulos son multiplos racionales de π.

2.0.3. Superficies planas: punto de vista euclidiano.

Consideremos el plano R2 con su metrica estandar. Un sector en R2 es lacerradura de una componente conexa de R2 \ r1 ∪ r2 donde ri es un rayo queemana del origen. El angulo de un sector se define como el angulo interior dela componente conexa de R2 \ r1 ∪ r2 que tomamos. Por ejemplo, el angulo deltercer cuadrante en el plano es π

2. Dos sectores se pueden unir a lo largo de uno

de sus bordes usando una isometrıa. Un cono euclidiano es la superficie obtenidacuando unimos, usando isometrıas, un numero finito de sectores en un orden cıclico.El punto que corresponde al origen se denomina vertice del cono euclidiano. Elangulo de un cono euclidiano es la suma de todos los angulos de los sectores quelo definen. Notese que el angulo de un cono puede ser estrictamente mayor que 2π.Llamamos punto conico de un cono euclidiano al punto que corresponde al origen.

Ejercicio 19. ¿Tiene todo cono euclidiano una estructura de superficie C∞? ¿Desuperficie de Riemann?

17

18 CAPITULO 2. SUPERFICIES PLANAS Y GRUPOS DE VEECH.

Por construccion, todo cono euclideano desprovisto de su vertice hereda unametrica de R2 vıa pull-back. De ahora en adelante consideraremos a los conos eu-clidianos provisto de esta metrica. Notese que la completacion metrica de un conoeuclidiano se logra anadiendo el vertice que quitamos.

Ejercicio 20. Prueba que dos conos Euclidianos son isometricos si y solo si tienen elmismo angulo.

Definicion 6. Sea S una superficie (topologica) orientable. Una estructura de su-perficie euclideana conica sobre S es un atlas A con cartas de la forma (U,ϕ)i∈Ipara S \ Σ, donde Σ es un subconjunto discreto de puntos, tal que:

1. Toda funcion de transicion ϕj ϕ−1i definida por cartas de A es una translacion

del plano.

2. Con respecto a la metrica plana natural heredada del plano, todo p ∈ S tieneuna vecindad U tal que isometrica a una vecindad del vertice de un conoeuclidiano de angulo total θ(p).

3. Para toda p ∈ S \ Σ, se tiene que θ(p) = 2π.

En otras palabras, una estructura de superficie euclideana conica es casi unaestructura de superficie de translacion. El casi son los puntos del conjunto Σ. Noteseque si S es una superficie euclidiana conica compacta entonces el conjunto de puntosdonde θ(p) 6= 2π es finito. Tales puntos reciben el nombre de puntos o singularidadesconicas. El siguiente es un teorema fundamental en la teorıa de superficies euclidianasconicas.

Teorema 6 (Gauss-Bonnet, version combinatoria). Si S es una superficie euclidianaconica compacta, entonces

(2.1)∑p

(2π − θ(p)) = 2πχ(S)

donde χ(S) denota la caracterıstica de Euler de S y la suma se toma sobre todoslos puntos conicos.

Prueba. Sea T = T1, . . . , TC una triangulacion de S tal que la interseccion decada Ti con el conjunto de los puntos conicos de S son exactamente los vertices deTi. Denotemos por V al numero total de vertices en T (correspondiente al total desingularidades conicas) y por A al numero total de aristas de T . Sean αi+βi+γi = πlos angulos interiores del triangulo Ti. Entonces

(2.2)

∑p(2π − θ(p)) = 2πV − (

∑i αi +

∑i βi +

∑i γi)

= 2π(V − C2

)

19

En una triangulacion, cualesquiera dos triangulos distintos son o bien disjuntos obien se intersectan en un vertice o en una arista. Esto implica que cada Ti ∈ Tcontribuye con 3

2al numero total de aristas A de T . En otras palabras A = 3

2C =

C + C2

, ergo

(2.3)∑p

(2π − θ(p)) = 2π(V − C

2) = 2π(V + C − A) = 2πχ(S).

Definicion 7. Llamamos superficie plana a toda superficie euclidiana conica para lacual θ(p) es un multiplo entero positivo de 2π. A todo punto p tal que θ(p) = 2πk,con k 6= 1, lo llamamos singularidad conica de angulo total 2πk. Al conjunto desingularidades conicas de una superficie plana lo denotamos por Sing(S)

Observacion. El teorema anterior implica que no existen superficies planas compac-tas de genero mayor o igual que dos sin singularidades conicas.

Ejercicio 21. ¿Existen superficies planas cerradas pero no compactas sin singulari-dades conicas?

La nomenclatura “superficie plana” se justifica pues S \ Sing(S) admite unametrica de curvatura constante cero. En efecto, como en la seccion anterior vimos,dicha metrica esta definida por el pullback de la metrica plana estandar del plano|dz|.Ejemplo 2. El toro R2/Z×Z, el cilindro R2/Z y el plano son ejemplos de superficiesplanas completas.

Ejemplo 3. Sea P un polıgono racional. Entonces SP es una superficie plana.

Dos recetas para construir superficies planas.

Origamis. Consideremos T = R2/Z × Z y sea π : O → T una superficiecubriente ramificada en a lo mas un punto p∞ ∈ T . Al espacio O se le llama Origamio superficie teselada por cuadrados.

Ejercicio 22. Sea π : O → T un origami. Demuestra que O \ π−1(p∞) hereda deT \ p∞ una estructura de superficie de translacion. Demuestra que si el cubrientees finito entonces esta estructura se extiende en una unica estructura de superficieplana sobre todo O. ¿Que pasa cuando el cubriente es infinito?

Ejercicio 23. ¿Existe algun origami de genero 4 con cuatro singularidades conicas?¿Existe algun origami de genero 5 con cinco singularidades conicas? En caso positivodescribe dicho origami, en caso negativo justifica tu respuesta.


Pegando polıgonos. Consideremos P = P1, . . . , Pn una familia finita depolıgonos disjuntos en el plano (no necesariamente congruentes). Sea Λ = liki=1 elconjunto formado por todos los lados de los polıgonos en P . Supongamos que existeuna biyeccion B : Λ→ Λ sin puntos fijos tal que para cada i ∈ 1, . . . k existe unatranslacion Ti del plano que satisface B(li) = Ti(li). Definimos entonces S = S(P)como la superficie que resulta de identificar a cada lado li ∈ Λ con el lado B(li)usando la translacion T (li). Mas precisamente, identificamos x ∈ Li con Ti(x).

Ejercicio 24. Demuestra que el proceso de construccion descrito anteriormente pro-duce una superficie plana compacta S.

Ejercicio 25. ¿Que tipo de objetos obtendrıamos si en la construccion anterior usara-mos familias infinitas de polıgonos P .

Ejercicio 26. ¿Cual es el numero mınimo M(g) y maximo N(g) de singularidadesconicas que puede tener una superficie plana de genero g?

Ejercicio 27. Supongamos que p ∈ S es una singularidad conica tal que θ(p) = 2πk,con k > 1. Llamamos a 2πk el angulo total de la singularidad (nota la similitudcon la nomenclatura del capıtulo anterior). Supon que el genero de S es g. Describetodas posibles configuraciones que puede tener el conjunto de singularidades conicasde S. Esto es, describe que puede tener este conjunto y en cada caso el angulo totalde las singularidades en cuestion. Ejemplo: una superficie de genero dos puede teneruna singularidad conica de angulo total 6π o dos singularidades conicas de angulos4π.

2.0.4. Superficies planas: punto de vista analıtico

En los siguientes parrafos veremos como las superficies planas que definimosen la seccion anterior admiten una interpretacion analıtica. Esto es, desde el puntode vista de las superficies de Riemann y las 1-formas holomorfas.

Definicion 8. Sea M una superficie de Riemann con atlas (Ui, ϕi)i∈I . Una hazlineal holomorfo, o simplemente un haz lineal L sobre M , esta formado por unacoleccion L = (L, π, tji) donde

(1) Para cada par Ui ∩ Uj 6= ∅ los cociclos :

(2.4) tji : Ui ∩ Uj −→ C∗

son biholomorfismos que satifacen

tii = 1 en todo Ui

21

tij · tji = 1 en todo Ui ∩ Uj 6= ∅

tik · tkj · tji = 1 en todo Ui ∩ Uj ∩ Uk 6= ∅

(2) L es el espacio (topologico) total que resulta de considerar la union disjunta deUi × C, i ∈ I e identificar parejas de la siguiente forma: (p, v) ∈ Ui × C seidentifica con (q, w) ∈ Uj ×C si y solo si p = q y w = tij(p)v.

La funcion proyeccion π : L −→M esta dada por π(p, v) = p.

Toda superficie de Riemann tiene asociados varios haces lineales “naturales”.Para nuestro contexto nos interesara el siguiente.

Definicion 9. Sea M = (Ui, ϕi)i∈I una superficie de Riemann. Definimos el hazcanonico como

(2.5) tji = (D(ϕj ϕ−1i ))−1

Aquı, D(ϕj ϕ−1i ) denota la derivada holomorfa del cambio de coordenadas ϕj ϕ−1

i .Denotamos al haz canonico de M por KM .

Definicion 10. Sea M = (Ui, ϕi)i∈I una superficie de Riemann. Una seccionholomorfa de un haz lineal (L, π, tji) sobre M es una coleccion s = si tal que

1. Cada si : Ui ⊂M −→ C son funciones holomorfas.

2. Para cada Ui ∩ Uj 6= ∅ tenemos que sj = tjisi.

En otra palabras, la coleccion s = si define una funcion s : M −→ Ldescrita localmente por funciones holomorfas que asocia a cada p ∈ M un puntos(p) ∈ π−1(p) de manera que π s = IdM .

Definicion 11. Una 1-forma holomorfa ω en M es una seccion holomorfa del hazcanonico KM .

Las formas holomorfas sobre M forman un C-espacio vectorial. Un resultadoclasico nos dice que siM es una superficie de Riemann compacta de genero g entoncesla dimension de este espacio es justamente g. Para mas detalles sobre el tema el lectorpuede consultar [Mucino-Brambilla]. Estos ahora a punto para definir la nocion desuperficie plana desde el punto de vista analıtico.

Definicion 12. Una superficie plana es un par (M,ω) donde M es una superfi-cie de Riemann (no necesariamente compacta) y ω es una 1-forma holomorfa noidendicamente nula en M .


Justifiquemos ahora esta nomenclatura. Toda 1-forma holomorfa se escribelocalmente como f(z)dz donde f(z) es una funcion holomorfa y dz = dx + idy.Definamos Z(ω) como el conjunto de ceros de la forma ω y M ′ = M\Z(ω). Entonces,para cada p0 ∈M ′ podemos definir la carta

(2.6) z(p) =

∫ p

p0

ω

en una vecindad de p cercanas a p0. Notese que en la coordenada z tenemos queω = dz. Observese que si cambiamos “punto base” (p0 por un q0 cercano) entonceslas cartas coordenadas cambian por una translacion. En efecto:

(2.7) c :=

∫ p

p0

ω −∫ p

q0

ω =

∫ q0

p0

ω

donde c es una constante que no depende de p. Ergo, los cambios de coordenadas enla estructura definida por las cartas (2.6) son todos de la forma z → z + c, es decir,translaciones.

Observacion. Notemos que en la definicion anterior nunca solicitamos que la super-ficie M sea compacta.

Ejercicio 28. Consideremos p ∈ M un cero de orden k de la forma ω. ¿Como seextiende analıticamente la estructura que define el atlas de las cartas (2.6) a p ?¿Cual es el modelo metrico de la superficie plana (X,ω) en una vecidad de p ?

Ejercicio 29. Usando el ejercicio anterior, demuestra que toda superficie de planacompacta desde el punto de vista geometrico lo es desde el punto de vista analıticoy viceversa.

Definicion 13. Llamaremos a todo punto z0 ∈M tal que ω(z0) = 0 una singulari-dad conica de la superficie plana (M,ω).

Ejercicio 30. Justifica la nomenclatura de la definicion anterior. Establece la relacionentre el orden de z0 como cero de ω y el angulo total de la singularidad conicacorrespondiente.

La ventaja de este punto de vista es que nos otorga de un contexto “analıtico”para tratar a todas las superficies planas de un mismo genero. Dicho contexto es elllamado fibrado de Hodge sobre el espacio de moduli de superficies de RiemannMg,que se denota por lo general Ω∗Mg (ya que se piensa desprovisto de la seccion cero).En este contexto es posible reformular el teorema 3 de una manera mas precisa:

Teorema 7 (H. Masur, [Mas86]). Sea (X,ω) ∈ Ω∗Mg una superficie plana. Enton-ces el conjunto de direcciones θ para los cuales Gθ presenta una orbita periodica esdenso en R/2πZ.

Corolario 1. El conjunto de direcciones en las que un billar racional presenta unaorbita periodica es denso en el cırculo.

23

2.0.5. Conexiones de silla y vectores de holonomıa.

Recordemos que entre las trayectorias de billar hay unas que se distinguen porsu comportamiento singular. Estas son las que llamabamos en el capıtulo 1 diago-nales generalizadas y corresponden a trayectorias de billar cuyo inicio y fin es unabuchaca. Si pensamos en la proyeccion natural πP : SP → P , entonces las diago-nales generalizadas son “la sombra” de un tipo especial de geodesicas en SP que secaracterizan por tener su inicio y fin en singularidades conicas1. Cada una de estetipo especial de geodesicas se denomina una conexion de silla. Como veremos en laseccion siguiente, las conexiones de silla nos permiten construir invariantes afines decada superficie plana que luego nos dan informacion sobre el grupo de Veech.

Mas formalmente, consideremos una superficie plana S y sea Sing(S) el conjun-to de sus singularidades conicas. Como vimos en la seccion anterior, S ′ = S\Sing(S)es una superficie de translacion y por tanto para cada direccion θ ∈ R/2πZ tene-mos un campo constante unitario Vθ en S ′ de vectores paralelos a dicha direccion.Dentro de todas las curvas integrales del campo Vθ, que llamabamos geodesicas,distinguimos aquellas con extremidades en Sing(S).

Definicion 14. Toda curva integral maximal de Vθ cuyo dominio maximo de defini-cion sea un intervalo de longitud finita se llama conexion de silla. Toda γ geodesicaen S ′ que tenga un extremo en una singularidad conica recibe el nombre de separa-triz.

A cada conexion de silla γ le podemos asociar el vector en R2 cuya norma esigual a la longitud de γ y cuya direccion es la direccion del vector γ′(t).

Definicion 15. Sea γ : (a, b)→ S ′ una conexion de silla de longitud L(γ) del campoVθ. Llamamos al vector de holonomıa asociado a γ al vector en R2 en la direccion θde norma L. Denotamos a dicho vector por vγ y definimos:

(2.8) Vhol(S) := v ∈ R2 | v es vector de holonomıa de S

Notemos que si γ es una conexion de silla del campo Vθ entonces el campo Vθ+πtiene una conexion de silla η tal que vγ = −vη. El siguiente lema es fundamentalpara el resto de nuestra exposicion:

Lema 7. Sea S una superficie de translacion compacta de genero al menos dos.Entonces Vhol(S) es un subconjunto discreto de R2.

Prueba. El argumento original de la prueba de este lema se debe a Ya. Vorobets.En las superficies compactas, las conexiones de silla aparacen a partir de genero

1Salvo el caso especial de las diagonales generalizadas cuyo inicio es una buchaca donde elangulo interior es de la forma π

n


dos. Tomemos v ∈ R2 que suponemos es un vector de holonomıa. Mostraremos quev no puede ser lımite de vectores en Vhol(S) por contradiccion. Consideremos A elconjunto formado por todas las geodesicas γ que tienen como extremidades puntosen Sing(S) y que son paralelas a la direccion del vector v. Como la superficie S escompacta entonces Sing(S) y el numero de geodesicas en A finito. Sea p ∈ Sing(S)una de las extremidades de una conexion de silla γ tal que su vector de holonomıasea exactamente v. Denotemos por Bε(p) la vecindad de radio ε > 0 centrada enp ∈ S. Como Sing(S) es finito, existe un numero positivo ε > 0 tal que

(2.9) Bε(p) ∩ Sing(S) = p, ∀p ∈ Sing(S)

Como solo hay un numero finito de conexiones de silla paralelas al vector v podemossuponer que todo vector de holonomıa suficientemente cercano a v debe correspondera una conexion de silla que tenga una de sus extremidades en Bε(p)\p para algunp ∈ Sing(S). Sin empargo, por (2.9) esto es imposible.

2.0.6. Difeomorfismos afines y el grupo de Veech.

En esta seccion definimos uno de los objetos principales de estas notas: el grupode Veech de una superficie plana.

Definicion 16. Sea S una superficie plana. Llamamos difeomorfismo afın de S atodo homeomorfismo f : S → S tal que:

1. Permute los puntos de Sing(S).

2. En coordenadas locales (afines) de S ′ = S \ Sing(S) sea de la forma:

(2.10)

[a bc d

] [xy

]+

[λ1

λ2

]

donde

A =

[a bc d

]∈ GL(2,R).

La matriz A depende a priori de las coordenadas (x, y) que nos escojamos. Elsiguiente lema nos dice que tal no es el caso.

Lema 8. Sea f : S → S un difeomorfismo afın de una superficie de translacion.Entonces la derivada Dfz no depende de z.

25

Prueba. Consideremos (Ui, φi) y (Vi, ψi), i = 1, 2 cartas de z y f(z) respectivamente.Como f es afın entonces:

(2.11) D(ψi f ϕ−1i )(ϕi(z)) = Ai i = 1, 2

para todo z ∈ U1 ∩ U2. Por otro lado:

A1 = D(ψ1 f ϕ−11 )(ϕ1(z))

= D(ψ1 ψ−12 ψ2 f ϕ−1

2 ϕ2 ϕ−11 )(ϕ1(z))

= D(ψ1 ψ−12 )(ψ2(f(z)))D(ψ2 f ϕ−1

2 )(ϕ2(z))D(ϕ2 ϕ1)(ϕ1(z))

= D(ψ2 f ϕ−12 )(φ2(z)) = A2

Con esto probamos que para todo z ∈ S que no sea un punto conico existe unavecindad z ∈ U tal que Df(z) es una matriz constante. El resultado se sigue de laconexidad por arcos de S.

El conjunto de difeomorfismos afines que preservan la orientacion de una su-perficie plana es un grupo cuando consideramos la composicion de funciones. Deno-tamos a dicho grupo por Aff+(S). El lema anterior y la regla de la cadena implicanque la funcion que a cada f ∈ Aff+(S) asigna su matriz derivada Df define unmorfismo de grupos

(2.12) D : Aff+(S)→ GL+(2,R)

Definicion 17. A la imagen del morfismo (2.12) se le llama grupo de Veech de lasuperficie plana S. Lo denotamos por Γ(S).

Observacion. Por consideraciones que veremos mas adelante, algunos autores consi-deran al grupo de Veech como la imagen de Γ(S) en

PGL+(2,R) = GL+(2,R)/±Id.

Fijar el grupo Aff+(S) es solo una convencion, bien pudimos haber considerado todoslos difeomorfismos afines de una superficie plana en cuyo caso la imagen de (2.12)vivirıa en GL(2,R).

Ejemplo 4. Si S = R2 entonces toda matriz A ∈ GL+(2, R) define un difeomorfismoafın de S y recıprocamente, para toda A ∈ GL+(2,R) existe un difeomorfismo afınf tal que Df = A. En otras palabras, Γ(R2) = GL+(2, R).


Ejercicio 31. Sea S una superficie plana compacta. Demuestre que el kernel deD : Aff+(S) → GL+(2, S) es un conjunto finito. Sugerencia: use el hecho de que elgrupo de automorfismos conformes de una superficie de Riemann compacta siemprees finito.

Ejercicio 32. Encuentre un ejemplo de una superficie plana no compacta tal queD : Aff+(S)→ GL+(2, S) no sea finito.

Ejercicio 33. Consideremos el cilindro C := R2/Z. Calcule Γ(C).

Ejemplo 5. En este ejemplo veremos que el grupo de Veech del toro es SL(2,Z).Consideremos el toro T := R2/Z × Z y la proyeccion desde el cubriente universalπ : R2 → T . Entonces, para toda

A =

[a bc d

]∈ SL(2,Z)

consideramos la funcion fA[x, y] = [ax+ by, cx+ dy].

Ejercicio 34. Demuestra que fA : T → T define un difeomorfismo afın

En otras palabras, Γ(T ) contiene al grupo SL(2,Z). Tomemos ahora f ∈Aff+(T ) y sea f : R2 → R2 un levantamiento de f al cubriente universal. Un

calculo elemental muestra que f debe preservar la retıcula de puntos enteros Z×Z.Esto solo es posible si Df ∈ SL(2,Z).

Ejercicio 35. Sea τ ∈ C un numero complejo tal que Im(τ) > 0. Definimos Λτ =Z⊕ τZ y el toro Tτ = C/Λτ . Calcula el grupo de Veech de Tτ .

Diremos que dos toros Tτ y Tτ ′ son conformemente equivalentes si existe unbiholomorfismo f : Tτ → Tτ ′ .

Ejercicio 36. Demuestra que Tτ y Tτ ′ son conformemente equivalentes si y solo siexiste una matriz

A =

[a bc d

]∈ SL(2,Z)

tal que τ ′ = aτ+bcτ+d

. Describe la relacion que existe entre los grupos de Veech de dostoros dentro de una misma clase conforme.

Observacion. Toda superficie plana hereda un elemento de area natural via pullbackdel plano R2. Si S es una superficie de area finita, entonces todo difeomorfismoafın f : S → S debe respetar el area de S. Esto implica que necesariamente Df ∈SL(2,R).

Accion de Γ(S) sobre Vhol(S). Sea S una superficie plana. Todo elemento fdel grupo afın Aff+(S) se extiende de manera continua a las singularidades conicasde S y define una permutacion de estas. De hecho, manda a cada singularidad de

27

angulo total 2πk en una singularidad de angulo total 2πk, donde k ∈ N ∪ ∞.Notemos que si γ : (a, b) → S es una conexion de silla entonces f γ es

una curva cuya traza es la traza de una conexion de silla ψ : (a′, b′) → S. Lacurva f γ no es necesariamente una conexion de silla pues la norma del vector(f γ)′(s) = Df ·γ′(s) no es necesariamente 1. Para entender la accion del grupo deVeech Γ(S) sobre Vhol(S) debemos expresar al vector de holonomıa vψ en terminosde Df y vγ. Para esto reparametrizamos a la curva f γ por longitud de arco usandouna funcion afın g : (a′, b, )→ (a, b). Dado que la norma del vector ∂

∂t(f γ g) debe

ser uno, deducimos que g′(t) = b−ab′−a′ = 1

||Df ·γ′(s)|| , ergo b′ − a′ = (b− a)||Df · γ′(s)||.Ası las cosas

(2.13) vψ = (b′ − a′) Df · γ′(s)||Df · γ′(s)||

= (b− a)Df · γ′(s) = Df · vγ .

En resumen, tenemos bien definida una accion lineal del grupo de Veech sobre elconjunto de vectores de holonomıa:

(2.14)Vhol(S)× Γ(S) −→ Vhol(S)

(v,Df) −→ Df · vProposicion 2. Sea S una superficie plana tal que Vhol(S) es discreto y contienepor lo menos dos vectores linealmente independientes, entonces el grupo de VeechΓ(S) < GL+(2,R) es discreto.

Demostracion. Procedemos por contradiccion. Supongamos que existe una sucesionen el grupo de Veech An → Id y sean v, w ∈ Vhol(S) dos vectores linealmente inde-pendientes. Entonces alguna de las sucesiones Anv, Anw contiene una subsucesioninfinita que por continuidad converge a alguno de los vectores v o w. Esto contradiceel que Vhol(S) sea un subconjunto discreto del plano.

Ejercicio 37. Encuentre una superficie plana tal que el conjunto de vectores deholonomıa sea infinito pero no contenga dos vectores linealmente independientes.

Las matrices de 2×2 tienen una topologıa estandar cuando identificamos dichoconjunto con R4:

(2.15)

[a bc d

]→ (a, b, c, d)

Dentro de dicho conjunto tenemos al conjunto cerrado SL(2,R) formado por lasmatrices con determinante 1. Otorgamos a SL(2,R) la topologıa de subespacio.

Ejercicio 38. Demuestra que la imagen de SL(2,R) bajo (2.15) es una subvariedadde R4 homeomorfa a S1 ×R2.

Definicion 18. Todo subgrupo discreto de SL(2,R) se llama grupo Fuchsiano. Unsubgrupo de Γ < SL(2,R) se dice cocompacto2 si el espacio topologico cociente

2En este caso se dice tambien que Γ es uniforme


SL(2,R)/Γ es compacto.

Dado que el conjunto de vectores de holonomıa de una superficie de genero almenos dos es discreto y el del toro es SL(2,Z) obtenemos el siguiente, y ademas elgrupo de Veech correspondiente actua de manera lineal en el conjunto de vectoresde holonomıa, obtenemos el siguiente:

Corolario 2. El grupo de Veech de una superficie plana compacta siempre es ungrupo Fuchsiano.

El siguiente lema ilustra otra propiedad del grupo de Veech que sera funda-mental para probar el teorema de la dicotomıa de Veech.

Lema 9. El grupo de Veech de una superficie compacta nunca es cocompacto.

Para probar este lema introduciremos un nuevo punto de vista para los gruposde Veech.

Accion de GL+(2,R) sobre el espacio de superficies planas. En este cur-so no entraremos en detalle sobre lo que quiere decir espacio de superficies planas.Solo diremos que este, para superficies compactas de genero g, corresponde al fibradode Hodge (privado de la seccion cero) sobre el espacio de moduli Mg de superficiesde Riemann de genero g.

Lo que nos interesa realmente en esta seccion es definir una accion del grupoespecial lineal SL+(2,R) sobre dicho conjunto3. Entonces consideremos S una su-perficie plana con su atlas A = (U,ϕ) y una matrix A ∈ SL(2,R). Definimos A ·Scomo la superficie plana cuyo atlas esta dado por A · A := (U,A · ϕ). En otraspalabras, A · S tiene como estructura de superficie plana el atlas que se obtiene delatlas de S postcomponiendo cada carta por la funcion lineal que define la matrix A.

Ejercicio 39. Verifica que en efecto A · S es una superficie plana. Verifica que lassuperficies planas A y A ·S tienen la misma cantidad de singularidades conicas (conlas mismas multiplicidades). Demuestra que Vhol(A · S) = A · Vhol(S).

Como vimos anteriormente el conjunto Vhol(S) es un subconjunto discreto deR2. Esto implica que para toda superficie plana S existe una conexion de sillade longitud mınima. Definimos entonces m(S) como la longitud mınima de unaconexion de silla en S.

Lema 10. [Vor96] Sea S una superficie plana compacta fija. La funcion:

(2.16) L : SL+(2,R)→ R

definida por L(A) = m(A · S) es continua.

3Para superficies planas de area infinita, el grupo que actua es SL+(2,R)

29

Prueba del lema 9. Si la superficie es de genero 1 ya vimos que el grupo deVeech es SL+(2,Z) que no es cocompacto. Ahora bien, si S tiene genero al menosdos presenta al menos una conexion de silla que sin perdida de generalidad podemossuponer es vertical. Entonces la orbita de S bajo el subgrupo

(et 00 e−t

)es una familia

de superficies planas donde la longitud de la conexion de silla mınima tiene de cero.Entonces Γ(S) no puede ser cocompacto pues en dicho caso la funcion L deberıatener un mınimo y esto contradice lo que acabamos de decir.

El grupo de Veech como un estabilizador. Diremos que dos estructurasde superficie plana S1 = (S,A1) y S2 = (S,A2) son isomorfas si existe

(2.17) F : S1 → S2

homeomorfismo tal que para cualesquiera par de cartas (U,ϕ) y (V, ψ) de A1 y A2

respectivamente, se tiene que:

(2.18) (ψ F ϕ−1)(x) = x+ λ ∀x ∈ ϕ(U ∩ F−1(V )).

Si dos estructuras son isomorfas escribimos S1∼= S2.

Definimos ahora el grupo

(2.19) Γ1(S) := A ∈ SL(2,R) | A · S ∼= S

El siguiente es un ejercicio fundamental para entender mejor al grupo de Veech deuna superficie plana.

Ejercicio 40. Sea S una superficie plana. Demuestra que Γ(S) = Γ1(S). ¿Es necesarioque la superficie sea compacta?

Clasificacion de elementos en SL(2,R). Sea A ∈ SL(2,R) y tr(A) su traza.La siguiente clasificacion es clasica:

1. La matriz A se llama elıptica si |tr(A)| < 2.

2. La matriz A se llama parabolica si |tr(A)| = 2.

3. La matriz A se llama hiperbolica si |tr(A)| > 2.

Un metodo para encontrar elementos parabolicos en el grupo deVeech. En los siguientes parrafos describiremos un metodo para construir elementosparabolicos en el grupo de Veech de una superficie plana. Para describir este metodocomencemos con un ejemplo. Sea S el origami dado por la siguiente figura:


A A

B

B

C C

D

D

El flujo geodesico en la direccion horizontal descompone este origami en dos cilindrosC1 y C2 cuyas fronteras estan formadas por conexiones de silla. Si pensamos quelos cuadrados que forman el origami son unitarios, el cilindro C1 mide w1 = 2 deancho y h1 = 1 de alto. Definimos, siguiendo la tradicion, el modulo de C1 comoµ1 := w1

h1= 2

1= 2. Analogamente, para el cilindro C2 tenemos que µ2 = w2

h2= 1

1= 1.

Coloquemos al cilindro C1 en el plano xy con un vertice en el origen y otro en el punto(2, 0). En estas coordenadas podemos definir el difeomorfirmo afın f : C1 → C1 comof(x, y) = (x+µ1y mod w1, y). Analogamente g(x, y) = (x+µ2y mod w1, y) defineun difeomorfirmo afın de C2. Notemos que ambos difeomorfismos restringidos a lafrontera de sus respectivos cilindros son la identidad. Entonces es posible pegarlospara definir una funcion afın por pedazos F del origami S. Notemos que F no defineelemento de Aff+(S) ya que

Df =

[1 20 1

]6=[1 10 1

]= Dg

Sin embargo notemos que (Dg)2 = Df . Entonces g2 y f pueden pegarse a lo largo dela frontera de los cilindros C1 y C2 para definir un elemento G en Aff+(S). Notemosque en este ejemplo tr(DG) = 2, es decir, obtenemos un elemento en el grupo deVeech de tipo parabolico.

Ejercicio 41. Considera el flujo geodesico de origami S en la direccion vertical yencuentra una descomposicion en cilindros de S que te permita encontrar otroselementos parabolicos del grupo de Veech.

Definicion 19. Sea S una superficie plana compacta. Decimos que una direccionθ ∈ R/2πZ es totalmente periodica si el flujo geodesico de S en la direccion θ des-compone a S en un numero finito de cilindros C1, . . . , Cn cuyos modulos µ1, . . . , µnson conmesurables. Es decir, para todo i 6= j tenemos que existen ni, nj ∈ Z talesque niµi = njµj.

31

Ejercicio 42. Sea S una superficie plana compacta y supon que la direccion hori-zontal es totalmente periodica. Demuestra que en este caso existe un elemento en elgrupo de Veech de la forma: [

1 λ0 1

]¿Puedes dar una expresion para λ en terminos de los modulos µ1, . . . , µn ?

Ejercicio 43. Sea S una superficie plana compacta y supon que la direccion verticales totalmente periodica. Demuestra que en este caso existe un elemento en el grupode Veech de la forma: [

1 0λ 1

]¿Puedes dar una expresion para λ en terminos de los modulos µ1, . . . , µn ?

Ejercicio 44. Investiga cuando el subgrupo de SL(2,R) generado por las matrices[1 0λ 1

],

[1 µ0 1

]es libre.

Ejercicio 45. Sea S una superficie plana compacta con una direccion periodica θ.Describe el elemento parabolico del grupo de Veech asociado a dicha direccion.

Capıtulo 3

La dicotomıa de Veech

Como vimos en el capıtulo anterior, el grupo de Veech de una superficie pla-na compacta S es un grupo Fuchsiano, nunca cocompacto y actua sobre el planohiperbolico H. En este capıtulo comenzamos con un breve repaso de algunos concep-tos basicos de la geometrıa hiperbolica. Para un tratamiento mas extenso del temase refiere al lector al libro de S. Katok [Kat10]. Despues abordaremos la llamadadicotomıa de Veech es su caso mas simple: el del toro. Finalmente abordaremos elteorema central de este curso.

3.1. Rudimentos de geometrıa hiperbolica

Es esta seccion revisamos las nociones basicas de la geometrıa hiperbolica quenos son necesarias para poder enunciar la dicotomıa de Veech. Muchos teoremas seenunciaran sin prueba. La referencia para dichas pruebas es el libro de S. Katok[Kat10]. Consideremos en C el semiplano superior:

(3.1) H := z ∈ C | Im(z) > 0Las coordenadas de H son de la forma z = x + iy. Definimos entonces, para cadavector tangente v = (v1, v2) en el plano tangente (real) TzH, la metrica hiperbolicacomo

(3.2) ||v||H :=

√v2

1 + v22

y

Al plano H provisto de la metrica g se le conoce como en plano hiperbolico. Escri-bamos vj = ξj + iηj, j = 1, 2; entonces la metrica hiperbolica es inducida por lametrica Riemanniana:

(3.3) < v1, v2 >z:=1

(Im(z))2(ξ1ξ2 + η1η2)

33

34 CAPITULO 3. LA DICOTOMIA DE VEECH

Si tomamos una curva diferenciable por pedazos γ = γ1 +iγ2 : [0, 1]→ H. Definimosla longitud hiperbolica de γ como el valor de la integral:

(3.4) lH(γ) =

∫ 1

0

√γ′1(t)2 + γ′2(t)2

γ2(t)dt =

∫ 1

0

|γ′(t)|Im(γ(t))

dt

Esto nos permite definir la distancia hiperbolica dH(z, w) como el ınfimo de laslongitudes hiperbolicas de curvas diferenciables por pedazos que unan a z con w.

Lema 11. Para todo z, w ∈ H tenemos que

(3.5) dH(z, w) = ln|z − w|+ |z − w||z − w| − |z − w|

La metrica 3.3 nos permite definir la nocion de angulo entre dos vectores o doscurvas y la nocion de transformacion conforme (aquellas que preservan angulos).

Teorema 8. Las geodesicas en H de la metrica hiperbolica son semicırculos o lıneas,ortogonales al eje real R.

Si D ⊂ H definimos el area hiperbolica de D como:

(3.6) AH(D) =

∫D

dxdy

y2

si dicha integral existe.

Accion del grupo unimodular.

Para toda matriz

(3.7) A =

[a bc d

]∈ SL(2,R)

definimos la transformacion de Mobius TA : H→ C dada por la regla de correspon-dencia

(3.8) z → az + b

cz + d

Ejercicio 46. Demuestra que:

3.1. RUDIMENTOS DE GEOMETRIA HIPERBOLICA 35

1. El conjunto de las transformaciones de Mobius forma un grupo con respectoa la composicion de funciones.

2. La correspondencia A→ TA define un morfismo de grupos entre SL(2,R) y elgrupo de las transformaciones de Mobius. Notese que TA = T−A para cualquierpar de matrices A ∈ SL(2,R). Demuestre que el grupo de transformaciones deMobius es isomorfo a PSL(2,R) = SL(2,R)/±Id.

Notacion. De ahora en adelante denotaremos al grupo de las transformaciones deMobius por PSL(2,R).

Definicion 20. Una funcion f : H → H se llama una isometrıa de si dg(z, w) =dg(f(z), f(w)) para todo par z, w ∈ H.

Las isometrıas de H forman un grupo que denotaremos por Isom(H).

Teorema 9. Las transformaciones de Mobius forman un subgrupo del grupo deisometrıas de H.

Prueba. Primero probaremos que toda transformacion de Mobius define un homeo-morfismo de H. Luego probaremos que para toda curva γ diferenciable por pedazosy TA transformacion de Mobius, se tiene

(3.9) lg(γ) = lg(TA(γ))

Por el ejercicio 46 tenemos que T−1A = TA−1 . Como el punto de indefinicion de TA

es −dc∈ R, la transformacion TA es continua para toda A ∈ SL(2,R). Para ver que

TA es un homeomorfismo basta entonces probar que TA(H) ⊂ H. Notemos que

(3.10)

w = az+bcz+d

= (az+b)(cz+d)(cz+d)(cz+d)

= (az+b)(cz+d)|cz+d|2 = ac|z|2+adz+bcz+bd

|cz+d|2

de donde se deduce que

(3.11) Im(w) =z − z

2i|cz + d|2=

Im(z)

|cz + d|2

Entonces, si z ∈ H, claramente w = T (z) ∈ H. Para ver ahora que PSL(2,R) ⊂Isom(H) notemos que

(3.12)∂TA(z)

∂z=

1

(cz + d)2.


Entonces, si γ : [a, b]→ H es una curva diferenciable por pedazos tenemos

(3.13)

lg(TA(γ)) =∫ ba

| ∂T (γ(t))∂t

|Im(T (γ(t)))

dt =∫ ba

1(cγ(t)+d)2

| ∂γ(t)∂t|

Im(γ(t))

(cγ(t)+d)2

dt

=∫ ba|γ′(t)|Im(z)

dt = lg(γ(t)).

En siguiente teorema describe todo el grupo de isometrıas de H.

Teorema 10. El grupo Isom(H) esta generado por las transformaciones de Mobiusy la transformacion z → −z. Si S∗L(2,R) denota las matrices de determinante ±1,tenemos que Isom(H) es isomorfo a S∗L(2,R)/± Id.

En particular, el grupo de transformaciones de Mobius es un subgrupo deındice 2 de Isom(H) que actua sobre H por homeomorfismos que preservan la orien-tacion. Ahora veamos que el area tambien es un invariante de las transformacionesde Mobius.

Teorema 11. El area hiperbolica es invariante bajo cualquier transformacion enPSL(2,R)

Prueba. Tomemos D ⊂ H para el cual el area existe (ver 3.6). Consideremos latransformacion TA(z) = w = u + iv, donde z = x + iy. Un calculo simple nosmuestra que TA satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann, ergo podemos calcularel Jacobiano de TA:

(3.14)∂(u, v)

∂(x, y)=∂u

∂x

∂v

∂y− ∂u

∂y

∂v

∂x=

(∂u

∂x

)2

+

(∂v

∂x

)2

=

∣∣∣∣dTAdz∣∣∣∣2 =

1

|cz + d|4

Entonces:(3.15)

AH(TA(D)) =

∫TA(D)

dudv

v2=

∫A

∂(u, v)

∂(x, y)

dxdy

v2=

∫A

1

|cz + d|4|cz + d|4

y2dxdy = AH(D)

Ejercicio 47. Demuestra que toda transformacion de Mobius es conforme.

Polıgonos hiperbolicos y el teorema de Gauss-Bonnet. La cerraduraeuclideana de H es la cerradura de H como subconjunto de la esfera de Riemann.Ası, H = H∪R∪∞. Un polıgono hiperbolico de n lados es un subconjunto cerrado

de H cuya frontera esta formada por segmentos de geodesicas hiperbolicas. Estossegmentos de geodesica hiperbolica constituyen los lados del polıgono. Al puntode interseccion de dos lados se la llama vertice. Se permite que los vertices de unpolıgono hiperbolico esten en R∪∞, sin embargo no se permite que un segmentode R sea un lado.

3.2. ACCION DEL GRUPO DE VEECH SOBRE H. 37

Teorema 12. (Gauss-Bonnet) Sea ∆ un triangulo hiperbolico de angulos interioresα, β y γ. Entonces

(3.16) AH(∆) = π − α− β − γ

En particular notemos que la suma de los angulos interiores de un triangulohiperbolico es siempre menor que π.

3.2. Accion del grupo de Veech sobre H.

En el caso de que S fuera una superficie compacta, vimos que su grupo deVeech Γ(S) es un subgrupo de SL(2,R). El grupo SL(2,R) no actua de manera fiel1

sobre H, el que lo hace es PSL(2,R), por ello de ahora en adelante llamaremos,abusando del lenguaje, grupo de Veech de una superficie plana compacta S a laimagen de Γ(S) en PSL(2,R) y, abusanto tambien de la notacion, lo seguiremosdenotando por Γ(S). Ası las cosas, Γ(S) actua sobre H por isometrıas y preservandoareas. Luego, podemos considerar el cociente H/Γ(S). En los parrafos que siguenveremos que, modulo quitar un numero finito de puntos, H/Γ(S) tiene estructurade superficie hiperbolica.

Definicion 21. Una superficie hiperbolica es una superficie Σ con un atlas maximalAH = (Ui, ϕi)i∈I tal que para todo i ∈ I se tiene que:

1. ϕi(Ui) ⊂ H

2. ϕj ϕ−1i es un elemento en Isom(R2).

Acciones de grupos. Comenzaremos con un breve recordatorio en el contextode variedades diferenciables. La accion de un grupo (G, ∗) sobre un conjunto X (porla izquierda) se puede definir de dos maneras equivalentes:

1. Es una funcion ρ : G×X → X que satisface:

a) (Identidad) Para todo x ∈ X, ρ(e, x) = x, donde e ∈ G es el elementoneutro.

b) (Asociatividad) Para todo x ∈ X, g, h ∈ G, ρ(g ∗ h, x) = ρ(g, ρ(h, x))

2. De la definicion anterior se sigue que la funcion x→ ρ(g, x) es una biyeccion.Es por eso que, si denotamos por Biy(X) el conjunto de biyecciones de M

1Basta tomar por ejemplo la matriz−Id, cuya transformacion de Mobius asociada es la identidad


entonces la accion del grupo (G, ∗) sobre X (por la izquierda) se define demanera equivalente como un homomorfirmos de grupos ρ : G → Biy(X) quesatisface ρ(g ∗ h) = ρ(g) ∗ ρ(h).

Ejercicio 48. En una accion por la izquiera el producto g∗h actua sobre un elementoen un orden preciso: primero h y luego g. En una accion por la derecha el productog ∗ h actua sobre un elemento en el orden opuesto: primero g y luego h. ¿Puedesescribir con detalle la definicion de una accion por la derecha? Busca un ejemplo deun grupo G que actue por la derecha y por la izquiera sobre un conjunto X. ¿Puedespensar en un ejemplo donde G no sea conmutativo?

Definicion 22. Una accion (G, ρ) sobre una variedad diferenciable es de clase Ck sipara cada g ∈ G la funcion x→ ρ(g, x) es de clase Ck.

Definicion 23. Una accion (G, ρ) sobre un conjunto X se dice libre si para todox ∈ X el estabilizador de x:

(3.17) Stab(x) = g ∈ G | ρ(g, x) = x

es trivial. Decimos que el grupo G actua propia y discontinuamente sobre una va-riedad topologica M si la accion correspondiente es continua y para toda x ∈ Mexiste una vecindad Ux tal que

(3.18) #g ∈ G | ρ(g)Ux ∩ Ux 6= ∅ <∞

Proposicion 3. [Boo86] Sea M una variedad diferenciable de clase Ck y supongamosque G actua de manera Ck, libre, propia y discontinuamente. Entonces existe unaunica estructura de variedad diferenciable de clase Ck para M/G, el conjunto deorbitas de la accion, tal que

(3.19) p : M →M/G

sea un difeomorfismo local de clase Ck.

La prueba de este teorema se puede adaptar cuando G es un subgrupo deIsom(H) que actua de manera libre, propia y discontinua. El resultado en este casosera M/G una variedad hiperbolica. Como vemos en el siguiente teorema, este escasi el caso de todo grupo Fuchsiano.

Teorema 13. [Kat10] Un subgrupo Γ de SL(2,R) es discreto (Fuchsiano) si y solosi su imagen en PSL(2,R) actua de manera propia y discontinua en H.

Ejemplo 6. Consideremos el toro T = R2/Z × Z. Como vimos antes, en este casoΓ(T ) = SL(2,Z). El grupo SL(2,Z) esta generado por las matrices

(3.20)

[1 10 1

] [0 1−1 0

]

3.2. ACCION DEL GRUPO DE VEECH SOBRE H. 39

que actuan en H por translacion e inversion respectivamente. Definamos:

(3.21)F := z ∈ H | |z| > 1, |Re(z)| < 1

2 ∪ z ∈ H | |z| = 1, Re(z) ≥ 0

∪ z ∈ H | Re(z) = 12

Ejercicio 49. Demuestra que F es un domino fundamental para la accion de SL(2,Z)sobre H. Es decir, prueba que:

1. Para cada z ∈ H existe un unico z0 ∈ F y un elemento A ∈ SL(2,Z) tal queAz = z0. Es decir, cada orbita de la accion tiene un unico representante en F .

2. Para todo A ∈ SL(2,Z) se tiene que A(F ) ∩ F = ∅ excepto cuando A esta enel conjunto:

(3.22) A ∈ SL(2,Z) | A fija1

2(1 + i

√3)

que es un conjunto finito.

El ejemplo anterior muestra que la accion de grupo de Veech de una superficiecompacta sobre H no siempre es libre. Sin embargo, como veremos en el siguientelema, para efectos practicos esto no es tan grave.

Lema 12. Sea S una superficie de translacion compacta y Γ(S) su grupo de Veech.Entonces existe un conjunto C discreto y numerable de puntos en H tal que

(3.23) (H \ C)/Γ(S)

es una superficie hiperbolica.

Prueba. Definimos

(3.24) C := z ∈ H | TA(z) = z para algun A ∈ Γ(S) \ Id

Este conjunto es un subconjunto discreto de H, de lo contrario tendrıamos que laaccion de Γ(S) sobre H no serıa propia y discontinua. Por ser discreto tiene queser numerable, ya que H es segundo numerable. Notemos que C es Γ(S)-invariante.En efecto, si TA(z) = z y TA′(z) = w, entonces w queda fijo por TA′ TA TA′−1 .Observemos que la accion de Γ(S) sobre H \C es libre, propia y discontinua, por loque el cociente (H \C)/Γ(S) tiene estructura de variedad, modelada en H y dondelos cambios de coordenadas estan en Γ(S) < Isom(H).

Nota Bene. Como el area hiperbolica es invariante bajo la accion del grupoΓ(S) (ver teorema 11), podemos hablar sin ambiguedades del area de la superficiehiperbolica ΣS := (H \ C)/Γ(S). Notese que como C es un subconjunto discreto,podemos definir el area de H/Γ(S) como el area de la superficie hiperbolica ΣS :=(H \ C)/Γ(S).


Definicion 24. Una superficie plana S compacta se llama superficie de Veech osuperficie retıcula si el cociente ΣS := (H \ C)/Γ(S) tiene area hiperbolica finita.

3.3. Dicotomıa de Veech: el caso del toro

Consideremos el toro T = R2/Z×Z. Esta es la unica superficie de translacioncompacta honesta (es decir sin singularidades conicas). Por tanto, como vimos en§1.3, para cada direccion θ ∈ R/2πZ tenemos un campo sin singularidades Vθ. Estecampo es completo y por tanto induce un flujo2 gtθ, t ∈ R en el toro que llamaremosel flujo geodesico en la direccion θ. La medida de Lebesgue en R2 define una medidade probabilidad en el toro que denotaremos por Leb. En general, si λ es una medidade probabilidad sobre T decimos que el flujo gtθ es ergodico con respecto a λ si

1. La medida λ es invariante bajo el flujo. Es decir, para todo A ⊂ T medible setiene que

(3.25) λ(A) = λ(gtθ(A)) ∀t ∈ R

2. Los conjuntos invariantes bajo el flujo son de medida total o cero. Es decir,para todo t ∈ R y A ⊂ T medible tal que A = gtθ(A) se tiene que λ(A) = 0 obien λ(A) = 1.

Si ademas solo existe una medida de probabilidad λ respecto a la cual el flujo gtθ esergodico decimos que este es unicamente ergodico. Recordemos que el teorema 4 nosdice que:

1. Toda orbita de gtθ es cerrada y del mismo periodo si y solo si θ es un multiploracional de π.

2. El flujo gtθ es unicamente ergodico y la medida invariante es Leb si y solo si θes un multiplo irracional de π.

En otras palabras el flujo geodesico en el toro satisface una dicotomıa. Notemos porotro lado, lo siguiente:

Lema 13. El cociente H/Γ(T ) tiene area hiperbolica finita.

Prueba. Por 3.21 tenemos que el dominio fundamental para la accion de SL(2,Z)sobre H es un triangulo hiperbolico cuyos angulos son 0, 0 y π/2. Por el teoremade Gauss-Bonnet para triangulos hiperbolicos (ver [Kat10]) tenemos que el area deH/SL(2,Z) es igual a π/2.

En la siguiente seccion, veremos que esto no es solo una coincidencia.

2Accion de R ligada a la integracion del campo

3.4. DICOTOMIA DE VEECH: ENUNCIADO GENERAL 41

3.4. Dicotomıa de Veech: enunciado general

En esta seccion presentamos el resultado principal de estas notas.

El flujo geodesico en una superficie de translacion arbitraria. Tomemos una superfi-cie de translacion compacta S y supongamos que el genero de esta es por lo menos2. Por el teorema de Gauss-Bonet, S presenta singularidades de tipo conico. Ergo,el campo de vectores Vθ no es completo y no tenemos bien definido un flujo puesexisten trayectorias integrales que en tiempo finito van a dar una singularidad. Sinembargo, como el numero de singularidades conicas de S es finito, para casi todax ∈ S y casi toda direccion θ, el dominio de la curva integral maxima de Vθ concondiciones iniciales (x, θ) es todo R. En otras palabras, para casi todo punto y todadireccion gtθ esta definido para toda t ∈ R. Por esta razon abusaremos del lenguajey hablaremos del “flujo geodesico” gtθ en S.

Como en el caso del toro, diremos que una medida µ en una superficie detranslacion S es invariante para el “flujo” geodesico gtθ si para subconjunto medibleA ⊂ S se tiene que

(3.26) µ(A) = µ(gtθ(A))

para todo t donde la ecuacion precedente tenga sentido. Diremos tambien que µ esergodica para el flujo gtθ si los todo subconjunto invariantes es o bien de medida ceroo de medida total.

La medida de Lebesgue en el plano es invariante bajo translaciones. Para cadasuperficie de translacion S, la medida de Lebesgue en el plano induce una medida deprobabilidad Leb que llamaremos de Lebesgue tambien. El siguiente es un teoremaclasico que nos da una idea del comportamiento del flujo geodesico gtθ para unadireccion tıpica θ.

Teorema 14. [Ker86] Sea S una superficie de translacion compacta, y dθ la medidade Liouville en R/2πZ. Entonces para casi toda direccion θ el flujo gtθ es unicamenteergodico.

En este teorema, la ergodicidad unica es con respecto a la medida Leb en Sinducida por la medida de Lebesgue del plano.

Finalmente, podemos enunciar el teorema principal de estas notas.

Teorema 15. [Vee89] Sea S una superficie de Veech. Entonces para cada direccionθ ∈ R/2πZ el flujo geodesico gtθ es o bien totalmente periodico o bien unicamenteergodico con respecto a la medida de Lebesgue Leb.

Bosquejo de la demostracion. Tomemos θ ∈ R/2πZ y Rθ la rotacion quelleva θ a la direccion vertical. Observemos que Γ(Rθ · S) = R−θΓ(S)Rθ, las medidas


de Lebesgue en S y Rθ · S son las mismas y el flujo geodesico en la direccion θ enS es conjugado al flujo geodesico en la direccion vertical en Rθ · S. Ergo podemossuponer sin perdida de generalidad que la direccion θ en el enunciado del teorema15 es la direccion vertical. El primer lema que necesitamos para la prueba se conocecomo el criterio de Masur. Recordemos que R actua sobre el espacio de superficiesplanas a traves del grupo diagonal

(3.27) gt :=

[et 00 e−t

]La prueba del teorema 15 hace uso de una serie de lemas que enunciamos a con-tinuacion. La demostracion detallada de estos lemas escapa al marco de este minicurso. Un lector curioso puede consultarlas en el trabajo de Vorobets [Vor96].

Lema 14. [Vor96]. Sea S una superficie plana compacta con singularidades conicasy tal que la longitud mınima de una conexion de silla en m(gt · S) no tiende a cerocuando t→∞. Entonces el flujo gtθ en la direccion vertical es unicamente ergodico.

Si por el contrario, m(gt·S)→ 0 cuando t→∞, tenemos el siguiente resultado:

Lema 15 (Ibid). Sea S una superficie plana tal que m(gt · S)→ 0 cuando t→∞.Entonces gtΓ(S) escapa de todo compacto en SL(2,R)/Γ(S).

El siguiente resultado, debido a Vorobets, nos dice que la unica forma enque gtΓ(S) escape de todo compacto en SL(2,R)/Γ(S) es por la existencia de unacuspide.

Lema 16 (Ibid). Sea Γ < SL(2,R) un subgrupo no cocompacto tal que H/Γ es dearea finita y tal que gt · Γ escapa a todo compacto de SL(2,R)/Γ. Entonces existeA ∈ Γ parabolico de la forma:

(3.28) Aα :=

[1 α0 1

], α 6= 0.

El siguiente lema nos dice que la existencia de un elemento parabolico comoAα en el grupo de Veech implica que la periodicidad del flujo en la direccion vertical.

Lema 17. [HS06] Sea S una superficie plana compacta tal que Aα ∈ Γ(S). Entoncesel flujo geodesico gtθ en la direccion vertical es periodico.

Prueba teorema 15. Si el flujo en la direccion vertical es unicamente ergodi-co, entonces ya acabamos. Si no lo es entonces m(gt · S)→ 0 cuando t→∞ por elcriterio de Masur. Entonces podemos aplicar el lema 15 y despues de este el lema16. Ası, aseguramos la existencia de un elemento parabolico de la forma Aα en elgrupo de Veech de S. Por el lema 17 tenemos que el flujo en la direccion vertical esperiodico.

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http://wphooper.com/docs/papers/staircase.pdf

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Billares y super cies planas - UFRGSagudo es una orbita peri odica del billar. (En clase veremos una...

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