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F A C U L T A D D E C I E N C I A S E C O N Ó M I C A S Y F I N A N C I E R A S

RED NACIONAL UNIVERSITARIAUNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

CARRERAS INGENIERIA COMERCIAL

AUDITORIAADMINISTRACION

MARKETING Y PUBLICIDAD

PRIMER SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURACALCULO I

Elaborado porI!"# To$a% Alb&r'o Sala(ar#

Gestión académica II/2012

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 1

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UDABOLUNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada c m !LENA mediante R" #" 2$$/01

VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Ser la universidad líder en calidad educativa.

MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la educación superior universitaria con calidad ycompetitividad al servicio de la sociedad.

Estimado (a) estudiante:

El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quieneshan puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza parabrindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te ser irá de !u"a para queor!anices mejor tus procesos de aprendizaje y los ha!as muchos más producti os. Esperamosque sepas apreciarlo y cuidarlo.

A%r &ad % r' ((((((((((((((((((((((((((((( )ec*a' A+ st de, 2012)irma - se,, de, .e e de arrera"


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SYLLABUS

ASIGNATURA AL ULO ICÓDIGO #A " 101 RE)UISITO AD#ISI NCARGA *ORARIA 100 3 ras*ORAS TEÓRICAS $0 3 ras*ORAS PRACTICAS 20 3 rasCRÉDITOS 10

I# OB+ETIVOS GENERALES#

4 Res ,5er %r &,emas a&stract s sim6,ad s - rea,es re,ati5 s a, c7,c6, matem7tic

4 Determinar ana,8tica - +r7 icamente e, d mini - ,a ima+en de ,as 6nci nes4 Res ,5er adec6adamente , s di erentes ti% s de ,8mite c n e iciencia4 A%,icar adec6adamente , s mét d s - ,as ta&,as de deri5ación4 A%,icar adec6adamente , s mét d s - ta&,as de inte+ración4 Ana,i9ar 8nte+ramente ,as caracter8sticas de 6na 6nción a%,icand , s criteri s adec6ad s

de crecimient - decrecimient : m7;im - m8nim : inter5a, de c nca5idad - crecimient -%6nt de in ,e;ión - c ntin6idad

II# PROGRAMA ANAL,TICO#

TEMA I GEOMETR,A ANAL,TICA#1"1 Distancia entre d s %6nt s1"2 !endiente1"< La recta1"= Ec6aci nes de ,a recta1"> !ara,e,ism - %er%endic6,aridad1"? !r &,emas de a%,icación

TEMA II N-MEROS REALES. DESIGUALDADES E INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

2"1 Desi+6a,dades inec6aci nes2"2 Inter5a, s )init s e In init s"2"< Re%resentaci nes Gr7 icas2"= Va, r A&s ,6t

TEMA III FUNCIONES

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An7,isis de c ntin6idad

TEMA V LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

>"1 De inición de Deri5adas">"2 Inter%retación Ge métrica>"< Deri5ación c n e, 6s de ta&,as>"= Deri5ada de ,as )6nci nes m%6estas" Re+,a de ,a adena>"> Deri5adas de rden s6%eri r >"? #7;im s - #8nim s

TEMA VI LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDAS Y SUS APLICACIONES

>"1 Inte+ra, Inde inida' De inición - !r %iedades">"2 Inte+ración % r ta&,as' Us de a&,as>"< Inte+ración % r cam&i de Varia&,e>"= Inte+ra,es de inidas>"> A%,icaci nes' 7,c6, de @rea"

III# ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL

La materia es de, /TIPO B0. s n materias 6e c m%,ementan e, c n cimient de,est6diante - n inciden en rma directa c n ,a %r7ctica %r esi na, de, est6diante"

D1a"!2%'13o d& S1'4a31o!al#

De ac6erd c n , s dat s &tenid s de ,a Bri+adas Uda& , rea,i9adas en e, distrit 1 den6estra ci6dad: se , +r e5idenciar ,a a,ta de c n cimient de, mane. im% siti5 tant de,a !-mes c m de ,as em%resas c nstit6idas en s ciedad"Una de ,as ca6sas %rinci%a,es es ,a a,ta de n C * C c n cimient en temas de ,a+estión em%resaria, inte+ra, mar etin+: administración: c nta&i,idad: rec6rs s *6man s:%res6%6est s: %,ani icación: c mercia,i9ación: tri&6tación: %r -ect de in5ersión "#6- a%arte de , menci nad anteri rmente: n *an se *an esta&,ecid s % ,8ticas c,aras

6e menten e, sect r de ,as !-#EFs en e, desarr ,, de ,as +estión em%resaria,"

No$br& d&l Pro5&3'o ONSUL OR A' !restación de ser5ici s %ara ,as !-#EFs"La e.ec6ción de di erentes %r +ramas de interacción s cia, - ,a e,a& ración e im%,ementación de6na ns6,t r8a de ,a arrera de In+enier8a mercia, en e, desarr ,, c m6nitari : a-6da a,est6diante en s6 rmación %r esi na, inte+ra, de ,a carrera - de ,a asi+nat6ra en %artic6,ar

6ienes s n , s &ene iciad s c n esta iniciati5a" La materia a% rtara a, %r -ect de ,a si+6ientemanera"

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A =

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IV# EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA#

• PROCESUAL O FORMATIVA#

A3'181dad d& a4la ab1&r'a Ser5ici de c ns6,tar8a "

Las 5inc6,adas a ,a acti5idad de a6,a a&ierta S&r8131o% d& Co!%4l'ar9a0rmaran %arte de ,ase5a,6aci nes %r ces6a,es: cada 6na de estas se e5a,6ar7n de ,a si+6iente manera'

R&%4l'ado% d& la 81%1'a a P5$&% :d& ; a

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Se rea,i9ara 6na s ,a e5a,6ación ina, 6e tendr7 ,a % nderación c rres% ndiente mediante6n e;amen teóric %r7ctic "

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A

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V# BIBLIOGRAF,A B SICA#

R na,d E" Lars n 4 R &ert !" 3 stet,er 7,c6, - +e metr8a ana,8tica# Ed" #cGraC3i,, #é;ic 1 " S1"# Top "

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A $

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VI# PLAN CALENDARIOSEMANA ACTIVIDADES ACADÉMICAS OBSERVACIONES

1ra" A5ance de materia ema I

2da" A5ance de materia ema I

ta" A5ance de materiaema II

?ta" A5ance de materiaema III

ma" A5ance de materiaema III

$5a" A5ance de materiaema III

na" A5ance de materiaema IV

10ma" A5ance de materia

ema IV

11ra" A5ance de materia ema IV

12da" A5ance de materia ema IV .

1ta" A5ance de materiaema V

1?ta A5ance de materia ema VI

1 ta" A5ance de materia Unidad VI

1$5a" A5ance de materiaUnidad VI

1 na" A5ance de materiaRe%as Genera,

205a" Se+6nda instancia" "


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VII# JORKS PAPER S

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

JORK PAPER >

UNIDAD O TEMA GEOMETR,A ANAL,TICATITULO La l9!&a r&3'aFEC*A DE ENTREGA >&r Par31al

La l9!&a r&3'a

La ,8nea recta es ,a s6cesión de %6nt s entre , s c6a,es se mantiene c nstante ,a misma%endiente: es decir ,a misma inc,inación: +r7 icamente ,a ,8nea recta: a, tener ,a mismainc,inación en t das s6s %artes se %6ede +ra icar mediante e, 6s de 6na re+,a: ,a ,8nea rectaana,8ticamente se %6ede e;%resar mediante 5arias ec6aci nes: entre ,as m7s im% rtantestenem s'

Ec6ación %endiente - rdenada en e, ri+en' bmx y +=

Ec6ación +enera,' 0=++ cbyax

Ec6ación %6nt P %6nt '( ) ( )112

121 x x

x x

y y y y −

−−=−

Ec6ación %6nt %endiente' ( )11 x xm y y −=−


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CUESTIONARIO DEL JORK PAPER >LA RECTA

># a= Gra icar , s %6nt s

A 42: < B 1:41 0:< D 2:= E 42:0

) 41:= G 0:42 3 0:0 I :0 - 41:41

3= Q6e %ase % r 4

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# Dada ,a ec6ación de ,a recta *a,,ar ,a %endiente: ,a rdenada en e, ri+en - ,a +r7 ica

a= 13324 +−=− y x x y

b= y x 323 +−=

3=396

=− y x

d= 0321

2 =+− x y

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JORK PAPER ?

UNIDAD O TEMA GEOMETR,A ANAL,TICA

TITULO La par bolaFEC*A DE ENTREGA >&r Par31al

La par bola# La %ar7& ,a es e, ,6+ar +e métric de t d s , s %6nt s c6-a distancia a 6n %6nt

i. c es i+6a, a ,a distancia a 6na recta i.a directri9

El 8 r'13 E, 5értice de ,a %ar7& ,a es ,a %6nta 6e esta %resenta: tiene c m c rdenadas

V *:

La distancia de, 5értice a, c se den mina aJ

La distancia de, 5értice a ,a directri9 se den mina aJ

E6& d& la Par bola#E, e.e de ,a %ar7& ,a es e, e.e s &re e, c6a, est7 a,inead esta: - %6ede ser

e.e ;J ó e.e -J

El lado r&3'o :LR=Es 6na ,8nea recta %er%endic6,ar a, e.e de ,a %ar7& ,a - se sitKa a ,a a,t6ra

de, c

E34a31o!&% d& la par bola#

Las ec6aci nes de ,a %ar7& ,a de%enden de, e.e s &re e, c6a, se enc6entre ,a %ar7& ,a: as8

tenem s

Par bola %obr& &l &6& / 0

( ) ( )h xak y −±=− 42 n 5értice 6era de, ri+en: en e, %t " *:

ax y 42 ±= n 5értice en e, ri+en


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02 =+++ d cybx y Ec6ación +enera,

Par bola %obr& &l &6& /50( ) ( )k yah x −±=− 42 n 5értice 6era de, ri+en: en e, %t " *:

ay x 42 ±= n 5értice en e, ri+en

02 =+++ d cybx x Ec6ación +enera,

CUESTIONARIO DEL JORKS PAPER ?La par bola

>#Gra icar mediante ta&,a de 5a, res ,as si+6ientes %ar7& ,as'

a= 121 2 += x y b= 2

21 2 −= x y

3= 32 2 += y x d= 421 2 −−= y x

?# Dadas ,as si+6ientes %ar7& ,as determinar' a Las c rdenadas de, 5értice & Lasc rdenadas de, c c La +r7 icaa= 012842 =−−− y x x b= 0264102 =−−+ y x y 3= 03024122 2 =−−− y x x

d= 0204122 =−−+ y x y &= 07510202 =−++ y x y = 06036123 2 =−+− y x x

@#3a,,ar ,a ec6ación de ,a %ar7& ,a - ,a +ra ica en , s si+6ientes cas s'

a=Q6e ten+a 5értice en e, %t 2:2 - c en e, %t 2: 41

b=Q6e ten+a c en e, %t 1:1 - 5értice en e, %t =:1

3=Q6e ten+a c en e, ri+en - 5értice en e, %t 0:=

d=Q6e ten+a 5értice en 42:41 - c en 0:41

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 1=

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JORKS PAPER @

UNIDAD O TEMA N-MEROS REALES. DESIGUALDADES.INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTOTITULO D&%1"4aldad&%FEC*A DE ENTREGA >&r Par31al

I!'&r8alo &! &l &6& r&al#Un inter5a, es 6n ran+ de 5a, res s6&c n.6nt de , s nKmer srea,esD&%1"4aldad#Una desi+6a,dad en 6na 5aria&,e es 6na e;%resión 6e c ntiene 6na 5aria&,e -% r , men s 6na re,ación de desi+6a,dad c m ser' men r 6e: men r i+6a, 6e: ma- r 6e:ma- r i+6a, 6e"Co!64!'o %ol4312!# E, c n.6nt s ,6ción de 6na desi+6a,dad es e, inter5a, 6e c ntiene a,c n.6nt de t d s , s 5a, res 6e satis acen ,a desi+6a,dad inicia,"

R&%ol8&r la% %1"41&!'&% d&%1"4aldad&%

># 253 ++−

# 23 < x

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>;# ( )( ) 0

3232 >−

− x x x

>># 02452 ?# 01128 2 ≥−+ x x

>@# 3652 +< x x

> # 0353 2 # 0247 2 ≤++ x x

> # 32

31

23

21

32

2 +

−<

−− x x x r&%p# )( 1,∞−

> #

−−≥++

−

21

32

361

32

31

32

x x x r&%p# [ )∞,2

>H#

−−≤+−

−

32

32

43

32

34

43

321

32 x x x

x r&%p# ∞,

3

2

?;# ( )( ) 7412 −≤−+ x x r&%p#

3,21

?># ( )( ) 3112 ≥−− x x r&%p# [ [∞−∞− ,221,

??# ( )( ) 8253 −≤−+ x x r&%p#

− 1,

32

?@# ( )( ) 7113 ≥+− x x r&%p# [ ] ∞−∞− ,34

2,

? # x x x +>+ 23 1 r&%p#] [ { }1,1 −∞−

?

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? # x

x x x

−++≥+

+3

12

243 r&%p# [ ]] [∞−∞− ,32,

?H#4

3

2

1

2

12

−≥

−

+−+

− x

x

x

x

x

x r&%p# ( ] ( )∞− ,20,2 U

@;#6

32

534

2222 −+

≤−−

+++ x x x x x x

r&%p# ( ] ( )2,12,3 −−− U


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JORKS PAPER

UNIDAD O TEMA FUNCIONESTITULO F4!31o!&% &! 4!a 8ar1abl&FEC*A DE ENTREGA >&r Par31al

F4!312!# Una 6nción es 6na c rres% ndencia de e,ement s de 6na 5aria&,e ;J c n e,ement s de 6na5aria&,e -J d nde ,a ;J es ,a 5aria&,e inde%endiente - ,a -J es ,a 5aria&,e de%endiente: % r , tant se%6ede den tar ( ) x f y = % r 6e est7 en 6nción de ; " En 6na 6nción se de&e c6m%,ir 6e %ara cada5a, r de ,a 5aria&,e inde%endiente ; s , ,e de&e c rres% nder 6n s , 5a, r de ,a 5aria&,e de%endiente -:est +r7 icamente se c m%r6e&a c6and tra9and 6na ,8nea 5ertica, en c6a, 6ier %6nt de ,a 6nción:de&e c rtar a esta en s , 6n %6nt " da 6nción tiene'

a= Do$1!1o# E, d mini de 6na 6nción es e, c n.6nt rmad % r t das ,as %rimerasc m% nentes de , s %ares rdenad s de ,a 6nción: es decir % r t d s , s 5a, res % si&,es de ,a 5aria&,einde%endiente ;J" Ana,8ticamente se %6ede determinar e, d mini des%e.and ,a 5aria&,e de%endiente -J- ana,i9and ,as restricci nes %ara ,a ;J

b= I$a"&!# La ima+en de 6na 6nción es e, c n.6nt rmad % r t das ,as se+6ndasc m% nentes de , s %ares rdenad s de ,a 6nción: es decir t d s , s % si&,es 5a, res de ,a 5aria&,ede%endiente -J: ,a ima+en tam&ién es c n cida c m d mini de ima+enJ c m ran+ J"

Ana,8ticamente se %6ede determinar ,a ima+en des%e.and ,a 5aria&,e inde%endiente ;J - ana,i9and ,asrestricci nes %ara ,a -J

Tipos de func iones

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 1$

Polinómicas

Trascendentes

RacionalesRadicales atrozos

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FUNCIONES POLINÓMICAS

So! la% 4!31o!&% 4& 81&!&! d& 1!1da% por 4! pol1!o$1o#

; a0 a 1 ; a 1 ;T a1 ; an ; n

&=F4!31o!&% 3o!%'a! '&%

El 3r1 '&r1o 81&!& dado por 4! !Q$&ro r&al#

: =

La +r7 ica es 6na rec ta * r i9 nta , %ara ,e ,a a a , e .e de a&scisas"

b= F4!31o!&% pol1!2$13a% d& pr1$&r " rado

: = $ !

S6 +r7 ica es 6na rec ta : 6e 6eda de in ida % r d s %6nt s de ,a 6nc ión"

3= F4!31o!&% 34adr '13a%

: = a b 3

S n 6 nc i n e s % ,i n óm i ca s d e s e +6 n d + ra d : s i en d s 6 + r7 ic a 6 n a%ar7& ,a"

FUNCIONES RACIONALES

E, c r i te r i 5 iene dad % r 6n c c ien te en t re % , in mi '

E , d min i , rman t d s , s nKmer s r ea , e s e ; ce%t , s 5a , r e s de ; 6e

an6,an e , den minad r"

FUNCIONES RADICALES

E, c r i te r i 5 iene dad % r ,a 5ar ia&,e ; &a. e , s i+n rad ica ,"

E, d mini de 6na 6nc ión i r rac i na , de 8ndice im%ar es R"


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E, d mini de 6na 6nc ión i r rac i na , de 8ndice %ar es t7 rmad % r t d s , s

5a , res 6e *acen 6e e , rad icand sea ma- r i+6a , 6e cer "

FUNCIÓN E PONENCIAL

: = a

Sea a 6n nKmer r ea , % s i t i 5 " La 6nc ión 6e a cada nKmer r ea , ; , e *ace

c r res% nder ,a % tencia a; se , , ama f u n c i ó n e x p o n e n c i a l d e b a s e a y e x p o n e n t e

x #

FUNCIONES LOGAR,TMICAS

La 6nc ión , +a r8 tmica en &ase a e s , a 6nc ión in5e r sa de , a e ;% nenc ia , en

&ase a"

: = lo"a

aW;. a X >

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA

F4!312! %&!o

: = %&!

F4!312! 3o%&!o

: = 3o%&!


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CUESTIONARIO DEL JORKS PAPER

F4!31o!&%

1. 3acer e, +r7 ic : *a,,ar e, D mini e ima+en de ,as si+6ientes re,aci nes:

indicar si es 6nción n "

1.- 2.- 3.-

4.- 5.- 6.-

7.- 8.- 9.-

9.- 10.- 11.-

12.- 13.-

14.- 15.-

16.- 17.-

18.- 19.-

20.- 21.-


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22.- 23.-

24.- 25.-

26.- 27.-

28.- 29.-

30.- 31.-

32.-



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JORKS PAPER <

UNIDAD O TEMA FUNCIONES

TITULO Apl13a31o!&% d& la% 4!31o!&%

FEC*A DE ENTREGA %&"4!do par31al

># S6%ón+ase 6e e, c st t ta, en dó,ares de ,a a&ricación de 6nidades de ciert

artic6, est7 dad % r ,a 6nción ( ) 50040030 23 ++−= qqqqC a a,c6,ar e, c st de a&ricación de 20 6nidades"& a,c6,ar e, c st de a&ricación de ,a 5i+ésima 6nidad"

?#Se estima 6e dentr de t aH s ,a % &,ación de cierta c m6nidad s6&6r&ana ser7

( ) .1

620 milest

t p +−=

a W 67, ser7 ,a % &,ación de ,a c m6nidad dentr de aH sX& W 67nt crecer7 ,a % &,ación d6rante e, n 5en aH X

@# Se estima 6e e, n6mer de * ras4tra&a.ad r re 6eridas %ara distri&6ir n6e5as+68as te,e ónicas a, ;Y de ,as ami,ias en cierta c m6nidad r6ra, esta dad % r ,a

6nción ( ) x

x x f −= 300600

a W 67, es e, d mini de ,a 6nción X

& W!ara 6e 5a, res de ; tiene ( ) x f 6na inter%retación %ractica en este c nte;t X

c W 67ntas * ras4tra&a.ad r se necesitar n %ara distri&6ir ,as n6e5as +68aste,e ónicas a, %rimer >0Y de ,as ami,iasXd W 67ntas * ras4tra&a.ad r se necesitar n %ara ,a distri&6ir ,as n6e5as +68aste,e ónicas en t da ,a c m6nidadX

e WQ6é % rcenta.e de ami,ias *a&8an reci&id n6e5as +68as te,e ónicas c6and sec m%,etar n 1>0 * ras4tra&a.ad rX# S6%ón+ase 6e d6rante 6n %r +rama naci na, %ara inm6ni9ar a ,a % &,ación

c ntra ciert ti% de +ri%e: , s 6nci nari s de sa,6d %K&,ica enc ntrar n 6e e, c st


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de 5ac6nar a, ;Y de ,a % &,ación era a%r ;imadamente ( ) x

x x f −= 200

150 mi,, nes de

dó,ares"a W 6a, es e, d mini de ,a 6nción ZX

& W!ara 6e 5a, res de ; tiene ( ) x f 6na inter%retación %ractica en este c nte;t Xc W 67, 6e e, c st de ,a 5ac6nación de, %rimer >0Y de ,a % &,aciónX

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 2=

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JORKS PAPER

UNIDAD O TEMA LIMITESTITULO El 3 l34lo d&l l9$1'& d& 4!a 4!312!FEC*A DE ENTREGA ?do Par31al

El l9$1'E, ,8mite de 6na 6nción ( ) x f se den ta LJ: es e, 5a, r en e, e.e de ,a5aria&,e de%endiente -J *acia e, c6a, tiende ,a 6nción c6and ,a 5aria&,einde%endiente ; tiende a 6n 5a, r dad aJ - se den ta' ( ) L x f

a x=

→lim

3a,,ar e, ,8mite en , s si+6ientes cas s'

( )3.42

126lim)

2=−

−→

Rta x x

a x

( )639

lim)2

3=−

−→

Rta x x

b x

=

+−+−

→ 32

4586

lim) 22

4 Rta

x x x x

c x

( )012lim) 32

1 =− +−→ Rta x x x xd x

( )6156

18lim) 2

3

2

1=

+−−

→ Rta

x x

xe

x

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 2>

8/16/2019 CALCULO I--

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( ) ( )311lim)3

0=−+

→ Rta

x

x f

x

=−

−→ 2

111

lim)1

Rta x x

g x

=

−+−+

→ 23

1111

lim)30

Rta x

xh

x

( )34

8lim)

364=

−−

→ Rta

x

xi

x

( )

=

−+−

→ 91

1

12lim) 2

33 2

1 Rta

x

x x

x

( )122

8lim)38

=−−→ Rta

x xk

x

−=−

−−→ 56

149

32lim) 27 Rta x

xl

x

( )111lim)0

=−−+→

Rta x

x xm

x

−=

−−+−

→ 31

5153

lim)4

Rta x x

! x

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 2?

8/16/2019 CALCULO I--

27/57


( )424

lim)2

2=

−−

→ Rta

x x

" x

( )311lim)3

1 =−−→ Rta x x p x

( )53

6lim)

2

3−=

+−+

−→ Rta

x x x

# x

( )105

25lim)

2

5=

−

−→

Rta

x

x s

x

=

−−−

→ 34

24

lim) 22

2 Rta

x x x

t x

( )2254

lim) 22

1=

−+−+

→ Rta

x x x x

$ x

−=

+−−

→ 21

864

lim) 22

2 Rta

x x x

% x

( )∞=+−

−→

Rta x x

x&

x 442

lim) 22

># 3a,,ar , s si+6ientes ,8mites'

( )

−=−+−

∞→ 21

6lim) 2 Rta x x xa x


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( )

=−+

∞→ 21

1lim) 2 Rta x x xb x

( )( ) =−+∞→ 2lim) a Rta xa x xc x

( )∞=+−

∞→ Rta

x x

d x 3

12lim)

2

( )312

16lim) =

−

+∞→

Rta

x

xe

x

( )11

1lim)

2

=−−

∞→ Rta

x x

f x

=

+−−+−+

∞→ 21

35242352

lim) 2323

Rta x x x x x x

g x

( )743

732lim) 2

2

−=+−

−+∞→

Rta x x

x xh

x

MAS LIMITES

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 2$

8/16/2019 CALCULO I--

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31/57



8/16/2019 CALCULO I--

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JORK PAPER

UNIDAD O TEMA LIMITESTITULO D&'&r$1!a312! d& a%9!'o'a%

FEC*A DE ENTREGA ?do Par31al

A%9!'o'a%#Las as8nt tas s n ,8neas ima+inarias *acia ,as c6a,es se acerca ,a 6nción %er sin,,e+ar a c rtar,as

1" !ara ,as si+6ientes 6nci nes determinar D mini : Ima+en: +ra ic : As8nt ta * ri9 nta,: As8nt ta 5ertica,: As8nt ta &,ic6a"

( ) x

x x f a

13) +=

( )1

2) 2 −= x

x x f b

( ) x

x x x f c

12) −+=

( )4

) 22

−=

x x

x f d

( )132

) 2 −−=

x x

x f e


8/16/2019 CALCULO I--

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( )1

) 23

−= x x

x f f

( ) 22

) 2 −++

= x x x

x f g

?# Dada ,as 6nci nes: *a,,ar D mini : Ima+en: as8nt tas: +r7 ica: ana,i9ar c ntin6idad

( )39

)2

−−=

x x

x f a

( )2

2) 2

2

−−−= x x

x x f b

( )2

3) −= x x f c

( ) x

x f d −= 35)

( )9

) 22

−= x x

x f e

( ) 431

) 2 −−+

= x x x

x f f

Apl13a31o!&% d& lo% l9$1'&%


8/16/2019 CALCULO I--

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>#E, c st en dó,ares de e,iminar ;Y de ,a % ,6ción de, a+6a en ciert riac*6e, esta dad % r

( ) 1000100

000.75∠≤−=

x pa#a x x

xc

a=3a,,ar e, c st de e,iminar ,a mitad de ,a % ,6ción"

b= WQ6é % rcenta.e de ,a % ,6ción %6ede e,iminarse c n US[20"000X3=E5a,6ar ( ) xc x 100lim→ " Inter%retar , s res6,tad s"

?# m res6,tad de , s a5ances tecn ,ó+ic s en ,a %r d6cción de ca,c6,ad ras cada 5e9 m7s% der sas - c m%actas: cae e, %reci de ,as 6e e;isten en e, mercad * - en d8a" S6% ner 6e

dentr de ; meses: e, %reci de ciert m de, ser7 ( )1

3040

++=

x x p dó,ares"

a= W 67, ser7 e, %reci dentr de > mesesXb= WEn c6ant &a.ara e, %reci en e, 6int mesX3= W 67nd ser7 US[=< e, %reci X

d=WQ6é ,e s6ceder7 a, %reci a ,ar+ %,a9( )∞→ x X

@#Un est6di am&ienta, en cierta c m6nidad re5e,a 6e e, ni5e, medi diari de m nó;id de

car& n en e, aire ser7 ( ) 4.195.0 += p p' 6nidades c6and ,a % &,ación sea % mi,es" Se estima

6e dentr de t aH ,a % &,ación ser7 ( ) 22.08 t t p += mi,es"a= e;%resar e, ni5e, de m nó;id de car& n en e, aire c m 6na 6nción de tiem% "

b= W 67, ser7 e, ni5e, de m nó;id de car& n dentr de < aH sX3= W 67nd ,,e+ara a > 6nidades e, ni5e, de m nó;id de car& n X

# E, e ect de red6cción de, d , r de 6na dr +a %6ede medirse em%,eand ,a 6nción'

( )03.005.0

1002

2

++= x x

x p

D nde % ; es e, % rcenta.e de a,i5i de, d , r 6e se es%era c6and se 6ti,icen ; 6nidades dedr +a" Di&6.ar ,a +ra ica de % ; " WQ6é ,e s6cede a % ; c6and∞→ x


8/16/2019 CALCULO I--

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JORKS PAPER

UNIDAD O TEMA DERIVADASTITULO El 3 l34lo d& la% d&r18ada%

FEC*A DE ENTREGA ?do Par31al

Co!3&p'o# La deri5ada de 6na 6nción ( ) x f es tra 6nción 6e re%resenta ,a 5e, cidad e,+rad de crecimient decrecimient de ,a 6nción ri+ina,( ) x f - se den ta'

( )dxdy

D x f x ,,1 "

La deri5ada de 6na 6nción ( ) x f % r de inición se %6ede determinar se+Kn ,a e;%resiónsi+6iente'

( ) ( ) ( ) x

x f x x f x f

x ∆−∆+=

→∆ 01 lim

Las deri5adas tam&ién se %6eden determinar mediante e, 6s de ,as ta&,as de deri5ación 6e

se m6estran a c ntin6ación'


8/16/2019 CALCULO I--

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Tabla d& d&r18ada%

En esta ta&,a x es ,a 5aria&,e inde%endiente: &%$ ,, s n 6nci nes de xea!c ,,, s n c nstantes

1" ( ) 0=c D x

2" ( ) 1= x D x

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11"( ) e

%%

% D aa x log'

log =

12" ( aa%a D %%

x ln'=

1

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D&r18ada%

># D&r18ada% por d& 1!1312!a,c6,ar ,a deri5ada en cada 6n de , s si+6ientes

cas s a%,icand ,a de inición'

( ) 997) +−= x x f a

( ) 8985) 2 ++= x x x f b

?# D&r18ada% por 'abla% a,c6,ar ,a deri5ada en cada 6n de , s si+6ientes cas s

a%,icand ta&,as de deri5adas'

a ) f ( x) = 3 x2 b) f ( x) =4

x5

c) f ( x) =7

x54

d ) f ( x) =π

e44

e) f ( x) = x2

− 3 x + 5 f ) f ( x) =1

5 x−5 +

3

x3

− 2 x−2 + x

g ) f ( x) = 2 x2

3 +3

x45

− 5 h) f ( x) = x2 − x3

4+ 5 x

i) f ( x) =2

3 x

2

5 − x7

+ x−8 j) f ( x) = 2 x +

3

x3− 5 Lnx

k ) f ( x) = 8 x +3

4cos x l) f ( x) = 2 senx +

3

4ln x

m) f ( x) = 7 ln x + x ln 7 n) f ( x) = 8 senx + xsen 8

o) f ( x) = π + ln 5 p) f ( x) = x 7 senx

q) f ( x) = x8 ln x r ) f ( x) = x

4 7 x


8/16/2019 CALCULO I--

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s ) f ( x) = e x cos x t ) f ( x) = x

3+ 4

x2 − 1

u ) f ( x) = x

4− 1

x4 + 1v) f ( x) =

senx

x4

w) f ( x) = x

6

Lnx x) f x( )= 3 x

2 x2 − 4 x

y) f x( )= 1 − x2

x3 − 27 z) f ( x) =

senx

Lnx

@# Dada la 4!312! ( ) x f 7allar ( ) x f '' 5 ( ) x f '''

( ) 23 25) x x x f a −=

( ) 3431

41

) x x x f b +−=

( ) 242) xe x f c =

( ) x x f d 3ln) =


8/16/2019 CALCULO I--

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JORKS PAPER H

UNIDAD O TEMA DERIVADASTITULO I!'&r8alo% d& 3r&31$1&!'o% 5 $ 1$o%FEC*A DE ENTREGA ?do Par31al

I!'&r8alo% d& 3r&31$1&!'o#Un inter5a, de crecimient se %resenta c6and ,a 6nción en eseinter5a, es creciente: en este cas se c6m%,e 6e ( ) x f 1 %ara c6a, 6ier ; %erteneciente a eseinter5a, es % siti5 " De, mism m d se %resenta 6n inter5a, de decrecimient c6and sec6m%,e 6e ( ) x f 1 %ara c6a, 6ier ; %erteneciente a ese inter5a, es ne+ati5 "

M 1$o% 5 $9!1$o% ( ) x f 1

># !ara ,as si+6ientes 6nci nes ca,c6,ar e, D mini : As8nt tas: ntin6idad: #7;im s -

#8nim s: Inter5a, s de crecimient : Ima+en"

( ) 286) x x x f a −−=

( ) x x x x f b 2) 23 −+=

( ) 393) 23 −−+= x x x x f c

( ) 15249) 23 −+−= x x x x f d

( ) x x x f e 12) 3 −=

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A =0

8/16/2019 CALCULO I--

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APLICACIONES DE LAS DERIVADASApl13a31o!&%#

># S6%ón+ase 6e e, c st t ta, en dó,ares de a&ricar 6nidades es( ) 5003 2

++= qqqC

a=Em%,ear e, an7,isis mar+ina, %ara estimar e, c st de a&ricación de ,a 6nidad =1b= a,c6,ar e, c st rea, de a&ricación de ,a 6nidad =1

?# E, c st t ta, de de 6n a&ricante es ( ) 2005005.01.0 23 ++−= qqqqC dó,ares: d nde es e, n6mer de 6nidades %r d6cidas"a=Uti,i9ar e, an7,isis mar+ina, %ara estimar e, c st de a&ricación de ,a c6arta 6nidadb= a,c6,ar e, c st rea, de a&ricación de ,a c6arta 6nidad"

@# E, in+res t ta, mens6a, de 6n a&ricante es ( ) 205.0240 qqq R += dó,ares: c6and se %r d6cen- 5ende 6nidades d6rante e, mes" En ,a act6a,idad: e, a&ricante %r d6ce $0 6nidades a, mes -%,anea incrementar ,a %r d6cción mens6a, en 1 6nidada=Uti,i9ar e, an7,isis mar+ina, %ara estimar e, in+res adici na, 6e +enerara ,a %r d6cción - 5entade ,a 6nidad $1"b=Em%,ear ,a 6nción de in+res %ara ca,c6,ar e, in+res adici na, rea, 6e +enerara ,a %r d6cción 5enta de ,a 6nidad $1"

En cierta 7&rica: e, c st t ta, de a&ricar 6nidades d6rante ,a . rnada de %r d6cción diaria es

( ) 9002.0 2 ++= qqqC dó,ares" n &ase en ,a e;%eriencia se *a determinad 6e %ró;imamente

( ) t t t q 1002 += 6nidades se %r d6cen d6rante ,as %rimeras t * ras de 6ni rma de %r d6cción"

a,c6,ar ,a ra9ón a, ,a c6a, cam&ia e, c st t ta, de a&ricación c n res%ect a, tiem% 1 * rades%6és de iniciada ,a %r d6cción"

8/16/2019 CALCULO I--

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# Se %r -ecta 6e dentr de t meses e, %reci medi % r 6nidad de artic6, en 6n determinad

sect r de ,a ec n m8a ser7 ( ) 3002007 23 +++−= t t t t ( dó,ares"a=Wa 6e tasa se incrementara e, %reci % r 6nida c n res%ect a, tiem% dentr de > mesesXb= A 6e tasa cam&iara e, increment de ,a tasa de %reci c n res%ect a, tiem% dentr de >

mesesX3=Uti,i9ar e, c7,c6, %ara estimar e, cam&i en e, increment de ,a tasa de %reci d6rante ,a %rimeramitad de, se;t mes"d= a,c6,ar e, cam&i rea, en e, increment de ,a tasa de %reci d6rante ,a %rimera mitad de , se;tmes

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A =2

8/16/2019 CALCULO I--

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JORKS PAPER >;

UNIDAD O TEMA INTEGRALESTITULO I!'&"ral&% 1!d& 1!1da% & 1!'&"ral&% d& 1!1da%FEC*A DE ENTREGA E8al4a312! F1!al

I!'&"ral&% I!d& 1!1da%Dada 6na 6nción ( ) x f se dice 6e ,a 6nción ( ) x F es %rimiti5a de

( ) x f siem%re - c6and se c6m%,a 6e ( ) ( ) x f x F =1 : ent nces a, c n.6nt de t das ,as

%rimiti5as de ,a 6nción se ,,ama inte+ra, inde inida - se ,a re%resenta de ,a rma'

( ) ( )∫ += C x F dx x f d nde'

∫ Inte+ra,( ) x f )6nción

( ) x F !rimiti5a

nstante

N ta' A ,a inte+ra, tam&ién se ,a ,,ama antideri5ada

I!'&"ral d& 1!1daSi se tiene 6na 6nción c ntin6a: n ne+ati5a: inte+ra&,e: e, 7rea de ,a

% rción de, %,an ,imitada % r ,a +r7 ica de ,a 6nción( ) x f : e, e.e ;J - ,as rectas ; a - ; & : se

den mina inte+ra, de inida entre a - & de ,a 6nción ( ) x f

Tabla% d& 1!'&"ral&%


8/16/2019 CALCULO I--

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I" Res ,5er ,as si+6ientes inte+ra,es'

1"4 ∫ dx5

2"4 dx x∫ 62

8/16/2019 CALCULO I--

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>"4∫ dx

?"4 dx x∫ 38

"4∫ dx x 25

$"4 ( )∫ + dx x x 27 9

"4 ( )∫ + dx x x 36

10"4 ( )∫ +− dx x x 12

11"4 dx x∫ 3

12"4 ( )∫ + dxe x x7

1"4∫ dxe x x3

2" Res ,5er ,as si+6ientes inte+ra,es inde inidas'

( dx x x x −−∫ 33)1 ∫ + 453)6 x

dx

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A =>

8/16/2019 CALCULO I--

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dx x

dx∫ 7)2 ( )∫ +−−

72326

)7 2 x xdx x

∫

− dx x

x x2

7)3

52

∫ dxe x5)8

dx x x x∫

+−5

5)4

33

∫ + dx x x

253

10)9

dx x

x x∫ −−−

5103

)52

∫ −− dx

x x

2

4

11

9)10

( )( )( )∫ +−= c x x Rta xdx 1lnln)11

( )( )∫ +−= c xe Rtadx xe x x 1)12a,c6,ar ,as inte+ra,es de inidas 6e se indican'

1" ∫ 3

1

2 dx x

2" ( )∫ +2

0

2 1 dx x

" ∫ 7

2

3 dc

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A =?

8/16/2019 CALCULO I--

47/57


?" ( )∫ −

−0

1

2 dx x

" ( )∫ +−5

2

43 d%%

$" ( )∫ −

−1

1

2 2 dt t

" ( )∫ −+3

0

2 23 dx x x

10" ( )∫ −1

0

212 dt t

11" ( )dt t t ∫ −

−1

1

3 9

12" ∫

−

2

12 1

3dx

x

1

8/16/2019 CALCULO I--

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DIF % >

UNIDAD O TEMA GEOMETR,A ANAL,TICA

TITULO La l9!&a r&3'aFEC*A DE ENTREGA pr1$&r par31al

A%,icand , s c n cimient s ad 6irid s s &re e, tema de ,a ,8nea recta: adem7s de c nce%t s de ,aerta - ,a demanda ana,i9ar , s si+6ientes %r &,emas - disc6tir s &re ,as s ,6ci nes a, , s mism s'

1. Una c m%aH8a de a6t &6ses *a &ser5ad 6e c6and e, %reci de 6na e;c6rsión es de >0[6s se 5enden [6s"

2. S6% n+a 6e , s c,ientes demandan =0 6nidades de 6n %r d6ct c6and e, %reci es de 12 [6s- 2> 6nidades c6and e, %reci es de 1$ [6s cada 6n : c nsiderand 6e e, c m% rtamientde ,a demanda c n e, %reci es ,inea,a= Enc ntrar ,a ec6ación de ,a demanda b= Enc ntrar ana,8ticamente c6a, de&er8a ser e, %reci %ara 6na demanda de

8/16/2019 CALCULO I--

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DIF % ?

UNIDAD O TEMA GEOMETR,A ANAL,TICATITULO La par bola

FEC*A DE ENTREGA pr1$&r par31al

1" Uti,i9and , a%rendid c nstr6-a , s +r7 ic s de ,as %ar7& ,as a 2 x y = & ( )22−= x y eindi 6e en 6e *ace 5ariar e, 5a, r de * en e, ec6ación de %ar7& ,a( ) ( )k yah x −=− 42 eindi 6e , s 5a, res de ak h ,, en ,as %ar7& ,as de , s incis s a - &

2" nstr6-a ,as +r7 icas de ,as %ar7& ,as 2 x y = e 2 x y −= determine en am& s cas se, 5a, r de a - emita 6na c nc,6sión acerca de ,a in ,6encia de, si+n de, 5a, r dea


8/16/2019 CALCULO I--

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DIF % @

UNIDAD O TEMA FUNCIONESTITULO F4!312! 3o$po%1312!


La 4!312! 3o$po%1312!# Sean ,as 6nci nes ( ) x f - ( ) x g : ,a 6nción c m% sición g f es,a 6nción res6,tante de reem%,a9ar ,a 5aria&,e inde%endiente ; de ,a 6nción f % r ,a 6nción

( ) x g La 6nción c m% sición n s %ermite e;%resar 6na 5aria&,e 9 en 6nción de tra ; 6e in ,6-e entra 5aria&,e - 6e a s6 5e9 *ace 5ariar a ,a 6nción

Uti,i9and , s c nce%t s a%rendid s s &re ,a c m% sición de 6nci nes res6e,5a ,as si+6ientesinterr +antes'

1" Un est6di am&ienta, de cierta c m6nidad s6&6r&ana re5e,a 6e e, ni5e, medi diari de# nó;id de ar& n en e, aire ser7 ( ) 14,0 += p pc %artes % r mi,,ón c6and ,a% &,ación sea de % mi,es" Se estima 6e d6rante t aH s: ,a % &,ación de ,a c m6nidadser7 ( ) 22,08 t t p += mi,es

a E;%rese e, ni5e, de m nó;id de ar& n en e, aire c m 6nción de, tiem%& W 67, ser7 e, ni5e, de # nó;id de ar& n dentr de 2 aH sXc W 67nd a,can9ar7 e, ni5e, de # nó;id de ar& n ?:2 %artes % r mi,,ónX

2" En cierta ind6stria: e, c st t ta, de %r d6cción de 6nidades d6rante e, %eri d diaride %r d6cción es ( ) 9002 ++= qqqC dó,ares"En 6n d8a n rma, de tra&a. : se a&rican( ) t t q 25= 6nidades d6rante ,as %rimeras t * ras de 6n %eri d de %r d6cción

a E;%rese e, c st t ta, de %r d6cción c m 6na 6nción det & W 67nt se *a&r7 +astad en %r d6cción a, ina, de ,a tercera * raXc W 67nd a,can9ar7 e, c st t ta, de %r d6cción de 11000 [6sX

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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADDIF %

UNIDAD O TEMA FUNCIONESTITULO F4!31o!&% &! 4!a 8ar1abl&


Un im% rtad r de ca é &rasi,eH estima 6e , s c ns6mid res , ca,es c m%rar7n

a%r ;imadamente ( ) 2374,4 p p' = ^i, +ram s de ca é a ,a semana: c6and e, %reci sea pdó,ares % r i, +ram s"Se estima 6e dentr de t semanas e, %reci ser7 de ( ) 122,004,0 2 ++= t t t p dó,ares % r

i, +ram s"

a E;%rese ,a demanda de c ns6m semana, de ca é c m 6na 6nción det & Dentr de 10 semanas W 67nt s i, +ram s de ca é c m%rar7n , s

c ns6mid res a, im% rtad rXc W 67nd a,can9ar7 ,a demanda de ca é ^+X


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DIF % <

UNIDAD O TEMA FUNCIONESTITULO Mod&lo% 4!31o!al&%


1" 3aciend 6s de, sentid c mKn - de , s c n cimient s de, tema de 6nci nes res ,5er e,si+6iente %r &,ema'

Determinada a+encia de a, 6i,er de a6t mó5i,es c &ra 2> [6s m7s ?0 centa5 s % r mi,,a"Una se+6nda a+encia c &ra 0 centa5 s % r mi,,a" Rea,i9ar 6n an7,isis s &reen c6a,es sit6aci nes ,as %r %6estas de cada 6na de ,a a+encias es m7s 5enta. sa"

2. La erta - ,a demanda de ciert %r d6ct se %6ede e;%resar en 6nción de, %reci " 3a,,ee, %6nt de e 6i,i&ri - ,a cantidad c rres% ndiente de 6nidades ertadas - demandadassi ,a 6nción de erta %ara este %r d6ct es( ) 7032 −+= p p p) - ,a 6nción de demandaes ( ) p p D −= 410


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UNIDAD O TEMA LIMITESTITULO D&'&r$1!a312! d& l9$1'& d& 4!312!


A%,icand , s criteri s a%rendid s s &re , s ,8mites Ana,ice , s %r &,emas %,antead s indicand,a res%6esta c rrecta en cada cas '

m res6,tad de , s a5ances tecn ,ó+ic s en ,a %r d6cción de ca,c6,ad ras cada 5e9 m7s% der sas - c m%actas: cae e, %reci de ,as 6e e;isten * - en e, mercad " S6% n+a 6e

dentr de ; meses: e, %reci de ciert m de, ser7 ( )1

3040 ++= x x ( dó,ares

a W 67, ser7 e, %reci dentr de > mesesX& WEn c6ant &a.ar7 e, %reci en e, 6int mesXc W 67nd e, %reci ser7 =< [6sXd WQ6é ,e s6ceder7 a, %reci a ,ar+ %,a9 X

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UNIDAD O TEMA DERIVADAS

TITULO Apl13a312! d& la d&r18adaFEC*A DE ENTREGA %&"4!do par31al

A%,icand ,a deri5ada % r de inición( ) ( ) ( )

x

x f x x f x f

∆

−∆+=, adem7s a%,icand e, criteri de,m7;im de 6na 6nción res6e,5a ,a interr +ante de, si+6iente cas '

S6% n+a 6e ,a 6ti,idad de 6n a&ricante % r ,a 5enta de radi s est7 dada % r ,a 6nción'

( ) ( ) ( )25400 −−= x x x ( :

d nde ; es e, %reci a, 6e se 5enden , sradi s"

a 3a,,e e, %reci de 5enta 6e ma;imice ,as 6ti,idades

& Res6e,5a e, mism %r &,ema deri5and % r ta&,as - c m%are res6,tad s

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TITULO D&r18ada 3o$o ra(2! d& 3a$b1oFEC*A DE ENTREGA & a$&! 1!al

A%,icand , s c nce%t s de ,a deri5ada c m ra9ón de cam&i ana,i9ar e, cas si+6iente -

res% nder a ,as interr +antes"Un est6di de %r d6cti5idad de, t6rn matina, en cierta 7&rica re5e,a 6e 6n &rer medi 6e,,e+a a, tra&a. a ,as $'00 a"m" *a&r7 ensam&,ad ( ) x x x x f 156 23 ++−= radi s x * ras m7starde"

a Ded69ca 6na rm6,a %ara enc ntrar ,a ra9ón a ,a c6a, 6n tra&a.ad r ensam&,aradi s des%6és de x * ras

& W 67nt s radi s ensam&,ar7 e, tra&a.ad r rea,mente entre ,as '00 - ,as 10'00 *sXc WA ,as '00 *s a 6e ra9ón ensam&,a radi s e, tra&a.ad rX

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DIF % H


TITULO La r&"la d& la 3ad&!aFEC*A DE ENTREGA & a$&! 1!al

A%,icand , s c nce%t s de ,a deri5ada: adem7s de ,a re+,a de ,a cadena %ara 6nci nes

res% nder a ,as interr +antes 6e se %resentan en e, si+6iente cas 'Un im% rtad r de ca é &rasi,eH estima 6e , s c ns6mid res , ca,es c ns6men

a%r ;imadamente ( ) 2374,4 p

p D = ,i&ras de ca é a ,a semana c6and e, %reci sea p Dó,ares

% r ,i&ra"Se estima 6e dentr de t semanas: e, %reci de, ca é &rasi,eH ser7 ( ) 61,002,0 2 ++= t t t pDó,ares % r ,i&ra"

a WA 6é ritm cam&iar7 ,a demanda semana, de ca é c n res%ect a, tiem% dentr de 10semanasX& WA6mentar7 dismin6ir7 ,a demandaX

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DIF % >;

UNIDAD O TEMA INTEGRALES

TITULO La a!'1d&r18adaFEC*A DE ENTREGA & a$&! 1!al

La inte+ra, es tam&ién ,,amada ,a antideri5ada es decir 6e es e, %r ces in5ers de ,aderi5ada: % r c nsi+6iente a, *a,,ar ,a inte+ra, se enc6entra ,a 6nción %rimiti5a de d nde s6r+ió,a deri5ada: si+6iend este c nce%t 6ti,i9and ta&,as de deri5adas - e, ra9 namient ,ó+icdetermine ,a 6nción %rimiti5a c n ciend ,a deri5ada en , s si+6ientes cas s'

1" ( ) 2, x x f =2" ( ) 3, x x f =

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