caos-fractales

8/4/2019 caos-fractales

1/8

Caos y fractales

De Wikipedia, la enciclopedia libre

La Teora del Caos surgi cuando Edward Lorenz dio a conocer en 1963 unmodelo climtico que, por su comportamiento, atrajo la atencin de muchosfsicos, aunque se basa en trabajos anteriores, como los de Julia, Poincar oLyapunov. Junto a la mecnica cuntica y a la teora de la relatividad, seconsidera la tercera gran teora del siglo XX. Algunos la consideran como laciencia de la totalidad, ya que consideran determinismo e indeterminismo comouno solo.

La Teora del Caos ha tenido gran relevancia en muchos campos cientficosactuales como la medicina, la biologa, la ingeniera, la economa y otras.

En el campo de la medicina se pueden encontrar varias estructuras fractales:redes neuronales, disposicin espacial de las glndulas, etctera.

Dentro de la Ingeniera la teora del Caos se entiende como un herramienta deanlisis, que ha permitido afrontar problemas que hasta hace poco era imposibleabordar como, por ejemplo, responder a las siguientes cuestiones:

Las leyes de propagacin de una fracturaLas averas de mquinasPor qu las nubes de humo de dos cigarrillos, de la misma marca,encendidos a la vez, no se parecen en nada tras un breve perodo

En la Teora del Caos un sistema dinmico puede referirse a la bolsa de valorespara un economista o al corazn humano para un mdico, y algunos cientficosconsideran la teora fractal como una herramienta necesaria para estudiarsistemas dinmicos como los mencionados anteriormente u otros que suceden enla naturaleza.

El atractor es uno de los conceptos fundamentales del Caos, que se utiliza pararepresentar la evolucin en un sistema dinmico. Este tipo de representacin yahaba sido usado por Henri Poincar. Dentro de los atractores aparece un tipodenominado atractores extraos.

Vase tambin: Teora del caos

Contenido

1 Introduccin al mundo fractal

Caos y fractales - Wikipedia, la enciclopedia libre http://es.wikipedia.org/wiki/Caos_y_fractales

1 de 8 11/08/11 20:11


2/8

Esfera cornuda de Alexander.

2 Caractersticas de los fractales3 Clculo de dimensiones fractales

3.1 Definicin4 Ejemplos de clculo

4.1 Dimensin fractal del conjunto de Cantor4.2 Dimensin fractal del Copo de nieve de Koch4.3 Dimensin fractal del Conjunto de Mandelbrot

5 Atractores extraos6 Aplicaciones7 Bibliografa8 Vase tambin

Introduccin al mundo fractal

Hausdorff plante la idea de que losobjetos tuviesen ms de dos dimensionespero menos que tres, lo cual dio origenal trmino "dimensin fractal". A partirde ese momento se intent demostrarque dichos objetos puedan darse en la

realidad. Otra definicin de fractal es laque da Benot Mandelbrot, quienconsidera fractal a aquellos objetos contamao y orientacin variables y que encada instante tiene un aspecto similar alanterior.

La dimensin fractal se puede calcularde diferentes formas. Una es elexponente de Hurst: muchas estructuras en la naturaleza poseen lacaracterstica de partir de dos dimensiones y acabar en una dimensin fraccional

entre 2 y 3. Estos objetos se pueden representar mediante grficos, en los cualeses posible medir su dimensin fractal. La relacin que existe entre los fractales yel caos es que aquellos son la manera de representarlo grficamente.

Caractersticas de los fractales

Un objeto fractal debera tener al menos una de las siguientes caractersticas:

Existe similitud entre detalles a gran escala y a pequea escalaNo se puede representar por medio de la geometra clsicaSu dimensin es fraccionaria, es decir, no es entera


2 de 8 11/08/11 20:11


3/8

Se puede definir recursivamente

Los fractales son figuras geomtricas que no se pueden definir a travs de lageometra clsica. Aunque el ser humano tiende a abstraer las figuras de losobjetos a esferas, cuadrados, cubos, etctera, la mayora de las figuras que seencuentran en la naturaleza son de geometra fractal.

Una de las caractersticas ms significativa de los fractales es que surgen apartir de acciones muy bsicas, como el Conjunto de Cantor, que inicialmenteparte de una recta y a partir de reglas muy bsicas se convierte en unaestructura compleja.

Otra de las caractersticas de los fractales es la autosimilitud: cuando se cambia

de escala en la representacin de algn fractal la imagen que resulta es de gransimilitud a la imagen de origen. Por tanto, se puede decir que los fractales sonautorecurrentes. Ejemplos de fractales con esta caractersticas son el Copo denieve de Koch o los Conjunto de Julia.

Una de las preguntas ms complejas sobre los fractales es cul es su tamao. Sise toma como ejemplo el copo de nieve de Koch, es posible afirmar que sudimensin no es exacta y que, por tanto, no se puede usar la geometraeuclidiana para calcularla.

Clculo de dimensiones fractalesEn la seccin anterior, hemos concluido como que la dimensin fractal es la queno se puede calcular a partir de la geometra de Euclides.

La dimensin 0 es el puntoLa dimensin 1 es la lnea

A continuacin se explicar como podemos cuantificar el espacio definido por unfractal, para demostrar as que no se trata nicamente de un modelo terico.

Si nos basamos en un objeto fractal con una dimensin entre 1 y 2, su longitudva a depender de la longitud de la regla con la que la calculemos. Cuanto mspequea sea la unidad de medida ms exacto ser el resultado.

Si tenemos un espacio mtrico (X, d), donde A es un subconjunto compacto novaco de X, tomamos B (x,), donde que >0, como esferas de radio y centro enel punto x.

Queremos calcular el menor nmero de esferas cerradas de radio y necesariaspara cubrir el conjunto A, denotado por N (A,).

N (A,): es el menor nmero entero tal que:


3 de 8 11/08/11 20:11


4/8

donde xn es un conjunto de puntos distintos {xn; 1, 2, 3,,N}.

Para demostrar si existe este nmero, cubrimos el conjunto A mediante conjuntosabiertos, rodeando todos los puntos x que pertenecen a A con una esfera abiertade radio . Como A es un conjunto compacto, esta cubierta tiene una subcubiertafinita M, y cerrando las esferas obtendramos una cubierta de esferas cerradasM.

Llamamos C al conjunto de todas las cubiertas de A que tienen como mximo M

esferas cerradas de radio .

Por tanto definimos f (c) como el nmero de esferas de la cubierta de c quepertenece a C:

f: C -> {1,2,3,M}

Por tanto, f (c) es un conjunto de nmeros enteros positivos y este conjuntocontiene un nmero menor, N (A,).

El conjunto A tendr dimensin fractal D N (A,) donde f() g()

significa:

Despejando D, se obtiene:

Qu significa este "lnC"?, segn la definicin de ms arriba C el conjunto detodas las cubiertas de A que tienen como mximo M esferas cerradas de radio .Cmo es el ln de un conjunto?

Cuando tiende a 0, el trmino ln C / ln(1/) tambin tiende a 0, esto nosconduce a la siguiente:

Definicin


4 de 8 11/08/11 20:11


5/8

K E N

K E N

0 1 1

1 1/3 2

2 1/9 4

K 1 / 3k 2k

K E N

K E N

Sea A un subconjunto de X donde (X, d) es un espacio mtrico. Y sea N (A,)el menor nmero de esfera cerradas de radio >0 necesarias para cubrir el

conjunto A.Decimos que D es la dimensin fractal de A, si existe:

Tambin se escribe como D=D (A) y se lee A tiene dimensin fractal D

Ejemplos de clculo

En este apartado se pretende calcular las dimensiones de algunos de losfractales ms conocidos.

Dimensin fractal del conjunto de Cantor

Para construir el conjunto de Cantor se puede empezar por elobjeto bsico de una lnea. A partir de sta y siguiendo una seriede reglas bsicas obtenemos el conjunto del Cantor. Estas reglasbsicas son ir dividiendo la lnea en tres partes iguales y una vez

hecho esto se quita la parte central de la misma, Estas reglas sedeberan aplicar en un nmero infinito de iteraciones. De la tablaexpuesta anteriormente tenemos que tener en cuenta que K es elnmero de iteraciones necesarias, E el tamao del objeto demedida, y N el nmero de veces que usamos E.

Para el clculo de las dimensiones se realizaran los siguientesclculos:

La solucin sera por tanto d=0,6309, que, como se puede observar la dimensinobtenida para este fractal es mayor que 0 y menor que 1.

Dimensin fractal del Copo de nieve de Koch

A partir de la siguiente frmula se deduce la dimensin para estefractal.


5 de 8 11/08/11 20:11


6/8

0 1 1

1 1/3 4

2 1/9 16

K 1 / 3k 4k

Atractor de Lorenz.

La solucin sera por tanto: d=1,2618

Dimensin fractal del Conjunto de Mandelbrot

Para la mayora de cientficos actuales el fractal ms conocido y ms importantees este y para todos ellos se trata sin duda del objeto con mayor complejidad.Resulta asombroso observar su complejidad infinita, que es en cierta formaindescriptible. Para este fractal no importa el nmero de veces que aumentemos

la escala ni el nmero de veces que hagamos zoom porque siempre seguirapareciendo figuras de complejidad infinita.

Adems de esta infinita complejidad existe otro aspecto de gran curiosidad y esque este fractal se puede obtener a partir de un sencillo programa informtico,es decir que la infinita complejidad surge de algo bastante sencillo. Losprecedentes del conjunto de mandelbrot son las investigaciones realizadasdurante la I Guerra Mundial por Pierre Gatou y Gaston Julia, como resultado deestas investigaciones se obtuvo el Conjunto de Julia.

Posteriormente Mandelbrot a partir de un proceso bastante complicado

consigui componer una figura constituida por todos los conjuntos de Juliamediante una serie de funciones trigonomtricas. En conclusin, el conjunto deMandelbrot se obtiene a partir de nmeros complejos que cumplen unadeterminada propiedad. Para cada nmero complejo se tiene que cumplir quesea igual a la raz de menos uno, de la forma siguiente: 2 + 3i. Y para comenzarse toma un nmero aleatorio P y se calcula su cuadrado, a este nmero obtenidose suma P y entonces se vuelve a elevar al cuadrado y as se continua

infinitamente con dicho proceso: z =z2 + P.

Atractores extraos

Un atractor extrao es una imagen en el espacio de fases de algn sistemacatico concreto. El Atractor de Lorenz fue el primer atractor extrao.

Edward Lorenz por el ao 1963 investigaba el hechode que fuese imposible predecir los fenmenosmeteorolgicos a largo plazo. Cre un modelomatemtico para poder simularlo por ordenador.Este modelo se basaba inicialmente en la conveccinde fluidos y la no linealidad.

As descubri una de las propiedades ms


6 de 8 11/08/11 20:11


7/8

importantes de los sistemas caticos, la dependencia de las condiciones iniciales.Si partimos de dos puntos del espacio de fases, las trayectorias correspondientesa estos dos puntos son diferentes aunque los puntos estn muy prximos. Lospuntos seran los conjuntos de condiciones iniciales, y las trayectorias ladiferente evolucin del sistema dependiendo del punto de partida.

Como no se pueden medir de forma precisa las condiciones iniciales de unsistema, es imposible predecir a largo plazo el comportamiento del sistema, siste depende de las condiciones iniciales.

Lorenz en su modelo meteorolgico comprob que mnimas variaciones en lasentradas, se convertan, en poco tiempo, en grandes variaciones de salida. A estose le denomina efecto mariposa. Este efecto se suele explicar con la siguiente

frase: Si hoy, una mariposa agita sus alas en Pekn, puede cambiar el tiempo deNueva York del mes que viene.

Posteriormente al de Lorenz se han realizado importantes estudios matemticossobre los atractores extraos y sus propiedades, como la forma de estudiarlos ode medirlos.

Aplicaciones

Los sistemas fractales se pueden aplicar en diversos campos, a continuacin

vamos a numerar las ms interesantes:

Si nos centramos en las matemticas, fsica..., se utilizan para estudiar losresultados de resolver ecuaciones de grado superior a dos.

Los sistemas fractales tambin se aplican en la sismologa, pero donde ms seutilizan los sistemas fractales es el tratamiento y manipulacin de imgenes. Dehecho la aplicacin de estos sistemas provoc toda una revolucin en estecampo. El precursor en este campo fue Michael Barnsley con su transformadafractal, que podemos definir como la inversa de la formacin fractal. En vez decrear la figura partiendo de las reglas, intenta determinar las reglas a partir de

la figura.

Los fractales se aplican actualmente por ejemplo como compresores de imgenesdigitales. Tambin se utilizan en el cine para crear efectos especiales, ya que apartir de los fractales se pueden crear fcilmente fondos y paisajes de todo tipo.Por ejemplo, utilizando un determinado programa informtico se puede crear,partiendo de un esquema, un complejo rbol.

En el campo de la msica tambin se utilizan los procedimientos fractales, comopor ejemplo para crear el ritmo que se utiliza como base de cualquier tipo de

msica.


7 de 8 11/08/11 20:11


8/8

La biologa se ha visto muy influenciada por la revolucin de los fractales, ya queen el cuerpo humano se pueden encontrar muchos ejemplos de sistemasfractales, como la red vascular o la red neuronal. De un cuerpo sanguneo salenvasos menores y de stos, otros mucho menores hasta llegar a los capilares. Asvemos que en el campo de la gentica que actualmente tiene mucha importanciapodemos encontrar muchsimas similitudes con los fractales, ya que en ambos, apartir de informacin simple, surgen estructuras complejas.

Bibliografa

M. Barnsley.Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN0-12-079062-9. (Cap 5)

Vase tambin

Teora del CaosFractalCaos deterministaTeora de las catstrofes

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Fractales

Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Caos_y_fractalesCategoras: Fractales | Teora del caos | Fsica

Esta pgina fue modificada por ltima vez el 1 mar 2011, a las 09:56.El texto est disponible bajo la Licencia Creative Commons AtribucinCompartir Igual 3.0; podran ser aplicables clusulas adicionales. Lee lostrminos de uso para ms informacin.


8 de 8 11/08/11 20:11

caos-fractales

Documents

Transcript of caos-fractales