Campo Vectoriales

FÍSICAMENTE; UN CAMPO VECTORIAL REPRESENTA LA DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE UNA MAGNITUD VECTORIAL.

MATEMÁTICAMENTE; SE DEFINE UN CAMPO VECTORIAL COMO UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE LAS COORDENADAS O COMO UN CASO ESPECIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN NO NECESARIAMENTE LINEAL, EN DONDE REPRESENTA EL ESPACIO VECTORIAL QUE HACE LAS VECES DE DOMINIO Y EL ESPACIO VECTORIAL QUE ACTÚA COMO RANGO.

Ejemplo:DADO EL CAMPO ESCALAR Z= 4X2 – Y2. ENCUENTRE EL CAMPO VECTORIAL.

SOLUCIÓN:

EL GRADIENTE DEL CAMPO ESCALAR SE CALCULA DE ACUERDO CON LA FORMULACIÓN DEL OPERADOR GRADIENTE DE COORDENADAS CARTESIANAS, ES DECIR

POR LO QUE EL GRADIENTE QUEDA:

COMO SE APRECIA, SE GENERA UN VECTOR CUYA DIRECCIÓN Y MAGNITUD DEPENDEN DE LAS COORDENADAS, ES DECIR, UN CAMPO VECTORIAL.

PROPIEDADES DE UN CAMPO VECTORIAL

CIRCULACIÓN Y ROTACIONAL:

CUANDO LAS LÍNEAS DE FUERZA EN CUALQUIER REGIÓN DEL ESPACIO DONDE SE ENCUENTRE DEFINIDO EL CAMPO SIGUEN UNA TRAYECTORIA CERRADA SE DICE QUE EL CAMPO POSEE CIRCULACIÓN EN DICHA REGIÓN.

LA CIRCULACIÓN ES UNA CARACTERÍSTICA DE LOS CAMPOS VECTORIALES Y TIENE UNA DEFINICIÓN MATEMÁTICA RELATIVAMENTE SIMPLE.

LA CIRCULACIÓN DE UN CAMPO ES LA SUMATORIA SOBRE UNA TRAYECTORIA CERRADA DE LAS COMPONENTES DE CAMPO TANGENCIALES LA TRAYECTORIA.

CUANDO SE DESEA MEDIR LA CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL COMO UNA FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS, SE UTILIZA UNA FUNCIÓN VECTORIAL DENOMINADA ROTACIONAL, QUE MIDE LA CIRCULACIÓN POR UNIDAD DE ÁREA CUANDO EL ÁREA TIENDE A CERO EN CADA PUNTO DEL ESPACIO EN QUE SE ENCUENTRA DEFINIDO EL CAMPO.

DONDE C ES LA CURVA QUE ENCIERRA LA SUPERFICIE

EL ROTACIONAL DE UN CAMPO ES UNA FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS Y PUEDE EN CONSECUENCIA, SER DIFERENTE PARA LOS DIFERENTES PUNTOS DEL ESPACIO EN QUE SE ENCUENTRA DEFINIDO EL CAMPO.

CUANDO EL ROTACIONAL ES NULO EN TODOS LOS PUNTOS DE UNA REGIÓN, SE DICE QUE EL CAMPO ES IRROTACIONAL O CONSERVATIVO EN DICHA REGIÓN.

EN COORDENADAS GENERALIZADAS EL OPERADOR VECTORIAL DIFERENCIAL DEL ROTACIONAL ES EL QUE SE MUESTRA EN LA ECUACIÓN

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