Bloque I. Números y medidas. Tema 1: La relación de ... · PDF file* Los...

MATEMTICAS 2 ESO
Bloque I. Nmeros y medidas. Tema 1: La relacin de divisibilidad. TEORA
1. MLTIPLOS Y DIVISORES * Dos nmeros a y b estn emparentados por la relacin de divisibilidad cuando su cociente es exacto.* Si la divisin ba : es exacta, entonces se dice que el nmero a es mltiplo del nmero b y tambin que el nmero b es divisor del nmero a .
Ejemplos:
a) 30 : 5 = 6 DIVISIN EXACTA, entonces tenemos que
30dedivisores55demltiploes30
Observa que como 30 : 6 = 5 DIVISIN EXACTA, entonces tambin tenemos que
30dedivisores66demltiploes30
Es decir, cuando la divisin es exacta los divisores se obtienen por parejas.
b) 30 : 7 DIVISIN NO EXACTA, entonces no podemos hablar de mltiplos ni de divisores.
* Un nmero tiene infinitos mltiplos y se obtienen multiplicndolo por cualquier otro nmero natural.* Todo nmero es mltiplo de s mismo y de la unidad.* La suma de dos mltiplos de un nmero a es otro mltiplo de a .
Ejemplos:
Los mltiplos de 12 son : 12, 24, 36, 48 (los resultados de su tabla de multiplicar que es infinita)
Observa que efectivamente 24 + 36 = 60 que tambin es mltiplo de 12 (125 = 60)
* Un nmero a tiene una cantidad finita de divisores. Para obtenerlos debes saber que al menos tiene dos divisores: l mismo y la unidad. El resto de divisores de a se obtienen dividiendo el nmero a por nmeros menores que l para ver si la divisin es exacta.
* Si , entonces b y c son divisores de a . Se dice que los divisores de a van emparejados.* Para conocer los divisores de un nmero "a" puedes utilizar el WIRIS. Escribe DIVISORES(a).
Ejemplos:
a) Para obtener todos los divisores de 12 hacemos lo siguiente.
12 : 1 = 12 DIVISIN EXACTA tenemos el 1 y el 12
Ahora dividiramos entre 4 pero ya lo tenemos como divisor y esto nos indica que ya los tenemos todos:
Los divisores del 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12
b) Ahora vamos a obtener todos los divisores de 36.
36 : 5 DIVISIN NO EXACTA
36 : 6 = 6 DIVISIN EXACTA tenemos el 6 repetido y esto nos indica que ya los tenemos todos:
Los divisores del 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
1
IES LA ASUNCIN http://www.ieslaasuncion.org

MATEMTICAS 2 ESO
2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD * Los criterios de divisibilidad son una serie de reglas, muy simples, que permiten descubrir con rapidez si un nmero es mltiplo de 2, 3, 5, ...* Un nmero es mltiplo de 2 cuando termina en 0, 2, 4, 6 u 8.* Un nmero es mltiplo de 5 si termina en 0 o en 5.* Un nmero es mltiplo de 10 si termina en 0.* Un nmero es mltiplo de 3 si la suma de sus cifras es mltiplo de 3.* Un nmero es mltiplo de 9 si la suma de sus cifras es mltiplo de 9.* Un nmero es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 mltiplo de 11.* Hay ms criterios de divisibilidad: para el 7, el 8, etc. Bscalos por internet.
Ejemplos:
270 es mltiplo de 2, 5 y 10 ya que termina en 0 pero tambin lo es de 3 y 9 ya que la suma de sus cifras es mltiplo de 3 y de 9 ( 2 + 7 +0 =9 )
924 es mltiplo de 2, ya que termina en 4, tambin lo es de 3 ya que la suma de sus cifras es mltiplo de 3 ( 9 + 2 +4 =15 ) y tambin lo es de 11 ya que la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es mltiplo de 11 ( suma de cifras que ocupan lugar impar = 9 + 4 =13, suma de cifras que ocupan lugar par = 2, diferencia de resultados = 13 2 = 11)
28237 es mltiplo 11 ya que la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ( suma de cifras que ocupan lugar impar = 2 + 2 + 7 =11, suma de cifras que ocupan lugar par = 8 + 3 = 11, diferencia de resultados = 11 11 = 0)
ERV: 1, 2, del 7 al 172

MATEMTICAS 2 ESO
3. NMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS * Un nmero es primo si tiene exactamente dos divisores: el 1 y l mismo. Un nmero primo no se puede descomponer en factores. Hay infinitos nmeros primos.* Un nmero es compuesto si tiene ms de dos divisores. Un nmero compuesto se puede descomponer en factores.* El nmero 1 no se considera ni primo ni compuesto. Observa que solo tiene un divisor, el propio 1.* Los nmeros primos menores que 100 son:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.* Para saber si un nmero "a" es primo puedes utilizar el WIRIS. Escribe DIVISORES(a).
Ejemplos:
Los divisores de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 30 es un nmero COMPUESTO y sus posibles descomposiciones en factores son 30 = 215 = 56 =235 =
Sin embargo, los divisores de 11 son : 1 y 11 11 es PRIMO
ERV: 3, del 18 al 21
4. FACTORIZACIN O DESCOMPOSICIN DE UN NMERO EN FACTORES PRIMOS * La factorizacin de un nmero consiste en expresarlo como producto de nmeros primos.* Si el nmero es pequeo, el procedimiento para descomponer es sencillo y se hace mentalmente. * Si el nmero es grande, el procedimiento para descomponer es el siguiente:
a) Se escribe el nmero y, a su derecha, se pone una raya vertical.b) Si el nmero termina en ceros, se puede dividir por 10 = 2 5. A la derecha de la raya vertical, se pone 2 5 elevado, cada uno de ellos, al nmero de ceros finales que tenga el nmero.c) Se sigue dividiendo cada cociente obtenido por el menor nmero primo, 2, 3, 5, que sea divisor, tantas veces como se pueda.d) Se termina cuando de cociente se obtenga 1.
* Cada uno de los mltiplos de un nmero contiene, al menos, todos los factores primos de dicho nmero.* Los divisores de un nmero estn formados por algunos de los factores primos de dicho nmero.* Para factorizar un nmero "a" con WIRIS escribe FACTORIZAR(a)
Ejemplos:
a) Para nmeros pequeos como 6 12 lo haremos de cabeza:
326 =
3212 2 =
b) Para nmeros grandes como 924, seguimos el procedimiento:
ERV: 4, del 22 al 25
3

MATEMTICAS 2 ESO
5. MXIMO COMN DIVISOR DE DOS O MS NMEROS * El mximo comn divisor de varios nmeros, a, b, c, ... es el mayor de sus divisores comunes, y se escribe as: MCD(a,b,c, ...)* Si los nmeros son pequeos, el procedimiento para hallar el MCD es sencillo y se hace mentalmente buscando el mayor divisor comn de ellos. * Si los nmeros son grandes, el procedimiento para hallar el MCD es el siguiente:
a) Se descomponen los nmeros a, b, c ... factorialmente.b) El MCD(a,b,c,...) es el resultado de multiplicar los factores primos comunes en todas las
descomposiciones factoriales anteriores, elevado cada uno al menor exponente con el que aparece.* Dos nmeros a y b se dice que son primos entre s no tiene divisores comunes y por tanto si 1),( =baMCD* Para hallar MCD(a,b,c, ...) con WIRIS escribe MCD(a,b,c, ...)
Ejemplos:
a) Para nmeros pequeos como 4 y 6 lo haremos de cabeza:
2)6,4( =MCD , porque 2 es el mayor divisor de 4 y de 6 a la vez
b) Para nmeros grandes como 100 y 120, seguimos el procedimiento:
( ) 2052120,100532120
52100 23
22==
=
=MCD
6. MNIMO COMN MLTIPLO DE DOS O MS NMEROS * El mnimo comn mltiplo de varios nmeros, a, b, c, ... es el menor de sus mltiplos comunes, y se escribe as: mn.c.m. {a, b, c, ...)* Si los nmeros son pequeos, el procedimiento para hallar el MCM es sencillo y se hace mentalmente buscando el menor mltiplo comn de ellos. * Si los nmeros son grandes, el procedimiento para hallar el MCM es el siguiente:
a) Se descomponen los nmeros a, b, c ... factorialmente.b) El MCM(a,b,c,...) es el resultado de multiplicar los factores primos comunes en las descomposiciones
factoriales anteriores, elevado cada uno al mayor exponente con el que aparece y los factores primos no comunes.* Se verifica siempre que babaMCMbaMCD = ),(),( y por tanto, si dos nmeros a y b son primos entre s entonces babaMCM =),( y 1),( =baMCD* Para hallar MCM(a,b,c, ...) con WIRIS escribe MCM(a,b,c, ...)
Ejemplos:
a) Para nmeros pequeos como 4 y 6 lo haremos de cabeza:
24)6,4( =MCM , porque 24 es el menor mltiplo de 4 y 6 a la vez
b) Para nmeros grandes como 45 y 60, seguimos el procedimiento:
( ) 18053260,4553260
5345 222
2==
=
=MCM
ERV: 5, 6 del 26 al 84
4

Bloque I. Nmeros y medidas. Tema 1: La relacin de divisibilidad. EJERCICIOS RESUELTOS EN VDEO EN www.josejaime.com/videosdematematicas
EJERCICIOS RESUELTOS EN VDEO
EJERCICIOS TERICOS BSICOS SOBRE DIVISIBILIDAD (del 1 al 6)1. (1 ESO) La relacin de divisibilidad.
a) Explica la relacin de divisibilidad entre nmeros naturales.b) Explica con claridad porqu 518 es mltiplo de 37.c) Explica con claridad porqu 23 es divisor de 345.d) Encuentra, al menos, cuatro parejas de nmeros emparejados por la relacin de divisibilidad entre los nmeros: 420, 12, 70, 90, 11, 9, 18, 156, 6, 21.e) Busca entre estos nmeros: 5, 10, 15, 20, 30, 35, 45, 60, 75, 90. e1) Todos los que sean divisores de 90. e2) Todo

Bloque I. Números y medidas. Tema 1: La relación de ... · PDF file* Los...

Documents

Transcript of Bloque I. Números y medidas. Tema 1: La relación de ... · PDF file* Los...