Calidociclos.

Etimología: Kalós = bellos + eîdos = figura + kŷklos = anillo

Los calidociclos son anillos tridimensionales compuestos por tetraedros unidos por sus aristas. Pueden girar sobre sí mismos infinitas veces sin romperse ni deformarse en torno a su centro. Pueden construirse incluso calidociclos de forma que al ser girados los tetraedros confluyan en un punto.

Los calidociclos son unos anillos geométricos con la particularidad de girar sobre su eje.

Fractales

El término fractal proviene del latín fractus: quebrar. Fue introducido en 1970 por Benoit Mandelbrot, en su libro “La geometría Fractal de la Naturaleza”. Pero los fractales en sí han existido por mucho tiempo.

La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Éstas poseen a veces una remarcable invariancia de simplificación bajo los cambios de la magnificación, propiedad que caracteriza a los fractales, como veremos más adelante.

La Geometría Fractal es un lenguaje, más que un conjunto de figuras. Este lenguaje utiliza ciertos algoritmos iterativos, vale decir reglas y procedimientos repetitivos, que se aplican hasta conseguir una estructura límite que es el fractal resultante.

     Para este entonces, ya hemos oído hablar de los fractales, sus características y su composición. Estos dibujos, que aparecen en los cuadros de Leonardo da Vinci, y de Escher, han invadido la Matemática, la Física y la Química, sin mencionar la importancia que han alcanzado en la Informática, la Meteorología y hasta en la Medicina, entendiendo a los fractales podemos relacionarlos mejor y más con el mundo que nos circunda.

El Fractal es, matemáticamente , una figura geométrica que es compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificación. A menudo los fractales son semejantes a sí mismos; esto es, poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser vizualizada como una réplica a escala reducida del todo. Existen muchas estructuras matemáticas que son fractales: el triángulo de Sierspinski, la curva de Koch, el conjunto Mandelbrot, los conjuntos Julia, y muchas otras.

La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos. Ejemplo: 1,55.

Es importante reconocer que los fractales verdaderos son una idealización. Ninguna curva en el mundo real es un fractal verdadero ; los objetos reales son producidos por procesos que actúan sólo sobre un rango de escalas finitas. En otras palabras, los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación.

Dimensión Fractal

La noción de dimensión fractal (fraccional) provee una manera de medir qué tan rugosa es una curva. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. A esta idea de dimensión se lo llama dimensión topológica. Sin embargo, una curva rugosa que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. Superficies como el follaje de una árbol o el interior de un pulmón pueden efectivamente ser tridimensionales. Podemos, entonces, pensar de la rugosidad como un incremento en la dimensión: una curva rugosa tiene una dimensión entre 1 y 2, y una superficie rugosa la tiene entre 2 y 3.

Características de los fractales:

1-       Bifurcación infinita   2-       Complejidad constante 3-       Auto similitud  

Tipos de fractales:

1. Mandelbrot   2. Helecho de Barnsley   3. Triángulo de Sierpinski  

  4. Atractor de Lorenz

  5. Difusión 

  6. Celular

Algoritmos de escape

La figura 1 es un fractal de Mandelbrot, y se genera mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se calculan una serie de valores mediante la repetición de una formula hasta que se cumple una condición, momento en el cual se asigna al punto un color relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la inestimable ayuda del ordenador.

Una característica especial del fractal Mandelbrot (y de otros tipos afines) es la de generar un infinito conjunto de fractales, ya que por cada punto se puede generar un fractal tipo Julia, que no es sino una ligera modificación en la fórmula del Mandelbrot.

 

Funciones iteradas

El sistema de funciones iteradas (IFS) es un método creado por M. Barnsley, basándose en el principio de autosemejanza. En un fractal IFS siempre se puede encontrar una parte de la figura que guarda una relación de semejanza con la figura completa. Esa relación es a menudo muy difícil de apreciar, pero en el caso del helecho (imagen 2) es bastante clara: cualquier hoja es una réplica exacta de la figura completa.

Lindenmayer y Sierpinski

La idea es sencilla y antigua. Un triángulo en el que se aloja otro, uniendo los puntos medios de cada uno de sus lados. Esto se repite con todos y cada uno de los triángulos formados que tengan la misma orientación que el original, y así sucesivamente. Quizá se pueda explicar de otra forma, pero lo mejor es verlo en la figura 3.

El triángulo de Sierpinski es uno de los pocos fractales que se puede dibujar con exactitud sin ayuda de un ordenador, siguiendo las instrucciones anteriores. 

Órbitas caóticas

Cuando estudiamos en el colegio el sistema solar nos dijeron que los planetas describían órbitas elípticas. Como en todo, eso es cierto sólo hasta cierto nivel. El atractor de Lorenz se consigue llevando esa incertidumbre hasta el extremo. La imagen 4 es una representación bidimensional y coloreada de esa figura. Básicamente está formada por un hilo infinitamente largo que va describiendo una trayectoria tridimensional acercándose y alejándose de dos puntos de atracción.

Este tipo de modelo nació con un estudio sobre órbitas caóticas desarrollado por E. Lorenz en 1.963.

Aleatorios y celulares

Ciertas categorías de fractal no encajan del todo dentro de las características que hemos descrito en algún otro sitio. Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión (figura 5) dependen en cierta medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles.

Los autómatas celulares están en el otro extremo. Funcionan con sencillas reglas que colorean zonas a partir del color de las adyacentes. Pese a que en principio pueda parecer que las imágenes conseguidas con este método vayan a ser sencillas y simétricas, no tiene por qué ser así, como se demuestra en la imagen 6.

Teselares.

Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas. 

Las antiguas civilizaciones utilizaban teselados para la construcción de casas y templos cerca del año 4000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geométricos. El material usado era arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban.

Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipo de trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes.

El grupo matemático de los pitagóricos analizaron tales construcciones y probablemente éstas los haya conducido al famoso teorema que establece que la suma de los ángulos interiores es igual a un ángulo llano.

La palabra teselado proviene de “tessellae”. Así llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad.

 

Tipos de teselados

Los teselados pueden ser regulares o irregulares. Dentro de los regulares existen los semirregulares y demirregulares.  

Los regulares se logran a partir de la repetición y traslación de polígonos regulares.

 

Los demirregulares (fig. izquierda) se logran a partir de la combinación de varios tipos de  polígonos regulares pero de modo que no todos los vértices tengan la misma distribución, en cambio, los semirregulares (fig. derecha) se forman con la combinación de dos o más polígonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vértices aparezcan los mismos polígonos y en el mismo orden. 

  

Por último, los irregulares, se forman  gracias a la deformación de los lados de un polígono regular.

 No siempre es posible teselar un motivo: Sólo existen tres tipos de polígonos regulares que nos permiten teselar: el triángulo, el cuadrado y el hexágono regular.

Es necesario que los polígonos regulares tengan sus lados congruentes.

El poder teselar depende de la suma de los ángulos interiores de las distintas figuras que concurren en un punto.

En este modelo concurren dos triángulos equiláteros consecutivos, un cuadrado, otro triángulo equilátero y otro cuadrado más, en ese orden. Los ángulos interiores de estas  figuras suman 360º, y con esta distribución podemos embaldosar el plano.

Cómo cubrir el plano

Para generar teselados podemos aplicar los movimientos de traslación, rotación y simetría axial. La primera, se logra copiando, trasladando y pegando la figura. La segunda, tomando un punto y girando a su alrededor. Por último, la simetría axial es el movimiento inverso en el plano para que una figura sea superponible a su homóloga ya que para esto no basta con deslizarla sobre el plano.

 

Simetría nº 20.

División regular-pájaros.

Simetría nº 45.

 M. C. Escher

Maurits Cornelius Escher nació en 1898 en Leeuwarden (Países Bajos). Intentó estudiar Arquitectura, por influencia paterna, pero abandonó estos estudios para estudiar Artes Decorativas, teniendo como maestro a S. J. de Mesquita (por el que sintió gran admiración y con el que mantuvo contactos, hasta el año 1944). Según reflejan informes de la época, Escher no estaba considerado como un artista auténtico, por su falta de ideas y espontaneidad. Entre 1922 y 1923 viajó por Italia y España asentándose en Siena. De aquí marchó a Ravello, donde conoció a su mujer, Jetta Uniker, con la que casó en 1924 marchando a vivir a Roma. En 1926 nació su primer hijo y hasta 1935 viajó y vivió por toda Italia, fundamentalmente por el Sur. A partir de 1935, el clima político le obliga a salir de Italia y pasó a Chateaux-d´ Oex (Suiza), pero la falta de sol y mar le hacen embarcar en un crucero por el Mediterráneo. Visitó Granada, estudiando los ornamentos de la Alhambra que tanto le habían impresionado en un viaje anterior. En 1937 se trasladó a Ukkel (Bélgica) y en 1941 marchó a Baarn (Holanda) donde se asentó y su producción fue más abundante. En 1970 se trasladó a una residencia de artistas en el Norte de Holanda y allí falleció en 1972.

El interés por su obra fue grande por parte de matemáticos y físicos, habiendo ilustrado multitud de publicaciones científicas, pasando por contra desapercibido e ignorado por el mundo artístico en gran parte de su vida. En 1937, la simetría y la perspectiva, la continuidad y el infinito, constituyen su mayor preocupación y aunque la crítica de arte no lo trataba bien, él continuó trabajando estos temas, que tanto y tanto le obsesionaban. Estos temas se pueden resumir haciendo una clasificación simple de los mismos en: 

* La estructura del Espacio

* Estructura de la superficie (Partición de la misma)

* Proyeccion del espacio tridimensional del espacio

Todos son suficientemente interesantes para hacer un análisis y reflexionar sobre cualquiera de ellos, pero vamos a centrarnos, aunque sea brevemente, en la estructura de la superficie y la aproximación al infinito. Escher matemático.... Mucha gente aún hoy lo cree así y, desde luego, a pesar de la opinión del propio Escher, no van muy descaminados. 

Conviene aclarar, rápidamente que Escher no se consideraba un matemático, como claramente reflejan algunos de sus escritos y comentarios “En Matemáticas nunca obtuve si quiera un suficiente. Lo curioso es que, a lo que parece, me vengo ocupando de matemáticas sin darme cuenta de ello”. O este otro comentario, más contundente si cabe “..No, en la escuela fui un chico simpático y tonto . ¡ Quién se iba a imaginar que los matemáticos ilustrarían sus libros con mis dibujos, que me codearía con hombres tan eruditos como si fuesen colegas y hermanos ! ¡ y ellos no pueden creer que yo no entienda una palabra de lo que dicen! Todos los temas anteriormente mencionados le obsesionaban y no hacía otra cosa que reflexionar sobre ellos. 

Transcribimos aquí algunas frases por él dichas:

“Yo creo que producir dibujos, como yo lo hago, es casi sólo una cuestión de realmente querer hacerlo bien.” “Podría llenar una segunda vida entera trabajando con mis impresiones.” “Para tener paz con esta vida peculiar; aceptar lo que no entendemos; esperar con calma lo que nos espera, hay que ser más sabio que yo.” “En momentos de gran entusiasmo me da la sensación de que nadie más alguna vez ha hecho algo más hermoso e importante.” “Siempre me estoy preguntando alrededor de enigmas. Hay gente joven que constantemente viene a decirme: Usted, también, está haciendo Arte Pop. No tengo ni la más mínima idea de lo que es eso, Arte Pop. Estuve haciendo este trabajo por treinta años.” "Yo no crezco. En mí está el pequeño niño de mis primeros días.Las cosas que quiero expresar son tan hermosas y puras.” "Entonces déjennos intentar escalar la montaña, no pisando sobre lo que hay debajo de nosotros, sino que impulsándonos hacia lo que hay sobre nosotros, por mi parte en las estrellas; amen"

 

M.C. Escher fue un hombre que jugó con la arquitectura, perspectiva y espacios imposibles. Su arte continua impresionando y maravillando a millones de personas por todo el mundo. En su trabajo se reconoce su buena observación del mundo que nos rodea y las expresiones de sus propias fantasías. Escher nos muestra que la realidad es maravillosa, comprensible y fascinante. Escher basó sus obras en el infinito y lo imposible aplicado a lo real, que fue algo que atrajo la atención del ser humano desde el principio de la historia, al querer dominar lo que está fuera de su control. Por eso, su trabajo sigue siendo importante hoy en día, manteniéndose eternamente interesante y sorprendente.

 

 

Reptiles (1943)

Curiosa teselación de simetría triple con losetas idénticas en forma de reptil.  Aquí se ilustra también el concepto de las dimensiones espaciales: los lagartos adquieren volumen y emergen del papel bidimensional. Tras un corto paseo por el espacio tridimensional , ilustrado por un dodecaedro, vuelven a sumergirse en el grabado.

 

 

Tres mundos (1955)

Contemplando este cuadro se obtiene una visión integrada de tres mundos:  El sub-acuático con el pez, la superficie del agua donde flotan hojas secas y el que está por encima con los árboles reflejados.

 

 

Relatividad (1953)

De forma similar a Otro Mundo pone de manifiesto la arbitrariedad del sistema de referencia.  Las paredes de este espacio cúbico pueden ser interpretadas como suelos o techos. Las escaleras que las unen no hacen más que resaltar el efecto: por ejemplo la superior en la que dos figuras suben y bajan por la misma simultáneamente.

 

Manos dibujando (1948)

Se observan dos esforzadas manos surgiendo del papel para dibujarse  mutuamente. Aquí se mezcla la realidad con la ficción, formando un círculo sin principio ni fin. 

 

 

Día y noche (1938)

Ejemplo de las teselaciones tan queridas por el autor. 

En la parte central superior el plano se divide en losetas blancas y negras con forma de ánade, perfectamente encajadas. 

Sin embargo aquí se introduce otra dimensión, conforme bajamos aparecen otras con formas más amorfas que terminan en rombos. El color se difumina hasta un gris pálido. Al desplazarnos lateralmente el mosaico se disuelve en un paisaje sobrevolado por las aves: diurno a la izquierda y nocturno a la derecha. 

Se ilustra así el paradigma de la complementariedad: no existe blanco sin negro, ni día sin noche, aunque todo puede confundirse en tonos de gris.

 

Círculo límite IV (Cielo e Infierno) (1960)

Variación de la teselación "Simetría nº 45" con la particularidad de que los elementos van reduciendo su tamaño conforme se aproximan al borde del círculo, que constituye así un límite inalcanzable. Las propiedades de este espacio plano nos introducen en las geometrías no-euclídeas de tipo hiperbólico.

 

Otro mundo (1947)

Aquí se juega con la ambigüedad del punto de vista. 

El plano posterior puede interpretarse como muro, suelo o techo, según la pared lateral que adoptemos como referencia.

El paisaje lunar poblado de planetas, galaxias y cometas aumenta la irrealidad de la escena.