Calculo Proposicional

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Dr. Gonzalo Hernández USM FI-1 Cálculo Proposicional 1 Fundamentos de Informática 1 Cálculo Proposicional Dr. Gonzalo Hernández Oliva Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Informática
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Universidad Tcnica Federico Santa Mara Departamento de Informtica

Fundamentos de Informtica 1

Clculo ProposicionalDr. Gonzalo Hernndez OlivaDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 1

Clculo Proposicional:1) 2) 3) 4) 5) 6) Motivacin Introduccin Argumentos y Proposiciones Lgicas Conectivos Lgicos Estudio Proposiciones Tautologa, Contradiccin y Argumento Vlido 7) Leyes lgebra Proposicional 8) Formas Normales 9) Implicaciones y Derivaciones LgicasDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 2

Clculo Proposicional: 1) Motivacin: Problema NP: Problema SATEnumerar (Hacer una lista) todos los valores de verdad de una proposicin lgica.

Algoritmo BacktrackingDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 3

Clculo Proposicional: 2) IntroduccinLa Lgica resulta esencial para construir, disear, implementar y probar correctitud en algoritmos y programas. Es necesario estudiar las Leyes Fundamentales de las Derivaciones Lgicas para estudiar la validez de las afirmaciones realizadas Las Proposiciones forman las Derivaciones y sus Operaciones el Clculo ProposicionalDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 4

Clculo Proposicional: 3) Argumentos y Props. LgicasArgumentos (Afirmaciones, Conclusiones, Demostraciones) son Vlidos o No Lgicamente: V F Proposiciones forman los Argumentos Proposiciones Atmicas son aquellas proposiciones que no pueden subdividirse y pueden unirse por conexiones lgicasDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 5

Clculo Proposicional: 3) Argumentos y Props. LgicasEjemplos: 1) P: Si la demanda crece entonces las compaias se expanden. P: Si las compaias se expanden entonces contratan trabajadores. C: Si la demanda crece entonces las compaas contratan trabajadores.Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 6

Clculo Proposicional: 3) Argumentos y Props. Lgicas2) Este programa de computadora tiene un error, o el input es errneo. El input no es errneo. El programa de computadora tiene un error. 3) Una universidad es de prestigio si los acadmicos que la forman realizan docencia e investigacin de gran calidad.Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 7

Clculo Proposicional: 3) Argumentos y Props. Lgicas4) La extraccin de mineral es rentable si la concentracin es alta, pero solamente si la distancia al mercado es pequea. 5) Si llueve con frecuencia los agricultores se quejan. Si no llueve con frecuencia los agricultores se quejan. Luego, los agricultores se quejan.Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 8

Clculo Proposicional: 3) Argumentos y Props. LgicasDe manera formal: (Aristteles) Una proposicin es una afirmacin que es o bien verdadera o bien falsa. Elementos de una proposicin: Variables Proposicionales: Asignacin de Valor Lgico Binario: V F Constantes Proposicionales: V , F Conectivos u Operaciones LgicasDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 9

Clculo Proposicional: 3) Argumentos y Props. LgicasProposicin Atmica: Una proposicin atmica es una proposicin que tiene una nica variable o constante proposicional. Las proposiciones no atmicas se denominan compuestas. Todas las proposiciones compuestas tienen al menos una conexin lgicaDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 10

Clculo Proposicional: 4) Conectivos LgicosLos conectivos lgicos son operadores entre props. que permiten construir proposiciones complejas en base a proposiciones ms simples o atmicas. Los conectivos lgicos bsicos son: Negacin: P Conjuncin: PQ Disyuncin: PQ Condicional: PQ Bicondicional o Equivalencia: P QDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 11

Clculo Proposicional: 4) Conectivos LgicosLos conectivos lgicos se definen mediante su tabla de verdad:P Q P Q PQ PQ PQ PQV V F F V F V F F F V V F V F V V V V F V F F F V F V V V F F V

Para su operacin se ha definido un orden en base a su prioridad: Alta () () () () () BajaDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 12

Clculo Proposicional: 5) Estudio ProposicionesPara estudiar proposiciones lgicas o expresiones ms complejas se tienen 2 herramientas fundamentales: Tablas de Verdad: Obtenido en base a las expresiones ms simples y proposiciones atmicas que las forman rbol de Anlisis Sintctico: Descomposicin de la expresin en base a sus proposiciones atmicas.Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 13

Clculo Proposicional: 5) Estudio Proposiciones: TVDada una proposicin es posible estudiar su validez asignando valores de verdad a sus proposiciones atmicas y calcular los valores de verdad de las proposiciones compuestas que la forman en base a las definiciones de los conectivos lgicos. Todas las posibilidades de este clculo lgico se resumen en una Tabla de VerdadDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 14

Clculo Proposicional: 5) Estudio Proposiciones TVEjemplos: 1) P (Q R) ( P R) 2) (P R) (P Q) Q R 3) (P (Q (R P ))) (Q R) 4) (P Q) (P Q ) (P Q ) Q 5) Si Micaela gana en las Olimpiadas, todos la admirarn y ella ser muy feliz, pero si no gana, todo su esfuerzo fue en vanoDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 15

Clculo Proposicional: 5) Estudio Proposiciones6) La extraccin de minerales es provechosa si la concentracin de mineral es alta pero slo si la distancia al mercado es corta 7) Si p es un nmero primo entonces para los enteros pares (npn) es divisible por p 8) Los productos comprados en esta tienda pueden ser devueltos slo si estn en buenas condiciones y el cliente trae la boletaDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 16

Clculo Proposicional: 6) Tautologa y ContradiccinUna Expresin Lgica es una Tautologa si es Verdadera para todas las asignaciones posibles de valores de verdad. En este caso se antepondr el smbolo |= Una Expresin Lgica es una Contradiccin si es Falsa para todas las asignaciones posibles de valores de verdad. Una Expresin Lgica que no es una tautologa ni una contradiccin es una Contingencia (Causalidad/Eventualidad).Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 17

Clculo Proposicional: 6) TautologasEjemplo tautologa: Ley del Medio Excluido: |= P P Teorema: Sea A una expresin tautolgica y sean P1 ... Pn sus variables proposicionales. Suponga que B1 ... Bn son expresiones arbitrarias. La expresin obtenida al reemplazar Pi por Bi es una esquema y toda particularizacin (ejemplo) de este esquema es una tautologa.Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 18

Clculo Proposicional: 6) TautologasTipos de Tautologas: Implicaciones Lgicas: |= A B (A > B) Equivalencias Lgicas: |= A B (A B) Este tipo de tautologa se utiliza para demostrar y construir nuevas leyes (lgebra de Proposiciones) Cabe hacer notar que: A B A BDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 19

Clculo Proposicional: 6) Argumento VlidoDiremos que un argumento lgico es vlido si la conclusin se deduce lgicamente de las premisas: Si todas las premisas son verdaderas entonces tambin lo es la conclusin. Luego, si A es la conjuncin de todas las premisas y C la conclusin, entonces: |= A C . Ejemplo: Silogismo Disjuntivo: |= (P Q) P QDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 20

Clculo Proposicional: 7) Leyes lgebra Proposicional1) Medio Excluido: (P P) V 2) Contradiccin: ( P P) F 3) Identidad: 4) Dominacin: (P F) P , (P V) P (P V) V , (P F) F

5) Idempotencia: (P P) P , (P P) P 6) Doble Negacin: ( P ) P 7) Absorcin:Dr. Gonzalo Hernndez

P (P Q) P P (P Q) PUSM FI-1 Clculo Proposicional 21

Clculo Proposicional: 7) Leyes lgebra Proposicional8) Conmutatividad : P Q Q P PQ QP 9) Asociatividad: (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) 10) Distributividad: P (Q R) (P Q ) (P R ) P (Q R) (P Q ) (P R )Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 22

Clculo Proposicional: 7) Leyes lgebra Proposicional11) Leyes de DeMorgan: ( P Q ) ( P Q ) ( P Q ) ( P Q ) 12) Implica: P Q ( P Q ) 13) Contrarecproca: P Q ( Q P) 14) Equivalencia: P Q ( P Q ) ( P Q ) PQ (PQ) (QP)Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 23

Clculo Proposicional: 7) Leyes Algebra ProposicionalEjercicios: Expresar las siguientes proposiciones en base a los conectivos: 1) P Q (P Q) 2) P (Q P) Q 3) P (P Q) Q 4) P (Q R) (P F) 5) (P Q) ( P R ) ( Q V )Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 24

Clculo Proposicional: 8) Formas NormalesUna Expresin Lgica est en forma normal disyuntiva si est escrita como una disyuncin de trminos que son conjunciones de variables lgicas o de negaciones de variables lgicas. Anlogamente se define forma normal conjuntiva. Ejemplos:P ( Q R ) , (P Q R) ( Q R) RDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 25

Clculo Proposicional: 8) Formas NormalesPasos para obtener la forma normal conjuntiva (disyuntiva) de una proposicin lgica PL mediante la aplicacin de las leyes del lgebra proposicional: 1o) Eliminar en PL todos los conectivos y 2o) Eliminar subexpresiones de PL que estn negadas. Por ejemplo: (P R) 3o) Aplicar las leyes de distributividad 4o) Ordenar la expresinDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 26

Clculo Proposicional: 8) Formas NormalesEjercicio: Obtener la forma normal conjuntiva (disyuntiva) de: a) (P Q) (P (Q R)) ( P (R Q )) b) (P Q) ((P R) (R Q)) Podemos construir una forma normal disyuntiva a partir de la tabla de verdad de una expresin lgica. Aprendamos cmo mediante un ejemplo Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 27

Clculo Proposicional: 8) Formas NormalesP V V V V F F F F Q V V F F V V F F R V F V F V F V F PL V V V F V F F F

Obtenemos la proposicin lgica PL(P,Q,R) en forma normal disyuntiva partir de su tabla de verdad: PL(P,Q,R) =

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Clculo Proposicional: 8) Formas NormalesUn trmino mnimo (minterm) es una conjuncin de literales en los cuales cada variable o su negacin se representa una nica vez y cada trmino ser verdadero para slo una asignacin de valores de verdad. Si una expresin lgica esta expresada como una disyuncin de trminos mnimos se denomina forma normal disjuntiva completaUSM FI-1 Clculo Proposicional 29

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Clculo Proposicional: 8) Formas NormalesPasos para obtener la forma normal conjuntiva de una proposicin lgica PL mediante su tabla de verdad de: 1o) Obtener formal normal disyuntiva de PL 2o) Negar formal normal disyuntiva de PL aplicando leyes del lgebra proposicional Veamos un ejemplo Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 30

Clculo Proposicional: 8) Formas NormalesP V V V V F F F F Q V V F F V V F F R V F V F V F V F PL V V V F V F F V

Obtenemos la proposicin lgica PL(P,Q,R) en forma normal conjuntiva partir de su tabla de verdad: PL(P,Q,R) =

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Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasDiremos que un argumento lgico es vlido si la conclusin se deduce lgicamente de las premisas. Si A es la conjuncin de todas las premisas y C la conclusin, entonces: |= A C A continuacin veremos herramientas = Implicancias Lgicas para demostrar si un argumento es vlido Razonamiento Vlido. Un argumento no vlido es una falaciaDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 32

Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasUn ejemplo de razonamiento vlido es el: PV P Q V Modus Ponens QV Esta conclusin se denota: P , P Q |= Q Otro ejemplo: (P Q) V Silogismo Disjuntivo P V |= (P Q) P Q QVUSM FI-1 Clculo Proposicional 33

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Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasReglas de Inferencia: 1) Leyes de Combinacin: A , B |= A 2) L. de Simplificacin: A B |= A 3) Leyes de Adicin: 4) Modus Ponens: 5) Modus Tollens: 6) Silog. Hipottico:Dr. Gonzalo Hernndez

A B |= B B |= A B

A |= A B

A , A B |= B

B , A B |= AA B , B C |= A C34

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Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasReglas de Inferencia: 7) Silog. Disyuntivo: A B , A |= B A B , B |= A 8) Ley de Casos: A B , A B |= B 9) Eliminacin de Equivalencias:

A B |= A BDr. Gonzalo Hernndez

A B |= B A35

10) Introduccin de la Equivalencia: A B , B A |= A BUSM FI-1 Clculo Proposicional

Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasReglas de Inferencia: 11) Ley de Inconsistencia: A , A |= B Estas reglas de inferencia se utilizan para realizar derivaciones o demostraciones formales. Veamos un ejemplo de derivacin lgicaDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 36

Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasY ahora llegamos a la gran pregunta del porqu. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareci. Fue por motivos polticos, o fue una mujer ? Esta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia esta ltima suposicin Dr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 37

Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasLos asesinos polticos se complacen demasiado en hacer slo su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario ha sido realizado muy deliberadamente, y quien lo perpetr ha dejado huellas por toda la habitacin, mostrando que estuvo ah todo el tiempoDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 38

Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasAnlisis de la derivacin lgica: P1 : Fue un robo P2 : Algo desapareci P3 : Fue un asesinato poltico P4 : El asesinato lo cometi una mujer P5 : El asesino huy inmediatamente P6 : El asesino dej huellas por la habitacinDr. Gonzalo Hernndez USM FI-1 Clculo Proposicional 39

Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. Lgicas1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Derivacin lgica: P1 P2 P2 P1 P1 P3 P4 P3 P4 P3 P5 P6 P5 (Premisa) (Premisa) (1 y 2 + MT) (Premisa) (3 y 4 + MP) (Premisa) (Premisa)40

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Clculo Proposicional: 9) Implicaciones y Deriv. LgicasDerivacin lgica: 8) P6 (Premisa) (7 y 8 + MP) 9) P5 10) P3 (6 y 9 + MT) (5 y 10 + MT) 11) Ergo : P4

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Clculo Proposicional: 10) Bibliografa1) Matemticas Discreta y Lgica, W. K. Grassmann & J. P. Tremblay, Prentice Hall, 1998. 2) R.P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, Addison Wesley,1998.

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