CÁLCULO Y DETERMINACIÓN DEL GAP DEL GaAs

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo consta de 2 partes importantes, la primera es el cálculo del GAP del GaAs a través de una ecuación matemática y la segunda a través de un experimento que mide espectroscópicamente la energía GAP del GaAs.

Todos los sólidos contienen electrones. La pregunta más importante para la conductividad es cómo responden los electrones a un campo aplicado. Los electrones en cristales están acomodados en bandas de energía separadas por regiones de energía para las cuales no existen orbitales de electrones como ondas.

Tales regiones prohibidas son llamadas gaps de energía o gaps banda y son resultado de la interacción de los electrones (onda de conducción) con los núcleos de los iones del cristal.

El Arseniuro de galio (GaAs) es un compuesto de galio y arsénico. Es un importante semiconductor y se usa para fabricar dispositivos como circuitos integrados a frecuencias de microondas, diodos de emisión infrarroja, diodos láser y células fotovoltaicas.

En el GaAs, el mínimo de la banda de conducción está en el punto T, es decir, en el mismo valor, de la k vector de onda como la parte superior de la banda de valencia. GaAs por eso se llama semiconductor GAP directo.

Gap directoSemiconductor (GaAs)

Figura 1. Espectros de energía cualitativa para los electrones en el espacio libre, GaAs. Estados sombreadas en las bandas de valencia significan que están llenos de electrones de valencia.

1

Marco teórico

En los materiales semiconductores a la temperatura de cero Kelvin (cero absoluto), todos electrones se encuentran en la banda de valencia. En este estado el semiconductor tiene características de un aislante y no conduce electricidad. A medida que su temperatura aumenta, los electrones absorben energía pasando para la banda de conducción. Esta "cantidad" de energía necesaria para que el electrón efectúe esa transición es llamada de gap de energía (en inglés band gap), o banda prohibida. A medida que la temperatura del semiconductor aumenta, el número de electrones que pasan para la banda de valencia también aumenta, pasando el semiconductor a conducir más electricidad.

Figura 2. Estructura de banda semiconductora

2

Figura 3. Estructura de bandas en un semiconductor.

INFORMACIÓN IMPORTANTE DEL ARSENURO DE GALIO GaAs

Propiedades electrónicas

Ancho de banda prohibida a 300 K

1.424 eV

Masa efectiva del electrón 0.067 me

Masa efectiva Light hole 0.082 me

Masa efectiva Heavy hole 0.45 me

Movilidad del electrón a 300 K 9200 cm²/(V·s)Movilidad del hueco a 300 K 400 cm²/(V·s)

Parámetros básicos

Energy gap 1.424 eV

Energy separation (EΓL) between Γ and L valleys 0.29 eV

Energy separation (EΓX) between Γ and X valleys 0.48 eV

3

Energy spin-orbital splitting 0.34 eV

Intrinsic carrier concentration 2.1·106 cm-3

Intrinsic resistivity 3.3·108 Ω·cm

Effective conduction band density of states 4.7·1017 cm-3

Effective valence band density of states 9.0·1018 cm-3

Band structure and carrier concentration of GaAs. 300 KEg = 1.42 eVEL = 1.71 eVEX= 1.90 eVEso = 0.34 eV

CÁLCULOS MATEMÁTICOS

La banda de energía consiste en un gran número de niveles de energía muy próximos que existen en los materiales cristalinos. Las bandas se pueden considerar como el conjunto de los niveles de energía individual de los electrones alrededor de cada átomo. Las funciones de onda de los electrones individuales, sin embargo, se superponen con las de los electrones confinados a los átomos vecinos.  El modelo de banda de energía es crucial para cualquier tratamiento detallado de los dispositivos de semiconductor.

El análisis de los potenciales periódicos es necesario para encontrar los niveles de energía en un semiconductor. Esto requiere el uso de funciones de onda periódicas, llamadas funciones de Bloch. El resultado de este análisis es que los niveles de energía se agrupan en bandas, separadas por GAP energía. El comportamiento de los electrones en la parte inferior de esta banda es similar a la de un electrón libre. Sin embargo, los electrones se ven afectados por la presencia del potencial periódico. El efecto combinado del potencial periódico se incluye ajustando el valor de la masa del electrón. Esta masa se conoce como la masa efectiva.

El efecto de un acuerdo de periódicos sobre los niveles de la energía del electrón se ilustra en la Figura A. Se muestran los niveles de energía de los electrones en un cristal de carbono con los átomos dispuestos en un enrejado de diamante. Estos niveles de energía se trazan en función de la constante de red, ‘a’.

4

Figura A: Energía bandas de diamante o una constante de red.

El modelo de Kronig-PenneyEn física del estado sólido, el modelo de Kronig-Penney, formulado por los físicos Ralph Kronig y William George Penney, describe los estados de energía de un electrón perteneciente a un cristal. Para esto supone que la estructura cristalina configura un potencial periódico, de cambios abruptos que, si bien es hipotético, es de gran ayuda en los cálculos. La forma unidimensional de este potencial es como indica la figura.

La distribución probabilística del electrón, Ψ, está regida por la ecuación de Schrödinger:

 (1)

U representa el potencial en el cristal y, debido a su regularidad, se lo puede aproximar con una función periódica. En el modelo unidimensional de Kronig-Penney el potencial presenta discontinuidades abruptas que, si bien es físicamente imposible, puede hacerse una buena aproximación a un caso real.

Además, la solución a la ecuación en este caso es más sencilla, que si se haría una mejor aproximación con la ley de Coulomb. La solución a esta ecuación es una onda de Bloch, que tiene el mismo período que el potencial y se expresa en la forma:

Ψ(x) = μ(x)eikx (2)

5

Al sustituir la ecuacion (1) en la ecuacion (2), la ecuacion u(x) debe satisfacer

(3)

La solución nos dará una función F(E) = cos(kL) acotada en ( − 1,1). Esta función nos define las bandas de energía permitidas y prohibidas (GAP).

Soluciones para k y E se obtienen cuando la siguiente ecuación se cumple:

(4)

Donde:

Esta ecuación trascendente puede simplificarse aún más para el caso de que la barrera es una función delta con el área, V0b, para lo cual se convierte en:

(5)

Con:

Esta ecuación sólo puede resolverse numéricamente.

6

Figura B.: Gráfica de la solución del modelo de Kronig-Penney para un = 1nm y V0b = 0,2 nm-eV. Que se muestra es la energía, E, frente a ka/ y F, que tiene que cos igual (ka), desde donde se puede identificar a las energías permitidas.

La estructura de bandas correspondiente se muestra a continuación (curva en negro), así como la energía de un electrón libre (curva gris). Tres formas diferentes se presentan, a saber, la E(k) digrama, el E(kdiagrama combinado con el diagrama de la zona reducida, así como la zona del diagrama sólo reducirse.

Figura C: De energía en comparación con ka/p tal como se presenta en la Figura (curvas de negro) en comparación con la de un electrón libre (curvas grises). Se muestran: a) la E(k) diagrama, b) la E(k) en combinación con el diagrama de la zona del diagrama reducido y c) la zona del diagrama sólo reducirse.

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Dependencia de la Temperatura con la Energía de Banda Prohibida (GAP)Solución mediante método Kronig-Penney

La energía de banda prohibida de semiconductores tiende a disminuir a medida que se aumenta la temperatura. Este comportamiento puede entenderse si se considera que los incrementos de distancia interatómica cuando la amplitud de las vibraciones atómicas aumenta debido al aumento de energía térmica. Este efecto se cuantifica por el coeficiente de dilatación lineal de un material. Una separación interatómica disminuye el potencial de aumento promedio observado por los electrones en el material, que a su vez reduce el tamaño de la banda prohibida de energía. Una modulación directa de la distancia interatómica - como mediante la aplicación de compresión (tracción) la tensión - también causa un aumento (disminución) de la banda prohibida.

La dependencia de la temperatura de la banda prohibida de energía, Eg, se ha determinado experimentalmente dando la siguiente expresión para Eg en función de la temperatura, T:

(6)

Donde Eg(0), α y β  son los parámetros de ajuste (Ecuación Kronig-Penney). Estos parámetros de ajuste se muestran para el germanio, el silicio y arseniuro de galio en la tabla:

Figura D:Los parámetros utilizados para calcular la energía de banda prohibida del germanio, silicio y arseniuro de galio (GaAs) en función de la temperatura.

Desarrollo:

Mediante la ecuación (6), la cual se obtuvo experimentalmente con una corrección mediante las ecuaciones de Kronig-Penney, para ello usaremos los parámetros de la tabla en figura D, para las constantes que pide la ecuación. Mediante un programa en MatLab se le dará una solución gráfica al cálculo de BandGap del GaAs donde se apreciará la variación del GAP respecto a la temperatura [0-1000 Kelvin].

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Programa MatLab

T=0:1000;

Eg0=1.519;

alpha=0.541E-3;

B=204;

Egap=Eg0-((alpha*T.^2)./(T+B));

plot(T,Egap);

xlabel('Temperatuta[K]');

ylabel('Energía GAP[eV]');

grid on;

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

X: 300Y: 1.422

Temperatura(K)

Ener

gía

Gap

(eV)

Figura E: Gráfica de variación del GAP respecto a la temperatura, como se puede apreciar a 300 K el GaAs posee una energía en el BandGap de 4.42 eV, resultado similar a otras formas de cálculo

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EXPERIMENTO

MEDICIÓN ESPECTROSCÓPICA DE LA ENERGÍA GAP DEL GaAs

La teoría de las bandas de energía de electrones, es de suma importancia en la comprensión de las propiedades de la materia sólida, y por lo tanto la medición de la Banda Gap Eg puede ser considerada un paso esencial en un enfoque experimental a la física de estado sólido.

Se propone un aparato simple para medir el Eg de un gráfico de la resistencia contra a la temperatura, en las muestras de semiconductores a granel. Se describe un tutorial de experimentos para derivar Eg, a partir de mediciones de la dependencia de la temperatura de la caída de tensión o de la corriente inversa de una unión PN. Todos estos métodos implican la producción de pares electrón-hueco por la excitación térmica, y con ellos se obtienen un valor para Ego, la energía gap extrapolada a cero grados Kelvin, asumiendo una dependencia lineal para Eg (T): Eg (T) = Ego – αT.En el presente trabajo se propone un sencillo aparato para mediciones espectroscópicas que pueden ser utilizadas fácilmente en un laboratorio de licenciatura para obtener Eg, a temperatura ambiente. Este experimento consiste en la producción de pares electrón-hueco por la excitación óptica, es decir, por efecto fotoeléctrico interno.

Los elementos necesarios son: un espectrómetro de rejilla equipado con una lámpara comercial dos lentes de vidrio ordinario un sensor piroeléctrico de bajo costo electrónicos simples

El experimento se realiza ya sea como una medida del espectro de la intensidad de la luz transmitida por la muestra de semiconductor (llamado espectro de transmisión de la misma) o como una medida del espectro de fotoconductor, es decir, una gráfica de la variación de la resistencia eléctrica en función de longitud de onda de la luz (llamado espectro de absorción del mismo). Para energías de fotones por debajo de Eg ,el no fotón es absorbido porque no hay estados de energía disponibles para los electrones en la banda prohibida. Tan pronto como la energía del fotón llega al Eg, un electrón en la banda de valencia puede ser excitado a la banda de conducción, lo que genera un par electrón-hueco. Por lo tanto, junto a la absorción de la luz, también un aumento de la conductividad eléctrica de la muestra se lleva a cabo. La energía gap se mide de hecho, como el umbral de energía del fotón en el que se produce un fuerte aumento de la conductividad de la muestra y una fuerte disminución de la transmisión de la luz. Esta manera de presentar el efecto fotoeléctrico interno en los semiconductores es un tanto simplista, porque no estamos teniendo en cuenta dos efectos de segundo orden: la emisión o absorción de los fonones en el caso de la transición indirecta-gap, y la banda-tailing en el caso de una transición indirecta-gap. Esta simple imagen, sin embargo, se justifica por la limitada resolución del aparato experimental.

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APARATO EXPERIMENTALUn diagrama de bloques del montaje experimental se indica en la figura 1.

Lens 1 Grating

TIL 78Chopper

Sample

PyroelectricDetector

R

lock-in

Preamplifier

Motor

Rotatingdisc

Lens 2

Comparator

Lamp

currentgenerator

Voltmeter

La fuente de luz es una lámpara comercial pre-centrada (8 volts - 50 watts) impulsada por la principal línea AC a través de un transformador reductor. Un haz paralelo de luz, obtenido por una primera lente (150 mm de distancia focal), se alimenta a una rejilla de reflexión, y el haz se difracta en un ángulo fijo 2 y centrado en una segunda lente (50 mm de distancia focal) en la muestra .Se trata de una oblea de semiconductor delgada que se coloca delante de un sensor de luz piroeléctrico que mide la luz transmitida a través de la muestra.La longitud de onda de luz en el haz difractado se puede cambiar girando la rejilla que está conectado a un goniómetro. El ángulo de rotación R se mide con respecto a la posición en la que la normal al plano de rejilla divide el ángulo 2 entre el incidente y el rayo difractado.La longitud de onda de la luz que llega a la muestra para cada valor del ángulo R puede calcularse a partir de la ley de dispersión de la rejilla de difracción en términos de valor conocido d de la separación de la rejilla y el valor constante del ángulo:

(R) = (2/m) d cos sin R, [1]donde m = 1,2,3 ... es el orden del espectro.

Cuando se mide en m, la energía de los fotones E se da en eV por la relación E = hc / ≈ 1,24 / , donde h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz.

De la relación [1] se ve que, en cualquier ángulo dado R, el sistema detecta más de una sola longitud de onda, es decir, además de la de primer orden = d cos sin R==/2

11

también el de segundo orden = d eos pecado R = / 2, el tercer orden = / 3, etc, normalmente con intensidad decreciente. En algunos casos esto complica un poco la experiencia y el uso adecuado requiere de un filtro óptico de paso alto con el fin de reducir las longitudes de onda de orden superior.

Todos los elementos ópticos podrían ser apoyadas en forma independiente, pero la alineación de la óptica es mucho más fácil mediante el uso de dos brazos articulados en una plataforma óptica, con la rejilla y el goniómetro montado en el eje de la bisagra.

Pyroelectricsensor Rf

LF356

Convertidor de voltaje para el sensor de luz piroeléctrico.

El sensor piroeléctrico se montó, con un convertidor de corriente a voltaje (figura 2), dentro de una lata de metal con el fin de reducir la captación de ruidos. La señal de corriente piroeléctrico se convierte en una señal de tensión de un amplificador FET de entrada única de funcionamiento (LF356) con una gran resistencia a la retroalimentación de Rf (2 109 ), produciendo una señal de salida del orden de unos pocos mV, cuando se ilumina con luz monocromática.Una de las ventajas del sensor piroeléctrico, con respecto a otros sensores de luz, es una respuesta plana en un rango de longitudes de onda. Por otro lado se requiere de un rayo de luz cortada, ser sensible sólo a los cambios de temperatura producidos por la luz absorbida. Se utilizó por lo tanto una cuchilla hecha en casa, obtenido a partir de un disco giratorio perforado que fue impulsado por una placa giratoria de motor. La frecuencia de la luz de la modulación 0 fue cerca de 30 Hz.

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.

VCD4016

+9V+9V

+9V

–9V

–9V

3.3µF

TIL78

LM311

2

3

2

37

7

1 4

1 4

8

8

+9V

–9V

+9V

–9V

–+

P

B

A

–+

LM311

VS1–9V

–+TL081

TL081

–

+

+

–TL081

10 kž

3.3µF

+9V

–9V

+9V

–+TL081

A

B

1

V2

VS2

S A1

A2S

S

S

B2

B1

A3

A2

A4

A1

–

+

–

+

10

kž

150 kž

10 kž

10 kž

10 kž

10 kž

10 kž

150 kž

10 kž

10

kž

–9V

10

kž

10 kž1

0 k

ž

out

ch

an

nel 1

out

ch

an

nel 2

lowpassfilter

lowpassfilter

10 kž

1 k

ž1

kž

2.7

kž

10

kž

2.2

kž4.7 kž

4.7 kž

2.2

kž

10 kž

Double comparator

Input 1

Input 2

Figura 3 Doble canal amplificador bloqueado. La luz cortada, detectada por el fototransistor (TIL78), es convertida por un doble comparador en las ondas cuadradas (A y B) en oposición de fase, que se utilizan como señales de referencia para el doble canal bloqueado. Cada canal se hace de un convertidor síncrono / seguidor, un filtro pasa-bajas y un búfer de salida, con compensación.

Con una señal modulada una fuerte mejora de la relación señal / ruido se permite mediante el uso de un cierre patronal en la técnica. Hemos utilizado con éxito para este experimento la versión muy simple se describe en la figura 3, que puede ser fácilmente construido a un costo insignificante utilizando populares circuitos integrados.La señal de referencia síncrono se toma después de que la cuchilla y la primera lente de un TIL78 fototransistor que desencadena un comparador doble (LM311) que salidas A y B, en oposición de fase, a dos conmutadores analógicos (CD4016) para cambiar la ganancia de ambos amplificadores A1 y A3 entre G=1 y G=-1. La salida DC de los dos canales del bloqueo se obtienen mediante la filtración de los componentes de baja frecuencia de VS1 y VS2, a través de filtros de paso bajo (con RC>> 1 / 0), y mediante la reducción de la impedancia de salida con las etapas de búfer A2 y A4.

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.

TL431I

RL < 1kž

RL < 10kž+V

+VBFX41

Ic

sam

ple

10 k

ž

3.3k

ž

µA741–

+

330 ž

3.3kž

Figure 4 Generador de corriente constante: la corriente lc suministrada a la muestra es ajustada por el potenciómetro, y la baja (alta) resistencia en serie es elegida para baja (alto) valor de la resistencia RL muestra.

La muestra de semiconductores está sesgada por un generador de corriente constante (figura 4), de modo que el cambio de la resistencia se mide como un cambio de la señal de voltaje a través de la muestra. Cuando una configuración de dos contactos es aprobado, como en nuestro caso, se asume implícitamente que la resistencia de contacto es constante durante las mediciones: esta es una buena aproximación cuando las regiones están en contacto con la sombra del haz de luz.

Tanto el piroeléctrico y la muestra de señales fotoconductoras se alimentan a un filtro de paso alto- (con RC>>1/o) en la fase de entrada de un preamplificador simple no-invertido cuya ganancia se puede fijar en G = 10 o G = 100 (figura 5).

.

1kž

2.2 µF

10 kž

10 k

ž

10 k

ž

99 kž

9 kž

G=100

G=10

OFFSET ADJUSTMENT

OUT

+V

-V

–

+TL081

1 kž

100

kž

Figure 5 Preamplificador no-invertido con un filtro pasa-altas en la etapa de entrada.

RECOPILACIÓN Y ANÁLISISLas muestras de semiconductores necesitadas en este experimento son rebanadas de aproximadamente 5 20 mm2 corte de obleas comerciales de espesor que van desde 300 hasta 500 m. Para la medición de la transmisión no se requiere ninguna otra preparación, mientras que para la medición de la absorción es necesario hacer contactos óhmicos en la muestra de los extremos. El espectro de absorción se obtiene en realidad alimentando una corriente constante a través de la muestra y midiendo la variación de la caída de tensión en la muestra debido a la absorción de la luz.

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Para las muestras de GaAs es mejor que se evapore un fina capa de aluminio o una de oro en la muestra de los extremos y luego a los cables de goma delgadas de cobre por medio de epoxi plata.

Las mediciones fueron tomadas en 3 pasos:

1) ponemos la muestra de semiconductores, sesgados por el generador de corriente constante, frente a la caja del sensor piroeléctrico y medir los cambios de resistencia (espectro de absorción) en función del ángulo de rotación de rejilla R, tanto para la rotación en sentido horario y antihorario, comparando las agujas del reloj hacia la izquierda da un espectro de una comprobación de la alineación óptica correcta.

2) medimos la señal piroeléctrico debido a la luz transmitida por la oblea de semiconductor (espectro de transmisión), el paso primero y segundo se puede realizar en una única prueba si un bloqueo con dos canales similares a los que presentamos en la figura 3.

3) retiramos la muestra de semiconductor y medimos la señal piroeléctrico debido a la luz incidente como una función del ángulo de rotación R: este espectro se utiliza para normalizar la transmisión y el espectro de absorción.

Cuando la normalización de los espectros medidos, hay que tener en cuenta la intensidad de la luz reflejada por la muestra de semiconductores. Esto se puede hacer aproximadamente asumiendo un coeficiente de reflexión constante r = [(n-1) / (n +1)] 2, donde n es un índice de refracción medio en la región de longitud de onda de interés, es decir, dejar de lado la longitud de onda y n. El valor de r (típicamente ≈ 0,3), por lo que se puede considerar como una constante, no afecta a los resultados de nuestras mediciones.

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RESULTADOS

.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

26 30 34 38

Arb

itra

ry U

nit

s

R (degrees)

Gallium Arsenide

1.21.31.41.51.61.7 1.1

Resistance Change

Transmitted Light

h (eV)

(m)0.8 0.9 1.0

Figura 8: Absorción y espectros de transmisión del GaAs arseniuro de galio: las flechas indican el valor aceptado de Eg = 1,42 eV.

En la figura 8 se presentan los espectros obtenidos con una muestra de GaAs, con un espaciado de rejilla de 0.833 m, = 15 grados y un filtro infrarrojo. Los ángulos de umbral, que se define como antes, son los siguientes: : Rtt =34.4 ± 0.2 grados y Rta=34.0 ± 0.2 grados, que dan Eg=1,37 ± 0,01 eV es notablemente inferior que el valor de 1,42 eV comúnmente aceptado para GaAs.Para el cálculo de un valor aproximado de la Energía Gap para el GaAs: asumir como "longitud de onda umbral" el valor medio del intervalo de longitudes de onda en el espectro de absorción se cae y se levanta el espectro de transmisión a un valor máximo. Esto explica en parte el desplazamiento hacia abajo del umbral de medida de energía, debido a la banda-tail.Utilizando esta regla se encuentra en la muestra de GaAs: 31.7 <Rta <34.1 grados y 32.7 <Rtt<34.7 grados, que en promedio y convertido en energía de fotones da Eg = 1,40 ± 0,03 eV.

CONCLUSIONES

Como pudimos observar el cálculo matemático resultó mucho más preciso pues nos arrojó un resultado más cercano al 1.42 que el calculado por medio del experimento ya que en este teníamos que tomar en cuenta más factores para su cálculo.

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REFERENCIAS:

http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/Semicond/GaAs/

C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5th ed. J.Wiley & Sons, N.Y.(1976)

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A. Sconza, G. Torzo, and G. Viola, “Experiment on the physics of the PN junction”, Am. J. Phys, 61 (in press).

Y. Canivez,“Quick and easy measurement of the band gap in semiconductors”, Eur. J. Phys. 4, 42-44 (1983), L. Kirkup and F. Placido, “Undergraduate experiment: Determination of the band gap in germanium and silicon”, Am. J. Phys. 54, 918-920 (1986), and L. Kirkup and M. Nicolson,“Band-gap measurements based upon the behaviour of a p-n junction”, Eur. J. Phys. 7, 49-51 (1986).

P.J. Collings, “Simple measurement of the band gap in silicon and germanium”, Am. J. Phys. 48, 197-199 (1980).

J.M. Essick and R.T. Mather, “Characterization of a bulk semiconductor’s band gap via a near-absorption edge optical transmission experiment”, Am. J. Phys. 61, 646-649 (1993).

R. Wolfson, “The lock-in amplifier: A student experiment”, Am.J. Phys. 59, 569-572 (1991); P.A. Temple, “An introduction to phase-sensitive amplifiers: An inexpensive student instrument”, Am.J. Phys. 43, 801-807 (1975); A very useful, exhaustive tutorial textbook on this topic is M.L. Meade, Lock-in Amplifiers: Principles and Applications, Peregrinus Ltd., London (1983).

O. Madelung, Semiconductors: Group IV Elements and III-V Compounds, in Data in Science and Technology, R. Poerschke Editor, Springer-Verlag, Berlin (1991).

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UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

DICIS

FISICA DEL ESTADO SÓLIDO

REPORTE DE PRÁCTICA: CÁLCULO Y DETERMINACIÓN DEL GAP DE ENERGÍA DEL GaAs.

INTEGRANTES DEL EQUIPO: CAMPOS LÓPEZ LEONARDO DANIEL FLORES BARRANCO MARTHA MAGALI GUERRERO TAVARES JESUS NORBERTO GUTIERREZ GARCÍA JOSÉ JESÚS QUINTERO ZÚÑIGA AGUSTÍN

DRA. MONICA TREJO DURAN

SALAMANCA, GTO; A 6 DE DICIEMBRE DE 2010.

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