CALCULO II Integral Definido Ecuaciones Diferenciales Clculo de reas Centro de Gravedad Integrales Mltiples Ecuaciones Diferenciales, Variables, Homogneas, Lineales.

1) 2) y = 3) y = 4) y = Integrales1) 2) 3) 4) 5) Ejercicios

CONSTANTE DE INTEGRACINEs el valor que adopta la constante e para un caso particular de la variable que permita la graficacin de un nmero infinito de curvas de igual pendiente pero de diferente lugar geomtrico.Ejemplo:Encontrar la grfica de la siguiente funcin cuya pendiente es y pasa por el punto (3, 5).

P = (3,5)

x y

05

13

23

3

Para el siguiente ejercicio encuentre la ecuacin de la curva si se tiene los siguientes datos a) la pendiente es igual y est en los puntos (1,1)b) P (3,5)

b)

INTEGRAL DEFINIDASe denomina integral definida de la funcin dentro de los lmites A, B al lmite de la suma integral a condicin de que la longitud de los segmentos elementales tienda a cero.

PROPIEDADES1. 2. 3. 4. 5.

REGLAS1. Newton Leibniz

2. Integracin por partes

3. Cambio de variable

4. Si impar

APLICACIONES DE LA INTEGRALREA BAJO LA CURVALa teora de integracin permite el clculo de reas bajo la curva como un mtodo exacto dichos clculos tambin se los puede realizar con mtodos de aproximacin como el mtodo de Simpson o el de los Trapecios entre otros pero que eso implica el estudio de mtodos numricos.CRITRIOS PARA CALCULAR EL REA BAJO LA CURVA.1. El rea bajo la curva se encuentra aplicando la formula siendo su base y siendo su altura considerando siempre los lmites que a sea mayor que b.2. - Si el resultado encontrado es positivo el rea estar ubicado en el cuadrante positivo o sobre el eje de los X IIC IC

- Si el resultado es negativo el rea estar ubicada en el cuadrante negativo o bajo del eje de las X. IIIC IV

3. Si la curva cruza el eje x y el punto de cruce est ubicado entre a y b la forma de la integracin nos dar un valor resultante de .

ba

4. Cuando se debe calcular el rea comprendida entre dos curvas se deber calcular los dos puntos de interseccin y aplicar la siguiente frmula.

En donde es la funcin que abarca ms cantidad de rea.5. Cuando se busca el rea comprendida entre dos curvas se debe tomar en cuenta los lmites mximos a y b ya que son puntos de interseccin de la curva.

6. Cuando los lmites asumidos a y b se extienden ms all de los puntos de interseccin vuelve a producirse una resultante de las reas considerando como eje de divisin a una de las curvas la cual deber definirse en el grfico.

Ejercicios:1. Calcular el rea limitada por ubicada en el primer cuadrante entre x=0 y x=2. x y

00

11/9

28/9

31

464/9

2. Calcular el rea de la figura limitada por la parbola y por las rectas por el eje de las abscisas.

x y

00

1

22

39/2

48

3. Calcular el rea S de la figura plana comprendida entre las curvas.

x y

02

11

2-2

3-7

-11

x y

00

11

2

3

4

-11

REA EN COORDENADAS POLARESSi la curva contina se da en coordenadas polares por una ecuacin igual a el rea del sector a calcular limitado por el arco de la curva y los dos radios polares correspondientes a los valores y se expresa mediante la siguiente integral.

Hallar el rea de la figura limitada por la lemniscata de Bernoulli

Calcular el rea de la figura limitada por la parbola , eje de las abasas.2. Calcular el rea de la figura comprendida entre una semi onda sinosoide.

Eje OX3. Hallar el rea de la figura comprendida entre la curva de Agnes.

4. Calcular el rea de la figura limitada por la curva y el eje O5. Calcular el rea de las dos partes en que la parbola divide al arado x y

00

300.5

450.7071

600.866

901

1200.866

1350.7071

1500.5

1800

210-0.5

225-0.7071

270-1

x y

00

1

22

3

44

x y

0

1

22

3-1

4

Ejercicio:

FORMULAS DE INTEGRACIN1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

FRMULA POR PARTES

EJERCICIOS:

1)

2)

3)

4) Hallar el rea:Parbola

6) Circulo x y

00

00

11

24

39

416

REA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN

Longitud del rea lateral.

EJERCICIO.Hallar el rea de la superficie engendrada al girar alrededor del eje Ox el lazo de la curva