Bárbara Cánovas Conesa 1 637 720 113clasesalacarta.com/files/julio-2018-mat-cc.pdf · a) Calcula...

Bárbara Cánovas Conesa

637 720 113 www.clasesalacarta.com 1

Julio 2018

Después de la administración por vía oral de un fármaco, la concentración de este en sangre sigue el modelo: 𝐶(𝑡) =

𝑎𝑡2 𝑒−𝑏𝑡; donde 𝑡 ∈ [0;+∞) es el tiempo en horas transcurridas desde la administración y 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ a) Determina los valores de 𝑎 y 𝑏 para que el modelo de la concentración tenga un extremo relativo en el punto

(2; 8𝑒−2). b) Según el modelo anterior, ¿a qué valor tiende la concentración de este fármaco a largo plazo? Interpreta el

resultado. Nota: A largo plazo se entiende como que 𝑡 → +∞.

Que la función 𝐶(𝑡) tenga un mínimo relativo en el punto (2; 8𝑒−2), implica que 𝐶(2) = 8𝑒−2 y que 𝐶’(2) = 0, por lo que:

𝐶(2) = 8𝑒−2 → 4𝑎 𝑒−2𝑏 = 8𝑒−2 → 𝒂 𝒆−𝟐𝒃 = 𝟐𝒆−𝟐

𝐶′(𝑡) = 2𝑎𝑡 𝑒−𝑏𝑡 − 𝑎𝑡2 𝑏𝑒−𝑏𝑡 → 𝐶′(𝑡) = 𝑎𝑡 𝑒−𝑏𝑡 (2 − 𝑏𝑡)𝐶′(2)=0→ 2𝑎 𝑒−2𝑏(2 − 2𝑏) = 0 → 𝒂 𝒆−𝟐𝒃(𝟏 − 𝒃) = 𝟎 →

{2𝑎 𝑒−2𝑏 = 0

𝑏 − 1 = 0 → 𝒃 = 𝟏

Por último, sustituimos en la primera ecuación para hallar a:

𝑎 𝑒−2 = 2𝑒−2 → 𝒂 = 𝟐

Por tanto, la ecuación queda: 𝑪(𝒕) = 𝟐𝒕𝟐 𝒆−𝒕

Para saber a qué valor tiende la concentración del fármaco, hacemos el límite en el infinito de la función:

𝑙𝑖𝑚𝑡→ +∞

2𝑡2

𝑒𝑡=

∞

∞

𝑳´𝑯ô𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍→ 𝑙𝑖𝑚

𝑡→ +∞

4𝑡

𝑒𝑡=

∞

∞

𝑳´𝑯ô𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍→ 𝑙𝑖𝑚

𝑡→ +∞

4

𝑒𝑡=

4

∞= 𝟎

Es decir, con el tiempo, el fármaco tiende a desaparecer en sangre.

Dada la función: 𝑓(𝑥) = {𝑥2+𝑎

𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑏𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

a) Calcula razonadamente los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que 𝑓(𝑥) sea derivable en todo R.

b) Calcula razonadamente el parámetro b para que ∫ 𝑓(𝑥)2

1 𝒹𝑥 = 4

Para que la función sea derivable en todo R, primero tiene que ser continua, con lo que:

𝑙𝑖𝑚𝑥→0−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

𝑓(𝑥) = 𝑓(0) →

{


𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0−

𝑥2 + 𝑎

𝑥 − 1= −𝒂

𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

𝑓(𝑥) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

𝑏𝑥 − 1 = −𝟏

𝑓(0) = −𝟏

→ −𝑎 = −1 → 𝒂 = 𝟏

El valor de 𝑏 lo calculamos sabiendo que la función tiene que ser derivable, esto es:


𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

𝑓′(𝑥) → 𝑓′(𝑥) = {𝑥2 − 2𝑥 − 1

(𝑥 − 1)2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

→ {𝑙𝑖𝑚𝑥→0−

𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0−

𝑥2 − 2𝑥 − 1

(𝑥 − 1)2= −𝟏

𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

𝑓′(𝑥) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+

𝑏 = 𝒃 → 𝒃 = −𝟏

Con lo que la función queda: 𝑓(𝑥) = {𝑥2+1

𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

−𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

Ahora calculamos la integral definida entre 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2, para ello trabajamos con 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 − 1. Primero trabaja

∫ 𝑏𝑥 − 12

1

𝒹𝑥 = 4 → [𝑏𝑥2

2− 𝑥]

1

2

= 4 → (2𝑏 − 2) − (𝑏

2− 1) = 4 →

3𝑏

2− 1 = 4 → 𝒃 =

𝟏𝟎

𝟑

www.clasesalacarta.com 2

EvAU _ Matemáticas CC _ CLM

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro 𝑎 ℝ 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −4

𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 = 𝑎2 − 3}

b) Resuélvelo razonadamente para el valor 𝑎 = −3 Lo discutimos en base al teorema de Rouché Fröbenius: “la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada”. Por tanto, estudiamos los rangos de las dos matrices. Primero estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes, en función del parámetro a:

|𝑀| = |1 −1 −11 2 11 −4 −3

| = 0 → 𝑅𝑔(𝑀) ≤ 2 → |1 −11 2

| = 3 ≠ 0 → ∀ 𝒂 ∈ ℝ: 𝑹𝒈(𝑴) = 𝟐

Estudiamos el rango de la matriz ampliada en función del parámetro a:

|𝑀∗| = |1 −1 −11 2 11 −4 −3

1−4

𝑎2 − 3| → |𝐶1; 𝐶2; 𝐶4| = 3𝑎2 − 27

|𝑴∗| = 𝟎→ 3𝑎2 − 27 = 0 → 𝒂 = ±𝟑 → ∀ 𝒂 ℝ − {±𝟑}: 𝑹𝒈(𝑴∗) = 𝟑

Por tanto, según Roché-Frobenius: a R – {3}: Rg(M) = 2 Rg(M*) = 3 SI

a = 3: Rg(M) = Rg(M*) = 2 nº incógnitas SCI

Para 𝑎 = −3, el sistema es compatible indeterminado, lo resolvemos por Gauss:

𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −4𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 = 6

} → (1 −1 −11 2 11 −4 −3

|1−46

) → 𝐸1 − 𝐸2

𝐸1 − 𝐸3

→ (1 −1 −10 −3 −20 3 2

|15−5

)

La segunda y la tercera ecuación son la misma, por tanto:

𝒛 = 𝝀 → {𝑥 − 𝑦– 𝜆 = 1−3𝑦 − 2𝜆 = 5

→ 𝒚 =−𝟐𝝀 − 𝟓

𝟑 → 𝒙 =

𝝀 − 𝟐

𝟑 → 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐. (

𝝀 − 𝟐

𝟑,−𝟐𝝀 − 𝟓

𝟑, 𝝀)

Dados los puntos 𝐴 (−1,3,0), 𝐵(2,0,−1) y la recta intersección de los planos 𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 y 𝛽 2𝑦 + 𝑧 = 0:

a) Calcula la distancia del punto 𝐴 a la recta 𝑟. b) Encuentra razonadamente el punto de la recta 𝑟 cuya distancia al punto 𝐴 sea mínima. c) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por 𝐴 y 𝐵 sea paralelo a la recta r.

La ecuación general de la recta 𝑟 que es intersección de los dos planos dados es:

𝑟 ≡ {𝑥 − 2𝑦 − 6 = 02𝑦 + 𝑧 = 0

Para calcular la distancia del punto A a la recta 𝑟, podemos calcular el plano perpendicular a dicha recta y que pase por dicho punto. Después hallamos el punto intersección entre la recta 𝑟 y el plano . Por último, la distancia del punto a la recta será la misma que la del módulo del vector formado por los puntos A y P.

El vector normal del plano es el mismo que el director de la recta, por tanto, primero calculamos dicho vector:

𝑑𝑟 = (1,−2,0) × (0,2,1) → �⃗⃗⃗�𝒓 = (−𝟐,−𝟏, 𝟐)

Es decir, la ecuación general del plano será:

A

P

r



Julio 2018

�⃗⃗�𝛾 ∥ (−2,−1,2) → �⃗⃗�𝛾 = (2,1,−2) → 𝛾 ≡ 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 𝐷 = 0𝐴 (−1,3,0)→ 𝛾 ≡ −2 + 3 + 𝐷 = 0 → 𝜸 ≡ 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟏 = 𝟎

El punto intersección lo calculamos sustituyendo el punto genérico de la recta r en la ecuación del plano, por lo que primero pasamos la ecuación general de la recta 𝑟 a la forma paramétrica:

𝑹 = (𝟎, −𝟑, 𝟔) → 𝒓 {𝒙 = −𝟐𝝀 𝒚 = −𝟑 − 𝝀𝒛 = 𝟔 + 𝟐𝝀

Sustituyendo:

2(−2𝜆) + (−3 − 𝜆) − 2(6 + 2𝜆) − 1 = 0 → 𝜆 =−16

9→ 𝑷 = (

𝟑𝟐

𝟗,−

𝟏𝟏

𝟗,𝟐𝟐

𝟗)

Por tanto, la distancia entre el punto y la recta será:

𝑑(𝐴, 𝑟) = |𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(32

9+ 1)

2

+ (−11

9− 3)

2

+ (22

9)2

→ 𝒅(𝑨, 𝒓) =√𝟒𝟎𝟏

𝟑𝒖

El punto de la recta 𝑟 cuya distancia al punto 𝐴 es mínima, es el punto 𝑃 calculado anteriormente, ya que se trata de la proyección del punto 𝐴 sobre la recta 𝑟:

𝑷 = (𝟑𝟐

𝟗,−

𝟏𝟏

𝟗,𝟐𝟐

𝟗)

El plano pedido tendrá como vector normal uno perpendicular a la vez al

vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ y al vector director de la recta 𝑟 . Por lo que podemos calcularlo haciendo el producto vectorial de ambos vectores.

Y como punto cogemos el punto A.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (3,−3,−1) → �⃗⃗�𝛿 = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�3 −3 −1−2 −1 2

| → �⃗⃗�𝛿 = (−7,−4,−3) ∥ (7,4,3) → 𝛿 7𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 + 𝐷

= 0𝐴=(2,−3,1)→ 14 − 12 + 3 + 𝐷 = 0 → 𝑫 = −𝟓 → 𝜹 𝟕𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟓 = 𝟎

a) En una tienda de lámparas tienen tres proveedores A, B y C. A suministra el 20 %, B el 10% y C el resto. De las lámparas de A salen defectuosas el 5 %, de las de B el 4% y de las de C el 2 %. Elegida una lámpara al azar de la tienda, calcula razonadamente la probabilidad de:

a1) No salgan defectuosas. a2) Si resultó defectuosa, que fuera suministrada por B.

b) Una parte de un examen consta de cinco peguntas tipo test. Se aprueba dicha parte si contestas correctamente al menos tres preguntas. Calcula razonadamente la probabilidad de aprobar dicha parte, contestando al azar, cuando:

b1) Cada respuesta tiene dos ítems, solamente uno verdadero. b2) Cada respuesta tiene cuatro ítems, solamente uno verdadero.

Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos:

- A = “lámpara suministrada por A”

- B = “lámpara suministrada por B”

- C = “lámpara suministrada por C”

- D = “lámpara defectuosa”

- D̅ = “lámpara no defectuosa”

A

r

B



Para calcular la probabilidad de que una lámpara elegida al azar no sea defectuosa, usamos el teorema de la probabilidad total:

𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐴|𝐷) + 𝑃(𝐵) · 𝑃(𝐵|𝐷) + 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝐶|𝐷) = 0.2 · 0.05 + 0.1 · 0.04 + 0.7 · 0.02

→ 𝑷(𝑫) = 𝟎. 𝟎𝟐𝟖

Para calcular la probabilidad de que siendo defectuosa, haya sido suministrada por la máquina B, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:

𝑃(𝐵|𝐷) =𝑃(𝐵 ∩ 𝐷)

𝑃(𝐷)=

𝑃(𝐷|𝐵) · 𝑃(𝐵)

𝑃(𝐷)=

0.04 · 0.1

0.028→ 𝑷(𝑩|𝑫) = 𝟎. 𝟏𝟒𝟑

En el apartado b) empleamos la distribución Binomial. Siendo X = “contestar bien a una pregunta del examen”, sigue una distribución binomial: 𝑋 ≅ 𝐵𝑖𝑛 (5, 𝑝) En el apartada b.1, la probabilidad de contestar bien una pregunta es: 𝑝 = 0.5. Por tanto: 𝑋 ≅ 𝐵𝑖𝑛 (5,0.5). La probabilidad de aprobar el examen será:

𝑿~𝑩𝒊𝒏 (𝟓, 𝟎. 𝟓) → 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5)𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎→ 0.3125+ 0.1563 + 0.0313 → 𝑷(𝑿 ≥ 𝟑) = 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟏

En el apartada b.2, sin embargo, la probabilidad de contestar bien una pregunta es: 𝑝 = 0.25. Por tanto: 𝑋 ≅ 𝐵𝑖𝑛 (5,0.25). La probabilidad de aprobar el examen será:

𝑿~𝑩𝒊𝒏 (𝟓, 𝟎. 𝟐𝟓) → 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5)𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎→ 0.0879+ 0.0146 + 0.0010 → 𝑷(𝑿 ≥ 𝟑) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟑𝟓

a) Determina razonadamente el punto (𝑥; 𝑦) de la parábola 𝑦 = 𝑥2 + 1 en el que la suma de sus coordenadas alcanza su mínimo valor.

b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la parábola dada en el punto de abscisa

𝑥 = −1

2.

La función a optimizar (minimizar) es 𝑆(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦, trabajamos con su primera derivada. Pero antes sustituimos el valor de 𝑦 dado en función de 𝑥: 𝑦 = 𝑥2 + 1:

𝑆(𝑥) = 𝑥 + 𝑥2 + 1 → 𝑆′(𝑥) = 1 + 2𝑥𝑆′(𝑥)=0→ 1 + 2𝑥 = 0 → 𝒙 = −

𝟏

𝟐

Para comprobar que para este valor de x la función suma es mínima, trabajamos con la segunda derivada:

𝑆′′(𝑥) = 2 → 𝑺′′(𝒙) > 𝟎

Por lo tanto, el valor de x pedido es 𝒙 = −𝟏

𝟐 y el de la otra variable será:

𝑦 = 𝑥2 + 1 → 𝒚 =𝟓

𝟒

Siendo el punto pedido −𝟏

𝟐,𝟓

𝟒

Siendo la parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, la ecuación de la recta normal a una función en un punto es: 𝑦 − 𝑦0 =−1

𝑓′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0)

𝑥0 = −1

2

𝑦0 = 𝑓(𝑥0) = −1

2 2

+ 1 → 𝒚𝟎 =𝟓

𝟒

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 → 𝒇′(𝒙𝟎) = −𝟏 Por tanto, la ecuación normal será:

𝑦 −5

4=

−1

−1 (𝑥 +

1

2) → 𝒚 = −𝒙 +

𝟕

𝟒

0,2

B

D

0,04

0,96

AD0,05

0,95

C D

D0,98

0,020,7

D

D0,1



Julio 2018

Calcula razonadamente las siguientes integrales:

a) ∫2𝑥3−𝑥2+2

𝑥2−𝑥 𝒹𝑥

b) ∫ ∫(2𝑥 − 3) 𝑒𝑥−1 𝒹𝑥2

1

La primera es una integral racional, donde el denominador tiene menor grado que el numerador, por lo que:

2x3 - x2 + 0 + 2 x2 - 1

2x3 - 2x 2x - 1 - x2 + 2x + 2 - x2 + 1

2x + 1

𝐼 = ∫2𝑥 − 1 +2𝑥 + 1

𝑥2 − 1𝒹𝑥 = 𝒙𝟐 − 𝒙 + ∫

2𝑥 + 1

𝑥2 − 1𝒹𝑥

Nos vuelve a quedar una integral racional:

2𝑥 + 1

𝑥2 − 1=

2𝑥 + 1

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)=

𝐴

𝑥 + 1+

𝐵

𝑥 − 1→

2𝑥 + 1

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)=

𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1)

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)→ 2𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1)

→ {𝑥 = 1 → 𝑩 =

𝟑

𝟐

𝑥 = −1 → 𝑨 =𝟏

𝟐

∫2𝑥 + 1

𝑥2 − 1 𝒹𝑥 = ∫

12

𝑥 + 1 𝒹𝑥 + ∫

32

𝑥 − 1 𝒹𝑥 =

1

2 𝐿𝑛 |𝑥 + 1| +

3

2𝐿𝑛|𝑥 − 1| = 𝑳𝒏√

𝒙 + 𝟏

(𝒙 − 𝟏)𝟑

Por tanto, la integral pedida es:

𝑰 = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝑳𝒏√𝒙 + 𝟏

(𝒙 − 𝟏)𝟑+ 𝑪

En el apartado b nos piden una integral definida, pero primero calculamos la integral indefinida, lo hacemos por partes:

∫(2𝑥 − 3) 𝑒𝑥−1 𝒹𝑥 → |𝑢 = 2𝑥 − 3

𝒹𝑣 = 𝑒𝑥−1 𝒹𝑥 𝒹𝑢 = 2 𝒹𝑥

𝑣 = 𝑒𝑥−1→ 𝐼 = (2𝑥 − 3) 𝑒𝑥−1 − ∫𝑒𝑥−1 2 𝒹𝑥 = (2𝑥 − 3) 𝑒𝑥−1 − 2∫𝑒𝑥−1 𝒹𝑥

= (2𝑥 − 3) 𝑒𝑥−1 − 2 𝑒𝑥−1 → 𝑰 = 𝒆𝒙−𝟏(𝟐𝒙 − 𝟓) + 𝑪

Por lo que la integral definida queda:

∫(2𝑥 − 3) 𝑒𝑥−1 𝒹𝑥

2

1

= [𝑒𝑥−1(2𝑥 − 5)]12 = [𝑒(−1)] − [1(−3)] → 𝑰 = −𝒆 + 𝟑

Dadas las matrices 𝐴 = 1 −30 1

y 𝐼 = 1 00 1

a) Halla razonadamente dos parámetros 𝑎 y 𝑏 tales que 𝐴2 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐼 b) Calcula razonadamente todas las matrices 𝑋 que verifican que (𝐴 − 𝑋)(𝐴 + 𝑋) = 𝐴2 − 𝑋2

Primero calculamos 𝐴2:

𝐴2 = 1 −30 1

· 1 −30 1

→ 𝑨𝟐 = 𝟏 −𝟔𝟎 𝟏

Ahora ponemos la matriz 𝐴2 como combinación lineal de la matriz 𝐴 y de la matriz identidad, y así calculamos los dos parámetros:

𝐴2 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐼 → 1 −60 1

= 𝑎 1 −30 1

+ 𝑏 1 00 1

→ {

1 = 𝑎 + 𝑏 −6 = −3𝑎 → 𝒂 = 𝟐 0 = 0 1 = 𝑎 + 𝑏 → 𝒃 = −𝟏



Para hallar todas las matrices 𝑋 que nos piden operamos con la ecuación que nos dan:

(𝐴 − 𝑋)(𝐴 + 𝑋) = 𝐴2 − 𝑋2 → 𝐴2 + 𝐴𝑋 − 𝑋𝐴 − 𝑋2 = 𝐴2 − 𝑋2 → 𝐴𝑋 − 𝑋𝐴 = 0 → 𝑨𝑿 = 𝑿𝑨

Con lo que:

𝑋 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

→ 1 −30 1

· 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

· 1 −30 1

→ 𝑎 − 3𝑐 𝑏 − 3𝑑

𝑐 𝑑 =

𝑎 −3𝑎 + 𝑏𝑐 −3𝑐 + 𝑑

Igualando término a término:

{

𝑎 − 3𝑐 = 𝑎 𝑏 − 3𝑑 = −3𝑎 + 𝑏𝑐 = 𝑐 𝑑 = −3𝑐 + 𝑑

→ {

𝒄 = 𝟎𝒅 = 𝒂𝒄 = 𝒄𝒅 = 𝒅

→ 𝑿 = 𝒂 𝒃𝟎 𝒂

Dados los puntos 𝐴(−1,2,0), 𝐵(1,0,−4) y la recta 𝑟 ≡ {𝑥 = 1 − 𝜆𝑦 = 𝜆𝑧 = 3 + 𝜆

𝜆 ∈ ℝ

a) Calcula razonadamente un punto 𝐶 de la recta 𝑟 que forme con 𝐴 y 𝐵 un triángulo isósceles con el lado desigual en 𝐴𝐵.

b) Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a la recta 𝑟 y al vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ y que pase por el punto 𝐴.

Para calcular el vértice 𝐶 del triángulo isósceles, trabajaremos con un punto genérico de la recta 𝑟. Si el lado desigual es el

segmento 𝐴𝐵, significa que el módulo del vector 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ será igual que el módulo del vector 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :

𝐶 = (1 − 𝜆, 𝜆, 3 + 𝜆) → {𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2 + 𝜆, 2 − 𝜆, −3 − 𝜆)

𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝜆,−𝜆, −7 − 𝜆) → |𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | → √(−2 + 𝜆)2 + (2 − 𝜆)2 + (−3 − 𝜆)2

= √(𝜆)2 + (−𝜆)2 + (−7 − 𝜆)2 → 3𝜆2 − 2𝜆 + 17 = 3𝜆2 + 14𝜆 + 49 → 𝝀 = −𝟐

Sustituyendo obtenemos el punto pedido:

𝑪 = (𝟑,−𝟐, 𝟏)

Si la recta que nos piden tiene que ser perpendicular al vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ y a la recta 𝑟, su vector director será perpendicular a

dicho vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ y al vector director de la recta 𝑟, por lo que podemos calcularlo haciendo el producto vectorial de ambos vectores:

𝑑𝑠 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑑𝑟 = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�2 −2 −4−1 1 1

| → �⃗⃗⃗�𝒔 = (𝟐,−𝟔, 𝟎)

Y como punto de la recta cogemos el punto 𝐴:

𝒔 ≡ {𝒙 = −𝟏 + 𝟐𝝁𝒚 = 𝟐 − 𝟔𝝁𝒛 = 𝟎

𝝁 ∈ ℝ

a) En una clase el 80% aprueba la asignatura de Biología, el 70% aprueba la asignatura de Matemáticas y el 60% aprueba Biología y Matemáticas.

a1) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe alguna de las asignaturas? a2) Si se elige un estudiante y ha aprobado Biología, ¿cuál es la probabilidad de que también haya aprobado

Matemáticas? b) Un dispensador de cierto refresco está regulado de manera que cada vez descargue 25 cl de media. Si la cantidad

de líquido dispensado sigue una distribución normal de varianza 4: b1) Calcula razonadamente la probabilidad de que descargue entre 22 y 28 cl. b2) Calcula razonadamente la capacidad mínima de los vasos que se usen, redondeada a cl, para que la

probabilidad de que se derrame el líquido sea inferior al 2,5 %.



Julio 2018

Para responder a las preguntas del apartado a), llamamos a los sucesos:

- B = “aprobar biología”

- M = “aprobar matemáticas” Las probabilidades que nos da el problema son:

𝑃(𝐵) = 0.8 𝑃(𝑀) = 0.7 𝑃(𝐵 ∩𝑀) = 0.6

La probabilidad de que apruebe alguna de las dos asignaturas es la probabilidad de la unión de los dos sucesos, que son independientes, por lo que:

𝑃(𝐵 ∪𝑀) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝑀) − 𝑃(𝐵 ∩𝑀) = 0.8 + 0.7 − 0.6 → 𝑷(𝑩 ∪𝑴) = 𝟎. 𝟗

La probabilidad de que si ha aprobado biología, también apruebe matemáticas es una probabilidad condicionada:

𝑃(𝑀|𝐵) =𝑃(𝑀 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=

0.6

0.8→ 𝑷(𝑴|𝑩) = 𝟎. 𝟕𝟓

En el apartado b) empleamos la distribución Normal.

Si designamos la variable X = “cl de refresco dispensado” y siendo la 𝜎 = √4 = 2 , sigue una distribución normal: 𝑁 (𝜇, 𝜎)

𝑿~𝑵 (𝟐𝟓,𝟐)

La probabilidad de que descargue entre 22 y 28 cl será:

𝑃(22 < 𝑋 > 28)𝑻𝒊𝒑𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔→ 𝑃 (

22 − 25

2<

𝑋 − 𝜇

𝜎<

28 − 25

2) = 𝑃(−1.5 < 𝑍 < 1.5)

Si nos fijamos en la curva de la distribución normal tipificada vemos como, al ser el área debajo de la curva igual a 1:

𝑃(−1.5 < 𝑍 < 1.5) = 𝑃(𝑍 < 1.5) − 𝑃(𝑍 < −1.5)

= 𝑃(𝑍 < 1.5) − [1 − 𝑃(𝑍 < 1.5)]𝑩𝒖𝒔𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂→ 0.9332 − (1 − 0.9332) → 𝑷(𝟐𝟐 < 𝑿 < 𝟐𝟖) = 𝟎. 𝟖𝟔𝟔𝟒

La capacidad mínima de los vasos será el valor de 𝑘 tal que 𝑃(𝑋 > 𝑘) < 0.025 :

𝑃(𝑋 > 𝑘) = 0.025 → 𝑃(𝑋 < 𝑘) = 1 − 0.025 → 𝑃(𝑋 < 𝑘) = 0.975 → 𝑻𝒊𝒑𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔→ 𝑃 (

𝑋 − 𝜇

𝜎<

𝑘 − 25

2) = 0.975

𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂→

𝑘 − 25

2

= 0.975 →𝑘 − 25

2= 1.96 → 𝒌 = 𝟐𝟖. 𝟗𝟐

Es decir, la capacidad mínima para que no haya derrames es de 29 cl.

1,5-1,5

Bárbara Cánovas Conesa 1 637 720 113clasesalacarta.com/files/julio-2018-mat-cc.pdf · a) Calcula...

Documents

Transcript of Bárbara Cánovas Conesa 1 637 720 113clasesalacarta.com/files/julio-2018-mat-cc.pdf · a) Calcula...