Calculo II

D E P A R T A

COMPLEMENTO DE CÁLCULO M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

VIR

GIN

IO G

OM

EZ

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

INTRODUCCION

Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de

recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la

fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado

nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una

formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.

Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades

productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en

los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros),

transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y

mantención en sectores productivos.

Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar

fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en

mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones

escalares o vectoriales de una o varias variables.

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1

I N D I C E

Pág.

I SUCESIONES Y SERIES Sucesiones ...........................................................................................................

Límite de una sucesión ......................................................................................... Serie .................................................................................................................... Serie geométrica .................................................................................................. Serie p o hipergeométrica ................................................................................... Teoremas sobre series ........................................................................................ Criterio para establecer la convergencia de serie: criterio de comparación .................................................................. criterio de la integral ..................................................................... criterio de la serie alterna ............................................................... criterio de la razón ....................................................................... Serie de potencias ................................................................................................ Serie de Taylor ...................................................................................................

3 4 7 8 9

11

13 16 19 23 26 30

II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de más de una variable ...................................................................... Dominio de funciones de dos variables ...............................................................

35 36

III DERIVADAS PARCIALES

Derivadas parciales .................................................................................. Derivación implícita ........................................................................................... Regla de la cadena ........................................................................................... Aplicaciones de las regla de cadena:

problemas con enunciado ................................................................ demostraciones ..............................................................................

Derivada direccional ......................................................................................... Gradientes ......................................................................................................... Derivadas parciales de orden superior ................................................................. Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... Hessiano de una función de dos variables .......................................................... Criterio de la segunda derivada .......................................................................... Multiplicadores de Lagrange ..............................................................................

40 45 48

55 59 62 66 70 73 73 73 77

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2

IV INTEGRACION MULTIPLE Gráfico en ‘ 3 : ....................................................................................................

planos ...................................................................................... .... esfera ........................................................................................... cilindro ........................................................................................... cono .............................................................................................. paraboloide ....................................................................................

Integrales dobles .................................................................................................... Propiedades de la integral dobles ....................................................................... Aplicaciones de la integral doble:

cálculo de áreas en el plano ........................................................... determinar el valor de la región ‘ ................................................. cálculo de volúmenes .....................................................................

Cálculo de volúmenes ......................................................................................... Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... Coordenadas esféricas ........................................................................................

82 82 86 87

89 91 92 95

98 103 108 116 123 128

V CAMPOS VECTORIALES Campos vectoriales ............................................................................................ campo vectorial conservativo ............................................................ campo vectorial conservativo en el plano ......................................... Rotacional .......................................................................................................... Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... Plano tangente y recta normal a una superficie ..................................................

136 137 137 141 141 146

VI ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales .................................................................................. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... Ecuaciones diferenciales ordinarias ....................................................................

150 151

154 158

VII AUTOEVALUACIONES ................................................................................. 162 VIII BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 178

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3

Sucesiones

: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los númerosConceptonaturales a b ™œ

Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por , entonces una sucesión es el+ œ 0 88 a bconjunto de parejas ordenadas de la forma , donde a ba b8 0 8 8 −

Ejemplo:

1) Si , 2

)(+

=nnnf entonces:

n 1 2 3 4 5 ... n

)(nf

31

21

53

32

75

... 2+n

n

Los pares ordenados serán:

...;2

,...75,5;

32,4;

31,3;

21,2;

31,1

+

nnn

Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la

notación { } { }nanf =)( para representarla.

En el ejemplo

{ } { }nanf =)( = { },...,...,,,,, 54321 naaaaaa

{ }

+=

+= ...,

2...,,

75,

32,

53,

21,

31

2)(

nn

nnnf

2) si es impar si es par0 8 œ

" 8$ 8

a b œ œ œ a b0 8 œ "ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ

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4

Concepto de Límite de una Sucesión

{ }Lan

n

Lna

MnLnaM

=∞→

><−>>

lim

:por denota sey es sucesión la de límite el que dice se

entonces , que siempre talque0 existe 0 para Si εε

Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV. Límite de una Sucesión Sea )(xfy = una función real definida ∈∀ x ™ + con lim Lxf =)( ,

∞→x entonces si { }na es una sucesión tal que )( ∈∀= xanf n se tiene que lim Lna =

∞→n

Ejemplos À

Determinar si la sucesión es CV o DV

1) œ 8

8 #

0 B œ H970 B œ Ö # ×B

B #a b a b ‘

™ ‘ © Ö # ×

lim lim limB Ä _ B Ä _ B Ä _

B "

B #œ œ œ "

B

BB # #

B B B "

Por lo tanto, , luego la sucesión es CV.lim8 Ä _

8

8 #œ "

2) œ " &8

#8 %8

$

$

0 B œ H970 B œ Ö! ×" &B

#B %Ba b a b$

$‘

™ ‘ © Ö!×

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5

lim lim limB Ä _ B Ä _ B Ä _

" &B &

#B %B #œ œ œ

" &B "

B B B &

#B %B

B B #

%

B

$

$

$ $ $

$

$

$ $ #

Por lo tanto, , luego la sucesión es CV.lim8 Ä _

" &8 &

#8 %8 #œ

$

$

3) œ Š ‹8 † =/88

1

0 B œ B † =/8 H970 B œ Ö! ×B

a b a bŠ ‹1 ‘

™ ‘ © Ö!×

limB Ä _

B † =/8 œ _ † !B

Š ‹1

œB Ä _

=/8B

"

B

limŠ ‹1

œ!

!

œ P LB Ä _

-9=B B

"

B

w #

#

lim

1 1Š ‹

œB Ä _

-9=B

"lim

11Š ‹

œ 1

Por lo tanto, , luego la sucesión CV.lim8 Ä _

8 † =/8 œ8

Š ‹1 1

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6

Teorema: Si { }na y { }nb y son sucesiones CV y es c un número, entonces: a) La sucesión { }c tiene como límite c b) lim ⋅=⋅ cac n lim na

∞→n ∞→n c) lim =± )( nn ba lim na ± lim nb

∞→n ∞→n ∞→n d) lim =⋅ nn ba lim ⋅na lim nb

∞→n ∞→n ∞→n

e) ∞→n

lim nanb

= nn

nnb

a

∞→

∞→

lim

lim si 0lim ≠

∞→n

nb

Ejercicios

Determine si la sucesión CV o DV

a) b) c) œ œ œ 8 " #8 " 8 "

#8 " $8 " 8

# #

#

d) e) f) œ œ œ È$8 / "

#8 8 8

8

8 " 8

$

# #

Solución

a) CV b) CV

c) DV d) DV

e) DV f) DV

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7

Series

Concepto de Series Infinitas Si { }na es una sucesión infinita, entonces :

......3211

+++++=∑∞

=n

nn aaaaa

se llama serie infinita o simplemente serie. Los números ,...321 ,...,,, naaaa se llaman términos de la serie infinita. Sea la siguiente sucesión de sumas parciales

nn aaaaS

aaaSaaS

aS

++++=

++=+=

=

L

M

321

3213

212

11

Si { } { }nn SSSSS ,,,, 321 L= converge, entonces la serie ∑∞

=1nna converge.

Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas

Sea una serie infinita dada y sea la sucesión de sumas parciales." œ 8 œ "

_+ W8 8

Si existe y es igual a , entonces la serie dada es CV y S es la suma de la serielim8 Ä _

W W8 convergente a by si no existe, entonces la serie dada es DV y la serie no tiene suma.lim

8 Ä _W8 divergente a b

Teorema : Si la serie ∑∞

=1nna es CV, entonces

Teorema : Si , entonces la serie dada ∑∞

=1nna es DV.

0lim =∞→

nn

a

0lim ≠∞→

nn

a

Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como asímismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecenbajo que condiciones una serie dada CV o DV.

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8

Serie Geométrica

La serie Primer término

0con 32

0≠+⋅++⋅+⋅+⋅+=⋅∑

∞

=ararararaara n

n

n LL

razón

razón la es y minoprimer tér el es donde geométrica serie denomina Se ra

Teorema À + † < < W œ

8 œ !

_8 +

" <La serie geométrica de razón converge a si, y sólo si,"

y diverge si, y sólo si, ¸ ¸ ¸ ¸< " < "

Ejemplos

Determine si las series son CV o DV

+Ñ œ < œ "

8 œ ! 8 œ !

_ _" " "

# # #8

8" " Œ

Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ #"

" "

#

,Ñ < œ "

8 œ !

_ & &

% %

8" Œ Por lo tanto, la serie DV.

-Ñ < œ "

8 œ !

_ " "

# #

8" Œ

Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ" #

" "

#$

.Ñ # † < œ "

8 œ !

_ # #

$ $

8" Œ

Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ# '

" #

$&

Por lo tanto, la serie DV./Ñ $ † < œ "

8 œ !

_ ' '

& &

8" Œ

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9

Serie p o serie Hiperarmónica

0con serie llama se

131

2111 serie La

1

>

+++++=∑∞

=

pp

nn pppn

p LL

.armónica serie denomina se

131

2111 serie la entonces ,1 Si

1LL +++++== ∑

∞

= nnp

n

La serie es si, y sólo si, y es si, y Teorema convergente divergenteÀ : : "

8 œ "

_ "

8:"

sólo si, ! : Ÿ "

Ejemplos

Determine si las series son CV o DV

Por lo tanto, la serie DV+Ñ : œ "

8 œ "

_ "

8"

Por lo tanto, la serie CV,Ñ : œ $

8 œ "

_ "

8"

$

Por lo tanto, la serie DV-Ñ : œ

8 œ "

_ " "

8 $"

"Î$

Por lo tanto, la serie CV.Ñ : œ

8 œ "

_ "

8" 1 1

Por lo tanto, la serie CV/Ñ : œ

8 œ "

_ " %

8 $" È$ %

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10

Ejercicios

I Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.

"Ñ #Ñ $Ñ #

8 œ ! 8 œ ! 8 œ !

_ _ _% ( )

# $ &8

8 8" " "Œ Œ

%Ñ &Ñ Ð #&Ñ 'Ñ

8 œ ! 8 œ ! 8 œ !

_ _ _$ &'

Ð ""Ñ $88

8" " " a b

II Decida si las siguientes series CV. o DV.:

"Ñ #Ñ $Ñ

8 œ " 8 œ " 8 œ "

_ _ _" $ #

"&8 8"& 8%Î*" " "

%Ñ &Ñ 'Ñ

8 œ " 8 œ " 8 œ "

_ _ _# % (

8& 8 8&Î) "#Î&" " "

SoluciónI

1) la serie CV 2) , la serie DV< œ ß < œ " (

# $

3) la serie DV 4) la serie CV< œ ß < œ ß) "

& ""

5) la serie DV 6) la serie DV< œ #&ß < œ &' ß

II

1) la serie DV 2) la serie CV: œ " ß : œ "& ß

3) la serie DV 4) la serie CV: œ ß : œ &ß%

*

5) la serie DV 6) la serie CV: œ ß : œ ß& "#

) &

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11

Teoremas sobre Series

: Si y son dos series infinitas que difieren solamente en un númeroTeorema 1 " "8 œ " 8 œ "

_ _+ ,8 8

finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV.

: Determine si la serie es CV o DVEjemplo "8 œ "

_ "

8 "

y"8 œ "

_ " " " " " "

8 " # $ % & 8 "œ ÞÞÞ ÞÞÞ

"8 œ "

_ " " " " " "

8 # $ % & 8œ " ÞÞÞ ÞÞÞ

La serie equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como "8 œ "

_ "

8 "

es DV, entonces es también DV.! "8 œ "

_ " "

8 8 "8 œ "

_

: Sea una constante no nula:Teorema 2 -

a) Si es CV y su suma es , entonces es CV y su" " "8 œ " 8 œ " 8 œ "

_ _ _+ W - † + œ - † +8 8 8

suma es -WÞ

b) Si es DV, entonces DV." "8 œ " 8 œ "

_ _, - † ,8 8

:Ejemplo

1) " " "8 œ " 8 œ " 8 œ "

_ _ _# " "

$ $ $8 8 8œ # † œ # †

es serie geométrica con y por lo tanto CV."8 œ "

_ " "

$ $8 < œ

Así, es CV."8 œ "

_ #

$8

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12

2) " "È È8 œ " 8 œ "

_ _# # "

$ 8 8œ †

$

es serie con y por lo tanto DV." È8 œ "

_ " "

8: : œ

#

Así, es DV." È8 œ "

_ #

$ 8

: Si y son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B,Teorema3 " "8 œ " 8 œ "

_ _+ ,8 8

entonces:

a) es CV y su suma es A B" a b8 œ "

_+ , 8 8

b) es CV y su resta es A B" a b8 œ "

_+ , 8 8

:Ejemplo

" " "Œ 8 œ " 8 œ " 8 œ "

_ _ _" $ " $

# & # &8 8 8 8 œ

es CV y su suma es "8 œ "

_ "

#8"

es CV y su suma es "8 œ "

_ $ $

& %8

Luego, es CV y su suma es " Œ 8 œ "

_ " $ (

# & %8 8

: Si es una serie CV y es una serie DV, entoncesTeorema 4 " "8 œ " 8 œ "

_ _+ ,8 8

es DV." a b8 œ "

_+ „ ,8 8

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13

Ejemplo:

" " "Œ 8 œ " 8 œ " 8 œ "

_ _ _& # & #

) *8 ) *88 8 œ

es una serie geométrica con y por lo tanto CV"8 œ "

_ & "

) )8 < œ

es una serie con y por lo tanto DV"8 œ "

_ # "

* 8† : : œ "

Luego, es DV." Œ 8 œ "

_ & #

) *88

Criterios para establecer la convergencia de series infinitas

A.- Criterio de comparación

Sea ∑∞

=1nna una serie de términos positivos:

a) Si ∑∞

=1nnb es una serie de términos positivos que es CV y ∈∀≤ nba nn , entonces

∑∞

=1nna es CV.

b) Si ∑∞

=1nnb es una serie de términos positivos que es DV y ∈∀≥ nba nn , entonces

∑∞

=1nna es DV

: Determine si la serie CV o DV.Ejemplos

"Ñ

8 œ "

_ "

&8 ""

&8 " Ÿ '8 a8 −

" "

&8 " '8

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14

serie armónica y por lo tanto DV" "8 œ " 8 œ "

_ _" " "

'8 ' 8œ †

Luego, es DV"8 œ "

_ "

&8 "

#Ñ

8 œ "

_ "

8 %"

#

8 % 8 a8 −# #

" "

8 % 8Ÿ

# #

serie con y por lo tanto CV"8 œ "

_ "

8: : œ #

#

Luego, es CV."8 œ "

_ "

8 %#

$Ñ

8 œ "

_ 8

8 ""

#

88 "

8 " #8

"" "

# #

## "

& %

$$ "

"! '

%% "

"( )

&& "

#' "!

#

8 "

8 " #8

#

serie armónica y por lo tanto DV" "8 œ " 8 œ "

_ _" " "

#8 # 8œ †

Luego, es DV."8 œ "

_ 8

8 "#

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15

Ejercicios

Decida si la serie CV. o DV.

"Ñ #Ñ

8 œ " 8 œ "

_ _" "

8 ($ % $8" "

$Ñ %Ñ

8 œ " 8 œ "

_ _" "

8 # $8 "#" "

&Ñ

8 œ "

_ "

8 %" È

Solución

1) CV 2) CV

3) DV 4) CV

5) DV

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16

B) Criterio de la Integral de Cauchy Sea )(xfy = una función continua, positiva, decreciente y definida 1≥∀ x , entonces la

serie ∑∞

=1nna es CV si la integral impropia ∫

∞+

1

)( dxxf es CV y la

serie ∑∞

=1nna es DV si la integral impropia ∫

∞+

1

)( dxxf es DV .

:Ejemplos

Determinar si la serie CV o DV.

"Ñ 8 † /

8 œ "

_8"

es decreciente, positiva y definida 0 B œ B † / 0 B a B "Ba b a b

( (" "

_

,Ä_B † / .B œ B † / .BB B

,lim

( B † / .B ? œ B Ê .? œ .BB

.@ œ / .B Ê @ œ /B B

( (B † / .B œ B/ / .BB B B

œ B/ / GB B

œ G B "

/B

lim lim,Ä_ ,Ä_"

"( º,

B † / .B œB B "

/B

,

œ , " " "

/ /lim

,Ä_ ,

œ , " #

/ /lim

,Ä_ ,

œ P L " #

/ /w

,Ä_ ,Œ lim

œ#

/

Por lo tanto, CV a Luego la serie es CV.( ""

_ B † / .B Þ 8 † /B 8#

/8 œ "

_

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17

#Ñ

8 œ "

_ E<->1 8

8 ""

#

es decreciente, positiva y definida 0 B œ 0 B a B "E<->1 B

B "a b a b

#

( (" "

_

# #,Ä_

E<->1 B E<->1 B

B " B ".B œ .B

,lim

( E<->1 B "

B " " B.B ? œ E<->1 B Ê .? œ .B

# #

( (E<->1 B

B ".B œ ?.?

#

œ G?

#

#

œ GE<->1 B

#

a b#

lim lim,Ä_ ,Ä_"

#

#

"( a b º, E<->1 B E<->1 B

B " #.B œ

,

œ E<->1 , E<->1 "

# #lim

,Ä_

# #a b a b

œ ) $#

1 1# #

œ$

$#

1#

Por lo tanto, CV a Luego la serie es CV.( ""

_

# #

#E<->1 B $ E<->1 8

B " $# 8 ".B Þ

8 œ "

_1

$Ñ

8 œ "

_ "

8 " 68 8 "" a b a bÈ

es decreciente, positiva y definida 0 B œ 0 B a B ""

B " 68 B "a b a ba b a bÈ

( (a b a b a b a bÈ È" "

_

,Ä_

" "

B " 68 B " B " 68 B ".B œ .B

,lim

( a b a bÈ a b" "

B " 68 B ".B ? œ 68 B " Ê .? œ .B

B "

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18

( (a b a bÈ È" "

B " 68 B ".B œ .?

?

œ ? .?( "#

œ # ? GÈ œ # 68 B " GÈ a b lim lim

,Ä_ ,Ä_" "( a b a bÈ È a b º, "

B " 68 B ".B œ # 68 B "

,

œ # 68 , " # 68#lim,Ä_

È a b Èœ _ # 68#È

œ _

Por lo tanto, DV Luego la serie( a b a bÈ"

_ "

B " 68 B ".B Þ

es DV." a b a bÈ8 œ "

_ "

8 " 68 8 "

Ejercicios

Determine si la serie CV o DV.

"Ñ #Ñ

8 œ " 8 œ "

_ _" 8

#8 "

#

8 #$" "

$Ñ %Ñ

8 œ # 8 œ "

_ _" /

8 688

"Î8

8" "a b

# #

&Ñ

8 œ "

_ "

8 "#" È

Solución

1) DV 2) DV

3) CV 4) CV

5) DV

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19

Series infinitas de términos positivos y negativos

Concepto: Si ∈∀> nan 0 , entonces:

nn

nn

n

nn

nn

n

aaaaaaa

aaaaaaa

⋅−−−+−+−=⋅−

⋅−++−+−+−=⋅−

++∞

=

∞

=

∑

∑

154321

1

1

543211

)1( )1(

y

)1( )1(

L

L

Se denominan series alternas o series alternantes.

:Ejemplos

"Ñ " † œ ÞÞÞ " †

8 œ "

_8 8" " " " " "

8 " # $ % & 8 "" a b a b

#Ñ " † œ " ÞÞÞ " †

8 œ "

_8 " 8 "" " " " " "

8 # $ % & 8" a b a b

C.- Criterio de la serie alterna

Si ∈∀> nan 0 , entonces las series alternas nn

na⋅−∑

∞

=1)1( y

nn

na⋅− +

∞

=∑ 1

1)1( convergen si, y sólo si:

a) ∈∀<< + naa nn 10

b) lim 0=na ∞→n

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20

:Ejemplos


"Ñ " †

8 œ "

_8 "

$8" a b

+ œ + œ8 "" "

$ 8 " $88a b

+Ñ a8 −" "

$8 $ $8

,Ñ œ !"

$8lim8Ä_

Por lo tanto, la serie CV.

#Ñ " †

8 œ "

_8 " "

8 "" a b

#

+ œ + œ8 "" "

8 " "8

8 "a b# #

+Ñ a8 −" "

8 #8 # 8 "# #

Por lo tanto, la serie CV.,Ñ œ !"

8 "lim8Ä_ #

:Teorema

a) Una serie o se dice que es" "a b a b8 œ " 8 œ "

_ _ " † + " † +8 8 "

8 8

CVA si la serie es CV.Absolutamente Convergente a b "8 œ "

_+8

b) Una serie o se dice que es" "a b a b8 œ " 8 œ "

_ _ " † + " † +8 8 "

8 8

CVC si la serie es DV.Condicionalmente Convergente a b "8 œ "

_+8

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21

:Ejemplos

"Ñ " †

8 œ "

_8 &

%8" a b

+ œ + œ8 "& &

%8 " 8%8

+Ñ a8 −& &

%8 " %8

,Ñ œ !&

%8lim8Ä_

La serie es CV." a b8 œ "

_ " †8 &

%8

es una serie geométrica con y por lo tanto, CV" " Œ 8 œ " 8 œ "

_ _& " "

% % %8 œ & † < œ8

Luego la serie CVA" a b8 œ "

_ " †8 &

%8

#Ñ " †

8 œ "

_8 " "

8" a b È

+ œ + œ8 "" "

8 "8

8È È +Ñ a8 −

" "

8 " 8È È

,Ñ œ !"

8lim8Ä_ È

La serie es CV." a b È8 œ "

_ " †8 " "

8

es una serie con y por lo tanto, DV" "È8 œ " 8 œ "

_ _" " "

8œ : : œ

8 #"#

Luego la serie CVC" a b È8 œ "

_ " †8 " "

8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


22

Ejercicios

Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida,además, si es CVA. o CVC.

"Ñ Ð "Ñ † #Ñ Ð "Ñ †

8 œ " 8 œ "

_ _8 " 8

8 " 8 "#" "

1 1

$Ñ Ð "Ñ † %Ñ Ð "Ñ †

8 œ " 8 œ #

_ _8 8 "

Ð8 "Ñ 8 "# $" "

1 1

&Ñ Ð "Ñ † 'Ñ Ð "Ñ †

8 œ " 8 œ "

_ _8 " 8 "

8 8 $8 "" "È

1 1

Solución

1) CVC 2) CVA 3) CVA

4) CVA 5) CVA 6) CVC

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


23

D.- Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert

Sea ∑∞

=1nna una serie infinita donde : 0≠na

y ρ=+

∞→ n

naa

n1lim

entonces:

a) cuando 1<ρ , la serie CVA. b) cuando 1>ρ , la serie DV. c) cuando 1=ρ el criterio no da información.

Ejemplos:


!

"Ñ

8 œ "

_ $8 "

8"

!

!!

!º º º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a ba b

+8 "+ $ † $ 8 "8

œ œ † œ

$8 #

8 "

$8 "

8

$ † $ † $ 8 $8

8 " † 88

lim8Ä_

$

8 "œ ! "

Por lo tanto, CV!

"8 œ "

_ $8 "

8

!

#Ñ " †

8 œ "

_8 #8

8" a b a b

!

!!

!º º º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a ba b a b a b a b a b+8 "

+ #88œ œ †

#8 #

8 "#8

8

#8 # † #8 " † #8 8

8 "

œ%8 '8 #8

8 "

$ #

lim lim8Ä_ 8Ä_

$ #

$ #

%8 '8 #8

8 "œ

% ' #8 8 8

8 8 88 "

8 8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


24

œ %8 '8 #

" "

8

lim8Ä_

#

œ_

"

œ _ "

Por lo tanto, DV.!" a b a b

8 œ "

_ " †8 #8

8

$Ñ " †

8 œ "

_8 #8

8" a b

$

º º º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a b+8 "+8

œ œ †

#8 "

8 "

#8

8

# † # 88

8 "#8

$

$

$

Š ‹$

œ#8

8 $8 $8 "

$

$ #

lim lim 8Ä_ 8Ä_

$

$ #

$

$

$ #

$ $ $ $

#8

8 $8 $8 "œ

#8

88 8 8 "

8 8 8 8 $ $

œ #

" $ $ "

8 8 8

lim8Ä_

# $

œ # "

Por lo tanto, DV." a b8 œ "

_ " †8 #8

8$

%Ñ " †

8 œ "

_8 8 #

&8" a b

º º º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

+8 "+ & † & 8 # &8 "!8

œ œ † œ

8 $

&8 "

8 #

&8

8 $ & 8 $8

8

lim lim8Ä_ 8Ä_

w8 $ " "

&8 "! & &œ P L œ "

Por lo tanto, CVA." a b8 œ "

_ " †8 8 #

&8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


25

Ejercicios


"Ñ #Ñ Ð "Ñ

8 œ ! 8 œ "

_ _8 " x &

# #8 x88

8" "a b a b

$Ñ Ð "Ñ %Ñ

8 œ " 8 œ "

_ _8 8 x 8

8 $ $ 8 "8 8

#" "a b a b

&Ñ Ð "Ñ

8 œ "

_8 "

Ð#8 "Ñx"

Solución

1) DV 2) CVA 3) DV

4) CV 5) CVA

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


26

Serie de Potencias

Concepto: Una serie de potencias en ax − es una serie de la forma :

variable.es , númerosson y

)(0

)(3)(32)(2)(10

xaib

naxn

nbnaxnbaxbaxbaxbb −∑

∞

==−++−+−+−+ L

Si x es un número particular, entonces ax − se transforma en un número

y naxn

nb )(0

−∑∞

=es una serie infinita de términos constantes.

Si 0=a , entonces se obtiene la siguiente serie

nxnbxbxbxbbnxn

nb +++++=∑∞

=L3

32

2100

Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias.

Como aparece la variable , entonces una serie de potencias es una función B 0 B œ , B +

8 œ !

_

88a b a b"

donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio dela Razón y se resuelve la inecuación , además se debe hacer el análisis de los extremos.3 "

:Ejemplos

Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias

"Ñ " †

8 œ "

_8 " # † B "8 8

8 † $8" a b a b

º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a ba ba b+8 "

+8œ

# † B "8 " 8 "

8 " † $8 "

# † B "8 8

8 † $8

œ †# † # † B " † B " 8 † $8 8 8

8 " † $ † $8 # † B "8 8º ºa b a ba b a b œ † † B "

# 8

$ 8 "¸ ¸

lim lim8Ä_ 8Ä_

# 8 # 8

$ 8 " $ 8 "† † B " œ † B "¸ ¸ ¸ ¸

œ P L † B "# "

$ "w

8Ä_¸ ¸ lim

œ † B "#

$¸ ¸

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


27

# #

$ $† B " " Í " ÐB "Ñ "¸ ¸

Í B " $ $

# #

Í B & "

# #

Análisis de los extremos

Para B œ &

#

" "a b a bŒ a b a b8 œ " 8 œ "

_ _ " † œ " †8 " 8 "

# † 8 $

#

8

8 † $ 8 † $8 8

# †8 " $8 8

#8

œ " †

8 œ "

_8 " "

8" a b#

œ

8 œ "

_ "

8"

Pero, es la serie armónica y por lo tanto DV."8 œ "

_ "

8

Para B œ"

#

" "a b a bŒ 8 œ " 8 œ "

_ _ " † œ " †8 " 8 "

# †8 $

#

8

8 † $ 8 † $8 8

# †8 $8

#8

œ " †

8 œ "

_8 " "

8" a b

Pero, es una serie alterna que es CVC." a b8 œ "

_ " †8 " "

8

Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie

es " a b a b8 œ "

_ " † B Ÿ8 " # † B " & "8 8

8 † $ # #8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


28

#Ñ " †

8 œ "

_8 B $ 8

8" a b a b

!

!

!

º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a ba ba b+8 "+8

œ

B $ 8 "

8 "

B $ 8

8

!

!œ †

B $ † B $ 88

8 " † 8 B $ 8º ºa b a ba b a b œ † B $

"

8 "¸ ¸

lim lim8Ä_ 8Ä_

" "

8 " 8 "† B $ œ B $¸ ¸ ¸ ¸

œ B $ † !¸ ¸ œ ! "

Por lo tanto, la serie es CVA !

" a b a b8 œ "

_ " † a B −8 B $ 8

8‘

!

$Ñ " †

8 œ "

_8 8

"! † B8 8" a b

!

!º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a b+8 "+8

œ

8 "

"! † B8 " 8 "

8

"! † B8 8

!

!œ †

8 " † 8 "! † B

"! † "! † B † B 88 8

8 8º ºa b

œ 8 " †"

"! Ba b ¸ ¸

lim lim8Ä_ 8Ä_

a b ¸ ¸ ¸ ¸8 " † œ Ð8 "Ñ" "

"! B "! B

œ †_"

"! B¸ ¸ œ _ "

Por lo tanto, la serie es DV !

" a b a b8 œ "

_ " † a B −8 B $ 8

8‘

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


29

Ejercicios

Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias

"Ñ Ð#8Ñx † #Ñ Ð "Ñ †

8 œ ! 8 œ "

_ _B ÐB &Ñ

#

88 "

8

8 † &8" "Œ

$Ñ %Ñ Ð "Ñ †

8 œ " 8 œ "

_ _ÐB #Ñ ÐB (Ñ8 " 8

Ð8 "Ñ † $8 "8 "

8 † (8" "

&Ñ Ð "Ñ † 'Ñ Ð "Ñ

8 œ " 8 œ "

_ _8 " 8B 8x ÐB %Ñ8 " 8

Ð#8 "Ñ $8" "

#

! †

(Ñ )Ñ † Ð #BÑ

8 œ " 8 œ "

_ _8x † B 88

Ð#8Ñx 8 "8 "" " Œ

*Ñ "!Ñ Ð "Ñ †

8 œ " 8 œ "

_ _# † B # † B8 8 #8 " #8

8 Ð#8Ñx8" "

#

Solución

No existe intervalo de convergencia"Ñ

#Ñ ! B Ÿ "!

$Ñ " Ÿ B &

%Ñ ! B Ÿ "%

&Ñ ‘

No existe intervalo de convergencia'Ñ

(Ñ ‘

)Ñ B " "

# #

*Ñ Ÿ B Ÿ" "

# #

"!Ñ ‘

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


30

Serie de Taylor

Concepto : La expresión ∑∞

=

−⋅=

0 !)()(

)(n n

naxanfxf corresponde a la serie de Taylor de

f alrededor de ax = o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de ax = .

)(af n es la n-ésima derivada de f evaluada en ax = .

Si la serie de Taylor toma la forma ∑∞

=

⋅=

0 !)0(

)(n n

nxnfxf que se conoce con el nombre de

serie de Maclaurin de f .

Ejemplos

1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a , la función B œ " 0 B œ"

Ba b

0 B œ Ê 0 " œ ""

B! !a b a b

0 B œ œ B Ê 0 " œ ""

Bw

## wa b a b

0 B œ œ #B Ê 0 " œ ##

Bww

$$ wwa b a b

0 B œ œ 'B Ê 0 " œ ''

Bwww

%% wwwa b a b

0 B œ œ #%B Ê 0 " œ #%#%

B3@

&& 3@a b a b

0 B œ " † B " " † B " # † B " ' † B " #% † B "

! " #x $ %a b a b a b a b a b a b a b a b! # $ %

! ! ! !

0 B œ B " B " # † B " ' † B " #% † B "

" " # ' #%a b a b a b a b a b a b! # $ %

0 B œ B " B " B " B " B "a b a b a b a b a b a b! # $ %

Por lo tanto, 0 B œ œ " † B ""

B8 œ !

_8 8a b a b a b"

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


31

2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 B œ -9=Ba b 0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "! !a b a b 0 B œ =/8B Ê 0 ! œ !w wa b a b 0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "ww wwa b a b 0 B œ =/8B Ê 0 ! œ !w ww ww wa b a b 0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "3@ 3@a b a b

! ! ! !

0 B œ " † B ! † B " † B ! † B " † B

! " #x $ %a b a b! # $ %

! ! !

0 B œ ! ! B B B

! # %a b ! # %

! ! !

0 B œ B B B

! # %a b ! # %

Por lo tanto, !

0 B œ -9=B œ " †

8 œ !

_8 B#8

#8a b a b" a b

3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À

+Ñ 0 B œ 68 " Ba b a b 0 B œ 68 " B Ê 0 ! œ !! !a b a b a b 0 B œ œ " B Ê 0 ! œ "

"

" Bw " wa b a b a b

0 B œ œ " B Ê 0 ! œ ""

" Bww

## wwa b a b a ba b

0 B œ œ # " B Ê 0 ! œ ##

" Bwww

$$ wwwa b a b a ba b

0 B œ œ ' " B Ê 0 ! œ ''

" B3@

%% 3@a b a b a ba b

0 B œ ! † B " † B " † B # † B ' † B

" " # ' #%a b ! # $ %

0 B œ ! B B B B

# $ %a b # $ %

Por lo tanto, 0 B œ 68 " B œ " †

8 œ !

_8 B8 "

8 "a b a b a b"

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


32

Intervalo de convergencia

º º º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

¸ ¸ Œ +8 "+ 8 # B † B 8 #8 B

œ œ † œ B †

B8 #

8 #8 "

8 "

B † B 8 " 8 "8

8

#

lim lim8Ä_ 8Ä_

¸ ¸ ¸ ¸Œ Œ B † œ B †8 " 8 "

8 # 8 #

œ P L B †w

8Ä_

""

¸ ¸ lim

œ B¸ ¸ ¸ ¸B " Í " B "

Análisis de los extremos

Para B œ "

" "a b a b a b8 œ ! 8 œ !

_ _ " † œ8 " "8 " #8 "

8 " 8 "

œ

8 œ !

_ "

8 ""

œ

8 œ "

_ "

8"

Pero, es la serie armónica y por lo tanto DV"8 œ "

_

"

8

Para B œ "

" "a b a ba b8 œ ! 8 œ !

_ _ " † œ " †8 8" "8 "

8 " 8 "

Pero, es una serie alterna que CVC" a b8 œ !

_ " †8 "

8 "

Luego el intervalo de convergencia de la serie es " a b8 œ !

_ " † " B Ÿ "8 B8 "

8 "

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


33

,Ñ 0 B œ /Ba b 0 B œ / Ê 0 ! œ "B! !a b a b 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bw wa b a b 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bw ww wa b a b 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bwww wwwa b a b 0 B œ / Ê 0 ! œ "B3@ 3@a b a b

! ! ! ! !

0 B œ " † B " † B " † B " † B " † B

! " # $ %a b ! # $ %

Por lo tanto, !

0 B œ / œB

8 œ !

_ B8

8a b "

Intervalo de convergencia

!

!!

!º º º ºâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a b a b ¸ ¸ Œ + B † B 8 "

+ 8 " † 8 B 8 "œ œ † œ B †

B8 "

8 "B8

8

8

88"

8

lim lim8Ä_ 8Ä_

¸ ¸ ¸ ¸Œ Œ B † œ B †" "

8 " 8 "

œ B † !¸ ¸ œ ! "

Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie es !

"8 œ !

_ B8

8‘

Ejercicios

I Desarrollar en serie de Taylor

"Ñ 0ÐBÑ œ B + œ " #Ñ 0ÐBÑ œ + œ "$ "

BÈ con con

$Ñ 0ÐBÑ œ 68 B " + œ " %Ñ 0ÐBÑ œ -9= B + œ$

a b con con 1

II Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia

"Ñ 0ÐBÑ œ / #Ñ 0ÐBÑ œ =/8 $B $Ñ 0ÐBÑ œ -9= B BÎ# "

# Œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


34

Solución

I

"Ñ 0 B œ " B " B " & † B " & † B "

# ' &% )"a b a b a b a b# $ %

#Ñ 0 B œ B "

8 œ !

_8a b a b"

$Ñ 0 B œ 68# B " B " B " B "

# ) #% '%a b a b a b a b# $ %

%Ñ 0 B œ † " † † " †" $

# #8 # #8 "8 œ ! 8 œ !

_ _8 8 "

B B $ $

#8 #8 "

a b a b a b" "Š ‹ Š ‹a b a b

È1 1

! !

II

"Ñ 0 B œ aB −

8 œ !

_ B8

# † 88a b "! CV ‘

#Ñ 0 B œ " † a B −

8 œ !

_8 $ † B#8 " #8 "

#8 "a b a b" a b! CV ‘

$Ñ 0 B œ -9= † " † =/8 † " †" B " B

# #8 # #8 "8 œ ! 8 œ !

_ _8 8 "

8 8 "a b a b a bŒ Œ " "a b a b# #

! !

CV aB − ‘

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


35

Funciones de más de una variable

Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la formaC œ 0 B C B B −a b , donde la variable depende de la variable , . Se extenderá ahora este concepto a‘funciones de más de una variable. Por ejemplo À

22),( yxyxfz +== e variableslas de depende yxz

yzxzyxfw +== ),,( zyxw y , variableslas de depende

En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementosde otros espacios numéricos.

Si , entonces los elementos del dominio de son pares ordenados y , por lo tanto, seD œ 0 Bß C 0a bestá trabajando en el espacio numérico real bidimensional .a b‘#

Si , entonces los elementos del dominio de son triadas o ternas y , por lo tanto, seA œ 0 Bß Cß D 0a bestá trabajando en el espacio numérico real tridimensional .a b‘$

Concepto de función de dos variables

Sea un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de le corresponde unH Hnúmero real , entonces se dice que es función de e El conjunto es el dominio de y el0 Bß C 0 B CÞ H 0a bconjunto de valores es el recorrido de 0 Bß C 0a bEjemplos À

"Ñ 0 À È‘ ‘# a b a bBß C È 0 Bß C œ B C # #

#Ñ 0 À È‘ ‘#

a b a bBß C È 0 Bß C œB C

BC

#

$Ñ 0 À È‘ ‘#

a b a bBß C È 0 Bß C œ/BC

B C

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


36

Concepto de función de tres variables

Sea un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de le corresponde unH Hnúmero real , entonces se dice que es función de El conjunto es el dominio de y el0 Bß Cß D 0 Bß Cß DÞ H 0a bconjunto de valores es el recorrido de 0 Bß Cß D 0a bEjemplos À

"Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ B C D # # #

#Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a bBß Cß D È 0 Bß Cß D œB C

BC D

#

$Ñ 0 À È‘ ‘$

a b a b a ba bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ-9= BC D

68 C D B

#

Dominio de funciones de dos variables

Para determinar el dominio de funciones de dos variables se deben considerar las mismasrestricciones que para funciones de una sola variable, es decir,

a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidadsubradical debe ser mayor o igual a cero. b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero. c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces lacantidad subradical debe ser mayor que cero.

d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento dellogaritmo debe ser mayor que cero.

Ejemplos:

Determinar el dominio de las siguientes funciones

"Ñ 0 Bß C œ #& B Ca b È # #

#& B C !# #

B C #& Î † "# # a b B C Ÿ #&# #

corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada deB C œ #&# #

radio cinco.

corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de laB C #&# #

circunferencia de radio cinco.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


37

H970 œ Bß C − Î Bß C{ se encuentra en y dentro de la circunferenciaa b a b‘#

}B C œ #&# #

#Ñ 0 Bß C œ$B &C

B Ca b

B C Á !B Á C

corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C B œ C

{ no está en la recta H970 œ Bß C − Î Bß C B œ C ×a b a b‘#

$Ñ 0 Bß C œ 68 #B Ca b a b #B C !

#B C

corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta #B œ C C œ #B corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta #B C C œ #B

{ está bajo la recta H970 œ Bß C − Î Bß C C œ #B ×a b a b‘#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


38

%Ñ 0 Bß C œ*B #&C ##&

C B #a b È # #

*B #&C ##& !# #

*B #&C ##& Î À ##&# #

B C

#& * "

# #

corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipseB C

#& * œ "

# #

B C

#& * œ "

# #

corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de laB C

#& * "

# #

elipse B C

#& * œ "

# #

C B # Á !C Á B #

corresponde a todos los puntos del plano que están en la rectaC œ B #C œ B #

corresponde a todos los puntos del plano que no están en la rectaC Á B # C œ B #

{ está en y fuera de la elipse H970 œ Bß C − Î Bß C œ "B C

#& *a b a b‘#

# #

y no están en la recta C œ B # ×

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


39

Ejercicios

Determine el dominio de las siguientes funciones À

+Ñ 0ÐBß CÑ œB C "

%C &B

# #

È

,Ñ 0ÐBß CÑ œ 68Ð* B $C Ñ# #

-Ñ 0ÐBß CÑ œB C $'

#B $C

È # #

#

.Ñ 0ÐBß CÑ œ/ C #B

68ÐC BÑ

È

Solución

está sobre la recta +ÑH970 œ Bß C − Î Bß C C œ B&

%œ a b a b‘#

está en el interior de la elipse ,ÑH970 œ Bß C − Î Bß C œ "B C

* $œ a b a b‘#

# #

está en y dentro de la circunferencia-ÑH970 œ Bß C − Î Bß Cœa b a b‘#

y no pertenece a la parábola B C œ $' C œ B#

$# # #

{ está sobre las rectas e y está en la.ÑH970 œ Bß C − Î Bß C C œ #B C œ Ba b a b‘#

recta C œ #B ×

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


40

Derivadas Parciales

:por definidas

, funciones lasson a respectocon y a respectocon de Primerasparciales derivadas las entonces , variablesdos defunción una , ),( Sea

Conceptos

yx ffyxfyxfz =

siempre que exista el límite.

),(),(lim),(),(0 x

yxfyxxfyxfxz

xyxf

xx ∆−∆+

==∂∂

=∂

∂→∆

yyxfyyxfyxf

yz

yyxf

yy ∆

−∆+==

∂∂

=∂

∂→∆

),(),(lim),(),(0

Es decir, si entonces para determinar se considera constante la variable y seD œ 0 Bß C ß 0 Ca b B

deriva con respecto a . De la misma forma , para obtener se considera constante la variable y seB 0 BC

deriva con respecto a C

Ejemplos À

Obtener en 0 ß 0 ÀB C

"Ñ 0 Bß C œ $B #C (B %Ca b # $

0 œ 'B ( 0 œ 'C %B C#

#Ñ 0 Bß C œ #BC *B &Ca b $ %

0 œ #C #(B 0 œ #B #!CB C# $

$Ñ 0 Bß C œ $BC %Ba b a b# $

0 œ $ $BC %B $C % 0 œ ")BC $BC %BB C# # ## #a b a b a b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


41

%Ñ 0 Bß C œ#B &C

$B #Ca b $

0 œ 0 œ# $B #C $ #B &C "&C $B #C # #B &C

$B #C $B #CB C

$ # $

# #

a b a b a b a ba b a b

0 œ 0 œ%C "&C #!C %&BC %B

$B #C $B #CB C

$ $ #

# #a b a b

&Ñ 0 Bß C œ BC B C B Ca b # $ % (

0 œ C #BC %B C 0 œ B $B C (B CB C$ $ ( # # % '

'Ñ 0 Bß C œ B/ >1 #B $CBCa b a b0 œ / BC/ #=/- #B $C 0 œ B / $=/- #B $CBC BC BCB C

# # #a b a b

(Ñ 0 Bß C œ 68 B C =/8 BC BC -9= BCa b a b a b a b# #

0 œ C -9= BC C-9= BC BC =/8 BC#B

B CB # #

#a b a b a b0 œ B -9= BC B-9= BC B C=/8 BC

#C

B CC # #

#a b a b a b

El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables.

Sea , una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de A œ 0 Bß Cß D 0a bcon respecto a , a y a están definidas porB C D À

`0 Bß Cß D À 0 B Bß Cß D 0 Bß Cß D

`B `B Bœ œ 0 Bß Cß D œ

B Ä !

a b a b a ba bB lim?

?

?

`0 Bß Cß D À 0 Bß C Cß D 0 Bß Cß D

`C `C Cœ œ 0 Bß Cß D œ

C Ä !

a b a b a ba bC lim?

?

?

, z`0 Bß Cß D À 0 Bß Cß D D 0 Bß Cß D

`D `D Dœ œ 0 Bß C œ

D Ä !

a b a b a ba bD lim?

?

?

siempre que el límite exista

Es decir, si para determinar se consideran constantes las variables y y seA œ 0 Bß Cß D 0 C DBa bderiva con respecto a la variable . De esta misma forma para obtener se consideran constantes lasB 0Cvariables y y se deriva con respecto a la variable . Por último, por igual camino para calcular seB D C 0Dconsideran constantes las variables e y se deriva con respecto a la variable .B C D

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


42

Ejemplos À

Obtener en0 ß 0 ß 0 ÀB C D

"Ñ 0 Bß Cß D œ #B %C &D $B %C Da b # $ %

0 œ %B $ 0 œ "#C % 0 œ #!D "B C D# $

#Ñ 0 Bß Cß D œ BC $CD %BD BCDa b0 œ C %D CD 0 œ B $D BD 0 œ $C %B BCB C D

$Ñ 0 Bß Cß D œ BC/ 68 B C DBDa b a b0 œ C/ BCD/ BD "

B C DB

BD

0 œ B/ BD "

B C DC

0 œ B C/ BD "

B C DD

#

%Ñ 0 Bß Cß D œ$B &C

#C Da b

0 œ$

#C DB

0 œ œ & #C D # $B &C &D 'B

#C D #C DC # #

a b a ba b a b

0 œ$B &C

#C DD #a b

&Ñ 0 Bß Cß D œ 68 B C D =/8 $B C >1 &C %Da b a b a b a b# # #

0 œ $ -9= $B C#B

B C DB # # #

a b0 œ -9= $B C &=/- &C %D

#C

B C DC # # #

#a b a b0 œ %=/- $B C

#D

B C DD # # #

#a b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


43

'Ñ 0 Bß Cß D œ B/ C -9= BCD D BCDBCDa b a b È0 œ / BCD/ C D =/8 BCD BCD BCD CD

# BCDB

##a b È

0 œ B D/ -9= BCD BCD =/8 BCD BCD BD

# BCDC

##a b a b È

0 œ B C/ BC =/8 BCD BCD BCD BCD

# BCDD

# # a b È È

(Ñ 0 Bß Cß D œ =/8 #B $C >1 $C %D 68 &D Ba b a b a b a b$ #$ %

0 œ '=/8 #B $C -9= #B $C )Ò68 &D B Ó †"

&D BB

# %a b a b a b a b0 œ *=/8 #B $C -9= #B $C *Ò=/- $C %D Ó $C %DC

# # $ #a b a b a b a b0 œ "#Ò=/- $C %D Ó $C %D %!Ò68 &D B Ó †

"

&D BD

# $ # %a b a b a b a b

Ejercicios I Determine y en:0 0B C

+Ñ 0 Bß C œ $B %C B C BCa b # $

,Ñ 0 Bß C œ 68 $B 'C -9= $BC ' B >1 #C "!a b a b a b a b -Ñ 0 Bß C œ $B %C $B C %B )Ca b a bÈ ) ( '

.Ñ 0 Bß C œ(B )C

%C *Ba b

II Determine y en:0 ß 0 0B C D

+Ñ 0 Bß Cß D œ BCD 68 $B %C &D %B 'C *Da b a b ,Ñ 0 Bß Cß D œ %B *C (Da b È$ % % (

-Ñ 0 Bß Cß D œ -9= $B 'C (D / B C D-9= BCDa b a b a b $ % '

.Ñ 0 Bß Cß D œB68C D=/8C

C>1B BC/a b

D

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


44

Solución

I +Ñ 0 œ $ #BC C 0 œ % B $BCB C$ # #

,Ñ 0 œ $C † =/8 $BC ' >1 #C "!$

$B 'CB a b a b

0 œ $B † =/8 $BC ' #B † =/- #C "!'

$B 'CC

#a b a b -Ñ 0 œ #% $B C #)B

$

# $B %CB

( 'È a b 0 œ ) $B C %)C

#

$B %CC

( &È a b

.Ñ 0 œ 0 œ "!!C "!!B

%C *B %C *BB C# #a b a b

II +Ñ 0 œ CD % 0 œ BD '$ %

$B %C &D $B %C &DB C

0 œ BC *&

$B %C &DD

,Ñ 0 œ 0 œ"'B $'C

$ %B *C (D $ %B *C (DB C

$ $

% % ( % % (# #É Éa b a b$ $

0 œ%*D

$ %B *C (DD

'

% % ( #Éa b$

-Ñ 0 œ $=/8 $B 'C (D CD † =/8 BCD † / $B C D-9= BCDB

# % 'a b a b a b

0 œ '=/8 $B 'C (D BD † =/8 BCD † / %B C D-9= BCDC

$ $ 'a b a b a b

0 œ (=/8 $B 'C (D BC † =/8 BCD † / 'B C D-9= BCDD

$ % &a b a b a b

.Ñ 0 œ68C C>1B BC/ B68C D=/8C C=/- B C/D

C>1B BC/DB

D #

#

a b a ba ba b

0 œ

B

C D-9=C C>1B BC/ B68C D=/8C >1B B/D D

C>1B BC/DC #

Œ a b a ba ba b

0 œ =/8C C>1B BC/ B68C D=/8C BC/D D

C>1B BC/DD #

a ba b a ba ba b

VIR

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EZ


45

Derivación implícita

Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto dederivada implícita.

Si , es decir, es una función de dos variables que depende de e . Para obtener D œ 0 Bß C D B C`D

`Ba b

se considera constante la variable y se deriva implícitamente con respecto a . C D B

Para obtener se considera constante la variable y se deriva implícitamente con respecto a`D

`CB D

C.

Obtener , enEjemplo À À`D `D

`B `C

"Ñ B C D œ #&# # #

Para `D

`B

#B #D † œ ! Ê œ `D `D B

`B `B D

Para `D

`C

#C #D † œ ! Ê œ `D `D C

`C `C D

#Ñ >1 B C >1 C D œ "a b a b Para

`D

`B

=/- B C =/- C D † œ !`D

`B# #a b a b

`D =/- B C

`B =/- C Dœ

#

#

a ba b Para

`D

`C

=/- B C =/- C D † " œ !`D

`C# #a b a b Œ

`D =/- B C =/- C D

`C =/- C Dœ

# #

#

a b a ba b $Ñ D † / C † / / œ #BD CD BC

Para `D

`B

`D `D `D

`B `B `B† / D † / † D B † C † / † C/ œ !BD BD CD BCŒ #

VIR

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46

`D D / C/

`B / BD/ C /œ

BD BC

BD BD CD

#

#

Para `D

`C

`D `D `D

`C `C `C† / BD † / † / C † / † D C † B/ œ !BD BD CD CD BCŒ

`D / CD/ B/

`B / BD/ C /œ

CD CD BC

BD BD CD#

%Ñ / >1 CD œ 68 BCD -9= BDBCD a b a b a b Para

`D

`B

/ CD BC C=/- CD œ CD BC =/8 BD † D BBCD `D `D " `D `D

`B `B BCD `B `BŒ Œ Œ a b a b#

`D

`Bœ

"

B D=/8 BD CD/BCD

BC/ C=/- CD B=/8 BDBCD "

D

a ba b a b#

Para `D

`C

/ BD BC =/- CD D C œ BD BC B=/8 BDBCD `D `D " `D `D

`C `C BCD `C `CŒ Œ Œ a b a b#

`D

`Bœ

"

C D=/- CD BD/BCD

BC/ C=/- CD B=/8 BDBCD "

D

#

#

a ba b a b

Ejercicios

Obtener y en`D `D

`B `CÀ

+Ñ B %C *D œ $' ,Ñ CD BD BC BCD œ !# # #

-Ñ $B %C 'D œ '! .Ñ #B C D œ 68D% $ &

/Ñ =/8ÐB CÑ -9=ÐC DÑ =/-ÐD BÑ œ " 0Ñ B/ C=/8 CD œ D>1 BDBC a b a b

VIR

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47

Solución

+Ñ œ œ`D B `D %C

`B *D `C *D

,Ñ œ œ`D CD D C `D BD D B

`B C B BC `C C B BC

-Ñ œ œ `D #B `D #C

`B &D `C &D

$ #

% %

.Ñ œ œ`D # `D "

`B `C" "

D D " "

/Ñ œ`D -9= B C =/- B D >1 B D

`B =/8 C D =/- B D >1 B D

a b a b a ba b a b a b

`D -9= B C =/8 C D

`C =/8 C D =/- B D >1 B Dœ

a b a ba b a b a b

0Ñ œ`D D =/- BD / BC/

`B C -9= CD >1 BD BD =/- BD

# # BC BC

# #

a ba b a b a b

`D B / =/8 CD CD -9= CD

`C >1 BD BD =/- BD C -9= CDœ

# BC

# #

a b a ba b a b a b

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48

Regla de la cadena

Teorema : Supóngase que ),( yxfz = , es una función de dos variables y que existen

y yz

xz

∂∂

∂∂

con ),( srfx = e ),( srfy = funciones de sr y para las cuales

existen las derivadas .,,,sy

ry

sx

rx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Luego, sz

rz

∂∂

∂∂ y existen y vienen dadas por:

sy

yz

sx

xz

sz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

ry

yz

rx

xz

rz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

Ejemplos

1) Determine en:`D

`< D œ B C# #

B œ = <$ %

C œ =<

`D `D `B `D `C

`< `B `< `C `<œ † †

`D `D `B `C

`B `C `< `<œ #B œ #C œ %< œ =$

`D

`<œ #B %< #C =a b a ba bˆ ‰$

2) Determine en:`D

`=

D œ C $B C$ #

B œ <-9= =a b C œ <=/8 =a b

`D `D `B `D `C

`= `B `= `C `=œ † †

`D `D `B `C

`B `C `= `=œ 'BC œ $C $B œ <=/8 = œ <-9= =# # a b a b

`D

`=œ 'BC <=/8 = $C $B <-9= =a ba b a ba b a bˆ ‰# #

VIR

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49

3) Determine y en:`D `D

`+ `,

D œ =/8 #B $Ca b B œ >1 + /a b ,

C œ 68 " + -9= $,a b a b

`D `D `B `D `C

`+ `B `+ `C `+œ † †

`D `D

`B `Cœ #-9= #B $C œ $-9= #B $Ca b a b

`B `C "

`+ `+ " +œ =/- + œ #a b

`D "

`+ " +œ #-9= #B $C =/- + $-9= #B $C a b a b a ba b a bˆ ‰ Œ #

`D `D `B `D `C

`, `B `, `C `,œ † †

`D `D

`B `Cœ #-9= #B $C œ $-9= #B $Ca b a b

`B `C

`, `,œ / œ $=/8 $,, a b

`D

`+œ #-9= #B $C / $-9= #B $C $=/8 $,a b a ba ba b a b a bˆ ‰,

El teorema también es aplicable para funciones de tres variables Si ),,( zyxfw = es una función de tres variables para la cual existen

zw

yw

xw

∂∂

∂∂

∂∂ ,, con ),(;),(;),( srfzsrfysrfx === .

Entonces w es función de sr y , luego

sw

rw

∂∂

∂∂ y existen y están definidas por:

rz

zw

ry

yz

rx

xw

rw

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

sz

zw

sy

yz

sx

xw

sw

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

VIR

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50

:Ejemplos

1) Obtener en:À

`<

A œ B #CD D# $

B œ -9= < /=a b C œ #< $= D œ 68 < >1 #=a b a b

À À `B À `C À `D

`< `B `< `C `< `D `<œ † † †

À À À

`B `C `Dœ #B œ #D œ #C $D#

`B `C `D "

`< `< `< <œ =/8 < œ # œa b

À "

`< <œ #B =/8 < #D # #C $Da ba b a ba ba b ˆ ‰Œ #

2) Obtener en:À

`=

A œ -9= B C Da b# $

B œ < =$ %

C œ =/8 $<#a b D œ >1 %= (a b'

À À `B À `C À `D

`= `B `= `C `= `D `=œ † † †

À À

`B `Cœ #B=/8 B C D œ =/8 B C Dˆ ‰ ˆ ‰# $ # $

À

`Dœ $D =/8 B C D# # $ˆ ‰

`B `C `D

`= `= `=œ %< = œ ! œ #%=/- %= ( † %= ($ $ # ' &a b a b

À

`=œ #B=/8 B C D %< = $D =/8 B C D #%=/- %= ( † %= (ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ a b a b# $ $ $ # # $ # ' &

VIR

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51

3) Determine en :À

`+

A œBC

D B œ +-9= , =/8 ,a b a b C œ 68 + +=/8 ,a b a b D œ #+ $,

À À `B À `C À `D

`+ `B `+ `C `+ `D `+œ † † †

À C À B À BC

`B D `C D `D Dœ œ œ

#

`B `C " `D

`+ `+ + `+œ -9= , œ =/8 , œ #a b a b

À C B " BC

`+ D D + Dœ -9= , =/8 , #Š ‹ Š ‹ Š ‹a b a b a ba b Œ #

Otra aplicación de la regla de la cadena es la siguiente:

1) Sea ),( yxfz = una función de dos variables donde y yz

xz

∂∂

∂∂ existen,

con )(tfx = e )(tfy = , entonces z depende de t y tz∂∂ queda definida por:

dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

⋅∂∂

+⋅∂∂

=

2) Sea ),,( zyxfw = una función de tres variables donde zw

yw

xw

∂∂

∂∂

∂∂ y , existen,

con )(tfx = , )(tfy = y )(tfz = , entonces w depende de t y tw∂∂ queda definida por:

dtdz

zw

dtdy

yw

dtdx

xw

dtdw

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

VIR

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52

Ejemplos

1) Determine en:.D

.>

D œ BC/BC

B œ > >% È C œ > † 68 > "$a b

.D `D .B `D .C

.> `B .> `C .>œ † †

`D `D

`B `Cœ C/ BC / œ B/ B C/BC BC BC BC# #

.B " .C "

.> .> > "œ %> œ 68 > " $> † 68 > " †

# >

$ $ #È a b a b .D " "

.> > "œ C/ BC / %> B/ B C/ 68 > " $> † 68 > " †BC BC BC BC

# >ˆ ‰ ˆ ‰ È Œ a b a b# $ # $ #

Determine en:#Ñ.A

.>

A œ BCD

B œ > $> &(

C œ>

> $#

D œ E<-=/8 >a b

.A À .B À .C À .D

.> `B .> `C .> `D .>œ † † †

À À À

`B `C `Dœ CD œ BD œ BC

.B .C " > $ > #> .D "

.> .> .>œ (> $ œ œ

> $ " >

'#

# # #

a b a ba b È

.A $ > "

.>œ CD (> $ BD BC

> $ " >a b a b a bˆ ‰ a b È'

#

# # #

VIR

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53

Ejercicios

Determine À

si+Ñ`A

`<

A œ 68ÐB C Ñ# #

B œ < -9= >

C œ < =/8 >

si,Ñ.E

.>

E œ B C #B $C$ $ È B œ E<->1 > -9=> =/8>a b C œ > † >1 >a b

si-Ñ ß ß`? `? `?

` ` `3 ) 9

? œ B #C #D# # #

B œ -9= =/83 ) 9

C œ =/8 =/83 ) 9

D œ -9=3 9

Hallar en el punto si.Ñ Ð"ß "ß "Ñ`A

`B

A œ -9= +,a b + œ BCD

, œ%ÐB C Ñ

1# #

VIR

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54

Solución

+Ñ œ -9= > =/8 >À #B #C

`< B C B CŒ Œ # # # #

,Ñ œ $B =/8 > -9= >È B "

`> " >#B $C È Œ # # ##

$C >1 > > =/- >$

# #B $C È a b# #

-Ñ œ #B -9= =/8 %C =/8 =/8 %D -9=`?

`3) 9 ) 9 9a ba b a ba b a ba b

`?

`œ #B =/8 =/8 %C -9= =/8

)3 ) 9 3 ) 9a ba b a ba b

`?

`œ #B -9= -9= %C =/8 -9= %D =/8

93 ) 9 3 ) 9 9a ba b a ba b a ba b

.Ñ "ß "ß " œ !À

`Ba b

VIR

GIN

IO G

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55

Aplicaciones de la regla de la cadena

A) Problemas con enunciado

1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm..En ese instante, el radio decrece a razón de 5 cm/seg. y la altura crece a razón de 4 cm/seg.¿Con quérapidez cambia el volumen en ese momento?

Z œ < 2 Z œ 0 <ß 21 # a b cm

cmseg

< œ 0 > œ & < œ "#.<

.>a b

cmcmseg

2 œ 0 > œ % 2 œ $'.2

.>a b

.Z `Z .< `Z .2

.> `< .> `2 .>œ † †

.Z .< .2

.> .> .>œ # <2 † < †a b ˆ ‰1 1 #

.Z

.>œ )'% † & "%% † %a b a b a b a b1 1

.Z

.>œ %$#! &('1 1

.Z

.>œ $(%%1

El volumen decrece a razón de cm /seg$(%%1 3

VIR

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56

2) En cierto instante, el ángulo de un triángulo tiene 60º y crece a razón de 5 grados/seg., el!lado c mide 10 cm. y crece a razón de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razón de cm/seg."

#

Hallar la velocidad de variación del lado a.

Por teorema del coseno

+ œ , - #,- † -9=# # # ! ; ; ; + œ 0 ,ß -ß , œ 0 > - œ 0 > œ 0 >a b a b a b a b! !

+ œ , - #,- † -9=È # # !

º cm grados cm

seg seg!

!œ '! œ & , œ "' œ

. ., "

.> .> #

cm cmseg

- œ "! œ ".-

.>

.+ `+ . `+ ., `+ .-

.> ` .> `, .> `- .>œ † † †

!

!

.+ ,- † =/8 . , - † -9= ., - , † -9= .-

.> .> .> .>œ

, - #,- † -9= , - #,- † -9= , - #,- † -9= È È È! ! ! !

! ! !# # # # # #

.+ " "

.> #œ ,- † =/8 & , - † -9= - , † -9= "

, - #,- † -9=È ” •a ba b a b a ba bŒ # # !

! ! !

.+ " ""

.> "% #œ # %!! $Œ È

.+ " (

.> "% #œ %!! $Œ È

El lado a crece a razón de cmseg

" (

"% # %!! $Œ È

VIR

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57

3) Una caja rectangular cambia de tamaño en tal forma que su longitud crece a razón de 3 cm/seg,su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg a)¿Cuál es la rapidez de variación del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es10 y la altura es 8 cm.? b) ¿Con qué rapidez cambia el área total en ese mismo instante?

+Ñ Z œ 6+2 Z œ 0 +ß 6ß 2a b ;

cm cmseg seg

+ œ "! œ # 6 œ "& œ $.+ .6

.> .>

cmseg

2 œ ) œ ".2

.>

.Z `Z .+ `Z .6 `Z .2

.> `+ .> `6 .> `2 .>œ † † †

.Z .+ .6 .2

.> .> .> .>œ 62 +2 6+a b a b a b

.Z

.>œ "#! # )! $ "&! "a ba b a ba b a ba b

El volumen crece a razón de 150 cm /seg..Z

.>œ "&! 3

,ÑE œ #+6 #+2 #62

.E È .+ È .6 È .2

.> `+ .> `6 .> `2 .>œ † † †

.E .+ .6 .2

.> .> .> .>œ #6 #2 #+ #2 #+ #6a b a b a b

.E

.>œ %' # $' $ &! "a ba b a ba b a ba b

El área total crece a razón de 66 cm /seg..E

.>œ '' 2

VIR

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58

Ejercicios

La altura de un cono circular recto es 200 cm. y está creciendo a razón de 40 cm/min. El"Ñradio de la base es 60 cm. y decrece a razón de 15 cm/min. ¿ Con qué rapidez varía el volumen del conoen ese instante ?

Las dimensiones de un sólido rectangular en un instante dado son largo 15 cm., ancho 8#Ñ Àcm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razón de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crecea razón de 5 cm/seg. Calcular la razón de cambio del:

volumen.+Ñ

área total si el sólido es sin tapa.,Ñ

área total si el sólido es con tapa.-Ñ

Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el$Ñradio crece a razón de 4 cm/seg y la altura decrece a razón de 10 cm/seg. Determinar la razón decambio del À

volumen.+Ñ

área total , si el cilindro no tiene tapa.,Ñ

área lateral, si el cilindro tiene tapa.-Ñ

Solución

El volumen del cono decrece a razón de cm /min."Ñ (#Þ!!! 1 3

#Ñ El volumen del sólido rectangular crece a razón de cm /seg.+Ñ $%) 3

El área total del sólido rectangular decrece a razón de cm /seg si el sólido es sin ,Ñ ( #

tapa.

El área total del sólido rectangular crece a razón de cm /seg si el sólido es con tapa.-Ñ &# #

$Ñ

El volumen del cilindro crece a razón de cm /seg.+Ñ $)%! 1 3

El área total del cilindro crece a razón de cm /seg .,Ñ #!) #

El área lateral del cilindro crece a razón de cm /seg .-Ñ )! #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


59

B) Demostraciones

Sea . Haciendo "Ñ A œ 0 C B >ß D C > ? œ C B > à @ œ D C >a bDemostrar que

À À À À

`B `C `D `> # œ !

con y A œ 0 ?ß @ ? œ C B > @ œ D C >a b

À À `? À `@

`B `? `B `@ `Bœ † †

À À À À À

`B `? `@ `B `?œ " ! Ê œ a b a b

À À `? À `@

`C `? `C `@ `Cœ † †

À À À À À À

`C `? `@ `C `? `@œ " " Ê œ a b a b

À À `? À `@

`D `? `D `@ `Dœ † †

À À À À À

`D `? `@ `D `@œ ! " Ê œa b a b

À À `? À `@

`> `? `> `@ `>œ † †

À À À À À À

`> `? `@ `> `? `@œ " " Ê œ a b a b

À À À À À À À À À À

`B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@ # œ # #

À À À À

`B `C `D `> # œ !

Por lo tanto, À À À À

`B `C `D `> # œ !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


60

2) Suponga que donde y son constantes. Demostrar que:? œ 0 B +>ß C ,> ß + ,a b

`? `? `?

`> `B `Cœ + † , †

Sea y: œ B +> ; œ C ,>

`? `? `: `? `;

`> `: `> `; `>œ † †

`? `? `? `? `? `?

`> `: `; `> `: `;œ + , Ê œ + ,a b a b

`? `? `: `? `;

`B `: `B `; `Bœ † †

`? `? `? `? `?

`B `: `; `B `:œ " ! Ê œa b a b

`? `? `: `? `;

`C `: `C `; `Cœ † †

`? `? `? `? `?

`C `: `; `C `;œ ! " Ê œa b a b

`? `? `?

`> `B `Cœ + † , †

+ , œ + ,`? `? `? `?

`: `; `: `;

Por lo tanto, `? `? `?

`> `B `Cœ + † , †

3) Para con e , demostrar que:A œ 0 Bß C B œ <-9= C œ <=/8a b ) )

Œ Œ Œ Œ Œ À À À " À

`B `C `< < ` œ

# # # #

# )

À À `B À `C

`< `B `< `C `<œ † †

À À À

`< `B `Cœ † -9= † =/8a b a b) )

Œ Œ Œ À À À À À

`< `B `B `C `Cœ -9= # † -9= =/8 =/8

# # ## #) ) ) )

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


61

À À `B À `C

` `B ` `C `œ † †

) ) )

À À À

` `B `Cœ † <=/8 † <-9=

)) )a b a b

Œ Œ Œ À À À À À

` `B `B `C `Cœ < =/8 #< † -9= =/8 < -9=

)) ) ) )

# # ## # # # #

Œ Œ Œ Œ " À À À À À

< ` `B `B `C `Cœ =/8 # † -9= =/8 -9=

#

# # ## #

)) ) ) )

Œ Œ Œ Œ Œ a b a bÀ " À À À

`< < ` `B `C œ -9= =/8 =/8 -9=

# # # #

## # # #

)) ) ) )

Œ Œ Œ Œ Œ À " À À À

`< < ` `B `C œ

# # # #

# )

Por lo tanto, Œ Œ Œ Œ Œ À À À " À

`B `C `< < ` œ

# # # #

# )

Ejercicios

Si tiene derivadas parciales continuas respecto a"Ñ A œ 0ÐB Cß B CÑ

? œ B C ß @ œ B CÞ

Pruebe que À À À À

`B `C `? `@† œ

# #Œ Œ

Si y con #Ñ + œ 0ÐBß CÑ , œ 1ÐBß CÑ B œ < -9= > à C œ < =/8 >

Demuestre que y a` " `, `, " `+

`< < `> `< < `>œ œ

Solución

Se cumple"Ñ

Sugerencia: Efectúe las siguientes condiciones:#Ñ

y `+ `, `+ `,

`B `C `C `Bœ œ

VIR

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IO G

OM

EZ


62

Derivada direccional

La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial que permite obtener la razónde cambio de una función con respecto a la distancia en cualquier dirección. Así la derivada parcial conrespecto a puede considerarse como la derivada en la dirección y la derivada parcial con respecto a B B Cpuede considerarse como la derivada en la dirección .C

Sea una función de dos variables y sea un vector unitario.D œ 0 Bß C ? œ -9= 3 =/8 4a b p) )

Entonces la derivada direccional de en la dirección de , denotada por es0 ? H 0 Bß C Àp

? a b

si existe el límiteH 0 Bß C œ2 Ä !

0 B 2-9= ß C 2=/8 0 Bß C

2? a b a b a b

lim) )

Si y se obtiene? œ 3 Ê œ ! Ê -9=! œ " à =/8! œ ! Àp

)

H 0 Bß C œ œ2 Ä !

0 B 2ß C 0 Bß C `0

2 `B3 a b a b a b

lim

Si y se obtiene? œ 4 Ê œ Ê -9= œ !à =/8 œ " À# # #

p)

1 1 1

H 0 Bß C œ œ2 Ä !

0 Bß C 2 0 Bß C `0

2 `C4 a b a b a b

lim

Así, y son casos especiales de la derivada direccional.`0 `0

`B `C

Teorema: Si ),( yxf y sus derivadas parciales son continuas y

jseni θθµ += cosr , entonces:

θθµ senyxfyxfD yx ),(cos),( +=r

VIR

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63

Ejemplos

1) Dada la función , hallar la derivada direccional de en la0 Bß C œ B C #B #C 0a b # #

dirección en el punto ) 1œ # Î$ #ß &a b0 Bß C œ #B # Ê 0 #ß & œ #B Ba b a b 0 Bß C œ #C # Ê 0 #ß & œ "#C Ca b a b

? œ -9= 3 =/8 4 Ê ? œ 3 4# # " $

$ $ # #

p pŒ Œ È1 1

H 0 #ß & œ # "#" $

# #? a b a b a bŒ È

H 0 #ß & œ " ' $? a b È

2) Calcular la derivada direccional de en en la dirección de0 Bß C œ C -9=#B Î'ß "a b a b# 1

@ œ $3 %4p

0 Bß C œ #C =/8 #B Ê 0 Î'ß " œ # " =/8 œ $$

B B# #a b a b a b Š ‹ È 1

1

0 Bß C œ #C -9= #B Ê 0 Î'ß " œ # " -9= œ "$

C Ca b a b a b Š ‹ 11

m@m œ * "' œ & ß @ ? œ Ê ? œ 3 4@ $ %

m@m & &

p p p p

pÈ no es unitario,

H 0 Î'ß " œ $ " $ %

& &? a b a bŠ ‹È Œ Œ 1

H 0 Î'ß " œ $ $ %

&? a b È

1

Este concepto también es aplicable para funciones de tres variables. En , la dirección de un‘3

vector está determinado por sus cosenos directores, es decir À, ? œ -9= 3 -9= 4 -9= 5! " #

Sea una función de tres variables y unConcepto À 0 Bß Cß D ? œ -9= 3 -9= 4 -9= 5a b p! " #

vector unitario, entonces la derivada direccional en dirección de está dada por? Àp

si existe elH 0 Bß Cß D œ0 B 2-9= ß C 2-9= ß D 2-9= 0 Bß Cß D

2?

2Ä!a b a b a b

lim! " #

límite

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64

Teorema: Si ),,( zyxf es una función de tres variables y

kji γβαµ coscoscos ++=r , entonces:

γβαµ cos),,(cos),,(cos),,(),,( zyxfzyxfzyxfzyxfD zyx ++=r

Ejemplos À

1) Dada la función . Encontrar la derivada direccional de0 Bß Cß D œ B BC BD C Da b # # #

0 Bß Cß D T "ß #ß " @ œ #3 4 #5a b a ben en la dirección del vector p

0 Bß Cß D œ #B C D Ê 0 "ß #ß " œ "B Ba b a b

0 Bß Cß D œ B #C Ê 0 "ß #ß " œ $C Ca b a b

0 Bß Cß D œ B #D Ê 0 "ß #ß " œ "D Da b a b

m@m œ % " % œ $ ß @ ? œ Ê ? œ 3 4 5@ # " #

m@m $ $ $

p p p

pÈ no es unitario,

H 0 Bß Cß D œ " $ " # " #

$ $ $? a b a b a b a bŒ Œ Œ

H 0 Bß Cß D œ "? a b 2) Hallar la derivada direccional si en en la dirección0 Bß Cß D œ / -9= B / =/8 C T !ß !ß #a b a bC D

del vector si TU U #ß "ß #p a b

0 Bß Cß D œ / =/8B Ê 0 !ß !ß # œ !B BCa b a b

0 Bß Cß D œ / -9= B / -9= C Ê 0 !ß !ß # œ " /C CC D #a b a b

0 Bß Cß D œ / =/8 C Ê 0 !ß !ß # œ !D DDa b a b

TU œ U T œ #ß "ß # !ß !ß # œ #ß "ß !Ä a b a b a b

m@m œ % " ! œ &ß @ ? œ Ê ? œ 3 4@ # "

m@m & &

p p p pp

pÈ È È È no es unitario,

H 0 Bß Cß D œ ! " / ! !# "

& &?

#a b a b a b a ba b È ÈH 0 Bß Cß D œ

" /

&?

#a b È

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65

Ejercicios

Determine la derivada direccional si se conoce la función, el punto en que se ha de evaluar y ladirección o vector.

el punto es y la dirección +Ñ 0 Bß C œ ß "ß # œC $

B C %a b a b ! 1

el punto es y la dirección ,Ñ 0 Bß C œ B BC C ß $ß " œ&

'a b a b# # ! 1

el punto es y la dirección -Ñ 0 Bß C œ C B-9= ÐBCÑ ß !ß ! œ#

$a b a b ! 1

el punto es y el vector .Ñ 0 Bß C œ #B $BC C ß "ß " @ œ 3 4a b a b# # p

el punto es y el vector /Ñ 0 Bß Cß D œ BE<->1ÐCDÑ ß %ß "ß " @ œ Ò#ß "ß "Óa b a b p

el punto es y el vector 0Ñ 0 Bß Cß D œ ß Ð#ß $ß &Ñ @ œ 5BC

Da b p

el punto es y el vector está en la dirección 1Ñ 0 Bß Cß D œ 68ÐB C D Ñ ß !ß "ß ! TUa b a b# #Ä

si yT !ß "ß ! U $ß %ß "a b a b

el punto es y el vector está en la dirección 2Ñ 0 Bß Cß D œ ß "ß "ß " EFB C D

68ÐB C DÑa b a bÈ # # # Ä

si yE #ß "ß " F "ß !ß #a b a b

Solución

+ÑH 0 "ß # œ ,ÑH 0 $ß " œ -ÑH 0 !ß ! œ# & ( $ $ "

' # #? ? ?a b a b a bÈ È È

.ÑH 0 "ß " œ # # /ÑH 0 %ß "ß " œ 0ÑH 0 #ß $ß & œ ' '

"# #&? ? ?a b a b a bÈ È 1

1ÑH 0 !ß "ß ! œ 2ÑH 0 "ß "ß " œ$ 68$ "

"* $ 68 $? ? #

a b a bÈ a b

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66

Gradientes 1) De H 0 Bß C œ 0 Bß C -9= 0 Bß C =/8? B Ca b a b a b) ) œ Ò0 Bß C ß 0 Bß C Ó † Ò -9= ß =/8 ÓB Ca b a b ) )

œ Ò0 Bß C ß 0 Bß C Ó † ?B Cpa b a b

El vector jyxfiyxf yx ),(),( +

se conoce como vector gradiente

jyxfiyxfyxfyxfgrad yx ),(),(),(),( +=∇= jyxfiyxfyxfyxfgrad yx ),(),(),(),( +=∇=

De #Ñ H 0 Bß Cß D œ 0 Bß Cß D -9= 0 Bß Cß D -9= 0 Bß Cß D -9=? B C Da b a b a b a b! " # œ Ò0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D Ó † Ò -9= ß -9= ß -9= ÓB C Da b a b a b ! " #

œ Ò0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D Ó † ?B C Dpa b a b a b

El vector kzyxfjzyxfizyxf zyx ),,(),,(),,( ++

se conoce como vector gradiente kzyxfjzyxfizyxfzyxfzyxfgrad zyx ),,(),,(),,(),,(),,( ++=∇=

Así ß H 0 Bß C œ ? † f0 Bß C?pa b a b

H 0 Bß Cß D œ ? † f0 Bß Cß D?pa b a b

Sea la medida en radianes del ángulo formado por los vectores y entonces! ? f0ßp

, pero ? † f0 œ m?m † mf0m † -9= m?m œ "p p p

!

? † f0 œ mf0m † -9=p

! Si entonces alcanza su máximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su! œ !ß -9=! œ "

máximo valor cuando está en la misma dirección y sentido que ? f0p

),,(),,(Máx

),( ),(Máx

zyxfzyxfD

yxfyxfD

∇=

∇=

µ

µ

r

r

Si ° entonces ° alcanza su mínimo valor, es decir, la derivada direccional! œ ")! ß -9=")! œ "

alcanza su mínimo valor cuando está en la misma dirección, pero sentido contrario con ? f0p

),,(),,(Mín

),( ),(Mín

zyxfzyxfD

yxfyxfD

∇−=

∇−=

µ

µ

r

r

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67

Ejemplos À

1) La temperatura en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano esT Bß C BCa bX Bß C œ

C

B Ca b

# #

a) Determine el vector gradiente en el punto T $ß %a b b) Obtener la máxima derivada direccional de la temperatura en este punto c) Hallar la dirección donde se produce la máxima razón de cambio en este punto

+Ñ X Bß C œ Ê X $ß % œ#BC #%

B C '#&B B

# # #a b a ba b

X Bß C œ Ê X $ß % œ B C #C (

B C '#&C C

# # #

# # #a b a ba b

a b fX $ß % œ ß

#% (

'#& '#&a b ” •

Máx,Ñ H X $ß % œ mfX $ß % m œ œ#% ( "

'#& '#& #&?

# #a b a b ËŒ Œ

-Ñ ? œ œ œ ßfX $ß % #% (

mfX $ß % m #& #&

#% (

'#& '#&ß

"

#&

p a ba b” • ” •

2) Si volts es el potencial eléctrico en cualquier punto en y Z T Bß Cß D Z œ'!

B C Da b È‘3

# # #

Þ ÀEncontrar a) Rapidez de cambio del potencial en el punto en la dirección del vectora b "ß "ß "

@ œ $3 '4 #5p

b) Magnitud y dirección de la mínima razón de cambio del potencial en este mismo punto.

+Ñ Z Bß Cß D œ Ê Z "ß "ß " œ œ $'!B '! #!

B C D $ $ $B B

# # # $a b a bÉa b È È

Z Bß Cß D œ Ê Z "ß "ß " œ œ $'!C '! #!

B C D $ $ $C C

# # # $a b a bÉa b È È

Z Bß Cß D œ Ê Z "ß "ß " œ œ $'!D '! #!

B C D $ $ $Da b a bÉa b È È

# # # $D

fZ "ß "ß " œ $ß $ß $#! #! #!

$ $ $a b ” •È È È

no es unitario, m@m œ * $' % œ ( @ ? œ 3 4 5$ ' #

( ( (

p p pÈ

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68

H Z "ß "ß " œ $ß $ß $ † ß 4 ß 5#! #! #! $ ' #

$ $ $ ( ( (? a b ” • ” •È È È

H Z "ß "ß " œ $##!

#"? a b È

Mín,Ñ H Z "ß "ß " œ mfZ "ß "ß " m œ #!? a b a b

Dirección ? œ œfZ "ß "ß "

mfZ "ß "ß " m #!

#! #! #!

$ $ $$ß $ß $

p a ba b” •È È È

œ ß $ $ $

$ $ $” •È È È

Ejercicios

Obtener el gradiente de la función y el valor de la máxima derivada direccional en el punto"Ñindicado À +Ñ 0 Bß C œ B -9=ÐBCÑ T Ð"ß Î% Ña b # 1 ,Ñ 0 Bß C œ B C B C TÐ$ß %Ña b È -Ñ 0 Bß Cß D œ / D T Ð!ß $ß "ÑBCa b #

Obtener el gradiente de la función y el valor de la mínima derivada direccional en el punto#Ñindicado À +Ñ 0 Bß C œ B BC C T "ß "a b a b# #

,Ñ 0 Bß Cß D œ ÐB CÑ ÐC DÑ ÐD BÑ T #ß "ß #a b a b# # #

$Ñ La densidad , en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano , es+Ñ ÐBß CÑ BC

H Bß C œ ÞBC

B C $a b È # #

Halle la razón de cambio de la densidad en el punto 2,3 en la dirección de +Þ"Ñ œ & Î$Þa b ! 1 Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de la densidad en ese+Þ#Ñpunto.

Suponga que la temperatura en cualquier punto está dada,Ñ Bß Cß Da bpor À X Bß Cß D œ B C CD /BCa b #

Determinar la razón de cambio de en el punto P 1,1,1 en la dirección del vector OP donde,Þ"Ñ X a b p

O es el origen del sistema. ¿Cuál es la mínima razón de cambio en P?.¿ En qué dirección?.,Þ#Ñ El potencial eléctrico es en volts en el plano y -Ñ Z Bß C BC Z Bß C œ $B C %C BCa b a b a b $ #

-Þ"ÑDetermine la razón de cambio del potencial en la dirección del vector CDp

con en el punto G #ß " àH 'ß # "ß % Þa b a b a b-Þ#ÑObtener el vector gradiente en este mismo punto.

Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio del potencial en-Þ$Ña b "ß % Þ Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en . Con ese vector calcule-Þ%Ñ "ß %a bla derivada direccional en el mismo punto.

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69

Solución "Ñ

Máx+Ñf0 "ß Î% œ # ß H 0 "ß Î% œ# #

) # )

# † "' # "%%a b a b È È È ÈÉ1 1

1 1 1?

#

Máx,Ñ f0 $ß % œ "ß H 0 $ß % œ( '&

% %a b a bŒ È

?

Máx-Ñ f0 !ß $ß " œ $ß !ß # H 0 !ß $ß " œ "$a b a b a b È?

#Ñ

Mín+Ñ f0 "ß " œ "ß " H 0 "ß " œ #a b a b a b È?

Mín,Ñf0 #ß "ß # œ "!ß %ß "! H 0 #ß "ß # œ ' 'a b a b a b È?

$Ñ

+Þ"ÑH 0 #ß $ œ") ( $

'%? a b È

Máx +Þ#Ñ H 0 #ß $ œ ? œ ß$($ ") (

$# $($ $($?

pa b È È È

,Þ"ÑH 0 "ß "ß " œ& $ # $/

$? a b È È

Mín +Þ#Ñ H 0 #ß $ œ #/ )/ *?#a b È

? œ ß ß / # / # "

#/ )/ * #/ )/ * #/ )/ *

p

# # # È È È -Þ"ÑH 0 "ß % œ

"'# "(

"(? a b È

-Þ#ÑfZ "ß % œ $#ß $%a b a b Máx -Þ$Ñ H 0 #ß $ œ # &%& ? œ ß

"' "(

&%& &%&?

pa b È È È los vectores unitarios ortogonales al gradiente son -Þ%Ñ

È È È È"( "' "( "'

&%& &%& &%& &%&ß ß

El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.

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70

Derivadas Parciales de orden superior

Si es una función de dos variables, es decir, , entonces y son funciones0 D œ 0 Bß C`0 `0

`B `Ca b

también de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener así las derivadas parciales desegundo orden que se definen como:

+Ñ œ œ 0 œ` 0 0 B 2ß C 0 Bß C ` 0

`B 2 `B2 Ä !

a b a b a bB B BBB

#

#lim

,Ñ œ œ 0 œ` 0 0 Bß C 2 0 Bß C

`C 2 `C2 Ä !

` 0a b a b a bC C CCC

#

#lim

-Ñ œ œ 0 œ` 0 0 Bß C 2 0 Bß C ` 0

`C 2 `C`B2 Ä !

a b a b a bB B BBC

#

lim

.Ñ œ œ 0 œ` 0 0 B 2ß C 0 Bß C

`B 2 `B`C2 Ä !

` 0a b a b a bC C CCB

#

lim

: Para funciones continuas . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas.Nota 0 œ 0BC CB

:Ejemplos

Dada la función, obtener 0 ß 0 ß 0BB CC BC

"Ñ 0 Bß C œ #B $B C BC $Ca b $ # # #

0 œ 'B 'BC C 0 œ $B #BC 'CB C# # #

0 œ "#B 'C 0 œ #B 'BB CC

0 œ 'B #CBC

#Ñ 0 Bß C œ / -9=B =/8Ca b a bBC

0 œ C/ -9=B =/8C / † =/8BBBC BCa b

0 œ B/ -9=B =/8C / † -9=CCBC BCa b

0 œ C / -9=B =/8C C/ † =/8B C/ † =/8B / † -9=BBB# BC BC BC BCa b

0 œ B / -9=B =/8C B/ † -9=C B/ † -9=C / † =/8CCC# BC BC BC BCa b

0 œ / -9=B =/8C BC/ -9=B =/8C C/ † -9=C B/ † =/8BBCBC BC BC BCa b a b

Este concepto también se puede extender para funciones de tres variables

Sea una función de tres variables con , y funciones también de tresA œ 0 Bß Cß D`0 `0 `0

`B `C `Da b

variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:

VIR

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71

+Ñ œ œ 0 œ` 0 0 B 2ß Cß D 0 Bß Cß D ` 0

`B 2 `B2 Ä !

a b a b a bB B BBB

#

#lim

,Ñ œ œ 0 œ` 0 0 Bß C 2ß D 0 Bß Cß D

`C 2 `C2 Ä !

` 0a b a b a bC C CCC

#

#lim

-Ñ œ œ 0 œ` 0 0 Bß Cß D 2 0 Bß Cß D ` 0

`D 2 `D2 Ä !

a b a b a bD D DDD

#

#lim

.Ñ œ œ 0 œ` 0 0 Bß C 2ß D 0 Bß Cß D ` 0

`C 2 `C`B2 Ä !

a b a b a bB B BBC

#

lim

/Ñ œ œ 0 œ` 0 0 Bß Cß D 2 0 Bß Cß D ` 0

`D 2 `D`B2 Ä !

a b a b a bB B BBD

#

lim

0Ñ œ œ 0 œ` 0 0 B 2ß Cß D 0 Bß Cß D

`B 2 `B`C2 Ä !

` 0a b a b a bC C CCB

#

lim

1Ñ œ œ 0 œ` 0 0 Bß Cß D 2 0 Bß Cß D

`D 2 `D`C2 Ä !

` 0a b a b a bC C CCD

#

lim

2Ñ œ œ 0 œ` 0 0 B 2ß Cß D 0 Bß Cß D ` 0

`B 2 `B`D2 Ä !

a b a b a bD D DDB

#

lim

3Ñ œ œ 0 œ` 0 0 Bß C 2ß D 0 Bß Cß D ` 0

`C 2 `C`D2 Ä !

a b a b a bD D DDC

#

lim

: Para funciones continuas . En este curso sólo se trabajaráNota 0 œ 0 ß 0 œ 0 ß 0 œ 0BC CB BD DB CD DC

con funciones continuas.

Ejemplos

Para las siguientes funciones, determinar 0 ß 0 ß 0 ß 0 ß 0 ß 0BB CC DD BC BD CD

"Ñ 0 Bß Cß D œ B $B C C $C D D BD CDa b $ # $ # # #

0 œ $B 'BC D 0 œ $B $C 'CD DB C# # # #

0 œ $C #D #BD CD#

0 œ 'B 'C 0 œ 'C 'DBB CC

0 œ # #B 0 œ 'BDD BC

0 œ #D 0 œ 'C "BD CD

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72

#Ñ 0 Bß Cß D œ / † -9=D / † =/8B / † >1 Ca b B C D

0 œ / † -9=D / † -9=B 0 œ / † =/8B / † =/- CB CB C C D #

0 œ / † =/8D / † >1 CDB D

0 œ / † -9=D / =/8B 0 œ / † =/8B #/ † =/- C † >1 CBB CCB C C D #

0 œ / † -9=D / † >1 C 0 œ / † -9=BDD BCB D C

0 œ / † =/8D 0 œ / † =/- CBD CDB D #

Ejercicios

1) En la ecuación de Laplace es‘# À

` 0 ` 0

`B `C œ !

# #

# #

Demuestre que las siguientes funciones cumplen esta ecuación

+Ñ 0ÐBß CÑ œ 68ÐB C Ñ# #

,Ñ 0ÐBß CÑ œ E<->1 C B

B B CŠ ‹

# #

-Ñ 0ÐBß CÑ œ / † =/8 C / † =/8 BB C

.Ñ 0ÐBß CÑ œ E<->1#BC

B CŒ # #

2) En la ecuación de Laplace es‘$ À

` 0 ` 0 ` 0

`B `C `D œ !

# # #

# # #

Demuestre que la función cumple con esta ecuación.0ÐBß Cß DÑ œ"

B C DÈ # # #

Solución

Cada una de las funciones cumple con la ecuación de Laplace, tanto en como en .‘ ‘# 3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


73

Máximos y mínimos para funciones de varias variables

:Conceptos

1) Si es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [ ]D œ 0 Bß C B ß C ß 0 B ß Ca b a b! ! ! !

es un punto de de si, y sólo simáximo relativo 0 Bß Ca b a Bß C − H970 Bß C ß 0 Bß C Ÿ 0 B ß Ca b a b a b a b! !

) Si es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [ ]# D œ 0 Bß C B ß C ß 0 B ß Ca b a b! ! ! !

es un punto de de si, y sólo simínimo relativo 0 Bß Ca b a Bß C − H970 Bß C ß 0 Bß C 0 B ß Ca b a b a b a b! !

) Si es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [ ] es$ D œ 0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a bun de si, y sólo si punto crítico 0 Bß C f0 +ß , œ Ò !ß ! Óa b a b Si [ ] es un punto crítico de , entonces se dice que [ ] es un%Ñ +ß ,ß 0 +ß , 0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b a bmáximo relativo de si 0 Bß C a Bß C − H970 Bß C ß 0 Bß C Ÿ 0 +ß ,a b a b a b a b a b Si [ ] es un punto crítico de , entonces se dice que [ ] es un&Ñ +ß ,ß 0 +ß , 0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b a bmínimo relativo de si 0 Bß C a Bß C − H970 Bß C ß 0 Bß C 0 +ß ,a b a b a b a b a b Si [ ] es un punto crítico de , entonces se dice que [ ] es un %Ñ +ß ,ß 0 +ß , 0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b a b puntode silla de si [ ] no es máximo ni mínimo.0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b

Hessiano de una función de dos variables

Sea una función de dos variables, se define el Hessiano como:D œ 0 Bß Ca b L Bß C œ

0 00 0

a b Œ BB BC

CB CC

: Criterio de la Segunda derivadaTeorema a b Si [ ] es un punto crítico, entonces:+ß ,ß 0 +ß ,a b 1) [ ] es un de si, y sólo si+ß ,ß 0 +ß , 0 Bß Ca b a bmínimo relativo

¸ ¸a b a bL +ß , ! • 0 +ß , !BB

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


74

2) [ ] es un de si, y sólo si+ß ,ß 0 +ß , 0 Bß Ca b a bmáximo relativo

¸ ¸a b a bL +ß , ! • 0 +ß , !BB

[ ] es un de si, y sólo si$Ñ +ß ,ß 0 +ß , 0 Bß Ca b a bpunto de silla

¸ ¸a bL +ß , !

No hay información si %Ñ L +ß , œ !¸ ¸a b :Ejemplos

Estudiar los máximos y mínimos relativos de las funciones:

"Ñ 0 Bß C œ & B Ca b # #

0 œ #B 0 œ #CB C

0 œ ! Ê #B œ ! Ê B œ !B

0 œ ! Ê #C œ ! Ê C œ !C

Así, es el punto crítico de a b a b!ß !ß & 0 Bß C

0 œ # 0 œ # 0 œ !BB CC BC

L Bß C œ Ê L !ß ! œ # ! # !! # ! #

a b a bŒ Œ ¸ ¸a b a bL !ß ! œ % ! • 0 !ß ! œ # !BB

Por lo tanto, es un máximo relativo de a b a b!ß !ß & 0 Bß C

#Ñ 0 Bß C œ #B C $B $C "#B %a b $ $ #

0 œ 'B 'B "# 0 œ $C $B C# #

0 œ ! Ê 'B 'B "# œ ! Ê B œ " • B œ #B "#

#

0 œ ! Ê $C $ œ ! Ê C œ " • C œ "C " ##

Así, son puntos críticos de a b a b a b a b"ß "ß "$ à "ß "ß * à #ß "ß "% à #ß "ß ") 0 Bß Ca b 0 œ "#B ' 0 œ 'C 0 œ !BB CC BC

L Bß C œ"#B ' !

! 'Ca b Œ

L "ß " œ Ê L "ß " œ "!) ! • 0 "ß " œ ") !") !! '

a b a b a bŒ ¸ ¸ BB

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


75

Por lo tanto, es un mínimo relativo de a b a b"ß "ß "$ 0 Bß C

L "ß " œ Ê L "ß " œ "!) !") !! '

a b a bŒ ¸ ¸ Por lo tanto, es un punto de silla de a b a b"ß "ß * 0 Bß C

L #ß " œ Ê L "ß " œ "!) ! ") !! '

a b a bŒ ¸ ¸ Por lo tanto, es un punto de silla de a b a b #ß "ß "% 0 Bß C

L #ß " œ ") !! '

a b Œ ¸ ¸a b a bL "ß " œ "!) ! • 0 "ß " œ ") !BB

Por lo tanto, es un máximo relativo de a b a b #ß "ß ") 0 Bß C

en el intervalo $Ñ 0 Bß C œ -9= B =/8 C Ò !ß # Óa b 1

0 œ =/8B 0 œ -9=CB C

0 œ ! Ê =/8B œ ! Ê B œ ! à B œ • B œ #B " $# 1 1

0 œ ! Ê -9=C œ ! Ê C œ • C œ# #

$C " #

1 1

Así, son puntosŠ ‹ Š ‹ Š ‹Œ Œ Œ !ß ß # à !ß ß ! à ß ß ! à ß ß # à # ß ß # à # ß ß !# # # # # #

$ $ $1 1 1 1 1 11 1 1 1

críticos de 0 Bß Ca b 0 œ -9=B 0 œ =/8C 0 œ !BB CC BC

L Bß C œ -9=B !

! =/8Ca b Œ

L !ß œ Ê L "ß " œ # ! • 0 !ß œ " !# #

" !! "

Š ‹ Š ‹Œ ¸ ¸a b1 1BB

Por lo tanto, es un máximo relativo de Š ‹ a b!ß ß # 0 Bß C#

1

L !ß œ Ê L !ß œ " !$ $

# #

" !! "Œ Œ Œ ¸ ¸1 1

Por lo tanto, es un punto de silla de Œ a b!ß ß ! 0 Bß C$

#

1

L ß œ Ê L ß œ " !# #

" !! "

Š ‹ Š ‹Œ ¸ ¸1 11 1

Por lo tanto, es un punto de silla de Š ‹ a b11

ß ß ! 0 Bß C#

L ß œ Ê L ß œ " ! • 0 ß œ " !$ $ $

# # #

" !! "Œ Œ Œ Œ ¸ ¸1 1 1

1 1 1BB

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


76

Por lo tanto, es un mínimo relativo de Œ a b11

ß ß # 0 Bß C$

#

L # ß œ#

" !! "

Š ‹ Œ 11

¸ ¸Š ‹ Š ‹L # ß œ " ! • 0 # ß œ " !# #

1 11 1

BB

Por lo tanto, es un máximo relativo de Š ‹ a b# ß ß # 0 Bß C#

11

L # ß œ Ê L # ß œ " !$ $

# #

" !! "Œ Œ Œ ¸ ¸1 1

1 1

Por lo tanto, es un punto de silla de Œ a b# ß ß ! 0 Bß C$

#1

1

Ejercicios

1) Determine los extremos relativos y los puntos de silla de las siguientes funciones À

+Ñ 0ÐBß CÑ œ #B %C B C $# #

,Ñ 0ÐBß CÑ œ ÐB CÑÐB CÑ

-Ñ 0ÐBß CÑ œ %BC B C% %

.Ñ 0 Bß C œ B BC C #B #C %a b # #

2) Un fabricante produce diariamente unidades de la mercancía A, unidades de la mercancíaB CB. Si es la utilidad diaria que se obtiene en su venta y T Bß C T Bß C œ $$B ''C BC B $C Þa b a b # #

¿Cuántas unidades de cada artículo deben producirse diariamente para que el fabricante logre la máximautilidad diaria?

Solución

"Ñ es un máximo relativo de +Ñ "ß #ß # 0 Bß Ca b a b es un punto de silla de ,Ñ !ß !ß ! 0 Bß Ca b a b es un punto de silla de y son máximos relativos de-Ñ !ß !ß ! 0 Bß C "ß "ß # à "ß "ß #a b a b a b a b0 Bß Ca b es un mínimo relativo de .Ñ #ß #ß ) 0 Bß Ca b a b Deben fabricarse unidades de la mercancía A y 15 unidades de la mercancía B para#Ñ #%maximizar la utilidad diaria.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


77

Multiplicadores de Lagrange

Cuando es necesiario resolver problemas con enunciado de máximos y/o mínimos, pero conalguna condición adicional es preferible usar un método mucho más rápido que el criterio de la segundaderivada el cual nos permite trabajar con funciones de variables, este nuevo método se denomina8Multiplicadores de Lagrange

Sea una función de variables a la cual interesa calcular sus puntos críticos0 B ß B ß B ß ÞÞÞß B 8a b" # $ 8

con la condición adicional . Para determinar los puntos críticos se forma una1 B ß B ß B ß ÞÞÞß B œ !a b" # $ 8

nueva función auxiliar

J B ß B ß B ß ÞÞÞß B ß œ 0 B ß B ß B ß ÞÞÞß B 1 B ß B ß B ß ÞÞÞß Ba b a b a b" # $ 8 " # $ 8 " # $ 8- -

Los puntos críticos de esta nueva función cumplen con las condiciones del problema a resolver, esdecir, si el problema consiste en minimizar, entonces el punto es el mínimo buscado y sia bB ß B ß B ß ÞÞÞß B" # $ 8

el problema consiste en maximizar, entonces el punto es el máximo buscado.a bB ß B ß B ß ÞÞÞß B" # $ 8

:Ejemplos

1) Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa y con volumen específico, si se quiereusar la mínima cantidad de material en su manufactura.

0 +ß 6ß 2 œ +6 #+2 #62a b Z œ +62 Ê 1 +ß 6ß 2 œ +62 Za b J +ß 6ß 2ß œ +6 #+2 #62 +62 Za b a b- -

J œ 6 #2 62 Ê J œ ! Ê œ "6 #2

62+ +- - a b

J œ + #2 +2 Ê J œ ! Ê œ #+ #2

+26 6- - a b

J œ #+ #6 +6 Ê J œ ! Ê œ $#+ #6

+62 2- - a b

J œ +62 Z Ê J œ ! Ê +62 œ Z %- - a b ya b a b" $

œ Ê +6 #+62 œ #+62 #6 26 #2 #+ #6

62 +6# #

Ê +6 œ #6 2# #

Ê + œ #2 &a b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


78

ya b a b# $

œ Ê + 6 #+62 œ #+ 2 #+62+ #2 #+ #6

+2 +6# #

Ê + 6 œ #+ 2# #

Ê 6 œ #2 'a b y a b a b& '

+ œ 6 (a b y a b a b a b a b% ß & ß ' (

+62 œ Z Ê + + œ Z+

#a ba bŠ ‹

Ê œ Z+

#

$

Ê + œ #Z$

, Ê + œ #Z 6 œ #Z ß 2 œ#Z

#È È È$ $

$

Luego, las dimensiones de la caja son base udl y altura [udl].È È$

$

#Z Ò Ó#Z

#

2) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automóvil, que se designarán por A , B y C . SeanB ß C ß D el número de llantas diarias fabricadas de cada uno de los tipos A , B y C respectivamente. Lautilidad en cada llanta tipo A es de $200, en las de tipo B es de $300 y en las de tipo C es de $500. Elnúmero de llantas que se puede producir diariamente está sujeto a la restricción .#B C $D œ #()%# # #

Determinar cuántas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad.

0 Bß Cß D œ #!!B $!!C &!!Da b 1 Bß Cß D œ #B C $D #()%a b # # #

J Bß Cß Dß œ #!!B $!!C &!!D #B C $D #()%a b a b- - # # #

J œ #!! %B Ê J œ ! Ê œ "&!

BB B- - a b

J œ $!! #C Ê J œ ! Ê œ #"&!

CC C- - a b

J œ &!! 'D Ê J œ ! Ê œ $#&!

$DD D- - a b

J œ #B C $D #()% Ê J œ ! Ê œ #B C $D œ #()% %- -# # # # # # - a b

ya b a b" #

œ Ê &!C œ "&!B Ê C œ $B &&! "&!

B Ca b

y a b a b" $

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


79

œ Ê "&!D œ #&!B Ê D œ B '&! #&! &

B $D $a b

y a b a b a b% à & '

#B C $D œ #()% Ê #B *B $ B œ #()%#&

*# # # # # #Œ

Ê &)B œ )$&##

Ê B œ "%%#

, Ê B œ "# C œ $' ß D œ #!

Por lo tanto, la cantidad diaria de unidades a producir para maximizar la utilidad es de 12unidades de llantas tipo A, 36 unidades de llantas tipo B y 20 unidades de llantas tipo C.

3) Un disco circular tiene forma de la región limitada por la circunferencia . Si B C œ " X# #

grados es la temperatura en cualquier punto del disco y , encuentre los puntos másX œ #B C C# #

calientes y los puntos más fríos en el disco

0 Bß C œ #B C Ca b # #

1 Bß C œ B C "a b # #

J Bß Cß œ #B C C B C "a b a b- -# # # #

J œ %B #B Ê J œ ! Ê œ # ß B Á ! "B B- - a b J œ #C " #C Ê J œ ! Ê œ ß C Á ! #

" #C

#CC C- - a b

J œ B C " Ê J œ ! Ê B C œ " $- -# # # # a b

y a b a b" #

# œ Ê %C œ " #C Ê C œ %" #C "

#C #a b

ya b a b$ %

B C œ " Ê B œ " Ê B œ ß B œ " $ $

% # ## # #

" #

È È Si entonces en , B œ !ß B C œ " C œ " Ê C œ " ß C œ "# # #

" #

Si entonces en , C œ !ß B C œ " B œ " Ê B œ " ß B œ "# # #" #

Luego, los puntos críticos de la función de temperatura son:

È È$ " $ " *

# # # # %ß Ê X ß œ

È È ß Ê X ß œ

$ " $ " *

# # # # %

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


80

a b a b!ß " Ê X !ß " œ ! a b a b!ß " Ê X !ß " œ #

a b a b"ß ! Ê X !ß " œ #

a b a b "ß ! Ê X !ß " œ #

Por lo tanto, los puntos más calientes del disco son , y el punto más È È$ " $ "

# # # #ß ß

frío del disco es a b!ß " Þ

Ejercicios

Resuelva los siguientes problemas con enunciado utilizando Multiplicadores de Lagrange À

1 Hallar los valores extremos de sujetos a la restricción Ñ 0 Bß C œ BC 1 Bß C œ B C "!a b a b # #

2 El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa ha de ser 108 pies . Hallar su máximo2Ñvolumen posible.

3 Un recipiente se construye con un cilindro circular recto de radio 5 cm. y con dos tapas cónicasÑen los extremos. Si se da el volumen, hallar la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapascónicas, de manera que el área de la superficie total sea la menor posible.

4 Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si laÑFábrica A produce unidades, la fábrica B produce unidades y la fábrica C produce unidades, susB C D

respectivos costos de producción son dólares, dólares, dólares. Si se va a$B #!! C %!! #D #!!# # #

surtir un pedido de unidades. Determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas"Þ"!!a fin de minimizar el costo de producción total.

5 Si se gastan miles de dólares en trabajo e miles de dólares en equipamiento, la producciónÑ B Cde una cierta fábrica será unidades. Si hay dólares disponibles, ¿cómoTÐBß CÑ œ '! B C "#!Þ!!!"Î$ #Î$

debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor producción posible?.

6 Hállese los puntos sobre la esfera donde tieneÑ B C D œ #& 0 Bß Cß D œ B #C $D# # # a bsus valores máximos y mínimos

7 Se construye un tanque horizontal de forma cilíndrica y con extremos semiesféricos. DetermineÑel diámetro y la longitud de su porción cilíndrica si el tanque ha de tener 8000 m de agua y se pretende3

utilizar la menor cantidad posible de material para construirlo.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


81

Solución

Los puntos máximos son y los puntos mínimos son"Ñ &ß & à &ß &Š ‹ Š ‹È È È ÈŠ ‹ Š ‹È È È È &ß & à &ß &

Las dimensiones de la caja son base 6 pies y alto 3 pies , luego el máximo volumen de la caja#Ñrectangular es 108 pies .3

La altura de cada uno de los conos es unidades y la altura del cilindro es$Ñ 2 # & LÈZ %

#& $ &

1È unidades .

Deben fabricarse 200 unidades en la fábrica A , 600 unidades en la fábrica B y 300 unidades en%Ñla fábrica C a fin de minimizar el costo total de producción total.

Deben destinarse 40.000 dólares en trabajo y 80.000 dólares en producción para generar la&Ñmayor producción posible.

El punto máximo es y el punto mínimo es'Ñ ß ß& "% "! "% "& "%

"% "% "% È È È

È È È ß ß

& "% "! "% "& "%

"% "% "%.

El problema no tiene solución.(Ñ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


82

Gráficos en ‘3

Si es un función de dos variables, entonces su gráfico corresponde a un conjunto deD œ 0 Bß Ca bternas donde sus coordenadas satisfacen a la función dada.

La gráfica de una ecuación en se denomina .‘3 superficie

1) Plano

Su ecuación general es donde [ ] es el vector normal al plano.+B ,C -D . œ ! +ß ,ß -

Es posible encontrar varios tipos de planos

a) El plano intersecta a los tres ejes coordenados a b+B ,C -D . œ !

En este caso se ubican los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados.

: GraficarEjemplo #B $C %D "# œ !

eje X C œ D œ ! Ê B œ '

eje Y B œ D œ ! Ê C œ %

eje Z B œ C œ ! Ê D œ $

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


83

b) El plano pasa por el origen a b+B ,C -D œ !

En este caso se grafican las rectas que se obtienen cuando y luego se trazanB œ ! à C œ !paralelas a las dos rectas encontradas.

: GraficarEjemplo &B $C "&D œ !

B œ ! Ê $C "&D œ ! Ê C œ &D

C œ ! Ê &B "&D œ ! Ê B œ $D

c) El plano es paralelo a uno de los ejes coordenados

Si es paralelo al eje X entonces su ecuación es ß ,C -D . œ !

: GraficarEjemplo &C #D "! œ !

Si es paralelo al eje Y entonces su ecuación es ß +B -D . œ !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


84

: GraficarEjemplo $B #D "# œ !

Si es paralelo al eje Z entonces su ecuación es ß +B ,C . œ !

: GraficarEjemplo *B #C ") œ !

d) El plano es paralelo a dos de los ejes coordenados

Si es paralelo al plano YZ entonces su ecuación es ß +B . œ !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


85

: GraficarEjemplo B œ #

Si es paralelo al plano XZ entonces su ecuación es ß ,C . œ !

: GraficarEjemplo C œ #

Si es paralelo al plano XY entonces su ecuación es ß -D . œ !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


86

: GraficarEjemplo D œ #

2) Esfera

a) Si el centro es y su radio , entonces su ecuación es G !ß !ß ! < B C D œ <a b # # # #

b) Si el centro es y su radio , entonces su ecuación esG 2 ß 5ß 6 <a ba b a b a bB 2 C 5 D 6 œ <# # # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


87

3) Cilindro

a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es B C

+ , œ "

# #

# #

Si , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , entonces la base del+ œ , + Á ,cilindro es una elipse.

b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es B D

+ - œ "

# #

# #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


88

Si , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , entonces la base del+ œ - + Á -cilindro es una elipse.

c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es C D

, - œ "

# #

# #

Si , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , entonces la base del, œ - , Á -cilindro es una elipse.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


89

4) Cono

a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es B C D

+ , - œ

# # #

# # #

Si , entonces la base del cono es una circunferencia y si , entonces la base del cono+ œ , + Á ,es una elipse.

b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es B D C

+ - , œ

# # #

# # #

Si , entonces la base del cono es una circunferencia y si , entonces la base del cono+ œ - + Á -es una elipse.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


90

c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es C D B

, - + œ

# # #

# # #

Si , entonces la base del cono es una circunferencia y si , entonces la base del cono, œ - , Á -es una elipse.

5) Paraboloide Elíptico

a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es B C

+ , œ #

# #

# #

Si , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , entonces la base+ œ , + Á ,del paraboloide es una elipse.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


91

b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es B D

+ - œ #,C

# #

# #

Si , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , entonces la base+ œ - + Á -del paraboloide es una elipse.

c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es C D

, - œ #+B

# #

# #

Si , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , entonces la base del, œ - , Á -paraboloide es una elipse.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


92

Integrales Dobles

Concepto de integral doble

Sea una función de dos variables continua tal que , D œ 0 Bß C 0 Bß C ! a Bß C − V Va b a b a buna región del plano . es el dominio de .BC V 0 Bß Ca b Se determinará cómo calcular el volumen de la región sólida situada entre la superficieD œ 0 Bß Ca b. Para ello se realiza el siguiente proceso: Se subdivide la región en rectángulos no necesariamente iguales, se enumeran los V 8 8rectángulos desde a . Cada rectángulo tiene área con < < E 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 88" 3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


93

E œ ˜ B † ˜ C3 3 3

El área aproximada de la región será V E µ ˜ B † ˜ C

3 œ "

8" 3 3

Se elige un punto cualquiera en cada rectángulo y se determina su imagen a b! "3 3ß 0a b! "3 3ß . Con esto se forma un paralelepípedo

Su volumen es Z œ ˜ B † ˜ C † 0 ß3 3 3 3 3a b! "

Luego, el volumen aproximado total será Z µ 0 ß † ˜ B † ˜ C

3 œ "

8" a b! "3 3 3 3

Pero a medida que los rectángulos son cada vez más pequeños se está aproximando al valor real de Z Así,

Z œ 0 ß † ˜ B † ˜ C œ 0 Bß C .E8 Ä _

3 œ "

8lim " a b a b( (! "3 3 3 3

V

donde o.E œ .C .B .E œ .B .C

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


94

Integrales Iteradas

"Ñ

Si e son continuas en el intervalo , entoncesC œ 0 B C œ 1 B Ò +ß , Óa b a b ( ( ( (a b a ba b

a bV

0 Bß C .E œ 0 Bß C .C .BB œ + C œ 0 B

B œ , C œ 1 B

#Ñ

Si y son continuas en el intervalo , entoncesB œ 0 C B œ 1 C Ò -ß . Óa b a b ( ( ( (a b a ba b

a bV

0 Bß C .E œ 0 Bß C .B .CC œ - B œ 0 C

C œ . B œ 1 C

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


95

Propiedades de las integrales dobles

1) es constante.( ( ( (a b a bV V

5 0 Bß C .E œ 5 0 Bß C .E 5

2) Si y son integrables en , entonces 0 Bß C 1 Bß C Va b a b ( ( ( ( ( (a b a b a b a b

V V VÒ0 Bß C „ 1 Bß C Ó .E œ 0 Bß C .E „ 1 Bß C .E

Si y es continua en , entonces$Ñ V œ V V 0 Bß C V" # a b ( ( ( ( ( (a b a b a b

V V V0 Bß C .E œ 0 Bß C .E 0 Bß C .E

" #

Si los límites de integración son todos constantes, entonces%Ñ À

( ( ( (a b a b+ - - +

, . . ,0 Bß C .C .B œ 0 Bß C .B .C

varía en el intervalo e varía en el intervalo B Ò +ß , Ó C Ò -ß . Ó

Ejemplos À

"Ñ B #B C C BC .C .B œ B C B C C BC .B" "

% #( ( (ˆ ‰ º! " !

# # ## # $ # # # % #

"

#

œ #B %B % #B B B B .B" "

% #( Œ !

## # # #

œ 'B B .B"& $

% #( Œ !

##

œ B B B' "& $

$ % %$ #

!

#º œ

#$

#

#Ñ =/8 B -9= C .C .B œ =/8 B .C .B" -9=#C

#( ( ( ( Œ ! ! ! !

Î# Î## # #

1 1 1 1

œ =/8 B C .B" =/8 #C

# #( º!

#

!

Î#1 1

œ =/8 B .B"

# #(

0

1 1 #

œ .B% #

" -9= #B1( Œ !

1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


96

œ B ) #

=/8 #B1 Œ º!

1

œ)

1#

$Ñ .C .B B C œ B " B C

B C B( ( Œ Š ‹" !

$ B

# ## # #

#È

C

Bœ >1 Ê C œ B >1 Ê .C œ B =/- .! ! ! !#

C œ ! Ê >1 œ ! Ê œ !! !

C œ B Ê >1 œ " Ê œ%

! !1

( ( ( ( a b" ! " !

$ B $ Î%

# # # #

# #È ÈB B =/- .

B C B " >1.C .B œ .B

1 ! !

!

œ .B( º"

$

!

Î%È!

1

œ .B%

1("

$È

œ B%

1 º"

$È

œ $ "%

1Š ‹È

Ejercicios Resuelva À

+Ñ / .C .B# B# "

CC( (È

È È" #

,Ñ .C .B% B

B

C

B( ( Ê"

#

-Ñ =/8 . .-9=( (

! !

1 )3 ) 3 )

.Ñ B .C .B# B B

#B #( ("

#

#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


97

/Ñ -9= . .Î% >1 =/-( (

! !

$ #1 ) )

3 ) 3 )

0Ñ B / .C .BB

BC( (! !

$#

Solución

+Ñ / .C .B œ / % # # #/# B# "

CC( (È

È È Š ‹È" #

#È

,Ñ .C .B œ % B

B

C %!$

B #"( ( Ê"

#

-Ñ =/8 . . œ-9= "

$( (! !

1 )3 ) 3 )

.Ñ B .C .B œ# B B

#B #

*

%( ("

#

#

/Ñ -9= . . œÎ% >1 =/- "

#!( (! !

$ #1 ) )

3 ) 3 )

0Ñ B / .C .B œ &B

BC /

#( (! !

$#

*

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


98

Aplicaciones de la integral doble

1) Cálculo de áreas en el plano ‘2

En si , entonces representa el área de regiones del( ( ( (a b a bV V

0 Bß C .E 0 Bß C œ " .E

plano.

Así,

E œ .C .B œ .B .CB œ + C œ 0 B C œ - B œ 0 C

+ œ , C œ 1 B C œ . B œ 1 C( ( ( (a b a ba b a b

:Ejemplos

1) Hallar el área de la región situada bajo la parábola sobre el eje X y sobre laV C œ %B B ß#

recta C œ $B '

Intersección de las curvas

%B %B œ $B '#

! œ B (B '#

! œ B " B 'a ba b B œ "ß C œ $" "

no es solución, por condiciones del problemaB œ 'ß C œ "## # a b C œ %B B#

C œ ! Ê %B B œ ! Ê B œ !ß B œ %#" #

C œ $B ' C œ ! Ê $B ' œ ! Ê B œ #

E œ .C .B .C .B( ( ( (" $B' # !

# %BB % %BB# #

E œ C .B C .B( (º º" #

# %%BB %BB

$B' !

# #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


99

E œ B (B ' .B %B B .B( (ˆ ‰ ˆ ‰" #

# %# #

E œ 'B B (B %B B

$ # # $

$ # # $# %

" #º º

E œ "$ "'

' $

[u. de a.]E œ"&

#

Por otro lado,

C œ %B B C œ $B '#

B %B C œ ! $B œ ' C#

B œ B œ # % „ "' %C

# $

CÈ

B œ% „ % % C

#

È a b B œ # „ % CÈ

E œ .B .C .B .C( ( ( (! # $ # %C

$ # %C % # %C

C$

È ÈÈ

Pero, como ya se sabe de Cálculo II, al obtener el àrea de una región del plano el a obtener alintegrar respecto al eje X como el respecto al eje Y debe ser el mismo. Por lo tanto,

[u. de a.]( ( ( (! # $ # %C

$ # %C % # %C

C$

È ÈÈ.B .C .B .C œ

"&

#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


100

2) Determinar el área limitada por e C œ B C œ B$ #

Intersección de las curvas

B œ B Ê B B œ ! Ê B B " œ ! Ê B œ !ß C œ ! à B œ "ß C œ "$ # $ # #" " # #a b

E œ .C .B( (! B

" B

$

#

E œ C .B( º!

" B

B

#

$

E œ B B .B( ˆ ‰!

"# $

E œ B B

$ %

$ % "

!º

[u. de a]E œ"

"#

Por otro lado, C œ B Ê C œ B C œ B Ê C œ B$ #È È$

[u. de a]E œ .B .C œ"

"#( (! C

" C

ÈÈ$

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


101

Ejercicios

Determine el área encerrada por las curvas respecto al eje y respecto al eje . Plantee ambas\ ]integrales, pero resuelva sólo una de ellas.

+Ñ B œ C à B œ #C C# #

,Ñ C œ =/8B à C œ -9= B à B œ !

-Ñ B œ C C à B C œ !#

.Ñ B œ %C à )C œ B "'# #

; /Ñ B C œ "' à C œ 'B C œ !# # È

Solución

+ÑE œ .C .B( (! " "B

" B

ÈÈ

E œ .B .C( (! C

" #CC

#

#

[ u.de a.]E œ"

$

,ÑE œ .C .B( (! =/8 B

Î% -9= B1

E œ .B .C .B .C( ( ( (! ! #Î# !

#Î# E<- =/8 C " E<- -9= CÈÈ

[ u.de a.]E œ # "È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


102

-ÑE œ .C .B .C .B( ( ( (# B !

! "Î%" "%B " "%B# #

" "%B#

È È

È

E œ .B .C( (! C

# CC#

[ u.de a.]E œ%

$

.ÑE œ # .C .B( (!

%

B#

%

B "'#

)

E œ # .B .C # .B .C( ( ( (! ! # # C

# # C % # # C#ÈÈÈ È

[ u.de a.]E œ$#

$

/ÑE œ .C .B .C .B( ( ( (! ! # !

# 'B % "'BÈ È #

E œ .B .C( (!

# $ "'CÈ ÈC#

'

#

[ u.de a.]E œ) # $

$

1 È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


103

2) Conocida una región del plano , determinar el valor de una cierta integral dobleV BC

Ejemplos

1) Obtener el valor de donde es la región del plano limitada por en( ( ÈV

B.E V C œ #& B ß#

el primer cuadrante; e$B %C œ ! C œ ! Intersección de las curvas

È È#& B œ B #& B œ ! $B %C œ !ß C œ !$

%# #

#& B œ B #& B œ ! $B œ !*

"'# # #

%!! "'B œ *B #& œ B B œ ! ß C œ !# # #

%!! œ #&B & œ B ß C œ !#

"' œ B#

% œ B ß C œ $

Si .E œ .C .B

( ( ( ( ( (V

B.E œ B.C .B B.C .B! ! % !

% B & #&B$%

#È

œ BC .B BC .B( (º º! %

% &B #&B

! !

$%

#È

œ B .B B #& B .B$

%( ( È! %

% &# #

? œ #& B Ê .? œ #B .B Ê œ B.B.?

##

B œ % Ê ? œ *ß B œ & Ê ? œ !

( ( (ºV

B.E œ † ? .?$ B "

% $ #

$ %

! *

!"#

œ "' † ? œ "' * œ #&" #

# $

$# º!

*

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


104

Si .E œ .B .C

( ( ( (V

B.E œ B.B .C! C

$ #&C

%$

#È

œ .CB

#( º!

$ # #&C

C

È #

%$

œ #& C C .C" "'

# *( Œ !

$# #

œ #& C .C" #&

# *( Œ !

$#

œ #&C †" #& C

# * $Œ º$ $

!

œ (& #&"

#a b

œ #&

Por lo tanto, si se usa el operador o para un mismo ejercicio el resultado.E œ .C .B .E œ .B .Cde la integral es el mismo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


105

2) Determine el valor de donde es la región del plano limitada por ( (V

BC .E V B œ " à B œ ##

à C œ " à C œ $B " ÞPlantee ambas integrales, pero calcule sólo una de ellas.

Para .E œ .C .B

( ( ( (V

BC .E œ BC .C .B# #

" "

# $B"

Para .E œ .B .C

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


106

( ( ( ( ( (V

BC .E œ BC .B .C BC .B .C# # #

" " #

# # & #

C"$

Resolviendo

( ( ( (V

BC .E œ BC .C .B# #

" "

# $B"

œ B .BC

$( º"

# $ $B"

"

œ *B *B $B .B#

$( Œ "

#% $

œ B*B *B $B #

& % # $

& % # #

"º

œ&'"

#!

Ejercicios

Determine el valor de Considere y resuelva la( (V

0ÐBß CÑ .EÞ .E œ .C .B ß .E œ .B .C

integral que usted estime más conveniente.

+Ñ .E V À C œ ! à C œ B à B œ %V

C

" B#( ( È

,Ñ BC / .E V À B C œ +V

ÐB C Ñ( ( # # ## #

-Ñ .E V À " Ÿ B Ÿ # à " Ÿ C Ÿ BV

B

B C( ( È # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


107

Solución

+Ñ

( ( ( (V

C C

" B#.E œ .C .B

" B! !

% B

#

È

( ( ( (V

C C

" B#.E œ .B .C

" B! C

# %

##

( (V

C 68Ð"(Ñ

" B#.E œ

%

,Ñ BC / .E œ % BC / .C .BV

ÐB C Ñ ÐB C Ñ( ( ( ( # # # #

!

+ + B

!

È # #

( ( ( (V

BC / .E œ % BC / .B .CÐB C Ñ ÐB C Ñ # # # #

! !

+ + CÈ # #

( ( ˆ ‰V

BC / .E œ " / + "ÐB C Ñ + ## # #

-Ñ .E œ .C .BV

B B

B C B C( ( ( (È È# # # #

" "

# B

( ( ( (È ÈV

B B

B C B C.E œ .B .C

# # # #"

# #

C

( ( ÈÈ ÈÈ È È

V

B # & & "! " #

B C.E œ #68

# ## #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


108

3) Cálculo de volúmenes

Por definición representa el volumen del sólido comprendido en ( ( a b a bV

0 Bß C .E D œ 0 Bß C

con el área de la base y la altura..E 0 Bß Ca b Z œ .Z œ 0 Bß C .E

V V( ( ( ( a b

Z œ 0 Bß C .C .BB œ + C œ 0 B

B œ , C œ 1 B( ( a ba b a b

Z œ 0 Bß C .B .CC œ - B œ 0 C

C œ . B œ 1 C( ( a ba b a b

Ejemplos

1) Determinar el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el plano D œ # B #C

B #C D œ #

Intersección con los ejes

eje X eje Y eje Z B œ # C œ " D œ #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


109

es la región en el plano V BC D œ ! Ê B #C œ #

Z œ # B #C .C .B( ( a b! !

# "B#

Z œ #C BC C .B( º!

##

"

!

B#

Z œ B # B B " .BB B

# %( Œ !

# # #

Z œ B " .BB

%( Œ !

# #

Z œ B B B

# "#

# $ #

!º

Z œ # # )

"#

[u. de v.]Z œ#

$

Si se considera se tiene.E œ .B .C

B #C œ # Ê B œ # #C

[u. de v.]Z œ # B #C .B .C œ#

$( ( a b! !

" ##C

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


110

2) Calcular el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el cilindro y losB C œ *# #

planos y B C œ $ D œ %

La región del plano esV

Z œ % .C .B( (! $B

$ *BÈ #

Z œ %C .B( º!

$ *B

$B

È #

Z œ % * B "# %B .B( Š ‹È!

$#

Z œ % * B .B % B $ .B( (È a b! !

$ $#

Z œ % * B .B % $BB

#( È Œ º!

$#

# $

!

Z œ % * B .B ")( È!

$#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


111

* B œ * " Ê * B œ * " B B

* $# #

# #Œ ” •Š ‹

B

$œ =/8 Ê B œ $=/8 Ê .B œ $-9= .) ) ) )

B œ ! Ê œ ! B œ $ Ê œ#

) )1

Z œ % * " .B ")B

$( Ë ” •Š ‹!

$ #

Z œ "# " =/8 † $-9= . ")( È!

#

1#

) ) )

Z œ $' -9= . ")(!

#

1#

) )

Z œ $' . ")" -9=#

#(!

1# )

)

Z œ ") ")=/8#

#Œ º)

)1#

!

[u. de v.]Z œ * ")1

Ejercicios

Usando integrales dobles, calcule el volumen del sólido limitado por las siguientes superficies.

El cilindro y los planos +Ñ B C œ % D œ ! à D œ )# #

el cono y el paraboloide ,Ñ B C œ D D œ B C# # # # #

El cilindro los planos en el primer octante.-Ñ B C œ #& à B C œ & à D œ ) à# #

Solución

+Ñ Z œ % ) .C .B ,Ñ Z œ % B C B C .C .B( ( ( ( Š ‹È! ! ! !

# %B " "B# # # #

È È# #

[u. de v.] [u. de v.]Z œ $# Z œ'

11

-Ñ Z œ ) .C .B( (! &B

& #&BÈ #

[u. de v.]Z œ &! "!!1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


112

Integrales Triples

Sea una función de tres variables, continua en una cierta región de , entoncesA œ 0 Bß Cß D Wa b ‘$

0 Bß Cß D Wa b es integrable en .

Si varía desde hasta varía desde hasta varía desdeB B œ + B œ , ß C C œ 0 B C œ 1 B ß Da b a bD œ 0 Bß C D œ 1 Bß Ca b a bhasta , entonces

es la integral triple de la región de( ( ( ( ( (a b a bW

0 Bß Cß D .Z œ 0 Bß Cß D .Z W+ 0 B 0 BßC

, 1 B 1 BßC

a b a ba b a b

‘$.

Si varía desde hasta varía desde hasta varía desde hastaB B œ + B œ , ß C C œ - C œ . ß D D œ /D œ 0 , entonces son equivalentes:

( ( ( ( ( (a b a bW

0 Bß Cß D .Z œ 0 Bß Cß D .D .C .B+ - /

, . 0

œ 0 Bß Cß D .D .B .C( ( ( a b- + /

. , 0

œ 0 Bß Cß D .C .B .D( ( ( a b/ + -

0 , .

y otras más

Ejemplos

Evaluar

"Ñ BC .D .C .B œ BCD .C .B( ( ( ( ( º" ! " " !

# B BBC # B BBC

"

œ B C B C BC .C .B( ( ˆ ‰" !

# B# # #

œ .BB C B C BC

# $ #( Œ º"

# # # # $ # B

!

œ .BB B B

# $ #( Œ "

# % & $

œ B B B

"! ") )

& ' % #

"º

œ")*

%!

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


113

#Ñ C 68 D >1 B .B .D .C œ C 68 D 68 =/- B .D .C( ( ( ( ( ¸ ¸º" / ! " /

! #/ Î$ ! #/ Î$

!

1 1

œ C 68D 68 =/- Î$ 68 =/- ! .D .C( ( ˆ ‰¸ ¸ ¸ ¸a b" /

! #/

1

œ 68 # C 68D .D .Ca b( (" /

! #/

? œ 68 D Ê .? œ .D .@ œ .D Ê @ œ D"

D

( ( ( ( (a b º" / ! " /

! #/ Î$ ! #/#/

/

1

C 68 D >1 B .B .D .C œ 68 # C D 68D D † .D .C"

D

œ 68 # C D 68 D D .Ca b( º"

! #/

/

œ 68 # C #/ 68 #/ #/ / 68 / / .Ca b a b( a b a b"

!

œ 68 # C #/ 68 # #/ 68 / #/ / 68 / / .Ca b a b( a b a b a b"

!

œ #/Ò68 # Ó C .Ca b (#"

!

œ #/Ò68 # ÓC

#a b º#

# !

"

œ /Ò68 / Óa b #

$Ñ C / .D .B .C œ C / .B .C( ( ( ( ( º" C ! " C

# C 68 B # CD D

68 B

!

# #

œ C / / .B .C( ( ˆ ‰" C

# C68B !

#

œ BC C .B .C( ( a b" C

# C#

œ BC .CB C

#( Œ º"

# # C

C

#

œ C C .CC C

# #( Œ "

# & $$ #

œ C .CC $C

# #( Œ "

# & $#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


114

œ œC $C C %(

"# ) $ #%

' % $ #

"º

%Ñ .B .D .CD

B D( ( (! ! !

# C $ D

# #

È

B D œ D " Ê B D œ D "B B

D D# # # # # #

#

#

#Œ ” •Š ‹

B

Dœ >1 Ê B œ D >1 Ê .B œ D =/- .) ) ) )#

B œ ! Ê œ ! B œ $ D Ê œ$

) )1È

( ( ( ( ( ( ” •Š ‹! ! ! ! ! !

# C $ D # C $ D

# ##

#

È ÈD D

B D.B .D .C œ .B .D .C

D "B

D

œ D =/- . .D .CD

D >1 "( ( ( a b! ! !

# C Î$

# ##

1

)) )

œ . .D .C( ( (! ! !

# C Î$1

)

œ .D .C( ( º! !

# C Î$

!

)1

œ .D .C$

1( (! !

# C

œ D .C$

1( º!

# C

!

œ C .C$

1(!

#

œ †$ #

C1 # #

!º

œ#

$1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


115

Ejercicios

Resuelva las siguientes integrales triples À

+Ñ BCD .D .C .BB C

( ( (È! !

" " #

# #

,Ñ -9= .C .B .DÎ Î BD C

D( ( ( Š ‹! ! !

# #1 1

-Ñ .D .C .BB C

C D( ( (" $ !

# $ C

# #

È

.Ñ #C B .D .C .B" B( ( ( È

" ! B

" B#

#

ÈÈ

Solución

+Ñ BCD .D .C .B œB C

$

)( ( (È! !

" " #

# #

,Ñ -9= .C .B .D œÎ Î BD C

D )( ( ( Š ‹! ! !

# # #1 1 1

-Ñ .D .C .B œ B C

C D #( ( (" $ !

# $ C

# #

È1

.Ñ #C B .D .C .B œ !" B( ( ( È

" ! B

" B#

#

ÈÈ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


116

La integral triple permite calcular el volumen de sólidos de la forma donde se( ( ( W

.Z .Z

usará como: .Z œ .D .C .B ß .Z œ .D .B .C

:Ejemplos

1) Determinar el volumen de la región, en el primer octante, limitada superiormante por el cilindroD C œ " B C œ " à B C œ $# # y situada entre los planos

En el plano se observaBC

B C œ " Ê B œ " C B C œ $ Ê B œ $ C

Z œ .D .B .C( ( (! "C !

" $C "CÈ #

Z œ D .B .C( ( º! "C

" $C "C

!

È #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


117

Z œ " C .B .C( ( È! "C

" $C#

Z œ " C † B .C( È º!

"#

$C

"C

Z œ " C $ C " C .C( È a b!

"#

Z œ # " C .C( È!

"#

C œ =/8 Ê .C œ -9= .) ) )

C œ ! Ê œ ! C œ " Ê œ#

) )1

Z œ # " =/8 † -9= .( È!

#

1#

) ) )

Z œ # -9= .(!

#

1#

) )

Z œ # ." -9=#

#( Œ !

1# )

)

Z œ =/8#

#Œ º)

)1#

!

u. de v.Z œ Ò Ó#

1

Si se considera la integral sería.Z œ .D .C .B

Z œ .D .C .B .D .C .B .D .C .B( ( ( ( ( ( ( ( (! "B ! " ! ! # ! !

" " "C # " "C $ $B "CÈ È È# # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


118

2) Determinar el volumen de la esfera B C D œ +# # # #

En el plano BC

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


119

Por simetría

Z œ ) .D .C .B( ( (! ! !

+ + B + B CÈ È# # # # #

Z œ ) D .C .B( ( º! !

+ + B + B C

!

È È# # # # #

Z œ ) + B C .C .B( ( È! !

+ + B# # #

È # #

a b a bŒ + B C œ + B " C

+ B# # # # #

#

# #

a b a b” • È+ B C œ + B " C

+ B

# # # # #

# #

#

C

+ Bœ =/8 Ê C œ + B =/8 Ê .C œ + B -9= .È È È

# #

# # # #) ) ) )

C œ ! Ê œ ! C œ + B Ê œ#

) )1È # #

Z œ ) + B " .C .BC

+ B( (

ÍÍÍÌ a b” • È! !

+ + B# #

# #

#È # #

Z œ ) + B † " =/8 † + B -9= . .B( ( È È È! !

+# # # # #

1#

) ) )

Z œ ) + B -9= . .B( ( ˆ ‰! !

+# # #

1#

) )

Z œ ) + B . .B" -9=#

#( (ˆ ‰! !

+# #

1# )

)

Z œ % + B .B=/8#

#( ˆ ‰Œ º!

+# #

!

))

1#

Z œ % + B .B#

( ˆ ‰!

+# # 1

Z œ # + B B

$1Œ º#

$ +

!

[u. de v.]Z œ +%

$$1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


120

3) Determinar el volumen, sobre el plano del sólido formado por el cilindro y elBC B C œ #&# #

plano B C D œ )

En el plano BC

Z œ .D .C .B( ( (& #&B !

& #&B )BC

ÈÈ

#

#

Z œ D .C .B( ( º& #&B

& #&B )BC

!ÈÈ

#

#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


121

Z œ ) B C .C .B( ( a b& #&B

& #&B

ÈÈ

#

#

Z œ )C BC .BC

#( Œ º&

& # #&B

#&B

ÈÈ

#

#

Z œ "' #& B #B #& B .B( Š ‹È È&

&# #

( È&

&#"' #& B .B

#& B œ #& " Ê #& B œ #& " B

&# #B

#&

#Š ‹ Š ‹” •#

B

&œ =/8 Ê B œ &=/8 Ê .B œ & -9= .) ) ) )

B œ & Ê œ B œ " Ê œ# #

) )1 1

( (È Ë ” •Š ‹& &

& &#

#

"' #& B .B œ "' #& " .BB

&

œ %!! -9= .(

#

1

1

#

#

) )

œ %!! ." -9=#

#(1

1

#

# ))

œ #!! =/8#

#Œ º)

)1

1

#

#

œ #!!1

# B #& B .B( È&

&#

? œ #& B Ê .? œ #B .B Ê œ B.B.?

##

? œ & Ê ? œ ! ? œ & Ê ? œ !

# B #& B .B œ # ? †.?

#( (È È& !

& !#

œ ! Luego,

Z œ #!! !1 [u. de v.]Z œ #!!1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


122

Ejercicios

Determinar, en coordenadas cartesianas, el volumen del sólido limitado por À

El cilindro los planos +Ñ B C œ "' ß C D œ % ß C œ # ß D œ ! ß B œ !# #

El cilindro los planos,Ñ B %C œ % ß D œ ! à D œ B ## #

El cono y el plano -Ñ %B *C $'D œ ! D œ "# # #

El plano con .Ñ D œ ' #C ! Ÿ B Ÿ % à ! Ÿ C Ÿ #

Los planos /Ñ D œ ' B C à C œ B à C œ #

Solución

[u. de v.]+Ñ Z œ .D .B .C œ'%

$( ( (# ! !

% "'C %CÈ #

1

[u. de v.],Ñ Z œ .D .C .B œ %( ( (# !

# B#

È

È

%B#

#

%B#

#

1

[u. de v.]-Ñ Z œ % .D .C .B œ #( ( (! !

$ "# *B#

$

%B *C# #

'

È

É 1

[u. de v.].Ñ Z œ .D .C .B œ $#( ( (! ! !

% # '#C

[u. de v.]/Ñ Z œ .D .C .B œ )( ( (! B !

# # 'BC

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


123

Transformación de Integrales Triples

Al trabajar con integrales triples, a veces, es conveniente hacer uso de algún sistema decoordenadas que no sea el sistema de coordenadas cartesianas

Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas constan de coordenadas polares en el plano y una coordenada comoDen el sistema cartesiano. Las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas son:

B œ < -9=) C œ < =/8) D œ D

En el plano BC

Z œ .Z œ < .D .< .W

( ( ( ( ( () ) )

) ) )

œ <œ< DœD ß<

œ <œ< DœD ß<

" " "

# # #

a ba b

)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


124

Ejemplos

1) Determinar el volumen del sólido limitado por el semicono y el planoD œ B C D œ %È # #

En el plano sólo existe un punto, pero en un plano paralelo al plano , , se forma laBC BC D œ %circunferencia B C œ "'# #

B C œ "' Ê < -9= < =/8 œ "'# # # #a b a b) ) Ê < -9= < =/8 œ "'# # # #) )

Ê < -9= =/8 œ "'# # #a b) )

Ê < œ "'#

Ê < œ % El cono en coordenadas cilíndricas queda:

D œ B C Ê D œ < -9= < =/8 Ê D œ <È Éa b a b# # # #) )

: No es posible reemplazar en el valor de porque corresponde a la figuraNota D œ < < œ %ß < œ %que queda en el plano , por lo tanto se está trabajando en , en cambio corresponde a laBC D œ <‘#

transformación de una superficie, es decir, se está trabajando en Luego, los sistemas son incompatibles.‘3Þ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


125

Por simetría

Z œ % < .D .< .( ( (! ! <

% %1#

)

Z œ % <D .< .( ( º! !

% %

<

1#

)

Z œ % %< < .< .( ( ˆ ‰! !

%#

1#

)

Z œ % #< .<

$( Œ º!

#$ %

!

1#

)

Z œ % .$#

$(!

1#

)

Z œ"#)

$º1#

!

[u. de v.]Z œ'%

$1

2) Determinar el volumen del sólido, sobre el plano , limitado por el cilindro BC B C $ œ *# #a by el cono B C œ D# # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


126

En el plano BC

B C $ œ * Ê B C 'C * œ *# # ##a b Ê < '< -9= œ !# )

Ê < < '=/8 œ !a b) Ê < œ ! ß < œ '=/8" # ) El cono en coordenadas cilíndricas queda:

B C œ D Ê < œ D Ê < œ D# # # # #

Z œ < .D .< .( ( (! ! !

'=/8 <1 )

)

Z œ <D .< .( ( º! !

'=/8 <

!

1 )

)

Z œ < .< .( (! !

'=/8#

1 )

)

Z œ .<

$( º!

$ '=/8

!

1 )

)

Z œ #"'=/8 ."

$(!

$1

) )

Z œ (# =/8 =/8 .(!

#1

) ) )

Z œ (# =/8 " -9= .( ˆ ‰!

#1

) ) )

Z œ (# =/8 =/8 -9= .( ˆ ‰!

#1

) ) ) )

Z œ (# -9= -9=

$Œ º)

)$

!

1

[u.de v.]Z œ *'

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


127

Ejercicios

Calcular, en coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido limitado por À

La esfera y el cilindro +Ñ B C D œ "' B C œ %# # # # #

El plano , el cilindro y el paraboloide ,Ñ D œ ! B C œ " D œ B C# # # #

El cilindro y los planos -Ñ B C œ % D œ ! ß C D œ %# #

Solución

[ u. de v.]+Ñ Z œ # < .D .< . œ # "' $"#)

$( ( ( Œ È! ! !

# # "'<1 È #

) 1

[ u. de v.],Ñ Z œ < .D .< . œ#

( ( (! ! !

# " <1 #

)1

[ u. de v.]-Ñ Z œ < .D .< . œ "'( ( (! ! !

# # %< =/81 )

) 1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


128

Coordenadas Esféricas

Si en la región una de las superficies es una esfera, conviene trabajar con coordenadas esféricasWmediante la transformación

B œ -9= =/83 ) 9 C œ =/8 =/83 ) 9

D œ 3

En el plano BC

En el plano DC

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


129

varía desde hasta ) ) ) 1œ ! œ # varía desde hasta 9 9 9 1œ ! œ varía desde hasta 3 3 3 3 3œ œ" #

Z œ .Z œ =/8 . . .W

( ( ( ( ( () ) 9 9 3 3

9 9

œ œ œ

œ#

" " "

œ # œ# #) ) 3 3

3 9 3 9 )

:Ejemplos

1) Determinar el volumen de la esfera B C D œ +# # # #

B C D œ +# # # #

Ê -9= =/8 =/8 =/8 -9= œ +a b a b a b3 ) 9 3 ) 9 3 9# # # #

Ê -9= =/8 =/8 =/8 -9= œ +3 ) 9 3 ) 9 3 9# # # # # # # # #

Ê =/8 -9= =/8 -9= œ +3 9 ) ) 3 9# # # # # # #a b Ê =/8 -9= œ +3 9 9# # # #a b Ê œ +3# #

Ê œ +3

Z œ =/8 . . .( ( (! ! !

# +#

1 1

3 9 3 9 )

Z œ =/8 . .$

( ( º! !

# $ +

!

1 1 39 9 )

Z œ =/8 . .+

$

$

! !

#( (1 1

9 9 )

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


130

Z œ -9= .+

$

$

!

#

!( º1 1

9 )

Z œ + .#

$$

!

#( 1

)

Z œ +#

$$

#

!

)º 1

[u. de v.]Z œ +%

$1 $

2) Calcular el volumen que se forma en el interior de la esfera y el conoB C D œ #+D# # #

B C œ D# # #

B C D œ #+D Ê B C D #+D œ ! Ê B C D + œ +# # # # # # # # ##a b Intersección de las superficies

B C D œ #+D# # #

B C œ D Ê #D œ #+D Ê #D #+D œ ! Ê D œ ! ß D œ +# # # # #" #

Considerando las simetrías en el plano se observa:DC

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


131

Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene:

B C D œ #+D Ê œ #+ -9= Ê #+ -9= œ !# # # # #3 3 9 3 3 9 Ê œ ! ß œ #+ -9=3 3 9" #

B C œ D Ê -9= =/8 =/8 =/8 œ -9=# # # # # # # # # # #3 ) 9 3 ) 9 3 9

Ê =/8 -9= =/8 œ -9=3 9 ) ) 3 9# # # # # #a b Ê =/8 œ -9=3 9 3 9# # # #

Ê =/8 œ -9=# #9 9

Ê >1 œ " Ê œ%

#9 91

Por simetría

Z œ % =/8 . . .( ( (! ! !

#+-9=#

1 1# % 9

3 9 3 9 )

Z œ % =/8 . .$

( ( º! !

$ #+ -9=

!

1 1# % 3

9 9 )9

Z œ -9= =/8 . .$#+

$

$

! !

$( (1 1# %

9 9 9 )

Z œ .$#+ -9=

$ %

$ %

! !( º

1 1# %9

)

Z œ + .) $

$ %$

!( 1

#

)

Z œ #+$

!

)º1#

[u.de v.]Z œ +$1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


132

3) Calcular el volumen que queda en el interior de la esfera y el paraboloideB C D œ %D# # #

D œ B C# #

B C D œ %D Ê B C D %D œ ! Ê B C D # œ %# # # # # # # # #a b Intersección de las superficies

B C D œ %D# # #

B C œ D Ê D D œ %D Ê D $D œ ! Ê D œ ! ß D œ $# # # #" #

Considerando las simetrías en el plano se observa:DC

Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene:

B C D œ %D Ê œ % -9= Ê % -9= œ !# # # # #3 3 9 3 3 9 Ê œ ! ß œ % -9=3 3 9" #

B C œ D Ê -9= =/8 =/8 =/8 œ -9=# # # # # # # #3 ) 9 3 ) 9 3 9 Ê =/8 -9= =/8 œ -9=3 9 ) ) 3 9# # # #a b Ê =/8 œ -9=3 9 3 9# #

Ê =/8 -9= œ !3 9 3 9# #

Ê œ ! ß œ œ -9>1 -9=/--9=

=/83 3 9 9

9

9" # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


133

Igualando los 3

% -9= œ-9=

=/89

9

9#

(se están considerando las simetrías)=/8 œ Ê =/8 œ Ê œ" "

% # '#9 9 9

1

Por simetría

Z œ % =/8 . . . % =/8 . . .( ( ( ( ( (! ! ! ! !

%-9= -9>1 -9=/-# #

1 1 1 1

1

# # #6

6

9 9 9

3 9 3 9 ) 3 9 3 9 )

Z œ % =/8 . . % =/8 . .$ $

( ( ( (º º! ! !

$ $% -9= -9>1 -9=/-

! !

1 1 1 1

1

# ' # #3 39 9 ) 9 9 )

9 9 9

6

Z œ -9= =/8 . . -9>1 -9=/- . .#&' %

$ $( ( ( (! ! !

$ $ #

1 1 1 1

1

# ' # #

9 9 9 ) 9 9 9 )6

Z œ . .#&' -9= % -9>1

$ % $ %( (º º! !

% %

!

1 11 1

1

# #' #

'

9 9) )

Z œ . * .'% ( "

$ "' $( (! !

1 1# #

) )

Z œ $#)

$) )º º

1 1# #

! !

[u.de v.]Z œ$(

'1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


134

Ejercicios

I Calcular, en coordenadas esféricas, el volumen del sólido À

Dentro de la esfera y arriba del cono +Ñ B C D œ %D B C œ D# # # # # #

,Ñ B C œ D à B C œ $DComprendido por los conos y bajo la semiesfera# # # # # #

D œ % B CÈ # #

Dentro de la esfera y sobre -Ñ B C D œ % D œ "# # #

II Evalue la integral usando coordenadas cilíndricas o esféricas

+Ñ .D .C .B" B " B C D

B C( ( (È È

È! ! !

" # # #

# #

,Ñ D .D .B .C" C # B C

B C

#( ( (È ÈÈ! !

" # # #

# #

-Ñ .D .B .C% C % B C "

B C D( ( (È È! ! !

# # # #

# # #

III Convierta la siguiente integral a coordenadas esféricas y rectangulares

( ( (È

! ! !

"# % <#

< .D .< .1

)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


135

Solución I

[u. de v.]+Ñ Z œ =/8 . . . œ )( ( (! ! !

# Î% %-9=#

1 1 9

3 9 3 9 ) 1

,Ñ Z œ =/8 . . . =/8 . . .( ( ( ( ( (! ! ! ! ! !

# Î$ # # Î% ## #

1 1 1 1

3 9 3 9 ) 3 9 3 9 )

o

Z œ =/8 . . .( ( (! Î% !

# Î$ ##

1 1

1

3 9 3 9 )

[u. de v.]Z œ) # )

$1 È

[u. de v.]-Ñ Z œ =/8 . . . œ&

$( ( (! ! "Î-9=

# Î$ ##

1 1

9

3 9 3 9 ) 1

II

+Ñ .D .C .B œ" B " B C D

B C '( ( (È È

È! ! !

" # # #

# #

1

,Ñ D .D .B .C œ" C # B C

B C

# # "

"&( ( (È È

È È! !

" # # #

# #

# 1

-Ñ .D .B .C œ% C % B C "

B C D( ( (È È! ! !

# # # #

# # #1

III

( ( ( ( ( (È

! ! ! ! ! !

" " "B %B C# % <#

< .D .< . œ % .D .C .B1

)

È È# # #

( ( ( ( ( (È

! ! ! ! ! !

" Î# Î' ##

# % <#

< .D .< . œ % =/8 . . .1

) 3 9 3 9 )1 1

% =/8 . . .( ( (! Î' !

Î# Î# "Î=/8#

1 1 9

1

3 9 3 9 )

[u. de v.]( ( (È

Œ È! ! !

"# % <#

< .D .< . œ # $"'

$

1) 1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


136

Campos Vectoriales

Son funciones que asignan a un punto del plano o del espacio un vector.

:Conceptos

1) Sean y dos funciones de dos variables definidas en una ciertaQ œ 0 Bß C R œ 0 Bß Ca b a bregión del plano . La función definida por:V J

jyxNiyxMyxF ),(),(),( +=

se llama campo vectorial sobre VÞ

2) Sean tres funciones de tres variables definidas enQ œ 0 Bß Cß D àR œ 0 Bß Cß D à T Bß Cß Da b a b a buna región del espacio. La función definida por:W J

kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( ++=

se .llama campo vectorial sobre W

El gradiente es un ejemplo representativo de campo vectorial pues:

+Ñf0 Bß C œ 0 Bß C † 3 0 Bß C † 4a b a b a bB C

Haciendo y se tiene que Q œ 0 Bß C R œ 0 Bß C f0 Bß C œ Q3 R4B Ca b a b a b ,Ñf0 Bß Cß D œ 0 Bß Cß D † 3 0 Bß Cß D † 4 0 Bß Cß D † 5a b a b a b a bB C D

Haciendo se tiene queQ œ 0 Bß Cß D àR œ 0 Bß Cß D à T œ 0 Bß Cß DB C Da b a b a bf0 Bß Cß D œ Q3 R4 T5a b Algunos ejemplos físicos de campos vectoriales son:

a) los cuales se usan para describir el movimiento de un sistema deCampos de velocidadespartículas en el plano o en el espacio como también para describir el flujo de corrientes de aire alrededor deun objeto en movimiento.

b) se definen mediante la ley de la gravitación de Newton, que estableceCampos gravitacionalesque la fuerza de atracción ejercida sobre una partícula de masa localizada en por una partícula7 Bß Cß D" a bde masa localizada en es:7 !ß !ß !# a b J Bß Cß D œ † ?

K7 7

B C Da b " #

# # #

p

con la constante gravitatoria y un vector unitario en la dirección que va del origen a .K ? Bß Cß Dp a b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


137

c) se definen por la ley de Coulomb, que establece que la fuerzaCampos de fuerzas eléctricasejercida sobre una partícula con carga eléctrica localizada en por una partícula con carga; Bß Cß D" a beléctrica localizada en viene dada por:; !ß !ß !# a b J Bß Cß D œ † ?

- ; ;

m<ma b " #

#

p

donde , y una constante que depende de la elección de unidades para ; < œ B3 C4 D5 ? œ - m<m ;<

m<m

p"

y .;#

Campo vectorial conservativo

Un campo de vectores se llama conservativo si existe una función diferenciable tal queJJ œ f0 . La función se llama de .0 Jfunción potencial

Los campos gravitacionales, los magnéticos y los de fuerzas eléctricas son conservativos. Que un campo vectorial sea conservativo significa que cumple con las condiciones de la ley deconservación de la energía (la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula esconstante).

Campo vectorial conservativo en el plano

Sean y dos funciones de dos variables que tienen primeras derivadasQ œ 0 Bß C R œ 0 Bß Ca b a bparciales continuas, entonces :

xN

yMjyxNiyxMyxF

∂∂

=∂∂

⇔+= voconservati es ),(),(),(

Ejemplos

Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función potencial.

"Ñ J Bß C œ B C 3 BC 4a b #

Q œ B C Ê œ B`Q

`C# #

R œ BC Ê œ C`R

`B

, por lo tanto, el campo vectorial no es conservativo.`Q `R

`C `BÁ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


138

#Ñ J Bß C œ %B #C $B C 3 $C #B #B C 4a b a b a b$ # # # $

Q œ %B #C $B C Ê œ # 'B C`Q

`C$ # # #

R œ $C #B #B C Ê œ # 'B C`R

`B# $ #

, por lo tanto, el campo vectorial es conservativo.`Q `R

`C `Bœ

J œ f0 Bß Ca b Q Bß C 3 R Bß C 4 œ 0 Bß C 3 0 Bß C 4a b a b a b a bB C

Luego, por igualdad de vectores, Q Bß C œ 0 Bß C ß R Bß C œ 0 Bß Ca b a b a b a bB C

Así,

0 Bß C œ %B #C $B C Î .BB$ # #a b (

( (a b ˆ ‰0 Bß C .B œ %B #C $B C .BB$ # #

0 Bß C œ B #BC B C G C "a b a b a b% $ #

0 Bß C œ $C #B #B C Î .CC# $a b (

( (a b ˆ ‰0 Bß C .C œ $C #B #B C .CC# $

0 Bß C œ C #BC B C G B #a b a b a b$ $ #

De 1 y 2 se tienea b a b , donde 0 Bß C œ #BC B C B C G G B œ B ß G C œ Ca b a b a b$ # % $ % $

$Ñ J Bß C œ / BC/ C -9= BC 3 B / =/8 BC BC -9= BC 4a b a b a ba b a b a bBC BC # # BC

Q œ / BC/ C -9= BCBC BC # a b

`Q

`Cœ B/ B/ B C/ #C -9= BC BC =/8 BCBC BC # BC #a b a b

R œ B / =/8 BC BC -9= BC# BC a b a b

`R

`Bœ #B/ B C/ C -9= BC C -9= BC BC =/8 BCBC # BC #a b a b a b

, por lo tanto, el campo vectorial es conservativo.`Q `R

`C `Bœ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


139

J œ f0 Bß Ca b 0 Bß C œ / BC/ C -9= BC Î .BB

BC BC #a b a b ( ( (a b a bˆ ‰0 Bß C .B œ / BC/ C -9= BC .BB

BC BC #

? œ BC Ê .? œ C .B

.@ œ / .B Ê @ œ/

CBC

BC

0 Bß C œ BC † † C .B / / / C =/8 BC

C C C Ca b ( a bBC BC BC #

0 Bß C œ B/ C =/8 BC G C/ /

C Ca b a b a bBC BC

BC

0 Bß C œ B/ C=/8 BC G C "a b a b a b a bBC

0 Bß C œ B / =/8 BC BC -9= BC Î .CC# BCa b a b a b (

( (a b a b a bˆ ‰0 Bß C .C œ B / =/8 BC BC -9= BC .CC# BC

? œ BC Ê .? œ B.C

.@ œ -9= BC .C Ê @ œ=/8 BC

Ba b a b

0 Bß C œ BC † † B .CB / -9= BC =/8 BC =/8 BC

B B B Ba b a b a b a b(# BC

0 Bß C œ B/ C =/8 BC G B-9= BC -9= BC

B Ba b a b a ba b a bBC

0 Bß C œ B/ C =/8 BC G B #a b a b a b a bBC

De 1 y 2 se tienea b a b , donde 0 Bß C œ B/ C=/8 BC G G B œ G C œ Ga b a b a b a bBC

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


140

Ejercicios

Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial.

"Ñ JÐBß CÑ œ Ð#B $CÑ 3 $ÐB C Ñ 4#

#Ñ JÐBß CÑ œ 3 4#B B

C C

#

#

$Ñ JÐBß CÑ œ 3 4#B #C

B C B C# # # #

%Ñ JÐBß CÑ œ #BC 3 $C B 4$ # #

&Ñ JÐBß CÑ œ / Ò=/8 C 3 Ð-9= C #Ñ 4 ÓB

'Ñ JÐBß CÑ œ B/ 3 C/ 4C B

Solución

"Ñ 0 Bß C œ $BC B C G G B œ B àG C œ Ca b a b a b# $ # $

#Ñ 0 Bß C œ G G B œ G C œ GB

Ca b a b a b#

$Ñ 0 Bß C œ 68 B C G G B œ G C œ Ga b a b a b¸ ¸# #

%Ñ 0 Bß C œ B C G G B œ G C œ Ga b a b a b# $

No es conservativo&Ñ

No es conservativo'Ñ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


141

Concepto de rotacional de un campo vectorial en el espacio

El rotacional de esJ Bß Cß D œ Q3 R4 T5a b

kyM

xNj

zM

xPi

zN

yP

PNMzyx

kji

zyxFzyxrotF

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

−

∂∂

−∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

=

×∇=

),,(),,(

Campo vectorial conservativo en el espacio

Sean y tres funciones de tres variables dondeQ œ 0 Bß Cß D ß R œ 0 Bß Cß D T œ 0 Bß Cß Da b a b a bsus primeras derivadas son continuas. El campo vectorial es conservativo si,J Bß Cß D œ Q3 R4 T5a by sólo si , es<9>J Bß Cß D œ Ò !ß !ß ! Óa bdecir,

yM

xN

zM

xP

zN

yP

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ ,,

:Ejemplos

Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial.

"Ñ J Bß Cß D œ B C D 3 B D 4 B C 5a b $ # # #

Q œ B C D R œ B D T œ B C$ # # #

<9> J œ

3 4 5` ` `

`B `C `DB C D B D B C

a bâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â$ # # #

œ 3 B B 4 #BC B C 5 #BD #B CDa b a b a b# # $ # $

por lo tanto, no es conservativo.<9> J Á Ò !ß !ß ! Ó ß Ja b #Ñ J Bß Cß D œ #BC 3 B D 4 #CD 5a b a b# #

Q œ #BC R œ B D T œ #CD# #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


142

<9> J œ

3 4 5` ` `

`B `C `D#BC B D #CD

a bâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â# #

œ 3 #D #D 4 ! ! 5 #B #Ba b a b a b por lo tanto, es conservativo.<9> J œ Ò !ß !ß ! Ó ß Ja b J Bß Cß D œ f0 Bß Cß Da b a bQ Bß Cß D 3 R Bß Cß D 4 T Bß Cß D 5 œ 0 Bß Cß D 3 0 Bß Cß D 4 0 Bß Cß D 5a b a b a b a b a b a bB C D

Luego, por igualdad de vectores, ,Q Bß C D œ 0 Bß Cß D ß R Bß Cß D œ 0 Bß Cß D ßa b a b a b a bB C

T Bß Cß D œ 0 Bß Cß Da b a bD

Así,

0 Bß Cß D œ #BC Î .BBa b ( ( (a b0 Bß Cß D .B œ #BC.BB

0 Bß Cß D œ B C G Cß D "a b a b a b#

0 Bß Cß D œ B D Î .CC# #a b (

( (a b ˆ ‰0 Bß Cß D .C œ B D .CC# #

0 Bß Cß D œ B C D C G Bß D #a b a b a b# #

0 Bß Cß D œ #CD Î .DDa b ( ( (a b0 Bß Cß D .D œ #CD .DD

0 Bß Cß D œ CD G Bß C $a b a b a b#

De , y a b a b a b" # $

donde0 Bß Cß D œ B C CD G G Bß C œ B C ß G Cß D œ CD ß G Bß D œ Ga b a b a b a b# # # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


143

$Ñ J Bß Cß D œ C/ -9=D =/- B 68 CD 3 B/ -9=D 4>1 B

Ca b a ba b Œ BC # BC

/ =/8D 5>1B

DŒ BC

Q œ C/ -9=D =/- B 68 CDBC # a b R œ B/ -9=D

>1 B

CBC

T œ / =/8D

>1B

DBC

<9> J œ

3 4 5` ` `

`B `C `D

C/ -9=D =/- B 68 CD B/ -9=D / =/8D >1 B >1B

C D

a bâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ âa bBC # BC BC

œ 3 B/ =/8D B/ =/8D 4 C/ =/8D C/ =/8D =/- B =/- B

D Da b Œ BC BC BC

# #BC

5 / -9=D BC/ -9=D / -9=D BC/ -9=D =/- B =/- B

C CŒ BC BC

# #BC BC

por lo tanto, es conservativo.<9> J œ Ò !ß !ß ! Ó ß Ja b J œ f0 Bß Cß Da b 0 Bß Cß D œ C/ -9=D =/- B 68 CD Î .BB

BC #a b a b ( ( (a b a bˆ ‰0 Bß Cß D .B œ C/ -9=D =/- B 68 CD .BB

BC #

0 Bß Cß D œ >1B 68 CD G Cß DC/ -9=D

Ca b a b a bBC

0 Bß Cß D œ / -9=D >1B 68 CD G Cß Da b a b a bBC

0 Bß Cß D œ / -9=D >1B 68C >1B 68D G Cß D "a b a b a bBC

0 Bß Cß D œ B/ -9=D Î .C>1 B

CC

BCa b ( ( (a b Œ 0 Bß Cß D .C œ B/ -9=D .C

>1 B

CC

BC

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


144

0 Bß Cß D œ >1B 68 C G Bß DB/ -9=D

Ba b a bBC

0 Bß Cß D œ / -9=D >1B 68 C G Bß D #a b a b a bBC

0 Bß Cß D œ / =/8D Î .D>1B

DD

BCa b ( ( (a b Œ 0 Bß Cß D .D œ / =/8D .D

>1B

DD

BC

0 Bß Cß D œ / -9=D >1B 68D G Bß C $a b a b a bBC

De , y a b a b a b" # $

donde0 Bß Cß D œ / -9=D >1B 68D >1B 68C G G Bß C œ >1B 68C ß G Bß D œ >1B 68Dßa b a b a bBC

G Cß D œ Ga bEjercicios

I Encontrar el rotacional en el punto indicado

"Ñ JÐBß Cß DÑ œ BCD 3 C 4 D 5 Ð " ß #ß " Ñ

#Ñ JÐBß Cß DÑ œ B D 3 #BD 4 CD 5 Ð #ß "ß $ Ñ#

$Ñ JÐBß Cß DÑ œ / =/8 C 3 / -9=C 4 5 Ð !ß !ß $ ÑB B

%Ñ JÐBß Cß DÑ œ / Ð 3 4 5 Ñ Ð $ß #ß ! ÑBCD

II Encuentre donde<9>Ð J ‚ K Ñ À

"Ñ JÐBß Cß DÑ œ 3 #B 4 $C 5 KÐBß Cß DÑ œ B 3 C 4 # 5

#Ñ JÐBß Cß DÑ œ B 3 D 5 KÐBß Cß DÑ œ B 3 C 4 D 5 # #

III Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la funciónpotencial.

"Ñ JÐBß Cß DÑ œ C/ 3 B/ 4 / 5D D D

#Ñ JÐBß Cß DÑ œ $B C D 3 #B CD 4 B C 5# # $ $ #

$Ñ JÐBß Cß DÑ œ 3 4 Ð#D "Ñ 5" B

C C#

%Ñ JÐBß Cß DÑ œ 3 4 5B C

B C B C# # # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


145

Solución

I

"Ñ <9> J "ß #ß " œ #4 5a b #Ñ <9> J #ß "ß $ œ (3 %4 '5a b $Ñ <9> J !ß !ß $ œ #5a b %Ñ <9> J $ß #ß ! œ '3 '4a b II

"Ñ <9> J ‚ K œ 3 %B 4 $C 5a b #Ñ <9> J ‚ K œ B B #BD 3 #BD D D 5a b a b a b# #

III

No es conservativo"Ñ

#Ñ 0 Bß Cß D œ B C D Ga b $ #

G Bß C œ G Bß D œ G Cß D œ Ga b a b a b

$Ñ 0 Bß Cß D œ D D GB

Ca b #

G Bß C œ à G Bß D œ G Cß D œ D D

B

Ca b a b a b #

%Ñ 0 Bß Cß D œ 68 B C D G"

#a b ¸ ¸# #

G Bß C œ 68 B C à G Bß D œ G Cß D œ D"

#a b a b a b¸ ¸# #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


146

Plano tangente y recta normal a una superficie

Conceptos

1) Si es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente estáD œ 0 Bß Ca bdada por:

),( donde0)(),(),( bafczcbyaxbaf ==−−−−⋅∇

2) Si es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está0 Bß Cß D œ !a bdada por:

0),,(),,( =−−−⋅∇ zcbyaxcbaf El vector es el vector normal a la superficie f0 +ß ,ß - 0 Bß Cß D œ !a b a b 3) La recta normal a una superficie de la forma en el punto de ella esD œ 0 Bß C +ß ,ß - Àa b a b

),( donde

1),(),(bafccz

bafby

bafax

yx=

−−

=−

=−

4) La recta normal a una superficie de la forma en el punto de ella es0 Bß Cß D œ ! +ß ,ß - Àa b a b

),,(),,(),,( cbafcz

cbafby

cbafax

zyx

−=

−=

−

:Ejemplos

I Hallar la ecuación del plano tangente y las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada enel punto dado.

en el punto"Ñ D œ 68 B C $ß %ß 68&È a b# #

D œ 68 * "' Ê D œ 68&È Por lo tanto, el punto pertenece la la superficie a b È $ß %ß 68& D œ 68 B C# #

0 Bß C œ † œ Ê 0 $ß % œ " #B B $

B C # B C B C #&B

# # # # # #a b a bÈ È

0 Bß C œ † œ Ê 0 $ß % œ" #C C %

B C # B C B C #&C

# # # # # #a b a bÈ È

f0 $ß % œ ß$ %

#& #&a b Œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


147

Ecuación plano tangente

Œ a b a b ß † B $ß C % D 68& œ !$ %

#& #&

B C D 68& œ ! Î † #&$ * % "'

#& #& #& #&

$B %C #&D #& #& 68& œ !

$B %C #&D #& #& 68& œ !

Ecuación recta normal

B $ C % D 68&

$

#&

œ œ%

#& "

#& B $ #& C % D 68&

$ % "œ œ

a b a b

en el punto #Ñ BC CD BD œ " #ß $ß "a b a ba b a ba b a ba b# $ $ " # " œ ' $ # œ "

Por lo tanto, el punto pertenece la la superficie a b#ß $ß " BC CD BD œ "

0 Bß Cß D œ C D Ê 0 #ß $ß " œ #Ba b a b 0 Bß Cß D œ B D Ê 0 #ß $ß " œ "Ca b a b 0 Bß Cß D œ B C Ê 0 #ß $ß " œ &Da b a b f0 #ß $ß " œ #ß "ß &a b a b Ecuación plano tangente a b a b#ß "ß & † B #ß C $ß D " œ !

#B % C $ &D & œ !

#B C &D # œ !

Ecuación recta normal

B # C $ D "

# " &œ œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


148

II Demuestre que todo plano tangente al cono pasa por el origenB C œ D# # #

0 Bß Cß D œ B C Da b # # #

0 Bß Cß D œ #BBa b 0 Bß Cß D œ #CCa b 0 Bß Cß D œ #DDa b f0 Bß Cß D œ #Bß #Cß #Da b a b Sea un punto del cono, luego a b+ß ,ß - + , œ -# # #

f0 +ß ,ß - œ #+ß #,ß #-a b a b Ecuación plano tangente

a b a b#+ß #,ß #- † B + ß C , ß D - œ !

#+B #+ #,C #, #-D #- œ !# # #

Si entonces pero ,a b a b a bBß Cß D œ !ß !ß ! ß #+ #, #- œ # + , #- ß + , œ -# # # # # # # # #

así # + , #- œ !a b# # #

Por lo tanto, todo plano tangente al cono pasa por el origen.B C œ D# # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


149

Ejercicios

I) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado.

"Ñ $C #BC BD œ ! TÐ "ß "ß "Ñ# #

#Ñ C œ / -9= B T Ð!ß "ß !ÑD

$Ñ C/ D œ ! TÐ!ß "ß "ÑBC #

II) Obtener la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado.

"Ñ B C D œ ' TÐ )ß "ß "Ñ#Î$ #Î$ #Î$

#Ñ DB BC CD œ "# T Ð$ß #ß !Ñ# # #

$Ñ D œ Ð+B ,CÑ T Ð+ß ,ß -Ñ#

Solución

I

"Ñ $B %C #D " œ !

#Ñ C D " œ !

$Ñ B C #D " œ !

II

"Ñ œ œ$ B ) $ C " $ D "

" # #

a b a b a b

#Ñ œ œB $ C # D

% "# *

$Ñ œ œB + C , D -

#+ + , #+ + , "a b a b# # # #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


150

Ecuaciones Diferenciales

Son ecuaciones donde aparecen derivadas. El objetivo de una ecuación diferencial es encontrar lafunción que dio origen a la ecuación.

Si en una ecuación diferencial aparecen diferenciales totales, derivadas totales, o ambas, pero nohay derivadas parciales la ecuación diferencial se llama EDO y si sóloecuación diferencial ordinaria a bcontiene derivadas parciales se llama EDP .ecuación diferencial parcial a b Ejemplos de EDO

+Ñ7 œ J B œ B >. B

.>

#

#a b

,Ñ œ 5 B œ B >.B

.>a b

-Ñ # † B œ ! C œ C B. C . B .B

.B .C .CŒ Œ Œ a b# #

# ##

.Ñ œ B $ C œ C B.C

.B# a b

Ejemplos de EDP

+Ñ œ 5 † ? œ ? Bß Cß >` ? `? `?

`B `C `>

#

#a b

,Ñ œ ! ? œ ? Bß C` ? ` ?

`B `C

# #

# #a b

Orden de una EDO

Es el orden de la mayor derivada que existe en la ecuación.

Grado de una EDO

Es el mayor exponente al cual está elevada la mayor derivada.

Ejemplos

Ecuación Orden Grado.C

.Bœ B & " "

. C . C .C

.B .B .B # œ -9= B $ "

. C .C

.B .B $C œ B # #

$ #

$ #

#

#

#

# $#

Œ Œ Œ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


151

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden y de primer grado

Su característica es :

0),(),( =+ dyyxNdxyxM En este tipo de ecuaciones se estudiarán las EDO:

1) de variables separables 2) exactas

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables a bEDVS

se puede separar, si es posible, y escribirla como:Q Bß C .B R Bß C .C œ !a b a b 0 B † 1 C † .B 0 B † 1 C † .C œ !" " # #a b a b a b a b la cual se resuelve por integración

0 B 1 C

0 B 1 C† .B œ † .C

" "

# #

a b a ba b a b Ejemplos

"Ñ B .B C " .C œ !$ #a b B .B œ C " .C Î$ #a b ( ( ( a bB .B œ C " .C$ #

B C "

% $œ G

% $a b #Ñ &B " C .B œ C " B .Ca b a b#

&B C

" B " C.B œ .C Î

# ( ( (&B C

" B " C.B œ .C

#

( &B .?

" B #.B ? œ " B Ê .? œ #B .B Ê œ B.B

##

( (&B

" B ?.B œ &

.?

##

œ 68 ? G&

#¸ ¸

œ 68 " B G&

#¸ ¸#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


152

( C

" C.C

C À " C Ê C À C " œ " … C „ " "

( ( (C "

" C " C.C œ .C .C

œ C 68 " C G¸ ¸ Por lo tanto,

( (&B C

" B " C.B œ .C

#

&

#68 " B œ C 68 " C G¸ ¸ ¸ ¸#

$Ñ C " .B #C " B .C œ !a b È# #

.B #C

" Bœ .C Î

C "È (# #

( (È .B #C

" Bœ .C

C "# #

E<-=/8B œ 68 C " ¸ ¸# G

%Ñ / † œ ! Î .BC .C

B .BB C# #

/ C

/.B .C œ !

B

B

C

#

#

B / .B œ C / .C ÎB C# # ( ( (B / .B œ C / .CB C# #

/ /

# #œ G

B C# #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


153

Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones À

"Ñ œ.C B "

.B C

#

#

#Ñ œ C Ð# =/8BÑ.C

.B

$Ñ C =/8B / .B C .C œ !-9=B "

%Ñ C #B $ .B B % C .C œ !È È# #

&Ñ Ð$B %B #Ñ .B Ð#C "Ñ .C œ !#

'Ñ C .B Ð" BÑ .C œ !È

Solución

"Ñ B C $B $G œ !$ $

#Ñ #B -9=B 68 C G œ !¸ ¸ $Ñ C / " C G œ !-9=B

%Ñ $ 68 # 68 #B $ % C G œ !#B $ $

B C

% C #È Èº º º ºÈ È È È# ## #

&Ñ B #B C #B C G œ !$ # #

'Ñ 68 " B # C G œ !¸ ¸ È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


154

Ecuaciones Diferenciales ordinarias exactas a bEDE

Para que 0),(),( =+ dyyxNdxyxM sea exacta debe ocurrir que xN

yM

∂∂

=∂∂

Para determinar la función se realiza un proceso similar a encontrar la función potencial de uncampo vectorial conservativo.

Ejemplos

"Ñ B C .B C B .C œ !a b a b# #

Q œ B C Ê œ "`Q

`C#

R œ C B Ê œ "`R

`B#

Por lo tanto, es una EDE`Q `R

`C `Bœ

0 Bß C œ B C 0 Bß C œ C BB C# #a b a b

0 Bß C œ B C Î .BB#a b (

( (a b ˆ ‰0 Bß C .B œ B C .BB#

0 Bß C œ BC G C "B

$a b a b a b$

0 Bß C œ C B Î .CC#a b (

( (a b ˆ ‰0 Bß C .C œ C B .CC#

0 Bß C œ BC G B #C

$a b a b a b$

De y a b a b" #

con y 0 Bß C œ BC G G B œ G C œB C B C

$ $ $ $a b a b a b$ $ $ $

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


155

#Ñ %B C #BC .B $B C B .C œ !a b ˆ ‰$ $ % # #

Q œ %B C #BC Ê œ "#B C #B`Q

`C$ $ $ #

R œ $B C B Ê œ "#B C #B`R

`B% # # $ #


`C `Bœ

0 Bß C œ %B C #BC 0 Bß C œ $B C BB C$ $ % # #a b a b

0 Bß C œ %B C #BC Î .BB$ $a b (

( (a b ˆ ‰0 Bß C .B œ %B C #BC .BB$ $

0 Bß C œ B C B C G C "a b a b a b% $ #

0 Bß C œ $B C B Î .CC% # #a b (

( (a b ˆ ‰0 Bß C .C œ $B C B .CC% # #

0 Bß C œ B C B C G B #a b a b a b% $ #

De y a b a b" #

con 0 Bß C œ B C B C G G B œ G C œ Ga b a b a b% $ #

$Ñ #B >1 C =/8 #C .B B =/- C #B -9= #C / .C œ !a b a b# # C

Q œ #B >1 C =/8 #C Ê œ #B =/- C # -9= #C`Q

`C#

R œ B =/- C #B -9= #C / Ê œ #B =/- C # -9= #C`R

`B# # C #


`C `Bœ

0 Bß C œ #B >1 C =/8 #C 0 Bß C œ B =/- C #B -9= #C /B C# # Ca b a b

0 Bß C œ #B >1 C =/8 #C Î .BBa b ( ( (a b a b0 Bß C .B œ #B >1 C =/8 #C .BB

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


156

0 Bß C œ B >1 C B =/8 #C G C "a b a b a b#

0 Bß C œ B =/- C #B -9= #C / Î .CC# # Ca b (

( (a b ˆ ‰0 Bß C .C œ B =/- C #B -9= #C / .CC# # C

0 Bß C œ B >1 C B =/8 #C / G B #a b a b a b# C

De y a b a b" #

con y 0 Bß C œ B >1 C B =/8 #C / G G B œ G G C œ /a b a b a b# C C

%Ñ C / %B .B #BC/ $C .CŠ ‹ Š ‹# BC $ BC ## #

Q œ C / %B Ê œ #C/ #BC /`Q

`C# BC $ BC $ BC# # #

R œ #BC/ $C Ê œ #C/ #BC /`R

`BBC # BC $ BC# # #


`C `Bœ

0 Bß C œ C / %B 0 Bß C œ #BC/ $CB C# BC $ BC #a b a b# #

0 Bß C œ C / %B Î .BB# BC $a b (#

( (a b Š ‹0 Bß C .B œ C / %B .B ? œ BC Ê .? œ C .BB# BC $ # ##

( ( (a b0 Bß C .B œ / .? %B .BB? $

0 Bß C œ / B G Ca b a b? %

0 Bß C œ / B G C "a b a b a bBC %#

0 Bß C œ #BC/ $C Î .CCBC #a b (#

( (a b Š ‹0 Bß C .C œ #BC/ $C .C ? œ BC Ê .? œ #BC .BCBC # ##

( ( (a b0 Bß C .B œ / .? $C .BC? #

0 Bß C œ / C G Ba b a b? $

0 Bß C œ / C G B #a b a b a bBC $#

De y a b a b" #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


157

con y 0 Bß C œ / B C G G B œ B G C œ Ca b a b a bBC % $ % $#

Ejercicios

Encuentre la solución general en À

"Ñ C/ .B B/ .C œ !BC " B

C CBCŒ Œ #

#Ñ Ð C =/8B Ñ .B .C œ !" C

B B# Œ

$Ñ Ð " 68 CÑ .B .C œ !B

C

%Ñ Ð -9= B -9= C B Ñ .B Ð=/8B =/8 C CÑ .C œ !#

&Ñ =/- B .B " C .C œ !# È

'Ñ -9= C .B ÐC =/8B / Ñ .C œ !C

Solución

"Ñ 0 Bß C œ / GB

Ca b BC

No es una EDE#Ñ

$Ñ 0 Bß C œ B 68 C B Ga b

%Ñ 0 Bß C œ =/8B-9=C GB C

$ #a b $ #

&Ñ 0 Bß C œ >1 B " C G#

$a b a b$Î#

No es un EDE'Ñ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


158

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales

Una ecuación diferencial ordinaria es lineal EDL si es de primer grado entre la variablea bdependiente y sus derivadas.

Su forma general es:

)()()()()( 11

1

10 xgyxadxdyxa

dxydxa

dxydxa nnn

n

n

n=++++ −−

−L

Ejemplos

"Ñ $BC œ =/8B.C

.B

#ÑP V C œ I B. C .C "

.B .B -

#

#a b

Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a una ecuación lineal respecto a la funcióndesconocida y a su derivada.

Su forma característica es:

Su forma característica es :

)()( xQyxPdxdy

=⋅+

donde y son funciones continuas.T B U Ba b a b Si , entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial lineal homogéneaU B œ !a ba bEDLH la cual se resuelve como una EDVS

La solución de la ecuación )()( xQyxPdxdy

=⋅+ es:

[ ]∫ +⋅= CxxQx

y )()()(

1 µµ

con ∫= dxxPex )()(µ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


159

Ejemplos

"Ñ #BC œ %B.C

.B

T B œ #B U B œ %Ba b a b

. .a b a b(B œ / Ê B œ /

#B .BB#

C œ %B/ .B G"

/BB

#

#Œ ( C œ #/ G

"

/BB

#

#Š ‹ C œ # G/B#

#Ñ C -9>1 B œ &/.C

.B-9=B

T B œ -9>1 B U B œ &/a b a b -9=B

. . .a b a b a b(B œ / Ê B œ / Ê B œ =/8B

-9>1B .B68 =/8B¸ ¸

C œ &/ † =/8 B .B G"

=/8BŒ ( -9= B

C œ &/ G"

=/8Ba b-9= B

C œ -9=/- B &/ Ga b-9= B

$Ñ #B .C œ #B C .B Î .Ba b$

#B œ #B C.C

.B$

#B C œ #B Î À #B.C

.B$

.C "

.B #B C œ B#

T B œ U B œ B"

#Ba b a b #

. . . .a b a b a b a b( ÈB œ / Ê B œ / Ê B œ / Ê B œ B

"

#B.B

"# 68 B 68 B¸ ¸ È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


160

C œ B † B .B G"

BÈ Œ ( È#

C œ B G" #

B (È Œ (Î#

C œ B GB#

($ "

#

%Ñ C .B œ =/8 #B .B .C Î .B

C œ =/8 #B .C

.B

.C

.B C œ =/8 #B

T B œ " U B œ =/8 #Ba b a b . .a b a b(

B œ / Ê B œ /.B

B

C œ =/8 #B † / .B G"

/BBŒ (

( =/8 #B † / .BB

? œ / Ê .? œ / .B .@ œ =/8 #B Ê @ œ -9= #B

#B B

( (=/8 #B † / .B œ / -9= #B .B/ -9= #B "

# #B B

B

? œ / Ê .? œ / .B .@ œ -9= #B Ê @ œ=/8 #B

#B B

( (Œ =/8 #B † / .B œ / =/8 #B .B/ -9= #B " / =/8 #B "

# # # #B B

B B

( =/8 #B † / .B œ / -9= #B / =/8 #B

# % %

/ =/8 #BBB B B

& / -9= #B / =/8 #B

% # %=/8 #B † / .B œ G( B

B B

( =/8 #B † / .B œ G#/ -9= #B / =/8 #B

& &B

B B

Por lo tanto,

C œ =/8 #B † / .B G"

/BBŒ (

C œ G" #/ -9= #B / =/8 #B

/ & &B

B BŒ

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


161

C œ -9= #B =/8 #B G/# "

& &B

Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones

"Ñ C œ /.C

.B$B

#Ñ œ #B ".C C

.B B

$Ñ œ B / %C.C

.B %B#

%Ñ =/8B C -9= B œ B =/8B.C

.B

&Ñ C >1 B œ =/- B.C

.B

Solución

"Ñ C œ G//

#

$BB

#Ñ C œ B #B 68 B Gˆ ‰¸ ¸

$Ñ C œ / B G"

$%B $Œ

%Ñ C œ " B -9>1 B G -9=/- B

&Ñ C œ =/8B G -9= B

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


162

Autoevaluación N°1Complemento de Cálculo

Nombre: ............................................................... Carrera: ................................... Sección: .............

1) Determine si las siguientes series convergen o divergen, justifique.

a) b) ! "Œ 8œ"

_

#8œ"

_ 8" $

8 %

c) d) ! "8œ"

_

88œ"

_#

&8

#$

2) Decida si la serie alterna es CVC o CVA o es divergente À

!a b8œ"

_8"

#

$ " †

8

8 #

3) Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia:

! a b a b8œ"

_8

#8

"B

#8 x

4) Realice el desarrollo en serie de Maclaurin Þ

0 B œ /B#a b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


163

Pauta de corrección

" œ #"

8) a) es serie p, p , por lo tanto CV !

8œ"

_

#

b) es serie geométrica , r , por lo tanto CV!Œ 8œ"

_ 8$ $

% %œ

c) es serie geométrica , r , por lo tanto CV !8œ"

_

8

# "

& &œ

d) es serie p , p , por lo tanto DV!8œ"

_

8 œ#

$

#$

2) Decida si la serie alterna es convergente o divergente À

!a b8œ"

_8"

#

$ " †

8

8 #

+ œ + œ8 8 "

8 # 8 " #8 8"

#

$

#

$

a ba b

a) ! + +8" 8

Se cumple primera condición. (1)! 8 " 8

8 " # 8 #

a ba b

#

$

#

$

b) lim8Ä_

8+ œ !

lim lim8Ä_ 8Ä_

8

#

$+ œ

8

8 #

regla de L´Hopitalœ#8

$8lim8Ä_ #

regla de L´Hopitalœ#

$8lim8Ä_

Se cumple segunda condición. (2)œ !

De (1) y (2) la serie es convergente.!a b8œ"

_8"

#

$ " †

8

8 #

Consideremos la serie asociada:

!8œ"

_ #

$

8

8 #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


164

Por criterio de la integral

función continua, positiva, decreciente. Así es posible 0 B œB

B #a b #

$

utilizar el criterio de la integral

( (" "

_ ,# #

$ $,Ä_

$B B

B # B #.B œ .B ? œ B #lim

.? œ $B .B#

œ.?

$?lim

,Ä_(

œ 68?"

$lim

,Ä_

œ 68 B #"

$lim

,Ä_

$

"

,ˆ ‰‚ œ 68 , # 68 " #

"

$lim

,Ä_

$ $ˆ ‰ ˆ ‰

œ 68 _ 68 $"

$lim

,Ä_a b a b

œ _

De esta forma la serie asociada es divergente!8œ"

_ #

$

8

8 #

Por tanto, la serie es CVC!a b8œ"

_8"

#

$ " †

8

8 #

3) Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia:

! a b a b8œ"

_8

#8

"B

#8 x

; + œ + œB B

#8x #8 # x8 8"

#8 #8#

a b

+ B B

+ #8 # #8 " %8 $8 #œ œ œ

B

#8 # x

B

#8x

8"

8

#8#

#8

# #

#

a b a ba b

lim lim8Ä_ 8Ä_

8"

8

#

#º º º º+ B

+ %8 $8 #œ

œ B"

%8 $8 #¸ ¸ º º#

8Ä_ #lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


165

œ B † !¸ ¸# œ !

la serie es CV3 ‘œ ! " aB − "B

#8 x! a b a b8œ"

_8

#8

4) Realice el desarrollo en serie de Maclaurin Þ

0 B œ / 0 ! œ "a b a b"#B

´ ´0 B œ / 0 ! œ" "

# #a b a b"

#B

´´ ´´0 B œ / 0 ! œ" "

% %a b a b"

#B

´´´ ´´´0 B œ / 0 ! œ" "

) )a b a b"

#B

´ ´0 B œ / 0 ! œ" "

"' "'v va b a b"

#B

0 B œ / 0 ! œ" "

$# $#v va b a b"

#B

0 B œ / 0 ! œ" "

'% '%v v ´ ´a b a b"

#B

! a b8œ!

_8

8 # $ %

0 ! œ " † † † † ÞÞÞB " B " B " B " B

8x # "x % #x ) $x "' %x

! a b " Œ 8œ!

_8

8 8

8œ!

_ 8

0 ! œB " B

8x # 8x

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


166


Nombre:.............................................................Carrera:...................................... ..Sección.............

"Ñ #Ñ =/8 B C -9= C D œ " Sea a b a b Obtener :

+Ñ ,Ñ`D `D

`B `C

#Ñ Las dimensiones de un sólido rectangular, sin tapa, en un instante dado son largo 9 cm., ancho 6 cm. y alto 3 cm. Si el ancho y el alto crecen a razónÀ

de 1 cm/seg. y el largo decrece a razón de 3 cm/seg. Determinar À

a) Rapidez de cambio del volumen. b) Rapidez de cambio del área total.

$ Bß C 51Î7) La densidad en en cualquier punto de una placa rectangular 4a ba b# situada en el plano es BC Bß C œ Þ

"

B C $4a b È # #

La distancia se mide en metros. a1) Obtener la r zón de cambio de la densidad en el punto en la + $ß #a b dirección del vector unitario .? œ -9= 3 =/8 4# #

$ $1 1

a2) Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de en 4a b a bBß C $ß #

%Ñ Un contenedor, en forma de paralelepípedo rectangular, ha de tener un volumen de 480 pies cúbicos. Utilizando multiplicadores de Lagrange determine las dimensiones de modo que su costo sea el menor posible, considerando que la base tiene un costo de $5000 por pie cuadrado y las caras laterales $3000 por pie cuadrado.

VIR

GIN

IO G

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EZ


167

Pauta de Corrección

1 Sea Ñ =/8 B C -9= C D œ "a b a b Obtener :

+Ñ À =/8 B C -9= C D œ "`D

`Ba b a b

-9= B C =/8 C D œ !`D

`Ba b a bŒ

`D -9= B C

`B =/8 C Dœ

a ba b

,Ñ À =/8 B C -9= C D œ "`D

`Ca b a b

-9= B C " =/8 C D " œ !`D

`Ca b a bˆ ‰ Œ

=/8 C D =/8 C D œ -9= B C`D

`Ca b a b a b

`D =/8 C D -9= B C

`B =/8 C Dœ

a b a ba b2Ñ

6 œ * -7 + œ ' -7 2 œ $ -7

.6 -7 .+ -7 .2 -7

.> =/1 .> =/1 .> =/1œ $ œ " œ "

+Ñ Z œ 6+2

.Z `Z .6 `Z .+ `Z .2

.> `6 .> `+ .> `2 .>œ † † †

.Z .6 .+ .2

.> .> .> .>œ +2 † 62 † 6+ †

.Z

.>œ ") $ #( " &% "a b a b a b

.Z

.>œ #(

El volumen crece a razón de #( -7

=/1

$

,ÑE œ 6+ #+2 #62

.E È .6 È .+ È .2

.> `6 .> `+ .> `2 .>œ † † †

VIR

GIN

IO G

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168

.E .6 .+ .2

.> .> .> .>œ + #2 6 #2 #+ #6a b a b a b

.E

.>œ "# $ "& " $! "a b a b a b

.E

.>œ $

El área total decrece a razón de $ -7

=/1

#

3)a1) ? œ -9= 3 =/8 4 Ê ? œ 3 4

p p# # "$ $ # #

$1 1È

4 4a b a bÈ ˆ ‰Bß C œ Ê Bß C œ B C $"

B C $# #

# # "Î#

4 4B Bœ B C $ #B Ê œ

" B

# B C $ˆ ‰ a b a b# # $Î#

# # $Î#

4Ba b$ß # œ

$

'%

4 4C Cœ B C $ #C Ê œ

" C

# B C $ˆ ‰ a b a b# # $Î#

# # $Î#

4Ca b$ß # œ

#

'%

f $ß # œ ß $ #

'% '%4a b Œ

H $ß # œ f $ß # † ??p

4 4a b a b œ ß ß

$ # " $

'% '% # #Œ È

œ$ # $

"#)

Èa2) Q+BH $ß # œ mf $ß # m?4 4a b a b Q+BH $ß # œ

* %

'% '%? # #4a b Ê

Q+BH $ß # œ"$

'%?4a b È

? œ Ê ? œ ß f $ß # $ #

mf $ß # m "$ "$

p p4

4

a ba b È È

VIR

GIN

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OM

EZ


169

4)

Z œ %)! :3/=$

Z œ BCD Ê BCD œ %)!

E œ #BC #CD #BD

G œ &!!! #BC $!!! #CD #BDa b a b J Bß Cß Dß œ "!!!!BC '!!!CD '!!!BD BCD %)!a b a b- -

J œ "!!!!C '!!!D CD œ ! Ê œ "

"!!!!C '!!!D

CDB- - a b

J œ "!!!!B '!!!D BD œ ! Ê œ #"!!!!B '!!!D

BDC- - a b

J œ '!!!D '!!!B BC œ ! Ê œ $'!!!C '!!!B

BCD- - a b

J œ BCD %)! œ ! Ê BCD œ %)! %-

a bDe y a b a b" #

œ "!!!!C '!!!D "!!!!B '!!!D

CD BD

B œ C

De ya b a b" $

œ "!!!!C '!!!D '!!!C '!!!B

CD BC

"!BC 'BD œ 'CD 'BD

"!B œ 'D

&

$B œ D

a b a b a b% ß & ' y

BCD œ %)! Ê B † B † B œ %)! Ê B œ %)! † Ê B œ #))& $

$ & $ È$

Luego, las dimensiones del contenedor serán base pie pie y alturaB œ #)) à C œ #))È È$ $

D œ #))&$È$ pie.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


170


Nombre ..............................................Sección..............

1.- Determine los límites de integración según la región R sombreadaa b para: con ( (

V

.E .E œ .C.B à .E œ .B.C

2.- Integre À #-9= . . .! ! !

Î# =/8# #( ( (1 1 )9 3 3 ) 9

3.- Calcular en Coordenadas Cartesianas, el volumen del sólido limitado por y los planos D œ % C B œ C à C œ ##

4.- Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el cilindro el paraboloide y el plano B C œ * ß D œ B C D œ !# # # #

5.- Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los conos y la semiesfera B C œ D à B C œ $D D œ % B C# # # # # # # #È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


171


".- Determine los límites de integración según la región R sombreadaa b para: con ( (

V

.E .E œ .C.B à .E œ .B.C

Para .E œ .C.B

( ( ( (V ! B

" /

.E œ .C.BÈB

Para .E œ .B.C

Intersección entre la curva y la recta B œ C B œ "#

B œ CB œ " Ê C œ " Ê C œ "

##

Ê C œ "

Puntos de intersección : a b a b"ß " à "ß "

Intersección entre la curva y la recta C œ / B œ !B

C œ /B œ ! Ê C œ / Ê C œ "

B!

Puntos de intersección : a b!ß "

Luego ( ( ( (! ! ! 68C

" C " "#

.C.B .C.B

#Þ #-9= . . . œ -9= . .#

$ ( ( ( ( ( º

! ! ! ! !

Î# =/8 Î## # # $

=/8

!

1 1 ) 1 1 )

93 3 ) 9 93 ) 9

œ -9= =/8 . .#

$( (! !

Î## $

1 1

9 ) ) 9

œ -9= =/8 " -9= . .#

$( ( ˆ ‰! !

Î## #

1 1

9 ) ) ) 9

œ -9= -9= -9= .# "

$ $( Œ º!

Î## $

!

1 1

9 ) ) 9

œ -9= .)

*(!

Î##

1

9 9

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


172

œ .) " -9=#

* #( Œ !

Î#1 99

œ % =/8#

* #Œ º9

91Î#

!

œ#

*1

$Þ Z œ .D.B.C- ( ( (! ! !

# C %C#

Z œ D .B .C( ( º! !

# C %C

!

#

Z œ Ð% C Ñ .B .C( (! !

# C#

Z œ %B BC .C( ˆ ‰º!

##

C

!

Z œ %C C .C( ˆ ‰!

#$

Z œ #C C"

%# %

#

!º

Z œ % ?Þ ./ @Þa b4.- Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el cilindro el paraboloide y el plano B C œ * ß D œ B C D œ !# # # #

Z œ % <.D.<.( ( (! ! !

$ <1#

#

)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


173

&Þ Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los conos y la semiesfera B C œ D à B C œ $D D œ % B C# # # # # # # #È

Z œ % =/8 . . .( ( (! Î% !

Î# Î$ ##

1 1

1

3 9 3 9 )

VIR

GIN

IO G

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EZ


174


Nombre:....................................................................... Carrera: .......................................... Sección: ...........

1) Decida si el siguiente campo vectorial es conservativo en En caso de serlo‘#Þ

determine su función potencial

J Bß C œ 3 4B C

B C B Ca b

# # # #

2) Encuentre el rotacional de Fa b a bBß Cß D œ B/ D-9=Cß C/ D=/8Cß " DBC BC #

3) Dada la superficie Obtener la ecuación del plano tangente yD œ B/ ÞBC#

de la recta normal en el punto Ð " ß ! ß " Ñ

4) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) a bB " C œ B ".C

.B#

b) a b a b/ C-9=B .B B/ =/8B .C œ !C C

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


175


1) J Bß C œ 3 4B C

B C B Ca b

# # # #

Q œ Ê œB `Q #BC

B C `C B C# # # # #a b R œ Ê œ

C `R #BC

B C `B B C# # # # #a b , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo.`Q `R

`C `Bœ

J œ f0 Bß Ca b Q Bß C 3 R Bß C 4 œ 0 Bß C 3 0 Bß C 4a b a b a b a bB C

Luego, por igualdad de vectores, Q Bß C œ 0 Bß C ß R Bß C œ 0 Bß Ca b a b a b a bB C

Así,

0 Bß C œ Î .BB

B CB # #a b (

( (a b0 Bß C .B œ .B ? œ B CB

B CB # #

# #

.? œ #B.B

( (a b0 Bß C .B œ.?

#?B

0 Bß C .B œ 68 B C G C ""

#a b a b a b¸ ¸# #

0 Bß C œ Î .CC

B CC # #a b (

( (a b0 Bß C .C œ .C ? œ B CC

B CC # #

# #

.? œ #C.B

( (a b0 Bß C .B œ.?

#?C

0 Bß C .B œ 68 B C G B #"

#a b a b a b¸ ¸# #

De 1 y 2 se tienea b a b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


176

, donde 0 Bß C œ 68 B C G G B œ G C œ G"

#a b a b a b¸ ¸# #

2) <9> J œ

3 4 5` ` `

`B `C `DB/ D-9=C C/ D=/8C " D

a bâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

BC BC #

<9> J œ =/8Cß =/8Cß C / B / D=/8Ca b ‘# BC # BC

3) D œ B/# BC

D B/ œ !# BC

0 Bß Cß D œ D B/a b # BC

0 "ß !ß " œ " "/ œ !a b !

Así el punto pertenece a la superficiea b "ß !ß " D œ B/# BC

0 Bß Cß D œ / BC/ 0 "ß !ß " œ "BBC BCa b a b

0 Bß Cß D œ B / 0 "ß !ß " œ "C# BCa b a b

0 Bß Cß D œ #D 0 "ß !ß " œ #D a b a b Luego f0 "ß !ß " œ "ß "ß #a b a b Plano tangente Recta Normal

a ba b"ß "ß # B "ß C !ß D " œ ! œ œB " C ! D "

" " #

B " C #D # œ ! B " œ C œD "

# B C #D " œ !

4) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) a bB " C œ B ".C

.B#

.C " B "

.B B " B " C œ

#

.C " B " B "

.B B " B " C œ œ /

"

B ".Ba ba b (

.

. œ /68lB"l

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


177

.C "

.B B " C œ B " œ B ".

C œ B " B " .B G"

B " ‘( a ba b

C œ B " .B G"

B " ‘( ˆ ‰#

C œ B G" B

B " $ ‘$

b) a b a b/ C-9=B .B B/ =/8B .C œ !C C

Q œ / C-9=B Ê Q œ / -9=BC CC

R œ B/ =/8B Ê R œ / -9=BC CB

0 Bß C œ / C-9=B .BBCa b a b(

0 Bß C œ B/ C=/8B G C ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ "a b a b a bC

0 Bß C œ B/ =/8B .CCCa b a b(

0 Bß C œ B/ C=/8B G B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ #a b a b a bC

De y cona b a b a b a b a b" # 0 Bß C œ B/ C=/8B G G B œ G C œ GC

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


178

Bibliografía

Autor Título Editorial

Thomas/Finney Cálculo con Geometría Analítica Adisson-Wesley

Ayres Frank Cálculo Diferencial e Integral Mc Graw -Hill

Protter-Morrey Cálculo con Geometría Analítica Adisson-Wesley Louis Leithold El Cálculo con Geometría Analítica Harla

Marsden Jerrold Cálculo Vectorial Adisson Wesley

Spiegel murray Cálculo Superior Mc Graw -Hill

Calculo II

Education

Transcript of Calculo II