Calculo Aplicado 2aed Hughes-hallett Et Al

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, ,

CALCULO APLICADO CALCULO APLICADO


GRFICAS DE FAMILIAS DE FUNCIONES

Funcin lineal yy

=

b

+ mxy

b

m>

O

m

cantidad, por que 1 = Si el precio no depende de la cantidad vendida, entonces p es una constante; la grfica del ingreso como una constante; precio depende cantidad vendida, entonces p grfica ingreso como funcin una recta que pasa por origen, pendiente igual precio funcin de q es una recta que pasa por el origen, con pendiente igual al precio p.radios venden cada trace una grfica funcin ingresos fabricante. IndiEjemplo 3 Si los radios se venden a $15 cada uno, trace una grfica de la funcin de ingresos del fabricante. IndiEjemplo que precio radio grfica. que el precio de un radio en la grfica. Puesto I(q) = pq = 15q, grfica ingreso una recta que pasa por origen con una pendiente Solucin Solucin Puesto que I(q) = pq = l 5q, la grfica de ingreso es una recta que pasa por el origen con una pendiente Vase figura precio pendiente recta. de 15. Vase la figura 1.44. El precio es la pendiente de la recta.1($) 1($) q,

entonces entonces

60 6045

1 (q) 1 (q)

30 15 15

___ ___ i~

1 115

= =

Precio por unidad por unidad

~I

1 unidad "-----'-----,--'---'------'-, q (cantidad) , (cantidad) 2 33 44 1 2 Figura 1.44. Funcin ingreso para empresa fabricante radios. Figura 1.44. Funcin de ingreso para la empresa fabricante de radios .I I

Ejemplo Dibuje las grficas funcin costos C(q) = 24,000 7q Y funcin ingreso I(q) = 15q Ejemplo 4 Dibuje las grficas de la funcin de costos C(q) = 24,000 + 7 q Y la funcin de ingreso I(q) = 15q en un mismo sistema coordenadas. Para cules valores empresa obtiene ganancias? Explique grfimismo sistema de coordenadas. Para cules valores de q la empresa obtiene ganancias? Explique grficamente respuesta. camente su respuesta.


24

Clculo aplicado Clculo aplicado

Solucin Solucin

La empresa obtiene ganancias siempre que los ingresos sean mayores que los costos, de modo que busmodo que busempresa obtiene ganancias siempre que ingresos sean mayores que los costos, camos hallar los valores de q para los cuales la grfica de I(q) se encuentre arriba de la grfica de C(q). valores I(q) la grfica C(q). camos hallar para cuales grfica encuentre arriba Vase figura 1.45. Vase la figura 1.45. Encontramos el punto en el cual las grficas de I(q) y C(q) se cruzan: Encontramos punto cual las grficas C(q) cruzan: Ingreso Ingreso= Costo = Costo

15q = 24,000 = 24,000 8q = 24 ,000 = 24,000

+ 7q

q = 3,000. = 3,000.

Por tanto, la empresa obtiene ganancias si produce y vende ms de 3,000 radios. La empresa pierde diPor tanto, empresa obtiene ganancias produce vende ms 3,000 radios. La empresa pierde nero si produce y vende menos de 3,000 radios. nero produce vende menos 3,000 radios.$1 (q ) = 15q (q) =

-.

70,000 70,000

C (q) = 24 ,000 C(q) = 24,000

+7q +

I I I I q Punto de beneficio nulo 7,000 Punto de beneficio nulo 7,000 Figura 1.45. Funciones de costo e ingreso para la empresa fabricante de radios. Qu valores de q generan utilidad? generan utilidad? Figura 1.45. Funciones costo ingreso para empresa fabricante radios. Qu valoresI I I I

Funcin de ganancia Funcin de gananciafrecuente que tomen decisiones considerando utilidad, usualmente denotada por 7r24 para distinEs frecuente que se tomen decisiones considerando la utilidad, usualmente denotada por 7f24 para distinguirla precio, p. Tenemos guirla del precio, p . Tenemos Ganancia Ganancia= ingreso = ingreso - costo costo

que tal que

7f = 7r =

1 - C.

beneficio nulo para una empresa aquel donde utilidad El punto de beneficio nulo para una empresa es aquel donde la utilidad es cero y el ingreso es igual al cospunto ingreso igual beneficio nulo puede referirse cantidad to. El punto de beneficio nulo puede referirse ya sea a una cantidad q en la cual el ingreso es igual al costo, punto ingreso igual costo, o a un punto en una grfica. punto grfica.

Ejemplo 5 Encuentre una frmula para la funcin de utilidad para el productor de radios. Trace una grfica de ella ella 5 Encuentre una frmula para funcin utilidad para productor radios. Trace una grfica y marque el punto de beneficio nulo. marque punto beneficio nulo.Solucin Solucin

Como I(q) = 15q Y C(q) Como I(q) = C(q)

= 24,000 = 24,000

+ 7q, tenemos que tenemos que15q- (24,000 -24,000+8q. = 15q- (24,000 + 7q) = -24,000 + 8q.

7f(q) 7r(q)

Observe que valor negativo costos est representado por punObserve que el valor negativo de los costos fijos est representado por la ordenada en el origen y el punordenada origen beneficio nulo abscisa origen. Vase figura l.46. to de beneficio nulo es la abscisa en el origen. Vase la figura 1.46. 7f ($) 7f($) 7f(q) = - 24 ,000 7f(q) = -24,000

+ 8q

I--+-+---,.r--+-+-+--I --+-1 q (cantidad) f---+-+-7i"- -+--t-t-1--+ q (cantidad) 1 7,000

-24,000 ,-24,000,-

Figura 1.46. Utilidad para el fabricante de radios. Figura 1.46. Utilidad para fabricante radios.24Esta 'Ir nada tiene que ver con el rea de un crculo y simplemente representa la equivalente griega de la letra " p". 24Esta 'Ir nada tiene que ver con rea crculo simplemente representa equivalente griega de letra "p".


Captulo 1 / Funcionesy cambio

25

Ejemplo 6 (a) Usando la tabla 1.19 calcule el punto en el que esta empresa no obtiene ganancias ni prdidas.(b) Encuentre la ganancia de la empresa si fabrica 1,000 unidades. (e) A qu precio cree usted que la empresa venda su producto?

Tabla 1.19q C(q) 1 (q)

Estimaciones de la empresa sobre costo e ingreso de un producto500 5,000 4,000 600 5,500 4,800 700 6,000 5,600 800 6,500 6,400 900 7,000 7,200 1000 7,500 8,000 1100 8,000 8,800

Solucin

(a) El punto de beneficio nulo es el valor de q para el cual el ingreso es igual al costo. Como el ingreso es menor al costo en q = 800 Y el ingreso es mayor al costo en q = 900, el punto en el que no se obtienen ganancias ni prdidas se encuentra entre 800 y 900. Los valores en la tabla indican que este punto es ms cercano a 800, porque el costo y el ingreso son ms cercanos en este punto. Una estimacin razonable para el punto en el que no se obtienen prdidas ni ganancias es q = 830. (b) Si la empresa fabrica 1,000 unidades, el costo es de $7,500 y el ingreso de $8,000, por lo que la ganancia sera de 8,000 - 7,500 = 500 dlares. (e) Con base en los datos anteriores, parece que I(q) ducto a $8.=

8q. Esto indica que la empresa vende cada pro-

Costo marginal,

ingreso marginal y ganancia marginal

En economa y administracin los trminos costo marginal, ingreso marginal y ganancia marginal se usan para referirse a la razn de cambio del costo, ingreso y ganancia, respectivamente. El trmino marginal se utiliza para resaltar la razn de cambio como indicador de la forma en que el costo, el ingreso, o la ganancia cambian en respuesta a un cambio unitario (es decir, marginal) de la variable independiente. Por ejemplo, para las funciones costo, ingreso y beneficio del fabricante de radios, el costo marginal es de 7 dlares/unidad (el costo adicional de producir una unidad ms es de $7), el ingreso marginal es de 15 dlares/unidad (el ingreso adicional por vender una unidad ms es de $15) y la utilidad marginal es de 8 dlares/unidad (la utilidad adicional por vender una unidad ms es de $8).

Funcin de depreciacinSupongamos que la empresa fabricante de radios tiene una mquina que cuesta $20,000. Los administradores de la empresa planean conservar la mquina durante 10 aos y despus venderla a $3,000. Decimos que el valor de la mquina sedeprecia de su valor actual de $20,000 a un valor de reventa de $3,000 dentro de 10 aos. La frmula de depreciacin da el valor, V(t), de la mquina como funcin del nmero de aos, t, a partir del ao en que la mquina fue adquirida. Suponemos que el valor de la mquina se deprecia linealmente. El valor de la mquina cuando es nueva (t = O) es de $20,000, por lo cual VeO) = 20,000. El valor de reventa en el tiempo t = 10 es de $3,000, de ah que V(lO) = 3,000. Tenemos - 3,000 - 20,000 _ -17,000 P en di lente - m. 10 - O 10 7000 - -1, .=

Esta pendiente nos dice que el valor de la mquina disminuye a razn de $1,700 por ao. Puesto que VeO) 20,000, la ordenada en el origen es 20,000, por lo cualV(t) = 20,000 -

1,700t.

Curvas de oferta y demandaLa cantidad, q, de un artculo que se fabrica y vende depende de su precio, p. Suele suponerse que a medida que aumenta el precio, los fabricantes estn dispuestos a ofrecer ms del producto, y cae la demanda del consumidor. Como fabricantes y consumidores reaccionan de forma distinta a cambios en el precio, hay dos curvas que relacionan p y q.


26

Clculo aplicad o Clculo aplicado

La curva de oferta, para un artculo dado, representa la forma en que la cantidad, q, del artculo oferta, para artculo dado, representa forma que cantidad, artculo La curva que los fabricantes estn dispuestos a hacer por unidad de tiempo y dependiendo del precio, p, al que fabricantes estn dispuestos hacer por unidad tiempo dependiendo precio, cual se pudiera vender el artculo. cual pudiera vender artculo. curva demanda representa forma que cantidad, artculo que demandan La curva de demanda representa la forma en que la cantidad, q, de un artculo que demandan consumidores por unidad tiempo dependiendo precio, artculo. los consumidores por unidad de tiempo y dependiendo del precio, p, del artculo. Con frecuencia, economistas consideran las cantidades ofrecidas demandadas como funciones Con frecuencia, los economistas consideran las cantidades ofrecidas y demandadas como funciones precio. economistas ponen precio variable independiendel precio. Sin embargo, por razones histricas, los economistas ponen el precio (la variable independienembargo, por razones histricas, sobre vertical cantidad variable dependiente) sobre horizontal. (La razn este te) sobre el eje vertical y la cantidad (la variable dependiente) sobre el eje horizontal. (La razn de este hecho es que los economistas originalmente tomaron al precio como la variable dependiente y lo pusieprecio como hecho que economistas originalmente tomaron variable dependiente pusiecambiaron.) Por ron en el eje vertical. Posteriormente, cuando esta concepcin cambi, los ejes no cambiaron.) Por tanvertical. Posteriormente, cuando esta concepcin cambi, los ejes to, las curvas de oferta y demanda se asemejan a las que se muestran en la figura 1.47. curvas oferta demanda asemejan figura to, que muestranp (precio/unidad) (precio/unidad) p (precio/unidad) (precio/unidad)

Pl

Oferta DemandaPo PI1

I_ - -- -- -- -- -- -- -

_

q (cantidad) (cantidad)

L'-----------=~.-

--=~._q (cantidad) q (cantidad)ql

Figura 1.47. Curvas de oferta y demanda. 1.47. Curvas oferta y demanda.

Ejemplo 7 Cul es el significado econmico de los precios Po y p y la cantidad q de la figura 1.47? 7 Cul significado econmico precios Pj cantidad qj figura 1.47?

Solucin Solucin

El eje vertical corresponde a una cantidad de cero. Como el precio Po es la interseccin con el eje vertivertivertical corresponde una cantidad cero. Como precio interseccin con curva demanda, precio cual cantidad ofrecida cero, decir, menos cal de la curva de demanda, Po es el precio al cual la cantidad ofrecida es cero, es decir, a menos que el precio mayor que Po' los fabricantes producirn nada. precio p ordenada origen precio sea mayor que Po' los fabricantes no producirn nada. El precio PI es la ordenada en el origen de la curva de demanda, por lo cual corresponde al precio en el cual la cantidad demandada es cero. En otras curva demanda, por cual corresponde precio cual cantidad demandada cero. otras palabras, consumidores comprarn ningn producto. palabras, a menos que el precio sea menor que PI los consumidores no comprarn ningn producto. menos que precio menor que p El eje horizontal corresponde a un precio de cero, de modo que la cantidad q de la curva de demanhorizontal corresponde precio cero, modo cantidad qj curva demanda es la cantidad que sera demandada si el precio fuera cero, o la cantidad que podra ser regalada si el cantidad que sera demandada precio fuera cero, cantidad que podra regalada artculo fuera gratuito. artculo fuera gratuito.

Precio y cantidad de equilibrio Precio y cantidad de equilibriotrazamos curvas oferta demanda sobre mismo sistema coordenadas, como Si trazamos las Cijrvas de oferta y de demanda sobre el mismo sistema de coordenadas, como en la figu1.48, curvas cruzan equilibrio. valores p* este punto reciben nomra 1.48, las curvas se cruzan en el punto de equilibrio. Los valores p* y q* en este punto reciben el nompunto bre equilibrio cantidad equilibrio, respectivamente. supone que mercado bre de precio de equilibrio y cantidad de equilibrio, respectivamente. Se supone que el mercado se precio estabiliza de manera natural a este punto de equilibrio (vase el problema 23). estabiliza manera natural este punto equilibrio (vase problemap (precio/unidad) p (precio/unidad) I

Ofertap * -- -- - - - -p" ---------,

Demanda

---

-~------"~-.. ~------=~--

q (cantidad) (cantidad)

q* q*

1.48. precio y cantidad equilibrio. Figura 1.48. El precio y la cantidad de equilibrio.

Ejemplo 8 Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio si precio 8 Encuentre cantidad equilibriooferta oferta= S(P) = 3p - 50 Y demanda = D(P) = 100 - 2p. = = demanda = D(P) =


Captulo 1 // Funciones y cambio Funciones cambio

27 27

Solucin Solucin

Para hallar el precio y la cantidad de equilibrio, encontramos el punto en el que precio cantidad punto que Para hallar equilibrio, encontramos Oferta = Demanda Oferta = Demanda 3p - 50 = 100 - 2p 2p 3p =5p = 150 5p =P P

= 30.

El precio de equilibrio es $30. Para hallar la cantidad de equilibrio utilizamos ya sea la curva de precio equilibrio $30. Para hallar cantidad equilibrio utilizamos ya sea curva demanda o la curva de oferta. Al precio de $30, la cantidad producida es 100 - 2(30) = 100 - 60 = 40 precio 2(30) = demanda curva oferta. $30, cantidad producida = 40 artculos. La cantidad equilibrio figura 1.49 curvas demanda oferta artculos. La cantidad de equilibrio es 40 artculos. En la figura 1.49 las curvas de demanda y de oferta 40 artculos. se cruzan en p* = 30 Y q* = 40. p* cruzanp (precio) (precio)

S(p) S(p)p' = p* = 30

D(p) D(p)L -_ _ _-'----_ _ _ _----"" - '-------'-----------=:>..-

q (cantidad) q (cantidad)

q*

= = 40= 30, q* = 40. 30,

Figura 1.49. Equilibrio: p* 1.49. Equilibrio: p*

Efecto de los impuestos en el equilibrio en elequilibrioAl igual que en el ejemplo 8, suponga que las curvas de demanda y oferta de un producto son: demanda oferta producto igual que ejemplo suponga que curvasS(p = 3p S(p) ) = 3p - 50y

D (p = 2p. D(p) ) = 100 - 2p.

Qu efecto tienen los impuestos sobre el precio y la cantidad de equilibrio para este producto? precio Qu efecto tienen impuestos sobre cantidad equilibrio para este producto? Quin consumidor) terminar pagando impuesto? Consideramos tipos Quin (el productor o el consumidor) terminar pagando el impuesto? Consideramos dos tipos de improductor puestos.25 Un impuesto especifico es una cantidad fija por unidad de un producto vendido, sin importar una cantidad fija por unidad producto vendido, puestos.P impuesto especifico importar su precio de venta. ste es el caso de productos tales como gasolina, alcohol y cigarrillos. Un impuesto venta. ste productos tales como gasolina, alcohol cigarrillos. impuesto precio caso especfico suele aplicarse al productor. El impuesto al valor es un porcentaje fijo del precio de venta o productor. valor precio venta especfico suele aplicarse impuesto porcentaje fijo factura. Muchas ciudades y estados cobran impuestos al valor en una amplia variedad de productos. Geuna amplia variedad productos. Gefactura. Muchas ciudades estados cobran impuestos valor neralmente, el impuesto al valor lo paga el consumidor. Consideremos ahora un impuesto especfico; los valor paga consumidor. Consideremos ahora neralmente, impuesto impuesto especfico; valor. problemas 27 y 28 consideran un impuesto al valor. problemas consideran impuesto Supongamos que un impuesto especfico de $5 por unidad se aplica al fabricante . Esto significa que por unidad aplica Supongamos que impuesto especfico fabricante. Esto significa que un precio de venta de p dlares no produce la misma cantidad ofrecida, ya que los productores slo reventa produce misma cantidad ofrecida, productores slo reprecio dlares que ciben p - 5 dlares. La cantidad ofrecida depende de p - 5, mientras que la cantidad demandada an mientras que ciben dlares. cantidad ofrecida depende cantidad demandada depende de p, el precio que pagan los consumidores. Tenemos precio que pagan consumidores. Tenemos depende2p Cantidad demandada = D(p) = 100 - 2p Cantidad demandada = D(p) =Cantidad producida Cantidad producida = S(p - 5) = 3(p - 5) - 50 S(p 3(p= 3p - 15 - 50 = 3p = 3p - 65. = 3p

Cules son cantidad equilibrio esta situacin? equilibrio tenemos Cules son el precio y la cantidad de equilibrio en esta situacin? Al precio de equilibrio tenemos precio precio Demanda = Oferta Demanda = Oferta 2p = 3p 100 - 2p = 3p - 65

165 = 5p = 5pp

= 33.

El precio de equilibrio ahora es de $33. En el ejemplo 8 vimos que el precio de equilibrio en un mercavimos que precio mercaprecio equilibrio ahora $33. En ejemplo equilibrio competitivo era $30, equilibrio aumenta dlares como resultado do competitivo era de $30, de modo que el precio de equilibrio aumenta $3 dlares como resultado del modo que precio impuesto. Observe que ste impuesto. consumidor termina pagando impuesto. Observe que ste es menor que la cantidad del impuesto. El consumidor termina pagando $3 menor que cantidad25 Adaptado 25Adaptado de Barry Bressler, A UnifiedApproach to Mathematical Economics, Harper & Row, Nueva York, 1975, pp. 81-88. Barry Bressler, Unified Approach Mathematical Economics, Harper & Row, Nueva York, 1975, pp. 81-88.


28

Clculo aplicado Clculo aplicadop (precio al consumidor) consumidor)

s (p -

impuesto 5): con impuesto

(p): S (p): sin impuesto

33 30D(p) D(p)q (cantidad) (cantidad) 34 40 1.50. impuesto especfico desplaza curva oferta, alterando equilibrio entre precio y cantidad. Figura 1.50. El impuesto especfico desplaza la curva de oferta, alterando el equilibrio entre precio y cantidad.L -_ _ _---"---L-_ _ __ "-----------'-----'------------'''-----

_

_

----=~_

pagara impuesto existiera. embargo, gobierno recibe por artculo. Por ms de lo que pagara si el impuesto no existiera. Sin embargo, el gobierno recibe $5 por artculo. Por tanto, productor paga restantes impuesto, retiene cantidad pagada por artculo. Por conel productor paga los $2 restantes del impuesto, y retiene $28 de la cantidad pagada por el artculo. Por consiguiente, aunque el impuesto se aplica al productor, parte del impuesto es pagado por el consumidor en trsiguiente, aunque impuesto aplica productor, parte impuesto pagado por consumidor minos de precios ms altos. El costo real del impuesto se divide entre el consumidor y el productor. minos precios costo impuesto divide entre consumidor productor. Ahora la cantidad de equilibrio es de 34 unidades, ya que la cantidad demandada es D(33) = 34. Sin unidades, Ahora cantidad equilibrio que cantidad demandada D(33) sorpresa alguna, reducido nmero artculos vendidos. Vase figura l.50. sorpresa alguna, el impuesto ha reducido el nmero de artculos vendidos. Vase la figura 1.50. impuesto

Restriccin presupuestal Restriccin presupuestaldebate actual gobierno federal refiere asignacin defensa Un debate actual en el gobierno federal se refiere a la asignacin del presupuesto entre gastos de defensa y presupuesto entre gastos programas sociales. general, entre gasta defensa, menos dinero para programas sociales programas sociales. En general, entre ms se gasta en defensa, hay menos dinero para programas sociales viceversa. Simplifiquemos ejemplo armas mantequilla. suponemos que hay y viceversa. Simplifiquemos el ejemplo a armas y mantequilla. Si suponemos que hay un presupuesto conspresupuesto constante, demostraremos que relacin entre nmero armas cantidad mantequilla lineal. tante, demostraremos que la relacin entre el nmero de armas y la cantidad de mantequilla es lineal. Supongamos $12,000 para gastar esta cantidad debe dividirse entre armas, cuestan $400 pongamos que hay $12,000 para gastar y que esta cantidad debe dividirse entre las armas, que cuestan $400 cada una, mantequilla, cuesta $2,000 tonelada. Supongamos tambin nmero armas cada una, y la mantequilla, que cuesta $2,000 la tonelada. Supongamos tambin que el nmero de armas compradas nmero toneladas mantequilla Entonces, cantidad dinero gastada g compradas es g y el nmero de toneladas de mantequilla es b. Entonces, la cantidad de dinero gastada en armas $400g cantidad gastada mantequilla $2,000b. Suponiendo todo dinero gasta armas es $400g y la cantidad gastada en mantequilla es $2,000b. Suponiendo que todo el dinero se gasta Cantidad gastada armas Cantidad gastada en armas cantidad gastada mantequilla + cantidad gastada en mantequilla= $12,000 = $12,000

o400g 400g

+ 2,000b 2,000bg

= 12,000 = 12,000

Por tanto, al dividir ambos lados de la ecuacin entre 400 tenemos, Por tanto, dividir ambos lados ecuacin entre 400 tenemos,

+ 5b

= 30. = 30.

Esta ecuacin restriccin presupuestal. sta representa unafuncin implcitamente definida, que Esta ecuacin es la restriccin presupuestal. sta representa una funcin implcitamente definida , ya que estn explcitamente dadas una trminos otra. despejamos obtenemos ni g ni b estn explcitamente dadas una en trminos de la otra. Si despejamos g, obtenemos= g = 30 - 5b,

cual una frmula explcita para g trminos Del mismo modo, despejar obtenemos la cual es una frmula explcita para g en trminos de b. Del mismo modo, al despejar b obtenemos

30 - 9 b = -- - o b = 6 - 0.2g , = = 0.2g, 5 que como funcin explcita Como funciones explcitas que da b como funcin explcita de g. Como las funciones explcitas

9 = 30 - 5b

y y

= 0.2g b = 6 - 0.2g

restriccin presupuestal una recta. Vase figura l.5l. son lineales, la grfica de la restriccin presupuestal es una recta. Vase la figura 1.51. lineales, grfica

(nmero de armas) 9 (nmero de armas)

30 309

+ 5b = 30

b (toneladas de mantequilla) b de mantequilla) 6 1.51. Restriccin presupuestal. Figura 1.51. Restriccin presupuestal.L -_ _ '-----------"'--- _ _ _ _ _----'~_


Captulo 1 / Funciones y cambio

29

Problemas para la seccin 1.41. Un parque de diversiones cobra una cuota de admisin de$7 por persona, y $1.50 ms por cada juego.(a) En trminos de un visitante, calcule el ingreso total del

6. (a) Cules son los costos fijos y el costo variable por unidad para la funcin de costos de la figura 1.54? (b) Explique qu le indica sobre los costos el hecho de que C(100) = 2,500.

parque I(n) como funcin del nmero de juegos, n, a los que se subi. (b) Calcule 1(2) e 1(8) e interprete sus respuestas en trminos de cuotas del parque de diversiones. 2. Una empresa tiene una funcin de costos de C(q) = 4,000 + 2q dlares y una funcin de ingreso de I(q) = 10q dlares.(a) Cules son los costos fijos de la empresa?

$

C(q)

4,000 3,000 2,000 1,000q

(b) Cul es el costo variable por unidad? (e) Qu precio cobra la empresa por su producto? (d) Trace la grfica de C(q) e I(q) en un mismo sistema de coordenadas y marque el punto en el que no hay prdidas ni ganancias, qo. Explique cmo sabe usted cules son las ganancias de la empresa si la cantidad producida es mayor de qo. (e) Encuentre el punto de beneficio nulo, qo.

50

100

150

200

Figura 1.54.7. En la figura 1.55, que muestra las funciones de costos y de ingreso para un artculo, indique lo siguiente:(a) Los costos fijos.

3. En la tabla 1.20 se ilustran valores de una funcin lineal decostos. :::ules son los costos fijos y el costo variable por unidad (el costo marginal)? Encuentre una frmula para la funcin de costos.

(b) La cantidad de rentabilidad.

(e) Las cantidades a las cuales la empresa. (i) Obtiene utilidades.

20 5,080 4. (a) Calcule los costos fijos y el costo variable por unidad para la funcin de costos de la figura 1.52 (b) Calcule C(1O) e interprtelo en trminos de costos.$

(ii) Pierde dinero.

$

J

C

C(q)

300./ V

/'/"

200

100

VVq

~---------------------

q

Figura 1.55.5 10 15 20 25 30 8. Una empresa tiene unas funciones de costos e ingresos, en dlares, dadas por C(q) = 6,000 + lOq e I(q) = 12q. (a) Calcule el costo y el ingreso si la empresa produce 500 unidades. La empresa obtiene ganancias? Y si produce 5,000 artculos? (b) Encuentre el punto de beneficio mutuo e ilstrelo grficamente. 9. Una empresa que produce rompecabezas tiene costos fijos de $6,000 y costos variables de $2 por rompecabezas. La empresa vende cada rompecabezas a $5. (a) Encuentre las frmulas para la funcin de costo, la funcin de ingreso y la funcin de utilidad . q (cantidad) 300 500 700 900 (b) Trace una grfica de I(q) y C(q) en un mismo sistema de coordenadas. Cul es el punto en el que no se obtienen utilidades ni prdidas, qo' para la empresa?

Figura 1.52.5. La figura 1.53 muestra el costo y el ingreso para una empresa. (a) Aproximadamente, qu cantidad tiene que producir esta empresa para obtener utilidades? (b) Calcule la utilidad generada por 600 unidades.$

2,500 1,500 500..-:::/

..../'

~

/

-- ./'

J(q)

C(q)

100

Figura 1.53.


30

Clculo aplicadoUna empresa tiene 17. Una empresa tiene un presupuesto total de $500,0000 y lo presupuesto total $500,0000 gasta gasta en materias primas y personal. La empresa utiliza m materias primas personal. La empresa utiliza unidades materias primas unidades de materias primas a un costo de $100 por unidad, costo $100 por unidad, costo $25,000 cada uno. y contrata r empleados a un costo de $25,000 cada uno. contrata empleados (a) Cul (a) Cul es la ecuacin de la restriccin presupuestal de ecuacin restriccin presupuestal la empresa? empresa? (b) Despeje m como funcin de r. Despeje como funcin de (e) Despeje como una funcin (e) Despeje r como una funcin de m. Una de 18. Una de las grficas de la figura 1.56 es una curva de ofergrficas figura una curva oferdemanda. Cul ta, y la otra es una curva de demanda. Cul es cul? Exotra una curva cul? Explique cmo tom plique cmo tom su decisin usando lo que sabe acerca decisin usando que sabe acerca del efecto del precio sobre oferta demanda. del efecto del precio sobre oferta y demanda.

Una empresa que fabrica sillas tipo Aclirondack tiene cos10. Una empresa que fabrica sillas tipo Adirondack tiene cos$5,000 costos variables $30 por silla. tos fijos de $5,000 y costos variables de $30 por silla. La empresa vende cada silla $50 cada empresa vende cada silla en $50 cada una. (a) Encuentre frmulas funciones costos (a) Encuentre las frmulas de las funciones de costos y de ingreso. ingreso. Calcule costo marginal ingreso marginal. (b) Calcule el costo marginal y el ingreso marginal. Trace grfica funciones costo ingreso (e) Trace la grfica de las funciones de costo y de ingreso coordenadas. en un mismo sistema de coordenadas. mismo sistema Encuentre punto beneficio mutuo. (d) Encuentre el punto de beneficio mutuo. La fabricacin zapatos deportivos tiene gasto total 11. La fabricacin de zapatos deportivos tiene un gasto total $650,000 ms costos variables $20 por par zafijo de $650,000 ms costos variables de $20 por par de zapatos. Cada par vende $70. patos. Cada par se vende en $70. (a) Calcule costo total, C(q), ingreso total, I(q), (a) Calcule el costo total, C(q), el ingreso total, I (q), la ganancia total, 7r(q), como funcin nmero pares nancia total, 7r(q) , como funcin del nmero de pares de zapatos producidos, q. zapatos producidos, Calcule costo marginal, ingreso marginal (b) Calcule el costo marginal, el ingreso marginal y la utilidad marginal. lidad marginal. Cuntos pares zapatos deben producirse vender(e) Cuntos pares de zapatos deben producirse y venderpara que empresa obtenga utilidades? se para que la empresa obtenga utilidades? ejemplo posible empresa que tenga cos12. (a) D un ejemplo de una posible empresa que tenga costos nulos muy pequeos). tos fijos nulos (o muy pequeos) . ejemplo una posible empresa para cual (b) D un ejemplo de una posible empresa para la cual el costo variable por unidad sea cero muy pequeo). costo variable por unidad sea cero (o muy pequeo). Una empresa fotocopias tiene listas precios dife13. Una empresa de fotocopias tiene dos listas de precios diferentes. La primera lista precios $100 ms centarentes. La primera lista de precios es de $ 100 ms 3 centapor copia; segunda lista precios $200 ms vos por copia; la segunda lista de precios es de $200 ms 2 centavos por copia. centavos por copia. (a) Para cada lista precios, calcule costo total como (a) Para cada lista de precios, calcule el costo total como funcin nmero copias necesarias. funcin del nmero de copias necesarias. (b) Determine qu lista precios ms barata (b) Determine qu lista de precios es ms barata si se necesitan 5,000 copias. cesitan 5,000 copias. Para nmero copias cobran ambas listas (e) Para qu nmero de copias cobran ambas listas de precios precios la misma cantidad? misma cantidad? robot $15,000 deprecia linealmente hasta 14. Un robot de $15,000 se deprecia linealmente hasta un valor cero aos. lor de cero en 10 aos. (a) Encuentre una frmula para valor como funcin (a) Encuentre una frmula para su valor como funcin del tiempo. tiempo. Cunto valdr robot despus comprarlo? (b) Cunto valdr el robot tres aos despus de comprarlo? tractor $50,000 tiene un precio reventa $10,000 15. Un tractor de $50,000 tiene ~n precio de reventa de $10,000 despus adquirido. Suponga valor trac20 aos despus de adquirido. Suponga que el valor del tracdeprecia linealmente desde momento compra. tor se deprecia linealmente desde el momento de su compra. (a) Encuentre una frmula para valor del tractor como (a) Encuentre una frmula para el valor del tractor como funcin adquiri. funcin del tiempo desde que se adquiri. tiempo desde Trace grfica valor tractor respecto tiempo. (b) Trace la grfica del valor del tractor respecto al tiempo. Encuentre ordenadas abscisas origen, uni(e) Encuentre las ordenadas y abscisas en el origen, d unidades interprtelas. dades e interprtelas. Suponga presupuesto $1,000 para cu16. Suponga que hay un presupuesto de $1,000 al ao para cubrir gastos libros salidas sociales. Los libros cuestan brir sus gastos en libros y salidas sociales. Los libros cuestan (en promedio) $40 cada uno y las salidas sociales cuestan (en promedio) cada salidas sociales cuestan promedio) $10 cada Sea nmero libros comprapromedio) $10 cada una. Sea b el nmero de libros compranmero salidas sociales dos por ao y s el nmero de salidas sociales en el ao. (a) Cul ecuacin restriccin presupuestal? (a) Cul es la ecuacin de su restriccin presupuestal? (b) Trace una grfica de la restriccin presupuestal. (No Trace una grfica restriccin presupuestal. (No (b) importa variable ponga cada eje.) importa qu variable ponga en cada eje.) Encuentre ordenadas abscisas origen (e) Encuentre las ordenadas y abscisas en el origen y d interpretacin financiera cada una interpretacin financiera de cada una.

precio

precioPI

Po

L""tid'd(a)

~""'tid'd(b)

I

ql

Figura Figura 1.56.La tabla 19. La tabla 1.21 tiene los datos de una curva de demanda litiene los datos una curva demanda neal neal de un producto, donde p es el precio del producto y q producto, donde p precio del producto es la cantidad vendida cada mes a dicho precio. Encuentre cantidad vendida cada mes dicho precio. Encuentre las frmulas de las siguientes funciones. Interprete las penfrmulas las siguientes funciones. Interprete pendientes en trminos dientes en trminos de la demanda. demanda. (a) q como una funcin de p. (b) p como una funcin de q. como una funcin como funcin

Tabla 1.21p (dlares) (dlares) q (toneladas) (toneladas) 24 24 340 340

Una curva demanda est dada por 75p 50q 300, 20. Una curva de demanda est dada por 75p + 50q = 300, donde donde p es el precio del producto en dlares, y q es la canprecio del producto en dlares, cantidad demandada ese precio. Encuentre tidad demandada a ese precio. Encuentre las ordenadas y ordenadas abscisas en origen p interprtelas en trminos abscisas en el origen p y q e interprtelas en trminos de la demanda del consumidor. demanda del consumidor. 21. Una 21. Una de las tablas 1.22 y 1.23 representa una curva de oferlas tablas 1.22 representa una curva de oferta; la otra, una curva de demanda. otra, una curva demanda. (a) Qu curva representa cada tabla? Por qu? (a) Qu curva representa cada tabla? Por qu? (b) Al precio de $155, aproximadamente, cuntas unidaAl precio $155, aproximadamente, cuntas unidades comprarn los consumidores? des comprarn consumidores? $155, aproximadamente, cuntas uni(e) A un precio de $155, aproximadamente, cuntas uniprecio dades podran ofrecer los productores? dades podran ofrecer los productores? (d) El mercado har que los precios sean mayores me(d) El mercado har que los precios sean mayores o menores que $155? nores que $155? (e) Cul tendra que ser el precio si usted quiere que los Cul tendra que ser precio usted quiere que consumidores compren por lo menos 20 unidades? consumidores compren por menos 20 unidades? (O Cul tendra que ser precio usted desea que los (1) Cul tendra que ser el precio si usted desea que los productores fabriquen por lo menos 20 unidades? productores fabriquen por menos unidades?

Tabla 1.22 Tablap ($/unidad) ($/unidad) q (cantidad) (cantidad)

11835

Tabla 1.23p ($/unidad) ($/unidad) . q (cantidad) (cantidad)


Captulo 1 I Funciones y cambio 22. La produccin de cobre en Estados Unidos, Q, en toneladas mtricas y el valor, P, en miles de dlares por tonelada mtrica, aparecerrf en la tabla l.24. Trace la grfica del valor como funcin de la produccin. Trace la grfica de una posible curva de oferta.

31

(b) Trace la grfica de la restriccin presupuestal, suponiendo que puede comprar fracciones de litro. Seale las intersecciones. (e) Suponga que se duplica su presupuesto. Trace la grfica de la nueva restriccin presupuestal en un mismo sistema de coordenadas. (d) Con un presupuesto de $k se duplica el precio del aceite bronceador. Trace la grfica de la nueva restriccin presupuestal en un mismo sistema de coordenadas. 26. Las curvas de demanda y oferta de cierto producto estn dadas en trminos del precio, p, por D(P) = 2,500 - 20p(a) Encuentre

Tabla 1.24Ao

Produccin de cobre de Estados Unidos 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1,103 1,105 1,144 1,244 1,417 1,497 1,473 1,476 1,456 1,818 2,656 2,888

QP

23. La figura 1.57 muestra la oferta y la demanda de un producto. (a) Cul es el precio de equilibrio de este producto? A este precio, cul es la cantidad que se produce? (b) Elija un precio mayor al de equilibrio, por ejemplo, p = 12. A este precio, cuntas unidades estn dispuestos a producir los fabricantes? Cuntas unidades comprarn los consumidores? Utilice sus respuestas a estas preguntas para explicar por qu, si los precios son mayores al precio de equilibrio, el mercado tiende a hacer que los precios bajen (hacia el equilibrio). (e) Ahora escoja un precio menor al de equilibrio, por ejemplo, p = 8. A este precio, cuntas unidades estn dispuestos a producir los fabricantes? Cuntas unidades comprarn los consumidores? Utilice sus respuestas a estas preguntas para explicar por qu, si los precios son menores al precio de equilibrio, el mercado tiende a hacer que los precios suban (hacia el equilibrio).p (precio por unidad) 28 l. para > 1.

1 1

12 12 1.63. Decrecimiento exponencial: Figura 1.63 . Decrecimiento exponencial: = P = al, para O < a < l. para < < 1. 4 6 6

10

que En la prctica, la base que ms comnmente se usa es el nmero e = 2.71828 ... El hecho de que las prctica, base que ms comnmente usa nmero = 2.7l828 hecho calculadoras tengan un botn es una muestra de qu tan importante es e. Como e se ubica entre 2 y 3, qu importante Como calculadoras tengan botn una muestra ubica entre grfica figura est entre grficas = 3. la grfica de y = eX en la figura 1.62 est entre las grficas de y = 21 Y Y = 3//. y = eX y= utilizan tanto base que conocemos como Se utilizan tanto la base e que conocemos como la base natural. A primera vista esto es algo mistebase natural. primera vista esto algo misterioso: qu puede haber de natural en utilizar a 2.71828 ... como base? La respuesta completa a esta prerioso: qu puede haber natural utilizar 2.71828 como base? La respuesta completa esta pregunta deber esperar hasta captulo donde usted ver que pueden surgir muchas frmulas clculo gunta deber esperar hasta el captulo 3, donde usted ver que pueden surgir muchas frmulas de clculo ms hbilmente cuando usamos e como base. ms hbilmente cuando usamos como base.


Captulo 1 / Funciones y cambio

37

Problemas de la seccin 1.51. Cada una de las siguientes funciones indica la cantidad de una sustancia presente en un tiempo t. En cada caso, seale la cantidad presente inicialmente (en t = O), diga si la funcin representa un crecimiento o decrecimiento exponencial y d la tasa de crecimiento o decrecimiento presente.(a) (e)

7.

La figura 1.64 muestra las grficas de la poblacin de diversas ciudades respecto al tiempo. Relacione cada una de las siguientes descripciones con una grfica y escriba una descripcin que se relacione con las grficas restantes.(a) La poblacin

aument 5% al ao.

A

=

100(1.07)t

(b) (d)

A

= 5.3(1.054)t

(b) La poblacin aument 8% por ao. (e) La poblacin aument 5,000 personas por ao.(d) La poblacin fue estable.

A = 3,500(0.93)t

A = 12(0.88)t

2. Las siguientes funciones indican el nmero de habitantes de cuatro ciudades en el tiempo, t, dado en aos. (i) (iii)

poblacinI 111

P

= 600(1.12)t P = 200(1.08)t

(ii) (iv)

P

= 1,000(1.03)t P = 900(0.90)ti---:>"'1z........:~-----

porcentual? Cul es la tasa de crecimiento porcentual? (b) Qu ciudad tiene la mayor poblacin inicial? Cul es dicha poblacin inicial? (e) Existe alguna ciudad cuyo tamao disminuya? Si es as, cul(es)? 3. Una ciudad tiene una poblacin de 1,000 personas al tiem. po t = O. En cada uno de los siguientes casos escriba una frmula para la poblacin, P, del pueblo como una funcin del ao t. (a) La poblacin aumenta 50 personas al ao. (b) La poblacin aumenta 5% al ao. 4. Un aromatizante de ambiente comienza con 30 gramos y se evapora. En cada uno de los siguientes casos escriba una frmula para la cantidad, Q gramos, del aromatizante restante t das despus de su inicio y dibuje una grfica de la funcin. La disminucin es de (a) 2 gramos al da (b) 12% al da S. A un paciente se le suministra una dosis de 50 mg de quinina para prevenido de la malaria. La quinina se elimina del cuerpo a una tasa de 6% por hora. (a) Encuentre una frmula para la cantidad, A (en miligramos), de quinina en el cuerpo t horas despus de que se suministra la dosis .. (b) Cunta quinina hay en el cuerpo despus de 24 horas? (e) Trace la grfica de A como funcin de t. (d) Use la grfica para calcular cundo quedan 5 mg de quinina. 6. La economa mundial ha estado en expansin. En el ao 2000, el producto mundial bruto (produccin total de bienes y servicios) fue de 45 trillones de dlares y creca 4.7% al ao?9 Suponga que esta tasa de crecimiento contina. (a) Encuentre una frmula para el producto mundial bruto, W (en trillones de dlares), como una funcin de t, el nmero de aos desde el 2000. (b) Qu producto mundial bruto se espera para el ao 20 lO? (e) Realice la grfica de W como funcin de t. (d) Utilice la grfica para calcular cundo el producto ser mayor a 50 trillones de dlares.

(a) Qu ciudad tiene la mayor tasa de crecimiento

IV

V

VI

'------------

tiempo (aos)

Figura 1.64 . 8. La poblacin mundial es aproximadamente Pcon P en miles de millones y poblacin mundial?(b) Cul era la poblacin

t en

= 6.1 (1.0126)1 aos desde el 2000.

(a) Cul es la tasa de crecimiento

anual porcentual de la

en el 2000? Qu pronostica este modelo para la poblacin mundial en el 2005?

(e) Use el inciso (b) para encontrar la razn promedio de cambio de la poblacin mundial entre el 2000 y el 2005.

9. La empresa que produce Notas Clijfs (versiones abreviadasde la literatura clsica) comenz en 1958 con $4,000 y fue vendida en 1998 en $14,000,000. Encuentre el incremento anual porcentual en el valor de esta empresa durante 40 aos. Para los problemas 10 y 11 encuentre una posible frmula para la funcin que representan los datos. 10. x f(x) 11.g(t)

3 11.80 3 2.82 de los problemas

D una posible frmula para las funciones 12 y 13.y y 13.30 (3,200 O) 500 ~ 1 234

12.

t

29The Worldwatch Institute, Vital Signs 2001, W.W. Norton, Nueva York, 2001, p. 57.


38

Clculo aplicado (d) Utilice la frmula para predecir la produccin mundial de energa solar en el 2005.energa solar (megavatios) 300 250 200 150 100 50L...---_L-_L-_L-_L-_'-

14. (a) Cul (si hay alguna) de las funciones de la siguiente tabla podra ser lineal? Encuentre las frmulas para dichas funciones. (b) Cul (si hay alguna) de las funciones de la siguiente tabla podra ser exponencial? Encuentre las frmulas para esas funciones.

(10,285)

x (x) g(x) h(x)-2 -1 12 17 16 24 36 54 81 37 34 31 28 25

t (aos desde 1990)6 8 10

O1 2

20 21 18

2

4

Figura 1.65.20. (a) Construya una tabla de valores para y = eX tomando x = 0,1,2,3. (b) Trace la grfica de los puntos calculados en el inciso (a). La grfica se parece a una funcin de crecimiento, o de decrecimiento exponencial? (e) Construya una tabla de valores para y = e-x tomando x = O, 1,2,3. (d) Trace la grfica de los puntos encontrados en el inciso (e). La grfica se parece a una funcin de crecimiento, o de decrecimiento exponencial? 21. Trace la grfica y = 100e-0.4x. Describa qu observa. 22. Cuando los Juegos Olmpicos se realizaron en la ciudad de Mxico en 1968 hubo un gran debate sobre el efecto que la gran altitud (7,340 pies) tendra en los atletas. Suponiendo que la presin del aire disminuye exponencialmente 0.4% por cada 100 pies, a qu porcentaje disminuye la presin del aire al trasladarse del nivel del mar a la ciudad de Mxico? 23. Los aviones requieren grandes distancias para despegar, llamadas carreras de despegue, en aeropuertos a grandes altitudes, debido a la densidad disminuida del aire. La tabla muestra cmo la carrera de despegue de cierto avin ligero depende de la altitud del aeropuerto. (Las carreras de despegue tambin estn fuertemente influidas por la temperatura del aire; los datos que se muestran suponen una temperatura de O C.) Determine una frmula para este avin en particular, que seale la carrera de despegue como funcin exponencial de la altitud del aeropuerto. Altitud (pies) Carrera de despegue (pies) Nivel del mar 670 1,000 734 2,000 805 3,000 882 4,000 967

15. Determine si cada una de las siguientes tablas de valores pueden corresponder a una funcin lineal, una funcin exponencial, o ninguna. Para cada tabla de valores que pudiera corresponder a una funcin lineal o exponencial encuentre una frmula para la funcin. (a)

x (x)O 1 2 3 10.5 12.7 18.9 36.7

(b)

t

s(t)50.2 30.12 18.072 10.8432

(c)

u g(u)O 2 4 6 27 24 21 18

-1 O 1 2

16. Encuentre una frmula para el nmero de mejillones cebra que hay en una baha como funcin del nmero de aos desde 1998, puesto que hubo 2,700 al inicio de 1998 y 3,186 al inicio de 1999. (a) Suponga que el nmero de mejillones cebra est creciendo linealmente. Indique las unidades de la pendiente de la lnea recta e interprtela en trminos de los mejillones cebra. (b) Suponga que el nmero de mejillones cebra est creciendo exponencialmente. Cul es la tasa de crecimiento porcentual de la poblacin de mejillones cebra? 17. Durante la dcada de 1980 Costa Rica tuvo la mayor tasa de deforestacin del mundo: 2.9% por ao. (sta es la tasa a la cual est disminuyendo la tierra cubierta por bosques.) De la tierra cubierta por bosques en Costa Rica en 1980, qu porcentaje an estaba cubierto por bosques en 1990? 18. El nmero de pasajeros que utilizan un tranva disminuy de 190,205 a 174,989 durante un periodo de cinco aos. Encuentre el decremento anual porcentual durante dicho periodo. 19. La figura 1.65 muestra la produccin mundial de energa SOI3130 durante la dcada de 1990. (a) Explique por qu esta grfica podra representar a una funcin exponencial. (b) D una frmula posible para la produccin mundial de energa solar, S (en megavatios), como una funcin del nmero de aos, t, desde 1990. (e) Cul es el cambio anual porcentual?

24. El precio medio, P, de una casa aument de $50,000 en 1970 a $100,000 en 1990. Sea t el nmero de aos desde 1970. (a) Suponga que el aumento en los precios de las viviendas ha sido lineal. D una ecuacin para la recta, que represente el precio, P, en trminos de t. Emplee esta ecuacin para completar la columna (a) de la tabla 1.27. Utilice unidades de $1,000. (b) Si en vez de aumentar linealmente los precios de las viviendas se han incrementado exponencialmente, encuentre una ecuacin de la forma P = P oal para representar los precios de las viviendas. Complete la columna (b) de la tabla 1.27.

30The Worldwatch Institute, Vital Signs 2001, W.W. Norton, Nueva York, 2001, p. 47.


Captulo 1 / Funciones y cambio (e) En el mismo sistema de ejes, dibuje la grfica de las funciones representadas en las columnas (a) y (b) de la tabla 1.27. (d) Qu modelo de crecimiento del precio considera usted que es el ms realista?

39

suponiendo que a, b y e son constantes. Observe que los valores de la funcin han sido redondeados a dos cifras decimales.

Tabla 1.28s

Tabla 1.27(a) Crecimiento lineal del precio en unidades t de $1,000. O10 20 30 40 100 100 50

h(s)1.06 1.09 1.13 1.16 1.19

s 1 2 3 4 5

f(s)2.20 2.42 2.66 2.93 3.22

s 3 4 5 6 7

g(s)3.47 3.65 3.83 4.02 4.22

(b) Crecimiento exponencial del precio en unidades de $1,00050

2 3 4 5 6

27. Una mquina fotocopiadora puede reducir copias al 80% de su tamao original. Al fotocopiar una copia ya reducida podemos hacer reducciones adicionales. (a) Si se reduce una pgina al 80%, qu porcentaje de ampliacin se necesita para que regrese a su tamao original? (b) Calcule el nmero sucesivo de veces que se debe copiar una pgina para que la copia final sea 15% menos .del tamao original. 28. (a) Niki invirti $10,000 en la Bolsa de Valores. La inversin no era muy buena, porque su valor disminuy 10% al ao durante una dcada. A cunto ascendi la inversin despus de 10 aos? (b) Despus de una dcada la inversin comenz a ganar 10% de su valor por ao. Despus de cunto tiempo la inversin recobrar su valor inicial ($1O,000)?

25. En 1994 la poblacin mundial era de 5.6 mil millones yestaba creciendo a una tasa aproximada de 1.2% al ao. (a) Escriba una frmula para la poblacin mundial como funcin del tiempo, t, en aos desde 1994. (b) Encuentre la razn promedio de cambio esperada para la poblacin mundial entre 1994 y 2000. Indique las unidades en su respuesta. (e) Encuentre la razn promedio de cambio esperada para la poblacin mundial entre 2010 y 2020. Indique las unidades en su respuesta. 26. Relacione las funciones h(s), f(s) y g(s) cuyos valores se encuentran en la tabla 1.28, con las frmulas y = a(l.1)', y = b(1.05)', y = c(1.03)',

1.6

LOGARITMO

NATURALP

En la seccin 1.5 establecimos una funcin que aproximaba la poblacin de Mxico (en millones) como

=

f(t)

=

67.38(1.026)t,

donde t es el nmero de aos desde 1980. Ahora suponga que en lugar de calcular la poblacin en el tiempo, t, nos preguntamos cundo alcanzar la poblacin los 200 millones de habitantes. Queremos encontrar el valor de t para el cual 200

= f(t)

= 67.38(1.026)t.

Utilizaremos logaritmos para despejar una variable en un exponente.

Definicin y propiedades del logaritmo naturalDefinimos ellogaritmo Ellogaritmo natural x, denotado por In x, como sigue: de x, denotado por In x, es la potencia de e necesaria para obtener x, es decir, In x = e significa Ellogaritmo natural a veces se escribe como log,. eC = x.

natural

Por ejemplo, In e3 = 3 porque 3 es la potencia de e necesaria para dar e3. De forma similar, ln(l/ e) = In e-1 = - 1. Una calculadora da In 5 = 1.6094, debido a que e1.6094 = 5. No obstante, si tratamos de encontrar In (- 7) en una calculadora, obtenemos un mensaje de error porque e elevado a cualquier potencia nunca es negativo o O. En general,


40


In x no est definida si x es negativa o O. est definida negativa Para trabajar con logaritmos necesitamos usar las siguientes propiedades: Para trabajar con logaritmos necesitamos usar siguientes propiedades:

Propiedades del logaritmo natural Propiedades del logaritmo natural(AB) 1. In (AB) = In A

+ In B

2. In (~)

(~)

= In A - In B =

3. In (AP) =p lnA =plnAx 4. In eX = x1n 5. e1nxx = x =

Adems, O eO 1y = 1 porque el = e. Adems, In 1 = O ya que eO = 1 Y In e = 1 porque el = e.

Al utilizar el botn ILNI en una calculadora para trazar una grfica def(x) = In x obtenemos la fiutilizar botn ILNI una calculadora para trazar una grfica def(x) = obtenemos gura 1.66. Observe que, para x grandes, la grfica de y = In x sube lentamente a medida que x aumeny = gura Observe para grandes, grfica sube lentamente medida que aumenta. La interseccin sobre el eje x es x = 1, porque In 1 = O. Para x > 1, el valor de In x es positivo; interseccin sobre = porque = Para > valor positivo; para O < x < 1, el valor de In x es negativo . para O < 1, valor negativo.y

2

y y

= lnxx ln

1 1

la 10

x

-2 -2Figura 1.66. La funcin de logaritmo natural sube muy lentamente. 1.66. La funcin logaritmo natural sube muy lentamente.

Solucin de ecuaciones mediante logaritmos Solucin de ecuaciones mediante logaritmosLos logaritmos naturales se pueden usar para despejar exponentes desconocidos. Los logaritmos naturales pueden usar para despejar exponentes desconocidos.

Ejemplo 1 Encuentre t tal que 3tt Encuentre queSolucin Solucin

= 10. =

Primero, observe que ttsperamos que t est entre 2 y 3, porque 32 = 9 Y 33 = 27. Para hallar exactamenPrimero, observe que esperamos est entre porque = 3 = Para hallar exactamente t, tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuacin y despejamos t. tomamos ellogaritmo natural ambos lados ecuacin despejamos In(3 t = ln(3t) ) = In 10. La tercera propiedad de los logaritmos nos dice que ln(3') tercera propiedad logaritmos dice que ln(3r)

= t In 3; por tanto, tenemos = por tanto, tenemos

t In tln 3 = In 10 In 10 t=--. t=--. In3 In3 Si utilizamos una calculadora para encontrar el logaritmo natural tenemos utilizamos una calculadora para encontrar ellogaritmo natural tenemos t = 2.096. = 2.096.

Ejemplo 2 Regresemos a la pregunta de cundo la poblacin de Mxico ser de 200 millones. Para obtener una resRegresemos pregunta cundo poblacin Mxico ser 200 millones. Para obtener una puesta despejamos 200 = 67.38(1.026)t para t, usando logaritmos. puesta despejamos 200 = 67.38(1.026)t para usando logaritmos.Solucin SolucinAl dividir ambos lados de la ecuacin entre 67 .38, obtenemos dividir ambos lados ecuacin entre 67.38, obtenemos200 = (1 .026)t. = (1.026)t. 67 .38 67.38


--------------------------------------------------------------------Captulo 1 // Funciones yycambio Captulo 1 Funciones cambio

41

Ahora tomemos el logaritmo natural de ambos lados: Ahora tomemos ellogaritmo natural ambos lados: In ( 67.38200 ) (6~0~8)= In(1.026 = In(1.026). ).t t

Usando hecho que (1.0261) = 1.026, obtenemos Usando el hecho de que In (1.026/) = t In 1.026, obtenemos

In ( 67.38

200 ) (6~~~8)

In(1.026). = t In(1.026) .

resolver esta ecuacin por medio una calculadora para encontrar logaritmos tenemos Al resolver esta ecuacin por medio de una calculadora para encontrar los logaritmos tenemos

t= t-

In(200/63.78) _ - ln(200j63.78) _ 42 4 1 ( ) = ln(1.026) - 42.4 anos. . anos. n 1.026

Puesto que = 1980, este valor corresponde ao 2022. Puesto que t = O en 1980, este valor de t corresponde al ao 2022.

Ejemplo 3 Encuentre t tal que 12 Ejemplo 3 Encuentre que

= =

3. 5e3t/.

Solucin Solucin

Es ms fcil comenzar por aislar la. exponencial, por lo que dividimos ambos lados de la ecuacin entre 5: fcil comenzar por aislar laexponencial, por que dividimos ambos lados ecuacin entre= t. 2.4 = t . Ahora, tomando el logaritmo natural de ambos lados: Ahora, tomando ellogaritmo natural ambos lados:3t = In 2.4 = In( e3t).).

ln(tr) = tiene Ya que ln(tr) = x, se tiene que= In 2.4 = 3t,

por tanto, utilizar una calculadora, obtenemos por tanto, al utilizar una calculadora, obtenemos In 2.4 t = - - = 0.2918. -0.2918. 3

Funciones exponenciales de base e Funciones exponenciales de baseeUna funcin exponencial de base a tiene la frmula Una funcin exponencial base tiene frmula

P = Poatt. . = Para cualquier nmero positivo a, podemos escribir a = donde k = In a. Por consiguiente, podemos Para cualquier nmero positivo podemos escribir donde Por consiguiente, podemos escribir la funcin exponencial como escribir funcin exponencial como kt P = Poatt = Po(ek)t = Poekt. . = = Po( ek)t =a> entonces positivo < < entonces negativo. Concluimos: Si a> 1, entol)ces k es positivo y si O < a < 1, entonces k es negativo. Concluimos: escribir por tanto cualquier funcin exponencial puede escribirse formas Al escribir a = , por tanto k = In a, cualquier funcin exponencial puede escribirse en dos formas t o P=Poekt. kt . P=Poat P = Poa P=Poe a> tiene crecimiento exponencial; tiene decrecimiento expo Si a> 1, se tiene un crecimiento exponencial; si O < a < 1, se tiene un decrecimiento exponencial. nencial. k > O, tiene crecimiento exponencial; k O, tiene decrecimiento exponencial. Si k > O, se tiene un crecimiento exponencial; si k < O, se tiene un decrecimiento exponencial. llama tasa crecimiento decrecimiento continua. A k se le llama la tasa de crecimiento o de decrecimiento continua. La palabra continua una tasa crecimiento utiliza misma forma para describir comLa palabra continua en una tasa de crecimiento se utiliza en la misma forma para describir la composicin continua inters generado por dinero (vase seccin Enfoque sobre modelado, posicin continua del inters generado por el dinero (vase la seccin Enfoque sobre modelado, en la pgina pgina 75).= 1,000eo.o5/ a la forma P = Podo = 1,000eO.051 forma P = Podo (b) Convierta la funcin P = 500(1.06)/ a la forma P = pot.t Convierta funcin P 500(1.06)1 forma P (b) po

Ejemplo 4 (a) Convierta la funcin P Ejemplo 4 Convierta funcin P


42

Clculo aplicado (a) Como P = 1,000eo.oS!,

Solucin

tenemos Po 1,000at

= 1,000.

Queremos encontrar a, tal que= 1,000( eO.05)t.

= 1,000eo.o5t

Tomamos

a

=

eO.os

= 1.0513

por tanto, las dos siguientes funciones tendrn los mismos valores: P = 1,000eo.o5t y P = 1,000(1.0513)t.

Entonces, una tasa de crecimiento continua de 5% es equivalente a una tasa de crecimiento de 5.13% por unidad de tiempo. (b) Tenemos Po = 500 Y deseamos encontrar k con 500(1.06)t as que tomamos 1.06 = ek k = ln(1.06) = 0.0583. Las siguientes dos funciones tienen los mismos valores= 500(ek)t,

P

= 500(1.06)t

Y

P

= 500e00583t.

Por tanto, una tasa de crecimiento de 6% por unidad de tiempo es equivalente a una tasa de crecimiento continua de 5.83 por ciento.

EjemploSolucin

5 Trace las grficas de P

decrecimiento

eO.S1, una tasa de crecimiento continua de 50% y de Q continua de 20 por ciento.

=

=

5e-O.2r,

una tasa de

La grfica de P = eo.sr se encuentra en la figura 1.67. Observe que la grfica tiene la misma forma que las curvas anteriores de crecimiento exponencial: creciente y cncava hacia arriba. La grfica de Q = 5e-O.21 que est en la figura 1.68 tiene la misma forma que otras funciones de decrecimiento exponencial.P 30 20 P 10 Q 4 3

I

=

eO.5t

21

1234567

2

4

6

8

10

Figura 1.67. Funcin de crecimientoexponencial continuo.

Figura 1.68. Funcin de decrecimientoexponencial continuo.

Problemas para la seccin 1.6Para los problemas del 1 al 16 despeje t usando logaritmos naturales. 1. 5' = 7 2. 130 = 10' 3. 2 13. B = Pert 15. 7 3t 14. 2P = Peu.:3t 5 . 2t

=

=

(1.02)t

4. 10 = 2t6. 50 8. 10 10. e31 12. 40

S. 100 7. a 9. 5

=bl 2e'

25(1.5)t

= = = =

10.31 el 100 100e-o.o31

= =

Las funciones de los problemas 17 al 20 representan crecimiento o decrecimiento exponencial. Cul es la cantidad inicial? Cul es la tasa de crecimiento? Diga si la tasa de crecimiento es continua. 17. P 19. P

= =

5(1.07)1 3.2eo.031

18. P 20. P

= =

7.7(0.92)1 l5e-o.o61

11. 10

=

6eO.51


1 Funciones Captulo 1 // Funciones y cambioO..OSt funciones exponenciales Q .3t Escriba 21. Escriba las funciones exponenciales P = eOOSt y Q = e-OO31 . t l en la forma P = a y Q = b . forma a' Y Q b'.

43

poblacin una ciudad 1,000 habitantes est 22. La poblacin de una ciudad es de 1,000 habitantes y est creciendo 5% cada ao. creciendo cada(a) Encuentre una frmula para poblacin tiempo (a) Encuentre una frmula para la poblacin en el tiempo aos partir este momento, suponiendo que de t aos a partir de este momento, suponiendo que el aumento de 5% por ao es una: aumento por Tasa anual. (ii) Tasa anual continua. (i) Tasa anual. (H) Tasa anual continua.

cada caso inciso calcule poblacin (b) En cada caso del inciso (a) calcule la poblacin de la ciudad aos ciudad en 10 aos ... siguientes frmulas poblaciones cuatro pueblos 23. Las siguientes frmulas dan las poblaciones de cuatro pueblos diferentes, A, D, partir momento. diferentes, A, B, e y D, con t aos a partir de este momento.

34. (a) Cul es la tasa de crecimiento continua porcentual de 34. Cul tasa crecimiento continua porcentual 100eo.06t ? P = 100eo.061? Escriba esta funcin forma P = Poa Cul (b) Escriba esta funcin en la forma P = Poatl. . Cul es la tasa crecimiento anual porcentual? tasa de crecimiento anual porcentual? 35. (a) Cul tasa decrecimiento continua anual por35. (a) Cul es la tasa de decrecimiento continua anual porcentual = 25(0.88)17 centual de P = 25(0.88)1? (b) Escriba esta funcin en la forma P = pot. t . Cul es la po Cul Escriba esta funcin forma tasa decrecimiento anual porcentual? tasa de decrecimiento anual porcentual? 36. Una pescadera tiene estanque con 1,000 truchas jve36. Una pescadera tiene un estanque con 1,000 truchas jvenes. El nmero de truchas t aos despus est dado por nmero truchas aos despus est dado porP(t) = 1,000e- 05t. P(t) = 1,000e - 051. (a) Cuntas truchas quedan despus meses? Des(a) Cuntas truchas quedan despus de seis meses? Despus ao? pus de un ao? (b) Encuentre P(3) e interprtela en trminos de las truEncuentre P(3) interprtela trminos chas. chas. (e) Cundo quedan 100 truchas? Cundo quedan truchas? Trace grfica nmero truchas respecto tiempo (d) Trace la grfica del nmero de truchas respecto al tiempo y describa cmo est cambiando la poblacin. Qu poblacin. Qu describa cmo est cambiando puede estar causando esto? puede estar causando esto? 37. La poblacin, Nicaragua era 3.6 millones 1990 37. La poblacin, P, de Nicaragua era de 3.6 millones en 1990 creca una tasa anual 3.4%. Sea tiempo aos y creca a una tasa anual de 3.4%. Sea t el tiempo en aos desde 1990. desde 1990. (a) Exprese P como funcin en la forma P = Podo (a) Exprese P como funcin forma P Podo (b) Exprese P como funcin exponencial usando la base e. (b) Exprese como funcin exponencial usando base Compare tasas crecimiento continuo anual. (e) Compare las tasas de crecimiento continuo y anual. 38. producto mundial bruto = 45(1.047)t, donde 38. El producto mundial bruto es W = 45(1.047)1, donde W est en trillones de dlares y t est en aos desde el 2000. est trillones dlares est aos desde 2000. Encuentre una frmula para producto mundial bruto Encuentre una frmula para el producto mundial bruto que utilice una tasa crecimiento continua. utilice una tasa de crecimiento continua. 39. La poblacin mundo puede representar con 39. La poblacin del mundo se puede representar con P = 6.l(1.0l26)t, donde est miles millones perso6.1(1.0126)1, donde P est en miles de millones de personas y en aos desde el 2000. Encuentre una frmula para la aos desde 2000. Encuentre una frmula para poblacin mundo emplee una tasa crecimiento poblacin del mundo que emplee una tasa de crecimiento continua. continua. Qu tasa crecimiento anual porcentual equivalente 40. Qu tasa de crecimiento anual porcentual es equivalente a una tasa crecimiento continua porcentual por ciento? una tasa de crecimiento continua porcentual de 8 por ciento? Qu tasa crecimiento continua porcentual equivalen41. Qu tasa de crecimiento continua porcentual es equivalenuna tasa crecimiento anual por ciento? te a una tasa de crecimiento anual de 10 por ciento?

PAA

= 600eO.0 8t 600e 08tO .

PBB

= 1,000eo-.o2t 2t 1,000e- o.o

Pe = 1,200e003t 3t Pc = 1,200e00

012t P D = 900e0 12t = 900e

(a) Qu pueblo est creciendo ms rpido (es decir, cul (a) Qu pueblo est creciendo ms rpido decir, cul tiene mayor tasa crecimiento porcentual)? tiene la mayor tasa de crecimiento porcentual)? (b) Cul es el pueblo ms grande en este momento? (b) Cul pueblo ms grande este momento? (c) Existe algn pueblo que est disminuyendo en tama(e) Existe algn pueblo que est disminuyendo tamacul cules son? o? Si es as, cul es, o cules son? (a) Una poblacin, crece una tasa continua 24. (a) Una poblacin, P, crece a una tasa continua de 2% al comienza con milln habitantes. Escriba ao y comienza con un milln de habitantes. Escriba P forma P = pot, con Po' constantes. en la forma P = POl , con Po' k constantes. (b) Trace la grfica de la poblacin del inciso (a) respecto Trace grfica poblacin inciso respecto tiempo. al tiempo. (a) Cul tasa crecimiento continua porcentual 25. (a) Cul es la tasa de crecimiento continua porcentual 1St para la funcin P = lOeO. 15t? para funcin Escriba esta funcin forma P = Poa (b) Escriba esta funcin en la forma P = Poatl. . Cul tasa crecimiento anual porcentual (e) Cul es la tasa de crecimiento anual porcentual (no continua) esta funcin? continua) de esta funcin? (d) Trace la grfica de P = lOeO. 1S1 y su respuesta del inciso Trace grfica lOeO.15t respuesta inciso mismo sistema coordenadas. Explique ve. (b) en el mismo sistema de coordenadas. Explique qu ve. Escriba las funciones de los problemas 26 al 29 en la forma Escriba funciones problemas forma P = Poatl.. Cules representan un crecimiento exponencial y P Poa Cules representan crecimiento exponencial cules decrecimiento exponencial? cules un decrecimiento exponencial? 26. P = 15eo. 25t 27. P = 2e -.5t 5t 26. 15eo.25t 2e-O O.

28. P = PoeO.2t2t = oeO.

29. P = 7e - '''' = 7e-rrt

En los problemas 30 al 33, ponga las funciones en la forma problemas ponga funciones forma .' p=po p=pot t= 15(1.5)1 30. P = 15(1.5)1

P = 10(1.7)t 31. P = 10(1.7)t

32. P = 174(0.9)t P = 174(0.9)t

33. P = 4(0.55)t P = 4(0.55)t

42. En 1980 haba unos 170 millones de vehculos (automviEn 1980 haba unos millones vehculos (automvicamiones) cerca millones habitantes les y camiones) y cerca de 227 millones de habitantes en Estados Unidos. El nmero de vehculos ha estado crecienEstados Unidos. nmero vehculos estado creciendo a razn de 4% al ao, mientras que la poblacin ha estado razn mientras poblacin estado creciendo 1% al ao. En qu ao habr, en promedio, un creciendo 1% En habr, promedio, vehculo por persona? vehculo por persona?

1 .7

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIALES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIALESMuchas cantidades en la naturaleza cambian de acuerdo con la funcin de crecimiento o decrecimiento Muchas cantidades naturaleza cambian acuerdo funcin crecimiento decrecimiento exponencial forma = Po donde cantidad inicial tasa crecimiento decreexponencial de la forma P = Poekl,t , donde Po es la cantidad inicial y k es la tasa de crecimiento o decrecimiento continua. cimiento continua.

1 La Agencia Proteccin Ambiental investig recientemente derrame yodo radiactivo. Ejemplo 1 La Agencia de Proteccin Ambiental (APA) investig recientemente un derrame de yodo radiactivo. El nivel radiacin sitio era aproximadamente milirrems/hora (cuatro veces ms lmite nivel de radiacin en el sitio era de aproximadamente 2.4 milirrems/hora (cuatro veces ms el lmite mximo aceptable milirrems/hora), por que orden una evacuacin rea circundante. ximo aceptable de 0.6 milirrems/hora), por lo que la APA orden una evacuacin del rea circundante. nivel radiacin una fuente yodo decrece una tasa continua por hora = -0.004. El nivel de radiacin de una fuente de yodo decrece a una tasa continua por hora de k = -0.004. Cul era nivel radiacin horas despus? (a) Cul era el nivel de radiacin 24 horas despus? (b) Calcule el nmero de horas hasta que el nivel de radiacin haya alcanzado el lmite mximo aceptanmero horas hasta que nivel lmite mximo acepta(b) Calcule radiacin haya alcanzado habitantes puedan regresar. ble y los habitantes puedan regresar.


44


Solucin

(a) El nivel de radiacin, R, en milirrems/ hora, en el tiempo t , en horas a partir de la medicin inicial, horas partir nivel radiacin, milirrems/hora, tiempo t, medicin inicial, est dado por est dado por = 2.4e-O.004t, R = 2.4e-O.004t ,por que nivel radiacin horas despus era por lo que el nivel de radiacin 24 horas despus era de= 2.4e(-o.004)(24) = 2.18 millirems/hora R = 2.4e(-O .004)(24) = 2.18 millirems/hora (b) La grfica figura mximo valor aceptable (h) La grfica de R = 2.4e - O.004t est en la figura 1.69. El mximo valor aceptable de R es de 0.6 miliR = 2.4e-O.004t est 0.6 milirrems/hora, lo que ocurre aproximadamente en t = 350. Usando logaritmos, obtenemos ocurre aproximadamente = 350. Usando logaritmos, obtenemos rrems/ hora,

0.6 = 2.4e-O.004t 0.6 = 2.4e-O.004t 0.25 = e-O.004t 0.25 = e- O.004t 0.25 -0.004t In 0.25 = -0.004t 0.25 In 0.25 = -0.004 = 346.57. t = -0.004 = 346.57. Los habitantes podrn regresar 346.57 horas, aproximadamente Los habitantes no podrn regresar en 346.57 horas, o en aproximadamente 15 das.milirremsjhora milirremsj hora

2 21 1 0.6 0.6

= 2.4e-O.004t P = 2.4e - O. 004t

'------'--_---'__ -'-----L--''-----'-_---'-_ _-'---.1.--.L.

horas horas

100 200 300 400 100 200 300 4001.69. Nivel yodo radiactivo. Figura 1.69. Nivel de radiacin del yodo radiactivo. radiacin

2 poblacin Kenia millones 21.2 millones Suponiendo Ejemplo 2 La poblacin de Kenia era de 19.5 millones en 1984 y de 21.2 millones en 1986. Suponiendo que la poblapoblaaumenta exponencialmente, encuentre frmula para poblacin Kenia como funcin cin aumenta exponencialmente, encuentre una frmula para la poblacin de Kenia como funcin del tiempo. tiempo.

Solucin

medimos poblacin, millones tiempo, aos desde 1984, podemos decir que Si medimos la poblacin, P, en millones y el tiempo, t, en aos desde 1984, podemos decir que = Poekt = 19.5ekt, P = Po e k t = 19.5e kt , donde = valor inicial Encontramos partir hecho = 21.2 cuando = donde Po = 19.5 es el valor inicial de P. Encontramos k a partir del hecho de que P = 21.2 cuando t = 2; por tanto por tanto 21.2 = 19.5ek 2 21.2 = 19.5e.k ..2 . Para calcular dividimos ambos lados ecuacin entre 19.5, cual Para calcular k dividimos ambos lados de la ecuacin entre 19.5, lo cual nos da 21.2 2k 2k 21.2 = 19.5 = e . Ahora tomemos ellogaritmo natural por ambos lados ecuacin: Ahora tomemos el logaritmo natural por ambos lados de la ecuacin: (21.1) = ln(e2k). In (21.1) = ln(e2k) . 19.5 Puesto que ln(e 2k = sta convierte Puesto que ln(e2k) ) = 2k, sta se convierte en

In (~~:~) In 19.5As, usando una calculadora, obtenemos As, usando una calculadora, obtenemos

(~)- 2k . = - 2k.

1 = - In (21.2) = 0.042, k = -In (21.2) = 0.042, 2 19.5 19.5por tanto, y, por tanto,P = 19.5eo.o42t. P = 19.5eo.o42t.

Como = 0.042 = 4.2%, poblacin Kenia estaba creciendo tasa continua Como k = 0.042 = 4.2%, la poblacin de Kenia estaba creciendo a una tasa continua de 4.2% al ao. 4.2% ao.


Captulo 1 // Funciones y cambio Captulo 1 Funcionesy cambio

45 45

Tiempo de duplicacin y vida media Tiempo de duplicacin y mediaCada funcin de crecimiento exponencial tiene un tiempo de duplicacin fijo y cada funcin de decrecitiempo Cada funcin crecimiento exponencial tiene duplicacin cada funcin decrecimiento exponencial tiene una vida media fija . miento exponencial tiene una vida media fija. El tiempo de duplicacin de una cantidad que aumenta exponencialmente es el tiempo que se una cantidad que aumenta exponencialmente tiempo que tiempo duplicacin requiere para que cantidad requiere para que la cantidad se duplique. duplique. La vida media de una cantidad que decrece exponencialmente es el tiempo que se requiere para vida media una cantidad que decrece exponencialmente tiempo que requiere para que sta se reduzca a la mitad. reduzca mitad. que sta

Ejemplo 3 Demuestre en forma algebraica que cada funcin que crece exponencialmente tiene un tiempo de dupliDemuestre tiempo forma algebraica que cada funcin que crece exponencialmente tiene duplicacin fijo. cacin

Solucin Solucin

Considere la funcin exponencial P = Poatt. . Para cualquier base a con a > 1 hay un nmero positivo d, Para cualquier base con a> hay nmero positivo Considere funcin exponencial = tiempo poblacin tiempo entontal que ad = 2. Demostramos que d es el tiempo de duplicacin. Si la poblacin es P al tiempo t, entonque d = Demostramos que duplicacin. d, poblacin ces en el tiempo t + d, la poblacin es tiempo poat+d = Poatadd = (Poatt )(2) = 2P. (P oa )(2) p oat+d Poata Entonces, no importa cul sea la cantidad inicial y tampoco cul sea el tiempo inicial, el tamao de la tampoco cul sea tiempo inicial, tamao Entonces, importa cul cantidad inicial poblacin duplica unidades tiempo despus. poblacin se duplica en d unidades de tiempo despus.

Ejemplo 4 La liberacin de c1orofluorocarbonos que se emplean en acondicionadores de aire y en aerosoles domsticos acondicionadores 4 liberacin c1orofluorocarbonos emplean aerosoles domsticos (atomizadores para cabello, crema destruye capa ozono atmsfera. (atomizadores para el cabello, crema de afeitar, etc.) destruye la capa de ozono de la alta atmsfera. La cantidad de ozono, Q, se est desintegrando exponencialmente a una tasa continua de 0.25% por ao. Cul es la una tasa continua ozono, desintegrando exponencialmente 0.25% por Cul vida media del ozono? En otras palabras, a esta tasa, cunto tardar para que la mitad del ozono desaparezca? ozono? ozono desaparezca? media palabras, cunto tardar para mitad Solucin cantidad inicial ozono aos, entonces Solucin Si Qo es la cantidad inicial de ozono y t es en aos, entoncesQ = Qoe-0.0025t. Q = Qo e-0 .0025t .

Deseamos hallar valor haciendo Deseamos hallar el valor de t haciendo Q

= Qo/ 2, as que Qo/2, as que Qo _ Q - 0.002 5t Q -0.0025t2 2oe

.

Al dividir ambos lados de la ecuacin entre Qo y luego tomar el logaritmo natural obtenemos dividir ambos lados ecuacin entre luego tomar ellogaritmo natural obtenemos

In (~) = - 0.0025t , (~) = -0.0025t,de modo que modo que ln (1/ 2) ln(1/2)

_

t

= -0. 0025 = 277 anos. = -0.0025 = 277

La mitad del ozono atmosfrico presente desaparecer en 277 aos. mitad ozono atmosfrico presente desaparecer 277 aos.

Aplicaciones financieras: inters compuesto Aplicaciones financieras: inters compuestoSuponga que depositamos $100 en un banco que paga intereses a una tasa de 8% al ao. Cunto hay en la banco que paga intereses una tasa Suponga que depositamos $100 ao. Cunto cuenta al final del ao? Esto depende de qu tan seguido el inters sea compuesto. Si el inters ingresa en inters cuenta ao? Esto depende qu seguido compuesto. inters ingresa la cuenta anualmente, es decir, slo al final del ao, entonces el saldo en la cuenta despus de un ao ser cuenta anualmente, slo final entonces saldo cuenta despus ser $108. obstante, inters entonces final paga dos veces paga primeros $108. No obstante, si el inters se paga dos veces al ao, entonces se paga el 4% al final de los primeros seis meses y 4% al final del ao. Se gana un poco ms de dinero de este modo, ya que el inters que se meses 4% final poco ms inters que gana dinero este modo, que paga a principios del ao genera intereses durante el resto del ao. Este efecto se denomina composicin. genera intereses durante Este efecto denomina composicin. paga principios resto En general, cuanto mayor sea la frecuencia con la que se compone el inters, ms dinero se ganar general, cuanto mayor frecuencia que compone inters, ms dinero ganar (aunque puede ser que el incremento no sea alto). Qu ocurrir si el inters es compuesto' con mayor fre(aunque puede incremento Qu ocurrir inters compuesto' con mayor cuencia, por ejemplo, cada minuto o cada segundo? El beneficio de incrementar la frecuencia de la compobeneficio incrementar cuencia, por ejemplo, cada minuto cada segundo? frecuencia composicin se vuelve insignificante despus de cierto punto. Cuando se llega a ese punto, hacemos el saldo vuelve insignificante despus sicin cierto punto. Cuando llega ese punto, hacemos saldo usando nmero hemos depositado $100 usando el nmero e y se dice que el inters por ao es compuesto continuamente. Si hemos depositado $100 dice que inters por compuesto continuamente.


46

Clculo aplicado

inters compuesto continuamente, saldo despus en una cuenta que paga un inters de 8% al ao compuesto continuamente, el saldo despus de un ao una cuenta que paga ser = $108.33. La composicin analiza posteriormente seccin Enfoque sobre moser de 100eo.o s = $108.33. La composicin se analiza posteriormente en la seccin Enfoque sobre modelado, general: delado, en la pgina 75. En general: pgina Supongamos que Po cantidad inicial depositada inters Supongamos que Po es la cantidad inicial depositada en una cuenta que paga una tasa de inters de una cuenta que paga una tasa Sea saldo cuenta despus aos. Entonces, r por ao. Sea P el saldo en la cuenta despus de t aos. Entonces, por inters compuesto anualmente: = ry' Si el inters es compuesto anualmente: P = P 0(1 + ry' inters compuesto continuamente: P = Poe , donde Si el inters es compuesto continuamente: P = Poertrt , donde e = 2.71828 ... = 2.71828 Escribimos Po para depsito inicial debido que = Observe que valor P cuando Escribimos Po para el depsito inicial debido a que es el valor de P cuando t = O. Observe que para una tasa de inters de 7%, r = 0.07. Si la tasa es continua, lo diremos explcitamente. inters 7%, = 0.07. para una tasa tasa continua, diremos explcitamente.

Ejemplo 5 Suponga que inters Ejemplo 5 Suponga que un banco anuncia una tasa de inters de 8% al ao. Si usted deposita $5,000, cunto habanco anuncia una tasa usted deposita $5,000, cunto br en la cuenta tres aos despus si el inters es compuesto (a) anualmente, (b) continuamente? cuenta aos despus inters compuesto (a) anualmente, continuamente? br (a) Para composicin anual, P = o = 5,000(1.08)3 = $6,298.56. Solucin (a) Para la composicin anual, P = Po(1 + r)t = 5,000(1.08)3 = $6,298.56. (1 esperarse, can(b) Para la composicin continua, P = P oert = 5,000eO.O.S.3 = $6,356.25. Como era de esperarse, la canPara composicin continua, P = P rt = 5,000eO.OS 3 = $6,356.25. Como era tidad en la cuenta tres aos despus es mayor si el inters es compuesto continuamente ($6,356.25) cuenta aos despus inters compuesto continuamente ($6,356.25) tidad mayor que que si se integra anualmente ($6,298.56). integra anualmente ($6,298.56). Ejemplo 6 depositan $10,000 inters una tasa 5% por ao, compuesto conEjemplo 6 Si se depositan $10,000 en una cuenta que genera un inters a una tasa de 5% por ao, compuesto conuna cuenta que genera tinuamente, cunto tiempo se necesitar para que el saldo de la cuenta sea de $15,000? cuenta $15,000? tinuamente, cunto tiempo necesitar para que saldo rt con r = 0.05 y Po = 10,000. rt con Debido que inters compone continuamente, utilizamos P = Poe = 0.05 Solucin Debido a que el inters se compone continuamente, utilizamos P = P oe Po = 10,000. Deseamos encontrar ecuacin Deseamos encontrar el valor de t para el cual P = 15,000. La ecuacin es valor para cual = 15,000. 15,000 1O,000eo.o5t 15,000 = 1O ,000eo.o.5t .Ahora dividimos ambos lados de la ecuacin entre 10,000 y despus de tomar logaritmos despejamos t: ecuacin entre 10,000 despus Ahora dividimos ambos lados tomar logaritmos despejamos= 1.5 =

5t eO.05t

In(1.5) In (1.5) = In(e005t)5t ) In (eo0 In(1.5) 0.05t ln (1.5 ) = 0.05t t = ln (1.5) = 8.1093. = In(1.5) = 8.1093. 0.05 0.05 aos para que saldo cuenta $15,000. Se necesitan aproximadamente 8.1 aos para que el saldo en la cuenta sea de $15,000. necesitan aproximadamente

Ejemplo 7 (a) Calcule tiempo duplicacin, inters 2%, comEjemplo 7 (a) Calcule el tiempo de duplicacin, D, para las tasas de inters de 2%, 3%, 4% y 5% por ao, compara tasas 4% por puestas anualmente. puestas anualmente. (b). Utilice sus respuestas del inciso (a) para comprobar que una tasa de inters de i% produce un tiemUtilice respuestas inciso para comprobar que una tasa de inters produce tiempo de duplicacin aproximado para valores pequeos de i con duplicacin aproximado para valores pequeos con 70 D +: aos. D ~ -:- aos. ~ ~ sta "regla 70" que usan banqueros: para calcular duplicacin aproximado sta es la "regla del 70" que usan los banqueros: para calcular el tiempo de duplicacin aproximado de tiempo una inversin, divida 70 entre la tasa de inters anual porcentual. entre inters anual porcentual. una inversin, divida tasa Tenemos duplicacin para una tasa inters anual usando frmula Solucin (a) Tenemos el tiempo de duplicacin para una tasa de inters al 2% anual usando la frmula P tiempo Po(1.02Y con t en aos . Para calcular el valor de t para el cual P = 2Poo' obtenemos aos. Para calcular Po(1.02)t con valor para cual P = 2P ' obtenemos 2Poo = Po(1.02)t 2P P o(1.02)t = (1.02)t 2 = (1.02)t = In(1.02)t In 2 = ln (1.02)tIn(1.02) (usando logaritmos) (usando la tercera propiedad de logaritmos) tercera propiedad In 2 = t ln (1.02) In2 ln2 t = - - = 35.003 aos. -35.003 aos. In 1.02 1.02


Captulo 1 I Funciones y cambio

47

Con una tasa de inters anual de 2% lleva cerca de 35 aos que una inversin duplique su valor. De igual manera, vemos los tiempos de duplicacin para el 3%, 4% Y 5% en la tabla 1.29. Tabla 1.29Tiempo de duplicacin como funcin de la tasa de inters

i (tasa de crecimiento

anual porcentual)

2 35.003

3 23.450

4 17.673

5 14.207

D (tiempo de duplicacin en aos) (b) Calculamos (70ji) Tabla 1.30 para i = 2,3,4,5.

Los resultados se muestran en la tabla 1.30.

Tiempo aproximado de duplicacin como funcin de la tasa de inters: regla de 70

i (tasa de crecimiento anual porcentual) (70Ji) (tiempo de duplicacin

2 35.000

3 23.333

4 17.500

5 14.000

aproximado en aos)

Al comparar las tablas 1.29 y 1.30 vemos que la cantidad (70ji) es una buena aproximacin del tiempo de duplicacin, D, para las tasas de inters pequeas que consideramos.

Valor presente y futuroMuchos convenios de negocios involucran pagos a futuro. Por ejemplo, cuando se compra un automvil a crdito, los pagos se hacen durante cierto periodo de tiempo. Obviamente es peor que nos paguen $100 en el futuro a que nos paguen $100 hoy por muchas razones. Si nos dan dinero en el presente podemos hacer algo ms con l, por ejemplo, ponerlo en el banco, invertirlo en algn lugar, o gastarlo. Por tanto, incluso sin considerar la inflacin, si aceptamos un pago en el futuro, esperaramos que se nos pagara ms para compensar esta prdida de ganancias potenciales.'! La cuestin que ahora consideraremos es, cunto ms? Para simplificar el asunto, consideremos slo lo que perderamos si no ganamos intereses; no consideremos el efecto de la inflacin. Veamos ciertos nmeros especficos. Suponga que depositamos $100 en una cuenta que gana 7% de inters anual compuesto, de modo que al cabo de un ao tenemos $107. Por consiguiente, $100 de hoy valdrn $107 de aqu a un ao. Decimos que los $107 son el valor futuro de los $100 y que los $100 son el valor presente de los $107. En general, decimos lo siguiente: El valor futuro, B, de un pago, P, es la cantidad a la cual P habra aumentado si se depositaran ahora en una cuenta bancaria que rinda inters . El valor presente, P, de un pago futuro, B, es la cantidad que se tendra que haber depositado en una cuenta. bancaria hoy para producir exactamente B en la cuenta en el tiempo fijado en el futuro. Debido al inters ganado, el valor futuro es mayor que el valor presente. La relacin entre los valores presente y futuro depende de la tasa de inters, como se muestra a continuacin. Suponga que B es el valor futuro de P y P es el valor presente de B. Si el inters es compuesto anualmente a una tasa r durante t aos, entonces

B

==

P(l

+ r)t,

o equivalentemente,

P

=

(1 : r )t .

Si el inters es compuesto continuamente

a una tasa r durante t aos, entonces

B

Pert,

o 10 que es igual,

P

= ~ =

ert

Be-rt

La tasa, r, algunas veces se llama tasa de descuento. El valor presente con frecuencia se denota porVP y el valor futuro por VF.31 ste

es conocido como el valor del dinero a travs del tiempo.


48


8 Usted gana lotera ofrecen elegir entre milln cuatro pagos anuales $250,000 cada uno Ejemplo 8 Usted gana la lotera y le ofrecen elegir entre un milln en cuatro pagos anuales de $250,000 cada uno a partir de ahora, y un pago total de $920,000 en este momento. Suponga una tasa de inters del 6%, comahora, $920,000 este momento. Suponga una tasa inters 6%, compartir pago total puesta continuamente, sin considerar impuestos, cul escogera? considerar impuestos, cul escogera? puesta continuamente, Solucin Supongamos que elige opcin con cuatro pagos Solucin Supongamos que elige la opcin con el mayor valor presente, y recibe el primero de los cuatro pagos de mayor valor presente, recibe primero $250,000 este momento, por que $250,000 en este momento, por lo queValor presente Valor presente del primer pago primer pago= $250,000 = $250,000

recibir segundo pago, por tanto En un ao recibir el segundo pago, y por tantoValor presente del segundo pago = $250,000e-O.0 6(1). Valor presente del segundo pago = $250,000e-O.06(1). calculamos igual manera valor presente Si calculamos de igual manera el valor presente de los pagos tercero y cuarto, tenemos: pagos tercero cuarto, tenemos: Valor presente total = $250 ,000 Valor presente total = $250,000 $250,000e-006(l) $250,000e-O.06(2) $250,000e-O.0 (3) + $250 ,000e-00 6 ( 1) + $250 ,000e-O.06 (2) + $250 ,000e- O.606 (3) = $250,000 $235,441 $221,730 $208,818 = $250,000 + $235,441 + $221 ,730 + $208,818= $915,989. = $915 ,989.

Como los cuatro pagos $920,000, conviene optar por Como el valor presente de los cuatro pagos es menor de $920,000, a usted le conviene optar por los valor presente menor usted $920,000 ahora mismo. $920,000 ahora mismo. Por otra parte, podemos comparar esquemas Por otra parte, podemos comparar los valores futuros de los dos esquemas de pago. Calculamos el valores futuros pago. Calculamos valor futuro de ambos esquemas despus de tres aos, fecha del ltimo pago de $250,000. En ese moambos esquemas despus $250,000. ese movalor futuro tres aos, fecha ltimo pago mento, mento, Valor futuro del pago total Valor futuro del pago total= $920,000eO.06(3) = $1,101,440. = $920,000eO.0 6 ( 3) = $1 ,101,440.

valor futuro $250,000 Calculando $250,000eO.06 valor futuro El valor futuro del primer pago de $250,000 es $250,000eO.06(3).(3) . Calculando el valor futuro de los primer pago otros pagos forma parecida, tenemos: otros pagos de forma parecida, tenemos: Valor futuro total = $250 ,000e O. 06(3) Valor futuro total = $250,000eO.06 (3)= $1,096,637. = $1,096,637.

$250,000eO.0 06 $250,000e00 (l) $250,000 + $250 ,000eO5.(2) (2) + $250,000e0 506 ( 1) + $250,000 = $299,304 $281,874 $265,459 $250,000 = $299,304 + $281 ,874 + $265 ,459 + $250,000

Como esperamos, $920,000 mayor, por que mejor tomar $920,000 Como esperamos, el valor futuro del pago de $920,000 es mayor, por lo que es mejor tomar los $920,000 valor futuro pago este momento. en este momento. (Nota: letras pequeas, encontrar que muchas loteras hacen (Nota: Si lee las letras pequeas, encontrar que muchas loteras no hacen sus pagos inmediatamente, pagos inmediatamente, distribuyen, veces largos periodos futuro. Esto sino que, por lo general, los distribuyen, a veces en largos periodos a futuro. Esto es para reducir el valor por general, para reducir valor presente de los pagos que se realizarn, de modo que el valor de los premios i es menor de lo que al prinpremios ies menor que presente pagos que realizarn, modo que valor principio pudiera parecer!) cipio pudiera parecer!)

Problemas para la seccin 1.7 Problemas para la seccin 1.7Encuentre que duplica una cantidad que 1. Encuentre el tiempo en el que se duplica una cantidad que tiempo aumenta aumenta 7% al ao. cantidad 2. Si la cantidad de una sustancia disminuye 4% en 10 horas, una sustancia disminuye 4% horas, determine su vida media. determine su vida media. La vida media das. 3. La vida media de una sustancia radiactiva es de 12 das. una sustancia radiactiva Inicialmente hay 10.32 gramos. Inicialmente hay 10.32 gramos. (a) Escriba una ecuacin para cantidad, sustan(a) Escriba una ecuacin para la cantidad, A, de la sustancia como funcin cia como funcin del tiempo. tiempo. Cundo gramo? (b) Cundo se reduce la sustancia a un gramo? reduce sustancia

sangre 4. La vida media de nicotina en la sangre es de dos horas. Una La vida media nicotina horas. Una persona absorbe 0.4 miligramos de nicotina al fumar un cicipersona absorbe 0.4 miligramos nicotina fumar garro. Complete siguiente tabla con cantidad nicotigarro. Complete la siguiente tabla con la cantidad de nicotina que queda en la sangre despus de t horas. Calcule la que queda sangre despus horas. Calcule duracin tiempo hasta que cantidad nicotina duracin de tiempo hasta que la cantidad de nicotina se reduzca 0.04 miligramos. duzca a 0.04 miligramos.t (horas) _t-,-(h_O_ra_s_) Nicotina (mg) Nicotina (mg)

10~41 ~~

2

14 16 18 1

10

5. Si usted deposita $10,000 en una cuenta que genera intereses usted deposita una cuenta que genera intereses 8% compuesta continuamente, cunto a una tasa anual de 8% compuesta continuamente, cunto una tasa anual dinero tendr cuenta despus cinco aos? dinero tendr en su cuenta despus de cinco aos?

$10,000


Captulo 1 I Funciones y cambio

49 49

6. Usted invierte $5,000 en una cuenta que paga un inters una cuenta que paga inters Usted invierte $5,000 compuesto continuamente. compuesto continuamente. (a) Cunto dinero tendr en la cuenta despus de ocho (a) Cunto dinero tendr en cuenta despus ocho aos si la tasa de inters anual es de 4 por ciento? aos tasa inters anual por ciento? (b) Si quiere que la cuenta tenga $8,000 despus de ocho quiere que cuenta tenga $8,000 despus ocho aos, qu tasa de inters se necesita anualmente? aos, qu tasa inters necesita anualmente? 7. Suponga que se invierten $1,000 en una cuenta que genera Suponga que invierten $1,000 una cuenta que genera intereses a una tasa de 5.5% al ao. Cunto dinero hay en intereses una tasa 5.5% Cunto dinero hay la cuenta despus de ocho aos si

Calculo Aplicado 2aed Hughes-hallett Et Al

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