Billares y super cies planas -...

Billares y superficies planas

Ferran Valdezc© Borrador al 17 de octubre de 2013

Indice general

Introduccion 1

1. Generalidades y primeros ejemplos 3

1.1. Motivacion: el problema de las orbitas periodicas . . . . . . . . . . . 4

1.2. La construccion de Katok-Zemljakov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Geodesicas en SP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Singularidades y topologıa de la superficie SP . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Caso racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2. Caso irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Superficies planas y grupos de Veech. 19

2.0.3. Superficies planas: punto de vista euclidiano. . . . . . . . . . . 19

2.0.4. Superficies planas: punto de vista analıtico . . . . . . . . . . . 22

2.0.5. Conexiones de silla y vectores de holonomıa. . . . . . . . . . . 25

2.0.6. Difeomorfismos afines y el grupo de Veech. . . . . . . . . . . . 26

3. La dicotomıa de Veech 33

3.1. Rudimentos de geometrıa hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Accion del grupo de Veech sobre H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Dicotomıa de Veech: el caso del toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Dicotomıa de Veech: enunciado general . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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ii INDICE GENERAL

Introduccion

Este es el primer borrador de las notas para el curso Billares y superficiesde translacion que se impartio en la II Escuela Matematica Guatemala 2013, en laUniversidad de San Carlos de Guatemala del 03 al 10 de noviembre de 2013.

En este curso estudiaremos primero el juego de billar en un mesa con for-ma de polıgono. El ejemplo fundamental es el billar en el cuadrado. Veremos quela dinamica de las trayectorias de una bola de billar en un cuadrado satisface lasiguiente dicotomıa: para una direccion fija o bien toda trayectoria es periodica obien se distribuyen en la mesa de manera uniforme. En este sentido, diremos que elbillar en el cuadrado tiene propiedades dinamicas optimas (McMullen dixit).

Un problema natural es determinar en cuales mesas de billar tenemos una di-cotomıa similar. El objetivo principal de este curso es llegar a entender un resultadoclasico de Veech que nos da una condicion suficiente para que el la dinamica de unbillar poligonal sea optima.

Teorema 1. [Vee89] Sea S una superficie plana tal que su grupo de Veech Γ(S) esuna retıcula. Entonces para cada direccion θ ∈ R/2πZ el flujo geodesico gtθ es o bienperiodico o bien unicamente ergodico con respecto a la medida de Lebesgue µ.

Es de notar que la palabra billar no aparece en el enunciado del teorema deVeech. Esto se debe a que para estudiar la dinamica del billar en realidad lo quese analiza es el flujo geodesico en una superficie plana asociada a la mesa de billar.Despues de dar una motivacion para el estudio de los billares, en el capıtulo §1explicaremos con calma como asociar a cualquier polıgono P una superficie S(P )con una metrica “plana”. En el capıtulo §2 estudiaremos las superficies planas engeneral y sus invariantes afines. El invariante afın que nos interesa mas es el llamadogrupo de Veech. Este esta formado por las diferenciales de difeomorfismos afines deuna superficie plana fija y es, para el caso que nos interesa, un subgrupo discreto(Fuchsiano) de SL(2,R). Por tanto, el grupo de Veech actua por transformaciones deMobius sobre el plano hiperbolico H2. Esta accion ası como la prueba del enunciadodel teorema de Veech conforman el contenido del capıtulo §4.

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2 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Generalidades y primeros ejemplos

A lo largo de este texto, un billar sera un sistema dinamico compuesto de tresingredientes: una bola, una mesa y una ley de reflexion. En este curso nos concen-traremos en estudiar billares donde los ingredientes tienen los siguientes “sabores”:

1. La mesa es la cerradura de un abierto conexo del espacio euclidiano R2 cuyafrontera es suave por pedazos.

2. La bola es una masa puntual que se desplaza en lınea recta (i.e. a lo largo deun segmento de geodesica) a velocidad constante.

3. La colision de la bola con la parte suave de la mesa es perfectamente elasticay el momento tangencial se preserva.

El primero de los sabores evita la existencia de mesas patologicas. El segundo esotra manera de decir que la bola no experimenta friccion con la mesa, ergo una vezque comienza a moverse no se detiene a menos que encuentre una parte no suavede la frontera de la mesa, en cuyo caso convenimos que el movimiento de esta sedetiene, como si hubiera un agujero infinitesimal. El ultimo implica la llamada leyde reflexion de Descartes que nos dice que el angulo de incidencia de la trayectoriaes igual al angulo de reflexion despues de la colision.

Ejercicio 1. Demuestra la ley de reflexion de Descartes a partir de suponer quela colision de la bola con la parte suave de la mesa es perfectamente elastica y elmomento tangencial se preserva.

Ejercicio 2. Intenta definir un billar para mesas en R3 que sea lo mas parecido ensu definicion a la que acabamos de dar. ¿Podrıas hacerlo lo mismo para mesas enRn?

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4 CAPITULO 1. GENERALIDADES Y PRIMEROS EJEMPLOS

Los sabores de los tres ingredientes que hemos escogido pueden variar y estoproduce otros tipos de billares que casi no consideraremos en este texto. Por ejemplo,puede suponerse que la bola no es un punto y tomar en cuenta su momento angulary friccion con la mesa. La mesa puede ser un abierto del plano hiperbolico y la boladesplazarse siguiendo segmentos de geodesicas hiperbolicas. O bien, podemos pensarque el angulo de reflexion de la trayectoria de la bola al chocar con la mesa es funciondel angulo de incidencia (distinta de la identidad). Las mesas que nos interesarantienen forma de polıgono euclidiano en R2. A todo punto de de la frontera de lamesa de billar que no sea suave lo llamaremos una buchaca.

Definicion 1. Consideremos el billar en una mesa T ⊂ R2. Una trayectoria de billarque comience en un punto p ∈ T con una velocidad v se dice periodica si despuesde un numero finito de rebotes la bola regresa al punto p con la misma velocidad.Una trayectoria cuyo inicio y fin es una buchaca se llama diagonal generalizada otrayectoria periodica singular. La longitud combinatoria de una trayectoria periodicacorresponde al numero de rebotes que la bola hace con ∂T antes de regresar a suposicion original.

Ejemplo 1. En un cırculo trayectoria que pase en el centro del cırculo es periodica deperiodo dos. En un rectangulo, toda trayectoria paralela a uno de los lados tambienes periodica de periodo dos. En un elipse, los ejes mayor y menor definen trayectoriasde periodos dos.

Ejercicio 3. ¿Existe alguna mesa que no tenga trayectorias periodicas de periododos? ¿Existe alguna mesa que tenga trayectorias periodicas de todos los posiblesperiodos?

1.1. Motivacion: el problema de las orbitas pe-

riodicas

Sin duda, una de las conjeturas mas famosas en la teorıa de billares poligonaleses la siguiente:

Conjetura 1. Todo billar triangular tiene una orbita periodica

En los parrafos que siguen trataremos de dar sustento a esta conjetura.

Todo billar en un triangulo agudo tiene al menos una orbita pe-riodica. Este resultado se le debe al conde Fagnano y data de 1775. Originalmente,Fagnano lo probo cuando trato de resolver el siguiente problema variacional: encon-trar en un triangulo agudo, el triangulo inscrito (no degenerado) de menor perımetro.

1.1. MOTIVACION: EL PROBLEMA DE LAS ORBITAS PERIODICAS 5

Este resulta ser el llamado triangulo pedal o triangulo ortico, que es el que se obtieneal unir las alturas. Mas precisamente, si el triangulo agudo “original” es 4ABC,entonces el triangulo ortico sera 4PQR como se muestra en la siguiente figura:

A

Q

CP

R

B

El triangulo ortico.

Ejercicio 4. Demuestra si ponemos la bola de billar suficientemente cerca de uno delos lados de triangulo ortico y le pegamos con una direccion paralela a dicho ladoentonces obtendremos tambien una trayectoria periodica.

Dicho de otra manera, la orbita periodica del billar definido por el triangulo orticopertenece a una familia de orbitas periodicas paralelas.

Ejercicio 5. ¿Hasta donde puedes extender la familia de trayectorias periodicas quedefine el trıangulo ortico de un triangulo agudo? ¿Podrıas cubrir toda la mesa?

El problema de las orbitas periodicas en triangulos rectangulos. Al viajar delmundo de los triangulos agudos a los rectangulos, el triangulo ortico no sobrevive ydegenera en una altura. Sin embargo sus hermanitas paralelas sı sobreviven, comopedimos probar en el siguente ejercicio.

Ejercicio 6. Demuestra que en todo triangulo rectangulo existe al menos una tra-yectoria periodica. Sugerencia: considera la suguiente figura.


A

BC hUna orbita periodica en el triangulo rectangulo y una altura.

Ejercicio 7. ¿Define el triangulo ortico de un triangulo obtuso una trayectoria pe-riodica del billar? ¿Que tal una trayectoria paralela a uno de los lados del trianguloortico?

El problema de las orbitas periodicas en triangulos obtusos. No se ha podido demos-trar que todo triangulo obtuso posee una orbita periodica. En las siguientes lıneastrataremos de dar una idea del actual etat de l’art. Ejemplos explıcitos de orbitasperiodicas en algunas familias de triangulos obtusos han sido construidas por G.A.Vorobets [Vor92]. Usando el programa McBilliards, R.E. Schwartz pudo probar elsiguiente

Teorema 2. [Sch09] Todo triangulo cuyo angulo obtuso es menor a 100 gradosposee una orbita periodica.

Llamemos a un polıgono racional si todos sus angulos interiores son de laforma p

qπ, es decir, multiplos racionales de π. Un polıgono que no sea racional lo

llamaremos irracional. El siguiente teorema de H. Masur implica la existencia unconjunto denso de medida cero en el espacio de triangulos formado por triangulosque admiten orbitas periodicas.

Teorema 3. [Mas86] Todo billar poligonal racional tiene al menos una orbita pe-riodica.

Este resultado es puramente existencial, es decir, no muestra la manera comose construyen dichas orbitas periodicas. En resumen: se conjetura que todo trianguloobtuso irracional cuyo angulo mayor mide mas de 100 grados tiene al menos unaorbita periodica.

1.2. LA CONSTRUCCION DE KATOK-ZEMLJAKOV. 7

En la seccion siguiente abordaremos una idea central. Esta, ha permitido utilizartecnicas de geometrıa compleja para el estudio sistematicos de los billares racionales.Esta idea es asociar una superficie a cada mesa de billar.

1.2. La construccion de Katok-Zemljakov.

En esta seccion presentamos una construccion que asocia a cada billar poli-gonal P una superficie “plana” SP . Como veremos mas adelante, el estudio de lastrayectorias de billar es equivalente al estudio de las geodesicas en S(P ).

La construccion que presentamos ha sido atribuıda en repetidas ocasiones aKatok y Zemljakov [Zem75], sin embargo las ideas en que esta esta basada puedenencontrarse en los trabajos de los anos 30 del siglo XX de Fox y Kerschner [Fox36].Tomemos P un polıgono euclidiano de lados e1, . . . , en y angulos interioresα1, · · · , αn. Sea σi la reflexion del plano con respecto a la recta que contieneal lado ei. Definimos H < Isom(R2) como el grupo generado por las isometrıasdel plano σ1, . . . , σn. La multiplicacion dentro de H se realiza por la izquierda.Consideremos la familia de copias de P :

(1.1) P :=⊔h∈H

P × h

Sobre P definimos dos identificaciones de manera intuitiva:

1. Consideremos P × h y P × h′ y supongamos que hσi = h′ para alguna i =i, . . . , n. Entonces identificamos P × h y P × h′ a lo largo del i-esimo lado deP de manera que se preserve la orientacion de este.

2. Consideremos P ×h y P ×h′ y supongamos que h′h−1 es una translacion. En-tonces identificamos P ×h puntualmente con P ×h′ usando dicha translacion.

Al conjunto que resulta de aplicar sobre P la primera identificacion lo denotamospor SP . Al conjunto que resulta de aplicar sobre P las dos identificaciones anterioreslo denotamos por SP .

Ejemplo 2. Si P es el cuadrado unitario, SP es la teselacion por cuadrados del planoR2 y SP un toro plano teselado por cuatro copias de P .


Tenemos tres proyecciones naturales:

SPπ1

π2 // SP

π~~

P

Fijemos un encaje P → C. Denotemos por P ′ al polıgono P privado de sus verticesy |dz| la metrica euclidiana en C. Denotemos por S ′P y S ′P a los conjuntos que

resultan de quitarle a SP y SP aquellos puntos que se proyectan sobre vertices de Pvıa π1 y π2 respectivamente.

Lema 1. Los conjuntos S ′P y y S ′P admiten una estructura de superficie de Riemanndonde los cambios de coordenadas son translaciones.

Definicion 2. Una superficie1 S se dice de translacion si los cambios de coordenadasde su atlas son siempre translaciones del plano.

Lema 2. Toda superficie de translacion hereda del plano C una metrica de curvaturacero.

Demostracion. La metrica es el pull back de la metrica |dz| por cualquier carta dela estructura. Se deja al lector los detalles de que dicha definicion no depende de lacarta.

Llamaremos a esta metrica heredada del plano, la metrica natural de la su-perficie de translacion S. El lema anterior implica que todo punto en una superficiede translacion tiene una vecindad isometrica a un abierto del plano C. En partici-lar, la metrica |dz| define por pull-back metricas de curvatura constante cero en las

superficies S ′P y S ′P .

Ejercicio 8. Determine el genero de SP cuando P es:

1. Un triangulo equilatero.

2. El triangulo rectangulo de angulos interiores (π8, 3π

8).

3. El triangulo isoceles de angulos interiores (π5, π

5).

Sugerencia: dada una triangulacion de SP con C caras, V vertices y A aristas,la caracterıstica de Euler de la superficie SP se define como el numero χ(P ) =V + A− C. Luego, el genero g(SP ) de la superficie SP satisface:

2− 2g(SP ) = χ(SP )

1Es decir, variedad real de dimension dos

1.3. GEODESICAS EN SP 9

1.3. Geodesicas en SP

En los siguientes parrafos veremos como el estudio del juego de billar en elpolıgono puede llevarse a cabo estudiando el “flujo” geodesico en la superficie SP .

En la seccion anterior, vimos que tanto para el caso racional como el irra-cional, la superficie S ′P tiene una estructura de superficie de translacion. El fibradotangente de este tipo de superficies tiene una estructura muy simple.

Lema 3. Sea S una superficie de translacion. Entonces el fibrado tangente es trivial,i.e. TS = S ×R2.

Demostracion. En general, los cociclos del fibrado TS son de la forma D(ϕj ϕ−1i ),

donde (U,ϕi) y (U,ϕj) son cartas S. Como S es superficie de translacion, siempretenemos que D(ϕj ϕ−1

i ) = IdR2 , lo que implica que el fibrado tangente de S estrivial.

Ası las cosas, podemos considerar a S superficie de translacion con la metricaque hereda del plano. Entonces, el fibrado tangente unitario de S puede escribirsecomo S ×R/2πZ. Las fibras de la proyeccion en la segunda coordenada

(1.2) π : S ×R/2πZ→ R/2πZ

son campos de vectores paralelos en S. Denotaremos Vθ al campo correspondiente aπ−1(θ). Llamaremos a una curva integral maximal de Vθ una geodesica paralela a ladireccion θ. El nombre se justifica pues se estas curvas integrales son geodesicas dela metrica plana de S heredada del plano. Denotaremos al conjunto de geodesicasparalelas a la direccion θ por Gθ. Este conjunto define una foliacion.

Foliaciones en superficies. A grandes rasgos, una foliacion en una superficie S(diferenciable) es una descomposicion de S en subvariedades de dimension uno (i.e.curvas) de manera que localmente dicha descomposicion se ve como las paginas deun libro. Mas formalmente una foliacion (diferenciable) de S es un atlas diferenciableA = (Ui, ϕi)i∈I tal que las funciones de transicion ϕij = ϕj ϕ−1

i son de la forma:

(1.3) ϕij(x, y) = (ϕ1ij(x, y), ϕ2

ij(y)).

Los segmentos de recta y = cte. ∩ ϕi(Ui) se llaman placas de la foliacion. Lacondicion (1.3) nos dice que estas placas se pegan bien para formar una subvariedadde S inmersa que recibe el nombre de hoja de la foliacion.

Ejercicio 9. Demuestra que Gθ define una foliacion de la superficie de translacionS. Sugerencia: usa el hecho de que todo campo de vectores se puede rectificar enuna vecindad de un punto no singular.


Por construccion de SP , la proyeccion natural:

(1.4) πP : SP → P

envıa a una geodesica paralela a la direccion θ en una trayectoria de billar generadapor una condicion inicial de la forma (x, θ), con x ∈ P . En particular, una geodesicaγ ∈ Gθ es cerrada (i.e. homeomorfa a S1) si y solo si su proyeccion a P es unatrayectoria cerrada del billar.

Ejercicio 10. Por el primer inciso del ejercicio 8, la superficie SP asociada al billaren un triangulo equilatero es un toro. Dibuja en dicho toro la geodesica cerradacorrespondiente al triangulo ortico. ¿Que puedes decir de las geodesicas en SP quese proyectan a trayectorias de billar cercanas y paralelas al triangulo ortico ? ¿Es laproyeccion π restringida a una de estas geodesicas cerradas una funcion inyectiva?

1.4. Singularidades y topologıa de la superficie SP

La metrica euclidiana |dz| de C define vıa pull-back metricas en las superficies

de translacion S ′P y S ′P . En los siguientes parrafos describiremos metricamente las

vecindades de los puntos en SP y SP . Luego, determinaremos la topologıa de lasuperficie SP .

Tenemos dos casos:

1. El caso racional. Este es el caso cuando todos los angulos interiores de P sonmultiplos raciones de π. Ası las cosas, diremos que P es un polıgono racional.

2. El caso irracional. Este es el caso cuando existe al menos un angulo interiorde P que no es multiplo racional de π. Ası las cosas, diremos que P es unpolıgono irracional.

1.4.1. Caso racional

Consideremos la funcion fn(z) = zn definida de C a C. Si quisieramos definirla funcion inversa f−1

n : C → C tendrıamos un problema de multivaluacion. Pararesolver este problema consideramos el cubriente cıclico n : 1 ramificado sobre elorigen

(1.5) ρn : Σn → C

Este cubriente tiene una estructura de superficie de Riemann natural y hereda delplano la metrica ρ∗|dz|.

1.4. SINGULARIDADES Y TOPOLOGIA DE LA SUPERFICIE SP 11

Supongamos que el angulo interior de P en un vertice v es racional, i.e. de laforma p

qπ con p y q primos relativos. En este caso, llamemos σi y σj a los generadores

de H que son reflexiones respecto a las dos rectas que contienen a los lados de Pque se intersectan en v.

Lema 4. Sea x ∈ SP tal que πP (x) = v es un vertice de P donde el angulo interiores de la forma p

qπ con p y q primos relativos. Entonces existe una vecindad V de x

isometrica a un cubriente cıclico p : 1 ramificado de un disco.

Prueba. Queremos probar que existe una vecindad V de x y ε > 0 tal que, si εDdenota el disco de radio ε centrado en el origen de C con respecto a la metrica |dz|,entonces V \x, que es superficie de translacion, es isometrico a la superficie ρ−1

n (εD)con respecto a la metrica ρ∗|dz|. Esto se olle mas complicado de lo que en realidades. Notemos que, en S(P ) el conjunto de copias de P que contienen a x ∈ π−1

P (v)esta naturalmente indexado por los elementos del grupo

(1.6) Hij :=< σi, σj > .

El grupo Hij es isomorfo al grupo diedrico D2q. Como cada copia indexada por unelemento de Hij contribuye con un incremento angular de pπ

qla contribucion total

es de 2pπ.

Definicion 3. A cada uno de los puntos x ∈ SP para los que existe una vecindadV isometrica a un cubriente cıclico p : 1 del disco, con p > 1, les llamaremossingularidades conicas de angulo 2pπ.

Ejercicio 11. Sea P un triangulo rectangulo racional con un angulo de la forma πn.

Determina el numero y angulo total de las singularidades que presenta la superficieSP .

Ejercicio 12. El triangulo isoceles P de angulos interiores (π5, π

5) produce una super-

ficie SP plana con una singularidad conica de angulo total 6π. ¿Es el conjunto depolıgonos P tales que SP tiene solo una singularidad conica de angulo total 6π finitoo infinito?

Ejercicio 13. ¿Es el conjunto de polıgonos P tales que SP tiene solo una singularidadconica de angulo total kπ, k ≥ 2 finito o infinito? ¿Puede ser vacıo?

Ejercicio 14. Si P es un polıgono racional, la estructura de superficie de translacionde S ′P se extiende de manera unica en una estructura de SP de superficie de Riemann.Es decir, en una estructura donde, si pensamos a cambios de coordenadas comofunciones de C en C, estos resultan holomorfos. ¿Puedes dar una expresion explıcitade la carta de esta superficie en una vecindad de una singularidad de tipo conico?

Ejercicio 15. Sea x ∈ SP punto que se proyecta a vertice de P donde el angulo inte-rior es de la forma π

n. Demuestra que la metrica plana de la superficie de translacion

S ′P se extiende a S ′P ∪ x.


Lema 5. Sea P un polıgono racional. Entonces SP es una superficie compacta.

Demostracion. Denotemos por Trans(H) = Trans(R2) ∩ H, el subgrupo de Hformado por todas las translaciones. Notemos que por construccion, el numero decopias de P que tesela a la superficie SP esta en biyeccion con los elementos delgrupo H/Trans(H). Cuando el polıgono P es racional, H/Trans(H) es un grupofinito.

De hecho, contanto el numero de polıgonos que teselan la superficie SP cuandoP es un poligono racional, podemos calcular la caracterıstica de Euler de la superficieSP , refinar el resultado anterior y probar el siguiente:

Lema 6. Supongamos que los angulos interiores del polıgono P son de la forma piπqi

,i = 1, . . . , k, con pi y qi primos relativos. Sea N el mınimo comun multiplo de losq′is. Entonces

(1.7) genero(SP ) = 1 +N

2

(k − 2−

∑ 1

qi

)Observacion. El lema anterior nos dice moralmente que para polıgonos racio-

nales, la topologıa de la superficie SP depende de los angulos interiores del polıgono.

1.4.2. Caso irracional

Este es sin duda alguna el caso mas interesante. El siguiente lema nos implicaque la construccion de Katok-Zemljakov tal cual la definimos para el caso racionalproduce un espacio topologico que no puede ser variedad.

Lema 7. Sea P un polıgono irracional y SP el espacio topologico que resulta dela construccion de Katok-Zemljakov tal como la definimos para el caso racional.Entonces SP no es localmente compacto.

Demostracion. Como en el caso racional, tenemos una proyeccion π : SP → P .Tomemos ahora un punto x ∈ SP tal que π(x) sea un vertice donde el angulointerior de P sea de la forma λπ, λ ∈ R\Q. En este caso el grupo Hij que definimosen (1.6) no es finito y por tanto existe una vecindad de x isometrica a un cubrientecıclico infinito del disco.

Ejercicio 16. Detras de una singularidad de tipo conico de angulo total 2pπ esta la

funcion multivaluada z1p . Demuestra que si queremos extender esta “corresponden-

cia” al caso irracional debemos considerar la funcion z → ln(z).


Para poder obtener a partir de un polıgono racional una superficie debemosrealizar una pequena modificacion a la construccion de Katok-Zemljakov que utili-zamos para el caso racional. Sea entonces P un polıgono irracional y P 0 el polıgonoque resulta de quitar todos los vertices donde el angulo interior sea un multiplo irra-cional de π. Consideremos entonces, como en (1.1) la union disjunta de los puntos(x, h) salvo que x ahora solo puede ser un punto en P 0 . Escribimos, abusando dela notacion, SP como el cociente que resulta de considerar las dos identificacionesdefinidas anteriormente.

Ejercicio 17. Demuestra que para un polıgono irracional SP es una superficie deRiemann.

Claramente la superficie SP esta teselada por un numero infinito de copiasdel “polıgono” P 0. Denotaremos por SP al conjunto que resulta de pegarle a cadacopia de P que tesela SP los vertices del polıgono donde el angulo interior es unmultiplo irracional de π. Entonces, tenemos un par de proyecciones naturales quehacen conmutar el siguiente diagrama:

SP

π

// SP

π

P 0 // P

Ejercicio 18. Demuestra que si quitamos de SP todos los puntos que se proyectanen vertices de P donde el angulo interior es un multiplo de π que no es de la formaπn

entonces obtenemos una superficie con una estructura natural de superficie detranslacion.

Definicion 4. Sea x ∈ SP un punto tal que toda vecindad V de x es no compacta.Llamaremos a dichos puntos singularidades conicas de angulo infinito de SP o SP .

Esta nomenclatura se justifica pues la imagen metrica de pequenas vecinda-des de una singularidad de tipo infinito es la de un helicoide infinito donde hemoscolapsado el eje a un punto.

Ejercicio 19. ¿Se extiende la estructura de superficie de Riemann de SP a las sin-gularidades de tipo infinito? ¿Por que?

Las superficies compactas orientables estan caracterizadas, modulo homeomor-fismo, por su genero. Una vez que conocemos el genero sabemos exactamente elnumero de toros que tenemos que sumar conexamente para obtener la superficie.En el caso de las superficies no compactas el invariante topologico es un poco mascomplicado, sin embargo bastante intuitivo.


Pequeno interludio sobre superficies no compactas

Las superficies no compactas orientables estan caracterizadas, modulo homeo-morfismo, por dos invariantes: el genero (que puede ser infinito) y el espacio de fines.En los siguientes parrafos definiremos estos dos invariantes. Comenzaremos por elespacio de fines. Aunque en realidad solo la utilizaremos para variedades, presenta-remos esta nocion para espacios topologicos un poco mas generales.

A grandes rasgos, los fines forman una extension natural de un espacio to-pologico no compacto y como conjunto pueden ser provistos de una topologıa. Elespacio (topologico) de fines es un invariante topologico. En los parrafos que siguen,supondremos que X es un espacio localmente compacto, localmente conexo, conexoy Hausdorff.

Definicion 5. [Mil68] Un fin de X es una funcion E que asigna a cada subconjuntocompacto K ∈ X una y solo una componente conexa E(K) de X \K de manera queE(K) ⊃ E(L) cuando K ⊂ L. Denotamos el espacio de fines de X por Fines(X).

Ejercicio 20. Demuestra que si X es compacto, entonces Fines(X) = ∅.

Para definir una topologıa sobre el conjunto Fines(X) recordemos un pocosobre sistemas y lımites inversos de espacios topologicos.Sistemas y lımites inversos. Consideremos (I,≤) un conjunto parcialmente or-denado y Aii∈I una familia de espacios topologicos indexados por I. Supongamosque para cada i ≤ j tenemos una funcion continua

(1.8) fij : Aj → Ai

con las siguientes propiedades:

1. fii es la identidad, para todo i ∈ I.

2. fik = fjk fij para toda i ≤ j ≤ q

Entonces podemos definir:

(1.9) lim←−i∈I

Ai := a ∈∏i∈I

Ai | ai = f(aj), ∀ i ≤ j

Notemos que para cada i ∈ I tenemos bien definida una proyeccion en la “i-esimacoordenada”

(1.10) pii : lim←−i∈I

Ai → Ai

Entonces podemos otorgar a lim←−i∈I Ai de la topologıa mas fina que hace a todas

estas proyecciones continuas. Esta topologıa recibe el nombre de topologıa lımite delsistema inverso.


Ejercicio 21. ¿Hay alguna relacion entre la topologıa que acabamos de definir sobrelim←−i∈I Ai y la topologıa que induce la topologıa producto de

∏i∈I Ai?

Consideremos ahora K(X) := Kii∈I el conjunto de todos los subconjuntoscompactos de X y supongamos que este esta indexados por algun conjunto I. De-finimos el orden parcial i ≤ j si Ki ⊂ Kj. Definimos Ai como el conjunto de las

componentes conexas de X. Este conjunto siempre es finito (ver [Ray60], lema 1.1) yde ahora en adelante le otorgaremos la topologıa discreta. Notemos que si Ki ⊂ Kj

entonces toda componente conexa X \Kj esta contenida en una unica componenteconexa de X \Ki. Ası, tenemos inclusiones naturales:

(1.11) fij : Aj → Ai

que definen un sistema inverso.

Ejercicio 22. Demuestre que

(1.12) Fines(X) = lim←−i∈I

Ai

como conjuntos.

Ası, podemos dotar a Fines(X) de la topologıa del lımite del sistema inverso.

Lema 8. [Ray60] El espacio Fines(X) es cerrado, no tiene puntos interiores y estotalmente disconexo

Ejercicio 23. De una prueba del lema anterior.

Ahora presentaremos una definicion adaptada al contexto de las superficies nocompactas. Esta definicion se le debe Richards es un caso particular de una definicionmas general de Freudenthal [Fre31]. Para ello tenemos que definir algunos terminospropios de las superficies. Por superficie S entenderemos una variedad topologica dedimension real 2, que de ahora en adelante supondremos orientable. Un subconjuntode S se dice acotado si su cerradura en S es compacta. Por subsuperficie de Sentenderemos una region cerrada de S cuya frontera esta formada por un numerofinito de curvas cerradas simples disjuntas.

Definicion 6. [Ric63] Sea U1 ⊃ U2 ⊃ . . . una sucesion infinita de abiertos no vacıosy conexos de S tales que:

para cada i ∈ N la frontera ∂Ui es compacta,

para cualquier subconjunto A de S acotado se tiene que Un ∩ A = ∅ para nsuficientemente grande.


Diremos que dos sucesiones U1 ⊃ U2 ⊃ . . . y U ′1 ⊃ U ′2 ⊃ . . . son equivalentes sipara todo i ∈ N existe j tal que Ui ⊃ U ′j y para todo j ∈ N existe i tal queU ′j ⊃ Ui. Denotaremos la clase de equivalencia correspondiente por [U1 ⊃ U2 ⊃ . . .]y la llamaremos un fin de la superficie S.

Topologıa para el espacio de fines. Abusando un poco de la notacion, de-notaremos al conjunto de fines de una superficie por Fines(S). Definamos ahora unatopologıa para este conjunto. Para cada U ⊂ S tal que ∂U es compacto, definimosU∗ como en conjunto de todos los fines [U1 ⊃ U2 ⊃ . . .] tales que Un ⊂ U para nsuficientemente grande.

Ejercicio 24. Demuestra que para cualesquiera dos abiertos U y V de S cuyas fron-teras sean cerradas satisfacen que [U ∩ V ]∗ = U∗ ∩ V ∗ y [U ∪ V ]∗ = U∗ ∪ V ∗

Ejercicio 25. Demuestra que U∗ | U ⊂ S abierto con frontera compacta forma unabase para una topologıa de Fines(S).

Ejercicio 26. Demuestra que Fines(S) con la topologıa dada por el ejercicio anteriores un espacio compacto, totalmente disconexo y separable.

Proposicion 1 ([Ric63], Prop. 5). Todo espacio topologico compacto, totalmentedisconexo y

Los ejercicios anteriores implican que siempre podemos pensar al espacio Fines(S)como un subconjunto del conjunto de Cantor.

Ejercicio 27. Sea n ∈ N, construye ejemplos explıcitos de superficies S tales que elespacio Fines(S) tenga exactamente n puntos.

Ejercicio 28. Construye una superficie S explıcitamente donde Fines(S) sea ho-meomorfo al conjunto de Cantor. ¿Puedes pensar en un metodo general para que,a partir de un subespacio Y del conjunto de Cantor produzca una superficie S talque Fines(S) sea homeomorfo a Y ?

Equivalencia de definiciones. En los parrafos anteriores definimos de dosmaneras distintas el espacio de fines de una superficie. Para ver que las dos defi-niciones son equivalentes a cada clase [U1 ⊃ U2 ⊃ . . .] le asignaremos una funcionE = E[U1⊃U2⊃...] como sigue. Definimos E(∂Ui) := Ui para toda i ∈ N. La funcionE se extiende a todo K(S). En efecto, dado K ∈ K(S) existe una i ∈ N tal queK ∩ Uj = ∅ para toda j ≥ i, dado que ∩i∈NUi = ∅ y K es compacto. Entonces,E(K) es la componente conexa de S \ K que contiene a Ui. La correspondencia[U1 ⊃ U2 ⊃ . . .]→ E[U1⊃U2⊃...] define un homeomorfismo [DK03].

El genero g(S) de una superficie compacta S cuya frontera son q(S) curvascerradas y cuya caracterıstica de Euler es χ(S), es el numero

(1.13) g(S) = 1− 1

2(χ(S) + q(S))


Definicion 7. Una superficie no compacta se dice planar si todas sus subsuperficiescompactas son de genero cero. Un fin [U1 ⊃ U2 ⊃ . . .] se dice plano si cada uno delos representantes Ui son superficies planares.

Definicion 8. Una superficie se dice de genero infinito si cualquier subsuperficie(con frontera) es de genero finito.

Notemos que si S tiene genero infinito entonces no existen γ1, . . . , γn curvassimples cerradas disjuntas en S con la propiedad de que S \ ∪ni=1γi sea planar yconexa. Definimos Fines′(S) ⊂ Fines(S) como el conjunto de fines no planos.

Teorema 4 (Kerekjarto,[Ric63]). Sean S y S ′ dos superficies orientables del mis-mo genero. Entonces S y S ′ son homeomorfas si y solo si los espacios topologicosanidados Fines(S)′ ⊂ Fines(S) y Fines(S ′)′ ⊂ Fines(S ′) son homemomorfos.

Definicion 9. Llamamos monstruo del lago Ness a la unica superficie orientable(modulo homeomorfismo) de genero infinito tal que Fines(S) sea solo un punto.

La nomenclatura es de Ghys [Ghy95]. El monstruo del lago Ness es la superficietopologica de genero infinito mas sencilla. El siguiente teorema nos dice que estajuega un papel destacado en el mundo de los billares poligonales.

Teorema 5. [Val09] Sea P un polıgono irracional, entonces SP es homemomorfa almonstruo del lago Ness.

Omitiremos la prueba de este teorema, pero explicaremos el marco en quese inscribe. Consideraremos una instancia simple pero ilustrativa: cuando P es untriangulo totalmente irracional. Por eso queremos decir que si λiπ y λjπ son cuales-quiera dos angulos interiores de P entonces necesariamente niλi +mjλj ∈ Z implicaque ni = mi = 0. Sea entonces S2

0 la estructura euclidiana en la esfera S2 privada detres puntos que resulta de identificar dos copias de P 0 a lo largo de sus lados. A laesfera punteada S2

0 a veces se le conoce como la almohada asociada a P0. Entonces,tenemos un mapeo cubriente (no ramificado):

(1.14) π : SP → S20

En el caso totalmente irracional, un calculo sencillo muestra que el grupo de cubiertaDeck(π) ' Z×Z. Dado que π1(S2

0) es el grupo libre en dos generadores, tenemos queπ1(SP ) no puede ser finitamente generado. Aunque esto no es una prueba, sugiereque SP en este caso tiene genero infinito.

Para probar que SP tiene un solo fin utilizamos el siguiente criterio.

Observacion (Definicion 1.2, [Ray60]). Una superficie S tiene un solo fin si y solo sipara todo compacto K ⊂ S existe un compacto K ⊂ K ′ tal que X \K ′ es conexa.


Ahora bien, dado un compacto K ⊂ SP podemos considerar π(K), que sequeda contenido en el complemento de una vecindad de las ponchaduras de S2

0 .Entonces podemos construir K ′ levantando un numero finito de copias de dichocomplemento al cubriente SP . La prueba del caso no totalmente irracional es masdelicada, por lo que se refiere al lector a [Val09].

Capıtulo 2

Superficies planas y grupos deVeech.

En el capıtulo anterior vimos como se le asocia a un polıgono euclidiano Puna superficie “plana” SP . Dicha superficie se inscribe dentro del marco de las erro-neamente llamadas superficies planas. En este capıtulo introduciremos estos objetosdesde dos puntos de vista: el geometrico y el analıtico. Luego, definiremos el grupode Veech asociado a una superficie plana. A lo largo de este, y salvo que se espe-cifique lo contrario, P denota un polıgono euclidiano racional, i.e. donde todos losangulos son multiplos racionales de π.

2.0.3. Superficies planas: punto de vista euclidiano.

Consideremos el plano R2 con su metrica estandar. Un sector en R2 es lacerradura de una componente conexa de R2 \ r1 ∪ r2 donde ri es un rayo queemana del origen. El angulo de un sector se define como el angulo interior dela componente conexa de R2 \ r1 ∪ r2 que tomamos. Por ejemplo, el angulo deltercer cuadrante en el plano es π

2. Dos sectores se pueden unir a lo largo de una

de sus bordes usando una isometrıa. Un cono euclidiano es la superficie obtenidacuando unimos, usando isometrıas, un numero finito de sectores en un orden cıclico.El punto que corresponde al origen se denomina vertice del cono euclidiano. Elangulo de un cono euclidiano es la suma de todos los angulos de los sectores quelo definen. Notese que el angulo de un cono puede ser estrictamente mayor que 2π.Llamamos punto conico de un cono euclidiano al punto que corresponde al origen.

Ejercicio 29. ¿Tiene todo cono euclidiano una estructura de superficie C∞? ¿Desuperficie de Riemann?

19

20 CAPITULO 2. SUPERFICIES PLANAS Y GRUPOS DE VEECH.

Por construccion, todo cono euclideano desprovisto de su vertice hereda unametrica de R2 vıa pull-back. De ahora en adelante consideraremos a los conos eu-clidianos provisto de esta metrica. Notese que la completacion metrica de un conoeuclidiano se logra anadiendo el vertice que quitamos.

Ejercicio 30. Prueba que dos conos Euclidianos son isometricos si y solo si tienen elmismo angulo.

Definicion 10. Sea S una superficie (topologica) orientable. Una estructura desuperficie euclideana conica sobre S es un atlas A con cartas de la forma (U,ϕ)i∈Ipara S \ Σ, donde Σ es un subconjunto discreto de puntos, tal que:

1. Toda funcion de transicion ϕj ϕ−1i definida por cartas de A es una translacion

del plano.

2. Con respecto a la metrica plana natural heredada del plano, todo p ∈ S tieneuna vecindad U tal que isometrica a una vecindad del vertice de un conoeuclidiano de angulo total θ(p).

3. Para toda p ∈ S \ Σ, se tiene que θ(p) = 2π.

En otras palabras, una estructura de superficie euclideana conica es casi unaestructura de superficie de translacion. El casi son los puntos del conjunto Σ. Noteseque si S es una superficie euclidiana conica compacta entonces el conjunto de puntosdonde θ(p) 6= 2π es finito. Tales puntos reciben el nombre de puntos o singularidadesconicas. El siguiente es un teorema fundamental en la teorıa de superficies euclidianasconicas.

Teorema 6 (Gauss-Bonnet, version combinatoria). Si S es una superficie euclidianaconica compacta, entonces

(2.1)∑p

(2π − θ(p)) = 2πχ(S)

donde χ(S) denota la caracterıstica de Euler de S y la suma se toma sobre todoslos puntos conicos.

Prueba. Sea T = T1, . . . , TC una triangulacion de S tal que la interseccion decada Ti con el conjunto de los puntos conicos de S son exactamente los vertices deTi. Denotemos por V al numero total de vertices en T (correspondiente al total desingularidades conicas) y por A al numero total de aristas de T . Sean αi+βi+γi = πlos angulos interiores del triangulo Ti. Entonces

(2.2)

∑p(2π − θ(p)) = 2πV − (

∑i αi +

∑i βi +

∑i γi)

= 2π(V − C2

)

21

En una triangulacion, cualesquiera dos triangulos distintos son o bien disjuntos obien se intersectan en un vertice o en una arista. Esto implica que cada Ti ∈ Tcontribuye con 3

2al numero total de aristas A de T . En otras palabras A = 3

2C =

C + C2

, ergo

(2.3)∑p

(2π − θ(p)) = 2π(V − C

2) = 2π(V + C − A) = 2πχ(S).

Definicion 11. Llamamos superficie plana a toda superficie euclidiana conica parala cual θ(p) es un multiplo entero positivo de 2π. A todo punto p tal que θ(p) = 2πk,con k 6= 1, lo llamamos singularidad conica de angulo total 2πk. Al conjunto desingularidades conicas de una superficie plana lo denotamos por Sing(S)

Observacion. El teorema anterior implica que no existen superficies planas compac-tas de genero mayor o igual que dos sin singularidades conicas.

Ejercicio 31. ¿Existen superficies planas cerradas pero no compactas sin singulari-dades conicas?

La nomenclatura “superficie plana” se justifica pues S \ Sing(S) admite unametrica de curvatura constante cero. En efecto, como en la seccion anterior vimos,dicha metrica esta definida por el pullback de la metrica plana estandar del plano|dz|.Ejemplo 3. El toro R2/Z×Z, el cilindro R2/Z y el plano son ejemplos de superficiesplanas completas.

Ejemplo 4. Sea P un polıgono racional. Entonces SP es una superficie plana.

Dos recetas para construir superficies planas.

Origamis. Consideremos T = R2/Z × Z y sea π : O → T una superficiecubriente ramificada en a lo mas un punto p∞ ∈ T . Al espacio O se le llama Origamio superficie teselada por cuadrados.

Ejercicio 32. Sea π : O → T un origami. Demuestra que O \ π−1(p∞) hereda deT \ p∞ una estructura de superficie de translacion. Demuestra que si el cubrientees finito entonces esta estructura se extiende en una unica estructura de superficieplana sobre todo O. ¿Que pasa cuando el cubriente es infinito?

Ejercicio 33. ¿Existe algun origami de genero 4 con cuatro singularidades conicas?¿Existe algun origami de genero 5 con cinco singularidades conicas? En caso positivodescribe dicho origami, en caso negativo justifica tu respuesta.


Pegando polıgonos. Consideremos P = P1, . . . , Pn una familia finita depolıgonos disjuntos en el plano (no necesariamente congruentes). Sea Λ = liki=1 elconjunto formado por todos los lados de los polıgonos en P . Supongamos que existeuna biyeccion B : Λ→ Λ sin puntos fijos tal que para cada i ∈ 1, . . . k existe unatranslacion Ti del plano que satisface B(li) = Ti(li). Definimos entonces S = S(P)como la superficie que resulta de identificar a cada lado li ∈ Λ con el lado B(li)usando la translacion T (li). Mas precisamente, identificamos x ∈ Li con Ti(x).

Ejercicio 34. Demuestra que el proceso de construccion descrito anteriormente pro-duce una superficie plana compacta S.

Ejercicio 35. ¿Que tipo de objetos obtendrıamos si en la construccion anterior usara-mos familias infinitas de polıgonos P .

Ejercicio 36. ¿Cual es el numero mınimo M(g) y maximo N(g) de singularidadesconicas que puede tener una superficie plana de genero g?

Ejercicio 37. Supongamos que p ∈ S es una singularidad conica tal que θ(p) = 2πk,con k > 1. Llamamos a 2πk el angulo total de la singularidad (nota la similitudcon la nomenclatura del capıtulo anterior). Supon que el genero de S es g. Describetodas posibles configuraciones que puede tener el conjunto de singularidades conicasde S. Esto es, describe que puede tener este conjunto y en cada caso el angulo totalde las singularidades en cuestion. Ejemplo: una superficie de genero dos puede teneruna singularidad conica de angulo total 6π o dos singularidades conicas de angulos4π.

2.0.4. Superficies planas: punto de vista analıtico

En los siguientes parrafos veremos como las superficies planas que definimosen la seccion anterior admiten una interpretacion analıtica. Esto es, desde el puntode vista de las superficies de Riemann y las 1-formas holomorfas.

Definicion 12. Sea M una superficie de Riemann con atlas (Ui, ϕi)i∈I . Una hazlineal holomorfo, o simplemente un haz lineal L sobre M , esta formado por unacoleccion L = (L, π, tji) donde

(1) Para cada par Ui ∩ Uj 6= ∅ los cociclos :

(2.4) tji : Ui ∩ Uj −→ C∗

son biholomorfismos que satifacen

tii = 1 en todo Ui

23

tij · tji = 1 en todo Ui ∩ Uj 6= ∅

tik · tkj · tji = 1 en todo Ui ∩ Uj ∩ Uk 6= ∅

(2) L es el espacio (topologico) total que resulta de considerar la union disjunta deUi × C, i ∈ I e identificar parejas de la siguiente forma: (p, v) ∈ Ui × C seidentifica con (q, w) ∈ Uj ×C si y solo si p = q y w = tij(p)v.

La funcion proyeccion π : L −→M esta dada por π(p, v) = p.

Toda superficie de Riemann tiene asociados varios haces lineales “naturales”.Para nuestro contexto nos interesara el siguiente.

Definicion 13. Sea M = (Ui, ϕi)i∈I una superficie de Riemann. Definimos el hazcanonico como

(2.5) tji = (D(ϕj ϕ−1i ))−1

Aquı, D(ϕj ϕ−1i ) denota la derivada holomorfa del cambio de coordenadas ϕj ϕ−1

i .Denotamos al haz canonico de M por KM .

Definicion 14. Sea M = (Ui, ϕi)i∈I una superficie de Riemann. Una seccionholomorfa de un haz lineal (L, π, tji) sobre M es una coleccion s = si tal que

1. Cada si : Ui ⊂M −→ C son funciones holomorfas.

2. Para cada Ui ∩ Uj 6= ∅ tenemos que sj = tjisi.

En otra palabras, la coleccion s = si define una funcion s : M −→ Ldescrita localmente por funciones holomorfas que asocia a cada p ∈ M un puntos(p) ∈ π−1(p) de manera que π s = IdM .

Definicion 15. Una 1-forma holomorfa ω en M es una seccion holomorfa del hazcanonico KM .

Las formas holomorfas sobre M forman un C-espacio vectorial. Un resultadoclasico nos dice que siM es una superficie de Riemann compacta de genero g entoncesla dimension de este espacio es justamente g. Para mas detalles sobre el tema el lectorpuede consultar [Mucino-Brambilla]. Estos ahora a punto para definir la nocion desuperficie plana desde el punto de vista analıtico.

Definicion 16. Una superficie plana es un par (M,ω) donde M es una superfi-cie de Riemann (no necesariamente compacta) y ω es una 1-forma holomorfa noidendicamente nula en M .


Justifiquemos ahora esta nomenclatura. Toda 1-forma holomorfa se escribelocalmente como f(z)dz donde f(z) es una funcion holomorfa y dz = dx + idy.Definamos Z(ω) como el conjunto de ceros de la forma ω y M ′ = M\Z(ω). Entonces,para cada p0 ∈M ′ podemos definir la carta

(2.6) z(p) =

∫ p

p0

ω

en una vecindad de p cercanas a p0. Notese que en la coordenada z tenemos queω = dz. Observese que si cambiamos “punto base” (p0 por un q0 cercano) entonceslas cartas coordenadas cambian por una translacion. En efecto:

(2.7) c :=

∫ p

p0

ω −∫ p

q0

ω =

∫ q0

p0

ω

donde c es una constante que no depende de p. Ergo, los cambios de coordenadas enla estructura definida por las cartas (2.6) son todos de la forma z → z + c, es decir,translaciones.

Observacion. Notemos que en la definicion anterior nunca solicitamos que la super-ficie M sea compacta.

Ejercicio 38. Consideremos p ∈ M un cero de orden k de la forma ω. ¿Como seextiende analıticamente la estructura que define el atlas de las cartas (2.6) a p ?¿Cual es el modelo metrico de la superficie plana (X,ω) en una vecidad de p ?

Ejercicio 39. Usando el ejercicio anterior, demuestra que toda superficie de planacompacta desde el punto de vista geometrico lo es desde el punto de vista analıticoy viceversa.

Definicion 17. Llamaremos a todo punto z0 ∈M tal que ω(z0) = 0 una singulari-dad conica de la superficie plana (M,ω).

Ejercicio 40. Justifica la nomenclatura de la definicion anterior. Establece la relacionentre el orden de z0 como cero de ω y el angulo total de la singularidad conicacorrespondiente.

La ventaja de este punto de vista es que nos otorga de un contexto “analıtico”para tratar a todas las superficies planas de un mismo genero. Dicho contexto esel llamado fibrado de Hodge sobre el espacio de moduli de superficies de RiemannMg, que se denota por lo general Ω∗Mg (ya que se piensa desprovisto de la seccioncero). En este contexto es posible probar el siguiente:

Teorema 7 (H. Masur, [Mas86]). Sea Gθ la foliacion (con singularidades) de unasuperficie plana (X,ω) ∈ Ω∗Mg formada por geodesicas paralelas a la direccionθ ∈ R/2πZ. Entonces el conjunto de direcciones θ para los cuales Gθ presenta unaorbita periodica es denso en R/2πZ.

Corolario 1. El conjunto de direcciones en las que un billar racional presenta unaorbita periodica es denso en el cırculo.

25

2.0.5. Conexiones de silla y vectores de holonomıa.

Recordemos que entre las trayectorias de billar hay unas que se distinguen porsu comportamiento singular. Estas son las que llamabamos en el capıtulo 1 diago-nales generalizadas y corresponden a trayectorias de billar cuyo inicio y fin es unabuchaca. Si pensamos en la proyeccion natural πP : SP → P , entonces las diago-nales generalizadas son “la sombra” de un tipo especial de geodesicas en SP que secaracterizan por tener su inicio y fin en singularidades conicas. Cada una de estetipo especial de geodesicas se denomina una conexion de silla.

Mas formalmente, consideremos una superficie plana S y sea Sing(S) el conjun-to de sus singularidades conicas. Como vimos en la seccion anterior, S ′ = S\Sing(S)es una superficie de translacion y por tanto para cada direccion θ ∈ R/2πZ tene-mos un campo constante unitario Vθ en S ′ de vectores paralelos a dicha direccion.Dentro de todas las curvas integrales del campo Vθ, que llamabamos geodesicas,distinguimos aquellas con extremidades en Sing(S).

Definicion 18. Toda curva integral maximal de Vθ cuyo dominio maximo de defini-cion sea un intervalo de longitud finita se llama conexion de silla. Toda γ geodesicaen S ′ que tenga un extremo en una singularidad conica recibe el nombre de separa-triz.

A cada conexion de silla γ le podemos asociar el vector en R2 cuya norma esigual a la longitud de γ y cuya direccion es la direccion del vector γ′(t).

Definicion 19. Sea γ : (a, b)→ S ′ una conexion de silla de longitud L(γ) del campoVθ. Llamamos al vector de holonomıa asociado a γ al vector en R2 en la direccion θde norma L. Denotamos a dicho vector por vγ y definimos:

(2.8) Vhol(S) := v ∈ R2 | v es vector de holonomıa de S

Notemos que si γ es una conexion de silla del campo Vθ entonces el campo Vθ+πtiene una conexion de silla η tal que vγ = −vη. El siguiente lema es fundamentalpara el resto de nuestra exposicion:

Lema 9. Sea S una superficie de translacion compacta. Entonces Vhol(S) es unsubconjunto discreto de R2.

Prueba. El argumento original de la prueba de este lema se debe a Ya. Vorobets.Supongamos primero que S es por lo menos de genero 2 y tomemos v ∈ R2 quesuponemos es un vector de holonomıa. Mostraremos que v no puede ser lımite devectores en Vhol(S). Consideremos A el conjunto formado por todas las geodesicas γque tienen como extremidades puntos en Sing(S) y que son paralelas a la direcciondel vector v. Como la superficie S es compacta entonces Sing(S) y el numero de


geodesicas en A finito. Sea p ∈ Sing(S) una de las extremidades de una conexionde silla γ tal que su vector de holonomıa sea exactamente v. Denotemos por Bε(p)la vecindad de radio ε > 0 centrada en p ∈ S. Como Sing(S) es finito, existe unnumero positivo ε > 0 tal que

(2.9) Bε(p) ∩ Sing(S) = p, ∀p ∈ Sing(S)

Como solo hay un numero finito de conexiones de silla paralelas al vector v podemossuponer que todo vector de holonomıa suficientemente cercano a v debe correspondera una conexion de silla que tenga una de sus extremidades en Bε(p)\p para algunp ∈ Sing(S). Sin empargo, por (2.9) esto es imposible.

2.0.6. Difeomorfismos afines y el grupo de Veech.

En esta seccion definimos uno de los objetos principales de estas notas: el grupode Veech de una superficie plana.

Definicion 20. Sea S una superficie plana. Llamamos difeomorfismo afın de S atodo homeomorfismo f : S → S tal que:

1. Permute los puntos de Sing(S).

2. En coordenadas locales (afines) de S ′ = S \ Sing(S) sea de la forma:

(2.10)

[a bc d

] [xy

]+

[λ1

λ2

]

donde

A =

[a bc d

]∈ GL(2,R).

La matriz A depende a priori de las coordenadas (x, y) que nos escojamos. Elsiguiente lema nos dice que tal no es el caso.

Lema 10. Sea f : S → S un difeomorfismo afın de una superficie de translacion.Entonces la derivada Dfz no depende de z.

Prueba. Consideremos (Ui, φi) y (Vi, ψi), i = 1, 2 cartas de z y f(z) respectivamente.Como f es afın entonces:

(2.11) D(ψi f ϕ−1i )(ϕi(z)) = Ai i = 1, 2

27

para todo z ∈ U1 ∩ U2. Por otro lado:

A1 = D(ψ1 f ϕ−11 )(ϕ1(z))

= D(ψ1 ψ−12 ψ2 f ϕ−1

2 ϕ2 ϕ−11 )(ϕ1(z))

= D(ψ1 ψ−12 )(ψ2(f(z)))D(ψ2 f ϕ−1

2 )(ϕ2(z))D(ϕ2 ϕ1)(ϕ1(z))

= D(ψ2 f ϕ−12 )(φ2(z)) = A2

Con esto probamos que para todo z ∈ S que no sea un punto conico existe unavecindad z ∈ U tal que Df(z) es una matriz constante. El resultado se sigue de laconexidad por arcos de S.

El conjunto de difeomorfismos afines que preservan la orientacion de una su-perficie plana es un grupo cuando consideramos la composicion de funciones. Deno-tamos a dicho grupo por Aff+(S). El lema anterior y la regla de la cadena implicanque la funcion que a cada f ∈ Aff+(S) asigna su matriz derivada Df define unmorfismo de grupos

(2.12) D : Aff+(S)→ GL+(2,R)

Definicion 21. A la imagen del morfismo (2.12) se le llama grupo de Veech de lasuperficie plana S. Lo denotamos por Γ(S).

Observacion. Por consideraciones que veremos mas adelante, algunos autores consi-deran al grupo de Veech como la imagen de Γ(S) en

PGL+(2,R) = GL+(2,R)/±Id.

Fijar el grupo Aff+(S) es solo una convencion, bien pudimos haber considerado todoslos difeomorfismos afines de una superficie plana en cuyo caso la imagen de (2.12)vivirıa en GL(2,R).

Ejemplo 5. Si S = R2 entonces toda matriz A ∈ GL+(2, R) define un difeomorfismoafın de S y recıprocamente, para toda A ∈ GL+(2,R) existe un difeomorfismo afınf tal que Df = A. En otras palabras, Γ(R2) = GL+(2, R).

Ejercicio 41. Sea S una superficie plana compacta. Demuestre que el kernel deD : Aff+(S) → GL+(2, S) es un conjunto finito. Sugerencia: use el hecho de que elgrupo de automorfismos conformes de una superficie de Riemann compacta siemprees finito.

Ejercicio 42. Encuentre un ejemplo de una superficie plana no compacta tal queD : Aff+(S)→ GL+(2, S) no sea finito.


Ejercicio 43. Consideremos el cilindro C := R2/Z. Calcule Γ(C).

Ejemplo 6. En este ejemplo veremos que el grupo de Veech del toro es SL(2,Z).Consideremos el toro T := R2/Z × Z y la proyeccion desde el cubriente universalπ : R2 → T . Entonces, para toda

A =

[a bc d

]∈ SL(2,Z)

consideramos la funcion fA[x, y] = [ax+ by, cx+ dy].

Ejercicio 44. Demuestra que fA : T → T define un difeomorfismo afın

En otras palabras, Γ(T ) contiene al grupo SL(2,Z). Tomemos ahora f ∈Aff+(T ) y sea f : R2 → R2 un levantamiento de f al cubriente universal. Un

calculo elemental muestra que f debe preservar la retıcula de puntos enteros Z×Z.Esto solo es posible si Df ∈ SL(2,Z).

Ejercicio 45. Sea τ ∈ C un numero complejo tal que Im(τ) > 0. Definimos Λτ =Z⊕ τZ y el toro Tτ = C/Λτ . Calcula el grupo de Veech de Tτ .

Diremos que dos toros Tτ y Tτ ′ son conformemente equivalentes si existe unbiholomorfismo f : Tτ → Tτ ′ .

Ejercicio 46. Demuestra que Tτ y Tτ ′ son conformemente equivalentes si y solo siexiste una matriz

A =

[a bc d

]∈ SL(2,Z)

tal que τ ′ = aτ+bcτ+d

. Describe la relacion que existe entre los grupos de Veech de dostoros dentro de una misma clase conforme.

Observacion. Toda superficie plana hereda un elemento de area natural via pullbackdel plano R2. Si S es una superficie de area finita, entonces todo difeomorfismoafın f : S → S debe respetar el area de S. Esto implica que necesariamente Df ∈SL(2,R).

Accion de Γ(S) sobre Vhol(S). Sea S una superficie plana. Todo elemento fdel grupo afın Aff+(S) se extiende de manera continua a las singularidades conicasde S y define una permutacion de estas. De hecho, manda a cada singularidad deangulo total 2πk en una singularidad de angulo total 2πk, donde k ∈ N ∪ ∞.

Notemos que si γ : (a, b) → S es una conexion de silla entonces f γ esuna curva cuya traza es la traza de una conexion de silla ψ : (a′, b′) → S. Lacurva f γ no es necesariamente una conexion de silla pues la norma del vector(f γ)′(s) = Df ·γ′(s) no es necesariamente 1. Para entender la accion del grupo deVeech Γ(S) sobre Vhol(S) debemos expresar al vector de holonomıa vψ en terminosde Df y vγ. Para esto reparametrizamos a la curva f γ por longitud de arco usando

29

una funcion afın g : (a′, b, )→ (a, b). Dado que la norma del vector ∂∂t

(f γ g) debeser uno, deducimos que g′(t) = b−a

b′−a′ = 1||Df ·γ′(s)|| , ergo b′ − a′ = (b− a)||Df · γ′(s)||.

Ası las cosas

(2.13) vψ = (b′ − a′) Df · γ′(s)||Df · γ′(s)||

= (b− a)Df · γ′(s) = Df · vγ .

En resumen, tenemos bien definida una accion lineal del grupo de Veech sobre elconjunto de vectores de holonomıa:

(2.14)Vhol(S)× Γ(S) −→ Vhol(S)

(v,Df) −→ Df · v

Proposicion 2. Sea S una superficie plana tal que Vhol(S) es discreto y contienepor lo menos dos vectores linealmente independientes, entonces el grupo de VeechΓ(S) < GL+(2,R) es discreto.

Demostracion. Procedemos por contradiccion. Supongamos que existe una sucesionen el grupo de Veech An → Id y sean v, w ∈ Vhol(S) dos vectores linealmente inde-pendientes. Entonces alguna de las sucesiones Anv, Anw contiene una subsucesioninfinita que por continuidad converge a alguno de los vectores vo w. Esto contradiceel que Vhol(S) sea un subconjunto discreto del plano.

Ejercicio 47. Encuentre una superficie plana tal que el conjunto de vectores deholonomıa sea infinito pero no contenga dos vectores linealmente independientes.

Las matrices de 2×2 tienen una topologıa estandar cuando identificamos dichoconjunto con R4:

(2.15)

[a bc d

]→ (a, b, c, d)

Dentro de dicho conjunto tenemos al conjunto cerrado SL(2,R) formado por lasmatrices con determinante 1. Otorgamos a SL(2,R) la topologıa de subespacio.

Ejercicio 48. Demuestra que la imagen de SL(2,R) bajo (2.15) es una subvariedadde R4 homeomorfa a S1 ×R2.

Definicion 22. Todo subgrupo discreto de SL(2,R) se llama grupo Fuchsiano. Unsubgrupo de Γ < SL(2,R) se dice cocompacto si el espacio topologico cocienteSL(2,R)/Γ es compacto.

Corolario 2. El grupo de Veech de una superficie plana compacta siempre es ungrupo Fuchsiano.

Lema 11. El grupo de Veech de una superficie compacta nunca es cocompacto.


Para probar este lema introduciremos un nuevo punto de vista para los gruposde Veech.

Accion de GL+(2,R) sobre el espacio de superficies planas. En este cur-so no entraremos en detalle sobre lo que quiere decir espacio de superficies planas.Solo diremos que este, para superficies compactas de genero g, corresponde al fibradode Hodge (privado de la seccion cero) sobre el espacio de moduli Mg de superficiesde Riemann de genero g.

Lo que nos interesa realmente en esta seccion es definir una accion del grupoespecial lineal GL+(2,R) sobre dicho conjunto. Entonces consideremos S una su-perficie plana con su atlas A = (U,ϕ) y una matrix A ∈ SL(2,R). Definimos A ·Scomo la superficie plana cuyo atlas esta dado por A · A := (U,A · ϕ). En otraspalabras, A · S tiene como estructura de superficie plana el atlas que se obtiene delatlas de S postcomponiendo cada carta por la funcion lineal que define la matrix A.

Ejercicio 49. Verifica que en efecto A · S es una superficie plana. Verifica que lassuperficies planas A y A ·S tienen la misma cantidad de singularidades conicas (conlas mismas multiplicidades). Demuestra que Vhol(A · S) = A · Vhol(S).

Como vimos anteriormente el conjunto Vhol(S) es un subconjunto discreto deR2. Esto implica que para toda superficie plana S existe una conexion de sillade longitud mınima. Definimos entonces m(S) como la longitud mınima de unaconexion de silla en S.

Lema 12. [Vor96] Sea S una superficie plana compacta fija. La funcion:

(2.16) L : GL+(2,R)→ R

definida por L(A) = m(A · S) es continua.

El grupo de Veech como un estabilizador. Diremos que dos estructurasde superficie plana S1 = (S,A1) y S2 = (S,A2) son isomorfas si existe

(2.17) F : S1 → S2

homeomorfismo tal que para cualesquiera par de cartas (U,ϕ) y (V, ψ) de A1 y A2

respectivamente, se tiene que:

(2.18) (ψ F ϕ−1)(x) = x+ λ ∀x ∈ ϕ(U ∩ F−1(V )).

Si dos estructuras son isomorfas escribimos S1∼= S2.

Definimos ahora el grupo

(2.19) Γ1(S) := A ∈ SL(2,R) | A · S ∼= S

31

El siguiente es un ejercicio fundamental para entender mejor al grupo de Veech deuna superficie plana.

Ejercicio 50. Sea S una superficie plana. Demuestra que Γ(S) = Γ1(S). ¿Es necesarioque la superficie sea compacta?

Clasificacion de elementos en SL(2,R). Sea A ∈ SL(2,R) y tr(A) su traza.La siguiente clasificacion es clasica:

1. La matriz A se llama elıptica si |tr(A)| < 2.

2. La matriz A se llama parabolica si |tr(A)| = 2.

3. La matriz A se llama hiperbolica si |tr(A)| > 2.

Un metodo para encontrar elementos parabolicos en el grupo deVeech. En los siguientes parrafos describiremos un metodo para construir elementosparabolicos en el grupo de Veech de una superficie plana. Para describir este metodocomencemos con un ejemplo. Sea S el origami dado por la siguiente figura:

A A

B

B

C C

D

D

El flujo geodesico en la direccion horizontal descompone este origami en dos cilindrosC1 y C2 cuyas fronteras estan formadas por conexiones de silla. Si pensamos quelos cuadrados que forman el origami son unitarios, el cilindro C1 mide w1 = 2 deancho y h1 = 1 de alto. Definimos, siguiendo la tradicion, el modulo de C1 comoµ1 := w1

h1= 2

1= 2. Analogamente, para el cilindro C2 tenemos que µ2 = w2

h2= 1

1= 1.

Coloquemos al cilindro C1 en el plano xy con un vertice en el origen y otro en el punto(2, 0). En estas coordenadas podemos definir el difeomorfirmo afın f : C1 → C1 comof(x, y) = (x+µ1y mod w1, y). Analogamente g(x, y) = (x+µ2y mod w1, y) defineun difeomorfirmo afın de C2. Notemos que ambos difeomorfismos restringidos a lafrontera de sus respectivos cilindros son la identidad. Entonces es posible pegarlos


para definir una funcion afın por pedazos F del origami S. Notemos que F no defineelemento de Aff+(S) ya que

Df =

[1 20 1

]6=[1 10 1

]= Dg

Sin embargo notemos que (Dg)2 = Df . Entonces g2 y f pueden pegarse a lo largo dela frontera de los cilindros C1 y C2 para definir un elemento G en Aff+(S). Notemosque en este ejemplo tr(DG) = 2, es decir, obtenemos un elemento en el grupo deVeech de tipo parabolico.

Ejercicio 51. Considera el flujo geodesico de origami S en la direccion vertical yencuentra una descomposicion en cilindros de S que te permita encontrar otroselementos parabolicos del grupo de Veech.

Definicion 23. Sea S una superficie plana compacta. Decimos que una direccionθ ∈ R/2πZ es totalmente periodica si el flujo geodesico de S en la direccion θ des-compone a S en un numero finito de cilindros C1, . . . , Cn cuyos modulos µ1, . . . , µnson conmesurables. Es decir, para todo i 6= j tenemos que existen ni, nj ∈ Z talesque niµi = njµj.

Ejercicio 52. Sea S una superficie plana compacta y supon que la direccion hori-zontal es totalmente periodica. Demuestra que en este caso existe un elemento en elgrupo de Veech de la forma: [

1 λ0 1

]¿Puedes dar una expresion para λ en terminos de los modulos µ1, . . . , µn ?

Ejercicio 53. Sea S una superficie plana compacta y supon que la direccion verticales totalmente periodica. Demuestra que en este caso existe un elemento en el grupode Veech de la forma: [

1 0λ 1

]¿Puedes dar una expresion para λ en terminos de los modulos µ1, . . . , µn ?

Ejercicio 54. Investiga cuando el subgrupo de SL(2,R) generado por las matrices[1 0λ 1

],

[1 µ0 1

]es libre.

Ejercicio 55. Sea S una superficie plana compacta con una direccion periodica θ.Describe el elemento parabolico del grupo de Veech asociado a dicha direccion.

Capıtulo 3

La dicotomıa de Veech

Como vimos en el capıtulo anterior, el grupo de Veech de una superficie planacompacta S es un grupo Fuchsiano y por tanto actua sobre el plano hiperbolico H.En este capıtulo comenzamos con un breve repaso de algunos conceptos basicos dela geometrıa hiperbolica. Para un tratamiento mas extenso del tema se refiere allector al libro de S. Katok [Kat10]. Despues abordaremos la llamada docotomıa deVeech es su caso mas simple: el del toro. Finalmente abordaremos el teorema centralde este curso.

3.1. Rudimentos de geometrıa hiperbolica

Es esta seccion revisamos las nociones basicas de la geometrıa hiperbolica quenos son necesarias para poder enunciar la dicotomıa de Veech. Muchos teoremas seenunciaran sin prueba. La referencia para dichas pruebas es el libro de S. Katok[Kat10]. Consideremos en C el semiplano superior:

(3.1) H := z ∈ C | Im(z) > 0Las coordenadas de H son de la forma z = x + iy. Definimos entonces, para cadavector tangente v = (v1, v2) en el plano tangente (real) TzH, la metrica hiperbolicacomo

(3.2) ||v||H :=

√v2

1 + v22

y

Al plano H provisto de la metrica g se le conoce como en plano hiperbolico. Escri-bamos vj = ξj + iηj, j = 1, 2; entonces la metrica hiperbolica es inducida por lametrica Riemanniana:

(3.3) < v1, v2 >z:=1

(Im(z))2(ξ1ξ2 + η1η2)

33

34 CAPITULO 3. LA DICOTOMIA DE VEECH

Si tomamos una curva diferenciable por pedazos γ = γ1 +iγ2 : [0, 1]→ H. Definimosla longitud hiperbolica de γ como el valor de la integral:

(3.4) lH(γ) =

∫ 1

0

√γ′1(t)2 + γ′2(t)2

γ2(t)dt =

∫ 1

0

|γ′(t)|Im(γ(t))

dt

Esto nos permite definir la distancia hiperbolica dH(z, w) como el ınfimo de laslongitudes hiperbolicas de curvas diferenciables por pedazos que unan a z con w.

Lema 13. Para todo z, w ∈ H tenemos que

(3.5) dH(z, w) = ln|z − w|+ |z − w||z − w| − |z − w|

La metrica 3.3 nos permite definir la nocion de angulo entre dos vectores o doscurvas y la nocion de transformacion conforme (aquellas que preservan angulos).

Teorema 8. Las geodesicas en H de la metrica hiperbolica son semicırculos o lıneas,ortogonales al eje real R.

Si D ⊂ H definimos el area hiperbolica de D como:

(3.6) AH(D) =

∫D

dxdy

y2

si dicha integral existe.

Accion del grupo unimodular.

Para toda matriz

(3.7) A =

[a bc d

]∈ SL(2,R)

definimos la transformacion de Mobius TA : H→ C dada por la regla de correspon-dencia

(3.8) z → az + b

cz + d

Ejercicio 56. Demuestra que:

3.1. RUDIMENTOS DE GEOMETRIA HIPERBOLICA 35

1. El conjunto de las transformaciones de Mobius forma un grupo con respectoa la composicion de funciones.

2. La correspondencia A→ TA define un morfismo de grupos entre SL(2,R) y elgrupo de las transformaciones de Mobius. Notese que TA = T−A para cualquierpar de matrices A ∈ SL(2,R). Demuestre que el grupo de transformaciones deMobius es isomorfo a PSL(2,R) = SL(2,R)/±Id.

Notacion. De ahora en adelante denotaremos al grupo de las transformaciones deMobius por PSL(2,R).

Definicion 24. Una funcion f : H → H se llama una isometrıa de si dg(z, w) =dg(f(z), f(w)) para todo par z, w ∈ H.

Las isometrıas de H forman un grupo que denotaremos por Isom(H).

Teorema 9. Las transformaciones de Mobius forman un subgrupo del grupo deisometrıas de H.

Prueba. Primero probaremos que toda transformacion de Mobius define un homeo-morfismo de H. Luego probaremos que para toda curva γ diferenciable por pedazosy TA transformacion de Mobius, se tiene

(3.9) lg(γ) = lg(TA(γ))

Por el ejercicio 56 tenemos que T−1A = TA−1 . Como el punto de indefinicion de TA

es −dc∈ R, la transformacion TA es continua para toda A ∈ SL(2,R). Para ver que

TA es un homeomorfismo basta entonces probar que TA(H) ⊂ H. Notemos que

(3.10)

w = az+bcz+d

= (az+b)(cz+d)(cz+d)(cz+d)

= (az+b)(cz+d)|cz+d|2 = ac|z|2+adz+bcz+bd

|cz+d|2

de donde se deduce que

(3.11) Im(w) =z − z

2i|cz + d|2=

Im(z)

|cz + d|2

Entonces, si z ∈ H, claramente w = T (z) ∈ H. Para ver ahora que PSL(2,R) ⊂Isom(H) notemos que

(3.12)∂TA(z)

∂z=

1

(cz + d)2.


Entonces, si γ : [a, b]→ H es una curva diferenciable por pedazos tenemos

(3.13)

lg(TA(γ)) =∫ ba

| ∂T (γ(t))∂t

|Im(T (γ(t)))

dt =∫ ba

1(cγ(t)+d)2

| ∂γ(t)∂t|

Im(γ(t))

(cγ(t)+d)2

dt

=∫ ba|γ′(t)|Im(z)

dt = lg(γ(t)).

En siguiente teorema describe todo el grupo de isometrıas de H.

Teorema 10. El grupo Isom(H) esta generado por las transformaciones de Mobiusy la transformacion z → −z. Si S∗L(2,R) denota las matrices de determinante ±1,tenemos que Isom(H) es isomorfo a S∗L(2,R)/± Id.

En particular, el grupo de transformaciones de Mobius es un subgrupo deındice 2 de Isom(H) que actua sobre H por homeomorfismos que preservan la orien-tacion. Ahora veamos que el area tambien es un invariante de las transformacionesde Mobius.

Teorema 11. El area hiperbolica es invariante bajo cualquier transformacion enPSL(2,R)

Prueba. Tomemos D ⊂ H para el cual el area existe (ver 3.6). Consideremos latransformacion TA(z) = w = u + iv, donde z = x + iy. Un calculo simple nosmuestra que TA satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann, ergo podemos calcularel Jacobiano de TA:

(3.14)∂(u, v)

∂(x, y)=∂u

∂x

∂v

∂y− ∂u

∂y

∂v

∂x=

(∂u

∂x

)2

+

(∂v

∂x

)2

=

∣∣∣∣dTAdz∣∣∣∣2 =

1

|cz + d|4

Entonces:(3.15)

AH(TA(D)) =

∫TA(D)

dudv

v2=

∫A

∂(u, v)

∂(x, y)

dxdy

v2=

∫A

1

|cz + d|4|cz + d|4

y2dxdy = AH(D)

Ejercicio 57. Demuestra que toda transformacion de Mobius es conforme.

Polıgonos hiperbolicos y el teorema de Gauss-Bonnet. La cerraduraeuclideana de H es la cerradura de H como subconjunto de la esfera de Riemann.Ası, H = H∪R∪∞. Un polıgono hiperbolico de n lados es un subconjunto cerrado

de H cuya frontera esta formada por segmentos de geodesicas hiperbolicas. Estossegmentos de geodesica hiperbolica constituyen los lados del polıgono. Al puntode interseccion de dos lados se la llama vertice. Se permite que los vertices de unpolıgono hiperbolico esten en R∪∞, sin embargo no se permite que un segmentode R sea un lado.

3.2. ACCION DEL GRUPO DE VEECH SOBRE H. 37

Teorema 12. (Gauss-Bonnet) Sea ∆ un triangulo hiperbolico de angulos interioresα, β y γ. Entonces

(3.16) AH(∆) = π − α− β − γ

En particular notemos que la suma de los angulos interiores de un triangulohiperbolico es siempre menor que π.

3.2. Accion del grupo de Veech sobre H.

Cuando definimos en §2 el grupo de Veech de una superficie plana, lo definimoscomo un subgrupo de GL+(2,R). En el caso de que S fuera una superficie compacta,vimos que su grupo de Veech Γ(S) es un subgrupo de SL(2,R). El grupo SL(2,R)no actua de manera fiel sobre H, el que lo hace es PSL(2,R), por ello de ahora enadelante llamaremos, abusando del lenguaje, grupo de Veech de una superficie planacompacta S a la imagen de Γ(S) en PSL(2,R) y, abusanto tambien de la notacion,lo seguiremos denotando por Γ(S). Ası las cosas, Γ(S) actua sobre H por isometrıasy preservando areas. Luego, podemos considerar el cociente H/Γ(S). En los parrafosque siguen veremos que, modulo quitar un numero finito de puntos, H/Γ(S) tieneestructura de superficie hiperbolica.

Definicion 25. Una superficie hiperbolica es una superficie Σ con un atlas maximalAH = (Ui, ϕi)i∈I tal que para todo i ∈ I se tiene que:

1. ϕi(Ui) ⊂ H

2. ϕj ϕ−1i es un elemento en Isom(R2).

Acciones de grupos. Comenzaremos con un breve recordatorio en el contextode variedades diferenciables. La accion de un grupo (G, ∗) sobre un conjunto X (porla izquierda) se puede definir de dos maneras equivalentes:

1. Es una funcion ρ : G×X → X que satisface:

a) (Identidad) Para todo x ∈ X, ρ(e, x) = x, donde e ∈ G es el elementoneutro.

b) (Asociatividad) Para todo x ∈ X, g, h ∈ G, ρ(g ∗ h, x) = ρ(g, ρ(h, x))

2. De la definicion anterior se sigue que la funcion x→ ρ(g, x) es una biyeccion.Es por eso que, si denotamos por Biy(X) el conjunto de biyecciones de Mentonces la accion del grupo (G, ∗) sobre X (por la izquierda) se define demanera equivalente como un homomorfirmos de grupos ρ : G → Biy(X) quesatisface ρ(g ∗ h) = ρ(g) ∗ ρ(h).


Ejercicio 58. En una accion por la izquiera el producto g∗h actua sobre un elementoen un orden preciso: primero h y luego g. En una accion por la derecha el productog ∗ h actua sobre un elemento en el orden opuesto: primero g y luego h. ¿Puedesescribir con detalle la definicion de una accion por la derecha? Busca un ejemplo deun grupo G que actue por la derecha y por la izquiera sobre un conjunto X. ¿Puedespensar en un ejemplo donde G no sea conmutativo?

Definicion 26. Una accion (G, ρ) sobre una variedad diferenciable es de clase Ck sipara cada g ∈ G la funcion x→ ρ(g, x) es de clase Ck.Definicion 27. Una accion (G, ρ) sobre un conjunto X se dice libre si para todox ∈ X el estabilizador de x:

(3.17) Stab(x) = g ∈ G | ρ(g, x) = x

es trivial. Decimos que el grupo G actua propia y discontinuamente sobre una va-riedad topologica M si la accion correspondiente es continua y para toda x ∈ Mexiste una vecindad Ux tal que

(3.18) #g ∈ G | ρ(g)Ux ∩ Ux 6= ∅ <∞

Proposicion 3. [Boo86] Sea M una variedad diferenciable de clase Ck y supongamosque G actua de manera Ck, libre, propia y discontinuamente. Entonces existe unaunica estructura de variedad diferenciable de clase Ck para M/G, el conjunto deorbitas de la accion, tal que

(3.19) p : M →M/G

sea un difeomorfismo local de clase Ck.

La prueba de este teorema se puede adaptar cuando G es un subgrupo deIsom(H) que actua de manera libre, propia y discontinua. El resultado en este casosera M/G una variedad hiperbolica. Como vemos en el siguiente teorema, este escasi el caso de todo grupo Fuchsiano.

Teorema 13. [Kat10] Un subgrupo Γ de SL(2,R) es discreto (Fuchsiano) si y solosi su imagen en PSL(2,R) actua de manera propia y discontinua en H.

Ejemplo 7. Consideremos el toro T = R2/Z × Z. Como vimos antes, en este casoΓ(T ) = SL(2,Z). El grupo SL(2,Z) esta generado por las matrices

(3.20)

[1 10 1

] [0 1−1 0

]que actuan en H por translacion e inversion respectivamente. Definamos:

(3.21)F := z ∈ H | |z| > 1, |Re(z)| < 1

2 ∪ z ∈ H | |z| = 1, Re(z) ≥ 0

∪ z ∈ H | Re(z) = 12

3.2. ACCION DEL GRUPO DE VEECH SOBRE H. 39

Ejercicio 59. Demuestra que F es un domino fundamental para la accion de SL(2,Z)sobre H. Es decir, prueba que:

1. Para cada z ∈ H existe un unico z0 ∈ F y un elemento A ∈ SL(2,Z) tal queAz = z0. Es decir, cada orbita de la accion tiene un unico representante en F .

2. Para todo A ∈ SL(2,Z) se tiene que A(F ) ∩ F = ∅ excepto cuando A esta enel conjunto:

(3.22) A ∈ SL(2,Z) | A fija1

2(1 + i

√3)

que es un conjunto finito.

El ejemplo anterior muestra que la accion de grupo de Veech de una superficiecompacta sobre H no siempre es libre. Sin embargo, como veremos en el siguientelema, para efectos practicos esto no es tan grave.

Lema 14. Sea S una superficie de translacion compacta y Γ(S) su grupo de Veech.Entonces existe un conjunto C discreto y numerable de puntos en H tal que

(3.23) (H \ C)/Γ(S)

es una superficie hiperbolica.

Prueba. Definimos

(3.24) C := z ∈ H | TA(z) = z para algun A ∈ Γ(S) \ Id

Este conjunto es un subconjunto discreto de H, de lo contrario tendrıamos que laaccion de Γ(S) sobre H no serıa propia y discontinua. Por ser discreto tiene queser numerable, ya que H es segundo numerable. Notemos que C es Γ(S)-invariante.En efecto, si TA(z) = z y TA′(z) = w, entonces w queda fijo por TA′ TA TA′−1 .Observemos que la accion de Γ(S) sobre H \C es libre, propia y discontinua, por loque el cociente (H \C)/Γ(S) tiene estructura de variedad, modelada en H y dondelos cambios de coordenadas estan en Γ(S) < Isom(H).

Nota Bene. Como el area hiperbolica es invariante bajo la accion del grupoΓ(S) (ver teorema 11), podemos hablar sin ambiguedades del area de la superficiehiperbolica ΣS := (H \ C)/Γ(S). Notese que como C es un subconjunto discreto,podemos definir el area de H/Γ(S) como el area de la superficie hiperbolica ΣS :=(H \ C)/Γ(S).

Definicion 28. Una superficie plana S compacta se llama superficie de Veech osuperficie retıcula si el cociente ΣS := (H \ C)/Γ(S) tiene area hiperbolica finita.


3.3. Dicotomıa de Veech: el caso del toro

Consideremos el toro T = R2/Z×Z. Esta es la unica superficie de translacioncompacta honesta (es decir sin singularidades conicas). Por tanto, como vimos en§1.3, para cada direccion θ ∈ R/2πZ tenemos un campo sin singularidades Vθ. Estecampo es completo y por tanto induce un flujo1 gtθ, t ∈ R en el toro que llamaremosel flujo geodesico en la direccion θ. La medida de Lebesgue en R2 define una medidade probabilidad en el toro que denotaremos por Leb. En general, si λ es una medidade probabilidad sobre T decimos que el flujo gtθ es ergodico con respecto a λ si

1. La medida λ es invariante bajo el flujo. Es decir, para todo A ⊂ T medible setiene que

(3.25) λ(A) = λ(gtθ(A)) ∀t ∈ R

2. Los conjuntos invariantes bajo el flujo son de medida total o cero. Es decir,para todo t ∈ R y A ⊂ T medible tal que A = gtθ(A) se tiene que λ(A) = 0 obien λ(A) = 1.

Si ademas solo existe una medida de probabilidad λ respecto a la cual el flujo gtθes ergodico decimos que este es unicamente ergodico. El siguiente es un resultadoclasico de Weyl:

Teorema 14 (Weyl). Sea θ ∈ S1 = R/2πZ y gtθ el flujo geodesico del toro en ladireccion θ. Entonces:

1. Toda orbita de gtθ es cerrada y del mismo periodo si y solo si θ es un multiploracional de π.

2. El flujo gtθ es unicamente ergodico y la medida invariante es Leb si y solo si θes un multiplo irracional de π.

En otras palabras el flujo geodesico en el toro satisface una dicotomıa. Notemospor otro lado, lo siguiente:

Lema 15. El cociente H/Γ(T ) tiene area hiperbolica finita.

Prueba. Por 3.21 tenemos que el dominio fundamental para la accion de SL(2,Z)sobre H es un triangulo hiperbolico cuyos angulos son 0, 0 y π/2. Por el teoremade Gauss-Bonnet para triangulos hiperbolicos (ver [Kat10]) tenemos que el area deH/SL(2,Z) es igual a π/2.

En la siguiente seccion, veremos que esto no es pura coincidencia.

1Accion de R ligada a la integracion del campo

3.4. DICOTOMIA DE VEECH: ENUNCIADO GENERAL 41

3.4. Dicotomıa de Veech: enunciado general

En esta seccion presentamos el resultado principal de estas notas.

El flujo geodesico en una superficie de translacion arbitratia. Tomemos una superfi-cie de translacion compacta S y supongamos que el genero de esta es por lo menos2. Por el teorema de Gauss-Bonet, S presenta singularidades de tipo conico. Ergo,el campo de vectores Vθ no es completo y no tenemos bien definido un flujo puesexisten trayectorias integrales que en tiempo finito van a dar una singularidad. Sinembargo, como el numero de singularidades conicas de S es finito, para casi todax ∈ S y casi toda direccion θ, el dominio de la curva integral maxima de Vθ concondiciones iniciales (x, θ) es todo R. En otras palabras, para casi todo punto y todadireccion gtθ esta definido para toda t ∈ R. Por esta razon abusaremos del lenguajey hablaremos del “flujo geodesico” gtθ en S.

Como en el caso del toro, diremos que una medida µ en una superficie detranslacion S es invariante para el “flujo” geodesico gtθ si para subconjunto medibleA ⊂ S se tiene que

(3.26) µ(A) = µ(gtθ(A))

para todo t donde la ecuacion precedente tenga sentido. Diremos tambien que µ esergodica para el flujo gtθ si los todo subconjunto invariantes es o bien de medida ceroo de medida total.

La medida de Lebesgue en el plano es invariante bajo translaciones. Para cadasuperficie de translacion S, la medida de Lebesgue en el plano induce una medida deprobabilidad Leb que llamaremos de Lebesgue tambien. El siguiente es un teoremaclasico que nos da una idea del comportamiento del flujo geodesico gtθ para unadireccion tıpica θ.

Teorema 15. [Ker86] Sea S una superficie de translacion compacta, y dθ la medidade Liouville en R/2πZ. Entonces para casi toda direccion θ el flujo gtθ es unicamenteergodico.

En este teorema, la ergodicidad unica es con respecto a la medida Leb en Sinducida por la medida de Lebesgue del plano. Para poder enunciar la dicotomıa deVeech en toda generalidad nos hace falta introducir un ultimo concepto: el de flujogeodesico periodico.

Definicion 29. Sea S una superficie de translacion compacta. Diremos que el flujogtθ es periodico si este descompone a la superficie S en un numero finito de cilindros

(3.27) C1, . . . , Cn

de moduli conmesurable.


En otras palabras, el flujo gtθ es periodico si la direccion θ es totalmente periodi-ca (ver definicion 23, §2). Por ejemplo, el flujo geodesico en las direcciones vertical uhorizontal es periodico para la superficie de translacion dada por la siguiente figura:

A A

B

B

C C

D

D

Finalmente, podemos enunciar el teorema principal de estas notas.

Teorema 16. [Vee89] Sea S una superficie de Veech. Entonces para cada direccionθ ∈ R/2πZ el flujo geodesico gtθ es o bien periodico o bien unicamente ergodico conrespecto a la medida de Lebesgue µ.

Bosquejo de la demostracion. Tomemos θ ∈ R/2πZ y Rθ la rotacion quelleva θ a la direccion vertical. Observemos que Γ(Rθ · S) = R−θΓ(S)Rθ, las medidasde Lebesgue en S y Rθ · S son las mismas y el flujo geodesico en la direccion θ en Ses lo mismo que el flujo geodesico en la direccion vertical en Rθ · S. Ergo podemossuponer sin perdida de generalidad que la direccion θ en el enunciado del teorema16 es la direccion vertical. El primer lema que necesitamos para la prueba se conocecomo el criterio de Masur. Recordemos que R actua sobre el espacio de superficiesplanas a traves del grupo diagonal

(3.28) gt :=

[et 00 e−t

]Lema 16. (Masur. FALTA REFERENCIA). Sea S una superficie plana compactacon singularidades conicas y tal que m(gt · S) no tiende a cero cuando t → ∞.Entonces el flujo gtθ en la direccion vertical es unicamente ergodico.

Si por el contrario, m(gt·S)→ 0 cuando t→∞, tenemos el siguiente resultado:

Lema 17. [Vor96] Sea S una superficie plana tal que m(gt ·S)→ 0 cuando t→∞.Entonces gtΓ(S) escapa de todo compacto en SL(2,R)/Γ(S).

3.4. DICOTOMIA DE VEECH: ENUNCIADO GENERAL 43

El siguiente resultado, debido a Vorobets, nos dice que la unica forma enque gtΓ(S) escape de todo compacto en SL(2,R)/Γ(S) es por la existencia de unacuspide.

Lema 18. [Vor96] Sea Γ < SL(2,R) un subgrupo no cocompacto tal que H/Γ esde area finita y tal que gt ·Γ escapa a todo compacto de SL(2,R)/Γ. Entonces existeA ∈ Γ parabolico de la forma:

(3.29) Aα :=

[1 α0 1

], α 6= 0.

El siguiente lema nos dice que la existencia de un elemento parabolico comoAα en el grupo de Veech implica que la periodicidad del flujo en la direccion vertical.

Lema 19. [HS06] Sea S una superficie plana compacta tal que Aα ∈ Γ(S). Entoncesel flujo geodesico gtθ en la direccion vertical es periodico.

Entonces estamos listos para dar la prueba del teorema de Veech. Si el flujoen la direccion vertical es unicamente ergodico, entonces ya acabamos. Si no lo esentonces m(gt · S)→ 0 cuando t→∞ por el criterio de Masur. Entonces podemosaplicar el lema 17 y despues de este el lema 18. Ası, aseguramos la existencia deun elemento parabolico de la forma Aα en el grupo de Veech de S. Por el lema 19tenemos que el flujo en la direccion vertical es periodico.

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